Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей
Отримано новi результати про максимум добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей вiдносно деяких систем точок. New results on maximization of the product of inner radii of mutually nonintersecting domains with respect to some systems of points are presented....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18655 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей / A. К. Бахтин, Г.П. Бахтина, Р.В. Подвысоцкий // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 13-17. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859710920550252544 |
|---|---|
| author | Бахтин, A.К. Бахтина, Г.П. Подвысоцкий, Р.В. |
| author_facet | Бахтин, A.К. Бахтина, Г.П. Подвысоцкий, Р.В. |
| citation_txt | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей / A. К. Бахтин, Г.П. Бахтина, Р.В. Подвысоцкий // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 13-17. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Отримано новi результати про максимум добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей вiдносно деяких систем точок.
New results on maximization of the product of inner radii of mutually nonintersecting domains with respect to some systems of points are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-01T05:31:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.54
© 2009
A. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Р.В. Подвысоцкий
Неравенства для внутренних радиусов неналегающих
областей
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
Отримано новi результати про максимум добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно непе-
ретинних областей вiдносно деяких систем точок.
Оценки различных функционалов, заданных на классах взаимно неналегающих областей,
представляют известное классическое направление геометрической теории функций комп-
лексного переменного, с результатами, методами и историей развития которого можно озна-
комиться в работах [1–10]. Многие результаты этого направления получены благодаря реше-
нию соответствующих экстремальных задач. Одним из важных элементов исследования эк-
стремальных задач является теория квадратичных дифференциалов, один из ключевых ре-
зультатов которой — “Основная структурная теорема” Дж.А. Дженкинса, дает полное опи-
сание глобальной структуры траекторий положительного квадратичного дифференциала
на конечной римановой поверхности (см. [3]).
Новые возможности для данной теории возникли благодаря методу кусочно-разделяю-
щего преобразования (см. [7–11]).
Большинство результатов о неналегающих областях связано, как правило, с получением
оценок произведений внутренних радиусов этих областей (см. [1–11]). В работе [5] получе-
ны первые результаты для функционалов “типа суммы”, которым в [12] дано дальнейшее
развитие. В данной работе рассматривается новый подход к решению задач об оценке функ-
ционалов “типа суммы” на основе разделяющего преобразования, а также приводятся но-
вые результаты, относящиеся к тематике экстремальных задач со свободными полюсами
соответствующих квадратичных дифференциалов, интерес к которой в последнее время
значительно возрос.
Обозначения и определения. Пусть N, C — множества натуральных и комплексных
чисел соответственно, C = C
⋃
{∞} — расширенная комплексная плоскость или сфера Ри-
мана.
Системой неналегащих областей (с. н. о.) называется конечный набор произвольных об-
ластей {Bk}
n
k=1, n ∈ N, n > 2 таких, что Bk ⊂ C, Bk
⋂
Bm = ∅, k 6= m, k,m = 1, n.
Произвольный набор точек An = {ak}
n
k=1, ak ∈ C \ {0}, k = 1, n, n ∈ N, n > 2, подчиненных
условию
0 = arg a1 < arg a2 < arg a3 < · · · < arg an < 2π. (1)
назовем n-лучевой системой точек.
Рассмотрим области
Ek = {w : arg ak < arg w < arg ak+1}, k = 1, n, En+1 = E1.
Пусть θk =
1
π
arg
ak+1
ak
, k = 1, n, θn+1 = θ1. Ясно, что
n
∑
k=1
θk = 2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 13
При k = 1, n обозначим через ξk(w) ту ветвь многозначной аналитической функции
ξ = −i(e−i arg akw)1\θk , которая реализует однолистное и конформное отображение области
Ek на правую полуплоскость.
Для удобства связную компоненту множества Q, содержащую точку b, обозначим [Q]b.
