Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування
Наведено новi нелiнiйнi iнтегральнi нерiвностi типу Беллмана–Бiхарi для розривних функцiй (iнтегро-сумарнi нерiвностi; iмпульснi iнтегральнi нерiвностi). Розглянуто застосування отриманих результатiв: умови обмеженостi (рiвномiрної), стiйкостi за Ляпуновим (рiвномiрної), практичної стiйкостi за Чета...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18656 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування / С.С. Борисенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 18-26. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859713217723367424 |
|---|---|
| author | Борисенко, С.С. |
| author_facet | Борисенко, С.С. |
| citation_txt | Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування / С.С. Борисенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 18-26. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Наведено новi нелiнiйнi iнтегральнi нерiвностi типу Беллмана–Бiхарi для розривних функцiй (iнтегро-сумарнi нерiвностi; iмпульснi iнтегральнi нерiвностi). Розглянуто застосування отриманих результатiв: умови обмеженостi (рiвномiрної), стiйкостi за Ляпуновим (рiвномiрної), практичної стiйкостi за Четаєвим (рiвномiрної) для розв’язкiв iмпульсних диференцiальних та iнтегро-диференцiальних систем звичайних диференцiальних рiвнянь.
We present some new nonlinear integral inequalities of the Bellman–Bihari type for discontinuous functions (integro-sum inequalities; impulse integral inequalities). Some applications of the results are included: conditions of boundedness (uniform), stability by Lyapunov (uniform), and practical stability by Chetaev (uniform) for the solutions of impulsive differential and integro-differential systems of ordinary differential equations.
|
| first_indexed | 2025-12-01T06:49:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2009
С.С. Борисенко
Iнтегро-функцiональнi нерiвностi типу Беллмана–Бiхарi
для розривних функцiй та їх застосування
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Наведено новi нелiнiйнi iнтегральнi нерiвностi типу Беллмана–Бiхарi для розривних
функцiй (iнтегро-сумарнi нерiвностi; iмпульснi iнтегральнi нерiвностi). Розглянуто за-
стосування отриманих результатiв: умови обмеженостi (рiвномiрної), стiйкостi за
Ляпуновим (рiвномiрної), практичної стiйкостi за Четаєвим (рiвномiрної) для розв’яз-
кiв iмпульсних диференцiальних та iнтегро-диференцiальних систем звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь.
Дана робота присвячена подальшому розвитку методу iнтегральних нерiвностей для роз-
ривних функцiй як ефективному методу дослiдження якiсних характеристик розв’язкiв
рiзноманiтних типiв рiвнянь: функцiонально-диференцiальних, рiзницевих, з частинними
похiдними, iмпульсних диференцiальних [1–15].
Використовуючи вiдомi результати для неперервних та дискретних узагальнень не-
рiвностей типу Гронуолла–Беллмана–Бiхарi та результатiв Н. В. Азбелєва, З. Б. Цалю-
ка, Л.Ф. Рахматуллiної для дослiдження умов розв’язуваностi задачi Чаплигiна для iн-
тегральних рiвнянь (нерiвностей) типу Вольтерра (одновимiрний, неперервний випадок),
ми розглянемо новi iнтегро-функцiональнi нерiвностi для розривних функцiй типу Бiхарi
(див. [15]).
З отриманих результатiв будуть знайденi як наслiдки попереднi вiдомi результати
А.М. Самойленка, М.О. Перестюка [1–3], М.О. Перестюка, О.С. Чернiкової [5], А.М. Са-
мойленка, С.Д. Борисенка, К. Каттанi та iн. [6], А.М. Самойленка, С.Д. Борисенка,
Дж. Матараццо та iн. [4], Дж. Iоване [8], С.Д. Борисенка, Дж. Iоване, П. Гiордано [9],
С.Д. Борисенка, Дж. Матараццо, М. Пекораро [10], Д.С. Борисенка, А. Галло, Р. Тоска-
но [7], Ю.О. Митропольського, Дж. Iоване, С.Д. Борисенка [14] для iнтегро-сумарних не-
рiвностей.
