Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням
Описано гетерогенну математичну модель пружного тiла з тонким включенням. Напружено-деформований стан включення моделюється спiввiдношеннями безмоментної теорiї оболонок, для масивної частини застосовуються спiввiдношення класичної теорiї пружностi. Результати числових експериментiв подано для плоск...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18653 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням / Л. I. Винницька, Я.М. Григоренко, Я. Г. Савула // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 62-66. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860086332579119104 |
|---|---|
| author | Винницька, Л.І. Григоренко, Я.М. Савула, Я.Г. |
| author_facet | Винницька, Л.І. Григоренко, Я.М. Савула, Я.Г. |
| citation_txt | Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням / Л. I. Винницька, Я.М. Григоренко, Я. Г. Савула // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 62-66. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Описано гетерогенну математичну модель пружного тiла з тонким включенням. Напружено-деформований стан включення моделюється спiввiдношеннями безмоментної теорiї оболонок, для масивної частини застосовуються спiввiдношення класичної теорiї пружностi. Результати числових експериментiв подано для плоскої задачi, що описує розтяг пластини з круговим отвором. Дослiджується вплив тонкого покриття на коефiцiєнт концентрацiї напружень та розподiл напружень у пластинi.
A heterogeneous mathematical model of elastic body with thin inclusion is stated. The membrane shell theory is used for the modeling of a stress-strain state of the inclusion. A stress-strain state of the matrix is described by the equations of elasticity theory. Numerical results are represented for the plane problem which describes the stretching of a plate with circular hole. The influence of a thin coating on the stress concentration factor and the distribution of stresses in the plate is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:20:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6;539.3
© 2009
Л. I. Винницька, академiк НАН України Я.М. Григоренко,
Я. Г. Савула
Гетерогенна математична модель пружного тiла
з тонким податливим на згин включенням
Описано гетерогенну математичну модель пружного тiла з тонким включенням. На-
пружено-деформований стан включення моделюється спiввiдношеннями безмоментної
теорiї оболонок, для масивної частини застосовуються спiввiдношення класичної теорiї
пружностi. Результати числових експериментiв подано для плоскої задачi, що описує
розтяг пластини з круговим отвором. Дослiджується вплив тонкого покриття на ко-
ефiцiєнт концентрацiї напружень та розподiл напружень у пластинi.
Розглянемо пружне тiло, обмежене областю Ω = Ω1
⋃
Ω∗
2, де Ω1, Ω∗
2 — тривимiрнi пiдобластi
з лiпшицевими границями Γ1 = Γ+
1
⋃
Γ−
1
⋃
ΓB
1
⋃
ΓJ
1 , Γ∗
2 = Γ+
2
⋃
Γ−
2
⋃
Γ∗B
2
⋃
Γ∗J
2 вiдповiдно.
Поперечний перерiз тiла (x2 = const) подано на рис. 1. Вважатимемо, що тонке включення
Ω∗
2 не виходить за межi масивної частини Ω1. Нехай напружено-деформований стан тiла,
що займає область Ω1, описується спiввiдношеннями теорiї пружностi [1], а напружено-де-
формований стан середовища, що обмежене областю Ω∗
2, — спiввiдношеннями безмоментної
теорiї оболонок [2]. Вважатимемо, що на спiльних частинах границь Γ1, Γ∗
2 виконуються
умови iдеального механiчного контакту.
Нехай задано вiдображення θ : (ξ1, ξ2) ∈ Ω2 ⊂ R
2 → θ(ξ1, ξ2) ∈ S ⊂ R
3, де (ξ1, ξ2) —
довiльна точка з Ω2. Вважаємо, що лiнiї ξ1, ξ2 є координатними лiнiями на поверхнi S. Вве-
демо вектори ~θ3 = ∂θ/∂ξi, i = 1, 2, ~θ3 = ~θ1 × ~θ2, якi є триортогональними, ~θ1, ~θ2 визначають
дотичну до S площину, ~θ3 — вектор нормалi до S.
Область Ω1 вiднесемо до декартової системи координат Ox1x2x3, а область Ω∗
2 — до
криволiнiйної триортогональної системи координат ξ1ξ2ξ3, ξ3 ∈ [−h/2;h/2], де h — товщина
включення, яка є сталою.
