О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка
Розглянуто квазiдиференцiальнi оператори непарного порядку, заданi на скiнченному iнтервалi. За допомогою канонiчних однорiдних крайових умов описано всi самоспряженi i максимальнi дисипативнi розширення мiнiмального квазiдиференцiального оператора в гiльбертовому просторi L2([a, b],C), а також його...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18657 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка / А.С. Горюнов, В.А. Михайлец // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 27-31. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860112580746412032 |
|---|---|
| author | Горюнов, А.С. Михайлец, В.А. |
| author_facet | Горюнов, А.С. Михайлец, В.А. |
| citation_txt | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка / А.С. Горюнов, В.А. Михайлец // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 27-31. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто квазiдиференцiальнi оператори непарного порядку, заданi на скiнченному iнтервалi. За допомогою канонiчних однорiдних крайових умов описано всi самоспряженi i максимальнi дисипативнi розширення мiнiмального квазiдиференцiального оператора в гiльбертовому просторi L2([a, b],C), а також його узагальненi резольвенти.
The quasidifferential operators of an odd order on a compact interval are studied. The classes of all self-adjoint and maximal dissipative extensions of the minimal quasidifferential operator in the Hilbert space L2([a, b],C) and its generalized resolvents are described by means of the canonical boundary conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:34:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984.5
© 2009
А.С. Горюнов, В. А. Михайлец
О расширениях симметрических
квазидифференциальных операторов нечетного порядка
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.С. Самойленко)
Розглянуто квазiдиференцiальнi оператори непарного порядку, заданi на скiнченному iн-
тервалi. За допомогою канонiчних однорiдних крайових умов описано всi самоспряженi
i максимальнi дисипативнi розширення мiнiмального квазiдиференцiального оператора
в гiльбертовому просторi L2([a, b], C), а також його узагальненi резольвенти.
В последнее время существенно усилился интерес к дифференциальным операторам с син-
гулярными коэффициентами (см., напр., [1, 2] и приведенную там библиогр.). Как выясни-
лось, некоторые из таких операторов можно интерпретировать как квазидифференциаль-
ные. Они естественным образом содержат в себе дифференциальные операторы (см. [3]).
В связи с этим в данном сообщении исследуются симметрические в гильбертовом пространс-
тве L2([a, b], C) =: L2 квазидифференциальные операторы. Они не охватываются рассмо-
тренными ранее в [4–6].
В работе авторов [7] были изучены операторы четного порядка. Основной результат
этой работы состоял в биективном описании посредством краевых условий каноническо-
го вида всех самосопряженных, максимальных диссипативных расширений минимального
оператора и его обобщенных резольвент. При этом существенно использовались результа-
ты из [8, 10, 11]. В этом сообщении рассмотрен случай операторов произвольного нечетного
порядка, который имеет некоторые особенности (см. теорему 5).
1. Квазидифференциальные уравнения. Пусть m ∈ N и на замкнутом интервале
[a, b] задана двойная последовательность функций
pk,s(x) ∈ L1([a, b], C), k = 1, 2, . . . ,m, s = 0, 1, . . . , k − 1.
Определим квазипроизводные функции y(x) порядка k 6 m следующим образом:
D0y := y, D := −i
d
dx
,
Dky := D(Dk−1y) +
k−1∑
s=0
pk,s(x)Dsy, k = 1, 2, . . . ,m.
Если квазипроизводные Dky ∈ W 1
1 ([a, b], C), k 6 m − 1, то квазипроизводная Dmy сущест-
вует и является суммируемой функцией.
Обозначим через W
[m]
2 ([a, b], C) =: W
[m]
2 комплексное линейное пространство тех фун-
кций y(x) ∈ L2, для которых
Dky(x) ∈ W 1
1 ([a, b], C), k = 1, . . . ,m − 1, Dmy(x) ∈ L2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 27
В гильбертовом пространстве L2 квазидифференциальное выражение l(y) := Dmy по-
рождает максимальный квазидифференциальный оператор:
Lmax : y ∈ Dom(Lmax) → Lmaxy = l(y), Dom(Lmax) := W
[m]
2 .