Вiдзначимо, що в роботах [1–6] були дослiдженi iнтегро-сумарнi нерiвностi для куско-
во-неперервних функцiй вигляду
φ(t) 6 ψ(t) +
t
∫
t0
K(t, s, φ(s))ds +
∑
t0<ti<t
µ(t, ti)σi(φ(ti − 0)), (1)
де ψ(t), µ(t, ti), σi(t) — неперервнi невiд’ємнi функцiї (i = 1, 2, . . .) при t > t0 > 0, φ(t) > 0,
∀t > t0 та має розриви 1-го роду в точках {tk}, k = 1,∞ : 0 6 t0 < t1 < · · · , lim
i→∞
ti = ∞.
Припускалось, що ядро K(t, s, u) невiд’ємне при t > s > t0, визначене в областi t >
> s > t0, |u| 6 k = const > 0 i при фiксованих t i s неспадне за u; σk(u) — неперервнi,
невiд’ємнi i неспаднi за u.
В роботi [6] була отримана оцiнка
φ(t) 6 ξψ(t), ∀ t ∈ [t0,+∞], (2)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
де ξψ(t) — деякий розв’язок iнтегро-сумарного рiвняння
ξ(t) = ψ(t) +
t
∫
t0
K(t, s, ξ(s))ds +
∑
t0<t<ti
µ(t, ti)σi(ξ(ti − 0)) (3)
неперервний на кожному з iнтервалiв [ti, ti+1[, i = 1, 2, . . . , та має розриви першого роду
в точках {tk}.
У вищевказаних роботах залишився недослiдженим випадок, коли ядро K та σi одно-
часно були нелiпшiцевими. Саме цiй проблемi i присвячена дана робота.
Нерiвностi з гельдеровим характером iмпульсного впливу. Розглянемо клас ℘
неперервних функцiй (що визначають запiзнення) p : R → R, p(t) 6 t, lim
|t|→∞
p(t) = ∞. Має
мiсце такий результат.
Теорема 1. A. Припустимо, що для x > x0 виконується iнтегро-функцiональна не-
рiвнiсть:
u(x) 6 ϕ(x) + q(x)
x
∫
x0
f(τ)W (u(p(τ))) dτ +
∑
x0<xi<x
βiu
m(xi − 0), (4)
де q(x) > 1, ϕ(x) — додатна неспадна функцiя, βi = const > 0, f : R+ → R+, m = const > 0;
функцiя u(x) кусково-неперервна, з розривами першого роду в точках xi: x0 < x1 < · · · ,
lim
n→∞
xn = ∞, p(t) належить класу ℘.
B. Функцiя W (x) задовольняє такi умови:
i) W (γβ) 6 W (γ)W (β);
ii) W : R+ → R+, W (0) = 0;
iii) W неспадна.
Тодi для довiльного x ∈ [x0,∞[ має мiсце оцiнка
u(x) 6 ϕ(x)q(x)G−1
i
[ x
∫
xi
f(τ)
ϕ(τ)
W (ϕ(p(τ)))q(p(τ)) dτ
]
, x ∈]xi, xi+1[, (5)
де
x
∫
xi
f(τ)
ϕ(τ)
W (ϕ(p(τ)))q(p(τ)) dτ ∈ Dom(G−1
i ),
G0(u) =
u
∫
1
dσ
W (σ)
, Gi(u) =
u
∫
ci
dσ
W (σ)
, i = 1, 2, . . . , (6)
ci = (1 + βiϕ
m−1(xi)g
m(xi − 0))G−1
i−1
( xi
∫
xi−1
f(τ)
ϕ(τ)
W (ϕ(p(τ)))q(p(τ)) dτ
)
, (7)
i = 1, 2, . . ., якщо m ∈]0, 1[, ∀x > x0;
ci = (1 + βiϕ
m−1(xi)g
m(xi − 0))
[
G−1
i−1
( xi
∫
xi−1
f(τ)
ϕ(τ)
W (ϕ(p(τ)))q(p(τ)) dτ
)]m
, (8)
i = 1, 2, . . ., якщо m > 1, ∀x > x0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 19
Розглянемо клас ℑ функцiй f таких, що:
j) f(x) — додатна, неперервна, неспадна при x > 0;
jj) ∀u > 1, ν > 0 ⇒ u−1f(ν) < f(u−1ν);
jjj) f(0) = 0.
