Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено інтегральне перетворення, породжене на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором Ейлера-Бесселя-Фур’є. By the method of delta-shaped sequence (Dirichlet kernel) it is introduced the inte...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18601 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 84-96. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859517534980538368 |
|---|---|
| author | Ленюк, М.П. |
| author_facet | Ленюк, М.П. |
| citation_txt | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 84-96. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено інтегральне перетворення, породжене на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором Ейлера-Бесселя-Фур’є.
By the method of delta-shaped sequence (Dirichlet kernel) it is introduced the integral transform, generated on the polar axis with two contact points by hybrid differential Eiler-Bessel- Fourier operator.
|
| first_indexed | 2025-11-25T20:46:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
84
УДК 517.91:532.2
М. П. Ленюк, д-р фіз.-мат. наук
Національний технічний університет „ХПІ”, м. Харків
ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ
ЕЙЛЕРА-БЕССЕЛЯ-ФУР’Є НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ r ≥ R0 >0
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) за-
проваджено інтегральне перетворення, породжене на полярній
осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження гібридним диферен-
ціальним оператором Ейлера-Бесселя-Фур’є.
Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, гі-
бридне інтегральне перетворення, дельта-подібна послідов-
ність, фундаментальна система розв’язків, спектральна век-
тор-функція, інтегральне зображення, основна тотожність.
Вступ. Вивчення фізико-технічних характеристик композитних
матеріалів, які знаходяться в різних умовах експлуатації, математично
приводить до задачі інтегрування сепаратної системи диференціальних
рівнянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі. Одним із
ефективних методів побудови інтегрального зображення розв’язку та-
ких задач є метод гібридних інтегральних перетворень, започаткованих
в роботі Я. С. Уфлянда [1]. Основні положення теорії гібридних інтег-
ральних перетворень закладено в роботі [2]. Ця стаття присвячена за-
провадженню одного з типів гібридних інтегральних перетворень (ГІП).
Основна частина. Запровадимо методом дельта-подібної послі-
довності інтегральне перетворення, породжене на множині
( ) ( ) ( ){ }2 0 1 1 2 2 0: , , , ; 0I r r R R R R R R+ = ∈ ∪ ∪ ∞ > гібридним диферен-
ціальним оператором (ГДО)
1
2 *
,( ) 0 1 1( ) ( )r R R r a Bν α αθ θ= − − +M
2
2
2 2
1 2 2 , 2 3 2( ) ( ) ( ) ,dr R R r a B r R a
drν αθ θ θ+ − − + − (1)
де ( )xθ — одинична функція Гевісайда [3], ( ) ( )1 2,α α α= .
У рівності (1) 0jα > ,
1
*Bα — диференціальний оператор Ейлера
[4], а
2,Bν α — диференціальний оператор Бесселя [5]:
1
2
* 2 2
1 12 (2 1)d dB r r
drdrα α α= + + + ,
2
2 22
2 2
, 2 2
2 1d dB
r drdr rν α
α ν α+ −
= + − ,
2 1 0jα + > , 2v α≥ .
© М. П. Ленюк, 2009
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
85
Означення. Областю визначення ГДО ,( )ν αM назвемо множину G
вектор-функцій ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3; ;g r g r g r g r= з такими властивостя-
ми:
1) вектор-функція ( ) { }1 2
*
1 , 2 3[ ( )]; [ ( )]; ( )f r B g r B g r g rα ν α ′′= непе-
рервна на множині 2I+ ;
2) функції ( )jg r задовольняють крайові умови
0
0 0
11 11 1( ) 0
r R
d g r
dr
α β
=
+ =
, 3lim[ ( )] 0;
r
r g rγ
→∞
= (2)
3) функції ( )jg r задовольняють умови спряження
1 1 2 2 1( ) ( ) 0
k
k k k k
j j k j j k
r R
d dg r g r
dr dr
α β α β +
=
+ − + =
, , 1,2j k = . (3)
Вважаємо виконаними умови на коефіцієнти: 0
11 0α ≤ , 0
11 0β ≥ ,
0 0
11 11 0α β+ ≠ , 0k
jmα ≥ , 0k
jmβ ≥ , 2 1 1 2
k k k k
jk j j j jc α β α β= − , 1 2 0k kc c⋅ > .
