Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами
Розглядається питання застосування колокаційно-ітеративного методу до розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом та параметрами. Побудовано алгоритм методу, наведена обчислювальна схема. The question of collocation-iterative method appliance concerning th...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18603 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами / В.Б Поселюжна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 111-120. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859632491679186944 |
|---|---|
| author | Поселюжна, В.Б. |
| author_facet | Поселюжна, В.Б. |
| citation_txt | Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами / В.Б Поселюжна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 111-120. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Розглядається питання застосування колокаційно-ітеративного методу до розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом та параметрами. Побудовано алгоритм методу, наведена обчислювальна схема.
The question of collocation-iterative method appliance concerning the boundary problem solution for the simple differential equations with impulsive influence and parameters is substantiated. The methods algorithm is built, the calculating scheme is suggested.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:12:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
111
УДК 517.927
В. Б. Поселюжна, канд. фіз.-мат. наук
Чортківський інститут підприємництва і бізнесу, Тернопільський на-
ціональний економічний університет, м. Чортків
ПРО ОДИН МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВОЇ
ЗАДАЧІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
З ІМПУЛЬСНИМ ВПЛИВОМ І ПАРАМЕТРАМИ
Розглядається питання застосування колокаційно-ітера-
тивного методу до розв’язування крайових задач для звичайних
диференціальних рівнянь з імпульсним впливом та параметрами.
Побудовано алгоритм методу, наведена обчислювальна схема.
Ключові слова: крайова задача, диференціальні рівняння,
інтегральне рівняння, колокаційно-ітеративний метод, імпу-
льсний вплив.
Вступ. Математичними моделями багатьох задач природознавс-
тва і техніки є різні класи диференціальних, інтегральних, інтегро-
диференціальних рівнянь та їх систем.
Точний розв’язок таких задач, як правило, не можна виразити
через елементарні функції, тому великого значення набувають на-
ближені методи відшукання розв’язку.
У роботі [1] запропоновано застосування методу колокації для
розв’язування крайової задачі для диференціальних рівнянь з імпуль-
сним впливом. Дослідженню і обґрунтуванню застосування проек-
ційного, ітераційного і проекційно-ітеативного методу стосовно да-
ного класу задач присвячені роботи [2—3].
У цій роботі запропоновано варіант проекційно-ітеративного ме-
тоду — колокаційно-ітеративний метод для розв’язування крайової за-
дачі для диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами.
Постановка проблеми. Знайдемо кусково-неперервну функцію
)(tх з розривами першого роду при it τ= , що задовольняє диферен-
ціальне рівняння виду
( ) ( 1)
1 0( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )m m
m mр t x t p t x t p t x t−
−+ + + =
( ) ( ) , , (0, ), 1, 1if t c t t t T i nλ τ= + ≠ ∈ = − (1)
та умови
lmpRхФ p +=∈= ,,)( αα , (2)
∑
−
=
−==−++
1
0
)()( 1,1,))0()0((
m
j
ii
j
iji
j
j niBxdxci ττ , (3)
© В. Б. Поселюжна, 2009
Математичне та комп’ютерне моделювання
112
де λ)(tc — скалярний добуток вектора ),...,( 21 lλλλλ = і кусково-
неперервної вектор-функції ))(),...(),(()( 21 tctctctc l= з можливими
розривами першого роду при 1,1, −== nit iτ ;
mktptf k ,0),(),( = — кусково-неперервні функції з можливими
розривами першого роду при 1,1, −== niit τ , причому 0)( >tpm ;
),0( Ti ∈τ — фіксовані моменти часу імпульсного впливу;
lmрхФхФхФхФ р +== )),(),...,(),(()( 21 — вектор, компоненти
якого — лінійні обмежені функціонали на класі кусково-неперервних
функцій з можливими розривами першого роду при 1,1, −== niit τ ,
як частковий випадок )()( kк tххФ = , де
1 2 1 ,... , ,p k ik p ta t t t b τ= ≠≤ < < < ≤ .