Вважаємо, що границя Γ+
2 є лицьовою поверхнею ξ3 = h/2 оболонки, Γ−
2 — лицьовою
поверхнею ξ3 = −h/2, Γ∗J
2
⋃
Γ∗B
2 є боковою поверхнею оболонки, яка утворена рухом перпен-
дикуляра до серединної поверхнi S вздовж її границi ∂S. Для границь контакту областей Ω1
Рис. 1
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
та Ω∗
2 виконуються спiввiдношення Γ+
1 = Γ+
2 , Γ−
1 = Γ−
2 , ΓJ
1 = Γ∗J
2 . Нехай Γ2 = ΓJ
2
⋃
ΓB
2 —
границя областi Ω2 i Γ∗J
2 = ΓJ
2 × [−h/2;h/2], Γ∗B
2 = ΓB
2 × [−h/2;h/2].
В точках поверхнi Γ1 задамо праву ортонормовану трiйку векторiв ~n, ~t1, ~t2, де ~n — вектор
зовнiшньої нормалi, а ~t1, ~t2 лежать у дотичнiй площинi. Через ~ν, ~τ1, ~τ2 позначимо праву
ортонормовану трiйку векторiв, якi визначенi в точках поверхонь Γ+
2 , Γ−
2 , ∂S. Вважаємо,
що для Γ+
2 , Γ−
2 вектор ~ν є вектором зовнiшньої нормалi, ~τ1, ~τ2 лежать в дотичнiй площинi,
в точках границi ∂S напрям ~ν збiгається з напрямом вектора ~θ3, ~τ1 — вектор нормалi до
∂S, ~τ2 — вектор дотичної до ∂S.
Позначимо через ~u = (u1, u2, u3) вектор перемiщень точок областi Ω1, а через ~υ =
= (υ1, υ2, w) — вектор перемiщень точок областi Ω2.
Розглянемо частини границi ΓJ
1 = Γ∗J
2 . Нехай на цих поверхнях мiж трiйками ортонор-
мованих векторiв мають мiсце спiввiдношення ~n = −~τ1, ~t1 = −~τ2, ~t2 = ~ν. Тодi геометричнi
(головнi) та статичнi (природнi) умови спряження мають вигляд
un = −υτ1 , ut1 = −υτ2, ut2 = υν , (1)
h/2∫
−h/2
σnndξ3 = Tτ1τ1 ,
h/2∫
−h/2
σnt1dξ3 = Tτ1τ2 ,
h/2∫
−h/2
σnt2dξ3 = 0. (2)
Для границь Γ+
1 = Γ+
2 i Γ−
1 = Γ−
2 спiввiдношення мiж трiйками ортонормованих векторiв
подамо так: ~n = −~ν, ~t1 = −~τ2, ~t2 = −~τ1. Задамо умови спряження на Γ+
1 = Γ+
2 :
un = −w, ut1 = −υ2, ut2 = −υ1, (3)
σnn = −σ+
13, σnt1 = −σ+
23, σnt2 = −σ+
33, (4)
а на Γ−
1 = Γ−
2 цi умови задаються спiввiдношеннями
un = w, ut1 = υ2, ut2 = υ1, (5)
σnn = −σ−
13, σnt1 = −σ−
23, σnt2 = −σ−
33. (6)
Нехай виконуються такi граничнi умови:
u1 = u2 = u3 = 0 на ΓB
1 , υ1 = υ2 = 0 на ΓB
2 . (7)
Варiацiйне формулювання з урахуванням граничних умов (7) та умов спряження (1)–(6)
має вигляд:
знайти такий розв’язок ~U = (u1, u2, u3, υ1, υ2, w) ∈ V , що
a1(~u, ~̃u) + a2(~υ, ~̃υ) = l1(~̃u) + l2(~̃υ) ∀
~̃
U ∈ V, (8)
a1(~u, ~̃u) =
∫∫∫
Ω1
(σ11ẽ11 + σ22ẽ22 + σ33ẽ33 + σ12ẽ12 + σ13ẽ13 + σ23ẽ23)dΩ1,
a2(~υ, ~̃υ) =
∫∫
Ω2
(T11ε̃11 + T22ε̃22 + T12ε̃12)dΩ2,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 63
l1(~̃u) =
∫∫∫
Ω1
(f1ũ1 + f2ũ2 + f3ũ3)dΩ1,
l2(~̃υ) =
∫∫
Ω2
{ h/2∫
−h/2
(1 + k1ξ3)(1 + k2ξ3)(p1υ̃1 + p2υ̃2 + p3υ̃3)dξ3
}
dΩ2,
V =
~U : u1 ∈ H1(Ω1), i = 1, 2, 3;
υα ∈ H1(Ω2), α = 1, 2; w ∈ L2(Ω2);
умови (1), (3), (5), (7).