Теорема 2. Припустимо, що виконується частина А теореми 1 i функцiя W : R+ →
→ R+ належить класу ℑ. Тодi для довiльного x0 6 x 6 x∗ виконується нерiвнiсть
u(x) 6 ϕ(x)q(x)G∗−1
i
[ x
∫
xi
f(τ)q(p(τ)) dτ
]
для x ∈ I1 =]xi, xi+1[, i = 1, 2, . . . ,
де
G∗
0(η) =
η
∫
1
dσ
W (σ)
, G∗
i (η) =
η
∫
c∗
i
dσ
W (σ)
, i = 1, 2, . . . , (9)
c∗i = (1 + βiϕ
m−1(xi)q
m(xi))G
∗−1
i−1
( xi
∫
xi−1
f(τ)q(p(τ)) dτ
)
, якщо m ∈]0, 1[;
c∗i = (1 + βiϕ
m−1(xi)q
m(xi))
[
G∗−1
i−1
( xi
∫
xi−1
f(τ)q(p(τ)) dτ
)]m
, якщо m > 1
i
x∗ = sup
x
{ x1
∫
xi−1
f(τ)q(p(τ)) dτ ∈ Dom(G∗−1
i−1 )
}
, i = 1, 2, . . . .
Теорема 3. Припустимо, що для x > x0 виконується нерiвнiсть
u(x) 6 u0 + q(x)
[ x
∫
x0
f(s)u(p(s))ds +
x
∫
x0
f(s)
( x
∫
x0
g(τ)u(p(τ)) dτ
)
ds
]
+
+
x
∫
x0
h(s)W (u(σ(s)))ds +
∑
x06xi6x
βiu
m(xi − 0), (10)
де x > x0 > 0, u(x), f(x), q(x), g(x), h(x), p(x), σ(x) — дiйснi невiд’ємнi функцiї, p(x), σ(x) ∈
∈ ℘, q(x) > 1, βi > 0 i W задовольняє умови i–iii теореми 1. Тодi для x > x0 справедливi
такi оцiнки:
u(x) 6
∏
x06xi6x
(1 + βiq
m(xi)u
m−1
0 ) exp
( x
∫
x0
q(p(τ))[f(τ) + g(τ)] dτ
)
×
× ψ−1
0
( x
∫
x0
h(τ)W
[
∏
x06xi6x
(1 + βiq
m(xi)u
m−1
0 )
]
×
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
×W
[
q(σ(τ)) exp
( σ(τ)
∫
x0
q(p(s))[f(s) + g(s)]ds
)]
dτ
)
, якщо m ∈]0, 1[
i
x
∫
x0
h(τ)W
[
∏
x06xi6x
(1 + βiq
m(xi)u
m−1
0 )
]
×
×W
[
q(σ(τ)) exp
( σ(τ)
∫
x0
q(p(s))[f(s) + g(s)]ds
)]
dτ ∈ Dom(ψ−1
0 ),
де
ψ0(u) =
u
∫
u0
dν
W (ν)
;
u(x) 6
∏
x06xi6x
(1 + βiq
m(xi)u
m−1
0 ) exp
(
m
x
∫
x0
q(p(τ))[f(τ) + g(τ)]dτ
)
×
× ψ−1
0
( x
∫
x0
h(τ)W
[
∏
x06xi6x
(1 + βiq
m(xi)u
m−1
0 )
]
×
×W
[
q(σ(τ)) exp
( σ(τ)
∫
x0
q(p(s))[f(s) + g(s)]ds
)]
dτ
)
, якщо m > 1
i
x
∫
x0
h(τ)W
[
∏
x06xi6x
(1 + βiq
m(xi)u
m−1
0 )
]
×
×W
[
q(σ(τ)) exp
( σ(τ)
∫
x0
q(p(s))[f(s) + g(s)]ds
)]
dτ ∈ Dom(ψ−1
0 ).