Минимальный квазидифференциальный оператор определяется как сужение Lmax на ли-
нейное многообразие
Dom(Lmin) := {y ∈ Dom(Lmax) : Dky(a) = Dky(b) = 0, k = 0, 1, . . . ,m − 1}.
Будем предполагать далее, что почти всюду на [a, b]
pk,s(x) = pm−s,m−k(x), k = 1, 2, . . . ,m, s = 0, 1, . . . , k − 1.
Это условие обеспечивает симметричность минимального оператора. Тогда (см. [7]) опера-
тор Lmin является плотно заданным замкнутым симметрическим оператором в пространс-
тве L2 с индексом дефекта (m,m),
L∗
min = Lmax, L∗
max = Lmin.
2. Самосопряженные расширения. Из сказанного выше следует, что содержателен
вопрос об описании (в терминах однородных краевых условий) самосопряженных расшире-
ний в пространстве L2 симметрического оператора Lmin. Для ответа на него удобно исполь-
зовать аппарат пространств граничных значений (ПГЗ).
Пусть L — замкнутый симметрический оператор в сепарабельном гильбертовом про-
странстве H с равными (конечными или бесконечными) дефектными числами.
Определение (см. [8]). Тройка (H,Γ1,Γ2), где H — вспомогательное гильбертово про-
странство, а Γ1, Γ2 — линейные отображения Dom(L∗) в H, называется ПГЗ симметриче-
ского оператора L, если:
1) для любых f, g ∈ Dom(L∗)
(L∗f, g)H − (f, L∗g)H = (Γ1f,Γ2g)H − (Γ2f,Γ1g)H ;
2) для любых векторов f1, f2 ∈ H существует вектор f ∈ Dom(L∗) такой, что Γ1f = f1,
Γ2f = f2.
Из определения ПГЗ следует, что f ∈ Dom(L) тогда и только тогда, когда Γ1f = Γ2f = 0.
ПГЗ существует для любого симметрического оператора с равными дефектными числами.
Оно не единственно. Для случая m = 2n явный вид ПГЗ был найден авторами в работе [7].
Рассмотрим теперь случай нечетного порядка m = 2n+1, n ∈ N. Удобный для приложений
явный вид ПГЗ симметрического в гильбертовом пространстве L2 оператора Lmin дает
Теорема 1. Тройка (C2n+1,Γ1,Γ2), где Γ1, Γ2 — линейные отображения из W
[2n+1]
2
в C
2n+1 такие, что
Γ1y = (−iD2ny(b), iD2ny(a), . . . , iDn+1y(a), αDny(b) + βDny(a)),
Γ2y = (D0y(b),D0y(a), . . . ,Dn−1y(b),Dn−1y(a), γDny(b) + δDny(a)),
(1)
где α = i, β = 1, γ = −1/2 + i, δ = 1− 1/2i, является пространством граничных значений
оператора Lmin.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
Замечание. Приведенные значения коэффициентов можно заменить произвольными чи-
слами, которые удовлетворяют системе: αγ−αγ = −i, βδ−βδ = i, αδ−βγ = 0, βγ−αδ = 0,
αδ − βγ 6= 0.
Из теоремы 3 и результатов работы [8] следует, что справедлива
Теорема 2. Сужение оператора Lmax на множество функций y(x) ∈ W
[2n+1]
2 , удовле-
творяющих однородному краевому условию
(K − I)Γ1y + i(K + I)Γ2y = 0, (2)
где K — унитарный оператор в пространстве C
2n+1, является самосопряженным расши-
рением LK оператора Lmin. Обратно, для каждого самосопряженного расширения L̃ опера-
тора Lmin найдется унитарный оператор K такой, что L̃ = LK . Соответствие между
унитарными операторами {K} и расширениями {L̃} биективно.