Для сформульованої задачi виконується така теорема.
Теорема. Нехай fi ∈ L2(Ω1), pi ∈ L2(Ω2), i = 1, 2, 3, Ω∗
2 — елiптична оболонка, на
границi областi Ω перемiщення дорiвнюють нулю. Тодi iснує єдиний розв’язок варiацiйної
задачi (8).
Дане твердження одержуємо як наслiдок з леми Лакса–Мiльграма [3], довiвши вiдпо-
вiднi властивостi бiлiнiйних та лiнiйних форм, якi входять у варiацiйне рiвняння (8).
Як приклад застосування запропонованої моделi, розглянемо плоску задачу для випад-
ку, коли включення виходить на границю однiєю iз лицьових поверхонь i тому є покриттям.
Основнi спiввiдношення плоскої задачi подано в [4, 5].
Нехай пластина 2b × 2a має в центрi, що збiгається з початком координат, круговий
отвiр радiусом r (рис. 2). Вiднесемо її до декартової системи координат Ox1x2. Нехай на
границях {(x1, x2) : x1 ∈ [−d; d], x2 = a}, {(x1, x2) : x1 ∈ [−d; d], x2 = −a} пластина має
покриття товщиною h. На границях x1 = b, x1 = −b задана умова σnn = p. Дослiдимо вплив
покриття на значення коефiцiєнта концентрацiї напружень (ККН) та розподiл напружень
у пластинi.
Нехай покриття вiдсутнє. Тодi у випадку нескiнченної пластини приходимо до задачi
Кiрша, для якої ККН KT = 3 в точках з координатами (0, r), (0,−r). Якщо ширина пла-
стини a скiнченна, а b = ∞, то KT можна обчислити за формулою [5]
KT =
{
2 +
(
1 −
r
a
)3}
/
{
1 −
r
a
}
. (9)
Числовий аналiз задачi здiйснимо методом скiнченних елементiв з використанням фун-
кцiй-бульбашок другого порядку апроксимацiї [7, 8]. В рамках запропонованого пiдходу
Рис. 2
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
Рис. 3 Рис. 4
покриття розглядаємо як вiдрiзок серединної прямої, надiлений вiдповiдними властивостя-
ми: товщиною покриття, модулем Югна та коефiцiєнтом Пуассона. Застосовуючи головнi
умови спряження, формуємо єдину систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Вважаємо, що
b/r = 10, E1/p = 17000, ν1 = 0,42, E2/p = 397000, ν2 = 0,28, де E1, ν1 — механiчнi ха-
рактеристики матерiалу пластини, E2, ν2 — покриття. Числове дослiдження здiйснимо для
областi Ω, яка займає першу чверть декартової системи координат Ox1x2, а на границях
{(x1, x2) : x1 ∈ [r; b], x2 = 0}, {(x1, x2) : x1 = 0, x2 ∈ [r; a]} задамо умови симетрiї un = 0,
σnt = 0. Аналiз проведемо на подiлах, для яких контур частини отвору, що належить Ω,
подiлено на 15 елементiв однакової довжини.
Нехай KFEM = max
Ω
σ11/p — ККН, отриманий з числових результатiв. На рис. 3 пода-
но залежнiсть KFEM вiд d/r для випадку r/h = 50. Суцiльна лiнiя iлюструє результати,
одержанi для пластини, розмiри якої задовольняють спiввiдношення a/r = 1,2, штрихова —
для пластини a/r = 1,25. Вiдзначимо, що вiдносна похибка KFEM порiвняно з K, який
обчислений за формулою (9), за вiдсутностi покриття, у випадку a/r = 1,25 дорiвнює 3,1%
та 2,6% у випадку a/r = 1,2. Бачимо, що за допомогою покриття можна iстотно зменшити
ККН. Значне зменшення досягається вже для d/r = 1. Оптимальне спiввiдношення мiж
довжиною покриття та коефiцiєнтом концентрацiї напружень отримуємо, коли 3 6 d/r 6 4,
причому збiльшення довжини покриття не приводить до значної змiни ККН.
На рис. 4 зображено розподiл напружень σ11/p на круговому отворi (a/r = 1,2) для
рiзних вiдношень d/r. Як свiдчать результати, напруження набувають найменших значень
у випадку d/r = 4.