Будем говорить, что с. н. о. удовлетворяет дополнительному условию неналегания относи-
тельно заданного набора точек An = {ak}
n
k=1, если ak ∈ Bk, k = 1, n и при каждом k = 1, n
существует хотя бы одна горизонтальная прямая
lk(η) = {ξ : Im ξ = η}, η ∈ (−|ak|
1/θk , |ak+1|
1/θk),
не имеющая общих точек ни с множеством ξk([Bk
⋂
Ek]ak
), ни с множеством ξk([Bk+1
⋂
⋂
Ek]ak+1
), где ξk(D) — образ множества D при отображении ξk.
Внутренний радиус области B,B ⊂ C относительно точки a ∈ B обозначим через r(B, a)
(см. [7–10]).
Результаты и доказательства. Рассмотрим задачу о максимуме функционала
Jn :=
n
∑
k=1
|ak|
1/2(1/θk−1+1/θk)−1 · r(Bk, ak) (2)
на классе всех с. н. о., удовлетворяющих дополнительному условию неналегания относи-
тельно систем точек An = {ak}
n
k=1, удовлетворяющих условию (1). Функционал (2) — это
функционал “типа суммы”, а задача об экстремуме этого функционала относится к разряду
задач со свободными полюсами. Сформулируем следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть n ∈ N, n > 2. Тогда для любой n-лучевой системы точек An =
= {ak}
n
k=1 такой, что
n
∑
k=1
θk(|ak|
1/θk + |ak+1|
1/θk) = 4,
и любой с. н. о. Bk = {ak}
n
k=1, удовлетворяющей дополнительному условию неналегания
относительно An, справедливо неравенство
Jn 6 4.
Знак равенства в этом неравенстве достигается, в частности, тогда, когда точки ak
и области Bk являются соответственно полюсами и круговыми областями квадрати-
чного дифференциала
Q(w)dw2 = −
wn−2
(wn − 1)2
dw2. (3)
Доказательство. Следуя методу разделяющего преобразования (см. [7–9]), получаем
соотношения
r(Bk, ak) 6 |ak|
−1/2(1/θk−1+1/θk)+1 ×
×
[
θk−iθkr(G
(2)
k−1, i|ak|
1/(θk−1))r(G
(1)
k ,−i|ak|
1/θk)
]1/2
, k = 1, . . . , n,
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
где
G
(1)
k = ξk([Bk
⋂
Ek]ak
)
⋃
{ξk[Bk
⋂
Ek]ak
}∗,
G
(2)
k = ξk([Bk+1
⋂
Ek]ak+1
)
⋃
{ξk[Bk+1
⋂
Ek]ak+1
}∗,
{D}∗ — множество, симметричное множеству D относительно мнимой оси, ξk(D) — образ
множества D при отображении ξk(w). Ясно, что −i|ak|
1/θk ∈ G
(1)
k , а i|ak+1|
1/θk ∈ G
(2)
k ,
k = 1, . . . , n.
Тогда для функционала (2) выполняются неравенства
Jn 6
n
∑
k=1
[θk−1r(G
(2)
k−1, i|ak|
1/θk−1) · θkr(G
(1)
k ,−i|ak|
1/θk)]1/2
6
6
1
2
n
∑
k=1
[θk−1r(G
(2)
k−1, i|ak|
1/θk−1) + θkr(G
(1)
k , i|ak|
1/θk)] =
=
1
2
n
∑
k=1
θk[r(G
(1)
k ,−i|ak|
1/θk) + r(G
(2)
k , i|ak+1|
1/θk)].
Сформулируем вспомогательный результат, принадлежащий А.К. Бахтину, который
значительно обобщает результат работы [12].
Лемма. Пусть a1, a2 ∈ C, a1 6= a2, и L — множество всех прямых, имеющих одну
и только одну точку пересечения с открытым отрезком (a1, a2). Тогда для произволь-
ных областей комплексной плоскости B1, B2, a1 ∈ B1, a2 ∈ B2, которые удовлетворяют
условию (B1
⋂
l)
⋃
(B2
⋂
l) = ∅ хотя бы для одной прямой l ∈ L, выполняется неравенство
r(B1, a1) + r(B2, a2) 6 2|a1 − a2|.
