О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия
Встановлено умови iснування неперервної взаємно однозначної замiни змiнних, яка приводить нелiнiйну систему функцiонально-рiзницевих рiвнянь до лiнiйного вигляду. We establish conditions for the existence of a continuous one-to-one change of variables transforming a nonlinear system of functional-di...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18659 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия / Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 36-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859799402829316096 |
|---|---|
| author | Пелюх, Г.П. |
| author_facet | Пелюх, Г.П. |
| citation_txt | О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия / Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 36-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Встановлено умови iснування неперервної взаємно однозначної замiни змiнних, яка приводить нелiнiйну систему функцiонально-рiзницевих рiвнянь до лiнiйного вигляду.
We establish conditions for the existence of a continuous one-to-one change of variables transforming a nonlinear system of functional-difference equations to that of a linear form.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:12:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.962.2
© 2009
Г.П. Пелюх
О линеаризации систем нелинейных
функционально-разностных уравнений в окрестности
положения равновесия
(Представлено академиком НАН Украины А.М. Самойленко)
Встановлено умови iснування неперервної взаємно однозначної замiни змiнних, яка при-
водить нелiнiйну систему функцiонально-рiзницевих рiвнянь до лiнiйного вигляду.
Одним из наиболее эффективных методов исследования систем нелинейных разностных
уравнений вида
x(t + 1) = Λx(t) + F (x(t)) (1)
является метод нормальных форм Пуанкаре, позволяющий свести исследование таких сис-
тем уравнений в окрестности положения равновесия к исследованию систем уравнений
наиболее простого вида. При этом такие наиболее простые формы указываются и зави-
сят от условий, которым удовлетворяют матрица Λ и вектор-функция F (x). К примеру,
если все собственные числа матрицы Λ по модулю меньше (или если все больше) еди-
ницы и отсутствуют резонансы, вектор-функция F (x) является голоморфной в области
D : |x| < a, F (0) = 0,
∂F (x)
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0, то существует замена переменных
x = y + γ(y),
где вектор-функция γ(y) является голоморфной в некоторой области D̃ ⊆ D, γ(0) = 0,
∂γ(y)
∂y
∣∣∣∣
y=0
= 0, приводящая систему уравнений (1) к линейному виду
y(t + 1) = Λy(t). (2)
Этот результат, принадлежащий Пуанкаре [1, 2], положил начало многочисленным исследо-
ваниям, направленным на развитие и применение этого метода при изучении других клас-
сов уравнений [3–7]. В частности, в [5–7] метод нормальных форм развит для исследования
неавтономных разностных уравнений
x(t + 1) = Λx(t) + F (t, x(t)) (3)
в окрестности положения равновесия x = 0 (F (t, 0) ≡ 0) при различных предположени-
ях относительно матрицы Λ и вектор-функции F . Однако в настоящее время существуют
уравнения, исследование которых с помощью метода нормальных форм не дает желае-
мых результатов. К таким уравнениям относятся, в частности, функционально-разностные
уравнения вида
x(t + 1) = Λx(t) + F (t, x(t), x(f(t))), (4)
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
где Λ — постоянная вещественная (n × n)-матрица, F : R
+ × R
n × R
n → R
n, f : R
+ →
→ R
+. Эти уравнения исследуются в настоящей работе. При этом главной целью является
доказательство следующей теоремы.
Теорема. Пуcть выполняются условия:
1) det Λ 6= 0;
2) все элементы вектора F (t, x, y) и функция f(t) являются непрерывными относи-
тельно всех своих аргументов в области D : t ∈ R
+, |x| < a, |y| < a, F (t, 0, 0) ≡ 0;
3) вектор-функция F (t, x, y) удовлетворяет соотношению
|F (t, x′, y′) − F (t, x′′, y′′)| 6 ϕ(t)(|x′ − x′′| + |y′ − y′′|),
где ϕ(t) — некоторая непрерывная неотрицательная функция такая, что ряд
Φ(t) =
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i)
равномерно сходится при всех t ∈ R
+ и 2|Λ−1|Φ(t) 6 ∆ < 1.
Тогда существует непрерывная в области D̃ ⊆ D, взаимно однозначная замена пере-
менных
x(t) = Γ(t, y(t)), (5)
приводящая систему уравнений (4) к линейному виду (2).
Доказательство. Если x(t) — произвольное непрерывное при t ∈ R
+ решение системы
уравнений (4), принадлежащее области D, то вектор-функция
y(t) = Γ̃(t, x(t)) = x(t) +
∞∑
i=0
Λ−(i+1)F (t + i, x(t + i), x(f(t + i))) (6)
является непрерывным ограниченным при t ∈ R
+ решением системы уравнений (2). Дей-
ствительно, в силу условий 1–3 ряд (6) равномерно сходится к некоторой непрерывной
вектор-функции y(t) и имеет место соотношение
|y(t)| 6 |x(t)| +
∞∑
i=0
|Λ−1|i+1|F (t + i, x(t + i), x(f(t + i)))| 6
6 |x(t)| +
∞∑
i=0
|Λ−1|i+1|ϕ(t + i)(|x(t + i)| + |x(f(t + i))|) 6 a + a∆ 6
a
1 − ∆
.
Далее, поскольку
x(t + 1) ≡ Λx(t) + F (t, x(t), x(f(t))),
то, принимая во внимание (6), получаем
y(t + 1) = x(t + 1) +
∞∑
i=0
Λ−(i+1)F (t + i + 1, x(t + i + 1), x(f(t + i + 1))) =
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 37
= Λx(t) + F (t, x(t), x(f(t))) +
∞∑
i=1
Λ−iF (t + i, x(t + i), x(f(t + i))) =
= Λ
[
x(t) + Λ−1F (t, x(t), x(f(t))) +
∞∑
i=1
Λ−(i+1)F (t + i, x(t + i), x(f(t + i)))
]
=
= Λ
[
x(t) +
∞∑
i=0
Λ−(i+1)F (t + i, x(t + i), x(f(t + i)))
]
= Λy(t),
что и требовалось доказать.
Покажем теперь, что если y(t) — произвольное непрерывное ограниченное при t ∈ R
+
решение системы уравнений (2), то существует единственная непрерывная ограниченная
при t ∈ R
+ вектор-функция x(t) = Γ(t, y(t)) такая, что Γ̃(t,Γ(t, y(t))) ≡ y(t) и x(t) является
решением системы уравнений (4). Для этого, очевидно, достаточно показать, что система
уравнений (6) имеет единственное непрерывное решение x(t), удовлетворяющее указанным
выше условиям.
С помощью соотношений
x0(t) = y(t),
xm(t) = y(t) −
∞∑
i=0
Λ−(i+1)F (t + i, xm−1(t + i), xm−1(f(t + i))), m = 1, 2, . . . ,
(7)
определим последовательность вектор-функций xm(t), m = 0, 1, . . . , и докажем, что она рав-
номерно сходится при всех t ∈ R
+ к некоторой непрерывной ограниченной вектор-функции
x(t), удовлетворяющей системе уравнений (6). Действительно, поскольку |y(t)| 6 M (M —
некоторая положительная постоянная такая, что M/(1 − ∆) < a), то, принимая во внима-
ние условия 1–3 и соотношения (7), можно последовательно показать, что вектор-функции
xm(t), m = 0, 1, . . . , определены и непрерывны при всех t ∈ R
+. Более того, покажем, что
при всех t ∈ R
+ и m > 0 справедлива оценка
|xm(t)| 6
M
1 − ∆
. (8)
В самом деле, так как оценка (8) выполняется при m = 0, то в силу (7) при m = 1
получаем
|x1(t)| = |y(t)| +
∞∑
i=0
|Λ−1|i+1|F (t + i, y(t + i), y(f(t + i)))| 6
6 M +
∞∑
i=0
|Λ−1|i+1ϕ(t + i)(|y(t + i)| + |y(f(t + i))|) 6
6 M + 2M |Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i) 6 M + M∆ 6
M
1 − ∆
,
т. е. в этом случае оценка (8) имеет место. Предположим, что она доказана уже для не-
которого m > 1 и покажем ее справедливость для m + 1. Действительно, в силу (7), (8)
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
и 1–3 находим
|xm+1(t)| 6 M +
∞∑
i=0
|Λ−1|i+1|F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i)))| 6
6 M + |Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i)(|xm(t + i)| + |xm(f(t + i))|) 6
6 M + 2
M
1 − ∆
|Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i) 6 M +
M
1 − ∆
∆ =
M
1 − ∆
.
Таким образом, оценка (8) справедлива при всех t ∈ R
+ и m > 0.
Теперь докажем, что последовательность вектор-функций xm(t), m = 0, 1, . . . , равно-
мерно сходится при всех t ∈ R
+. Для этого, очевидно, достаточно показать, что при всех
t ∈ R
+ и m > 1 имеет место оценка
|xm(t) − xm−1(t)| 6 M∆m. (9)
Действительно, в силу (7) и 1–3 при m = 1 получаем
|x1(t) − x0(t)| 6
∞∑
i=0
|Λ−1|i+1|F (t + i, y(t + i), y(f(t + i)))| 6
6 |Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i)(|y(t + i)| + |y(f(t + i))|) 6
6 2M |Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i) 6 M∆
и, следовательно, в этом случае оценка (9) имеет место. Рассуждая по индукции, предполо-
жим, что она доказана уже для некоторого m > 1 и покажем ее справедливость для m + 1.
В самом деле, принимая во внимание (7), (9) и 1–3, получаем
|xm+1(t) − xm(t)| 6
6
∞∑
i=0
|Λ−1|i+1|F (t+i, xm(t+i), xm(f(t+i))) − F (t+i, xm−1(t+i), xm−1(f(t+i)))| 6
6 |Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t+i)(|xm(t+i) − xm−1(t+i)|+|xm(f(t+i)) − xm−1(f(t+i))|) 6
6 2M∆m|Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i) 6 M∆m+1.
Тем самым доказано, что оценка (9) имеет место при всех t ∈ R
+, m > 1 и, следователь-
но, последовательность вектор-функций xm(t), m = 0, 1, . . ., равномерно сходится при всех
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 39
t ∈ R
+ к некоторой непрерывной вектор-функции x(t) = lim
m→∞
xm(t), удовлетворяющей
условию
|x(t)| 6
M
1 − ∆
(вытекает из (8)). Переходя в (7) к пределу при m → ∞, убеждаемся, что вектор-функция
x(t) = lim
m→∞
xm(t) является решением системы уравнений (6). Следовательно, вектор-функ-
ция x(t) = Γ(t, y(t)) = lim
m→∞
xm(t) удовлетворяет соотношению
Γ̃(t,Γ(t, y(t))) ≡ y(t).
Покажем, что таким образом построенное решение x(t) = Γ(t, y(t)) системы уравнений (6)
является единственным. Действительно, предположим противное, что существует еще одно
непрерывное ограниченное при t ∈ R
+ решение x̃(t) такое, что x̃(t) 6= x(t). Тогда в силу
1–3 имеем
|x(t)−x̃(t)| 6
∞∑
i=0
|Λ−1|i+1|F (t + i, x(t + i), x(f(t + i)))−F (t + i, x̃(t + i), x̃(f(t + i)))| 6
6 |Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i)(|x(t + i) − x̃(t + i)| + |x(f(t + i)) − x̃(f(t + i))|) 6
6 2|Λ−1|
∞∑
i=0
|Λ−1|iϕ(t + i)‖x(t) − x̃(t)‖ 6 ∆‖x(t) − x̃(t)‖,
где ‖x(t) − x̃(t)‖ = sup
t
|x(t) − x̃(t)|. Отсюда следует
‖x(t) − x̃(t)‖ 6 ∆‖x(t) − x̃(t)‖,
что возможно лишь в случае, когда x(t) ≡ x̃(t). Полученное противоречие доказывает,
что при выполнении условий 1–3 вектор-функция x(t) = Γ(t, y(t)) = lim
m→∞
xm(t) является
единственным непрерывным ограниченным при t ∈ R
+ решением системы уравнений (6).
Для завершения доказательства теоремы остается показать, что вектор-функция x(t) =
= Γ(t, y(t)) = lim
m→∞
xm(t) является непрерывным ограниченным при t ∈ R
+ решением сис-
темы уравнений (4). В самом деле, поскольку
x(t) ≡ y(t) −
∞∑
i=0
Λ−(i+1)F (t + i, x(t + i), x(f(t + i))),
то имеем
x(t + 1) ≡ y(t + 1) −
∞∑
i=0
Λ−(i+1)F (t + 1 + i, x(t + 1 + i), x(f(t + 1 + i))) ≡
≡ Λy(t) −
∞∑
i=0
Λ−iF (t + i, x(t + i), x(f(t + i))) + F (t, x(t), x(f(t))) ≡
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
≡ Λ
[
y(t) −
∞∑
i=0
Λ−(i+1)F (t + i, x(t + i), x(f(t + i)))
]
+ F (t, x(t), x(f(t))) ≡
≡ Λx(t) + F (t, x(t), x(f(t))),
что и требовалось показать. Тем самым теорема полностью доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Государственных фондов фундаментальных ис-
следований Украины и Беларуси, проект 29.1/025.
1. Poincaré H. Sur les courbes definies equations differentielles // J. Math. Ser. 4. – 1886. – 2. – P. 151–217.
2. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – Москва; Ленинград:
Гостехтеоретиздат, 1947. – 390 с.
3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Моск-
ва: Наука, 1978. – 304 с.
4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Москва: Мир, 1970. – 720 с.
5. Пелюх Г.П. Представление решений разностных уравнений с непрерывным аргументом // Диффе-
ренц. уравнения. – 1996. – № 2. – С. 304–312.
6. Пелюх Г.П. О структуре общего решения систем нелинейных разностных уравнений // Укр. мат.
журн. – 1999. – № 10. – С. 1368–1378.
7. Пелюх Г.П. Общее решение систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом //
Там же. – 2000. – № 7. – С. 936–953.
Поступило в редакцию 29.12.2008Институт математики НАН Украины, Киев
G.P. Pelyukh
On the linearization of a system of nonlinear functional-difference
equations in a neighbourhood of the equilibrium
We establish conditions for the existence of a continuous one-to-one change of variables transformi-
ng a nonlinear system of functional-difference equations to that of a linear form.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18659 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:12:00Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пелюх, Г.П. 2011-04-06T22:03:31Z 2011-04-06T22:03:31Z 2009 О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия / Г.П. Пелюх // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 36-41. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18659 517.962.2 Встановлено умови iснування неперервної взаємно однозначної замiни змiнних, яка приводить нелiнiйну систему функцiонально-рiзницевих рiвнянь до лiнiйного вигляду. We establish conditions for the existence of a continuous one-to-one change of variables transforming a nonlinear system of functional-difference equations to that of a linear form. Работа выполнена при финансовой поддержке Государственных фондов фундаментальных исследований Украины и Беларуси, проект 29.1/025. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия On the linearization of a system of nonlinear functional-difference equations in a neighbourhood of the equilibrium Article published earlier |
| spellingShingle | О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия Пелюх, Г.П. Математика |
| title | О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия |
| title_alt | On the linearization of a system of nonlinear functional-difference equations in a neighbourhood of the equilibrium |
| title_full | О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия |
| title_fullStr | О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия |
| title_full_unstemmed | О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия |
| title_short | О линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия |
| title_sort | о линеаризации систем нелинейных функционально-разностных уравнений в окрестности положения равновесия |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18659 |
| work_keys_str_mv | AT pelûhgp olinearizaciisistemnelineinyhfunkcionalʹnoraznostnyhuravneniivokrestnostipoloženiâravnovesiâ AT pelûhgp onthelinearizationofasystemofnonlinearfunctionaldifferenceequationsinaneighbourhoodoftheequilibrium |