Моделювання крайових задач із запізненням
Досліджена крайова задача із запізненням. Встановлено умови розв'язності крайової задачі із запізненням і досліджено її апроксимацію за допомогою систем звичайних диференціальних рівнянь. The boundary value problems with delay are researched. Conditions of the solvability of boundary value prob...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18632 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделювання крайових задач із запізненням / І.М. Черевко, О.В. Матвій // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 196-200. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859765873540071424 |
|---|---|
| author | Черевко, І.М. Матвій, О.В. |
| author_facet | Черевко, І.М. Матвій, О.В. |
| citation_txt | Моделювання крайових задач із запізненням / І.М. Черевко, О.В. Матвій // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 196-200. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Досліджена крайова задача із запізненням. Встановлено умови розв'язності крайової задачі із запізненням і досліджено її апроксимацію за допомогою систем звичайних диференціальних рівнянь.
The boundary value problems with delay are researched. Conditions of the solvability of boundary value problems with delay are proved and their approximation is investigated with the help of systems of ordinary differential equations.
|
| first_indexed | 2025-12-02T05:09:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
196 © І. М. Черевко, О. В. Матвій, 2010
дільський : Кам’янець-Подільський державний університет, 2002. —
Т. 2. — С. 6–9.
3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2-х т. / А. Зигмунд. — М. : Мир,
1965. — Т. 2. — 537 с.
4. Никольский С. М. Оценки остатка суммы Фейера для периодических
функций, имеющих ограниченную производную / С. М. Никольский //
Докл. АН СССР. — 1941. — 31, №3. — С. 210–214.
5. Сердюк А. С. Наближення періодичних функцій високої гладкості інтер-
поляційними тригонометричними поліномами в метриці 1L / А. С. Сер-
дюк // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, №7. — С. 994–998.
6. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полино-
мами в среднем / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Математика. —
1946. — 10, №3. — С. 207–256.
The asymptotically precise estimation of the joint approximation error
of classes of functions with high smoothness by interpolation trigonometric
polynomials in the δ-metric has been established.
Key words: ψ -derivative, L and C precedence of pairs, the interpola-
tion trigonometric polynomial.
Отримано: 13.02.2010
УДК 517.929
І. М. Черевко, д-р фіз.-мат. наук,
О. В. Матвій, канд. фіз.-мат. наук
Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,
м. Чернівці
МОДЕЛЮВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Досліджена крайова задача із запізненням. Встановлено
умови розв'язності крайової задачі із запізненням і досліджено
її апроксимацію за допомогою систем звичайних диференціа-
льних рівнянь.
Ключові слова: диференціально-різницеві рівняння, запіз-
нення, крайова задача із запізненням, апроксимація.
Вступ. У роботі досліджуються алгоритми наближеного розв'я-
зання крайових задач для диференціальних рівнянь другого порядку із
запізненням. Такі задачі виникають при дослідженні варіаційних задач,
у теорії пружності, в задачах оптимального керування та ін.
Розв'язання крайових задач із запізненням аналітично можливе
тільки в найпростіших випадках, тому побудова та обґрунтування на-
ближених методів їх розв'язання є важливою задачею. Зведення ліній-
ної крайової задачі із запізненням до інтегрального рівняння і застосу-
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
197
вання проекційно ітеративних методів розглянуто в роботі [1]. Засто-
сування методу сплайн колокацій до таких задач вивчалося в [2-3]. У
даній роботі досліджується розв'язність крайових задач із запізнення,
обґрунтовується їх апроксимація крайовою задачею для послідовності
систем звичайних диференціальних рівнянь та розроблена прикладна
програма для моделювання крайових задач на ЕОМ. Дослідження точ-
ності апроксимації у простішому випадку здійснено в [4].
1. Постановка задачі, існування розв'язку. Розглянемо крайо-
ву задачу
1( )= ( , ( ), ( ), , ( ),ky t f t y t y t y tτ τ′′ − −… 1( ), ( ), , ( )), [ , ],ky t y t y t t a bτ τ′ ′ ′− − ∈… (1)
( ) = ( ), ( ) = ( ), [ , ], ( ) = .y t t y t t t a a y bϕ ϕ τ γ′ ′ ∈ − (2)
Нехай 1 20 < < < < = , ,k Rτ τ τ τ γ ∈… 0 1 0 1( , , , , , , , , )k kf t u u u v v v… … —
неперервна функція в області 1 2= [ , ] k kG a b G G× × , де 1 1= { :| | },G u R u P∈ ≤
2 2 1 2= { :| | }, , ,G v R v P P P τ∈ ≤ — додатні сталi, 1( ) [ , ]t C a aϕ τ∈ − .