Равенство в этом неравенстве достигается для полуплоскостей, общая граница которых
есть прямая l ∈ L, ортогональная отрезку (a1, a2).
Доказательство. Пусть B0
1 есть компонента множества C\l, содержащая точку a1,
a B0
2 — вторая компонента множества C\l, содержащая точку a2. Ясно, что B0
1 и B0
2 —
полуплоскости, удовлетворяющие условиям леммы. Тогда B1 ⊂ B0
1 и B2 ⊂ B0
2 . Отсюда
следует, что r(B1, a1)+r(B2, a2) 6 r(B0
1 , a1)+r(B0
2 , a2) = 2|a1 −a2| sin θ, где θ — угол между
отрезком (a1, a2) и l. Отсюда следует справедливость леммы.
C учетом леммы и предыдущих оценок получим
J 6
n
∑
k=i
θk(|ak|
1/θk + |ak+1|
1/θk) = 4.
Утверждение о знаке равенства проверяется непосредственно. Теорема доказана.
Обозначив d(Bk, ak) := |ak|
1/2(1/θk−1+1/θk)−1 ·r(Bk, ak), k = 1, . . . , n, из теоремы 1 получим
следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть n ∈ N, n > 2 и {βk}
n
k=1 — набор неотрицательных чисел,
n
∑
k=1
βk =
= 1. Тогда для функционала
Ln =
n−1
∑
p=0
n
∏
k=1
[d(Bk, ak)]
βk+p ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 15
где βn+p := βp, p = 1, n, заданного на множестве всех с. н. о., удовлетворяющих допол-
нительному условию неналегания, относительно n-лучевых систем точек таких, что
n
∑
k=1
θk[|ak|
1/θk + |ak+1|
1/θk ] = 4, справедливо равенство
Ln 6 4.
Знак равенства достигается при условиях теоремы 1.
Частным случаем следствия 1 является следующий результат.
Следствие 2. При условиях теоремы 1 справедливо неравенство
√
d(B1, a1)d(B2, a2) +
√
d(B2, a2)d(B3, a3) + · · · +
√
d(Bn, an)d(B1, a1) 6 4.
Знак равенства достигается при условиях теоремы 1.
Для n-лучевых систем точек, лежащих на окружности, получаем такой результат.
Следствие 3. Пусть n ∈ N, n > 2. Тогда для любой системы точек An = {ak}
n
k=1
единичной окружности, удовлетворяющей условию (1), и любой с. н. о., удовлетворяющей
дополнительному условию неналегания относительно этой системы точек An, выполня-
ется неравенство
n
∑
k=1
r(Bk, ak) 6 4.
Знак равенства достигается при условиях теоремы 1.
Далее рассмотрим задачу о максимуме функционала
Jn = rγ(B0, 0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak),
где {Bk}
n
k=0 — с. н. о. и An = {ak}
n
k=1 — n-лучевая система точек, причем 0 ∈ B0, ak ∈ Bk,
k = 1, n.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть γ5 = 1,15, γ6 = 1,3, γ7 = 1,45, γn = 1,5, n > 8, n ∈ N. Тогда
для каждого n ∈ N, n > 5, любого набора точек An = {ak}
n
k=1 единичной окружности
и произвольной с. н. о. {Bk}
n
k=0, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk, k = 1, . . . , n, справедливо неравенство
rγn(B0, 0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak) 6 rγn(D0, 0)
n
∏
k=1
r(Dk, dk),
где dk = exp i
2π
n
(k − 1), k = 1, . . . , n. Для каждого фиксированного n > 5 знак равенства
в этом неравенстве достигается, когда ak и Bk (k = 1, . . . , n) являются соответственно
полюсами и круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
(n2 − γn)wn + γn
w2(wn − 1)2
dw2. (4)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
Теорема 3. Пусть n ∈ N, n > 2. Тогда для любой системы различных точек едини-
чной окружности An = {ak}
n
k=1 и любой с. н. о. {Bk}
n
k=0, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk, k = 1, . . . , n,
справедливо неравенство
r(B0, 0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak) 6
[
n
∏
k=1
θk
]1/2
41/n(2n)3n/2
(n2 − 1)n+1/n
(
n − 1
n + 1
)2
.
