Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений
Представлены алгоритмы численного решения систем интегро-дифференциальных уравнений на основе разностных и квадратурных формул. The paper presents an algorithm for numerical solution of a system of integro-differential equations using difference and quadrature formulas....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18671 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений / Ю.Д. Бойко , Н.Г. Сербов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859735036969877504 |
|---|---|
| author | Бойко, Ю.Д. Сербов, Н.Г. |
| author_facet | Бойко, Ю.Д. Сербов, Н.Г. |
| citation_txt | Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений / Ю.Д. Бойко , Н.Г. Сербов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Представлены алгоритмы численного решения систем интегро-дифференциальных уравнений на основе разностных и квадратурных формул.
The paper presents an algorithm for numerical solution of a system of integro-differential equations using difference and quadrature formulas.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:01:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 1
11
УДК 004.94:519.6
Ю. Д. Бойко1, Н. Г. Сербов2
1Черкасский государственный технический университет
2Одесский государственный экологический университет
АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ОСНОВЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Представлены алгоритмы численного решения систем ин-
тегро-дифференциальных уравнений на основе разностных и
квадратурных формул.
Ключевые слова: модель, алгоритмы, интегро-диффере-
нциальные уравнения.
Введение. Интегро-дифференциальные уравнения являются
мощным математическим аппаратом описания неоднородных дина-
мических систем, содержащих в себе как звенья с сосредоточенными,
так и с распределенными параметрами. Эффективность применения
данных динамических моделей в прикладных исследованиях непо-
средственно зависит от эффективности программных средств, реали-
зующих модели. При создании прикладных программ необходимо
учитывать как особенности решаемых уравнений, так и особенности
моделируемых объектов. К этим особенностям следует отнести: не-
однородность способов дискретизации дифференциальной и инте-
гральной частей уравнений; необходимость точностной совместимо-
сти составных частей алгоритмов моделирования; учет требований к
быстродействию и т.д.
Эти обстоятельства приводят к целесообразности создания ком-
плекса алгоритмов и программ моделирования, обеспечивающего
необходимый выбор, учитывающий различные уровни сложности и
разнообразие режимов объектов моделирования. В частности, для
разработки компьютерных средств, предусматривающих использова-
ние в процессе функционирования объекта, необходимо отдавать
предпочтение прямым численным методам. Для решения задач лабо-
раторного исследования и проектирования можно предусмотреть
применение итерационных численных методов.
Алгоритмы реализации прямых численных методов. Прямые
численные методы состоят в сведении исходных интегро-дифферен-
циальных уравнений к простым вычислительным операциям путем
аппроксимации операторов либо аппроксимации искомых решений
(проекционные методы), или путем совмещения обоих подходов.
Рассмотрим получение квадратурно-разностных алгоритмов, осно-
ванных на аппроксимации дифференциального и интегрального опе-
раторов.
© Ю. Д. Бойко, Н. Г. Сербов, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
12
В наиболее общем случае решается задача Коши для системы n
нелинейных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка
( )
( )
( )
1
1 1 2 1 1 2
2
2 1 2 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
x
m m
a
x
m m
a
x
n
n m n m
a
du
F x u u u K x s u u u ds
dx
du F x u u u K x s u u u ds
dx
du
F x u u u K x s u u u ds
dx
=
=
=
∫
∫
∫
… …
… …
………………………………………………………
… …
mn ≥ , (1)
с начальными условиями 1,0,)0( −== nicu ii .
Для непосредственного решения системы (1) можно построить
семейство квадратурно-разностных методов, основанных на сочета-
нии разностных методов, известных из теории дифференциальных
уравнений, и квадратурных методов аппроксимации интегрального
оператора, используемых при численном решении интегральных
уравнений.
Разностные методы заключаются в вычислении приближенного
решения ( ))(,),( 1111 +++ = knkk xuxuU … в точке 1+kx по значениям ре-
шения в предыдущих точках kjk xx ,,1 …+− . Общая формула таких
методов имеет следующий вид [1]
∑ ∑
= =
−+−++ +=
j
i
j
i
ikijkik fhUU
1 0
111 βα , (2)
где ),,( 1 nFFf …= ; ii βα , – некоторые коэффициенты. Если 1=j , то
метод является одношаговым, а если 1>j – многошаговым. При
этом интегральный оператор заменяется конечной суммой на основе
различных квадратурных формул для вычисления определенного
интеграла, которые в общем случае имеют вид
][)()(
0
ψψψ RxAhdxx k
k
i
i
b
a
+= ∑∫
=
, (3)
где jA – коэффициенты квадратурной формулы, ][ψR – остаточный
член.