Введемо позначення:
0 1 0 1 1 2= sup{| ( , , , , , , , , ) |:| | , | | , = 0, , [ , ]},k k i iP f t u u u v v v u P v P j k t a b≤ ≤ ∈… …
1 1 2 1 2= [ , ], = [ , ], = [ , ], = [ , ], ,J a a I a b I a a I a aτ τ τ τ− + + + …
1 1= [ , ], = [ , ],k k k k kI a a I a bτ τ τ− ++ + +
1
1 1 2
=1
( ) = ( ) : ( ) ( ( ) ( ( ) ( )) ( ) ,
k
j
j
B J I y t y t C J I C J C I C I
+⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪∪ ∈ ∪ ∩ ∪ ∩⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
∪
1 2| ( ) | ,| ( ) | }.y t P y t P′≤ ≤
Розв'язком задачі (1)-(2) будемо вважати функцію = ( )y y t із
простору ( )B J I∪ , яка задовольняє рівняння (1) на [ , ]a b (за можли-
вим винятком точок = , = 1,i it a i kτ+ ) та крайові умови (2).
Із означення простору ( )B J I∪ випливає, що розв'язок задачі
(1)-(2) є неперервним в точці =t a , але гладкості його в цій точці ми
не передбачаємо. Він є неперервно-диференційованим для всіх
[ , ]t a b∈ , якщо під ( )y a′ розуміти правосторонню похідну.
Має місце наступне твердження.
Теорема 1 [4]. Нехай справджуються умови:
1) { } { }
2
1
( )max | ( ) | , max | ( ) |, | | ;sup
8t J
b at P a Pϕ ϕ γ
∈
⎧ ⎫−⎪ ⎪+ ≤⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
2) { } 2
( ) ( )max | ( ) | , ;sup
2t J
b a at P P
b a
γ ϕϕ
∈
⎧ − − ⎫′ + ≤⎨ ⎬−⎩ ⎭
Математичне та комп’ютерне моделювання
198
3) в області G функція 0 0( , , , , , , )k kf t u u v v… … задовольняє умо-
ву Ліпшица:
( )
0 0 0 0
=0
( , , , , , , ) ( , , , , , , )
;
k k k k
k
j j j j j j
j
f t u u v v f t u u v v
L u u M v v
− ≤
≤ − + −∑
… … … …
4) ( )
=0
< 1.
k
j j
j
L M+∑
Тоді в класі функцій ( )B J I∪ існує єдиний розв'язок крайової задачі (1)-(2).
2. Схема апроксимації. Поставимо у відповідність крайовій за-
дачі (1)-(2) крайову задачу для системи звичайних диференціальних
рівнянь вигляду
( )
0 0 01 1
1
' ( ) = ( , ( ), ( ), , ( ), ( ), ( ), , ( )),
( ) = ( ) ( ) , = 1, ,
l l l lk k
j j j
z t f t z t z t z t w t w t w t
z t z t z t j mμ −
′
′ −
… …
(3)
0( ) = , = 0, , ( ) = ,j
jz a a j m z b
m
τϕ γ⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
(4)
( )
0 0 0
1
( )( ) = ( , ) ( , ( ), , ( ), ( ), , ( )) ,
( ) = ( ) ( ) , = 1, ,
b
t l lk k
a
j j j
aw t G t s f s z s z s w s w s ds
b a
w t w t w t j m
γ ϕ
μ −
−′ +
−
′ −
∫ … …
(5)
( ) = , = 1, ,j
jw a a j m
m
τϕ ⎛ ⎞′ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
(6)
де , = /m N mμ τ∈ , індекси jl однозначно визначаються нерівностя-
ми
( )1
< jj
j
ll
a a a
m m
ττ
τ
−
− − ≤ − , а ( , )G t s — функція Гріна крайової
задачі ( ) 0y t′′ = , ( ) ( ) 0y a y b= = .
Умови, при яких наведена схема апроксимації наближає крайову
задачу із запізненням, встановлюється у такому твердженні.
Теорема 2. Нехай функція 0 0( , , , , , , )k kf t u u v v… … задовольняє
умови теореми 1, = { , }i iM max M L та виконується нерівність
20.25 ( 1)( )( )( 1) max ( ),0.25 1 < 1.M k b aM b a k b a e + −⎡ ⎤− + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
Тоді крайова задача (3)-(6) апроксимує крайову задачу (1)-(2) і ма-
ють місце співвідношення
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
199
( ) , ( ) , = 0, ,max
t
j j
a t a
j jz y w y j m
m m m mξ
τ τ τ τξ ξ γ ξ ξ γ
≤ ≤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′− − ≤ − − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫
де ( )γ δ – монотонно неспадна функція і
0
( ) = 0lim
δ
γ δ
→
.
3. Моделювання крайових задач на ЕОМ. Для автоматизації
дослідження наближеної заміни крайових задач із запізненням послі-
довністю систем звичайних диференціальних рівнянь за допомогою
методики, яка описана в п.2, розроблено Windows-додаток. Для його
реалізації та побудови графічного інтерфейсу використано інтегрова-
не середовище Borland Delphi 6.0, а реалізація синтаксичного аналіза-
тора та математичних обчислень здійснено засобами мови Ruby.
Borland Delphi 6.0 — потужне високопродуктивне середовище для
розробки 32-розрядних Windows-додатків, яке включає в себе великий
набір інструментів для керування та передачі даних з використанням
відкритих стандартів. Ruby — це динамічна об'єктно-зорієнтовна мова з
відкритим кодом, яка дозволяє ефективну розробку прикладних програм.