Знак равенства достигается тогда, когда точки ak и области Bk являются соответст-
венно полюсами и круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
(n2 − 1)wn + 1
w2(wn − 1)2
dw2.
Отметим, что теоремы 2 и 3 получены А.К. Бахтиным и Р.В. Подвысоцким.
Работа выполнена при частичой финансовой поддержке Государственной программы Украи-
ны 0107U002027.
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
4. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. – Москва: Наука, 1975. – 336 с.
5. Бахтина Г.П. Об одной экстремальной задаче конформного отображения единичного круга на не-
налегающие области // Укр. мат. журн. – 1974. – 26, № 5. – С. 646–648.
6. Бахтина Г.П. О конформных радиусах симметричных неналегающих областей // Современные во-
просы вещественного и комплексного анализа. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. – С. 21–27.
7. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
8. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1 (295). – С. 3–76.
9. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций: Учеб. пособие. – Владиво-
сток: Изд. Дальневост. ун-та, 2003. – 116 с.
10. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометричес-
кие методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73. – 308 с.
11. Подвысоцкий Р.В. Оценка произведения внутренних радиусов частично неналегающих областей //
Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 7. – С. 1004–1008.
12. Stankiewicz J., Stankiewicz Z. On the mapping of the unit disk onto disjoining domains // Материалы III
Петрозав. междунар. конф. по теории функций комплексного переменного, посвященной 100-летию
Г.М. Голузина. – Петрозаводск: Изд-во Петрозав. ун-та, 2006. – С. 36.
Поступило в редакцию 10.02.2009Институт математики НАН Украины, Киев
A.K. Bakhtin, G.P. Bakhtina, R.V. Podvysotskiy
Inequalities for inner radii of nonoverlapping domains
New results on maximization of the product of inner radii of mutually nonintersecting domains
with respect to some systems of points are presented.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 17
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18655 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T05:31:25Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бахтин, A.К. Бахтина, Г.П. Подвысоцкий, Р.В. 2011-04-06T21:44:35Z 2011-04-06T21:44:35Z 2009 Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей / A. К. Бахтин, Г.П. Бахтина, Р.В. Подвысоцкий // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 13-17. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18655 517.54 Отримано новi результати про максимум добутку внутрiшнiх радiусiв взаємно неперетинних областей вiдносно деяких систем точок. New results on maximization of the product of inner radii of mutually nonintersecting domains with respect to some systems of points are presented. Работа выполнена при частичой финансовой поддержке Государственной программы Украины 0107U002027. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей Inequalities for inner radii of nonoverlapping domains Article published earlier |
| spellingShingle | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей Бахтин, A.К. Бахтина, Г.П. Подвысоцкий, Р.В. Математика |
| title | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей |
| title_alt | Inequalities for inner radii of nonoverlapping domains |
| title_full | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей |
| title_fullStr | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей |
| title_full_unstemmed | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей |
| title_short | Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей |
| title_sort | неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18655 |
| work_keys_str_mv | AT bahtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastei AT bahtinagp neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastei AT podvysockiirv neravenstvadlâvnutrennihradiusovnenalegaûŝihoblastei AT bahtinak inequalitiesforinnerradiiofnonoverlappingdomains AT bahtinagp inequalitiesforinnerradiiofnonoverlappingdomains AT podvysockiirv inequalitiesforinnerradiiofnonoverlappingdomains |