До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами
Розглядається питання застосування колокаційно-ітеративного методу до розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами. Побудовано алгоритм методу, встановлено достатні умови його збіжності. The question of collocation-iterative method appliance concerning the boundar...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18629 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами / В.Б. Поселюжна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 179-186. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859955290873528320 |
|---|---|
| author | Поселюжна, В.Б. |
| author_facet | Поселюжна, В.Б. |
| citation_txt | До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами / В.Б. Поселюжна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 179-186. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Розглядається питання застосування колокаційно-ітеративного методу до розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами. Побудовано алгоритм методу, встановлено достатні умови його збіжності.
The question of collocation-iterative method appliance concerning the boundary problem solution for the simple differential equations with parameters is substantiated. The methods algorithm is built, and sufficient conditions for convergence are found here.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:18:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
179© В. Б. Поселюжна, 2010
6. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного
волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с. (Пре-
принт / АН УССР. Ин-т математики; 83. 3).
7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. — М. : Наука, 1971. —
432 с.
8. Ленюк М. П. Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера–(Фур'є,
Бесселя) / М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2009. — 76 с.
9. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с.
10. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного /
М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1987. — 688 с.
The method of delta-like sequences (Cauchy kernel) introduces hybrid
integral transformation of Legendre–Bessel–Fourier series in polar axis
with two point of interface with the assumption that the spectral parameter
is involved in conjugation.
Key words: hybrid differential operators, hybrid integral transform
kernel Cauchy function of, spectral function, spectral density, the main
identity.
Отримано 16.08.10
УДК 517.927
В. Б. Поселюжна, канд. фіз.-мат. наук
Чортківський інститут підприємництва і бізнесу Тернопільського
національного економічного університету, м. Чортків
ДО ПИТАННЯ ЗБІЖНОСТІ МОДИФІКОВАНОГО
КОЛОКАЦІЙНО-ІТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ
РІВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ
Розглядається питання застосування колокаційно-ітератив-
ного методу до розв’язування крайових задач для звичайних
диференціальних рівнянь з параметрами. Побудовано алго-
ритм методу, встановлено достатні умови його збіжності.
Ключові слова: крайова задача, диференціальні рівняння,
інтегральне рівняння, колокаційно-ітеративний метод.
Вступ. Математичними моделями різноманітних задач природо-
знавства та техніки, як відомо, є диференціальні, інтегральні чи інте-
гро-диференціальні рівняння та їх системи. В наш час привертають
до себе увагу дослідження крайових задач з параметрами та з імпуль-
сним впливом, узагальнені крайові задачі, інтегральні рівняння з об-
меженнями. Різним аспектам теорії цих задач присвячені праці
Математичне та комп’ютерне моделювання
180
А.М. Самойленка, М.О. Перестюка [1], А.Ю. Лучки [2], М.Й. Ронто
[3], О.А. Бойчука [4] та інших.
У більшості практичних ситуацій отримання точного аналітич-
ного розв’язку таких задач виявляється досить складним і потребує
значних зусиль або знайдений розв’язок є не досить зручним для ви-
користання. Тому в останні десятиріччя широкого розповсюдження
набули наближені методи розв’язування таких класів задач, що
пов’язані із застосуванням обчислювальної техніки. У той же час по-
шук нових, більш ефективних, і удосконалення вже існуючих методів
продовжує залишатися досить актуальною задачею.
У цій роботі запропоновано варіант модифікованого проекційно-
ітеративного методу – колокаційно-ітеративний метод для розв’язу-
вання крайової задачі для диференціальних рівнянь з параметрами та
встановлюються умови його збіжності.
Постановка проблеми. Розглянемо крайову задачу вигляду
( ) ( 1)
1( )( ) : ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( ) ( , ( ), ( ),..., ), ( , ),
m m
mLX t x t p t x t p t x t
f t c t g t x t x t t a bλ ε λ
−= + + + =
′= + + ∈
(1)
( )s sU x γ= , ( )r rФ x ν= , 0, 1s m= − , 1,r l= , (2)
де ( )rФ x , 1,r l= – лінійні неперервні функціонали на класі непере-
рвних функцій, ( )f t – відома функція, ( )c t λ – скалярний добуток
вектора 1 2( , ,... )lλ λ λ λ= і відомої вектор-функції
1 2( ) ( ( ),. ( ),... ( ))lc t c t c t c t= , ε – малий додатний параметр.
