Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності
Розглянуто одновимірні нестаціонарні нелінійні задачі теплопровідності за умови, що коефіцієнти теплоємності і теплопровідності задані аналітично та таблично. З допомогою інтегро-інтерполяційного методу нелінійна крайова задача зведена до системи нелінійних рівнянь. Числове розв’язування цієї систем...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18634 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності / С.М. Шахно, Г.П. Ярмола // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 214-226. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18634 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-186342025-02-09T20:52:03Z Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності Шахно, С.М. Ярмола, Г.П. Розглянуто одновимірні нестаціонарні нелінійні задачі теплопровідності за умови, що коефіцієнти теплоємності і теплопровідності задані аналітично та таблично. З допомогою інтегро-інтерполяційного методу нелінійна крайова задача зведена до системи нелінійних рівнянь. Числове розв’язування цієї системи виконано за допомогою двопараметричного методу типу хорд. Наведено числові результати розв’язку розглянутої задачі. The nonstationary nonlinear heat conduction problem is considered given that heat capacity and coefficient of heat conductivity are set analytically and tabularly. According to balance method, the nonlinear boundary problem is reduced to a system of nonlinear equations. This system is numerically solved by two parametric secant type methods. The numerical results of the considered problem are presented. 2010 Article Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності / С.М. Шахно, Г.П. Ярмола // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 214-226. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18634 519.63 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто одновимірні нестаціонарні нелінійні задачі теплопровідності за умови, що коефіцієнти теплоємності і теплопровідності задані аналітично та таблично. З допомогою інтегро-інтерполяційного методу нелінійна крайова задача зведена до системи нелінійних рівнянь. Числове розв’язування цієї системи виконано за допомогою двопараметричного методу типу хорд. Наведено числові результати розв’язку розглянутої задачі. |
| format |
Article |
| author |
Шахно, С.М. Ярмола, Г.П. |
| spellingShingle |
Шахно, С.М. Ярмола, Г.П. Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Шахно, С.М. Ярмола, Г.П. |
| author_sort |
Шахно, С.М. |
| title |
Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності |
| title_short |
Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності |
| title_full |
Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності |
| title_fullStr |
Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності |
| title_full_unstemmed |
Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності |
| title_sort |
ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18634 |
| citation_txt |
Ітераційно-різницеві методи у нестаціонарних задачах теплопровідності / С.М. Шахно, Г.П. Ярмола // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 214-226. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT šahnosm íteracíinoríznicevímetodiunestacíonarnihzadačahteploprovídností AT ârmolagp íteracíinoríznicevímetodiunestacíonarnihzadačahteploprovídností |
| first_indexed |
2025-11-30T16:15:42Z |
| last_indexed |
2025-11-30T16:15:42Z |
| _version_ |
1850232637617078272 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
214 © С. М. Шахно, Г. П. Ярмола, 2010
УДК 519.63
4BС. М. Шахно, канд. фіз.-мат. наук,
5BГ. П. Ярмола, аспірант
Львівський національний університет імені Івана Франка
1BІТЕРАЦІЙНО-РІЗНИЦЕВІ МЕТОДИ У НЕСТАЦІОНАРНИХ
ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ
Розглянуто одновимірні нестаціонарні нелінійні задачі теп-
лопровідності за умови, що коефіцієнти теплоємності і тепло-
провідності задані аналітично та таблично. З допомогою інтег-
ро-інтерполяційного методу нелінійна крайова задача зведена
до системи нелінійних рівнянь. Числове розв’язування цієї си-
стеми виконано за допомогою двопараметричного методу ти-
пу хорд. Наведено числові результати розв’язку розглянутої
задачі.
Ключові слова: задача теплопровідності, різницеве рів-
няння, двопараметричний метод типу хорд.