Наслiдки.
А. Якщо m = 1, то теорема 1 збiгається з результатом [6, теорема 3.7.1, с. 232].
В. При m = 1, ϕ = const, q = 1, p(t) = t твердження теореми 1 збiгається з резуль-
татами [3, 5].
С. Якщо m = 1, φ(x) = c, q(x) = 1, p(t) = t, то теорема 1 збiгається з результа-
том [14, твердження 2.3, с. 2143];
D. Якщо q(x) = 1, W (u) = u, p(t) = t, то ми отримаємо аналог результатiв Гронуолла–
Беллмана для розривних функцiй [7, лема 1].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 21
E. Якщо q(x) = 1, W (u) = u, то ми здобудемо результат [12, теорема 2.1].
F. Якщо g(x) = 1, W (u) = um, m > 0, p(t) = t, то ми матимемо аналог результату
Бiхарi для розривних функцiй [9].
G. Якщо W (u) = um, m > 0, то ми одержимо результат [13].
H. Якщо q(x) = 1, W (u) = u, σ(s) = p(s) = s, i m > 1, ∀x > x0, то ми отримаємо
результат теореми 3.1 [8] при n(t) = u0.
Застосування отриманих результатiв у дослiдженнi стiйкостi розв’язкiв iм-
пульсних систем. Розглянемо таку систему диференцiальних рiвнянь:
dx
dt
= F (t, x), t 6= ti, ∆x|t=ti = Ii(x), (11)
де x ∈ Rn, F ∈ Rn, Ii(x) ∈ Rn (i = 1, 2, . . .), t > t0 > 0, lim
i→∞
ti = ∞, ti−1 < ti ∀ i = 1, 2, . . . .
Припускатимемо, що F (t, x) i Ii(x) визначенi в деякiй областi D = {(t, x) : t ∈ [t0, T ], T 6
6 ∞, ‖x‖ 6 h} i задовольняють умови:
a) ‖F (t, x)‖ 6 f(t)W (‖x‖), f : R+ → R+, W задовольняє умови i–iii теореми 1;
b) ‖Ii(x)‖ 6 βi‖x‖
m, βi = const > 0, m > 0.
Через x(t) = x(t, t0, x0) позначимо розв’язок задачi Кошi для системи (11), тодi
‖x(t, t0, x0)‖ 6 ‖x0‖ +
t
∫
t0
f(τ)W (‖x(τ, t0, x0)‖) dτ +
∑
t0<ti<t
βi‖x(ti − 0, t0, x0)‖
m. (12)
Використовуючи результат теореми 1 i оцiнку (5) (див. [5] для випадку m = 1), отри-
муємо
‖x(t, t0, x0)‖ 6 ‖x0‖G
−1
i
[ t
∫
t0
f(τ)
W (‖x0‖)
‖x0‖
dτ
]
для t ∈]ti, ti+1[
i
t
∫
t0
f(τ)
W (‖x0‖)
‖x0‖
dτ ∈ Dom(G−1
i ), (13)
де
G0(u) =
u
∫
1
dσ
W (σ)
, Gi(u) =
u
∫
c
i
dσ
W (σ)
, i = 1, 2, . . . ,
ci = (1 + βi‖x0‖
m−1)G−1
i−1
( ti
∫
ti−1
f(τ)
W (‖x0‖)
‖x0‖
dτ
)
, i = 1, 2, . . . ,
якщо m ∈]0, 1[, ∀ t > t0;
ci = (1 + βi‖x0‖
m−1)
[
G−1
i−1
( ti
∫
ti−1
f(τ)
W (‖x0‖)
‖x0‖
dτ
)]m
, i = 1, 2, . . . ,
якщо m > 1, ∀ t > t0.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
Розглянемо деякi конкретнi типи нелiнiйностей.
