Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях
The sufficient conditions for the existence of the integrating factor of a system of n differential equations of the rigid body dynamics, which allow n – 3 first integrals and one invariant relation or n – 4 first integrals and two invariant relations are obtained. The connection with the theory of...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1869 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях / Г.В. Горр, Е.К. Щетинина // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 60–66. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1869 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Горр, Г.В. Щетинина, Е.К. 2008-09-03T12:35:21Z 2008-09-03T12:35:21Z 2007 Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях / Г.В. Горр, Е.К. Щетинина // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 60–66. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1869 531.38 The sufficient conditions for the existence of the integrating factor of a system of n differential equations of the rigid body dynamics, which allow n – 3 first integrals and one invariant relation or n – 4 first integrals and two invariant relations are obtained. The connection with the theory of Jacobi' integrating factor is shown. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях |
| spellingShingle |
Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях Горр, Г.В. Щетинина, Е.К. Механіка |
| title_short |
Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях |
| title_full |
Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях |
| title_fullStr |
Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях |
| title_full_unstemmed |
Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях |
| title_sort |
об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях |
| author |
Горр, Г.В. Щетинина, Е.К. |
| author_facet |
Горр, Г.В. Щетинина, Е.К. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
The sufficient conditions for the existence of the integrating factor of a system of n differential equations of the rigid body dynamics, which allow n – 3 first integrals and one invariant relation or n – 4 first integrals and two invariant relations are obtained. The connection with the theory of Jacobi' integrating factor is shown.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1869 |
| citation_txt |
Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях / Г.В. Горр, Е.К. Щетинина // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 60–66. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gorrgv obintegriruûŝemmnožiteleuravneniidinamikitverdogotelanainvariantnyhmnogoobraziâh AT ŝetininaek obintegriruûŝemmnožiteleuravneniidinamikitverdogotelanainvariantnyhmnogoobraziâh |
| first_indexed |
2025-11-25T23:10:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:10:39Z |
| _version_ |
1850579283865501696 |
| fulltext |
УДК 531.38
© 2007
Г.В. Горр, Е. К. Щетинина
Об интегрирующем множителе уравнений динамики
твердого тела на инвариантных многообразиях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Я. Савченко)
The sufficient conditions for the existence of the integrating factor of a system of n differential
equations of the rigid body dynamics, which allow n−3 first integrals and one invariant relation
or n−4 first integrals and two invariant relations are obtained. The connection with the theory
of Jacobi’ integrating factor is shown.
Многие задачи динамики твердого тела, имеющего неподвижную точку, описываются сис-
темой шести дифференциальных уравнений, допускающих три первых интеграла. При этом
правые части этой системы не зависят от тех переменных, относительно которых они явля-
ются производными по времени. Например, уравнения движения твердого тела под дейст-
вием потенциальных и гироскопических сил, полученные Д. Гриоли [1], имеют вид
ẋ1 = (a3 − a2)x2x3 + a3x3
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
− a2x2
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
+ ν3
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
−
− ν2
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
,
ẋ2 = (a1 − a3)x3x1 + a1x1
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
− a3x3
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν1
+ ν1
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν3
−
− ν3
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν1
,
ẋ3 = (a2 − a1)x1x2 + a2x2
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν1
− a1x1
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
+ ν2
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν1
−
− ν1
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν2
,
(1)
ν̇1 = a3x3ν2 − a2x2ν3, ν̇2 = a1x1ν3 − a3x3ν1, ν̇3 = a2x2ν1 − a1x1ν2, (2)
где x1, x2, x3 — компоненты момента количества движения тела; ν1, ν2, ν3 — компоненты
единичного вектора оси симметрии силового поля; a1, a2, a3 — компоненты гирационного
тензора; L(ν1, ν2, ν3), U(ν1, ν2, ν3) — дифференцируемые функции переменных ν1, ν2, ν3;
точка над переменными обозначает относительную производную по t.