Виклад основного матеріалу. Задача (1)—(3) може бути пред-
ставлена у вигляді
)),)(()()()())(( tBxtdtftbtAx ++=+ λλ (4)
,,)( pRхФ ∈= αα (5)
( )
1
( ) ( )
0
( 0) ( 0) , 1, 1
m
j j
ij i ij i i
j
c x d x B i nτ τ
−
=
+ + − = = −∑ , (6)
де
)()(...)()()()())(( 01
)1()( txtatxtatxtаtAx mm
m m +++= −
− ,
)()(...)()())(( 0
)1(
1 txtgtxtgtBx m
m ++= −
− ,
)()()( tctbtd += ,
)()( tpta mm = , 1,0),()()( −=−= mitptatg iii .
Припустимо, що крайова задача
0)())(( =+ µtbtAv ,
0)( =vФ ,
( )
1
( ) ( )
0
( 0) ( 0) 0 , 1, 1
m
j j
ij i ij i i
j
c v d v i nτ τ
−
=
+ + − = = −∑ ,
має тільки тривіальний розв’язок 0,0)( == µtv .
Задачу (4)—(6) можна легко звести до рівносильної їй крайової за-
дачі для системи диференціальних рівнянь з параметрами без імпульсів.
Для цього розглянемо рівняння (4) на кожному інтервалі, тобто
( )
0
( ) ( ) ( )
m
k
k
k
a t x t b t λ
=
+ =∑
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
113
1
( )
1
0
( ) ( ) ( ) ( ), ( , ), 1,
m
k
k i i
k
f t d t g t x t t i nλ τ τ
−
−
=
= + + ∈ =∑ , (7)
і введемо запропоновану в джерелі [2] заміну незалежної змінної
)(1 at ii −+= − ξχτ ,
ab
ii
i −
−
= −1ττ
χ , ni ,1= , ).,( ba∈ξ (8)
Підставимо співвідношення (8) у (7) і введемо такі позначення:
.,1)),(()(
,,1)),(()(
,,1)),(()(
,1,0,,1)),(()(
,,1)),(()(
,,1)),(()(
1
1
1
1
1
1
,,0
niaff
niadd
niabb
mkniagg
niaaa
niaxy
ii
m
ii
ii
m
ii
ii
m
ii
iik
km
iik
iik
km
iik
iii
mk
=−+=
=−+=
=−+=
−==−+=
=−+=
=−+=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
ξχτχξ
ξχτχξ
ξχτχξ
ξχτχξ
ξχτχξ
ξχτξ
(9)
Отримаємо:
( )
0
( ) ( ) ( )
m
k
ik i i
k
a y bξ ξ ξ λ
=
+ =∑
1
( )
0
( ) ( ) ( ) ( ), 1, .
m
k
i i ik i
k
f d g y i nξ ξ λ ξ ξ
−
=
= + + =∑ (10)
Оскільки, враховуючи наведені вище позначення,
)0()(lim)( )()(
10
)(
1 +== +
+→+ i
kk
ia
k
i xyay τξ
ξ
, 1,0 −= ni , 1,0 −= mk ,
)0()(lim)( )()(
10
)( −== +
−→
i
kk
ib
k
i xyby τξ
ξ
, ni ,1= , 1,0 −= mk ,
то умови (5)—(6) наберуть вигляду
α=Ψ ),...,,( 21 пууу , pR∈α , lmp += , (11)
1
( ) ( )
1
0
( ( ) ( )) , 1,
m
j j
ij ij i ii
j
c y a d y b B i n
−
+
=
+ = =∑ . (12)
Таким чином, задача (4)—(6) з імпульсним впливом і парамет-
рами рівносильна крайовій задачі для системи лінійних диференціа-
льних рівнянь з параметрами (10)—(12).