Припустимо, що виконуються такі умови:
1) [ ]( ),ip C a b∈ , 1,i m= , [ ]( ),ic C a b∈ , 1,i l= ,
2) [ ]( ),f C a b∈ ,
3) 1 2( , , ,..., , )mg t u u u λ – неперервна функція відносно своїх аргу-
ментів в області D , яка задана таким чином:
( ){ 1 2, , ,..., ,mD t u u u λ= a t b< < , iu−∞ < < ∞ 1,i m= , }lRλ ∈
і задовольняє умову Ліпшиця
1 21 2
1 1
( , , ,..., , ) ( , , ,..., , )
( ) ( ) ,
mm
m l
i i i
i
g t u u u g t u u u
t u u tτ τ τ
τ
λ λ
β γ λ λ
= =
− ≤
≤ − + −∑ ∑
(3)
де ( )i tβ , 1,i m= , ( )tτγ , 1, lτ = – відомі функції, причому
[ ]( ),i C a bβ ∈ , 1,i m= , [ ]( )2( ) ,t L a bτγ ∈ , 1, lτ = .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
181
Виклад основного матеріалу. Задача (1)-(3) може бути пред-
ставлена у вигляді
( )( 1)( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( ), ( ),..., ( ),mAx t b t f t d t Bx t g t x t x t x tλ λ ε λ−′+ = + + + , (4)
( )s sU x γ= , 0, 1s m= − , (5)
( )r rФ x ν= , 1,r l= , (6)
де ( ) ( 1)
1 0( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )m m
m mAx t а t x t a t x t a t x t−
−= + + + ,
( 1)
1 0( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )m
mBx t g t x t g t x t−
−= + + ,
( ) ( ) ( )d t b t c t= + , ( ) ( )m ma t p t= , ( ) ( ) ( ), 0, 1i i ig t a t p t i m= − = − ,
а неперервна вектор-функція ( ) ( ) ( )d t b t c t= + підібрана так, що одно-
рідна крайова задача
( )( ) ( ) 0A t b tϑ μ+ = ,
( ) 0sU ϑ = , 0, 1s m= − ,
( ) 0rФ ϑ = , 1,r l= ,
має тільки тривіальний розв’язок ( ) 0tϑ = , 0μ = .
Задача (4)-(6) за допомогою заміни
( )( ) ( ) ( )Ax t b t u tλ+ = , (7)
( )s sU x γ= , 0, 1s m= − , (8)
( )r rФ x ν= , 1,r l= , (9)
де ( )u t – нова шукана функція, легко зводиться до рівносильного їй
інтегрального рівняння.
( ) ( ) ( ) ( ),
b
a
u t l t K t s u s ds= + +∫ , ( ) ( , ) ( ) ,
b
a
g t h t G t s u s dsε
⎛
+⎜⎜
⎝
∫
( 1) ( 1)( ) ( , ) ( ) ,..., ( ) ( , ) ( )
b b
m m
t t
a a
h t G t s u s ds h t G t s u s ds− −′ ′+ +∫ ∫ , (10)
( ) ( )
b
a
Г s u s dsσ
⎞
+ ⎟⎟
⎠
∫ ,
Отже, крайова задача (1)-(2) рівносильна інтегральному
рівнянню з малою нелінійністю (10). Можна стверджувати, що
задача (1)-(2) має розв’язки тоді і тільки тоді, коли рівняння (10)
має розв’язки.
Побудова алгоритму. Суть колокаційно-ітеративного методу
стосовно задачі (1)-(2) полягає в наступному.
Математичне та комп’ютерне моделювання
182
Нехай { }( )j tϕ , 0,j n= – задана система лінійно-незалежних,
неперервних на відрізку [ ],a b функцій, зокрема система алгебраїч-
них або тригонометричних поліномів, і нехай на відрізку [ ],a b задані
вузли колокації { }jt , 0,j n= .
