О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами
The algorithms of the optimal and quasioptimal controls over oscillatory systems are generalized. The peculiarities of a realization of these algorithms with due regard for a special expansion of the step functions of optimal control are given.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1867 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 40–43. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859636247622844416 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 40–43. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The algorithms of the optimal and quasioptimal controls over oscillatory systems are generalized. The peculiarities of a realization of these algorithms with due regard for a special expansion of the step functions of optimal control are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:16:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2007
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 62-50.517.9.519.534.1
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О некоторых особенностях в реализации дискретных
оптимальных управлений колебательными системами
The algorithms of the optimal and quasioptimal controls over oscillatory systems are generali-
zed. The peculiarities of a realization of these algorithms with due regard for a special expansion
of the step functions of optimal control are given.
На основе работ [1, 2] в [3, 4] осуществлен синтез оптимальных и квазиоптимальных управ-
лений колебательными системами с любым числом степеней свободы. Алгоритмы этих
управлений являются дискретными и имеют вид
Uопт = Umax sign(x, t), (1)
где Umax — максимально возможная величина модуля управляющего воздействия; x — ве-
ктор координатных функций x1, . . . , xn (x1 = x; x2 = ẋ; x3 = ẍ и т. д.); t — время.
Как видно из (1), данное управление является дискретным с моментами переключения
полярности Umax в точках, когда f(x, t) = 0. В этих точках Uопт скачком переходит из
положения ±Umax в положение ∓Umax, т. е. в моменты переключения (при f (x, t) = 0)
Uопт = Umax1(−tn) или Uопт = −Umax1(t − tn), где 1(t − tn) — единичная функция; tn —
момент переключения Uопт.
В соответствии с решением, использующим принцип максимума [2] для колебательных
систем (КС) с одной, двумя и n степенями свободы, алгоритмы оптимального управления
имеют общий вид соответственно [4, (5.9), (5.16), (5.25)]
Fiопт(t) = Fi0 sign
1
mi
n
∑
k=1
CkΨe−αkΨt sin(βkΨt + ϕkΨ), i = 1, n. (2)
Величины, входящие в (2), расшифрованы в [4]. Метод моментов позволил синтези-
ровать алгоритм оптимального управления КС с любым числом степеней свободы в ви-
де [4, (5.75)]
Fkопт(t) = Fk max sign
1
mk
n
∑
s=1
Asre
−αsλt cos βsλt, (3)
где входящие величины даны в [4].
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Рис. 1 Рис. 2
В работе [4] синтезированы алгоритмы квазиоптимального управления КС также с лю-
бым числом степеней свободы. Их общий вид следующий [4, (5.132)]:
U0
i (εy) = −U0
i max sign
2i
∑
j=1
kjεnεyj , (4)
где kjεn — коэффициенты, расшифрованные в [4]; εyj — координаты ошибок εy1 = εya sinωt,
εy2 = ε̇y1, εy3 = ε̈y1 и т. д.
Выражения (2)–(4) соответствуют алгоритму (1), являются дискретными оптималь-
ными управлениями колебательными системами. Представленные алгоритмы можно свести
к такому виду:
Uопт(t) = Umax sign Ce−ϑt sin(ωt + ϕ). (5)
Данное утверждение основывается на учете тригонометрического преобразования [5]
u = a sin ωt + b cos ωt = A sin(ωt + Ψ), (6)
где A =
√
a2 + b2, Ψ = arctg b/a. В алгоритмах (2)–(4) под знаком sign стоят суммы триго-
нометрических функций sin ωt, cos ωt со своими коэффициентами и углами сдвига. Если
использовать правило (6), то, последовательно преобразуя данные алгоритмы, начиная
с максимальной координаты, например xn = xna sin(ωt + ϕ), и складывая ее с xn−1 =
= x(n−1)a sin(ωt + ϕn−1), а затем полученный результат складывая с xn−2 = x(n−2)a sin(ωt +
+ ϕn−2) и т. д., в конечном итоге можно получить (5). В дальнейшем будем принимать во
внимание алгоритм (5), который при первой видимости графически может быть изображен
так, как показано на рис. 1.
Из рис. 1 видно, что при Ce−υt sin(ωt+ϕ) = 0 осуществляется скачкообразное переклю-
чение управления с +Umax до −Umax и наоборот, т. е., как было ранее отмечено, в точках
переключения Uопт (t = tn) представляет собой скачкообразные функции ±|Umax| · 1(t− tn).