Уравнения (1), (2) имеют первые интегралы
a1x
2
1 + a2x
2
2 + a3x
2
3 − 2U(ν1, ν2, ν3) = c1,
x1ν1 + x2ν2 + x3ν3 + L(ν1, ν2, ν3) = c2,
ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = c2
3,
(3)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
где c1, c2, c3 — произвольные постоянные, причем в силу геометрического смысла вектора
ν при непосредственном интегрировании уравнений (1), (2) постоянную c3 в системе (3)
можно брать равной единице.
В более общем случае дифференциальные уравнения динамики твердого тела запишем
в виде
ẋi = Xi(x1, x2, . . . , xn),
∂Xi(x1, x2, . . . , xn)
∂xi
= 0, (4)
где i = 1, n, Xi(x1, x2, . . . , xn) имеют непрерывные производные по всем переменным в обла-
сти En ⊂ Rn. Пусть уравнения (4) имеют n − 2 первых интеграла
ϕj(x1, x2, . . . , xn) = cj (j = 1, n − 2). (5)
Здесь cj — произвольные постоянные. Введем в точке x(0) = (x
(0)
1 , x
(0)
2 , . . . , x(0)
n ) ∈ En и ее
окрестности новые координаты y1, y2, . . . , yn по формулам
xi = gi(y1, y2, . . . , yn) (i = 1, n), (6)
где y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ E∗
n ⊂ Rn. Якобиан замены (6) обозначим так:
D(y1, y2, . . . , yn) =
∣
∣
∣
∣
∂gi(y1, y2, . . . , yn)
∂yj
∣
∣
∣
∣
. (7)
Очевидно, в равенстве (7) предполагается D(y1, y2, . . . , yn) 6= 0 в E∗
n. То есть замена (6)
обратима
yi = Gi(x1, x2, . . . , xn) (i = 1, n). (8)
При этом выполняется условие
D∗(x1, x2, . . . , xn) =
∣
∣
∣
∣
∂Gi(x1, x2, . . . , xn)
∂xj
∣
∣
∣
∣
=
1
〈D(y1, y2, . . . , yn)〉
6= 0. (9)
Здесь
〈D(y1, y2, . . . , yn)〉=D(G1(x1, x2, . . . , xn),G2(x1, x2, . . . , xn), . . . ,Gn(x1, x2, . . . , xn)). (10)
С помощью формул (6), (8), имеющих место при условии (9), система (4) преобразуется
к виду
ẏi = Yi(y1, y2, . . . , yn) (i = 1, n). (11)
Для уравнений (4), (11) справедливо [4]
n
∑
i=1
∂Xi
∂xi
=
〈
1
D
n
∑
j=1
∂DYj
∂yj
〉
= 0, (12)
где учтено обозначение (10). Для того чтобы показать интегрирование системы (4), рас-
сматривают систему (11), в которой первые интегралы (5) приняты за новые переменные
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 61
yj = cj (j = 1, n − 2). Переменные yn−1, yn в обратной замене (8) можно обозначить так:
yn−1 = xn−1, yn = xn. Тогда система (11) принимает вид
ẏj = 0 (j = 1, n − 2), ẏn−1 = Yn−1(y1, y2, . . . , yn), ẏn = Yn(y1, y2, . . . , yn). (13)
Из последних двух уравнений системы (13) в силу yj = cj (j = 1, n − 2) следует
Yn(c1, . . . , cn−2, yn−1, yn)dyn−1 − Yn−1(c1, . . . , cn−2, yn−1, yn)dyn = 0. (14)
На основании уравнений (12)–(14) можно сделать вывод о том, что интегрирующий
множитель уравнений (14) имеет вид
M(c1, . . . , cn−2, yn−1, yn) = D(c1, . . . , cn−2, yn−1, yn). (15)
В силу формулы (9) и обозначения (10) интегрирующий множитель (15) можно записать
в виде
M(c1, . . . , cn−2, yn−1, yn) =
= D∗−1(g1(c1, . . . , cn−2, yn−1, yn), . . . , gn(c1, . . . , cn−2, yn−1, yn)). (16)
Данная теория интегрирующего множителя может быть использована при интегрировании
уравнений (1), (2) в случае, когда имеет место дополнительный к (3) первый интеграл [2].
Поскольку число случаев существования дополнительных первых интегралов для урав-
нений динамики твердого тела весьма ограничено [3, 4], то представляет интерес рассмотре-
ние интегрирующих множителей дифференциальных уравнений динамики на инвариант-
ных многообразиях. В последнее время [5, 6] еще раз показана актуальность исследования
инвариантных соотношений дифференциальных уравнений, так как на базе полученных
результатов можно, например, построить новые первые интегралы уравнений.
Применение методов изучения инвариантных соотношений, предложенных Т. Леви-Чи-
витой [7] и П.В. Харламовым [8], в задачах динамики твердого тела позволило открыть
большое количество частных решений уравнений динамики твердого тела [3].
В данной работе получены достаточные условия существования интегрирующего мно-
жителя системы дифференциальных уравнений (4), которая допускает определенное число
первых интегралов и инвариантных соотношений.
Случай одного инвариантного соотношения. Пусть система (4) допускает инвари-
антное соотношение по определению Леви-Чивиты [7]:
ϕ(x1, x2, . . . , xn) = 0, где
(
∂ϕ
∂x1
,
∂ϕ
∂x2
, . . . ,
∂ϕ
∂xn
)
6= 0 в En.
То есть функция ϕ(x1, x2, . . . , xn) удовлетворяет уравнению
ϕ̇ = ϕ(x1, x2, . . . , xn)F (x1, x2, . . . , xn), (17)
где F (x1, x2, . . . , xn) имеет те же свойства, что и правые части уравнений (4).
Свойства инвариантных многообразий, соответствующих указанному соотношению, изу-
чены в [5, 6]. Пусть уравнения (4) имеют n − 3 первых интеграла
ϕk(x1, x2, . . . , xn) = ck (k = 1, n − 3) (18)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
и их левые части по-прежнему удовлетворяют условию ∂Xi/∂xi = 0. Введем новые пере-
менные
yi = ϕi(x1, x2, . . . , xn) (i = 1, n − 3),
yn−2 = ϕ(x1, x2, . . . , xn), yn−1 = xn−1, yn = xn.
(19)
Тогда на основании формул (17)–(19) получим систему
ẏi = 0 (i = 1, n − 3), ẏn−2 = yn−2Yn−2(y1, y2, . . . , yn),
ẏn−1 = Yn−1(y1, y2, . . . , yn), ẏn = Yn(y1, y2, . . . , yn).
(20)
Интегрирование системы (4) на инвариантном многообразии, порожденным соотношением
ϕ(x1, x2, . . . , xn) = 0, эквивалентно интегрированию системы (20) при условии yn−2 = 0:
yi = ci (i = 1, n − 3), yn−2 = 0,
ẏn−1 = Yn−1(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn), ẏn = Yn(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn).
(21)
Уравнения (20), (21) получены в предположении, что
∆∗(x1, x2, . . . , xn) =
∣
∣
∣
∣
∂yk
∂xj
∣
∣
∣
∣
6= 0 (k = 1, n, j = 1, n), (x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ En), (22)
где переменные yi (i = 1, n) удовлетворяют соотношениям (19). В силу (22) имеет место
условие
∆(y1, y2, . . . , yn) =
∣
∣
∣
∣
∂xi
∂yj
∣
∣
∣
∣
=
1
〈∆∗(x1, x2, . . . , xn)〉
6= 0. (23)
Здесь xi(y1, y2, . . . , yn) получены из системы (19).
Принимая во внимание уравнения (20), (21), из формулы (12) найдем
∆(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn)Yn−2(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn) +
+
∂∆(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn)Yn−1(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn)
∂yn−1
+
+
∂∆(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn)Yn(c1, . . . , cn−3, 0, yn, yn)
∂yn
= 0. (24)
Так как имеет место условие (23), то из уравнения (24) вытекает, что при выполнении
равенства
Yn−2(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn) = 0 (25)
функция ∆(c1, . . . , cn−3, 0, yn−1, yn) будет интегрирующим множителем уравнений (21). Сле-
довательно, определено достаточное условие (25) интегрирования системы (4) при наличии
у нее n − 3 первых интегралов и одного инвариантного соотношения по определению Ле-
ви-Чивиты.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 63
Случай двух инвариантных соотношений. Рассмотрим случай, когда уравне-
ния (4) имеют n−4 первых интеграла и два инвариантных соотношения: ϕ(x1, x2, . . . , xn) =
= 0, g(x1, x2, . . . , xn) = 0, для которых выполняются уравнения [7]
ϕ̇ = λ1(x1, x2, . . . , xn)ϕ(x1, x2, . . . , xn) + λ2(x1, x2, . . . , xn)g(x1, x2, . . . , xn),
ġ = λ3(x1, x2, . . . , xn)ϕ(x1, x2, . . . , xn) + λ4(x1, x2, . . . , xn)g(x1, x2, . . . , xn).
(26)
Вводя новые переменные y1, y2, . . . , yn по формулам
yi = ϕi(x1, x2, . . . , xn) (i = 1, n − 4), yn−3 = ϕ(x1, x2, . . . , xn),
yn−2 = g(x1, x2, . . . , xn), yn−1 = xn−1, yn = xn,
(27)
где ϕi(x1, x2, . . . , xn) = ci (i = 1, n − 4) — первые интегралы системы (4), и учитывая (26),
(27), по аналогии с равенством (24) получим
∆(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn)[Y
(1)
n−3(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn) +
+ Y
(2)
n−2(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn)] +
+
∂∆(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn)Yn−1(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn)
∂yn−1
+
+
∂∆(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn)Yn(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn)
∂yn
= 0. (28)
Здесь ∆ =
∣
∣
∣
∣
∂xi
∂yk
∣
∣
∣
∣
(i = 1, n, k = 1, n), Y
(1)
n−3 = 〈λ1(x1, x2, . . . , xn)〉, Y
(2)
n−2 = 〈λ4(x1, x2, . . . , xn)〉,
где xi удовлетворяют системе (27).
Полагая в равенстве (28)
Y
(1)
n−3(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn) + Y
(2)
n−2(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn) = 0, (29)
для системы
ẏn−1 = Yn−1(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn),
ẏn = Yn(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn)
(30)
интегрирующий множитель можно определить в виде
M∗(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn) = ∆(c1, . . . , cn−4, 0, 0, yn−1, yn). (31)
Таким образом, условие (29) является достаточным условием существования у систе-
мы (30) интегрирующего множителя (31).
Следовательно, в рассмотренных выше случаях у системы (4) существования одного
инвариантного соотношения или двух инвариантных соотношений интегрирующий множи-
тель приведенных систем определяется по аналогии с классическим случаем (15).
П р и м е р 1 . Для иллюстрации полученных результатов вначале приведем пример трехмерной
системы, которая допускает одно инвариантное соотношение по определению Леви-Чивиты. Пусть
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
x1, x2, x3 — переменные задачи; α0, a, b — постоянные параметры, а дифференциальные уравнения
имеют вид
ẋ1 = α2
0
+ α0(x2 + x3) + 2x2x3 +
1
2
(1 − a)x2
2
,
ẋ2 = α0(x1 + x3) + 2x1x3 +
1
2
(1 − b)x2
1
+ x2
3
,
ẋ3 = α0(x1 + x2) + 2x1x2 +
1
2
(1 + b)x2
1
+
1
2
(1 + a)x2
2
.
(32)
Правые части системы (32) удовлетворяют условиям
∂Xi
∂xi
= 0. Эта система допускает инвариантное
соотношение
α0 + x1 + x2 + x3 = ϕ(x1, x2, x3) = 0, (33)
так как для функции ϕ(x1, x2, x3) имеем уравнение
ϕ̇(x1, x2, x3) = ϕ2(x1, x2, x3). (34)
Введем новые переменные y1 = x1, y2 = x2, y3 = ϕ(x1, x2, x3). Тогда на основании (32)–(34) получим
ẏ1 = −α0y1 − 2α0y2 + α0y3 − 2y1y2 −
(a + 3)
2
y2
2 + 2y2y3,
ẏ2 = α0y2 − α0y3 −
(1 + b)
2
y2
1
− 2y2y3 + y2
2
+ y2
3
,
ẏ3 = y2
3
.
(35)
Очевидно, что для системы (35) условие (25) выполняется. Для системы
ẏ1 = −α0y1 − 2α0y2 − 2y1y2 −
(a + 3)
2
y2
2 ,
ẏ2 = α0y2 −
(1 + b)
2
y2
1 + y2
2 ,
(36)
которая следует из (35), при y3 = 0 интегрирующим множителем является единица. Первый ин-
теграл системы (36) таков:
α0y1y2 + y1y
2
2 −
(1 + b)
6
y3
1 + α0y
2
2 +
(a + 3)
6
y3
2 = c, (37)
где c — произвольная постоянная.
П р и м е р 2 . С помощью системы (32) легко построить и пример, когда система имеет один
первый интеграл и одно инвариантное соотношение. Рассмотрим систему 4-го порядка, которая
состоит из трех уравнений (32) и уравнения
ẋ4 = α2
0 + 2α0(x1 + x2 + x3) + 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) + x2
1 + x2
2 + x2
3. (38)
Система уравнений (32), (38) допускает первый интеграл
x4 − x1 − x2 − x3 = c1,
где c1 — произвольная постоянная, и инвариантное соотношение (33).
При замене y1 = x1, y2 = x2, y3 = x1 + x2 + x3, y4 = x4 − x1 − x2 − x3 система (32), (38)
приводится к системе, состоящей из уравнений (35) и уравнения ẏ4 = 0. При y3 = 0 она
интегрируется и допускает два интеграла: интеграл (37) и интеграл y4 = c1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 65
Полученный в примерах результат обусловлен условием (25), которое в силу (34) может
быть записан так:
ẏn−2 = yn−2 · Yn−2,
где Yn−2 = yn−2. Поэтому Yn−2(0) = 0 и условие (25) выполняется.
П р и м е р 3 . Для случая, когда система имеет два инвариантных соотношения, можно привести
следующий пример системы четвертого порядка:
ẋ1 = x2f1(x1, x3, x4), ẋ2 = x1f2(x1, x3, x4),
ẋ3 = f3(x1, x2, x4), ẋ4 = f4(x1, x2, x3).
(39)
Система (39) допускает два инвариантных соотношения x1 = 0, x2 = 0 и удовлетворяет усло-
вию (29). Поэтому на этих инвариантных соотношениях допускает первый интеграл
∫
f4(0, 0, x3) dx3 −
∫
f3(0, 0, x4) dx4 = c,
где c — произвольная постоянная.
1. Grioli G. Questioni di dinamica del corpo rigidi // Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. – 1963. – 35,
No 1–2. – P. 35–39.
2. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1965. –
221 с.
3. Горр Г. В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие
и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
4. Борисов А. В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. – Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая
динамика, 2001. – 384 с.
5. Ковалев А.М. Уравнения инвариантных и ориентированных многообразий динамических систем //
Доп. НАН України. – 1998. – № 9. – С. 21–25.
6. Ковалев А.М. Вложение инвариантных многообразий в семейство интегральных многообразий и
анализ решения Гесса // Механика тв. тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 16–31.
7. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. В 2-х т. – Москва: Изд-во иностр. лит.,
1951. – Т. 2, ч. 2. – 555 с.
8. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Мех. тв.
тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
Поступило в редакцию 16.05.2006Донецкий национальный университет
Донецкий государственный университет
экономики и торговли
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
|