Задавши [ ]( )0 2 ,u L a b∈ , нульове наближення визначаємо з задачі
0 0 0( )( ) ( ) ( )Ax t b t u tλ+ = . (11)
0( )s sU x γ= , 0( )r rФ x ν= , 0, 1s m= − , 1,r l= . (12)
Припустимо, що наближення 1( )kx t− , 1kλ − уже побудовані, тоді
наближення ( )kx t , kλ будемо визначати із задачі
( 1)
1 1 1 1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( , ( ), ( ),..., ( ), ),
k k k k
m
k k k k
Ax t b t f t d t Bz t
g t x t x t x t
λ μ
ε λ−
− − − −
+ = + + +
′+
(13)
( )s k sU x γ= , 0, 1s m= − , ( )r k rФ x ν= , 1,r l= , (14)
в якій 1( ) ( ) ( )k k kz t x t tα−= + , (15)
1k k kμ λ θ−= + , (16)
0
( ) ( )
n
k
k j jt a tα η= ∑ , k N∈ , (17)
0
n
k
k j jaθ ν= ∑ , k N∈ , (18)
Невідомі параметри k
ja знаходимо з умови
( )1
( 1)
1 1 1
( )( ) ( ) ( )
, ( ), ( ),..., ( ), 0, 0, ,
k
k i i i k
m
i k i k i i k
Lz t f t c t
g t x t x t x t i n
μ
ε λ
−
−
− − −
− − −
′− = =
(19)
де { }it , 0,i n= – вузли колокації.
Задана система лінійно-незалежних функцій { }( )j tϕ , 0,j n= і
система функцій { }( )j tη , 0,j n= та система векторів { }jν , 0,j n=
зв’язані співвідношенням
( )( ) ( ) ( )j j jA t b t tη ν φ+ = , (20)
0( )s sU x γ= , 0( )r rФ x ν= , 0, 1s m= − , 1,r l= . (21)
Для знаходження параметрів k
ja в кожній ітерації отримаємо си-
стему лінійних алгебраїчних рівнянь виду
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
183
0
n
k k
ij j i
j
a bβ
=
=∑ , 0,i n= , (22)
в якій ( )( ) ( )ij j i i jL t c tβ η ν= − , , 0,i j n= , (23)
( )k
i k ib tε= , 0,i n= , (24)
1 1
( 1)
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )( )
( , ( ), ( ),..., ( ), ).
k k k
m
k k k k
t f t c t Lx t
g t x t x t x t
ε λ
ε λ
− −
−
− − − −
= + − +
′+
(25)
Якщо система рівнянь (22) має єдиний розв’язок, то функція
( )k tα і вектор kθ визначаються однозначно.
Достатні умови збіжності методу. Алгоритм (11)-(19) за до-
помогою заміни
( )( ) ( ) ( )k k kAx t b t u tλ+ = , (26)
( )s k sU x γ= , 0, 1s m= − , ( )r k rФ x ν= , 1,r l= , (27)
та співвідношень 1( )( ) ( ) ( ) ( )k k k kAz t b t u t tμ ω−+ = + , (28)
( )s k sU z γ= , 0, 1s m= − , ( )r k rФ z ν= , 1,r l= , (29)
зводиться до колокаційно-ітеративного методу розв’язування інтег-
рального рівняння з малою нелінійністю (10).
( ) ( ) ( ) ( )1 1, ( ( )) , ( ) ( , ) ( ) ,
b b
k k k k
a a
u t l t K t s u s s ds g t h t G t s u s dsω ε− −
⎛
= + + + +⎜⎜
⎝
∫ ∫
( 1) ( 1)
1 1( ) ( , ) ( ) ,..., ( ) ( , ) ( )
b b
m m
t k t k
a a
h t G t s u s ds h t G t s u s ds− −
− −′ ′+ +∫ ∫ , (30)
1( ) ( )
b
k
a
Г s u s dsσ −
⎞
+ ⎟⎟
⎠
∫ ,
1( ) ( ) ( ) 0k i k i k iu t u t tω−− − = , 0,i n= . (31)
( ) ( )
n
k
k j j
j
t a tω ϕ= ∑ , (32)
Отже, збіжність методу (11)-(19) розв’язування задачі (1)-(2)
зводиться до збіжності колокаційно-ітеративного методу (30)-(32)
розв’язування інтегрального рівняння з малою нелінійністю (10).