Нехай
niyayА
m
k
k
iikii ,1),()(:))((
0
)( == ∑
=
ξξξ , (13)
niygyB
m
k
k
iikii ,1),()(:))((
1
0
)( == ∑
−
=
ξξξ . (14)
Математичне та комп’ютерне моделювання
114
Тоді співвідношення (10) можна представити у вигляді
niiiiiiii yBdfbyА ,1,))(()()()())(( =++=+ ξλξξλξξ , (15)
Задача (15), (11), (12) рівносильна, в свою чергу, системі інтег-
ральних рівнянь.
Справді, покладемо
)()())(( ξλξξ iiii ubyA =+ , ni ,1= , (16)
,),...,,( 21 α=Ψ пууу
1
( ) ( )
1
0
1,( ( ) ( )) ,
m
j j
ij ij i ii
j
i nc y a d y b B
−
+
=
=+ =∑ , (17)
і скористаємося таким твердженням.
Лема. Нехай однорідна крайова задача для системи звичайних
диференціальних рівнянь
0)())(( =+ λξξ iii byA ,
,0),...,,( 21 =Ψ пууу
1
( ) ( )
1
0
1,( ( ) ( )) 0,
m
j j
ij ij ii
j
i nc y a d y b
−
+
=
=+ =∑
має тільки тривіальний розв’язок. Тоді існує така матриця Гріна
),,( sGij ξ і така вектор-функція ))()....(),(()( 21 sГsГsГsГ jljjj = , що
єдиний розв’язок неоднорідної задачі (16), (17) визначається формулами
∑ ∫
=
+=
n
j
b
a
jijii dssusGhу
1
)(),()()( ξξξ , (18)
∑ ∫
=
+=
n
j
b
jj
a
dssusГ
1
)()(σλ , (19)
де )(ξih , ni ,1= , )...,( 21 lσσσσ = — функція і вектор, які задоволь-
няють рівняння
0)())(( =+ σξξ iii bhA , ni ,1= ,
і неоднорідні умови (11), (12).
Таким чином, підставивши співвідношення (18), (19) в (15) і
врахувавши заміну (16), отримаємо
∑ ∫
=
+=
n
j
b
a
jijii dssusKlu
1
)(),()()( ξξξ , ni ,1= , (20)
де
))(()()()( ξσξξξ iiiii hBdfl ++= , ni ,1= , (21)
[ ]),()()(),( sGBsГdsK ijijiij ξξξ += , nji ,1, = , (22)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
115
Отже, крайова задача з імпульсним впливом в фіксовані момен-
ти часу і параметрами рівносильна системі інтегральних рівнянь (20),
а, отже, задача (4)—(6) має розв’язки тоді і тільки тоді, коли система
рівнянь (20) має розв’язки.
Побудова алгоритму. Застосуємо до задачі (4)—(6) колокацій-
но-ітеративний метод.
Нехай на відрізку [ ]0,Т задано систему вузлів колокації { } 1
N
j j
t
=
,
причому ijt τ≠ , 1,1 −= ni , Nj ,1= .
Наближені розв’язки будемо визначати із допоміжної задачі
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k k k kAx t b t f t d t Bz tλ µ+ = + + (23)
причому it τ≠ 1,1 −= ni , Nj ,1=
,,)( p
k RхФ ∈= αα (24)
1
( ) ( )
0
( ( 0) ( 0)) , , 1, 1
m
j j
ij i ij i i ik k
j
c x d x B t i nτ τ τ
−
=
+ + − = = = −∑ (25)
де
)()()( 1 ttxtz kkk α+= − , kkk tt θλµ += − )()( 1 , (26)
∑
=
=
N
j
j
k
jk tat
1
)()( ηα , j
N
j
k
jk a νθ ∑
=
=
1
, (27)
Невідомі параметри k
ja визначаємо із умови
( )( ) ( ) ( ) 0, 1,k j j k jLz t c t f t j Nµ− − = = , (28)
де
( ) ( 1)
1 0
1, 1,
( )( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( ) , , (0, ),
m m
m m
i i n
Lx t р t x t p t x t p t x t
f t c t t t Tλ τ
−
−
= −
= + + + =
= + ≠ ∈
(29)
{ }N
jjt
1=
— вузли колокації.