Для нормальної роботи додатку необхідно: операційна система Windows
XP, об'єм оперативної пам'яті не менше 512 Мбайт.
Головне вікно програми містить стандартний набір елементів,
серед яких виділяється головне меню, яке містить такі пункти:
• Крайова задача – • Результат – • Допомога – • Вихід.
Алгоритм роботи з програмою.
А. Користувач вибирає меню Крайова задача, у якому необхідно
ввести функцію 0 0( , ,..., , ,..., )m mF t z z w w , яка визначається правою
частиною рівняння, початкові функції ( )tϕ та ( )tϕ′ , значення запіз-
нення τ , розмірність апроксимуючої системи, межі інтервала a та
b , значення функції в точці b , кількість точок розбиття. За допомо-
гою кнопки Ввести дані здійснюється обробка введеної інформації,
виконуються обчислення та формується файл, де зберігаються ре-
зультати обчислень.
Б. Для відображення результатів в табличному та графічному
вигляді потрібно вибрати меню Результат.
4. Приклад. Розглянемо приклад, який ілюструє наведену мето-
дику апроксимації крайових задач із запізненням
( ) = 2 ( ) ( 1), 0 2,
( ) = , ( ) = , 1 0,
2(0) = 1, (2) = .
x t x t e x t x
t tx t e x t e x
x x e
′′ − − ≤ ≤
′ − ≤ ≤
Математичне та комп’ютерне моделювання
200
Точний розв'язок даної крайової задачі ( ) = .tx t e Результати чи-
слових експериментів наведені в таблиці 1, де ( )cx t — точний розв'я-
зок, ( )ax t — розв'язок апроксимуючої крайової задачі для звичайних
диференціальних рівнянь при 500m = , знайдений за різницевою
схемою з кроком 0.02h = , Δ — модуль різниці між точним та на-
ближеним значенням.
Таблиця 1
t ( )cx t ( )ax t Δ
0 1 1 0
0.5 1.648 1.653 0.005
1 2.718 2.727 0.009
1.5 4.481 4.491 0.01
2 7.389 7.389 0
Висновок. Запропонована схема апроксимації та розроблена
прикладна програма дозволяють ефективно знаходити наближений
розв’язок крайових задач із запізненням. Числові експерименти під-
тверджують ефективність запропонованих наближених алгоритмів.
Для наведеного прикладу абсолютна похибка Δ ≤ 0.01, а відносна
похибка δ ≤ 0.33%.
Список використаних джерел:
7. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы / А. Ю. Лучка. — К. :
Наук. думка, 1993. — 286 с.
8. Nikolova N. S. Application of spline-function for the construction of an ap-
proximate solution of boundary value problems for a class of functional-
differential equations / N. S. Nikolova, D. D. Bainov // Yokohama Math. J. —
1981. — Vol. 29, № 1. — P. 108–122.
9. Черевко И. М. Численный метод решения краевых задач для интегро-
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / И. М. Че-
ревко, И. В. Якимов // Укр. мат. журн. — 1989. — Т. 41, № 6. — С. 854–860.
10. Матвій О. В. Апроксимація крайових задач із запізненням системами звичай-
них диференціальних рівнянь / О. В. Матвій, І. М. Черевко // Вісник Київсь-
кого університету. Серія : фіз.-мат. науки. — 2003. — № 3. — С. 129–137.
The boundary value problems with delay are researched. Conditions of
the solvability of boundary value problems with delay are proved and their
approximation is investigated with the help of systems of ordinary differ-
ential equations.
Key words: differential-difference equations, delay, boundary value
problem, approximation.
Отримано: 02.06.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18632 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0059 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T05:09:38Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Черевко, І.М. Матвій, О.В. 2011-04-06T20:05:19Z 2011-04-06T20:05:19Z 2010 Моделювання крайових задач із запізненням / І.М. Черевко, О.В. Матвій // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 196-200. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18632 517.929 Досліджена крайова задача із запізненням. Встановлено умови розв'язності крайової задачі із запізненням і досліджено її апроксимацію за допомогою систем звичайних диференціальних рівнянь. The boundary value problems with delay are researched. Conditions of the solvability of boundary value problems with delay are proved and their approximation is investigated with the help of systems of ordinary differential equations. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Моделювання крайових задач із запізненням Article published earlier |
| spellingShingle | Моделювання крайових задач із запізненням Черевко, І.М. Матвій, О.В. |
| title | Моделювання крайових задач із запізненням |
| title_full | Моделювання крайових задач із запізненням |
| title_fullStr | Моделювання крайових задач із запізненням |
| title_full_unstemmed | Моделювання крайових задач із запізненням |
| title_short | Моделювання крайових задач із запізненням |
| title_sort | моделювання крайових задач із запізненням |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18632 |
| work_keys_str_mv | AT čerevkoím modelûvannâkraiovihzadačízzapíznennâm AT matvíiov modelûvannâkraiovihzadačízzapíznennâm |