Три способа построения базисов серендиповой интерполяции
Проиллюстрированы три разных подхода к задаче конструирования базисных полиномов на примере серендипового конечного элемента с 12-ма узлами. It is illustrated three various approaches to a problem of designing of basic polygons on example SFE-12....
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18582 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Три способа построения базисов серендиповой интерполяции / А.Н. Хомченко, Н.А. Козуб // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 197-203. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859545006930395136 |
|---|---|
| author | Хомченко, А.Н. Козуб, Н.А. |
| author_facet | Хомченко, А.Н. Козуб, Н.А. |
| citation_txt | Три способа построения базисов серендиповой интерполяции / А.Н. Хомченко, Н.А. Козуб // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 197-203. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Проиллюстрированы три разных подхода к задаче конструирования базисных полиномов на примере серендипового конечного элемента с 12-ма узлами.
It is illustrated three various approaches to a problem of designing of basic polygons on example SFE-12.
|
| first_indexed | 2025-11-26T01:39:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
197
УДК 518.1:519.6
А. Н. Хомченко, Н. А. Козуб
Херсонский национальный технический университет
ТРИ СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ БАЗИСОВ
СЕРЕНДИПОВОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Проиллюстрированы три разных подхода к задаче конст-
руирования базисных полиномов на примере серендипового
конечного элемента с 12-ма узлами.
Ключевые слова: серендипов конечный элемент.
Посвящается 120-летию
со дня рождения Р. Куранта
Введение, постановка проблемы. История метода конечных
элементов (МКЭ) началась в 1943 г., когда Р. Курант опубликовал
свою знаменитую работу [1]. Через 25 лет Эргатудис, Айронс и Зен-
кевич создали очень полезное семейство серендиповых конечных
элементов (СКЭ). За последние 40 лет в учебной и монографической
литературе по МКЭ сложилось, на наш взгляд, ошибочное представ-
ление о единственности базиса для конкретной модели СКЭ с фикси-
рованным количеством узлов. Кроме того, создатели СКЭ и их по-
следователи, похоже, смирились с проблемой “негативизма” в поуз-
ловом распределении равномерной массовой силы на СКЭ высших
порядков [2]. Конечно, это вредит репутации СКЭ, особенно в глазах
приверженцев механических аналогий. Чтобы уловить специфику
серендиповых моделей, лучше отказаться от некоторых стандартных
подходов, привычка к которым воспитана на достижениях матричной
алгебры и вековых традициях одномерной интерполяции по Лагран-
жу [3-6]. Здесь уместно привести слова А. Эйнштейна: “Ты никогда не
решишь проблему, если будешь думать так же, как те, кто ее создал”.
О серендиповых элементах писали многие авторитетные специалисты;
только надежда сказать что-то свое может оправдать новую попытку.
Анализ предшествующих публикаций, постановка задачи.
СКЭ появились в результате настойчивых попыток исключить внут-
ренние узлы на квадратных элементах лагранжева семейства [7].
Первые элементы были найдены неожиданно путем изобретательно-
го подбора подходящих полиномов, поэтому О. Зенкевич [2] предло-
жил название – “серендиповы”. После того, как и другие способы
построения базисов СКЭ привели к тем же результатам, возникло
обманчивое ощущение устойчивости базиса по отношению к способу
его построения. В основной части статьи будет показано, как это
происходит. Многие ошибочно приняли это совпадение за доказа-
тельство единственности решения задачи серендиповой интерполя-
© А. Н. Хомченко, Н. А. Козуб, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
198
ции. Тем более, что для лагранжевой интерполяции единственность
имеет место. Возможно, поэтому поиски смежных базисов фактиче-
ски прекратились. Первые успешные попытки геометрического кон-
струирования базисов СКЭ в 2D и 3D описаны в [8-10]. Главное дос-
тижение геометрического моделирования – создание альтернативных
базисов. Эти базисы открывают совершенно новые возможности для
постановки и решения актуальных задач оптимизации базисов [11], а
также обратных задач серендиповых аппроксимаций [12].