Надалі, не обмежуючи загальності, можна вважати, що система
функцій { }( )j tϕ , 0,j n= – фундаментальна, нехай
1( ) ( ) ( )k k kt u t u tδ −= − , (33)
( ) ( ) ( )k k kt t tϑ δ ω= − . (34)
Математичне та комп’ютерне моделювання
184
Поправку ( )k tω можна представити у вигляді
( ) ( , ) ( )
b
k n k
a
t S t s s dsω δ= ∫ , (35)
0
( , ) ( ) ( )
n
n j j
j
S t s t s tϕ δ
=
= −∑ . (36)
Для визначення функції ( )k tω на основі співвідношень (33), (35),
(36) звичайним способом отримаємо інтегральне рівняння з виродже-
ним ядром
( ) ( ) ( , ) ( )
b
k k n k
a
t g t H t s s dsω ω= + ∫ , (37)
де ( ) ( , ) ( )
b
k n k
a
g t S t s s dsε= ∫ , (38)
0
( , ) ( ) ( , )
n
n j j
j
H t s t K t sϕ
=
= ∑ , (39)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, ( ) , ( ) ( , ) ( ) ,
b b
k k k k
a a
t l t K t s u s ds u t g t h t G t s u s dsε ε− − −
⎛
= + − + +⎜⎜
⎝
∫ ∫
( 1) ( 1)
1 1( ) ( , ) ( ) ,..., ( ) ( , ) ( )
b b
m m
t k t k
a a
h t G t s u s ds h t G t s u s ds− −
− −′ ′+ +∫ ∫ , (40)
1( ) ( )
b
k
a
Г s u s dsσ −
⎞
+ ⎟⎟
⎠
∫ ,
Інтегральне рівняння (37) рівносильне системі рівнянь
0
( ) ( , ) ( ) ( )
bn
k
j j i i j k i
j a
a t K t s s ds tϕ ϕ ε
=
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫ , 0,j n= , (41)
Алгоритм (30)-(32) рівносильний співвідношенням
1 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
b b
k n k n k
a a
t M t s s ds E t s g s dsδ ϑ ε− −= + Δ∫ ∫ (42)
1 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
b b
k n k n k
a a
t L t s s ds D t s g s dsϑ ϑ ε− −= + Δ∫ ∫ (43)
а ядра операторів переходу обчислюються за формулами
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
b
n n
a
M t s K t s K t R s dτ τ τ= + ∫ (44)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
185
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
b
n n n n
a
L t s M t s S t M s dτ τ τ= − ∫ (45)
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ,
b
n n n
a
E t s t s M t S s dδ τ τ τ= − + ∫ (46)
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
b
n n n n
a
D t s E t s S t E s dτ τ τ= − ∫ . (47)
Тут ( , )nR t s – резольвента ядра ( , )nH t s що задовольняє рівняння
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
b
n n n n
a
R t s H t s H t R s dτ τ τ= + ∫ (48)
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
b
n n n n
a
R t s H t s R t H s dτ τ τ= + ∫ (49)
Розглянемо функцію
( , ) ( ) ( , )E t s t s R t sδ= − + (50)
де ( , )R x t – резольвента ядра ( , )K x t і введемо такі позначення
n np M= , n nq L= , n nEγ = , n nDη = , * Eγ = , (51)
в яких Мn , Ln , En, Dn, E – інтегральні оператори, ядра яких визнача-
ються формулами (44)-(47) та (50), та скористаємося позначеннями
n nr qε γ= , n nl qε η= , n n
n
n n
r pA l q
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Теорема 5.2. Нехай одиниця – регулярне значення лінійного
інтегрального оператора, система функцій { }( )j tϕ , 0,j n= та вузли
колокації { }it , 0,i n= підібрані так, що
( ) 2lim , ( , ) 0,
b b
nn a a
K t s H t s dtds
→∞
− =∫ ∫ 2lim ( ) ( , ) 0,
b b
nn a a
t s S x t dtdsδ
→∞
− − =∫ ∫
і * 1,λμγ < тоді існує такий номер 0n , що 0n n∀ ≥ система (41) одно-
значно розв’язна і послідовність { }( )ku t , побудована згідно методу
(30)-(32), збігається до цього розв’язку.