Для обеспечения сходимости необходимо [2], чтобы при всех h
выполнялось неравенство
Серія: Технічні науки. Випуск 1
13
);()()(
0
hChiAdxx
k
i
i
kh
a
ψωψψ ≤−∑∫
=
, (4)
где );( hψω – модуль непрерывности функции )(xψ :
[ ]
)()(sup);( 21
,,
21
21
xxh
hxx
baxx
ψψψω −=
<−
∈
.
Достаточным условием для выполнения неравенства (4) являет-
ся использование квадратурных формул, коэффициенты ii Ahw =
которых представляют собой суммы Римана [2]. Сумма Римана для
интеграла ∫
b
a
dxx)(ψ есть сумма вида
∑
=
+ −=
k
i
iii xvvQPS
0
1 )()();,( ψψ ,
связанная с двумя разбиениями, { }bvvvvaP kk =≤≤≤≤== +110 ... и
{ }kk xxxxQ ≤≤≤≤= −110 ... , которые определены так, что
bvxvvyvxva kkk =≤≤≤≤≤≤≤≤= +121100 ... .
Квадратурная формула является суммой Римана, если выполня-
ются условия
∑∑
=
−
=
+≤≤+
j
i
ij
j
i
i awxaw
0
1
0
, )...,,2,1,0( kj = и )(
1
0
abw
j
i
i −=∑
−
=
.
В частности, этим условиям удовлетворяют обобщенная форму-
ла трапеций, для которой
1,21 1321 ====== −kk AAAAA L (5)
или, в случае комбинации с формулами открытого типа:
23,1,21 12321 ====== −− kk AAAAA L , (6)
и обобщенная формула Симпсона
==
=+=
=
).,2,1,2(21 ,65 ,34 , ,32 ,34,31
);,2,1,12(31 ,34 , ,32 ,34,31
……
……
rri
rri
Ai (7)
Формулы (6) и (7) имеют остаточные члены порядка соответст-
венно ( )2ho и ( )4ho . Для повышения точности аппроксимации воз-
можно использование квадратурных формул Ньютона-Котеса, однако
это связано со значительными увеличением объема вычислений, что,
учитывая необходимость многократного вычисления интегрального
оператора при решении интегро-дифференциальных уравнений, де-
лает использование этих формул нерациональным.
Математичне та комп’ютерне моделювання
14
Поэтому для получения формул более высокого порядка точно-
сти предлагается модифицировать метод трапеций, используя фор-
мулу Эйлера-Маклорена [3]:
{ } Eab
r
BhxAhdxx rrr
M
r
r
k
k
i
i
b
a
+−−= −−
==
∑∑∫ )()(
)!2(
)()( )12()12(2
1
2
0
ψψψψ , (8)
где iA – коэффициенты формулы трапеций (5)-(6); rB2 – числа Бер-
нулли; ( ))12( += MhoE , если )()12( xM +ψ непрерывная функция либо
( ))22( += MhoE , если )()22( xM +ψ непрерывная функция. На основании
формулы Эйлера-Маклорена, можно получить вычислительную схе-
му Грегори, использующую конечные разности.
Соответствующая фиксированному шагу h, j-я правая разность
)( 0xjψ∆ определяется выражением
)()()( 0
1
0
1
0 xhxx jjj ψψψ −− ∆−+∆=∆ , 1≥j ;
j -я левая разность )( 0xjψ∇ равна )( 0 jhxj −∆ ψ . Таким образом,
справедливо выражение
∑
=
+ +−=+∇=∆
j
s
j
s
sjjj shxCjhxx
0
000 )()1()()( ψψψ ,
где
!)!(
!
ssj
jC j
s −
= .
Положим в формуле (8) pM
2
1
= , если p четное и
)1(
2
1
+= pM , если p нечетное. Каждую производную нечетного
порядка от ...,)(),( ba ψψ ′′ до )(),( 11 ba pp −− ψψ или )(),( ba pp ψψ
аппроксимируем конечно-разностными формулами, используя разно-
сти до порядка p включительно. В результате получаем следующие
выражения для первой и p -й производных, и соответствующие фор-
мулы для промежуточных производных:
( )132 )()1(...)(
3
1)(
2
1)()( ++∆
−
−∆+∆−∆=′ pp
p
hoa
p
aaaah ψψψψψ ,
( )132 )()1(...)(
3
1)(
2
1)()( ++∇
−
−∇+∇−∇=′ pp
p
hob
p
bbbbh ψψψψψ ,
( )1)( )()( ++∆= pppp hoaah ψψ ,
Серія: Технічні науки. Випуск 1
15
( )1)( )()( ++∇= pppp hobbh ψψ .