Для елементів ( )u r G∈ та ( )v r G∈ випливає із умов спряжен-
ня (3) базова тотожність:
2 1 1
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
j j
j j j j j
j j j j
jr R r R
dv du c dv du
u r v r u r v r
dr dr c dr dr
+ +
+ +
= =
− = −
, j=1,2.
(4)
Визначимо вагову функцію ( ) ( ) ( )12 1
1 0 1r r r R R rασ σ θ θ−= − − +
( ) ( ) ( )22 1
2 1 2 3 2 ,r r R R r r Rασ θ θ σ θ−+ − − + − де
2 1
2
2( )
11 12 1
1 2 1 2
21 22 22
1Rc c
c c aR
α α
ασ
−
+= ,
2
2
12 2
2 2 1
22 2
c a
c R ασ
−
+
= , 3 2
3
1
a
σ = , та скалярний добуток
1
1
0 0
2 1
1 1 1( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
R
R R
u r v r u r v r r dr u r v r r drασ σ
∞
−= ≡ +∫ ∫
2
2
1 2
2 1
2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )
R
R R
u r v r r dr u r v r drασ σ
∞
++ +∫ ∫ . (5)
Математичне та комп’ютерне моделювання
86
На підставі крайових умов (2) та базової тотожності (4) встанов-
люємо рівність
[ ]( ) [ ]( ),( ) ,( ), ,u v u vν α ν α=M M . (6)
Рівність (6) показує, що ГДО ,( )ν αM самоспряжений. Отже, його
спектр дійсний [6]. Оскільки ГДО ,( )ν αM має одну особливу точку, то
його спектр неперервний [2]. Можна вважати, що спектральний пара-
метр ( )0,β ∈ ∞ . Йому відповідає дійсна спектральна вектор-функція
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2, , ;1, ,v vV r r R R r V r r R R rα αβ θ θ β θ θ= − − + + − − ×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, ; 2 , ; 3, , .v vV r r R V rα αβ θ β× − (7)
При цьому функції ( ) ( ), ; ,v jV rα β повинні бути розв’язком відпо-
відно диференціальних рівнянь
( ) ( ) ( )1
* 2
1 , ;1 , 0vB b V rα α β+ = , ( )0 1,r R R∈ ,
( ) ( ) ( )2
2
, 2 , ; 2 , 0vB b V rν α α β+ = , ( )1 2,r R R∈ , (8)
( ) ( )
2
2
3 , ; 32 , 0v
d b V r
dr α β
+ =
, ( )2 ,r R∈ ∞
з крайовими умовами (2) та умовами спряження (3),
( ) ( )1 22 2 ,j j jb b kβ β≡ = + 2 0jk ≥ , j=1,3 .
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів-
няння Ейлера ( )1
* 2
1 0B b vα + = утворюють функції 1
1 1cos( ln )v r b rα−=
та 1
2 1sin( ln )v r b rα−= [4]; фундаментальну систему розв’язків для
диференціального рівняння Бесселя ( )2
2
, 2 0B b vν α + = утворюють фу-
нкції
21 , 2( )v J b rν α= та
22 , 2( )v N b rν α= [5]; фундаментальну систему
розв’язків для диференціального рівняння Фур’є
2
2
32 0d b v
dr
+ =
утворюють функції 1 3cosv b r= та 2 3cosv b r= [4].
Якщо покласти
( ) 1 1
,( );1 1 1 1 1, cos( ln ) sin( ln )vV r A r b r B r b rα α
α β − −= + ,
( )
2 2,( );2 2 , 2 2 , 2, ( ) ( )vV r A J b r B N b rα ν α ν αβ = + , (9)
( ),( );3 3 3 3 3, cos sinvV r A b r B b rα β = +
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
87
то крайова умова в точці r=R0 та умови спряження (3) для визначення
величин jA , jB дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:
1 1
01 02
;11 1 0 1 ;11 1 0 1( , ) ( , ) 0Y b R A Y b R Bα α+ = ,
1 1 2 2
11 12 11 12
; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 , ; 2 2 1 2 , ; 2 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( ) 0j j j jY b R A Y b R B u b R A u b R Bα α ν α ν α+ − − = ,
2 2
21 22 21 22
, ; 1 2 2 2 , ; 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0j j j ju b R A u b R v b R A v b R Bν α ν α+ − − = , j=1,2.
