Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв

Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв

Представлено нові результати, пов’язані з вивченням питань стійкості та регуляризації частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень вхідних даних векторного критерію, що складається з квадратичних чи лінійних функцій. Доведено стійкість задач з квадратичними критеріями для ви...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2022
Автори: Лебєдєва, Т.Т., Семенова, Н.В., Сергієнко, Т.І.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2022
Назва видання:Доповіді НАН України
Теми:
Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/187185
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв / Т.Т. Лебєдєва, Н.В. Семенова, Т.І. Сергієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 5. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-187185
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1871852025-02-10T00:29:15Z Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв Stability and regularization of partially integer problems of vector optimization with possible perturbations of criteria Лебєдєва, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергієнко, Т.І. Інформатика та кібернетика Представлено нові результати, пов’язані з вивченням питань стійкості та регуляризації частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень вхідних даних векторного критерію, що складається з квадратичних чи лінійних функцій. Доведено стійкість задач з квадратичними критеріями для випадку пошуку розв’язків, оптимальних за Слейтером. Для випадку оптимізації за Парето розроблено підхід до регуляризації частково цілочислових задач з лінійними критеріальними функціями. New results related to the study of stability and regularization of partially integer vector optimization problems with possible perturbations of the input data of a vector criterion consisting of quadratic or linear functions are presented. The stability of problems with quadratic criteria for the case of finding solutions that are optimal according to Slater is proved. For the Pareto optimization case, an approach to the regularization of partially integer problems with linear criterion functions is developed. 2022 Article Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв / Т.Т. Лебєдєва, Н.В. Семенова, Т.І. Сергієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 5. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2022.05.016 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/187185 519.8 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Інформатика та кібернетика
Інформатика та кібернетика
spellingShingle Інформатика та кібернетика
Інформатика та кібернетика
Лебєдєва, Т.Т.
Семенова, Н.В.
Сергієнко, Т.І.
Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв
Доповіді НАН України
description Представлено нові результати, пов’язані з вивченням питань стійкості та регуляризації частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень вхідних даних векторного критерію, що складається з квадратичних чи лінійних функцій. Доведено стійкість задач з квадратичними критеріями для випадку пошуку розв’язків, оптимальних за Слейтером. Для випадку оптимізації за Парето розроблено підхід до регуляризації частково цілочислових задач з лінійними критеріальними функціями.
format Article
author Лебєдєва, Т.Т.
Семенова, Н.В.
Сергієнко, Т.І.
author_facet Лебєдєва, Т.Т.
Семенова, Н.В.
Сергієнко, Т.І.
author_sort Лебєдєва, Т.Т.
title Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв
title_short Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв
title_full Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв
title_fullStr Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв
title_full_unstemmed Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв
title_sort стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2022
topic_facet Інформатика та кібернетика
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/187185
citation_txt Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв / Т.Т. Лебєдєва, Н.В. Семенова, Т.І. Сергієнко // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 5. — С. 16-22. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT lebêdêvatt stíikístʹíregulârizacíâčastkovocíločislovihzadačvektornoíoptimízacíízamožlivihzburenʹkriteríív
AT semenovanv stíikístʹíregulârizacíâčastkovocíločislovihzadačvektornoíoptimízacíízamožlivihzburenʹkriteríív
AT sergíênkotí stíikístʹíregulârizacíâčastkovocíločislovihzadačvektornoíoptimízacíízamožlivihzburenʹkriteríív
AT lebêdêvatt stabilityandregularizationofpartiallyintegerproblemsofvectoroptimizationwithpossibleperturbationsofcriteria
AT semenovanv stabilityandregularizationofpartiallyintegerproblemsofvectoroptimizationwithpossibleperturbationsofcriteria
AT sergíênkotí stabilityandregularizationofpartiallyintegerproblemsofvectoroptimizationwithpossibleperturbationsofcriteria
first_indexed 2025-12-02T04:32:40Z
last_indexed 2025-12-02T04:32:40Z
_version_ 1850369597130145792
fulltext 16 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 5: 16—22 Ц и т у в а н н я: Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. Стійкість і регуляризація частково ціло- числових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 5. С. 16—22. https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.05.016 ІНФОРМАТИКА ТА КІБЕРНЕТИКА INFORMATICS AND CYBERNETICS https://doi.org/10.15407/dopovidi2022.05.016 УДК 519.8 Т.Т. Лебєдєва, https://orcid.org//0000-0002-0041-2174 Н.В. Семенова, https://orcid.org// 0000-0001-5808-1155 Т.І. Сергієнко, https://orcid.org//0000-0003-0396-3315 Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ e-mail: lebedevatt@gmail.com, nvsemenova@meta.ua, taniaser62@gmail.com Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв Представлено академіком НАН України І.В. Сергієнком Представлено нові результати, пов’язані з вивченням питань стійкості та регуляризації частково цілочис- лових задач векторної оптимізації за можливих збурень вхідних даних векторного критерію, що складаєть- ся з квадратичних чи лінійних функцій. Доведено стійкість задач з квадратичними критеріями для випадку пошуку розв’язків, оптимальних за Слейтером. Для випадку оптимізації за Парето розроблено підхід до регуляризації частково цілочислових задач з лінійними критеріальними функціями. Ключові слова: векторна задача цілочислової оптимізації, векторний критерій, стійкість, регуляризація, Парето-оптимальні розв’язки, множина Слейтера, збурення вхідних даних. На сьогодні при вирішенні важливих актуальних задач прийняття рішень, що виникають та розв’язуються за можливих збурень вхідних даних і описуються векторними моделями дис- кретної оптимізації, все більшого значення набувають питання їхньої стійкості та регуляризації. Продовжуючи дослідження, відображені, зокрема, в роботах [1—8], представимо нові результати, пов’язані з вивченням питань стійкості та регуляризації частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень вхідних даних векторного критерію, що складається з квадратичних чи лінійних функцій. Розглянемо задачу ( , ) : max{ ( ) },Q F X F x x X∈ де X ≠ ∅ , 1 2n n nX R Z R⊂ × ⊂ , 1 2n n n+ = , 11 n n< , nR — n -вимірний дійсний про- стір; 2nZ — множина всіх цілочислових векторів з 2nR ; 1 2( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))F x f x f x f x=  ; 17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 5 Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв 1 2 1: n n if R Z R× → — квадратичні функції вигляду ( ) , ,i i if x x D x c x= 〈 〉 + 〈 〉 , [ ]i n n i jkD d R ×= ∈ , 1( , ..., ) n i i inc c c R= ∈ , {1, ..., }i N∈ =  , , {1, ..., }nj k N n∈ = . Під розв’язанням задачі ( , )Q F X будемо розуміти знаходження деякої підмножини множини ( , )S F X оптимальних за Слейтером розв’язків: ( , ) { ( , , ) }S F X x X x F X= ∈ σ =∅ ½ , (1) де ( , , ) { ( ) ( )}x F X y X F y F xσ = ∈ > . Зокрема, якщо мова буде йти про задачу на відшукання точок множини Парето ( , ) { ( , , ) }P F X x X x F X= ∈ π =∅½ , (2) де ( , , ) { ( ) ( ), ( ) ( )}x F X y X F y F x F y F xπ = ∈ ≠ , то таку задачу будемо позначати ( , )PQ F X . Задачу на відшукання множини Слейтера позначатимемо ( , )SlQ F X . Очевидні такі співвідношення: ( , ) ( , )P F X S F X⊂  (3) і x X∀ ∈ ( , , ) ( , , )x F X x F Xσ ⊂ π . Для задачі ( , )Q F X як вхідні дані, що можуть зазнати збурень, будемо розглядати коефіці- єнти векторного критерію F. Набір таких вхідних даних позначимо ( , ) n n nu D C U R R× × ×= ∈ ⊂ ×  , де U — простір вхідних даних задачі, що стосуються векторного критерію, 1( , ..., ) n nD D D R × ×= ∈   , [ ] n ijC c R ×= ∈  . Поряд з позначеннями 1( ) ( ( ), ..., ( ))F x f x f x=  для векторної цільової функ- ції і часткових критеріїв задачі ( , )Q F X будемо користуватися, коли це необхідно, також позначеннями 1( ) ( ( ), ..., ( ))u u uF x f x f x=  , які уточнюють, який саме елемент u із простору U вхідних даних відповідає задачі, що розглядається. Далі для будь-якого натурального числа q дійсний векторний простір qR розглядати- мемо як нормований. Норму в qR задамо формулою q i i N z z ∈ = ∑ , де 1( , ..., ) q qz z z R= ∈ . Під нормою деякої матриці [ ] m k ijB b R ×= ∈ будемо розуміти норму вектора 11 12( , , ..., ).mkb b b Зазначимо [9], що у скінченно-вимірному просторі qR будь-які дві норми (1)⋅ , (2)⋅ екві- валентні, тобто знайдуться такі числа 0α > та 0β > , що qz R∀ ∈ виконуються нерівності (1) (2) (1) z z zα β  . Враховуючи цю еквівалентність, викладені далі результати справед- ливі й для інших норм, введених у скінченно-вимірному просторі. Для набору вхідних даних u U∈ і будь-якого числа 0δ > визначимо множину збурених вхідних даних ( ) { ( ) ( ) }O u u U u uδ = δ ∈ δ − < δ . Задача зі збуреними вхідними даними для векторного критерію матиме вигляд: ( ) ( )( , ) : max{ ( ) },u uQ F X F x x Xδ δ ∈ де ( ) ( ),u O uδδ ∈ ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ( ), ..., ( ))u u uF x f x f xδ δ δ =  . 18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 5 Т.Т. Лебєдєва, Н.В. Семенова, Т.І. Сергієнко Означення 1. Задачу ( , )Sl uQ F X ( ( , )P uQ F X ) назвемо стійкою за векторним критерієм, якщо 0∀ε > 0∃δ > , таке, що ( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ виконується умова ( )( , ) ( ( , ))u uSl F X O Sl F Xδ ε⊂ (відповідно ( )( , ) ( ( , ))u uP F X O P F Xδ ε⊂ . Тут і далі ( ) { inf }n y B O B x R x yε ∈ = ∈ − < ε — -окіл будь-якої множини nB R⊂ . Нагадаємо деякі відомі поняття, що будуть використовуватися нами надалі у зв’язку з дослідженням питань стійкості задачі ( , )Sl uQ F X та регуляризації задачі ( , )P uQ F X ) за мож- ливих збурень вхідних даних і характеризують властивості неперервності і замкненості точ- ково-множинних відображень. Нехай : 2XUΓ → — точково-множинне відображення, яке кожній точці u U∈ ставить у відповідність деяку підмножину ( )uΓ множини X (наприклад, підмножину ( , )uS F X або ( , )uP F X ). Точково-множинне відображення Γ вважається напівнеперервним зверху за Хаус- дор фом у деякій точці u U∈ , якщо 0∀ε > 0∃δ > , таке, що ( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ : ( ( )) ( ( ))u O uεΓ δ ⊂ Γ . Враховуючи означення 1, відзначимо, що стійкість за векторним критерієм задачі ( , )Sl uQ F X ( ( , )P uQ F X ), де u U∈ , означає, що точково-множинне відображення : 2 ,XSl U → ( ) ( , )uu Sl u Sl F X→ = (відповідно відображення : 2 , ( ) ( , )X uP U u P u P F X→ → = ) є напів- неперервним зверху за Хаусдорфом у точці u U∈ . Відображення : 2XUΓ → називається напівнеперервним зверху за Бержем у точці u U∈ за умови, що для будь-якої відкритої множини XΩ⊂ , такої, що ( )uΓ ⊂ Ω, ( ) 0∃δ = δ Ω > , таке, що ( ) ( ) ( ( ))u O u uδ∀ δ ∈ Γ δ ⊂ Ω: . Замкненість відображення Γ у точці u U∈ означає, що для будь-яких послідовностей { }su U⊂ та { }sx X⊂ таких, що lim s s u u →∞ = , lim o s s x x X →∞ = ∈ , з на- лежностей ( )s sx u∈Γ , s N∈ , випливає належність ( )ox u∈Γ . Сформулюємо згідно з [4] дві елементарні властивості точково-множинних відобра- жень, які використаємо далі під час доведення теореми 1 про напівнеперервність зверху за Хаусдорфом точково-множинного відображення : 2 , ( ) ( , )X uSl U u Sl u Sl F X→ → = . Властивість 1. Якщо множина X є компактом (тобто обмеженою і замкненою), то із за- мкненості точково-множинного відображення : 2XUΓ → у деякій точці u U∈ випливає його напівнеперервність зверху за Бержем у цій точці. Властивість 2. З напівнеперервності зверху за Бержем точково-множинного відображення : 2XUΓ → у точці u U∈ випливає його напівнеперервність зверху за Хаусдорфом у цій точці. Теорема 1. Нехай допустима множина X задачі ( , )uQ F X , де u U∈ , є компактом. Тоді точково-множинне відображення : 2XSl U → , є замкненим і напівнеперервним зверху за Ха- усдорфом у точці u U∈ . Доведення. Доведемо спочатку замкненість точково-множиннго відображення : 2XSl U → у точці ( , )u D C U= ∈ за умови, що множина X є компактом. Розглянемо дві будь-які послі- довності { }su U⊂ та { }sx X⊂ , такі, що lim s s u u →∞ = , lim o s s x x X →∞ = ∈ , (4) ( , )s s su D C= , 1( , ..., ) ,s s s n nD D D R × ×= ∈   [ ]s s n ijC c R ×= ∈  , ( , ) ss ux Sl F X∈ , s N∈ . Останні на- лежності означають, що ( , )y X s N i N∀ ∈ ∈ ∃ ∈ : , , , ,s s s s i i s i s i sy D y c y x D x c x〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉 , (5) де 1( , ..., )s s s n i i inc c c R= ∈ . 19ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 5 Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв Покажемо, що ( , )o ux Sl F X∈ . Нехай (від супротивного) ( ) ( )o u uz X F z F x∃ ∈ : > , тобто i N∀ ∈ : 〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉0 0, , , , o i i i iz D z c z x D x c x> . Тоді виходячи з формул (4), а також врахову- ючи порядкові і арифметичні властивості границь послідовностей точок та еквівалентність збіжності послідовностей у будь-якому дійсному векторному просторі з покоординатною їхньою збіжністю [9], приходимо до висновку, що існує такий номер os N∈ , що os∀ > s і i N∀ ∈  справедлива нерівність , , , ,s s s s i i s i s i sz D z c z x D x c x〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉> . (6) Проте з формул (5) випливає, що s N∀ ∈ i N∃ ∈ : , , , ,s s s s i i s i s i sz D z c z x D x c x〈 〉 + 〈 〉 〈 〉 + 〈 〉 . Отже, дістали протиріччя з нерівністю (6), яке доводить замкненість відображення : 2XSl U → у точці u U∈ . Звідси, враховуючи наведені вище властивості 1 і 2 точково-множинних відо- бражень і припущення щодо компактності множини X , випливає напівнеперервність звер- ху за Бержем відображення : 2XSl U → у точці u U∈ , з якої, в свою чергу, випливає напівне- перервність зверху за Хаусдорфом цього відображення. Доведення завершено. Наслідок 1. Якщо допустима множина X задачі ( , )uQ F X , де u U∈ , є компактом, то 0∀ε > 0∃δ > , таке, що ( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ : ( )( , ) ( , )u uS F X O S F Xδ ε⊂  , тобто задача ( , )Sl uQ F X на відшукання множини Слейтера є стійкою за векторним критерієм. Відносно умов стійкості задачі ( , )PQ F X пошуку множини Парето нагадаємо такі відомі твердження. Теорема 2 [7]. Якщо допустима множина X задачі ( , )PQ F X є компактом, тоді достат- ньою умовою стійкості задачі за векторним критерієм є виконання рівності ( , ) cl( ( , )),S F X P F X= (7) де clB — замикання будь-якої множини nB R⊂ . Зауважимо, що теорема 2 справедлива також для задачі у більш загальній постановці [8], а саме: на часткові критеріальні функції, що складають векторний критерій оптимізації, накладається лише умова неперервності, а множина nX R⊂ має довільну структуру. В ро- ботах [3, 4] доведено необхідність виконання умови (7) для стійкості задачі оптимізації за Парето у випадку, коли векторний критерій складається з лінійних функцій. Розглянемо підхід до регуляризації можливо нестійкої частково цілочислової задачі ( , )PQ F X для випадку, коли множина X її допустимих розв’язків є непорожнім компак- том, а векторний критерій F оптимізації складається з лінійних функцій ( ) ,i if x c x= 〈 〉 , i N∈  . (8) За такої умови набір u вхідних даних, які можуть підлягати збуренню, складається з еле- ментів матриці C , тобто nu C U R ×= ⊂ ⊂  . Позначимо таку задачу ( , )P CQ F X . Якщо припустити, що для задачі ( , )P CQ F X виконується рівність ( , ) cl( ( , ))C CS F X P F X= і, отже, у відповідності до теореми 2 вона є напевно стійкою до збурень елементів матриці C, тоді при її розв’язанні отримаємо розв’язки, близькі до істинних, навіть у випадку, коли мають місце досить невеликі помилки в поданні матриці C. Якщо припустити, що задача ( , )P CQ F X не є стійкою, тоді за означенням 1 0∃ε > , таке, що 0∀δ > знайдеться матриця ( ) ( ) { ( ) ( ) }C O C C U C Cδδ ∈ = δ ∈ δ − < δ , для якої виконуєть- 20 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 5 Т.Т. Лебєдєва, Н.В. Семенова, Т.І. Сергієнко ся нерівність ( )( , ) ( , )C CP F X O P F Xδ ε ≠ ∅\ . У цьому разі при розв’язанні задачі ( )( , )P CQ F Xδ з можливими збуреннями (помилками, неточностями) у вхідних даних векторного кри- терію існує вірогідність отримати такі її оптимальні розв’язки, які не є Парето-оптималь- ними для задачі ( , )P CQ F X . Щоб запобігти цьому, пропонується перейти від розв’язання можливо нестійкої задачі ( , )P CQ F X оптимізації за Парето до розв’язання напевно стійкої задачі ( , )S C Q F Xτ на відшукання розв’язків, оптимальних за Слейтером, в якій матриця C τ коефіцієнтів векторного критерію є спеціальним чином збуреною (зміненою) у порівнянні з початковою матрицею C, а  — параметр збурення. При цьому будь-який оптимальний за Слейтером розв’язок задачі ( ) ( , )S C Q F Xτ δ з можливими збуреннями у матриці C τ буде одночасно шуканим Парето-оптимальним розв’язком початкової задачі ( , )P CQ F X , тобто ∀ε > 0∃δ > , таке, що ( ) ( )C O Cτ τ δ∀ δ ∈ : ( ) ( , ) ( , ). C C S F X O P F Xτ τεδ ⊂ Для обґрунтування даного способу регуляризації можливо нестійкої задачі ( , )P CQ F X за- стосуємо одне з положень теорії збурених конусів перспективних