Подставляя полученные выражения в (8) получаем формулу, оп-
ределяющую метод Грегори [2]
{ } *
*
1
10
)()1()()()( EabchxAhdxx sss
s
p
s
k
k
i
i
b
a
+∆−+∇+= +
==
∑∑∫ ψψψψ , (9)
где ( )2
*
+= phoE . При вычислениях формулу (9) удобнее преобразо-
вать к виду
[ ]{ } *
00
)()()()( EjhbjhaqhxAhdxx p
j
p
j
k
k
i
i
b
a
+−+++= ∑∑∫
==
ψψψψ .
Значения коэффициентов [ ]p
jq для 3≤p приведены в таблице 1.
Таблица 1
Значения коэффициентов [ ]p
jq
j p 0 1 2 3
1
12
1
−
12
1
– –
2
8
1
−
6
1
24
1
− –
3
720
109
−
720
177
720
87
−
720
19
Условие (4) выполняется для метода Грегори, если существует
фиксированная граница для p , независящая от k .
Окончательный выбор квадратурной формулы зависит от кон-
кретной задачи, в частности от свойств ядра интегрального оператора.
Например, если интегральный оператор имеет сингулярное ядро вида
α)(
))(,,())(,,( 1
sx
sysxKsysxK
−
= ,
предлагается использовать квадратурные формулы открытого типа [1]:
∫
+
+<<′+=
ha
a
haahahdss ξξϕϕϕ ),(
2
)()(
2
,
∫
+
+<<′′++=
ha
a
haahhahdss
2 3
2),(
3
)(2)( ξξϕϕϕ ,
которые в сочетании с формулами замкнутого типа позволяют по-
строить эффективные алгоритмы аппроксимации интегрального опе-
Математичне та комп’ютерне моделювання
16
ратора при решении интегро-дифференциальных уравнений. Так,
комбинируя простейшую незамкнутую формулу с обобщенной фор-
мулой трапеций, получаем коэффициенты квадратурной формулы,
которые могут быть использованы при построении квадратурно-
разностных алгоритмов решения интегро-дифференциальных урав-
нений со слабо-сингулярными ядрами.
Также на выбор квадратурной формулы влияет предполагаемый
характер искомого решения и число шагов. Последнее особенно ак-
туально в случае моделирования динамической системы в реальном
времени, когда отрезок интегрирования может быть заранее неизвес-
тен или очень велик. Кроме того, при построении алгоритмов чис-
ленного моделирования важно учитывать такую особенность инте-
грального оператора Вольтерра, как возможность многократного ис-
пользования каждого значения подынтегральной функции, что суще-
ственно уменьшает временные затраты.
В основе большинства одношаговых методов лежит разложение
в ряд Тейлора
L+′′+′+=+ )(
2
)()()(
2
1 kkkk xUhxUhxUxU .
Используя первые два члена ряда, получаем формулу простей-
шего одношагового метода, по которой алгоритм нахождения реше-
ния имеет вид
(
( )) ,)(,),(,,
,)(,),(,)(
1
0
1
jmjjki
k
j
j
kmkkiki
xuxusxKA
xuxuxFhxu
…
…
⋅
⋅=∆
∑
=
nixuxuxu kikiki ,1),()()( 1 =∆+=+ , (10)
где Aj – коэффициенты квадратурной формулы.
Данный алгоритм прост для машинной реализации и не требует
каких либо предварительных вычислений для начала счета, но точ-
ность решения невысока. Для повышения точности возможно по-
строение алгоритмов с использованием трех и более членов ряда
Тейлора, однако на практике в большинстве случаев такой подход
оказывается нерациональным ввиду необходимости численного вы-
числения производных высших порядков.