Нульове наближення визначаємо із задачі
),()())(( 000 tutbtAx =+ λ it τ≠ , 1,1 −= ni (30)
,,)( 0
pRхФ ∈= αα (31)
1
( ) ( )
0 0
0
( ( 0) ( 0)) , , 1, 1
m
j j
ij i ij i i i
j
c x d x B t i nτ τ τ
−
=
+ + − = = = −∑ , (32)
в якій )(0 tu — задана функція.
Математичне та комп’ютерне моделювання
116
Координатна система функцій { }N
jj t
1
)(
=
η і система векторів
{ }N
jj 1=
ν задовольняють рівняння
)()()())(( tttbtА jjj ϕνη =+ (33)
та однорідні умови
,0)( =jФ η (34)
1
( ) ( )
0
( ( 0) ( 0)) 0, 1, 1
m
l l
il j i il j i
j
c d i nη τ η τ
−
=
+ + − = = −∑ . (35)
У рівнянні (33) { }N
jj t
1
)(
=
ϕ — задана система лінійно-незалежних
кусково-неперервних функцій з можливими розривами першого роду
при it τ≠ , 1,1 −= ni .
На основі співвідношень (26)—(28) звичайним способом для ви-
значення невідомих параметрів k
jа отримуємо систему лінійних ал-
гебраїчних рівнянь виду
k
i
N
j
k
jij ba =∑
=1
β , Ni ,1= , (36)
в якій
jiijij tctL νηβ )())(( −= , Nji ,1, =
),)(()()( 11 ikiki
k
i tLxtftcb −− −+= λ Ni ,1= .
Система (36) може бути представлена у вигляді
kk ba =Λ ,
де
{ }1 2, ,..., .k k k
k Na a a a= , { }1 2, ,..., .k k k
k Nb b b b= ,
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
N
N
N N NN
β β β
β β β
β β β
Λ =
.
Запропонований вище алгоритм (23)—(32) зводиться до колокацій-
но-ітеративного методу розв’язування системи інтегральних рівнянь.
Для цього розглянемо рівняння (23) на кожному інтервалі
)()()()()()()( )(
1
0
)(
0
tztgtdtftbtxta j
k
m
j
jkk
j
k
m
j
j ∑∑
−
==
++=+ µλ ,
),( 1 iit ττ −∈ , ni ,1=
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
117
і скористаємося заміною (8).
У результаті нескладних перетворень з використанням позна-
чень (9), (13), (14), отримаємо
))(()()()))(( ( ξµξξλξξ k
iikiiki
k
ii zBdfbyA ++=+ , (37)
α=Ψ ),...,,( 21
k
n
kk ууу , (38)
∑
−
=
+ ==+
1
0
)(
,
)(
,1 ,1,))()((
m
j
i
j
kiij
j
kiij niBbydayc , (39)
де
)()()( 1 ξαξξ k
i
k
i
k
i yz += − , ni ,1= , kkk tt θλµ += − )()( 1 (40)
∑
=
=
N
j
ji
k
j
k
i a
1
)()( ξηξα , j
N
j
k
jk a νθ ∑
=
=
1
(41)
))(()( 1 aiij
m
iji −+= − ξχτηχξη , ni ,1= , Nj ,1= . (42)
Нехай на кожному інтервалі ),( 1 ii ττ − міститься iN точок коло-
кації { } iN
j
i
jt
1=
, причому ∑
=
=
n
i
i NN
1
. Тоді за допомогою заміни змінних
(8) точки { }
1
iNi
j j
t
=
, ni ,1= , перейдуть відповідно в точки { } 1
ii
j
N
j
ξ
=
,
ni ,1= , [ ]bai
j ,∈ξ , тобто точки { }
1
iNi
j j
t
=
, і { }
1
Nii
j j
ξ
=
, ni ,1= зв’язані
співвідношенням
1 ( )i i
j i i jt aτ χ ξ−= + − , iNj ,1= , ni ,1= .
Тоді умова (28) набере вигляду
,0)()())(( =−− i
jik
i
ji
i
j
k
ii fczL ξµξξ ni ,1= , iNj ,1= ,
1
.
n
i
i
N N
=
=∑ (43)
Система вектор-функцій { }1 2( ) ( ), ( ),..., ( ) ,j j j jnη ξ η ξ η ξ η ξ=
Nj ,1= і система векторів { }N
j
i
j 1=
ν задовольняють рівняння
)()()())(( ξϕνξξη jijijii tbА =+ , (44)
та однорідні умови
,0),...,( 2,1 =jnjjФ ηηη (45)
1
( ) ( )
,, 1
0
( ( ) ( )) 0, 1,
m
l l
il il j ij i
j
c a d b i nη η
−
+
=
+ = =∑ , (46)
Математичне та комп’ютерне моделювання
118
де
{ }1 2( ) ( ), ( ),..., ( )j j j jnϕ ξ ϕ ξ ϕ ξ ϕ ξ= , Nj ,1= (47)
задана система лінійно-незалежних, неперервних на відрізку [ ],a b
вектор-функцій.
Отже, алгоритм (23)—(32) рівносильний алгоритму (37)—(43).
Покажемо, що алгоритм (37)—(43) зводиться до колокаційно-
ітеративного методу розв’язування системи інтегральних рівнянь (20).
Покладемо
( )( ) ( ) ( )k k
i i i k i
A y b uξ ξ λ ξ+ = , (48)
і скористаємося співвідношенням
)()()())((
1
1 ξϕξµξξ ji
N
j
k
j
k
iki
k
ii aubzA ∑
=
− +=+ , ni ,1= , (49)
α=Ψ ),...,,( 21
k
n
kk zzz , (50)
∑
−
=
+ ==+
1
0
)(
,
)(
,1 ,1,))()((
m
j
i
j
kiij
j
kiij niBbzdazc , (51)
яке безпосередньо випливає із співвідношень (40)—(41), (44), (48).
Знайдемо розв’язок задачі (49)—(51), підставимо його в співвід-
ношення (37) і врахуємо позначення (48), в результаті отримаємо:
∑ ∫
=
− ++=
n
j
b
a
k
j
k
jiji
k
i
dsssusKlu
1
1 ))()()(,()()( ωξξξ , (52)
∑
=
=
N
j
ji
k
j
k
i a
1
)()( ξϕξω , ni ,1= , (53)
)(ξil , ),( sKij ξ , nji ,1, = мають вигляд (21), (22) відповідно.
Підставимо (48) у (37), отримаємо:
))(()()()( ξµξξξ k
iikii
k
i zBdfu ++= , ni ,1= , (54)
Умову (43) із врахуванням співвідношень (54), (49) перетворимо
так
1
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,
i
j
i
k i i i
i i j i j k i j
k k i i i
i i i i j i j k i j k
i i k i k i k i
j k i j i j j i ji
L z c f
A z B z b b
c f u u
ξ ξ µ ξ
ξ ξ ξ µ ξ µ
ξ µ ξ ξ ω ξ ξ
−
−
− − =
= + − −
− − = + − =
або
0)()()(1 =−+− i
j
k
i
i
j
k
i
i
j
k
i uu ξξωξ , ni ,1= , iNj ,1= .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
119
Отже, алгоритм (23)—(32) зводиться до колокаційно-ітератив-
ного методу (52), (50), (53) розв’язування системи інтегральних рів-
нянь (20), а дослідження збіжності методу алгоритм (23)—(32) для
крайової задачі (1)—(3) зводиться до дослідження збіжності методу
(52), (50), (53) для системи рівнянь (20).