Якщо W (u) = u, m = 1, оцiнка (5) набуває вигляду
‖x(t, t0, x0)‖ 6 ‖x0‖
∏
t0<ti<t
(1 + βi) exp
[ t
∫
t0
f(τ) dτ
]
.
Твердження 1. Нехай для системи (11) виконуються умови:
I. ‖F (t, x)‖ 6 f(t)‖x‖;
II. ‖Ii(x)‖ 6 βi‖x‖;
III. ∃m1(t0) = const > 0:
∏
t0<ti<t
(1 + βi) 6 m1(t0) < ∞;
IV. ∃m2(t0) = const > 0:
t
∫
t0
f(τ) dτ 6 m2(t0) < ∞, ∀ t > t0.
Тодi:
A. Усi розв’язки системи (11) обмеженi (рiвномiрно, якщо mi(t0) не залежить вiд t0)
i має мiсце така оцiнка:
‖x(t, t0, x0)‖ 6 m1(t0) exp[m2(t0)]‖x0‖. (14)
B. Тривiальний розв’язок системи (11) стiйкий за Ляпуновим (рiвномiрно стiйкий
вiдносно t0, якщо mi(t0) = mi, i = 1, 2) (див. [1–3]).
Зауваження 1. Якщо виконуються умови I –IV твердження 1 i λ/Λ < (m1(t0) ×
× exp[m2(t0)])
−1, то тривiальний розв’язок є (λ,Λ, J)-стiйким за Четаєвим (рiвномiрно
(λ,Λ, J)-стiйким, якщо mi(t0), i = 1, 2, не залежать вiд t0), J = [t0, T ].
Якщо W (u) = ul, l 6= 1, m = 1, оцiнка (5) набуває вигляду
‖x(t, t0, x0)‖ 6
∏
t0<ti<t
(1 + βi)
[
‖x0‖
1−l + (1 + l)
t
∫
t0
f(τ) dτ
]1/(1−l)
∀ t > t0
при 0 < l < 1;
‖x(t, t0, x0)‖ 6 ‖x0‖
∏
t0<ti<t
(1 + βi)
[
1 − (l − 1)‖x0‖
l−1
[
∏
t0<ti<t
(1 + βi)
]l−1
×
×
t
∫
t0
f(τ) dτ
]−1/(l−1)
∀ t > t0 : (15)
t
∫
t0
f(τ) dτ <
(
(l − 1)
[
‖x0‖
∏
t0<ti<t
(1 + βi)
]l−1)−1
, l > 1. (16)
З оцiнки (15) випливають такi твердження:
Твердження 2. Припустимо, що виконуються такi умови:
a) ‖F (t, x) − F (t, y)‖ 6 f(t)‖x − y‖l, 0 < l < 1, ∀x, y ∈ D
b) II–IV твердження 1.
Тодi всi розв’язки системи (11) обмеженi (рiвномiрно, якщо mi(t0) = mi, i = 1, 2).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 23
Зауваження 2. Припустимо, що виконуються умови a, b твердження 2 i
λ1−l + (1 − l)m2(t0) <
[
Λ
m1(t0)
]1−l
.
Тодi тривiальний розв’язок системи (11) (λ,Λ, J)-стiйкий за Четаєвим (рiвномiрно, якщо
mi(t0) не залежить вiд t0).
Твердження 3. Нехай для системи (11) виконуються умови II–IV твердження 1,
має мiсце нерiвнiсть (16) i
‖F (t, x)‖ 6 f(t)‖x‖l, l > 1.
Тодi тривiальний розв’язок системи (11) стiйкий за Ляпуновим (рiвномiрно, якщо
mi(t0) = mi, i = 1, 2).
Зауваження 3. При W (u) = ul, l > 0 i m 6= 1 умови обмеженостi, стiйкостi, (λ,Λ, J)-стiй-
костi дослiдженi в [8].
Розглянемо iмпульсну систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь:
dx
dt
= F (t, x,K[x(t)]), t 6= ti, ∆x|t=ti = Ii(x), (17)
де x ∈ Rn, F ∈ Rn, Ii(x) ∈ R
n, i = 1, 2, . . . , i визначенi в областiD,K[x(t)] =
t
∫
t0
k(t, τ, x(τ)) dτ .