(10)
У системі (10) беруть участь функції:
1
1 1
; 1( , ) [( ) cos( ln )m m m
jk s m jk m jk s mY b R R b Rα β α α−= − –
11 sin( ln )]m
s m jk s m mb R b R R αα −−− ,
1
2
; ( , )m
jk s mY b Rα = 1
1[( ) sin( ln )m m
jk m jk s mR b Rβ α α−− +
11 cos( ln )]m
s m jk s m mb R b R R αα −−+ ,
2
2 2
1
, ;
22
, 1, 1
( )
( ) ( ),
m
jk s m
m m m
jk jk s m jk s m s m
m
u b R
J b R b R J b R
R
ν α
ν α ν α
ν α
α β α + +
=
−
= + −
2
2 2
2
, ;
22
, 1, 1
( )
( ) ( ),
m
jk s m
m m m
jk jk s m jk s m s m
m
u b R
N b R b R N b R
R
ν α
ν α ν α
ν α
α β α + +
=
−
= + −
1( ) sin cosm m m
jk s m jk s s m jk s mv b R b b R b Rα β= − + ,
2 ( ) cos sinm m m
jk s m jk s s m jk s mv b R b b R b Rα β= + .
Візьмемо
1
02
1 0 ;11 1 0( , )A A Y b Rα= ,
1
01
1 0 ;11 1 0( , )B A Y b Rα= − , де 0A під-
лягає визначенню. Перше рівняння системи (10) стає тотожністю, а
інші утворюють дві алгебраїчні системи по два рівняння в кожній.
У результаті послідовного розв’язання утворених систем й підс-
тановки одержаних jA , jB у рівності (9) маємо функції
( ),( );1 ,vV rα β =
2 2
21 22 3
2 2 1
2 1
2 c c b
b Rα απ +
1
1
02
;11 1 0 1( , ) cos( ln )Y b R r b rα
α
−
–
1
1
01
;11 1 0 1( , ) sin( ln )Y b R r b rα
α
−
,
( ),( );2 ,vV rα β =
1 2
1
22 3 ;11 , ;22 2 1 2( ) ( , )c b b R b rα ν αδ β Ψ – (11)
1 2
1
;21 , ;12 2 1 2( ) ( , )b R b rα ν αδ β Ψ ,
( ) ( ) ( ),( );3 ,( );2 3 ,( );1 3, cos sinv v vV r b r b rα α αβ ω β ω β= −
Математичне та комп’ютерне моделювання
88
У рівностях (11) прийняті позначення:
1 1 1 1 1
01 12 02 11
; ;11 1 0 ; 1 1 1 ;11 1 0 ; 1 1 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )j j jY b R Y b R Y b R Y b Rα α α α αδ β = − ,
2 2 2 2 2
11 22 12 21
, ; , ; 2 2 1 , ; 1 2 2 , ; 2 2 1 , ; 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )jk j k j ku b R u b R u b R u b Rν α ν α ν α ν α ν αδ β = − ,
j,k=1,2,
1 2 1 2,( ); ;1 , ;2 ;2 , ;1( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j jaν α α ν α α ν αβ δ β δ β δ β δ β= − ,
2 2
,( ); ,( );1 3 2 ,( );2 3 222 12( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j
j a v b R a v b Rν α ν α ν αω β β β= − , (α)=(α1, α2).
Наявність спектральної функції Vν,(α)(r,β), вагової функції σ(r) та
спектральної густини
Ων, (α)(β)=β[b3(β)]–1([ων, (α); 1(β)]2 + [ων, (α); 2(β)]2)–1
дозволяє визначити пряме Hν,(α) та обернене 1
,( )Hν α
− гібридне інтегра-
льне перетворення (ГІП), породжене на множині 2I+ ГДО Mν,(α):
0
,( ) ,( )[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( )
R
H g r g r V r r dr gν α ν α β σ β
∞
= ≡∫ % , (12)
1
,( ) ,( ) ,( )
0
2[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( )H g g V r d g rν α ν α ν αβ β β β β
π
∞
− = Ω ≡∫% % . (13)
Математичним обгрунтуванням формул (12), (13) є твердження.
Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо функція f(r)=[θ(r–
–R0)θ(R1–r) 1 1/ 2rα − +θ(r–R1)θ(R2–r) 1 1/ 2rα + +θ(r–R2)⋅1]g(r) неперервна,
абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на множині (R0,∞), то
для будь-якого r∈ 2I+ справджується інтегральне зображення
g(r)=
0
,( ) ,( ) ,( )
0
2 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
R
V r g V d dν α ν α ν αβ β ρ ρ β σ ρ ρ β
π
∞ ∞
Ω∫ ∫ . (14)
Доведення. В основі доведення знаходиться подвійний невлас-
ний інтеграл [7]
I=
0
,( ) ,( ) ,( )
0
2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )
R
V r d V r r drν α ν α ν αλ λ λ λ β σ β
π
∞ ∞
Ψ Ω = Ψ∫ ∫ , (15)
якщо β=λ∈(0,∞). Якщо β =λ∈(0,∞), то I=0. Функція Ψ(λ) забезпечує
абсолютну й рівномірну збіжність інтегралу по λ.
Припустимо, що вектор-функцію g(r) можна зобразити в такому
вигляді
g(r)= ,( ) ,( )
0
2 ( ) ( , ) ( )V r dν α ν αβ β β β
π
∞
Ψ Ω∫ . (16)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
89
Помножимо рівність (16) на вираз Vν,(α)(r,λ)σ(r)dr й проінтегру-
ємо по r від r=R0 до r=∞. В силу (15) одержимо, що
0
,( )( ) ( , ) ( ) ( )
R
g r V r r drν α λ σ λ
∞
= Ψ∫ , λ=β ∈ (0, ∞).
Якщо тепер функцію
0
,( )( ) ( ) ( , ) ( )
R
g V dν αβ ρ ρ β σ ρ ρ
∞
Ψ = ∫
підставити в рівність (16), то приходимо до інтегрального зображен-
ня (14). Теорему доведено.
В основі застосування запровадженого формулами (12), (13) ГІП
типу Ейлера-Бесселя-Фур’є до розв’язання відповідних сингулярних
задач математичної фізики лежить основна тотожність інтегрального
перетворення ГДО ,( )ν αM , визначеного рівністю (1).
Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція
f(r)={
1
*
1[ ( )]B g rα ;
2, 2 3[ ( )]; ( )B g r g rν α ′′ } неперервна на множині 2I+ , а
функції gj(r) задовольняють крайові умови
0
0 0
11 11 1 0( ) ,
r R
d g r g
dr
α β
=
+ =
,( );33
,( );3 3lim ( , ) ( ) 0
r
dVdg
V r g r
dr dr
ν α
ν α β
→∞
− =
(17)
та умови спряження
1 1 2 2 1( ) ( )
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
d dg r g r
dr dr
α β α β ω+
=
+ − + =
, j, k=1, 2, (18)
то має місце основна тотожність ГІП ГДО ,( )ν αM :
2
,( ) ,( )[ [ ( )]] ( )H g r gν α ν α β β= − −%M
3
2
1
( )j j
j
k g β
=
∑ % +
+ 12 12 0 1
1 1 11 ,( );1 0 00 ( ) ( , )a R V R gα
ν ασ α β+ −− +
+
2
,( );12 2 ,( );22 1
1
[ ( ) ( ) ],k k
k k k
j
h Z Zν α ν αβ ω β ω
=
−∑
(19)
де
1
1
0
2 1
1 1 ,( );1 1( ) ( ) ( , )
R
R
g g r V r r drα
ν αβ β σ −= ∫% ,
Математичне та комп’ютерне моделювання
90
2
2
1
2 1
2 2 ,( );2 2( ) ( ) ( , )
R
R
g g r V r r drα
ν αβ β σ += ∫% ,
2
3 3 ,( );3 3( ) ( ) ( , )
R
g g r V r drν αβ β σ
∞
= ∫% , h1= 12 12 1
1 1 111a R cασ + − , h2= 22 12 1
2 2 122Ra cασ + − ,
,( ); 2 2 2 ,( ); 1( ) ( , )
k
k k k
i i i k
r R
dZ V r
drν α ν αβ α β β+
=
= +
, k=1, 2.
Доведення основної тотожності (19) проводиться безпосередньо
методом інтегрування частинами під знаком інтегралів двічі з насту-
пним використанням властивостей функцій Vν,(α); j(r, β), структури σ1,
σ2, σ3 та базової тотожності
,( );
,( );
2 1 ,( ); 1
,( ); 1 1
1
( , ) ( )
( , ) ( )
j
j
j j
j j
r R
j j j
j j
j r R
dg dV
V r g r
dr dr
c dg dV
V r g r
c dr dr
ν α
ν α
ν α
ν α
β
β
=
+ +
+ +
=
− =
= − +
+ 2 1,( );12 ,( );22
1
1 [ ( ) ( ) ]j j
j j
j
Z Z
c ν α ν αβ ω β ω− . (20)
Це є узагальнення базової тотожності (4) на випадок, коли умови
спряження неоднорідні.
Логічну схему застосування запровадженого формулами (12),
(13) ГІП покажемо на типових задачах математичної фізики неодно-
рідних середовищ.
Задача статики. Побудувати обмежений на множині D={(r, z):
r∈ 2I+ , z∈(–∞, ∞)} розв’язок системи рівнянь еліптичного типу [8]
1
2
2 * 21
1 1 1 1 12 [ ] ( , )
u a B u u f r z
z α χ
∂
+ − = −
∂
, r ∈ (R0, R1),
2
2
2 22
2 , 2 2 2 22 [ ] ( , )
u a B u u f r z
z ν α χ
∂
+ − = −
∂
, r ∈ (R1, R2), (21)
2 2
2 23 3
3 3 3 32 2 ( , )
u ua u f r z
z r
χ
∂ ∂
+ − = −
∂ ∂
, r ∈ (R2, ∞)
з крайовими умовами
0
0 0
11 11 1 0( ) ( )
r R
u r g z
r
α β
=
∂ + = ∂
, 3 0
r
u
r =∞
∂
=
∂
(22)
та умовами спряження
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
91
1 1 2 2 1( , ) ( )
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
u r z u r
r r
α β α β ω+
=
∂ ∂ + − + = ∂ ∂
, j,k=1,2. (23)
Розв’язання. Запишемо систему (21) в матричній формі
2
2 2
1 1 12 1
12
2 2
22 2 22 2
32 2
2 2
3 3 32 2
*( ) ( , )
( , )
( , )=( ) ( , )
( , )
( ) ( , )
a B u r z
z f r z
f r za B u r z
z f r z
a u r z
z r
α
α
χ
χ
χ
∂
+ −
∂ ∂ − + − ∂ ∂ ∂ + −
∂ ∂
. (24)
Інтегральний оператор ,( )Hν α згідно правила (12) зобразимо у
вигляді операторної матриці-рядка:
1
1
0
2 1
,( ) ,( );1 1[ ] = ( , )
R
R
H V r r drα
ν α ν α β σ −
∫… …
2
2
1 2
2 1
,( );2 2 ,( );3 3( , ) ( , ) .
R
R R
V r r dr V r drα
ν α ν αβ σ β σ
∞
+
∫ ∫… … (25)
Застосуємо операторну матрицю-рядок (25) за правилом мно-
ження матриць до системи (24). Внаслідок основної тотожності (19)
маємо звичайне диференціальне рівняння
23
2 2 2
2
1
( ) ( , ) =j j j
j
d k u z
dz
β χ β
=
− + +
∑ %
12 12 0 1
1 1 11 ,( );1 0 00( , ) ( ) ( , ) ( )f z a R V R g zα
ν αβ σ α β+ −= + −% +
+
2
,( );12 2 ,( );22 1
1
[ ( ) ( ) ( ) ( )]k k
k k k
k
h Z z Z zν α ν αβ ω β ω
=
−∑ ≡ ( , )F zβ− % . (26)
Припустимо, не зменшуючи загальності, що 2 2 2
1 2 3max{ ; ; }χ χ χ =
2
1χ= . Покладемо всюди 2
1 0,k = 2 2 2
2 1 2 0,k χ χ= − ≥ 2 2 2
3 1 3 0.k χ χ= − ≥
Якщо покласти
3
1
( , ) ( , ),j
j
u z u zβ β
=
=∑ % % 2 2 2
1 ( ),qβ χ β+ = ( , )f zβ =%
3
1
( , ),j
j
f zβ
=
= ∑ % то рівняння (26) набуває вигляду
2
2
2 ( , ) = ( , )d q u z F z
dz
β β
− −
%% . (27)
Математичне та комп’ютерне моделювання
92
Безпосередньо перевіряється, що обмеженим на (–∞,+∞)
розв’язком диференціального рівняння (27) є функція
| |
( , ) = ( , )
2
q zeu z F d
q
ζ
β β ζ ζ
∞ − −
−∞
∫ %% , q= ( )
1
2 2 2
1β χ+ (28)
при умові, що функція ( , )F zβ% при |z|→∞ має скінченне граничне
значення.
Інтегральний оператор 1
,( )Hν α
− згідно правила (13) як обернений
до (25) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:
,( );1 ,( )
0
1
,( ) ,( );2 ,( )
0
,( );3 ,( )
0
2 ( , ) ( )
2[ ] = ( , ) ( )
2 ( , ) ( )
V r d
H V r d
V r d
ν α ν α
ν α ν α ν α
ν α ν α
β β β
π
β β β
π
β β β
π
∞
∞
−
∞
Ω
Ω
Ω
∫
∫
∫
…
… …
…
. (29)
Застосуємо операторну матрицю-стовпець (29) до матриці-
елемента [ ( , )]u zβ% , де функція ( , )u zβ% визначена формулою (28), за
правилом множення матриць. Після низки елементарних перетворень
одержуємо інтегральне зображення єдиного аналітичного розв’язку
еліптичної крайової задачі (21)—(23):
1
1
0
,( ); ,( )
0
2 1
,( ); 1 1 1
2( , ) = ( , ) ( , ) ( ) =
( , , , ) ( , )
j j
R
j
R
u r z u z V r d
V r z f d d
ν α ν α
α
ν α
β β β β
π
ρ ζ ρ ζ σ ρ ζ ρ
∞
∞
−
−∞
Ω
= +
∫
∫ ∫
%
2
2
1
2 1
,( ); 2 2 2( , , , ) ( , )
R
j
R
V r z f d dα
ν α ρ ζ ρ ζ σ ρ ζ ρ
∞
+
−∞
+ +∫ ∫
2
,( ); 3 3 3( , , , ) ( , )j
R
V r z f d dν α ρ ζ ρ ζ σ ζ ρ
∞ ∞
−∞
+ +∫ ∫
2
, ,
2 1,( );12 ,( );22
1
( , , ) ( ) ( , , ) ( )j k j k
k k k
k
h r z d r z dν α ν αζ ω ζ ζ ζ ω ζ ζ
∞ ∞
= −∞ −∞
+ − +
∑ ∫ ∫R R
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
93
,( ); 0( , , ) ( )jW r z g dν α ζ ζ ζ
∞
−∞
+ ∫ ,j=1,3 . (30)
У рівності (30) беруть участь головні розв’язки задачі (21)—(23):
1) породжені неоднорідністю системи (21) функції впливу
| |
,( ); ,( ); ,( ); ,( )
0
2( , , , ) ( , ) ( , ) ( ) ,
2
q z
jk j k
er z V r V d
q
ζ
ν α ν α ν α ν αρ ζ β ρ β β β
π
∞ − −
= Ω∫H
j,k=1,3; (31)
2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
| |
,
,( ); 2 ,( ); ,( ),( ); 2
0
2( , , ) ( ) ( , ) ( ) ,
2
q z
j k k
i ji
er z Z V r d
q
ζ
ν α ν α ν αν α ζ β β β β
π
∞ − −
= Ω∫R
, 1,2, 1,3;i k j= = (32)
3) породжені крайовою умовою в точці r=R0 функції Гріна
| |
,( ); ,( );1 0 ,( ); ,( )
0
2( , , ) ( , ) ( , ) ( )
2
q z
j j
eW r z V R V r d
q
ζ
ν α ν α ν α ν αζ β β β β
π
∞ − −
= Ω ×∫
12 12 0 1
1 1 11 0( ) .a R ασ α +−× − (33)
Зауваження 1. Якщо 2 2 2 2
1 2 3 2max{ ; ; } =χ χ χ χ , то 2 2 2
1 2 1 0k χ χ= − ≥ ,
2
2 0k = , 2 2 2
3 2 3 0k χ χ= − ≥ . У цьому випадку q= 2 2 1/ 2
2( )β χ+ , b1=
2 2 2 1/ 2 1
2 1 1( ) aβ χ χ −+ − , b2= 1
2a β− , b3= 1 2 2 2 1/ 2
3 2 3( )a β χ χ− + − .
Зауваження 2. Якщо 2 2 2 2
1 2 3 3max{ ; ; } =χ χ χ χ , то 2 2 2
1 3 1k χ χ= − ,
2 2 2
2 3 2k χ χ= − , 2
3 0k = . У цьому випадку b1= 1 2 2 2 1/ 2
1 3 1( )a β χ χ− + − , b2=
1 2 2 2 1/2
2 3 2( )a β χ χ− + − , b3= 1
3a β− і q= 2 2 1/2
3( )β χ+ .
Задача квазістатики. Побудувати обмежений на множині
D={(t, r): t∈(0, ∞), r∈ 2I + } розв’язок системи рівнянь параболічного типу
1
2 2 *1
1 1 1 1 1[ ] ( , )
u
u a B u f t r
t αχ
∂
+ − =
∂
, r ∈ (R0, R1),
2
2 22
2 2 2 , 2 2[ ] ( , )
u
u a B u f t r
t ν αχ
∂
+ − =
∂
, r ∈ (R1, R2), (34)
2
2 23 3
3 3 3 32 ( , )
u uu a f t r
t r
χ
∂ ∂
+ − =
∂ ∂
, r ∈ (R2, ∞)
з початковими умовами
uj(t, r)|t=0=gj(r), r ∈ (Rj — 1, Rj), j=1,3 , R3=∞, (35)
крайовими умовами
Математичне та комп’ютерне моделювання
94
0
0 0
11 11 1 0( ) ( )
r R
u r g t
r
α β
=
∂ + = ∂
, 3 0
r
u
r =∞
∂
=
∂
(36)
та умовами спряження
1 1 2 2 1( , ) ( , ) ( )
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
u t r u t r t
r r
α β α β ω+
=
∂ ∂ + − + = ∂ ∂
, j,k=1,2. (37)
Розв’язання. Запишемо систему (34) і початкові умови (35) в
матричній формі
2 2
1 1 11
1
2 2
2 2 2 22
32
2 2
3 3 32
* ( , )
( , )
( , ) ( , )=
( , )
( , )
a B u t r
t
f t r
a B u t r f t rt
f t r
a u t r
t r
α
α
χ
χ
χ
∂ + − ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂ + − ∂ ∂
,
1 1
2 2
3 30
( , ) ( )
( , ) ( )=
( , ) ( )
t
u t r g r
u t r g r
u t r g r
=
. (38)
У припущенні, що 2 2 2 2
1 2 3 1max{ ; ; } =χ χ χ χ , застосуємо до задачі
(38) за правилом множення матриць операторну матрицю-рядок (25).
Внаслідок основної тотожності (19) одержуємо задачу Коші
2 ( , ) = ( , )d q u t F t
dt
β β +
%% , 0( , ) = ( ),tu t gβ β=
% % (39)
де
q2=β 2 + 2
1χ ,
3
1
j
j
u u
=
= ∑% % ,
3
1
j
j
g g
=
= ∑% % , 1
3
2 12
1 1 0
1
( , ) ( , )j
j
F t f t a R αβ β σ +
=
= +∑ %% ×
0 1
11 ,( );1 0 0( ) ( , ) ( )V R g tν αα β−× − +
2
,( );12 2 ,( );22 1
1
[ ( ) ( ) ( ) ( )]k k
k k k
k
h Z t Z tν α ν αβ ω β ω
=
+ −∑ .
Безпосередньо перевіряється, що розв’язком задачі Коші (39) є
функція
2 ( )
0
( , ) = ( ( , ) ( ) ( ))
t
q tu t e F g dτβ τ β δ τ β τ− −
++∫ %% % , (40)
де ( )δ τ+ — дельта-функція Дірака, зосереджена в точці 0τ = + [3].
Введемо до розгляду головні розв’язки параболічної крайової
задачі (34)—(37):
1) породжені неоднорідністю системи (34) функції впливу
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
95
2
,( ); ,( ); ,( ); ,( )
0
2( , , ) ( , ) ( , ) ( ) ,q t
jk j kt r e V r V dν α ν α ν α ν αρ β ρ β β β
π
∞
−= Ω∫H
j,k=1,2,3; (41)
2) породжені температурним режимом на межі r=R0 функції Гріна
2
22 10 1 2
,( ); 11 1 1 ,( );0
0
2( , , ) ( ) ( , )q t
j jW t r a R e V rα
ν α ν αρ α σ β
π
∞
+− −= ×∫
,( );1 0 ,( )( , ) ( ) , 1,3;V R d jν α ν αβ β β× Ω = (42)
3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
2,
,( ); 2 ,( ); ,( ),( ); 2
0
2( , , ) ( ) ( , ) ( )j k q t k
i ji t r e Z V r dν α ν α ν αν α ρ β β β β
π
∞
−= Ω∫R , i,k=1,2,j=1,3.