Заметим, что при реализации алгоритма (5) в каждой точке переключения Uопт (t−tn) про-
исходит переходной процесс в колебательной системе КС, который изменяет общую картину
Uопт(t) и колебаний КС, изображенную на рис. 1. Подтверждением этому является рис. 2,
где на верхнем графике показано затухание колебаний x в свободном переходном процессе
при отключении управляющего воздействия. Второй график (внизу) изображает затуха-
ние КС при действии оптимального управления Uопт(t), описываемого выражением (5).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 41
Рис. 3
Как видно из этого графика, при U = Uопт(t) x(t) затухает в пять и более раз быстрее, чем
при неуправляемом переходном процессе. Суть действия Uопт состоит в следующем. При
подаче на вход КС −Umax система стремится достигнуть нового устойчивого положения,
переходя в отрицательную область, но как только КС пересекает линию абсцисс, управля-
ющее воздействие Uопт переключается на +Umax. В этом случае КС, все еще переходя через
условный для алгоритма (5) ноль, стремится возвратиться в положительную область, но
при пересечении x(t) линии абсцисс Uопт переключается на −Umax и КС стремится возвра-
титься в отрицательную область. С каждым таким следящим за точкой пересечения x(t)
с линией абсцисс переключением Uопт КС колеблется с все более затухающей амплитудой
и увеличивающейся частотой, т. е. с все меньшим и меньшим полупериодом колебаний. При
x(t) = (0,05÷0,1)xmax Uопт отключается и x(t) считается погасшим. Если же КС включается
на управляющее воздействие, то алгоритм (5) необходимо представить в виде
Uопт(t) = Umax sign[xa + Ce−ϑt sin(ωt + ϕ)]. (7)
Покажем преимущество (7) по сравнению с обычным режимом включения КС. Поясне-
нием к этому служит рис. 3, где на верхнем графике изображена кривая изменения амп-
литуды колебаний при включении КС на постоянное по амплитуде управляющее воздейст-
вие U . В этом случае xa(t) приходит к своему установившемуся значению после погаше-
ния свободной составляющей, которая может быть при малом коэффициенте затухания ϑ
длительной. На нижнем графике рис. 3 изображена кривая изменения xa при оптималь-
ном управляющем воздействии (7). Как видно из этого графика, свободная составляющая
в xa(t) затухает значительно быстрее. Заметим, что в последнем случае в момент отклю-
чения Uопт(t) включается обычное U , поддерживающее колебания КС с амплитудой xa. Но
при этом переходной процесс такой, как на верхнем графике рис. 3, отсутствует.
Таким образом, видно: для того чтобы оптимальное управление Uопт было именно опти-
мальным, оно должно следить за переходным процессом КС. А это значит, что при каждом
переключении Uопт необходимо рассчитывать поведение КС в переходном процессе, что
является, особенно для КС с n степенями свободы, нетривиальной задачей. Решение этой
задачи еще более усложняется, если учесть, что скачкообразную функцию 1(t) можно пред-
ставить в виде особого разложения следующим образом [6]:
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
U · 1(t) = E(1 − e−αt) + e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
n
∑
k=1
Uak = U, Uak =
Ua1
πωk
, (8)
где α — коэффициент затухания; Uak, ωk — амплитуда и круговая частота k-й гармоники
соответственно.
Выражение (8) можно включить в (5) и (7), если их представить в виде
Uопт(t) = Umax1(t) sign Ce−ϑt sin(ωt + ϕ),
Uопт(t) = Umax1(t) sign[xa + Ce−ϑt sin(ωt + ϕ)].
Тогда получим
Uопт(t) =
[
Umax(1 − e−αt) + e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
sign Ce−ϑt sin(ωt + ϕ), (9)
Uопт(t) =
[
Umax(1 − e−αt) + e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
sign[xa + Ce−ϑt sin(ωt + ϕ)]. (10)
Представление оптимальных управляющих воздействий КС в виде (9) и (10) несколько
изменяет вид графиков оптимальных переходных процессов КС, изображенных на рис. 2
и 3 из-за некоторой задержки в начале переходного процесса КС при таком (8) представ-
лении скачкообразной функции U1(t). Доказательство такой задержки дано в работе [6].
При α = ∞ этой задержки нет. В принципе при оптимальных управлениях (9), (10) пере-
ходные процессы в КС значительно сокращаются по сравнению с режимом неоптимального
управления. При наличии встроенного в систему управления вычислительного устройства
(компьютера) и системы обратной связи (измерения xa в динамике) решение задачи о пе-
реходных процессах в КС упрощается.
Итак, из отмеченного следует, что получаемые во многих работах дискретные алгорит-
мы оптимального управления динамическими объектами в вопросе их реализации требуют
формирования замкнутости этих объектов обратными измерительными связями при нали-
чии вычислительных средств расчета переходных процессов объектов при скачкообразных
входных воздействиях с учетом их особого разложения (6).
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. – Москва: Наука, 1968. – 475 с.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория опти-
мальных процессов. – Москва: Наука, 1961. – 384 с.
3. Божко А.Е. Оптимальное управление в системах воспроизведения вибраций. – Киев: Наук. думка,
1977. – 219 с.
4. Божко А. Е. Синтез оптимального управления колебательными системами. – Киев: Наук. думка,
1990. – 164 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: Гос. изд-во техн.-теор.
лит., 1956. – 608 с.
6. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях постоянного тока //
Доп. НАН України. – 2004. – № 2. – С. 83–87.
Поступило в редакцию 17.04.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1867 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:16:38Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2008-09-03T12:34:50Z 2008-09-03T12:34:50Z 2007 О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 40–43. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1867 62-50.517.9.519.534.1 The algorithms of the optimal and quasioptimal controls over oscillatory systems are generalized. The peculiarities of a realization of these algorithms with due regard for a special expansion of the step functions of optimal control are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами Article published earlier |
| spellingShingle | О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами Божко, А.Е. Інформатика та кібернетика |
| title | О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами |
| title_full | О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами |
| title_fullStr | О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами |
| title_full_unstemmed | О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами |
| title_short | О некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами |
| title_sort | о некоторых особенностях в реализации дискретных оптимальных управлений колебательными системами |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1867 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae onekotoryhosobennostâhvrealizaciidiskretnyhoptimalʹnyhupravleniikolebatelʹnymisistemami |