Таким чином, наявнiсть покриття для пластини з отвором дає змогу зменшити ККН.
Запропонований пiдхiд слiд використорувати, коли товщина включення (покриття) є
значно меншою за розмiри масивної частини, i для включення виконуються припущення
безмоментної теорiї.
1. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. – Киев: Наук. думка, 1972. – 501 с.
2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. – Москва: Наука, 1976. – 512 с.
3. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. – Москва: Мир, 1985. –
590 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 65
4. Савула Я., Винницька Л. Числовий аналiз напружено-деформованого стану порожнистого цилiндра
з тонким включенням // Фiз.-мат. моделювання та iнформ. технологiї. – 2007. – 6. – С. 54–65.
5. Винницька Л., Савула Я. Напружено-деформований стан пружного тiла з тонким включенням //
Там само. – 2008. – 7. – С. 21–29.
6. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. – Москва: Мир, 1977. – 302 с.
7. Szabo B., Babuska I. Finite element analysis. – New York: Wiley, 1991. – 368 p.
8. Adjerid S., Aiffa M., Flaherty J. E. Hierarchical finite element bases for triangular and tetrahedral ele-
ments // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2001. – 190. – P. 2925–2941.
Надiйшло до редакцiї 19.01.2009Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
L. I. Vynnytska, Academician of the NAS of Ukraine Ya. M. Hryhorenko,
Ya. G. Savula
A heterogeneous mathematical model of elastic body with thin bending
compliant inclusion
A heterogeneous mathematical model of elastic body with thin inclusion is stated. The membrane
shell theory is used for the modeling of a stress-strain state of the inclusion. A stress-strain state
of the matrix is described by the equations of elasticity theory. Numerical results are represented
for the plane problem which describes the stretching of a plate with circular hole. The influence
of a thin coating on the stress concentration factor and the distribution of stresses in the plate is
investigated.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18653 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:20:09Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Винницька, Л.І. Григоренко, Я.М. Савула, Я.Г. 2011-04-06T21:35:09Z 2011-04-06T21:35:09Z 2009 Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням / Л. I. Винницька, Я.М. Григоренко, Я. Г. Савула // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 62-66. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18653 519.6;539.3 Описано гетерогенну математичну модель пружного тiла з тонким включенням. Напружено-деформований стан включення моделюється спiввiдношеннями безмоментної теорiї оболонок, для масивної частини застосовуються спiввiдношення класичної теорiї пружностi. Результати числових експериментiв подано для плоскої задачi, що описує розтяг пластини з круговим отвором. Дослiджується вплив тонкого покриття на коефiцiєнт концентрацiї напружень та розподiл напружень у пластинi. A heterogeneous mathematical model of elastic body with thin inclusion is stated. The membrane shell theory is used for the modeling of a stress-strain state of the inclusion. A stress-strain state of the matrix is described by the equations of elasticity theory. Numerical results are represented for the plane problem which describes the stretching of a plate with circular hole. The influence of a thin coating on the stress concentration factor and the distribution of stresses in the plate is investigated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням A heterogeneous mathematical model of elastic body with thin bending compliant inclusion Article published earlier |
| spellingShingle | Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням Винницька, Л.І. Григоренко, Я.М. Савула, Я.Г. Механіка |
| title | Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням |
| title_alt | A heterogeneous mathematical model of elastic body with thin bending compliant inclusion |
| title_full | Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням |
| title_fullStr | Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням |
| title_full_unstemmed | Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням |
| title_short | Гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням |
| title_sort | гетерогенна математична модель пружного тіла з тонким податливим на згин включенням |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18653 |
| work_keys_str_mv | AT vinnicʹkalí geterogennamatematičnamodelʹpružnogotílaztonkimpodatlivimnazginvklûčennâm AT grigorenkoâm geterogennamatematičnamodelʹpružnogotílaztonkimpodatlivimnazginvklûčennâm AT savulaâg geterogennamatematičnamodelʹpružnogotílaztonkimpodatlivimnazginvklûčennâm AT vinnicʹkalí aheterogeneousmathematicalmodelofelasticbodywiththinbendingcompliantinclusion AT grigorenkoâm aheterogeneousmathematicalmodelofelasticbodywiththinbendingcompliantinclusion AT savulaâg aheterogeneousmathematicalmodelofelasticbodywiththinbendingcompliantinclusion |