Вступ. Для високотемпературних процесів, які протікають, на-
приклад, в плазмі чи при плавленні металу, коефіцієнти теплопровід-
ності є нелінійною функцією температури, а в деяких задачах, крім
того, функцією градієнта температури. Джерела тепла (праві частини
в рівнянні теплопровідності) можуть залежати від температури, якщо,
наприклад, тепло виділяється в результаті хімічної реакції. Від тем-
ператури може залежати і теплоємність середовища. Таким чином,
отримуються нелінійні рівняння теплопровідності. Такі рівняння,
зазвичай, не вдається розв’язати аналітично, а тому на перший план
виступають чисельні методи. У монографіях [2, 3] побудовано різни-
цеві схеми для одновимірного рівняння теплопровідності з нелінійні-
стю в одному доданку та розглянуто ітераційні методи їх розв’язу-
вання: простий ітераційний процес та метод Ньютона. Також виникає
потреба у побудові різницевих схем для рівняння теплопровідності
більш загального вигляду. Крім того, теплові характеристики матері-
алу задаються, зазвичай, таблично. У цьому випадку безпосереднє
застосування методу Ньютона часто неможливе. Тому необхідно та-
кож розглянути методи, які не потребують обчислення похідних.
У цій статті ми розглядаємо спочатку задачу з аналітично зада-
ними коефіцієнтами, будуємо різницеві схеми та досліджуємо якість
цих схем і ефективність ітераційних методів при розв’язуванні сис-
тем нелінійних рівнянь. Далі розглянуто задачу з нелінійною крайо-
вою умовою та таблично заданими коефіцієнтами і досліджено про-
блеми, які при цьому виникають.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
215
1. Задача поширення тепла в стержні. Розглянемо нелінійну за-
дачу теплопровідності, коли густина і коефіцієнти теплопровідності та
теплоємності залежать від температури. В одновимірному випадку
розподіл температури в обмеженому стержні описується рівнянням
( ) ( ) ( ) ( )u uu c u u f u
t x x
ρ λ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
, (1)
lx ≤≤0 , Tt ≤≤0 ,
де ( ),u u t x= — температура, x , t — просторова і часова змінна
відповідно, ( )uλ — коефіцієнт теплопровідності, ( )c u — коефіцієнт
теплоємності, ( )uρ — густина.
Для повного формулювання задачі при розв’язуванні рівняння
(1) задамо початкові та граничні умови
( ) ( )00,u x u x= , 0 x l≤ ≤ , (2)
( ) ( )1,0u t tμ= , ( ) ( )2,u t l tμ= , 0 t T≤ ≤ . (3)
Нехай , 0, , , , 0, , i j
l Tx ih i n h t j j m
n m
ω τ τ⎧ ⎫= = = = = = =⎨ ⎬
⎩ ⎭
—
рівномірна сітка. Для знаходження розв’язку поставленої задачі за-
стосуємо метод балансу. В результаті отримаємо різницеву схему з
параметром σ . Залежно від значення σ матимемо неявні різницеві
схеми з порядком ( )2O hτ + і ( )2 2O hτ + [3, c. 455–457].
2. Cхема з порядком апроксимації ( )2O hτ + . Розглянемо не-
явну різницеву схему ( 1σ = )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1
1j
i i i i i i
i i i i i
y y y y y y
y c y a y a y f y
h h h
ρ
τ
+ −
+
− − −⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
. (4)
Коефіцієнти ( )ia y в (4) можна визначити кількома способами.
Найкращі з них [2, c. 121–127; 3, c. 455]
( ) ( ) ( )1
2
i i
i
y y
a y
λ λ− +
= , (5)
( ) 1
2
i i
i
y y
a y λ − +⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
. (6)
Введемо позначення: ( )i iyλ λ= , ( )i ic c y= , ( )i iyρ ρ= ,
( )i if f y= , 1j
i iy y += , j
i iy y= . Тоді з урахуванням (5), рівняння (4)
можна записати у вигляді
Математичне та комп’ютерне моделювання
216
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 12
1 2
2
i i
i i i i i i i i i i i i i
y y
c y y y f
h
ρ λ λ λ λ λ λ λ
τ + + + − − −
− ⎤⎡= + − + + + + +⎥⎣ ⎦
.
Отже, долучивши крайові умови, отримаємо систему нелінійних рів-
нянь
( ) ( )1 12
2i i i i i i i iF c y y y
h
τρ λ λ+ +
⎡= − − + −⎣
( ) ( )1 1 1 12 0i i i i i i i iy y fλ λ λ λ λ+ − − − ⎤− + + + + − =⎦ , (7)
1 1i , n= − , 0 1y μ= , 2ny μ= .