Обчислювальна схема. Алгоритм (23)—(32) з практичної сто-
рони доцільно організувати так.
Задамо на відрізку [ ]Т,0 систему вузлів колокації { } iN
j
i
jt
1=
, ijt τ≠ ,
1,1 −= ni , задамо, або визначаємо із задачі (33)—(35) систему функ-
цій { }N
jj t
1
)(
=
η і систему векторів { }N
jj 1=
ν .
Будуємо функції
jjj tctLt νηγ )())(()( −= , Nj ,1= ,
)()()( ttt jj j γϕξ −= , Nj ,1=
і обчислюємо елементи
)( ijij tγβ = , Nji ,1, = ,
матриці Λ .
Далі приступаємо до реалізації основної обчислювальної части-
ни схеми.
Нехай наближення )(1 txk− , 1−kλ уже побудовані. Тоді виконує-
мо ітерацію
))(()()()( 11 tBxtdtft kkk −− ++= λϑ ,
знаходимо нев’язку
)()()( 1 tutt kkk −−=ϑε ,
і формуємо вектор { }1 2, , ..., .k k k
k Nb b b b= , координати якого обчислює-
мо за формулою
)( ik
k
i tb ε= , Nj ,1= .
Далі складаємо рівняння
k
k ba =Λ ,
і знаходимо його розв’язок
),...,,( 21
1 k
N
kk
kk aaaba =Λ= − ,
будуємо функцію
1
( ) ( ) ( )
N
k
k k j j
j
u t t a tϑ ξ
=
= + ∑ ,
і знаходимо наближення kk tx λ),( із допоміжної задачі крайової задачі
Математичне та комп’ютерне моделювання
120
),()())(( tutbtAx kkk =+ λ
,)( α=kхФ
1
( ) ( )
0
( ( 0) ( 0)) , 1, 1i
m
j j
ij k i ij k i
j
c x d x B i nτ τ
−
=
+ + − = = −∑ .
Список використаних джерел:
1. Самойленко А. М. Численно-аналитические методы в теории краевых
задач обыкновенных дифференциальных уравнений / А. М. Самойленко,
Н. И. Ронто. — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с.
2. Лучка А. Ю. Крайова задача для диференціальних рівнянь з імпульсною
дією і побудова її розв’язку проекційним методом / А. Ю. Лучка // Допо-
віді АН України. — 1993. — № 8. — C. 11—16.
3. Лучка А. Ю. Застосування проекційно-ітеративного методу до крайової
задачі для диференціальних рівнянь з імпульсною дією / А. Ю. Лучка //
Доповіді АН України. — 1993. — № 9. — C. 10—14.
The question of collocation-iterative method appliance concerning the
boundary problem solution for the simple differential equations with im-
pulsive influence and parameters is substantiated. The methods algorithm
is built, the calculating scheme is suggested.
Key words: boundary problem, differential equations, integral equa-
tions, projective-iterative method, collocation-iterative method, impulsive
influence.
Отримано: 30.03.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18603 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:12:13Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Поселюжна, В.Б. 2011-04-05T18:34:45Z 2011-04-05T18:34:45Z 2009 Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами / В.Б Поселюжна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 111-120. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18603 517.927 Розглядається питання застосування колокаційно-ітеративного методу до розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом та параметрами. Побудовано алгоритм методу, наведена обчислювальна схема. The question of collocation-iterative method appliance concerning the boundary problem solution for the simple differential equations with impulsive influence and parameters is substantiated. The methods algorithm is built, the calculating scheme is suggested. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами Article published earlier |
| spellingShingle | Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами Поселюжна, В.Б. |
| title | Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами |
| title_full | Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами |
| title_fullStr | Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами |
| title_full_unstemmed | Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами |
| title_short | Про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами |
| title_sort | про один метод розв’язування крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18603 |
| work_keys_str_mv | AT poselûžnavb proodinmetodrozvâzuvannâkraiovoízadačídlâzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnimvplivomíparametrami |