О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя
На основi Фур’є-сингуларисного розкладення несинусоїдальних функцiй виводиться формула тягового зусилля у двотактному електромагнiтному вiбровозбуджувачi. The formula for the tractive effort of a two-stroke electromagnetic vibroexciter is obtained. This formula is based on a Fourier-singularisnal ex...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18698 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 92-96. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860218343627161600 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 92-96. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | На основi Фур’є-сингуларисного розкладення несинусоїдальних функцiй виводиться формула тягового зусилля у двотактному електромагнiтному вiбровозбуджувачi.
The formula for the tractive effort of a two-stroke electromagnetic vibroexciter is obtained. This formula is based on a Fourier-singularisnal expansion of nonsinusoidal functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:17:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2009
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.318.001.2
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О сингуларисной формуле тягового усилия
двухтактного электромагнитного вибровозбудителя
На основi Фур’є-сингуларисного розкладення несинусоїдальних функцiй виводиться фор-
мула тягового зусилля у двотактному електромагнiтному вiбровозбуджувачi.
Известно [1], что в двухтактных электромагнитных вибровозбудителях (ЭМВ) на каждую
электрическую обмотку, расположенную на соответствующем магнитопроводе, подается
однополупериодное полусинусоидальное напряжение. Причем полупериоды этих напряже-
ний на обмотках разные, т. е. напряжения противополярные. Вид таких напряжений изо-
бражен на рис. 1, где U1, U2 — электрические напряжения; t — время.
Напряжения U1, U2 создают в обмотках О1 и О2 соответственно электрические токи i1
и i2, которые, по закону полного тока [2], наводят в своих магнитопроводах (М1, М2) и об-
щем якоре (Я) магнитные потоки Φ1 и Φ2 соответственно. Эти магнитные потоки в свою
очередь создают соответствующие тяговые усилия F1, F2 в якоре, которые в соответству-
ющий полупериод притягивают якорь к полюсам М1 или М2 и таким образом формируют
колебания якоря. Следовательно, тяговые усилия F1, F2 являются основополагающими для
возбуждения колебаний якоря в ДЭМВ.
Для определения F1, F2 необходимо последовательно рассмотреть процессы, происхо-
дящие в ДЭМВ. Электромагнитомеханическая схема ДЭМВ изображена на рис. 2, где D1,
D2 — диоды; Пр — пружины; δ — воздушный зазор; остальные обозначения были пред-
ставлены ранее.
Рис. 1
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
Рис. 2
Как видно из рис. 2, ДЭМВ состоит из электрической, магнитной и механической частей.
Известно [1], что тяговое усилие в ЭМВ определяется по формуле
F =
dWe
dδ
, (1)
где We = Li2/2 — электромагнитная энергия; L — индуктивность электрической обмотки;
I — электрический ток в обмотке.
Ток i определяется в результате решения дифференциального уравнения
U = ri + L
di
dt
, (2)
где r — активное сопротивление обмотки.
Напряжения U1, U2, графики которых изображены на рис. 1, соответствуют напряже-
нию U из (2) и являются несинусоидальными величинами. Аналитически такое напряжение
представляется в виде следующего ряда Фурье [2]:
U(t) =
2Ua
π
(
1
2
+
π
4
cos ωt +
1
1 · 3
cos 2ωt −
1
3 · 5
cos 4ωt +
1
5 · 7
cos 6ωt − · · ·
)
, (3)
где Ua — амплитуда U(t) = Ua sin ωt; ω — круговая частота.