Цель статьи – на примере СКЭ-12 проиллюстрировать 3 раз-
личных подхода к задаче конструирования базисных полиномов, по-
казать полученные геометрически альтернативные (смежные) базисы.
Основная часть. СКЭ-12 – это серендипов конечный элемент с
12 узлами (рис. 1). Соответствующий лагранжев КЭ имеет 16 узлов, 4
из которых расположены внутри КЭ. Как видим, в СКЭ оставлены
только господствующие узлы, осуществляющие межэлементные связи.
|ξ| ≤ 1, |η| ≤ 1.
Наша задача сводится к построению полинома N (ξ, η) от двух
переменных, сохраняющего геометрическую изотропию и удовле-
творяющего интерполяционной гипотезе:
Ni (ξk, ηk) = δik, (1)
где i – номер базисной функции ( )12,1=i , k – номер узла интерполя-
ции ( )12,1=k , δik – символ Кронекера.
Понятно, что таких полиномов должно быть 12, по числу узлов
интерполяции.
I способ. Этот алгебраический способ построения базиса полу-
чил наибольшее распространение в МКЭ [2-6]. Сначала выбирается
12-параметрический полином с двумя аргументами
.
),(
3
12
3
11
3
10
2
9
2
8
3
7
2
65
2
4321
ξηαηξαηαξηαηξα
ξαηαξηαξαηαξααηξ
+++++
+++++++=N
(2)
Первые 10 слагаемых образуют полный полином 3-й степени.
Недостающие два члена в (2) выбирают
из группы членов 4-й степени так, чтобы
сохранить геометрическую изотропию и
обеспечить кубическое изменение функ-
ции вдоль координатных направлений ξ
и η на границах СКЭ. При регулярном
расположении узлов (рис. 1) достаточно
построить только две базисные функции:
“угловую” и “промежуточную”. Понят-
но, что интерполяционная гипотеза (1)
сводит задачу к составлению и решению
СЛАУ 12×12.
Рис. 1. Серендипов КЭ
с кубичным изменением поля
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
199
Например, для углового узла 1 получается
),1099)(1)(1(
32
1),( 22
1 −+−−= ηξηξηξN (3)
для промежуточного узла 2
)1)(31)(1(
32
9),( 2
2 ηξξηξ −−−=N . (4)
Вообще, для угловых узлов i = 1, 4, 7, 10
),1099)(1)(1(
32
1),( 22 −+++= ηξηηξξηξ iiiN iξ , 1±=iη . (5)
Для промежуточных узлов i = 2, 3, 8, 9
),1)(91)(1(
32
9),( 2 ηηξξξηξ iiiN ++−= ;
3
1
±=iξ 1±=iη . (6)
Остальные функции базиса получаются из (6) перестановкой ξ и η.
Единственность базиса (5), (6) в этом способе интерполяции
обусловлена отличием от нуля определителя матрицы СЛАУ.
II способ. Здесь используется идея представления квадратного
КЭ в виде композиции из четырех отрезков (сторон квадрата). Для
функций в промежуточных узлах удается разделить переменные, что
приводит к перемножению одномерных полиномов Лагранжа в соот-
ветствующих направлениях ξ и η. Функции в угловых узлах комби-
нируются из соответствующих билинейных функций и функций в
промежуточных узлах. Аналогичный пример используют авторы [3]
для построения более простого базиса на СКЭ-8.