Тут ( )1 1 1jtμ μ += , ( )2 2 1jtμ μ += . Якщо ( )ia y задати у вигляді (6), то
система нелінійних рівнянь для різницевої схеми (4) матиме вигляд
( ) 1 1 1 1 1 12
2 2 2 2
0
2i i i i i i i i ii i i i
F c y y y y y f
h
τρ λ λ λ λ+ −
+ + − −
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥= − − − + + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
, (8)
1 1i , n= − , 0 1y μ= , 2ny μ= .
Тут 1
1
2 2
i i
i
y y
λ λ −
−
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, всі інші позначення залишаються незмінними.
Системи (7) і (8) потрібно розв’язувати на кожному часовому
шарі. При 0t = покладаємо ( )0
0i iy u x= , 0i , n= . За початкове на-
ближення на ( 1j + )-му часовому шарі беремо розв’язок, отриманий
на попередньому j -му шарі.
3. Схема з порядком апроксимації ( )2 2O hτ + . Схема порядку
( )2 2O hτ + для рівняння (1) матиме вигляд
( )( ) ( )( )
2 2
1 .
2 2
j j j
i i i i i i
j
i i
x xx x
y y y y y y
c
y y
a y y a y y f
ρ
τ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+⎡ ⎤= + + ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(9)
Враховуючи (5), з (9) отримаємо систему нелінійних рівнянь
( )i i i i i iF c y y fρ= − − −
( ) ( )1 1 1 1 1 12 ( 2 )
4 i i i i i i i i i iy y y
h
τ λ λ λ λ λ λ λ+ + + − − −
⎡ ⎤− + − + + + + −⎣ ⎦
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
217
( ) ( )1 1 1 1 1 12 ( 2 ) 0
4 i i i i i i i i i iy y y
h
τ λ λ λ λ λ λ λ+ + + − − −⎡ ⎤− + − + + + + =⎣ ⎦ , (10)
1 1i , n= − , 0 1y μ= , 2ny μ= .
У цьому випадку ( )i iyλ λ= ,
2
i i
i
y y
c c
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
2
i i
i
y y
ρ ρ
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
2
i i
i
y y
f f
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
. При виборі ( )ia y у вигляді (6) система нелінійних
рівнянь прийме вигляд
( ) 1 1 1 1 1 12
2 2 2 2
( )
4i i i i i i i ii i i i
F c y y y y y
h
τρ λ λ λ λ+ −
+ + − −
⎡
= − − − + + +⎢
⎢⎣
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
( ) 0i i i ii i i i
y y y fλ λ λ λ+ −
+ + − −
⎤
+ − + + − =⎥
⎥⎦
, (11)
1 1i , n= − , 0 1y μ= , 2ny μ= .
Тут 1
1
2 2
i i
i
y y
λ λ −
−
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
4. Задача поширення тепла в необмеженій пластині. Процес
нестаціонарної теплопровідності в необмеженій пластині, обмеженій
площинами 0x = , x l= , описується рівнянням (1). Початковий роз-
поділ температури задається умовою
( ) ( )00,u x u x= , 0 x l≤ ≤ . (12)
На поверхні 0x = при 0t > підтримується температура
( ) ( )1,0u t tμ= , 0 t T≤ ≤ . (13)
Поверхня x l= при 0t > піддається високотемпературному нагріву,
при якому густина теплового потоку через поверхню x l= є сталою
( ) ( ),
x l
u t x
u q
x
λ
=
∂
=
∂
. (14)
Різницеві рівняння використовуємо ті ж самі, що і в розглянутій
вище задачі. Значення 0y визначаються з умови (13):
( )1
0 1 10
j
jy y tμ+
+= = . Для знаходження ny потрібно апроксимувати
граничну умову (14). Залежно від способу апроксимації цієї умови,
отримаємо такі рівняння:
Математичне та комп’ютерне моделювання
218
( ) ( )
2
12
2 2 0n n n n n n n n n i
n
q qF c y y y y f
hh
ρ τ λ λ
λ −
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟′= − − − − + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
, (15)
2 1
24 3 0n n n n
n
qhF y y y
λ− −= − + − = . (16)
Рівняння (15) отримуємо так. Розклавши ( )1,ju t x+ в ряд Тейло-
ра в околі точки ix , матимемо:
( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 1 1
22
1 3
2
( , )
, , ,
( , )
.
