Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем
Запропоновано комбіновані квадратурні алгоритми розв’язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри при моделюванні багатозв’язних динамічних систем. Алгоритми реалізовані в комплексі програм у системі Matlab. Combined quadrature algorithms for the systems of Volterra integral equations solving in mul...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18672 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем / А.Ф. Верлань, В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859657418199269376 |
|---|---|
| author | Верлань, А.Ф. Тихоход, В.А. |
| author_facet | Верлань, А.Ф. Тихоход, В.А. |
| citation_txt | Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем / А.Ф. Верлань, В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Запропоновано комбіновані квадратурні алгоритми розв’язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри при моделюванні багатозв’язних динамічних систем. Алгоритми реалізовані в комплексі програм у системі Matlab.
Combined quadrature algorithms for the systems of Volterra integral equations solving in multiply connected dynamic systems simulation are proposed. The algorithms are implemented in the Matlab system.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:23:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 1
19
УДК 519.6
А. Ф. Верлань, В. А. Тихоход
Институт проблем моделирования в энергетике
им. Г. Е. Пухова НАН Украины, г. Киев
КОМБИНИРОВАННЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ АЛГОРИТМЫ
РЕАЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
МНОГОСВЯЗНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Запропоновано комбіновані квадратурні алгоритми розв’я-
зання систем інтегральних рівнянь Вольтерри при моделюван-
ні багатозв’язних динамічних систем. Алгоритми реалізовані в
комплексі програм у системі Matlab.
Ключові слова: багатозв’язна динамічна система, інтег-
ральна модель, метод квадратур, квадратурні формули, ком-
біновані квадратурні алгоритми.
Введение. Существует большое количество методов для реше-
ния интегральных уравнений [1], однако их применение к системам
интегральных уравнений (СИУ) вызывает трудности, связанные с
большим количеством вычислительных операций и трудностями
обеспечения точности алгоритмов. Метод квадратур с использовани-
ем формул Ньютона-Котеса высокого порядка трудно применить к
уравнениям Вольтерры из-за особенностей интеграла с переменным
пределом. Возникает необходимость в создании новых или модифи-
кации известных методов.
Метод квадратур. Рассмотрим линейную систему интеграль-
ных уравнений Вольтерры (СИУВ) II рода вида
=−
=−
=−
∑∫∑
∑∫∑
∑∫∑
==
==
==
m
j
t
a
mjmj
m
j
jmj
m
j
t
a
jj
m
j
jj
m
j
t
a
jj
m
j
jj
tfdssystKtya
tfdssystKtya
tfdssystKtya
11
1
22
1
2
1
11
1
1
).()(),()(
),()(),()(
),()(),()(
LLLLLLLLLLLLLLLL
(1)
Численная реализация СИУВ (1), основанная на методе квадра-
тур, состоит в приведении их к алгебраическим системам уравнений
на дискретном множестве точек и дальнейшем решении полученных
систем. Соответствующие формулы имеют вид [2]
© А. Ф. Верлань, В. А. Тихоход, 2008
Математичне та комп’ютерне моделювання
20
( )
( )
( ) ∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=
−
==
=
−
==
=
−
==
+=−
+=−
+=−
m
j
i
l
l
l
j
l
mji
i
m
m
j
i
i
mjimj
i
j
m
j
i
l
l
l
j
l
ji
i
m
j
i
i
jij
i
j
m
j
i
l
l
l
j
l
ji
i
m
j
i
i
jij
i
j
AyKfAKay
AyKfAKay
AyKfAKay
1
1
1
)()()(
1
)()(
1
1
1
)()(
2
)(
2
1
)(
22
)(
1
1
1
)()(
1
)(
1
1
)(
11
)(
,
,
,
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
(2)
или в компактной форме
( ) ,
1
1
1
)()()(
1
)()( ∑∑∑
=
−
==
+=−
m
j
i
l
l
l
j
l
rji
i
r
m
j
i
i
rjirj
i
j AyKfAKay (3)
где ),(),(),,( )()()(
ir
i
rlj
l
jlirj
l
rji xffxyyxxKK === xi – фиксирован-
ные абсциссы (узлы) отрезка [a, b], причем x1 = a, xn = b, Ai – числовые
коэффициенты или весовые множители, обычно Ai ≥ 0 и abA
n
i
i −=∑
=1
.