Припустимо, що виконуються умови:
k) ‖F (t, x, y)‖ 6 f(t)[‖x‖ + ‖y‖], ∀x, y ∈ D, f : R+ → R+;
kk) ‖k(t, s, x)‖ 6 g(t)‖x‖, ∀ s ∈ [t0, t], g : R+ → R+;
kkk) ‖Ii(x)‖ 6 βi‖x‖
m, ∀x, y ∈ D, βi = const > 0, m > 0, m 6= 1.
Легко бачити, що
‖x(t, t0, x0)‖ 6 ‖x0‖ +
t
∫
t0
f(τ)‖x(τ, t0, x0)‖ +
t
∫
t0
f(τ)
( τ
∫
t0
g(ξ)‖x(ξ, t0, x0)‖dξ
)
dτ +
+
∑
t0<ti<t
βi‖x(ti − 0, t0, x0)‖
m ⇒
⇒ ‖x(t, t0, x0)‖ 6 ‖x0‖
∏
t0<ti<t
(1 + βi‖x0‖
m−1) exp
t
∫
t0
[f(ξ) + g(ξ)]dξ,
якщо 0 < m < 1, t > t0,
‖x(t)‖ 6 ‖x0‖
∏
t0<ti<t
(1 + βi‖x0‖
m−1) exp
(
m
t
∫
t0
[f(ξ) + g(ξ)]dξ
)
,
якщо m > 1, t > t0.
Твердження 4. Нехай для системи (17) виконуються умови k–kkk при m > 1 i мають
мiсце такi оцiнки:
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
a) ∃m3(t0) = const > 0:
∏
t0<ti<t
(1 + βi‖x0‖
m−1) 6 m3(t0) < ∞;
b) ∃m4(t0) = const > 0:
t
∫
t0
[f(ξ) + g(ξ)]dξ 6 m4(t0) < ∞ ∀ t > t0.
Тодi:
I) усi розв’язки системи (17) обмеженi i задовольняють нерiвнiсть
‖x(t)‖ 6 m3(t0) exp[m4(t0)]‖x0‖;
II) тривiальний розв’язок системи (17) стiйкий за Ляпуновим (рiвномiрно, якщо
mi(t0) = mi, i = 3, 4);
III) тривiальний розв’язок системи (17) (λ,Λ, J)-стiйкий за Четаєвим (рiвномiрно,
якщо mi(t0) не залежить вiд t0) i m3(t0) exp[m4(t0)] < Λ/λ.
1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импуль-
сным воздействием // Дифференц. уравнения. – 1977. – 13. – С. 1981–1992.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1980. – 80 с.
3. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 287 с.
4. Самойленко А.М., Борисенко С.Д., Матараццо Дж. та iн. Диференцiальнi моделi (стiйкiсть). –
Київ: Вища шк., 2000. – 330 с.
5. Перестюк Н.А., Черникова О.С. К вопросу об устойчивости решений систем дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием // Укр. мат. журн. – 1984. – 36, № 2. – С. 198–201.
6. Samoilenko A.M., Borysenko S.D., Cattani C. et al. Differential models: stability, inequalities and esti-
mates. – Київ: Наук. думка, 2001. – 328 с.
7. Borysenko D. S., Gallo A., Toscano R. Integral inequalities Gronwall–Bellman–Bihari type for disconti-
nuous functions and estimates of solutions impulsive systems // Proc. DE&CAS. – Brest, 2005. – P. 5–9.
8. Borysenko S.D., Iovane G. Integro-sum inequalities and qualitative analysis dynamical systems with
perturbations. – Salerno, Univ. of Salerno, Tipogr., Elda-Mercato S. Severino, 2006. – 180 p.
9. Borysenko S.D., Iovane G., Giordano P. Investigations of the properties motion for essential nonlinear
systems perturbed by impulses on some hypersurfaces // Nonlinear Anal. – 2005. – 62. – P. 345–363.
10. Borysenko S.D., Matarazzo G., Pecoraro M. Generalization of Bihari’s lemma for discontinuous functions
and its application to the stability problem of differential equations with impulse disturbance // Georg.
Math. J. – 2006. – 13, No 2. – P. 229–238.
11. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Об устойчивости решений систем с импульсным воздействием //
Дифференц. уравнения. – 1981. – 17, № 11. – С. 1995–2002.
12. Gallo A., Piccirillo A.M. About new analogies Gronwall–Bellman–Bihari type inequalities for disconti-
nuous functions and estimates of solutions of impulsive differential systems // Nonlinear Anal. – 2007. –
67. – P. 1550–1559.
13. Iovane G. Some new integral inequalities of Bellman–Bihari type with delay for discontinuous functions //
Ibid. – 2007. – 66. – P. 498–508.
14. Mitropolsky Yu.A., Iovane G., Borysenko S.D. About a generalization of Bellman–Bihari type inequalities
for discontinuous functions and their applications // Ibid. – 2007. – 66. – P. 2140–2165.
15. Borysenko S. S., Gallo A., Piccirillo A.M. One some generalizations of Bellman–Bihari result for integro-
functional inequalities for discontinuous functions and their applications. – Napoli, 2007. – 14 p. – (Prepr. /
Universita degli studi di Napoli “Federico II”, Dipartimento di matematica e applicazioni; No 27).
Надiйшло до редакцiї 21.01.2009НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 25
S. S. Borysenko
Integro-functional inequalities of the Bellman–Bihari type for
discontinuous functions and their applications
We present some new nonlinear integral inequalities of the Bellman–Bihari type for discontinuous
functions (integro-sum inequalities; impulse integral inequalities). Some applications of the results
are included: conditions of boundedness (uniform), stability by Lyapunov (uniform), and practical
stability by Chetaev (uniform) for the solutions of impulsive differential and integro-differential
systems of ordinary differential equations.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18656 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T06:49:04Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Борисенко, С.С. 2011-04-06T21:49:06Z 2011-04-06T21:49:06Z 2009 Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування / С.С. Борисенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 18-26. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18656 517.9 Наведено новi нелiнiйнi iнтегральнi нерiвностi типу Беллмана–Бiхарi для розривних функцiй (iнтегро-сумарнi нерiвностi; iмпульснi iнтегральнi нерiвностi). Розглянуто застосування отриманих результатiв: умови обмеженостi (рiвномiрної), стiйкостi за Ляпуновим (рiвномiрної), практичної стiйкостi за Четаєвим (рiвномiрної) для розв’язкiв iмпульсних диференцiальних та iнтегро-диференцiальних систем звичайних диференцiальних рiвнянь. We present some new nonlinear integral inequalities of the Bellman–Bihari type for discontinuous functions (integro-sum inequalities; impulse integral inequalities). Some applications of the results are included: conditions of boundedness (uniform), stability by Lyapunov (uniform), and practical stability by Chetaev (uniform) for the solutions of impulsive differential and integro-differential systems of ordinary differential equations. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування Integro-functional inequalities of the Bellman–Bihari type for discontinuous functions and their applications Article published earlier |
| spellingShingle | Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування Борисенко, С.С. Математика |
| title | Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування |
| title_alt | Integro-functional inequalities of the Bellman–Bihari type for discontinuous functions and their applications |
| title_full | Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування |
| title_fullStr | Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування |
| title_full_unstemmed | Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування |
| title_short | Інтегро-функціональні нерівності типу Беллмана–Біхарі для розривних функцій та їх застосування |
| title_sort | інтегро-функціональні нерівності типу беллмана–біхарі для розривних функцій та їх застосування |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18656 |
| work_keys_str_mv | AT borisenkoss íntegrofunkcíonalʹnínerívnostítipubellmanabíharídlârozrivnihfunkcíitaíhzastosuvannâ AT borisenkoss integrofunctionalinequalitiesofthebellmanbiharitypefordiscontinuousfunctionsandtheirapplications |