Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями
В роботі одержано асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції в марковському середовищі, а також побудовано граничний генератор еволюції як розв’язок проблеми сингулярного збурення для отриманих асимптотичних представлень. In this work the asymptotic views for the generator jumping evo...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18583 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями / Я.М. Чабанюк, І.М. Подун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 203-208. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859593608303214592 |
|---|---|
| author | Чабанюк, Я.М. Подун, І.М. |
| author_facet | Чабанюк, Я.М. Подун, І.М. |
| citation_txt | Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями / Я.М. Чабанюк, І.М. Подун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 203-208. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | В роботі одержано асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції в марковському середовищі, а також побудовано граничний генератор еволюції як розв’язок проблеми сингулярного збурення для отриманих асимптотичних представлень.
In this work the asymptotic views for the generator jumping evolution in the Markov media and limits generator of evolution with the singular perturbation problem for asymptotic representation are obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-27T17:23:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
203
8. Хомченко А. Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ / Ив.-Франк. ин-т
нефти и газа. – Ивано-Франковск, 1982. – 9 с.; Деп. в ВИНИТИ 18.03.82,
№1213.
9. Хомченко А. Н. О базисных функциях МКЭ для уравнений в частных
производных // III Респ. Симп. по диффер. и интегр. уравнениям: Тез. до-
кл. – Одесса: ОГУ, 1982. – С.257-258.
10. Хомченко А. Н., Камаева Л. И. О моделировании конечных элементов
серендипова семейства // Прикл. проблемы прочности и пластичности:
Всесоюзн. межвуз. сб. – Горький: ГГУ, 1985. – С.14-17.
11. Астионенко И. А., Литвиненко Е. И., Хомченко А. Н. Оптимизация спек-
тров узловых нагрузок на серендиповых элементах высших порядков //
Тези доп. V міжн. конф. “Матем. та програм. забезпечення інтелект. сис-
тем”. – Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. – С.11.
12. Хомченко А. Н., Астионенко И. А., Литвиненко Е. И. Обратные задачи об
интегральных средних для серендиповых полиномов // Вестн. Херс. нац.
техн. ун-та. – 28(2). – Херсон: ХНТУ, 2007. – С.383-389.
13. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир,
1977. – 349 с.
14. Козуб Н. А., Манойленко Е. С., Хомченко А. Н. Температурный тест для
модифицированных базисов бикубической интерполяции // ААЭКС. –
№1(19). – Херсон: ХНТУ, 2007. – С.25-30.
15. Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика. – М.: Наука, 1991. – 192 с.
It is illustrated three various approaches to a problem of designing of
basic polygons on example SFE-12.
Key words: serendipian eventual element, SFE-12.
Отримано: 27.03.2008
УДК 519.21+62
Я. М. Чабанюк, І. М. Подун
Національний університет “Львівська політехніка”
АСИМПТОТИЧНІ ПРЕДСТАВЛЕННЯ ГЕНЕРАТОРА
СТРИБКОВОЇ ЕВОЛЮЦІЇ З ШВИДКИМИ
МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕННЯМИ
В роботі одержано асимптотичні представлення генератора
стрибкової еволюції в марковському середовищі, а також по-
будовано граничний генератор еволюції як розв’язок пробле-
ми сингулярного збурення для отриманих асимптотичних
представлень.
Ключові слова: стрибкова еволюція, марковський процес,
розв’язок проблеми сингулярного збурення.
Вступ. Стійкість динамічної системи, що задовольняє принципу
усереднення, була встановлена М. М. Боголюбовим [1] (див. також
© Я. М. Чабанюк, І. М. Подун, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
204
[2]). Стійкість динамічної системи з марковським збуренням за умов
стійкості усередненої системи вивчалась в роботах [3-5], а також [6-
8]. В умовах дифузійної апроксимації динамічної системи з марков-
ським збуренням проблема стійкості вперше була розв’язана в роботі
[9] з використанням мартингальної характеризації відповідного мар-
ковського процесу (див. також [10]). Зокрема в роботі В. С. Королюка
[10] використано властивості асимптотичних представлень породжу-
ючого оператора (генератора) неперервної динамічної системи, а та-
кож розв’язок проблеми сингулярного збурення для побудови гене-
ратора граничного процесу.
Постановка задачі. Стрибкова еволюція в марковському сере-
довищі в схемі серій задається співвідношенням [11, 12] (покладемо
( ) 0:,
1
0
=∑
−
=k
kk xuC εε )
( ) 0,,)(
1)/(
0
≥+= ∑
−
=
txuCutu
t
k
kk
εν
εεε ε , ,)0( uu =ε (1)
де { }tnt n ≤>= τν :0max:)( , 0≥t , – лічильний процес моментів від-
новлення ,0, ≥nnτ вкладеного ланцюга Маркова (ВЛМ) ( ),: nn xx τ=
0≥n , у рівномірно ергодичний марковський процес (МП) ,0),( ≥ttx
у стандартному фазовому просторі станів ),( XX , що задається гене-
ратором Q [13]
[ ])()(),()()( xydyxPxqxQ
X
ϕϕϕ −= ∫ ,
де )(xq – інтенсивність, така, що ∞<=
∈
)(sup:)( xqxq
Xx
.
Функція швидкості ),( xuC , dRu ∈ , Xx ∈ , задовольняє умові
існування глобального розв’язку супроводжуючих систем
dttdux )( = ( )xtuC x ),( , Xx ∈ .
Генератор Q є зведено-оборотним з потенціалом 0R [13]. Поте-
нціал 0R задовольняє властивості:
Ι−Π== QRQR 00 ,
де Ι – тотожний оператор, а Π – проектор на нуль-простір поро-
джуючого оператора Q : Π )()(:)( xdxx
X
ϕπϕ ∫= .
Процес марковського відновлення ,0,, ≥nx nn τ задається стоха-
стичним ядром { } X∈∈=∈= + BXxxxBxPBxP nn ,,),( 1 .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
205
В (1) мають місце вкладеності
( )εεε τ nn uu =: , ( )εε τ nn xx =: , nn εττ ε =: , 0≥n .
Стаціонарний розподіл X∈BB),(ρ , ВЛМ 0, ≥nxn , задається
рівнянням
),()()( BxPdxB
X
∫= ρρ , 1)( =Xρ .
Час 1+nθ перебування в станах nx задається функцією розподілу
{ } .0,,1:)( )(
1 ≥∈−==≤= −
+ tXxexxtPtG txq
nnx θ
Неперервна усереднена еволюція задається диференціальним рі-
внянням
,)0()),(()( uutuC
dt
tdu
== (2)
де усереднення визначається за стаціонарним розподілом ВЛМ
.),()()( ∫=
X
xuCdxquC ρ
Лема 1. Генератор εL двокомпонентного МП
)/(:),( εεε txxtu t = , (3)
на функціях ( )dRCu 2)( ∈ϕ має наступні асимптотичні представлення
),,()(),()(),(
),()(),(),(
020
1
01
1
xuQxxuQxxuQ
xuQxxuQxu
ϕεθϕϕε
ϕεθϕεϕ
ε
εε
++=
=+=
−
−
C
L
(4)
де )(),(:)()( uxuCux ϕϕ ′=C ,
)~(),(:)()(1 uxuCux ϕϕθ ε ′= ,
)(),()(:)(0 ydyxPxqxQ
X
ϕϕ ∫= ,
),()~(),(
2
1:)()(2 xuCuxuCux T ϕϕθ ε ′′= ,
а u~ проміжна точка з проміжку 10)),,(;( ≤≤+ θθ xuCuu .
Доведення. Генератор εL МП (3) визначається співвідношен-
ням [13]
( ) =
−
==∆+∆ ∆+
−
→∆
),(,)(),(lim 1
0
xuxxutuxtuE tt ϕϕ εεεε εL ),( xuϕ .(5)
Обчислення умовного математичного сподівання в (5) приво-
дить до наступних перетворень
Математичне та комп’ютерне моделювання
206
( ) ( )[ ]=∆+=
==∆+ ∆+∆+
εεεεεε ϕϕ txutt xtuExxutuxtuE ),(,)(),( ,
( )[ ] ( )
( )[ ] ( ).),(
),(
1
,
1
,
∆>∆++
+∆≤∆+=
−
∆+
−
∆+
εθϕ
εθϕ
εε
εε
xtxu
xtxu
IxtuE
IxtuE
(6)
З того, що ( ) )()(1 1)(1 1
∆+∆=−=∆≤ −∆−− −
oxqeI xq
x εεθ ε , а приріст
)()()( tututu εεε −∆+=∆ системи (1) в цьому випадку визначається
співвідношенням ),()( xuCtu εε =∆ , для першого доданку з (6) маємо
( )[ ] ( )
( )[ ] ).()(),,(
),(
1
,
1
,
∆+∆+=
=∆≤∆+
−
∆+
−
∆+
oxqxxuCuE
IxtuE
txu
xtxu
εεϕ
εθϕ
ε
εε
(7)
Для другого доданку з (6) використаємо представлення
( ) )()(1 1)(1 1
∆+∆−==∆> −∆−− −
oxqeI xq
x εεθ ε , і те, що при Δ→0 отри-
муємо 0)( →∆ tuε , а також xxt →∆+
ε . Отже маємо
( )[ ] ( ) [ ] )()(1),(),( 11
, ∆+∆−=∆>∆+ −−
∆+ oxqxuIxtuE xtxu εϕεθϕ εε . (8)
Використовуючи зображення (7) та (8) для умовного математич-
ного сподівання отримуємо представлення
( )[ ]
( )[ ] ),(),,()(
),()(),(),(
,
1
1
,
∆+∆++
+∆−=∆+
−
−
∆+
oyxuCuExq
xuxqxuxtuE
xu
txu
εϕε
ϕεϕϕ εε
з врахуванням того, що замість ε
∆+tx можна поставити Xy ∈ .
Тепер легко бачити, що генератор εL можна подати вигляді
[ ] ),()(),(),( 0
11 xuQIxxuQxu ϕεϕεϕ εε −+= −− CL ,
де оператор )(xεC має представлення
)),(()()( xuCuux εϕϕε +=C .
Використовуючи гладкість тест-функцій φ (u, x) по змінній u,
отримуємо перше та друге представлення (3) генератора εL .
Розглянемо збурену функцію Ляпунова
),( xuV ε = V(u)+ εV1(u, x), (9)
де V(u) ( )dRC2∈ , є функцією Ляпунова для усередненої системи (2).
Лема 2. Розв’язок проблеми сингулярного збурення для генера-
тора (3) на збуреній функції Ляпунова (9) визначається співвідно-
шеннями:
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 1
207
εL ),( xuV ε = C V(u)+ ε εθL (x)V(u), (10)
де )()()( uVuCuV ′=C ,
а залишковий оператор )(xL
εθ має вигляд:
)()()()()(~)()( 2001 uVxqxuVxRQxxL
εεε θεθθ += C ,
де )())()(),(()()(~ uVuCxqxuCuVx ′−=C .
Доведення. Спочатку зауважимо, що розв’язок проблеми сингу-
лярного збурення [10, 13] визначає збурення ),(1 xuV в (9) в вигляді
)()(~),( 01 uVxRxuV C= .
Використовуючи розклади (4) в позначеннях
),()(),(),( 01
1
)0( xuQxxuQxu ϕεθϕεϕ εε += −L ,
),()(),()(),(),( 020
1
)1( xuQxxuQxxuQxu ϕεθϕϕεϕ εε ++= − CL ,
на збуреній функції Ляпунова (9) маємо представлення генератора
εL ),( xuV ε = ),(1)0( xuVεεL + )()1( uVεL . (11)
Оскільки
),(1)0( xuVεεL = ),()(),( 101
2
1 xuVQxxuQV εθε+ ,
а )()1( uVεL = )()()()()( 020
1 uVQxuVQxuQV εεθε ++− C ,
то з (11) отримуємо (10).
Висновки. Розв’язок проблеми сингулярного збурення (10) за-
безпечує встановлення достатніх умов стійкості стрибкової еволюції
(1) за схемою [10].
Список використаних джерел:
1. Боголюбов М. М. О некоторых статистических методах в математической
физике. – Изд. АН УССР, Львов. – 1945. – 137 с.
2. Митропольский Ю. О., Самойленко А. М. Математические проблемы
нелинейной механики. – Киев: Вища школа, 1987. – 72 с.
3. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических диффе-
ренциальных уравнений. – Киев: Наукова думка, 1987. – 328 с.
4. Царьков Е. Ф. Об устойчивости решений линейных дифференциальных
уравнений с марковскими коэффициентами // Доповіді НАН України. –
1987. – №2. – С.34-37.
5. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональ-
ных уравнений. – Рига: Зинатне, 1989. – 421 с.
6. Королюк В. С. Устойчивость автономной динамической системы с быст-
рыми марковскими переключениями // Укр. мат. журнал. – 1991. – 43,
№8. – С.1176-1181.
7. Королюк В. С. Average and stability of dynamical systems with rapid stochas-
tic switchings // Exploring Stochastic Laws. – 1995, VSP. – C.219-232.
Математичне та комп’ютерне моделювання
208
8. Королюк В. С. Устойчивость автономной динамической системы с быст-
рыми марковскими переключениями // Доклады АН Украины. – 1990. –
сер. А – №6. – С.16-19.
9. Blankenship G. L., Papanicolaou G. C. Stability and Control of stochastic sys-
tems with wide band noise disturbances // SIAM. Appe. Math. – 1978. – 34. –
P.437-476.
10. Королюк В. С. Стійкість стохастичних систем у схемі дифузійної апрок-
симації // Укр. мат. журнал. – 1998. – 50, №1. – С.36-47.
11. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V. Stochastic Models of Systems. – Kluwer,
Netherland, 1999. – 185 p.
12. Чабанюк Я. М. Асимптотична нормальність стрибкової процедури стоха-
стичної апроксимації у марковському середовищі // Вісник Чернів. ун-ту,
Математика. – № 349. – Чернівці. – 2007. – С.128-133.
13. Koroliuk V., Limnios N. Stochastic Systems in Merging Phase Space // World
Scientific Publishing. – 2005. – 330 p.
In this work the asymptotic views for the generator jumping evolution
in the Markov media and limits generator of evolution with the singular
perturbation problem for asymptotic representation are obtained.
Key words: jumping evolution, Markov process, solution of singular
perturbation problem.
Отримано: 05.06.2008
УДК 517.977.56
Т. В. Ширинов
Азербайджанский технический университет, г. Баку
РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
В работе рассмотрена задача оптимизации процессов, опи-
сываемых системой Гурса-Дарбу с интегральными граничны-
ми условиями. Построена разностная схема для рассматривае-
мой задачи. Доказано сходимость по функционалу построен-
ной разностной задачи оптимизации к исходной задаче.
Ключевые слова: задача оптимизации, система Гурса-
Дарбу, нелокальные условия, функционал.
Введение. Задачи оптимизации колебательных процессов имеют
многочисленные приложения. Например, при исследовании процес-
сов сорбции, сушки, трения, изнашивания, некоторых химических
процессов, а также в задачах математической биологии и демографии
часто встречаются краевые задачи типа Гурса-Дарбу [1, c.165-175; 2,
c.119-125; 3, c.88-103; 4, c.72-81; 5].
© Т. В. Ширинов, 2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18583 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T17:23:08Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чабанюк, Я.М. Подун, І.М. 2011-04-04T20:21:28Z 2011-04-04T20:21:28Z 2008 Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями / Я.М. Чабанюк, І.М. Подун // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 203-208. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18583 519.21+62 В роботі одержано асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції в марковському середовищі, а також побудовано граничний генератор еволюції як розв’язок проблеми сингулярного збурення для отриманих асимптотичних представлень. In this work the asymptotic views for the generator jumping evolution in the Markov media and limits generator of evolution with the singular perturbation problem for asymptotic representation are obtained. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями Чабанюк, Я.М. Подун, І.М. |
| title | Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями |
| title_full | Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями |
| title_fullStr | Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями |
| title_full_unstemmed | Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями |
| title_short | Асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями |
| title_sort | асимптотичні представлення генератора стрибкової еволюції з швидкими марковськими переключеннями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18583 |
| work_keys_str_mv | AT čabanûkâm asimptotičnípredstavlennâgeneratorastribkovoíevolûcíízšvidkimimarkovsʹkimipereklûčennâmi AT poduním asimptotičnípredstavlennâgeneratorastribkovoíevolûcíízšvidkimimarkovsʹkimipereklûčennâmi |