Числовые коэффициенты Ai зависят от применяемой квадратур
ной формулы. Задача выбора квадратурной формулы для решения
уравнений Вольтерры не является однозначной, причем в литературе
нет завершенных, готовых для практики рекомендаций. Причина это-
го состоит в особенностях задачи вычисления интеграла с перемен-
ными границами.
При решении интегральных уравнений на ЭВМ достаточно ши-
роко применяются формулы прямоугольников и трапеций, являю-
щиеся формулами замкнутого вида, что объясняется простотой рас-
четных выражений. Однако при решении систем интегральных урав-
нений точность и скорость сходимости этих формул может быть не-
достаточна.
Комбинации квадратурных формул. Один из методов повы-
шения точности решения СИУ состоит в применении квадратурных
формул высокого порядка точности. Однако их применение для ре-
шения уравнений Вольтерры вызывает трудности, поскольку при-
ходится вычислять интегралы на дискретном множестве точек с пере-
менным количеством узлов, а все квадратурные формулы рассчитаны
на фиксированное количество узлов. В связи с этим предлагается ис-
пользование комбинаций квадратурных формул, основанных на со-
вместном использовании некоторой общей формулы с несколькими
простыми формулами в конце интегрирования.
Серія: Технічні науки. Випуск 1
21
На основе многочисленных вычислительных экспериментов
предлагаются такие комбинации квадратурных формул:
1) формул трапеций и Симпсона;
2) формул Симпсона и Ньютона “трех-восьмых”;
3) составной 11-точечной формулы Ньютона-Котеса и простых
формул Ньютона-Котеса более низкого порядка.
Рассмотрим стратегию применения предлагаемых комбинаций
квадратурных формул.
1. Комбинация формул Симпсона и трапеций применяется по
такому правилу: при непарном числе узлов используется составная
формула Симпсона, при парном числе узлов формула Симпсона до-
полняется формулой трапеций.
В результате получают формулы вида.
−−=++
+
++
−−=
++
=
−
=
+−
=
+−
∑
∑
∫
парном. при,12/),(
2
)(
2
)()(
3
4)(
3
;непарном при ,2/)1(
,)()(
3
4)(
3
)(
1
1
12212
1
12212
1
iiMxfhxfh
xfxhfxfh
iiM
xfxhfxfh
dxxf
ii
M
k
kkk
M
k
kkk
x
x
i
i
(4)
2. Возможны различные схемы применения комбинаций формул
Симпсона и Ньютона “трех-восьмых” (расчет осуществляется по че-
тырем точкам). Целесообразен следующий сценарий, при количестве
узлов:
6k – применяют формулу “трех-восьмых” на интервале [x1, x6k – 2] и
формулу Симпсона на интервале [x6k – 2, x6k];
6k + 1 – применяют формулу “трех-восьмых”;
6k + 2 – формулу Симпсона на интервале [x1, x6k – 1] совмещают с фор-
мулой “трех-восьмых” на интервале [x6k-1, x6k+2];
6k + 3 – формулу “трех-восьмых” на интервале [x1, x6k + 1] и формулу
Симпсона на интервале [x6k + 1, x6k + 3];
6k + 4 – применяют формулу “трех-восьмых”;
6k + 5 – используют формулу Симпсона на всем интервале [x1, x6k + 5].