Список використаних джерел:
1. Самойленко A. M. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействи-
ем / A. M. Самойленко, Н. А. Перестюк. – К. : Вища шк., 1987. – 287 с.
2. Лучка А. Ю. Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь
з обмеженнями / А. Ю. Лучка // Нелінійні коливання. – 2002. – Т. 5,
№ 4. – С. 465–488.
Математичне та комп’ютерне моделювання
186 © Н. М. Сорич, В. А. Сорич, 2010
3. Ронто Н. И. Об одном методе исследования краевых задач с параметрами
/ Н. И. Ронто, В. А. Ронто // Краевые задачи математической физики. –
К. : Наук. думка, 1990. – С. 3–10.
4. Бойчук А. А. Конструктивне методы анализа краевых задач /
А. А. Бойчук. – К. : Наук. думка, 1990. – 96 с.
The question of collocation-iterative method appliance concerning the
boundary problem solution for the simple differential equations with pa-
rameters is substantiated. The methods algorithm is built, and sufficient
conditions for convergence are found here.
Key words: boundary problem, differential equations, integral equa-
tions, collocation-iterative method.
Отримано: 10.03.2010
УДК 517.5
Н. М. Сорич, канд. фіз.-мат. наук,
В. А. Сорич, канд. фіз.-мат. наук
Кам’янець-Подільський національний університет
імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський
СУМІСНЕ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСІВ ФУНКЦІЙ ВИСОКОЇ
ГЛАДКОСТІ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ
ПОЛІНОМАМИ В СЕРЕДНЬОМУ
Встановлено асимптотично точну оцінку похибки сумісно-
го наближення класів функцій високої гладкості інтерполяцій-
ними тригонометричними поліномами в метриці простору 1L .
Ключові слова: ψ -похідна, L та C-передування пар, ін-
терполяційний тригонометричний поліном.
При розв’язанні задач, що виникають при моделюванні фізичних,
механічних, економічних та соціальних процесів доводиться будувати
чисельні методи відшукання наближених розв’язків деяких експериме-
нтальних задач. Якщо співвідношення між параметрами, що характе-
ризують досліджуваний процес, можна подати у вигляді деякої ліній-
ної комбінації ядер типу Пуассона, то результати цієї роботи можна
використати при заміні цієї лінійної комбінації на інтерполяційний
многочлен, при врахуванні похибки такої заміни, при відшуканні сте-
пеня многочлена, що характеризував би потрібну точність.
Нехай 1L — простір сумовних 2π-періодичних функцій із нор-
мою ( )
2
1
0
L t dt
π
ϕ ϕ ϕ= = ∫ . Нехай 1Lψ — клас сумовних 2π-пе-
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18629 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:18:54Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Поселюжна, В.Б. 2011-04-06T19:57:22Z 2011-04-06T19:57:22Z 2010 До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами / В.Б. Поселюжна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 179-186. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18629 517.927 Розглядається питання застосування колокаційно-ітеративного методу до розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами. Побудовано алгоритм методу, встановлено достатні умови його збіжності. The question of collocation-iterative method appliance concerning the boundary problem solution for the simple differential equations with parameters is substantiated. The methods algorithm is built, and sufficient conditions for convergence are found here. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами Article published earlier |
| spellingShingle | До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами Поселюжна, В.Б. |
| title | До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами |
| title_full | До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами |
| title_fullStr | До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами |
| title_full_unstemmed | До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами |
| title_short | До питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами |
| title_sort | до питання збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18629 |
| work_keys_str_mv | AT poselûžnavb dopitannâzbížnostímodifíkovanogokolokacíinoíterativnogometodurozvâzuvannâkraiovihzadačdlâzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹzparametrami |