О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред
The calculation of an initial pre-fracture zone near the end of a crack in a piecewise homogeneous isotropic elastic body under plane strain by the Wiener-Hopf method is presented. The crack is located at the interface of media. The pre-fracture zone is modeled by the direct line of the normal displ...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1871 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, М.В. Дудик // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 67–71. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1871 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Дудик, М.В. 2008-09-03T12:36:18Z 2008-09-03T12:36:18Z 2007 О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, М.В. Дудик // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 67–71. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1871 539.375 The calculation of an initial pre-fracture zone near the end of a crack in a piecewise homogeneous isotropic elastic body under plane strain by the Wiener-Hopf method is presented. The crack is located at the interface of media. The pre-fracture zone is modeled by the direct line of the normal displacement rupture emerging from the end of the crack. The dependences of the pre-fracture zone length and the slope angle on the load and other parameters of the problem are investigated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред |
| spellingShingle |
О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Дудик, М.В. Механіка |
| title_short |
О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред |
| title_full |
О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред |
| title_fullStr |
О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред |
| title_full_unstemmed |
О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред |
| title_sort |
о боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред |
| author |
Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Дудик, М.В. |
| author_facet |
Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Дудик, М.В. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
The calculation of an initial pre-fracture zone near the end of a crack in a piecewise homogeneous isotropic elastic body under plane strain by the Wiener-Hopf method is presented. The crack is located at the interface of media. The pre-fracture zone is modeled by the direct line of the normal displacement rupture emerging from the end of the crack. The dependences of the pre-fracture zone length and the slope angle on the load and other parameters of the problem are investigated.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1871 |
| citation_txt |
О боковой зоне предразрушения в вершине трещины на границе раздела различных упругих сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, М.В. Дудик // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 67–71. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kaminskiiaa obokovoizonepredrazrušeniâvveršinetreŝinynagranicerazdelarazličnyhuprugihsred AT kipnisla obokovoizonepredrazrušeniâvveršinetreŝinynagranicerazdelarazličnyhuprugihsred AT dudikmv obokovoizonepredrazrušeniâvveršinetreŝinynagranicerazdelarazličnyhuprugihsred |
| first_indexed |
2025-11-24T16:10:14Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:10:14Z |
| _version_ |
1850484122993033216 |
| fulltext |
УДК 539.375
© 2007
А.А. Каминский, Л. А. Кипнис, М. В. Дудик
О боковой зоне предразрушения в вершине трещины
на границе раздела различных упругих сред
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
The calculation of an initial pre-fracture zone near the end of a crack in a piecewise homoge-
neous isotropic elastic body under plane strain by the Wiener–Hopf method is presented. The
crack is located at the interface of media. The pre-fracture zone is modeled by the direct line of
the normal displacement rupture emerging from the end of the crack. The dependences of the
pre-fracture zone length and the slope angle on the load and other parameters of the problem
are investigated.
В условиях плоской деформации рассматривается задача о расчете начальной зоны пред-
разрушения вблизи конца трещины в кусочно-однородном изотропном теле, расположенной
на границе раздела двух различных однородных сред с модулями Юнга E1, E2 и коэффици-
ентами Пуассона ν1, ν2. Зона предразрушения моделируется исходящей из конца трещины
под углом α к границе раздела сред прямой линией разрыва нормального смещения, на ко-
торой нормальное напряжение равно заданной постоянной материала σ. Постоянная σ пред-
ставляет собой среднее по длине нормальное напряжение в зоне предразрушения и должна
определяться экспериментально по методике, изложенной в [1].
Поскольку длина l линии разрыва значительно меньше длины L трещины и всех других
размеров тела, а напряженно-деформированное состояние исследуется лишь вблизи линии
разрыва, в качестве решения соответствующей статической задачи теории упругости бу-
дем использовать решение задачи для кусочно-однородной изотропной упругой плоскости,
содержащей полубесконечную трещину на прямолинейной границе раздела сред и исходя-
щую из ее конца линию разрыва (рис. 1). На рис. 1 линия разрыва расположена в верхней
полуплоскости, так как предполагается, что материал тела с упругими постоянными E1,
ν1 является более хрупким, чем материал второго тела. На бесконечности главные члены
разложений напряжений в асимптотические ряды представляют собой удовлетворяющее
условию затухания напряжений асимптотически наибольшее решение аналогичной задачи
без линии разрыва. Это решение [2] имеет осциллирующий характер вблизи конца трещины
и содержит две произвольные постоянные KI, KII — коэффициенты интенсивности напря-
жений, которые характеризуют интенсивность внешнего поля и считаются заданными по
условию.
Рис. 1
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 67
В [3] в аналогичной постановке в рамках модели с линией разрыва касательного сме-
щения решена задача о расчете начальной зоны предразрушения вблизи конца трещины
в кусочно-однородном изотропном упругопластическом теле, расположенной на границе
раздела двух различных сред.
Граничные условия задачи имеют следующий вид:
θ = 0, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, 〈uθ〉 = 〈ur〉 = 0;
θ = α, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, 〈ur〉 = 0; θ = ±π, σθ = τrθ = 0; (1)
θ = α, r < l, σθ = σ; θ = α, r > l, 〈uθ〉 = 0; (2)
θ = α, r → ∞, σθ = F (α)r−
1
2
+iω + F (α)r−
1
2
−iω + o(1/r);
ω =
1
2π
ln
e+ χ1
1 + eχ2
, e =
1 + ν2
1 + ν1
e0, e0 =
E1
E2
, χ1(2) = 3 − 4ν1(2);
F (α) = e′ · (KII − iKI)L
−iωF1(α), e′ =
√
(e+ χ1)(1 + eχ2)
2
√
2π[(e+ χ1)2 − (1 + eχ2)2]
,
F1(α) = −[a1 sin(λ+ 2)α+ a2 sinλα+ a3 cos(λ+ 2)α + a4 cos λα]λ=−
1
2
+iω,
a1 =
e+ χ1
2
− 1 − eχ2 +
(
e+ χ1 −
1 + eχ2
2
)
ch 2πω + iω[e+ χ1 − (1 + eχ2) ch 2πω],
a2 = (3/2 + iω)[(1 + eχ2) ch 2πω − e− χ1],
a3 = −ω(1 + eχ2) sh 2πω − i(e+ χ1 − (1 + eχ2)/2) sh 2πω,
a4 = (ω − 3i/2)(1 + eχ2) sh 2πω. (3)
Здесь 〈f〉 — скачок величины f ; W — число, комплексно сопряженное W .
Вблизи конца линии разрыва в силу общих положений о поведении напряжений в окрест-
ностях угловых точек упругих тел [4] реализуется асимптотика, представляющая собой
удовлетворяющее условию непрерывности смещений асимптотически наибольшее решение
однородной задачи теории упругости для плоскости, содержащей полубесконечную прямую
линию разрыва. В частности, справедливы следующие асимптотики:
θ = α, r → l + 0, σθ ∼ K√
2π(r − l)
;
θ = α, r → l − 0,
〈
∂uθ
∂r
〉
∼ −4(1 − ν2
1 )
E1
K√
2π(l − r)
(K — определяемый в ходе решения коэффициент интенсивности напряжений в конце линии
разрыва).
Решение сформулированной краевой задачи теории упругости представим в виде суммы
решений следующих двух задач. Первая отличается от нее тем, что в (2) вместо первого
условия примем
θ = α, r < l,
σθ = σ − F (α)r−
1
2
+iω − F (α)r−
1
2
−iω,
(4)
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
а на бесконечности напряжения затухают как o(1/r) (в (3) отсутствуют первые два слагае-
мых). Вторая задача — аналогичная задача без линии разрыва, решение которой известно,
поэтому достаточно найти решение первой задачи.
Применив преобразование Меллина к уравнениям равновесия, условию совместности
деформаций, закону Гука, условиям (1) и учитывая второе условие (2) и условие (4), при-
ходим к функциональному уравнению Винера–Хопфа первой задачи:
Φ+(p) +
σ
p+ 1
+
Z
p+ 1/2 + iω
+
Z
p+ 1/2 − iω
= −tgpπ ·G(p)Φ−(p),
Φ+(p) =
∞∫
1
σθ(ρl, α)ρpdρ, Φ−(р) =
E1
4(1 − ν2
1)
1∫
0
〈
∂uθ
∂r
〉∣∣∣∣
r=ρl
θ=α
ρpdρ,
Z = −F (α)l−
1
2
+iω, G(p) = − D1(p) cos pπ
D0(p) sin2 pπ
,
D0(p) = 2(e + χ1)(1 + eχ2) cos 2pπ + (e+ χ1)
2 + (1 + eχ2)
2,
D1(p) = (1 + eχ2)
2∆1(p) − 2(1 − e)(1 + eχ2)∆2(p) + 2(e+ χ1)(1 + eχ2)∆3(p) −
− 2(1 − e)(e + χ1)∆4(p) − (e+ χ1)
2∆5(p),
∆1(p) = p sin 2α sin p(π − 2α) + 2p2 sin2 α cos p(π − 2α) − 2 sin pα sin p(π − α),
∆2(p) = p2 sin2 α cos p(3π−2α) + p sin 2α cos p(2π−α) sin p(π−α) + cos pπ sin2 p(π−α),
∆3(p) = p2 sin2 α cos p(π + 2α) − p sin 2α sin pα cos p(π + α) −
− sin p(π − α)[sin p(2π + α) − sin pπ cos p(π − α)],
∆4(p) = p2 sin2 α cos p(π − 2α) + p sin 2α cos pα sin p(π − α) + cos pπ sin2 p(π − α),
∆5(p) = sin pπ[sin 2p(π − α) + p sin 2α];
−δ1 < Re p < δ2, δ1 и δ2 — достаточно малые положительные числа.
Из решения этого функционального уравнения находим коэффициент K. Приравнивая
его к нулю, приходим к уравнению, служащему для определения длины зоны предразру-
шения:
σ̃ sin(ω lnx+ ψ + ξ + ϕ)√
x
= C,
x =
l
L
, ψ = arg(F1(α)), ξ = arg
(
K+(−1/2 − iω)
(1/2 + iω)G+(−1/2 − iω)
)
, ϕ = arctg
KII
KI
,
C =
K+(−1)
2e′G+(−1)|F1(α)|
∣∣∣∣
(1/2 + iω)G+(−1/2 − iω)
K+(−1/2 − iω)
∣∣∣∣, σ̃ =
√
K2
I +K2
II
σ
√
L
;
G+(p) = exp
[
1
2πi
i∞∫
−i∞
lnG(z)
z − p
dz
]
(Re p < 0), K+(p) =
Γ(1 − p)
Γ(1/2 − p)
(5)
(Γ(z) — гамма-функция).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 69
Рис. 2. Рис. 3.
Наибольший корень полученного уравнения определяет длину линии разрыва при за-
данных посредством безразмерного параметра σ̃ внешней нагрузке, не зависящем от внеш-
ней нагрузки отношении n = KII/KI, угле α и упругих характеристиках сред. Для определе-
ния угла между линией разрыва и границей раздела сред используется условие максимума
длины l(α) линии разрыва.
На рис. 2 представлен график зависимости длины линии разрыва от нагрузки σ̃. Зна-
чения коэффициентов Пуассона при расчетах принимались равными ν1 = ν2 = 0,333; более
детальный анализ показывает, что их изменение не влияет на качественные выводы, сфор-
мулированные ниже. Как и следовало ожидать, длина линии разрыва возрастает с уве-
личением модуля нагрузки. Если e0 увеличивается, то при n > 0 длина линии разрыва
уменьшается, а при n 6 0 она увеличивается.
Угол наклона линии разрыва слабо зависит от модуля нагрузки. При этом, с увели-
чением модуля нагрузки угол α уменьшается, если e0 < 1, и увеличивается, если e0 > 1.
С увеличением e0 угол наклона уменьшается. Отдельные значения угла при различных
параметрах задачи приведены в табл. 1.
Зависимость l(n) при заданных e0 и σ̃ представлена на рис. 3. Значения l достаточно
велики при отрицательных n, причем при n, близких к −2, функция l(n) принимает наи-
большее значение. При положительных n функция l(n) убывает и стремится к нулю при
n → ∞. Угол α уменьшается с увеличением n и, начиная с некоторого n > 0, становится
Таблица 1
e0 σ̃
α
0
n = −∞ n = −2 n = −1 n = −0,5 n = 0 n = 0,5
0,5 0,2 76 66 57 45 10 0
0,4 75 65 56 43 6 0
2 0,2 69 60 51 36 0 0
0,4 70 61 52 38 1 0
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
и остается равным нулю. Таким образом, при n > 0 зона предразрушения в конце трещины
расположена в области, прилегающей к границе раздела сред.
1. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Длительное разрушение полимерных и композитных материалов с
трещинами. – Киев: Наук. думка, 1992. – 248 с.
2. Кортен Х.Т. Механика разрушения композитов. Разрушение. Т. 7, ч. 1. – Москва: Мир, 1976. –
С. 367–471.
3. Kaminsky A.A., Dudik M.V., Kipnis L. A. The calculation of side prefracture zone at the end of the crack
on the interface of different media // Intern. Appl. Mech. – 2006. – 42, No 2. – P. 14–23.
4. Партон В. З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – Москва: Наука, 1981. –
688 с.
Поступило в редакцию 12.05.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Уманский государственный
педагогический университет
УДК 629.7.054
© 2007
В.М. Мельник
Хвильовi процеси в пiдвiсi гiроскопа з довiльним
окресленням лiнiї меридiана поплавця
(Представлено академiком НАН України В. М. Кошляковим)
The theory of the elastic interaction of the suspension of a gyroscope with an external wave
perturbation under an arbitrary geometry of the meridian line form is constructed. The ways
to compensate this influence with passive methods are presented.
Реалiзацiя iдеї використання рiдинностатичного пiдвiсу в iнерцiальних навiгацiйних систе-
мах i пiлотажному обладнаннi [1, 2] дозволила значно зменшити похибки гiроскопiчних
приладiв, практично усунувши сухе тертя на вихiднiй осi. Мiж iншим, вирiшенi iншi пи-
тання полiпшення динамiчних властивостей — ударо- та вiбростiйкiсть, бажаний коефiцiєнт
демпфiрування в iнтегруючому гiроскопi тощо. Нарештi стало можливим використання дво-
степеневих гiроскопiв як чутливих елементiв високоточних гiростабiлiзованих платформ.
Стримкий розвиток ракетно-космiчної технiки та досягнення практичної космонавтики
змусили, проте, iстотно переглянути наявнi вiдомостi щодо вiдповiдностi паспортних харак-
теристик поплавкових гiроскопiв дiючим реалiям за натурних умов [3, 4]. Мова йдеться про
вплив на прилади iнерцiальної навiгацiї акустичного випромiнювання з боку реактивних
двигунiв.
Вiдомо, що в акустичнi коливання трансформується близько 10−4 потужностi рушiйних
установок. Наприклад, для одного лiтака стратегiчної бомбардувальної авiацiї, а також лi-
така тактичної i палубної авiацiї вона становить 1 . . . 4 та 0,8 . . . 1,6 кВт вiдповiдно. Рiвень
акустичного тиску бiля реактивного струменя РН може сягати 180 дБ i вище. Природно,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 71
|