В результате получаем формулы:
;6 при,3/)3(),(
3
)(
3
4)(
3
))()(3)(3)((
8
3)(
112
2
1
3322111
1
kiiMxfhxfhxfh
xfhxfhxfhxfhdxxf
i
i
iii
i
M
l
lllllll
x
x
i
i
=−=+++
++++=
−−−
−
=
++++++∑∫
Математичне та комп’ютерне моделювання
22
;16 при,3/)1(
,))()(3)(3)((
8
3)(
1
3322111
1
+=−=
+++= ∑∫
=
++++++
kiiM
xfhxfhxfhxfhdxxf
M
l
lllllll
x
x
i
i
;26 при,2/)4()],()(3)(3
)([
8
3))()(4)((
3
1)(
1122
33
1
2211
1
+=−=++
++++=
−−−−
−−
=
++++∑∫
kiiMxfhxfhxfh
xfhxfhxfhxfhdxxf
iiiiii
ii
M
l
llllll
x
x
i
i
;36 при,3/)3(),(
3
)(
3
4)(
3
))()(3)(3)((
8
3)(
112
2
1
3322111
1
+=−=+++
++++=
−−−
−
=
++++++∑∫
kiiMxfhxfhxfh
xfhxfhxfhxfhdxxf
i
i
iii
i
M
l
lllllll
x
x
i
i
;46 при,3/)1(
,))()(3)(3)((
8
3)(
1
3322111
1
+=−=
+++= ∑∫
=
++++++
kiiM
xfhxfhxfhxfhdxxf
M
l
lllllll
x
x
i
i
.56при,2/)1(
,))()(4)((
3
1)(
1
2211
1
+=−=
++= ∑∫
=
++++
kiiM
xfhxfhxfhdxxf
M
l
llllll
x
x
i
i
(5)
3. Комбинация составной 11-точечной формулы Ньютона-Коте-
са и простых формул Ньютона-Котеса более низкого порядка получа-
ется из нижеизложенного правила.
Возможно составление комбинации формул Ньютона-Котеса по
такому правилу: в узлах c xi при i = m (n – 1) + 1 расчет производить
по n-точечной составной квадратурной формуле Ньютона-Котеса, а в
узлах с i = m (n – 1) + k, k = 1, …, n – 1 использовать комбинацию n-
точечной составной квадратурной формулы и k-точечной простой
квадратурной формулы (в конце области интегрирования). Так, при
n = 3m получаем комбинацию таких квадратурных формул – трехто-
чечной составной формулы Симпсона и двухточечной формулы тра-
пеций; при n = 4m – комбинацию 4-х точечной формулы “трех-вось-
мых”, 3-х точечной формулы Симпсона и 2-х точечной формулы тра-
пеций; и т.д. Соответствующие формулы получаются громоздкими.
Однако легко можно найти квадратурные коэффициенты комбиниро-
ванной формулы, которые вычисляются следующим образом: если Ai,
ni ,1= – квадратурные коэффициенты n–точечного составного пра-
Серія: Технічні науки. Випуск 1
23
вила, Bj, kj ,1= – квадратурные коэффициенты k-точечного простого
правила, то квадратурными коэффициентами комбинированной фор-
мулы будут числа Cl, 1,1 −+= knl , где
>
=+
<
=
+− .,
,,
,,
1
1
nlB
nlBA
nlA
C
nl
n
l
l (6)
Так можно составить правила для произвольного n, однако по-
вышение порядка n не гарантирует повышения точности вычислений.
Алгоритмы на основе комбинированных формул. Блок-схема
решения системы интегральных уравнений вида (1) представлена на
рис. 1.
Внешний модуль Koef
по количеству узлов дис-
кретизации вычисляет ква-
дратурные коэффициенты
соответствующего квадра-
турного правила, основан-
ного на описанных выше
комбинированных форму-
лах, и возвращает их в ви-
де вектора А в основную
программу. Внешний мо-
дуль СЛАУ решает систе-
му линейных алгебраиче-
ских уравнений с левой
частью L и правой частью
R, рассчитанных и пере-
данных из основной про-
граммы, и возвращает ре-
шение в виде вектора yt
основной программе.
Команды size и zeros
являются командами Mat-
lab. Команда size возвра-
щает длину вектора. Кома-
нда zeros служит для выде-
ления памяти под массив,
размерность которого ука-
зывается в аргументах ко-
манды.
i>n Конец
R(jr)=R(jr)+K(jr,jc,i,l)*y(jr,l)*A(l)
Вывод y
Начало
Ввод
x,K,y0,f
n=size(x), m=size(y0)
y=zeros(m,n)
i=1
L=zeros(m,m), R=zeros(1,m)
jr=1
R(jr)=f(jr,i)
jc=1
jr=jc B=–K(jr,jc,i,i)
B=1–K(jr,jc,i,i)
L(jr,jc)=B*A(i)
l=0
l=l+1
l<i
jc=jc+1
jc>m
jr=jr+1
jr>m
y(:,i)=yt
–
+
–
+
i=i+1
–
+
СЛАУ
Koef
–
– +
Рис. 1. Блок-схема решения системы
интегральных уравнений вида (1)
с помощью метода квадратур
Математичне та комп’ютерне моделювання
24
Модельный пример. Описанные алгоритмы исследовались при
решении модельного примера. Рассмотрим систему интегральных
уравнений Вольтерры второго рода вида
−−−+−=
=−−−−
+−−−=
=+−−−
∫∫
∫∫
;1cos)2(sin)2(
)()2()()2()(
;1cossin)1(2
)()()()()(
0
2
0
12
0
2
0
11
xxxxx
dssysxdssysxxy
xxxx
dssysxdssysxxy
xx
xx
(7)
ее точное решение
xxyxxy TT cos)(,sin)( 21 == . (8)
Зададим следующие исходные данные: шаг h = 0,01, концы от-
резка интегрирования a = 0, b = 2р. В данном примере относительная
погрешность формулы трапеций достигает 230% (в точке x = 2р).
Абсолютная погрешность решения системы (7) методом трапе-
ций представлена на рис. 2.
Абсолютная погрешность решения системы (7) методом квадра-
тур с применением комбинированных квадратурных формул (4), (5) и
с помощью комбинации составной 11-точечной формулы Ньютона-
Котеса и простых формул Ньютона-Котеса более низкого порядка
при тех же исходных данных представлена на рис. 3.
Как видно из графиков, предложенные комбинации квадратур-
ных формул показали при решении модельного примера результаты,
значительно превышающие по точности точность формулы трапеций.
Наилучшую точность дали формулы на основе комбинации формул
Симпсона и “трех-восьмых”. Их относительная погрешность в дан-
ном примере не превышает 0,085% (в точке x = 2р).
Рис. 2. Абсолютная погрешность решения системы (7) методом квадратур
с использованием формулы трапеций
Серія: Технічні науки. Випуск 1
25
Рис. 3. Абсолютная погрешность решения системы (7) методом квадратур
с использованием комбинированных формул
Выводы. Метод квадратур применен для решения систем инте-
гральных уравнений Вольтерры. Предложены и реализованы алго-
ритмы, основанные на применении комбинаций квадратурных фор-
мул Ньютона-Котеса. Алгоритмы обеспечивают достаточно высокую
точность результатов решения.
Список использованной литературы:
1. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгорит-
мы, программы. – К.: Наукова думка, 1986. – 542 с.
2. Горошко И. О., Тихоход В. А. Компьютерная реализация решения систем
интегральных уравнений Вольтерры при исследовании многосвязных ди-
намических объектов // Электронное моделирование. – 2007. – Т. 29. –
№3. – С.101-105.
Combined quadrature algorithms for the systems of Volterra integral
equations solving in multiply connected dynamic systems simulation are
proposed. The algorithms are implemented in the Matlab system.
Key words: multicoherent dynamic system, integral model, method of
kvadratur, quadrature formulas, combined quadrature algorithms.
Отримано: 05.06.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18672 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0060 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:23:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Верлань, А.Ф. Тихоход, В.А. 2011-04-07T18:41:41Z 2011-04-07T18:41:41Z 2008 Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем / А.Ф. Верлань, В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18672 519.6 Запропоновано комбіновані квадратурні алгоритми розв’язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри при моделюванні багатозв’язних динамічних систем. Алгоритми реалізовані в комплексі програм у системі Matlab. Combined quadrature algorithms for the systems of Volterra integral equations solving in multiply connected dynamic systems simulation are proposed. The algorithms are implemented in the Matlab system. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем Article published earlier |
| spellingShingle | Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем Верлань, А.Ф. Тихоход, В.А. |
| title | Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем |
| title_full | Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем |
| title_fullStr | Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем |
| title_full_unstemmed | Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем |
| title_short | Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем |
| title_sort | комбинированные квадратурные алгоритмы реализации интегральных моделей многосвязных динамических систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18672 |
| work_keys_str_mv | AT verlanʹaf kombinirovannyekvadraturnyealgoritmyrealizaciiintegralʹnyhmodeleimnogosvâznyhdinamičeskihsistem AT tihohodva kombinirovannyekvadraturnyealgoritmyrealizaciiintegralʹnyhmodeleimnogosvâznyhdinamičeskihsistem |