(43)
У результаті застосування до матриці-елемента [ ( , )]u t β% , де фу-
нкція ( , )u t β% визначена формулою (40), за правилом множення мат-
риць операторної матриці-стовпця (29), отримуємо інтегральне зо-
браження єдиного аналітичного розв’язку задачі (34)—(37):
1
1
0
2 1
,( ); 1 1 1 1
0
( , ) = ( , , )[ ( , ) ( ) ( )]
Rt
j j
R
u t r t r f g d dα
ν α τ ρ τ ρ δ τ ρ σ ρ ρ τ−
+− +∫ ∫ H +
+
2
2
1
2 1
,( ); 2 2 2 2
0
( , , )[ ( , ) ( ) ( )]
Rt
j
R
t r f g d dα
ν α τ ρ τ ρ δ τ ρ σ ρ ρ τ+
+− +∫ ∫ H +
2
,( ); 3 3 3 3
0
( , , )[ ( , ) ( ) ( )]
t
j
R
t r f g d dν α τ ρ τ ρ δ τ ρ σ ρ τ
∞
++ − +∫ ∫ H +
+ ,( ); 0
0
( , ) ( )
t
jW t r g dν α τ τ τ−∫ +
2
,
2,( );12
1 0
( , ) ( )
t
j k
k k
k
h t r dν α τ ω τ τ
=
+ − −
∑ ∫R
,
1,( );22 ( , ) ( )j k
kt r dν α τ ω τ τ
∞
−∞
− −
∫R , j=1,3. (44)
За такою ж логічною схемою будується інтегральне зображення
точного аналітичного розв’язку задачі динаміки [2].
Список використаних джерел:
1. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их
приложениях к задачам математической физики / Я. С. Уфлянд // Вопро-
сы математической физики. — Л., 1976. — С. 93—106.
Математичне та комп’ютерне моделювання
96
2. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежан-
дра). Частина 1. / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ.
думка, 2004. — 368 с.
3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс /
Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
4. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз, 1959. — 468 с.
5. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного
волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К. 1983. — 62 с. — (Пре-
принт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
6. Березанський Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряжен-
ных операторов / Ю. М. Березанский. — К. : Наук. думка, 1965. — 798 с.
7. Ленюк М. Запровадження гібридного інтегрального перетворення типу
Бесселя-Ейлера-Лежандра на полярній вісі / М. Ленюк, О. Ленюк // Ма-
тематичний вісник НТШ. Том 5. — Чернівці : Рута, 2008. — С. 102—116.
8. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с.
By the method of delta-shaped sequence (Dirichlet kernel) it is intro-
duced the integral transform, generated on the polar axis with two contact
points by hybrid differential Eiler-Bessel- Fourier operator.
Keywords: hybrid differential operator, hybrid integral transform,
delta-shaped sequence, fundamental system of solutions, spectral vector-
function, integral image, basic identity.
Отримано: 10.08.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18601 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:46:13Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ленюк, М.П. 2011-04-05T18:30:52Z 2011-04-05T18:30:52Z 2009 Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 84-96. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18601 517.91:532.2 Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено інтегральне перетворення, породжене на полярній осі r ≥ R0 > 0 з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором Ейлера-Бесселя-Фур’є. By the method of delta-shaped sequence (Dirichlet kernel) it is introduced the integral transform, generated on the polar axis with two contact points by hybrid differential Eiler-Bessel- Fourier operator. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 Article published earlier |
| spellingShingle | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 Ленюк, М.П. |
| title | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 |
| title_full | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 |
| title_fullStr | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 |
| title_full_unstemmed | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 |
| title_short | Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера-Бесселя-Фур’є на полярній осі r ≥ R0 >0 |
| title_sort | гібридне інтегральне перетворення типу ейлера-бесселя-фур’є на полярній осі r ≥ r0 >0 |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18601 |
| work_keys_str_mv | AT lenûkmp gíbridneíntegralʹneperetvorennâtipueilerabesselâfurênapolârníiosírr00 |