напрямків, представленої, зокрема, в роботах [1–4, 6]. Це положення, сформульоване далі у твердженні 1, з’ясовує спів- відношення, що виникає при певних збуреннях матриці C між конусом { 0}nK x R Cx= ∈ ½ , його лінійною підмножиною 0 { 0}nK x R Cx= ∈ =½ і внутрішністю int { 0}nK x R Cx= ∈ >½ . Ви- ходячи з формул (1) і (2), приходимо до висновку, що x X∀ ∈ : 0( , ) ( ( \ ))Cx P F X x K K X∈ ⇔ + =∅ , (9) ( , ) ( int )Cx Sl F X x K X∈ ⇔ + =∅ . (10) Збуримо матрицю С, змінивши кожен її вектор-рядок , ,ic i N∈  на такий: .i ic c wτ = − τ Тут 1Rτ∈ — параметр збурення, nw R∈ — внутрішня точка опуклої оболонки множини 1{ , ..., }c c векторів-рядків матриці С, ,i i i N w c ∈ = μ∑  1,i i N∈ μ =∑  0 ( )i i Nμ > ∈  . Збуреній мат- риці [ ] n ijC c Rτ τ ×= ∈  поставимо у відповідність опуклі конуси { 0}nK x R C xτ τ= ∈  і 0 { 0}nK x R C xτ τ= ∈ = , отримані шляхом збурення конусів K та 0K . Твердження 1. Якщо 0τ < , то має місце включення 0\ intK K K τ⊂ . Доведення. Нехай х — будь-яка точка множини 0\K K . Тоді i N∀ ∈ : маємо 0ic x  і крім того k N∃ ∈ : , 0kc x〈 〉 > . Враховуючи ці нерівності, дістаємо таку оцінку скалярного добутку , , , 0.i i i i i N i N w x c x c x ∈ ∈ 〈 〉 = 〈 μ 〉 = μ 〈 〉 >∑ ∑   Отже, 0∀τ < , маємо також , ( ), ,i i ic x c w x c xτ〈 〉 = 〈 − τ 〉 = 〈 〉 − , , 0,ic x w x= 〈 〉 − τ〈 〉 > i N∈ , що означає належність intx K τ∈ . Наступне твердження разом з наслідком 1 теореми 1 складає підґрунтя запропоновано- го підходу до регуляризації за векторним критерієм можливо нестійкої частково цілочисло- вої задачі ( , )P CQ F X з лінійними частковими критеріальними функціями вигляду (8). Твердження 2 [2, 4]. Для будь-якого 0τ < справджується включення ( , ) ( , ).CC S F X P F Xτ ⊂ (11) Згідно з наслідком 1 теореми 1 і твердженням 2 заключаємо, що у випадку, коли множина X є непорожнім компактом, 0∀ε > 0∃δ > , таке, що ( ) ( , ) ( , ) ( , )CC C S F X O S F X O P F Xτ τε εδ ⊂ ⊂  ( ) ( )C O Cτ τ δ∀ δ ∈ і 0∀τ < . 21ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2022. № 5 Стійкість і регуляризація частково цілочислових задач векторної оптимізації за можливих збурень критеріїв ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Козерацкая Л.Н., Лебедева Т.Т., Сергиенко Т.И. Задача частично целочисленной векторной оптимиза- ции: вопросы устойчивости. Кибернетика. 1991. № 1. С. 58–61. 2. Козерацкая Л.Н., Лебедева Т.Т., Сергиенко Т.И. О регуляризации задач целочисленной векторной опти- мизации. Кибернетика и систем. анализ. 1993. № 3. С. 172–176. 3. Козерацкая Л.Н. Задачи векторной оптимизации: устойчивость в пространстве решений и в простран- стве альтернатив. Кибернетика и систем. анализ. 1994. № 6. С. 122–133. 4. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Лебедева Т.Т. Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач. Киев: Наук. думка, 1995. 170 с. 5. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Устойчивость векторных задач целочисленной оптимиза- ции: взаимосвязь с устойчивостью множеств оптимальных и неоптимальных решений. Кибернетика и систем. анализ. 2005. № 4. С. 90–100. https://doi.org/10.1007/s10559-005-0090-z 6. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих мно- жество допустимих решений векторной оптимизационной задачи. Кибернетика и систем. анализ. 2014. 50, № 5. С. 71–77. https://doi.org/10.1007/s10559-014-9661-1 7. Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. Стійкість за векторним критерієм задачі частково цілочис- лової оптимізації з квадратичними критеріальними функціями. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 10. С. 15–21. https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.10.015 8. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия. Кибернетика и систем. анализ. 2020. 56, № 6. С. 107–114. https://doi.org/10.1007/s10559-020-00315-9 9. Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Ч. 1. Київ: Вища школа. 1992. Часть.1. 495 с. Надійшло до редакції 16.05.2022 REFERENCES 1. Kozeratskaya, L. N., Lebedeva, T. T. & Sergienko, T. I. (1991). Mixed integer vector optimization: Stability issues. Cybernetics and Systems Analysis, 27, No. 1, pp. 76-80. 2. Kozeratskaya, L. N., Lebedeva, T. T. & Sergienko, T. I. (1993). Regularization of integer vector optimization problems, Cybernetics and Systems Analysis, 29, No. 3, pp. 455-458. 3. Kozeratskaya, L. N. (1994). Vector optimization problems: Stability in the decision space and in the space of alternatives. Cybernetics and Systems Analysis, 30, No. 6, pp. 891-899. 4. Sergienko, I. V., Kozeratskaya, L. N. & Lebedeva, T. T. (1995). Stability and parametric analysis of discrete optimization problems, Kyiv: Naukova Dumka (in Russian). 5. Lebedeva, T. T., Semenova, N. V. & Sergienko, T. I. (2005). Stability of vector problems of integer optimization: Relationship with the stability of sets of optimal and nonoptimal solutions. Cybernetics and Systems Analysis, 41, No. 4, pp. 551-558. https://doi.org/10.1007/s10559-005-0090-z 6. Lebedeva, T. T., Semenova, N. V. & Sergienko, T. I. (2014). Properties of perturbed cones ordering the set of feasible solutions of vector optimization problem. Cybernetics and Systems Analysis, 50, No. 5, pp. 712-714 (in Ukrainian). https://doi.org/10.1007/s10559-014-9661-1 7. Lebedeva, T. T., Semenova, N. V. & Sergienko, T. I. (2020). Stability by the vector criterion of a mixed integer optimization problem with quadratic criterial functions. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., No. 10, pp. 15-21 (in Ukrainian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.10.015 8. Lebedeva, T. T., Semenova, N. V. & Sergienko, T. I. (2020). Multi-Objective Optimization Problem: Stability against Perturbations of Input Data in Vector-Valued Criterion. Cybernetics and Systems Analysis, 56, No. 6, pp. 953-958. https://doi.org/10.1007/s10559-020-00315-9 9. Lyashko, I. I., Emelyanov, V. F. & Boyarcyuk, O. K. (1992). Mathematical analysis. Part.1. Kyiv: Visha shcola (in Ukrainian). Received 16.05.2022 22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2022. № 5 Т.Т. Лебєдєва, Н.В. Семенова, Т.І. Сергієнко Т.Т. Lebedeva, https://orcid.org//0000-0002-0041-2174 N.V. Semenova, https://orcid.org// 0000-0001-5808-1155 T.I. Sergienko, https://orcid.org//0000-0003-0396-3315 V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kyiv e-mail: lebedevatt@gmail.com, nvsemenova.@meta.ua, taniaser62@gmail.com STABILITY AND REGULARIZATION OF PARTIALLY INTEGER PROBLEMS OF VECTOR OPTIMIZATION WITH POSSIBLE PERTURBATIONS OF CRITERIA New results related to the study of stability and regularization of partially integer vector optimization problems with possible perturbations of the input data of a vector criterion consisting of quadratic or linear functions are presented. The stability of problems with quadratic criteria for the case of finding solutions that are optimal according to Slater is proved. For the Pareto optimization case, an approach to the regularization of partially integer problems with linear criterion functions is developed. Keywords: vector integer optimization problem, vector criterion, stability, regularization, Pareto-optimal solutions, set of Slater, perturbations of initial data.

Схожі ресурси