2
j i
j i j i j i
j i
u t x
u t x u t x h u t x h
x
u t xh O h
x
+
+ − + +
+
∂
= − = − +
∂
∂
+ +
∂
(17)
Позначимо ( )1
1,j
i j iu u t x+
+= . Із (17) запишемо вираз для 1j
x, iu + :
( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 1 2
2
, , ( , ) ( , )
2
j i j i j i j iu t x u t x u t x u t xh O h
h x x
+ + − + +− ∂ ∂
= − +
∂ ∂
.
Перепишемо рівняння (1) у вигляді:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
, , ,u t x u u t x u t x
u c u u f u
t u x x
λ
ρ λ
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
.
З (14) маємо
( )
( )
,u t x q
x uλ
∂
=
∂
. Підставивши цей вираз у попереднє
рівняння, отримаємо
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
, ,
u
u t x u t xqu c u u f u
t u x
ρ λ λ
λ
⎛ ⎞∂ ∂
′= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
. (18)
З (17) маємо:
( ) ( )
2
11 1 1
,2
( , ) 2j ij j j
i i x i
u t x
u u u
hx
λ λ++ + +∂
= − +
∂
( ) ( ) ( )11 1 2( , )2 j ij j
i i
u t x
u f u O h
h x
λ ++ +∂
+ + +
∂
.
Підставивши цей вираз в (18), і замінивши 1j
iu + на 1j
iy + , на краю
x l= ( i n= ) матимемо рівняння (15). Рівняння (16) отримується ана-
логічно [2].
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
219
5. Методи розв’язування систем нелінійних рівнянь. Для
розв’язування системи нелінійних рівнянь ( ) 0F x = застосовуємо
двопараметричний метод типу хорд [4]
( ) ( )1
1 ,k k k k kx x F z v F x−
+ = + 0, 1, 2,...,k = (19)
де ( )1k k k k kz x x xα −= + − , ( )1k k k k kv x x xβ −= + − , [ ]1,1kα ∈ − ,
[ ]1,1k β ∈ − , ( , )F z v — поділена різниця першого порядку, яка визна-
чається наступним чином [5]:
( )
( ) ( )1 1 1 1
,
,..., , ,..., ,..., , ,...,
, i j j n i j j n
i j
j j
F z z v v F z z v v
F z v
z v
+ −−
=
−
.
У випадку 0k kα β= = метод (19) перетворюється у метод Ньютона.
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які отримуються в про-
цесі розв’язування системи нелінійних рівнянь за методом (19), є
тридіагональні або такі, що зводяться до тридіагональних. Тому для
їх розв’язування можна скористатись методом прогонки. Ці системи
на кожній ітерації мають вигляд
1 11
1 11
1 1
k kkk k k k
j jj
i i i i ii iA y C y B y Fδ δ δ
+ ++
+ ++
− ++ + = − . (20)
Коефіцієнти
k
iA ,
k
iB ,
k
iC для всіх значень параметрів kα , kβ , таких
що k kα β≠ , системи (20) визначаються так:
( ) 1 1 1 1, 1
1 1
1, , , , ,
k k k k k k k
i i i i i i i i ii i k k
i i
A F z v F z v v F v v v
z v
− + − +−
− −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦−
,
( ) 1 1 1 1, 1
1 1
1, , , , ,
k k k k k k k
i i i i i i i i ii i k k
i i
B F z v F z z z F z z v
z v
− + − ++
+ +
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦−
,
( ) 1 1 1 1,
1, , , , ,
k k k k k k k
i i i i i i i i ii i k k
i i
C F z v F z z v F z v v
z v
− + − +
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦−
.
Тут
1
1 1 1
k k kk
j j j
i i k i iz y y yα
−
+ + +⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
1
1 1 1
k k kk
j j j
i i k i iv y y yβ
−
+ + +⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, k — но-
мер ітерації.
7. Чисельні експерименти. Для чисельного дослідження запро-
понованих методів було розглянуто дві задачі. У рівнянні (1)
( ) 0f u = (відсутність внутрішніх джерел тепла). У методах для
Математичне та комп’ютерне моделювання
220
розв’язування систем нелінійних рівнянь параметри constkα α= = ,
constkβ β= = . Зупинка ітераційного процесу відбувалася при вико-
нанні умови
1 1
1 10 1 12 1010 10 i 10
k k k
j jy y Fδ
+ +
+ − + − −≤ + ≤ . На рисун-
ках 1, 3-5 зображено розв’язки задач, отримані за схемою (9), (5); си-
стеми нелінійних рівнянь розв’язані методом (19) з параметрами
1α = , 0β = (метод хорд).
У задачі про поширення тепла в обмеженому стержні функції
( )uρ , ( )c u , ( )uλ визначаються за формулами ( ) ( )0 1u uρ ρ β= − ,
( ) ( )2
0 1 21c u c u uε ε= + + , ( ) ( )2
1 21ou a a u a uλ = + + , де 4
0 0.782 10ρ = ⋅ ,
4
0 0.144 10β −= ⋅ , 4
1 0.156608 10ε −= ⋅ , 5
2 0.15948 10ε −= ⋅ ,
0 0.115324c = , 2
0 0.31669 10a = ⋅ , 3
1 0.31634 10a −= − ⋅ ,
6
2 0.197 10a −= − ⋅ . Довжина стержня 1l = , час 1T = . Функція ( )0u x
у початковій умові (2) має вигляд
( )
( )
0
, 0
2
,
2
K lx x
lu x
K ll x x l
l
⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨
⎪ − ≤ ≤
⎪⎩
,
де 200K = ; температура на кінцях стержня рівна нулю.
У таблиці 1 наведена загальна кількість ітерацій для отримання
розв’язку на всіх часових шарах. Як бачимо, кількість ітерацій для
методу Ньютона дещо менша, ніж для різницевих методів. Для схеми
(4) з вибором коефіцієнтів ( )ia y за формулою (5) загальна кількість
ітерацій для параметрів 1α = − , 1β = складається з таких ітерацій,
отриманих на кожному часовому рівні: 38 4 4 4 4 4 4 4= + + + + + + +
4 3 3+ + + , а для схеми (9), (5) — 33 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3= + + + + + + + + + .
Таблиця 1
Загальна кількість ітерацій для 40n = , 10m =
Схема (4), (5) Схема (4), (6)
α
β –1 –0.5 0 0.5 1
–1 40 40 40 40 38
–0.5 40 40 40 36 40
0 40 40 34 40 40
0.5 40 36 40 40 40
1 38 40 40 40 40
α
β –1 –0.5 0 0.5 1
–1 40 40 40 40 39
–0.5 40 40 40 34 40
0 40 40 31 40 40
0.5 40 34 40 40 40
1 39 40 40 40 40
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
221
Схема (9), (5) Схема (9), (6)
α
β –1 –0.5 0 0.5
1
–1 40 40 40 40 33
–0.5 40 40 40 32 40
0 40 40 31 40 40
0.5 40 32 40 40 40
1 33 40 40 40 40
Таблиця 2
Значення температури, отримані різними схемами,
для 0.5x = , 40n = , 10m = , 1α = , 0β =
t Схема
(4), (5)
Схема
(4), (6)
Схема
(9), (5)
Схема
(9), (6)
Метод малого
параметра
0.1 88.6343 88.6343 84.3126 84.3126
0.2 82.6717 82.6717 82.9089 82.9089 82.6715
0.3 78.2405 78.2405 76.1969 76.1969
0.4 74.5520 74.5520 74.4549 74.4549 74.5515
0.5 71.3231 71.3231 70.0024 70.0024
0.6 68.4152 68.4152 68.1587 68.1587 68.4148
0.7 65.7483 65.7483 64.7821 64.7821
0.8 63.2714 63.2714 62.9354 62.9354 63.2716
0.9 60.9501 60.9501 60.1834 60.1834
1.0 58.7596 58.7595 58.3803 58.3802 58.7601
Розв’язки, отримані різними схемами, мало відрізняються один
від одного, за винятком точок, які знаходяться в околі точки 0.5x = .
Пік «вниз» на графіку 2 на рис. 1 свідчить про його різницеве похо-
дження і про немонотонність схеми (9). Зауважимо, що отримані на-
ми результати за різницевими методами відрізняються від результатів
за методом малого параметра не більше ніж на 2%.
Рис. 1. Зміна температури на 3-му і 10-му часових шарах:
1 — схема (4), (5), 2 — схема (9), (5)
α
β –1 –0.5 0 0.5 1
–1 40 40 40 40 32
–0.5 40 40 40 31 40
0 40 40 31 40 40
0.5 40 31 40 40 40
1 32 40 40 40 40
Математичне та комп’ютерне моделювання
222
Рис. 2. Графіки функцій ( )uλ — 1 та ( )uc — 2
Для задачі (1), (12)-(14) задано такі значення початкової темпе-
ратури ( ) о
0 100 Сu x = , теплового потоку 7
2
ккал1.5 10
м год
q = ⋅
⋅
та тем-
ператури на поверхні 0x = — ( ) о
1 100 Сtμ = ; товщина пластини
0 004мl . = , час 0 0001годT . = , а коефіцієнти ( )uλ та ( )c u задані
таблично для сталі марки 20 [1, с. 516]. Зауважимо, що графіки кое-
фіцієнтів, побудовані за цими таблицями, вказують на їх сильну нелі-
нійність (рис. 2). Значення на осі OY , що знаходяться зліва, відпові-
дають значенням функції ( )uλ о
ккал
м год С
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⋅ ⋅⎝ ⎠
, а справа — значенням
функції ( )c u о
ккал
кГ С
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⋅⎝ ⎠
.
Таблиця 3
Загальна кількість ітерацій для 40n = , 10m = , схема (4), (5),
апроксимація граничної умови способом (15)
Лінійна апроксимація Кубічна апроксимація
α
β –1 –0.5 0 0.5
1
–1 — 64 61 62 59
–0.5 64 — 58 58 59
0 61 58 — 57 60
0.5 59 57 58 — 62
1 59 60 60 64 —
α
β –1 –0.5 0 0.5 1
–1 — 67 61 60 60
–0.5 65 — 59 55 62
0 63 59 — 59 60
0.5 59 55 50 — 65
1 59 61 63 65 —
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
223
Таблиця 4
Загальна кількість ітерацій для 40n = , 10m = , схема (9), (5),
апроксимація граничної умови способом (15)
Лінійна апроксимація Кубічна апроксимація
α
β –1 –0.5 0 0.5 1
-1 — 59 59 59 57
-0.5 59 — 56 55 57
0 57 56 — 56 58
0.5 57 55 57 — 56
1 57 61 58 57 —
У таблицях 3, 4 вказана загальна кількість ітерацій при різних
способах апроксимації функцій ( )uλ та ( )c u . Розв’язати схеми (4),
(5), (15) та (9), (5), (15) методом Ньютона не вдалося, тоді як методи
типу хорд працюють і в цьому випадку.
Рис. 3. Зміна температури на поверхні 0.004x = :
1 — 16n = , 2 — 32n = , 3— 64n =
α
β –1 –0.5 0 0.5 1
–1 — 58 59 58 57
–0.5 59 — 56 54 58
0 58 56 — 56 59
0.5 58 54 56 — 62
1 57 58 59 63 —
Математичне та комп’ютерне моделювання
224
Таблиця 5
Розподіл температури по товщині пластини
(схема (4), (5), (15), 1α = , 0β = )
x
t 0.001 0.002 0.003 0.004
0.00001 102.3875 110.9418 148.4143 332.7549
0.00002 108.3678 131.3481 205.5607 450.4846
0.00003 117.4396 156.5558 259.6575 539.6836
0.00004 128.4570 183.2584 309.6614 616.7057
0.00005 140.3305 209.5655 354.1448 678.5493
0.00006 152.2584 234.5813 392.9095 731.5125
0.00007 163.7940 258.2596 428.6755 802.4295
0.00008 174.7282 280.6220 461.7915 861.3540
0.00009 184.9896 301.6634 492.8153 916.6256
0.0001 194.5774 321.3403 521.9688 964.5088
На рис. 3 показано графіки розв’язків, отриманих за схемою (9),
(5), (15) для різних значень кроку по просторовій змінній. При меншій
кількості вузлів погано відображається розв’язок у діапазоні сильної
нелінійності теплофізичних коефіцієнтів ( o o650 С 850 С − ). При збіль-
шенні кількості вузлів розв’язки зближуються, однак вплив нелінійно-
сті коефіцієнтів у вказаному діапазоні залишається помітним.
На рис. 4 показано зміну температури по товщині пластини на
останньому часовому шарі. Як бачимо, розв’язок добре відобража-
ється і при невеликій кількості вузлів (тобто при великому кроці по
часу), що є характерним для неявних різницевих схем.
Рис. 4. Зміна температури на останньому часовому шарі ( 0.0001t = ):
1 — 10m = , 2 — 20m = , 3 — 100m =
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
225
Як бачимо з графіків на рис. 5, схема з урахуванням рівняння
на границі добре враховує нелінійність коефіцієнтів теплоємності та
теплопровідності в діапазоні ( o o650 С 850 С − ), тоді як схема без ура-
хування цієї нелінійності гірше відображає цей факт — розв’язки
отримуються у вказаному діапазоні згладжені.
Кількість ітерацій для розв’язування схеми (9), (5), (15) дещо бі-
льша, ніж для схеми (9), (5), (16). Це пов’язано з використанням сут-
тєво нелінійного рівняння (15) на границі у першій схемі і лінійного
рівняння (16) у другій схемі. При розв’язуванні різницевої схеми (9),
(5), (16) працюють і методи типу хорд, і метод Ньютона, причому
найшвидше збігається саме метод Ньютона (параметри 0α β= = )
(див. таблиця 6).
Таблиця 6
Загальна кількість ітерацій для 40n = , 10m = , схема (9), (5), апроксимація
граничної умови способом (16)
Лінійна апроксимація Кубічна апроксимація
α
β –1 –0.5 0 0.5
1
–1 59 57 57 54 52
–0.5 57 57 55 51 54
0 57 54 45 54 57
0.5 54 51 53 57 57
1 52 53 57 57 59
Рис. 5. Зміна температури на поверхні 0.004x = :
1 — схема з урахуванням рівняння на границі, 2 — схема без урахування рів-
няння на границі
α
β –1 –0.5 0 0.5 1
–1 59 57 57 52 52
–0.5 57 57 54 50 55
0 57 55 46 54 57
0.5 55 50 54 57 57
1 52 54 57 57 60
Математичне та комп’ютерне моделювання
226
Висновки. Отже, у статті побудовано неявні різницеві схеми з по-
рядками апроксимації ( )2O hτ + та ( )2 2O hτ + для одновимірного не-
лінійного рівняння теплопровідності з крайовими умовами першого та
другого роду та виявлено властивості розв’язків цих схем. Показано зна-
чний вплив способу апроксимації крайової умови, яка містить похідну.
Для розв’язування різницевих рівнянь застосовано метод типу хорд,
який виявився ефективним у випадку табличного задання теплофізичних
коефіцієнтів та при використанні основного рівняння для апроксимації
крайової умови. Отримані результати можна використати при дослі-
дженні задач теплопровідності більшої розмірності, коли можливості
чисельного експерименту більш обмежені.
7BСписок використаних джерел:
1. Безухов Н. И. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в услови-
ях высоких температур / Н. И. Безухов [и др.]. — М. : Машиностроение,
1965. — 566 с.
2. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности /
Л. А. Коздоба. — К. : Наук. думка, 1975. — 228 c.
3. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — М. : Нау-
ка, 1977. — 654 с.
4. Шахно С. М. Двопараметричні методи типу хорд для розв’язування нелі-
нійних рівнянь / С. М. Шахно, С. І. Граб, Г. П. Ярмола // Вісник Львівсь-
кого університету. Сер. прикл. матем. та інф. — Львів : ЛНУ імені Івана
Франка, 2009. — Вип. 15. — С. 117–127.
5. Potra F. A. On an iterative algorithm of order 1.839… for solving nonlinear
operator equation / F. A. Potra // Numer. Funct. Anal. And Optimiz., 1984–85.
— Vol. 7, № 1. — C. 75–106.
The nonstationary nonlinear heat conduction problem is considered
given that heat capacity and coefficient of heat conductivity are set analyti-
cally and tabularly. According to balance method, the nonlinear boundary
problem is reduced to a system of nonlinear equations. This system is nu-
merically solved by two parametric secant type methods. The numerical
results of the considered problem are presented.
Key words: heat conduction problem, difference equation, two para-
metric secant type method.
Отримано: 17.05.2010
|