В выражении (3) имеется постоянная составляющая Ua/π, которая в виде входного на-
пряжения в электроцепи (2) является скачкообразной, математически интерпретируемой
в виде скачкообразной функции (Ua/π)1(t), где 1(t) =
{
1 при t > 0
0 при t < 0
}
. Согласно рабо-
те [3],
Ua
π
1(t) =
Ua
π
(
1 − e−αt + e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)
. (4)
Здесь α — коэффициент затухания; Ua1 = 1/π, k = ωk/ω1, Uak = Ua1/k, n ≈ 12,
n
∑
k=1
Uak = 1,
т. е. (Ua/π)1(t) разлагается в сингуларисный ряд.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 93
Тогда с учетом (4) напряжение (3) приобретает вид
U(t) =
Ua
π
(
1 − e−αt + e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)
+
+
2Ua
π
(
π
4
cos ωt +
1
1 · 3
cos 2ωt −
1
3 · 5
cos 4ωt +
1
5 · 7
cos 6ωt − · · ·
)
(5)
и уравнение (2) с учетом (5) записывается в следующей форме:
U(t) =
Ua
π
(
1 − e−αt + e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
)
+
2Ua
π
(
π
4
cos ωt +
1
3
cos 2ωt
)
=
= ri(t) + L
di(t)
dt
. (6)
В (6) не включены слагаемые
2Ua
π
(
−
1
3 · 5
cos 4ωt +
1
5 · 7
cos 6ωt − · · ·
)
из-за их малых значений относительно первых двух слагаемых. Ток i(t) определяем методом
операционного исчисления Карсона [4]. В операционном виде (6) имеет вид
U(p) =
Ua
π
[
α
p + α
+
n
∑
k=1
Uakp(p + α)
(p + α)2 + ω2
k
]
+
2Ua
π
(
π
4
p2
p2 + ω2
+
1
1 · 3
p2
p2 + 4ω2
)
=
+ I(p)L(p + ε), (7)
где p = d/dt — оператор; U(p) — изображение Карсона оригинала U(t); I(p) — изображение
Карсона оригинала i(t); ε = r/L — коэффициент затухания в rL входной цепи одного ЭМВ.
Используя таблицы 13, 35 и 36 из работы [4], с учетом (7) получаем выражение пере-
ходного процесса тока i(t)
i(t) = i0(t) + i1(t) + i2(t) + i3(t), (8)
где
i0 =
Ua
πLε
=
Ua
πr
;
i1(t) =
Ua
πL
e−αt
{
1
α − ε
+
n
∑
k=1
Uak
(α − ε)2 + ω2
k
[ωk sin ωkt − (α − ε) cos ωkt]
}
;
i2(t) =
Ua
πL
e−εt
{
−
α
ε(α−ε)
+
[
(α−ε)
n
∑
k=1
Uak
(α−ε)2 + ω2
k
]
− 2ε
[
π
4(ε2+ω2)
+
1
3(ε2+4ω2)
]
}
;
i3(t) =
2Ua
πL
[
π
4(ε2 + ω2)
(ε cos ωt + ω sin ωt) +
1
3(ε2 + 4ω2)
(ε cos 2ωt + 2ω sin 2ωt)
]
.
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
Заметим, что (8) относится к току i(t), идущему по входной цепи обмотки одного магнито-
провода М1, например, в положительный полупериод входного напряжения U(t) = Ua sinωt.
Для тока входной цепи обмотки другого магнитопровода М2 в отрицательный полупериод
U(t) в аналитическом выражении, подобном (8), необходимо в аргументах слагаемых изме-
нить t на t − π/ω. Тогда в этом выражении будут e−α(t − π/ω), cos(ωkt − π), cos(ωt − π),
cos(2ωt−π), sin(ωkt−π), sin(ωt−π), sin(2ωt−π), т. е. в обмотке магнитопровода М1 ток будет
записан в виде i(t), а в обмотке магнитопровода М2 — i(t − π/ω). В каждый полупериод,
согласно (1), токи i(t), i(t − π/ω) создают соответствующие тяговые усилия [5]
F (t) = µ0S
(
w
2δ
)2
i2(t), F
(
t −
π
ω
)
= µ0S
(
w
2δ
)2
i2
(
t −
π
ω
)
, (9)
где µ0 — магнитная проницаемость воздуха; S — площадь поперечного сечения полюса ма-
гнитопровода М1 или М2 у воздушного зазора δ; w — число витков электрических обмоток
О1, О2.
Будем считать, что Ua, L, ε для цепей О1 и О2 одинаковые. Тогда с учетом того, что
|F (t) = F (t−π/ω)| и F (t) противоположно по знаку F (t−π/ω), постоянные составляющие
в F (t) и F (t − π/ω) компенсируют друг друга, а колебания якоря обусловливают i1(t) +
+ i2(t) + i3(t) и i1(t − π/ω) + i2(t − π/ω) + i3(t − π/ω).
Включая (8) в (9), получаем выражение тяговых усилий в виде
F (t) = a
[
3
∑
l=0
il(t)
]2
, F
(
t −
π
ω
)
= a
[
3
∑
l=0
il
(
t −
π
ω
)
]2
, (10)
где a = µ0S(w/(2δ))2.
Представим в развернутом виде выражения из (10) в следующей форме:
F (t) = a
〈[
3
∑
l=0
i2
l
(t)
]
+ 2
{[
i0
3
∑
l=1
il(t)
]
+
[
i1(t)
3
∑
l=2
il(t)
]
+ i2(t)i3(t)
}〉
, (11)
F
(
t −
π
ω
)
= a
〈[
3
∑
l=0
i2l
(
t −
π
ω
)
]
+ 2
{[
i0
3
∑
l=1
il
(
t −
π
ω
)
]
+
+
[
i1
(
t −
π
ω
) 3
∑
l=2
il
(
t −
π
ω
)
]
+ i2
(
t −
π
ω
)
i3
(
t −
π
ω
)
}〉
. (12)
Заметим, что составляющие токов в i1(t), i1(t − π/ω) в переходном процессе убывают
очень быстро, так как α → ∞. Составляющие токов в i2(t), i2(t − π/ω) убывают в зави-
симости от ε = r/L. Обычно в ЭМВ индуктивное сопротивление ωL ≫ r. А это значит,
что ε → 0. Тогда i2(t), i2(t − π/ω) вместе с i3(t), i3(t − π/ω) обусловливают вынужденные
процессы в i(t), i(t − π/ω). Для быстрого затухания i2(t), i2(t − π/ω) необходимо, чтобы
в ДЭМВ U(t) = Ua sinωt было направлено от источника тока, когда r + ru ≫ ωL, где
rU — активное сопротивление источника тока. Но в этом случае теряется входная энергия,
превращаясь в тепло.
Таким образом, с учетом (8), (11) и (12) сингуларисная формула тягового усилия двухта-
ктного электромагнитного вибровозбудителя записывается в виде F (t, t−π/w) = (11)+(12).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 95
Если учесть тригонометрические преобразования [6]
sin x sin y =
1
2
[cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y =
1
2
[cos(x − y) + cos(x + y)],
sin x cos y =
1
2
[sin(x − y) + sin(x + y)],
sin2 x =
1
2
(1 − cos 2x), cos2 x =
1
2
(1 + cos 2x)
и др., то видно, что в формулу FΣ(t, t − π/ω) входят гармонические составляющие с мно-
жеством частот, кроме ω.
Такой вывод является дополнением к прежним суждениям [1] о том, что ДЭМВ вос-
производит только гармонику с частотой задающего напряжения U(t).
1. Вибрации в технике: В 6-ти т. / Под ред. Э.Э. Лавендела. – Москва: Машиностроение, 1981. – Т. 4. –
510 с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
3. Божко А. Е. О сингуларисном разложении скачкообразной функции // Доп. НАН України. – 2008. –
№ 2. – С. 42–47.
4. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
5. Божко А.Е., Личкатый Е.А., Мягкохлеб К.Б. О двухтактном электромагнитном вибровозбудите-
ле // Доп. НАН України. – 2006. – № 5. – С. 90–93.
6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
Поступило в редакцию 20.05.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On the singularisnal formula for the tractive effort of a two-stroke
electromagnetic vibroexciter
The formula for the tractive effort of a two-stroke electromagnetic vibroexciter is obtained. This
formula is based on a Fourier-singularisnal expansion of nonsinusoidal functions.
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18698 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:17:08Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2011-04-07T20:23:34Z 2011-04-07T20:23:34Z 2009 О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 92-96. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18698 621.318.001.2 На основi Фур’є-сингуларисного розкладення несинусоїдальних функцiй виводиться формула тягового зусилля у двотактному електромагнiтному вiбровозбуджувачi. The formula for the tractive effort of a two-stroke electromagnetic vibroexciter is obtained. This formula is based on a Fourier-singularisnal expansion of nonsinusoidal functions. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя On the singularisnal formula for the tractive effort of a two-stroke electromagnetic vibroexciter Article published earlier |
| spellingShingle | О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя Божко, А.Е. Енергетика |
| title | О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя |
| title_alt | On the singularisnal formula for the tractive effort of a two-stroke electromagnetic vibroexciter |
| title_full | О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя |
| title_fullStr | О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя |
| title_full_unstemmed | О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя |
| title_short | О сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя |
| title_sort | о сингуларисной формуле тягового усилия двухтактного электромагнитного вибровозбудителя |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18698 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae osingularisnoiformuletâgovogousiliâdvuhtaktnogoélektromagnitnogovibrovozbuditelâ AT božkoae onthesingularisnalformulaforthetractiveeffortofatwostrokeelectromagneticvibroexciter |