Как известно (см., напр., [9]), краевые условия, выделяющие сужение L̃ оператора Lmax,
называются разделенными, если из принадлежности к Dom(L̃) функции f следует прина-
длежность к Dom(L̃) всякой функции g ∈ Dom(Lmax), которая совпадает с f вблизи a
и равна нулю вблизи b (или наоборот, совпадающей с f вблизи b и равной нулю вблизи a).
Теорема 3. Для квазидифференциальных операторов нечетного порядка не существу-
ет самосопряженных расширений, заданных разделенными краевыми условиями.
Для операторов четного порядка такие расширения существуют и описаны в [7] (см. так-
же [13]).
3. Диссипативные расширения и обобщенные резольвенты. Напомним, что пло-
тно заданный линейный оператор L в комплексном гильбертовом пространстве H называют
диссипативным, если
I(Lf, f)H > 0, f ∈ Dom(L),
и максимальным диссипативным, если, кроме того, у L нет нетривиальных диссипативных
расширений в пространстве H. В частности, каждый симметрический оператор — диссипа-
тивный, а самосопряженный — максимальный диссипативный.
Описание всех максимальных диссипативных расширений симметрического квазидиф-
ференциального оператора Lmin дает
Теорема 4. Cужение оператора Lmax на множество функций y(x) ∈ W
[2n+1]
2 , удовле-
творяющих однородному краевому условию (2), где K — сжатие в пространстве C
2n+1,
является максимально диссипативным расширением LK оператора Lmin. Обратно, для
каждого максимального диссипативного расширения L̃ оператора Lmin найдется сжа-
тие K такое, что L̃ = LK . Соответствие между сжатиями {K} и расширениями {L̃}
биективно.
Обобщенной резольвентой (см., напр., [12]) замкнутого симметрического оператора L
называют операторную функцию Rλ комплексного параметра λ ∈ C \ R, допускающую
представление вида
Rλf = P+(L+ − λI+)−1f, f ∈ H,
где L+ — какое-либо самосопряженное расширение оператора L с выходом, вообще говоря,
в более широкое, чем H, пространство H+, I+ — единичный оператор в H+, P+ — оператор
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 29
ортогонального проектирования в H+ на H. Операторная функция Rλ (Iλ 6= 0) является
обобщенной резольвентой симметрического оператора L тогда и только тогда, когда
(Rλf, g)H =
+∞∫
−∞
d(Fµf, g)
µ − λ
, f, g ∈ H,
где Fµ — обобщенная спектральная функция оператора L. Это означает, что операторная
функция Fµ, µ ∈ R, обладает следующими свойствами [12]:
10. При µ2 > µ1 разность Fµ2
− Fµ1
является ограниченным неотрицательным опера-
тором.
20. Fµ+0 = Fµ при всех вещественных µ.
30. При любом x ∈ H
lim
µ→−∞
‖Fµx‖|H = 0, lim
µ→+∞
‖Fµx − x‖H = 0.
Конструктивное описание всех обобщенных резольвент симметрического в пространс-
тве L2 квазидифференциального оператора Lmin дает
Теорема 5. Существует взаимно однозначное соответствие между обобщенными
резольвентами оператора Lmin и краевыми задачами
l(y) = λy + h,
(K(λ) − I)Γ1f + i(K(λ) + I)Γ2f = 0,
где λ — комплексное число, Iλ < 0, h(x) ∈ L2, K(λ) — регулярная в нижней полуплоско-
сти операторная функция в пространстве C
2n+1 такая, что ‖K(λ)‖ 6 1. Оно задается
формулой Rλh = y, Im λ < 0.
Исследование поддержано Государственным фондом фундаментальных исследований Украины,
грант 28.1/017.
1. Михайлец В.А., Молибога В.Н. Возмущение периодических и полупериодических операторов рас-
пределениями Шварца // Доп. НАН України. – 2006. – № 7. – С. 26–31.
2. Mikhailets V.A., Molyboga V.M. Singular perturbed periodic and semiperiodic differential operators //
Укр. мат. журн. – 2007. – 59, No 6. – С. 785–797.
3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – Москва: Наука, 1969. – 528 с.
4. Шин Д. Теорема существования квазидифференциального уравнения n-го порядка // Докл. АН
СССР. – 1938. – 18, № 8. – С. 515–518.
5. Шин Д. О решениях линейного квазидифференциального уравнения n-го порядка // Мат. сб. – 1940. –
7(49), № 3. – С. 479–532.
6. Шин Д. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве // Там же. – 1943. –
13(55), № 1. – С. 39–70.
7. Горюнов А.С., Михайлец В.А. О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов
четного порядка // Доп. НАН України. – 2009. – № 4. – С. 19–24.
8. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
9. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциаль-
ных операторов. – Москва: Физматгиз, 1963. – 340 с.
10. Брук В.М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии //
Мат. сб. – 1976. – 100 (142), № 2(6). – С. 210–216.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
11. Штраус А. В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. –
1954. – 18, № 1. – С. 51–86.
12. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Москва:
Наука, 1966. – 544 с.
13. Рофе-Бекетов Ф.С. О самосопряженных расширениях дифференциальных операторов в пространс-
тве вектор-функций // Теория функций, функц. анализ и их приложения. – 1969. – № 8. – С. 3–24.
Поступило в редакцию 25.12.2008Институт математики НАН Украины, Киев
A. S. Goriunov, V. A. Mikhailets
On extensions of symmetric quasidifferential operators of odd order
The quasidifferential operators of an odd order on a compact interval are studied. The classes of
all self-adjoint and maximal dissipative extensions of the minimal quasidifferential operator in the
Hilbert space L2([a, b], C) and its generalized resolvents are described by means of the canonical
boundary conditions.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18657 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:34:40Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горюнов, А.С. Михайлец, В.А. 2011-04-06T21:53:39Z 2011-04-06T21:53:39Z 2009 О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка / А.С. Горюнов, В.А. Михайлец // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 27-31. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18657 517.984.5 Розглянуто квазiдиференцiальнi оператори непарного порядку, заданi на скiнченному iнтервалi. За допомогою канонiчних однорiдних крайових умов описано всi самоспряженi i максимальнi дисипативнi розширення мiнiмального квазiдиференцiального оператора в гiльбертовому просторi L2([a, b],C), а також його узагальненi резольвенти. The quasidifferential operators of an odd order on a compact interval are studied. The classes of all self-adjoint and maximal dissipative extensions of the minimal quasidifferential operator in the Hilbert space L2([a, b],C) and its generalized resolvents are described by means of the canonical boundary conditions. Исследование поддержано Государственным фондом фундаментальных исследований Украины, грант 28.1/017. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка On extensions of symmetric quasidifferential operators of odd order Article published earlier |
| spellingShingle | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка Горюнов, А.С. Михайлец, В.А. Математика |
| title | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка |
| title_alt | On extensions of symmetric quasidifferential operators of odd order |
| title_full | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка |
| title_fullStr | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка |
| title_full_unstemmed | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка |
| title_short | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка |
| title_sort | о расширениях симметрических квазидифференциальных операторов нечетного порядка |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18657 |
| work_keys_str_mv | AT gorûnovas orasšireniâhsimmetričeskihkvazidifferencialʹnyhoperatorovnečetnogoporâdka AT mihailecva orasšireniâhsimmetričeskihkvazidifferencialʹnyhoperatorovnečetnogoporâdka AT gorûnovas onextensionsofsymmetricquasidifferentialoperatorsofoddorder AT mihailecva onextensionsofsymmetricquasidifferentialoperatorsofoddorder |