Решение этой проблемы достигается использованием методов
Рунге-Кутта, предназначенных для аппроксимации методов, осно-
ванных на рядах Тейлора, но без явного вычисления производных, за
исключением первой. При этом наиболее эффективным с точки зре-
ния машинной реализации является четырехэтапный метод Рунге-
Кутта, алгоритм которого имеет следующий вид
Серія: Технічні науки. Випуск 1
17
( )
( )
++⋅++=
+
+⋅++=
+
+⋅++=
⋅=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
,)(,,,)(,
,
2
)(,,
2
,
2
)(,
2
,
2
)(,,
2
,
2
)(,
2
,)(,,),(,
3
0
34
2
0
2
3
1
0
1
2
0
1
ijjki
k
j
jikkii
i
jjki
k
j
j
i
kkii
i
jjki
k
j
j
i
kkii
jjki
k
j
jkkii
ksUshxKAkxUhxFhk
k
sUshxKA
k
xUhxFhk
k
sUshxKA
k
xUhxFhk
sUsxKAxUxFhk
(11)
( ))(,),()( 1 xuxuxU m…= , ( )iiiiki kkkkxu 4321 22
6
1)( +++=∆ ,
nixuxuxu kikiki ,1),()()( 1 =∆+=+ , (12)
где Aj – коэффициенты квадратурной формулы.
Недостатком данного метода является необходимость много-
кратного вычисления интеграла на каждом шаге, что существенно
замедляет время счета и делает затруднительными вычисления на
большем числе узлов.
Многошаговые алгоритмы. По аналогии с дифференциальными
уравнениями, для получения высокой точности можно использовать
многошаговые алгоритмы, обладающие высокой устойчивостью [4].
Рассмотрим вычислительную схему алгоритма, основанного на
многошаговом методе четвертого порядка:
1) вычисляется первое приближение к ( ))(,),( 1111 +++ = knkk xuxuU … и
далее
( )3211 9375955
24 −−−+ −+−⋅+= kkkkkk ffffhUU ; (13)
2) используя полученное приближение, вычисляются правые части в
точке xk + 1;
3) вычисляется окончательное приближенное решение в точке xk + 1
( )2111 5199
24 −−++ +−+⋅+= kkkkkk ffffhUU , (14)
где ( )
= ∑
=
…,,,,, 1
0
1 jjk
k
j
jkkk UsxKAUxFf
Математичне та комп’ютерне моделювання
18
( ) ,,,,,,
0
∑
=
jjkn
k
j
jkkn UsxKAUxF…
Aj – коэффициенты квадратурной формулы.
Для начала счета по данному алгоритму необходимо предвари-
тельно найти начальный отрезок решения (в первых четырех точках)
для вычисления которого могут быть использованы описанные выше
одношаговые методы, либо многошаговый метод 1-го порядка, алго-
ритм которого имеет вид:
1) вычисляется первое приближение к ( ))(,),( 1111 +++ = knkk xuxuU …
kkk fhUU +=+
0
1 ; (15)
2) используя полученное приближение, вычисляются правые части в
точке xk + 1;
3) вычисляется окончательное приближенное решение в точке xk + 1
( )kkkk ffhUU −⋅+= +++ 1
0
11 2
. (16)
Выводы. Все приведенные алгоритмы могут быть также ис-
пользованы для решения задачи Коши для различных разновидно-
стей интегро-дифференциальных уравнений.
Список использованной литературы:
1. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные мето-
ды. В 2-х т. – Т.2. – М.: Наука, 1977. – 400 с.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. – М.: Наука, 1973. – 630 с.
3. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. В 2-х т. – Т.1. – М.:
Наука, 1966. – 632 с.
4. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы матема-
тических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 280 с.
The paper presents an algorithm for numerical solution of a system of
integro-differential equations using difference and quadrature formulas.
Key words: model, algorithm, integro-differential equations.
Отримано: 05.06.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18671 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0060 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:01:20Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бойко, Ю.Д. Сербов, Н.Г. 2011-04-07T18:39:45Z 2011-04-07T18:39:45Z 2008 Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений / Ю.Д. Бойко , Н.Г. Сербов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 11-18. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18671 004.94:519.6 Представлены алгоритмы численного решения систем интегро-дифференциальных уравнений на основе разностных и квадратурных формул. The paper presents an algorithm for numerical solution of a system of integro-differential equations using difference and quadrature formulas. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений Бойко, Ю.Д. Сербов, Н.Г. |
| title | Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений |
| title_full | Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений |
| title_fullStr | Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed | Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений |
| title_short | Алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений |
| title_sort | алгоритмы моделирования динамических систем на основе интегро-дифференциальных уравнений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18671 |
| work_keys_str_mv | AT boikoûd algoritmymodelirovaniâdinamičeskihsistemnaosnoveintegrodifferencialʹnyhuravnenii AT serbovng algoritmymodelirovaniâdinamičeskihsistemnaosnoveintegrodifferencialʹnyhuravnenii |