Сначала, взяв соответствующий многочлен Лагранжа третьей
степени по одному направлению и умножив его на линейную функ-
цию по другому направлению, найдем базисные функции для проме-
жуточных узлов. Например,
);1)(31)(1(
32
9),( 2
2 ηξξηξ −−−=N
);1)(31)(1(
32
9),( 2
3 ηξξηξ −+−=N
);1)(31)(1(
32
9),( 2
11 ξηηηξ −+−=N
).1)(31)(1(
32
9),( 2
12 ξηηηξ −−−=N
Теперь для углового узла 1 можно использовать линейную ком-
бинацию билинейной базисной функции ( ) )1)(1(
4
1,1 ηξηξ −−=N с
Математичне та комп’ютерне моделювання
200
функциями N2, N3, N11, N12. Коэффициенты линейной комбинации
подбираем, исходя из интерполяционной гипотезы (1):
)).,(),((
3
1)),(),((
3
2),(),( 11312211 ηξηξηξηξηξηξ NNNNNN +−+−=
После простых алгебраических преобразований получаем функ-
цию (3).
Как видим, и второй способ дает тот же результат. Так возника-
ет уверенность в “единственности” базиса СКЭ-12. Именно этот ба-
зис уже десятки лет “кочует” из одной книги в другую. То же самое
произошло и с другими элементами: плоским СКЭ-16 и пространст-
венными СКЭ-32 и СКЭ-44. Между тем, на этих СКЭ мы обнаружили
много (даже бесконечно много) базисов, которые обеспечивают ме-
жэлементную непрерывность, сохраняют геометрическую изотропию
и удовлетворяют интерполяционную гипотезу. Таким образом, СКЭ
высших порядков оказались много сложнее и разнообразнее, чем ка-
залось раньше. Хороший пример неединственности базиса мы нахо-
дим в векторной алгебре, где для представления любого вектора
можно предложить бесчисленное множество базисов. Конечно, все-
гда находятся какие-то критерии для выбора “лучшего” базиса.
Предложенные разработчиками СКЭ базисы трудно назвать лучши-
ми, хотя бы потому, что они приводят к неестественному поузловому
распределению равномерной массовой силы СКЭ. Есть и другие не-
достатки. Прежде, чем перейти к описанию третьего способа конст-
руирования базиса СКЭ-12, полезно обратить внимание на геометри-
ческие особенности поверхностей ),( ηξiN . Например, ),(1 ηξN
представляет собой композицию двух поверхностей: гиперболиче-
ского параболоида (гипара) с линиями нулевого уровня ,1=ξ 1=η и
параболоида вращения с линией нулевого уровня – окружностью
9
1022 =+ηξ . Как видим, этот полином имеет нежелательные [13]
кратные нули в узлах 5, 6, 7, 8, 9. Поверхность ),(2 ηξN сконструи-
рована из того же гипара с линиями нулевого уровня ,1=ξ 1=η и
параболического цилиндра с линиями нулевого уровня ,1−=ξ
3
1
=ξ . Оказывается, существуют другие подходящие комбинации
исходных геометрических объектов.
III способ (геометрический). Желая подчеркнуть преимущества
геометрического конструирования, мы сразу покажем один из новых
(альтернативных) базисов СКЭ-12. Необходимо отметить особую
роль гипара. Эта поверхность является обязательной составляющей
всех серендиповых моделей. Другие составляющие подбираются с
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
201
учетом интерполяционной гипотезы, а также условия сохранения
весового баланса
∑
=
=
12
1
1),(
i
iN ηξ . (7)
Чтобы получить новую базисную функцию N1 (ξ, η) можно в (3)
заменить параболоид вращения параболическим цилиндром. Эта по-
верхность проходит через узлы 2, 3, 11, 12 и точку (–1; –1; 1) так, что
в пересечении с плоскостью нулевого уровня образуются две прямые
2-12 и 3-11.
Искомый полином имеет вид:
).1)1(9)(1)(1(
32
1),( 2
1 −++−−= ηξηξηξN
Этот полином удается разложить на четыре линейных сомножи-
теля. Это означает, что поверхность N1 (ξ, η) образуется “перемноже-
нием” четырех плоскостей, проходящих через общую точку (–1; –1; 1).
При этом первая плоскость проходит через узлы 4 и 7, вторая – через 7
и 10, третья – через 2 и 12, четвертая – через 3 и 11 (рис. 1).
В общем случае для i = 1, 4, 7, 10
),1)1(9)(1)(1(
32
1),( 2 −−−++= ηηξξηηξξηξ iiiiiN .1, ±=ii ηξ (8)
При построении ),(2 ηξN можно использовать четыре плоско-
сти с общей точкой
−− 1;1;
3
1 . При этом первая плоскость должна
проходить через узлы 4 и 7, вторая – через 7 и 10, третья – через 10 и
1, четвертая – через 3 и 9 (рис. 1). Тогда
).3)(1)(1(
32
9),( 2
2 ηξηξηξ −−−−=N (9)
Вообще, для i = 2, 3, 8, 9
),9)(1)(1(
32
9),( 2 ηηξξηηξηξ iiiiN ++−= ;
3
1
±=iξ 1±=iη . (10)
Легко заметить, что в этой модели удалось резко уменьшить ко-
личество кратных нулей в узлах. Новый базис относится к суперпа-
раметрическим, поскольку появился тринадцатый параметр, ассо-
циируемый с членом ξ2 η2. Поэтому свойства базиса изменились не
только количественно, но и качественно. Так, спектр поузлового рас-
пределения равномерной массовой силы уже не содержит отрица-
тельных нагрузок.
Двух базисов (5), (6) и (8), (10) уже вполне достаточно, чтобы
генерировать бесчисленное множество подходящих базисов по фор-
муле взвешенного усреднения
Математичне та комп’ютерне моделювання
202
),,()1(),(),( ''' ηξαηξαηξ iii NNN −+= (11)
где ),(' ηξiN – первый базис (с параболоидом вращения); ),('' ηξiN –
второй базис (с параболическим цилиндром); 10 ≤≤ α – весовой ко-
эффициент.
С помощью весового коэффициента α удобно управлять серен-
диповой поверхностью. Например, арифметическое усреднение
(α = 0,5) дает третью модель СКЭ-12:
),1)(9)(1)(1(
32
1),( 22 −−−++++= ηηξξηξηξηξηηξξηξ iiiiiiiN
10,7,4,1=i ; ;1, ±=ii ηξ
),118)(1)(1(
64
9),( 2 +++−= ηηξξηηξηξ iiiiN ;9,8,3,2=i
;
3
1
±=iξ .1±=iη
Интересно отметить, что при усреднении параболоида вращения
и параболического цилиндра образуется эллиптический параболоид.
Некоторые новые модели СКЭ-12 и результаты их тестирования при-
ведены в статье [14].
Выводы. Геометрическое моделирование СКЭ показывает, что
исключение внутренних узлов лагранжевой интерполяции не только
уменьшает объем вычислений, но и (что гораздо важнее) улучшает ка-
чества серендиповых моделей. В настоящее время изучаются возмож-
ности обобщения полученных результатов на трехмерные СКЭ. Пер-
вые результаты свидетельствуют об исключительной роли когнитив-
ной компьютерной графики [15] в моделировании трехмерных СКЭ.
Список использованной литературы:
1. Courant R. L. Variational method for the solution of problems of equilibrium
and vibrations // Bulletin of the American Mathematical Society. – Vol. 49,
1943. – P.1-23.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. –
541 с.
3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир,
1986. – 318 с.
4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979.
– 392 с.
5. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. – М.: Мир,
1981. – 304 с.
6. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидко-
сти. – Л.: Судостроение, 1979. – 264 с.
7. Ergatoudis I., Irons B. M., Zienkiewicz O. C. Curved isoparametric, “quadri-
lateral” elements for finite element analysis // Int. J. Solids Struct. – Vol. 4. –
1968. – P.31-42.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
203
8. Хомченко А. Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ / Ив.-Франк. ин-т
нефти и газа. – Ивано-Франковск, 1982. – 9 с.; Деп. в ВИНИТИ 18.03.82,
№1213.
9. Хомченко А. Н. О базисных функциях МКЭ для уравнений в частных
производных // III Респ. Симп. по диффер. и интегр. уравнениям: Тез. до-
кл. – Одесса: ОГУ, 1982. – С.257-258.
10. Хомченко А. Н., Камаева Л. И. О моделировании конечных элементов
серендипова семейства // Прикл. проблемы прочности и пластичности:
Всесоюзн. межвуз. сб. – Горький: ГГУ, 1985. – С.14-17.
11. Астионенко И. А., Литвиненко Е. И., Хомченко А. Н. Оптимизация спек-
тров узловых нагрузок на серендиповых элементах высших порядков //
Тези доп. V міжн. конф. “Матем. та програм. забезпечення інтелект. сис-
тем”. – Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. – С.11.
12. Хомченко А. Н., Астионенко И. А., Литвиненко Е. И. Обратные задачи об
интегральных средних для серендиповых полиномов // Вестн. Херс. нац.
техн. ун-та. – 28(2). – Херсон: ХНТУ, 2007. – С.383-389.
13. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир,
1977. – 349 с.
14. Козуб Н. А., Манойленко Е. С., Хомченко А. Н. Температурный тест для
модифицированных базисов бикубической интерполяции // ААЭКС. –
№1(19). – Херсон: ХНТУ, 2007. – С.25-30.
15. Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика. – М.: Наука, 1991. – 192 с.
It is illustrated three various approaches to a problem of designing of
basic polygons on example SFE-12.
Key words: serendipian eventual element, SFE-12.
Отримано: 27.03.2008
УДК 519.21+62
Я. М. Чабанюк, І. М. Подун
Національний університет “Львівська політехніка”
АСИМПТОТИЧНІ ПРЕДСТАВЛЕННЯ ГЕНЕРАТОРА
СТРИБКОВОЇ ЕВОЛЮЦІЇ З ШВИДКИМИ
МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕННЯМИ
В роботі одержано асимптотичні представлення генератора
стрибкової еволюції в марковському середовищі, а також по-
будовано граничний генератор еволюції як розв’язок пробле-
ми сингулярного збурення для отриманих асимптотичних
представлень.
Ключові слова: стрибкова еволюція, марковський процес,
розв’язок проблеми сингулярного збурення.
Вступ. Стійкість динамічної системи, що задовольняє принципу
усереднення, була встановлена М. М. Боголюбовим [1] (див. також
© Я. М. Чабанюк, І. М. Подун, 2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18582 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T01:39:51Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хомченко, А.Н. Козуб, Н.А. 2011-04-04T20:19:50Z 2011-04-04T20:19:50Z 2008 Три способа построения базисов серендиповой интерполяции / А.Н. Хомченко, Н.А. Козуб // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 197-203. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18582 518.1:519.6 Проиллюстрированы три разных подхода к задаче конструирования базисных полиномов на примере серендипового конечного элемента с 12-ма узлами. It is illustrated three various approaches to a problem of designing of basic polygons on example SFE-12. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Три способа построения базисов серендиповой интерполяции Article published earlier |
| spellingShingle | Три способа построения базисов серендиповой интерполяции Хомченко, А.Н. Козуб, Н.А. |
| title | Три способа построения базисов серендиповой интерполяции |
| title_full | Три способа построения базисов серендиповой интерполяции |
| title_fullStr | Три способа построения базисов серендиповой интерполяции |
| title_full_unstemmed | Три способа построения базисов серендиповой интерполяции |
| title_short | Три способа построения базисов серендиповой интерполяции |
| title_sort | три способа построения базисов серендиповой интерполяции |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18582 |
| work_keys_str_mv | AT homčenkoan trisposobapostroeniâbazisovserendipovoiinterpolâcii AT kozubna trisposobapostroeniâbazisovserendipovoiinterpolâcii |