Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних
Розглядаються ітераційні алгоритми апроксимації функції двох змінних сумами парних добутків функцій однієї змінної, які формуються в сенсі мінімуму квадратичної нев’язки. Iterative algorithms for approximation of functions of two variables by sums of even products of functions of one variable, which...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18745 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних / Д.А. Верлань // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 24-32. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18745 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Верлань, Д.А. 2011-04-09T19:24:53Z 2011-04-09T19:24:53Z 2009 Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних / Д.А. Верлань // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 24-32. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18745 519.6 Розглядаються ітераційні алгоритми апроксимації функції двох змінних сумами парних добутків функцій однієї змінної, які формуються в сенсі мінімуму квадратичної нев’язки. Iterative algorithms for approximation of functions of two variables by sums of even products of functions of one variable, which are formed in the sense of minimizing the quadratic residuals is consider. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних |
| spellingShingle |
Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних Верлань, Д.А. |
| title_short |
Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних |
| title_full |
Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних |
| title_fullStr |
Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних |
| title_full_unstemmed |
Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних |
| title_sort |
ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних |
| author |
Верлань, Д.А. |
| author_facet |
Верлань, Д.А. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
Розглядаються ітераційні алгоритми апроксимації функції двох змінних сумами парних добутків функцій однієї змінної, які формуються в сенсі мінімуму квадратичної нев’язки.
Iterative algorithms for approximation of functions of two variables by sums of even products of functions of one variable, which are formed in the sense of minimizing the quadratic residuals is consider.
|
| issn |
XXXX-0060 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18745 |
| citation_txt |
Ітераційні алгоритми апроксимації функцій двох змінних / Д.А. Верлань // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 24-32. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT verlanʹda íteracíiníalgoritmiaproksimacíífunkcíidvohzmínnih |
| first_indexed |
2025-11-25T22:34:43Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:34:43Z |
| _version_ |
1850568149067366400 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
24
УДК 519.6
Д. А. Верлань, студент
Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, м. Київ
ІТЕРАЦІЙНІ АЛГОРИТМИ АПРОКСИМАЦІЇ
ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ
Розглядаються ітераційні алгоритми апроксимації функції
двох змінних сумами парних добутків функцій однієї змінної,
які формуються в сенсі мінімуму квадратичної нев’язки.
Ключові слова: апроксимація, чисельний алгоритм, функ-
ція двох змінних, квадрат нев’язки.
Вступ. Подання функцій двох змінних у зручному для обчис-
лення вигляді — актуальна задача при розв’язуванні багатьох дослід-
ницьких та проектних проблем в математичній фізиці, електроніці,
біофізиці, системах вимірювання, керування, та в багатьох інших на-
укових та прикладних областях.
В обчислювальній математиці існує достатньо ефективний під-
хід до апроксимації функцій двох змінних, який ґрунтується на попе-
редньому виборі однієї або двох систем координатних функцій і на-
ступному відшуканні коефіцієнтів розкладу вихідної функції з умов
зворотного критерію оптимальності. Розглянемо відповідні чисельні
алгоритми апроксимації функцій двох змінних, які характеризується
тим, що самі функції однієї змінної, сума парних добутків, яка апрок-
симує вихідну функцію, формуються оптимально в сенсі мінімуму
квадратичної нев’язки. Ідея методу вперше була запропонована в ро-
ботах [1, 2], але поки що не була повною мірою досліджена та реалі-
зована у вигляді прикладних програмних засобів. Слід відмітити та-
кож, що застосування вказаного підходу до апроксимації ядер інтег-
ральних рівнянь, як функцій двох змінних, дозволяє отримати ефек-
тивні чисельні алгоритми розв’язування.
Теоретичним обґрунтуванням цього методу можна вважати ро-
боту А.Н. Колмогорова [3], про представлення неперервних функцій
декількох змінних у вигляді суперпозиції неперервних функцій однієї
змінної. Наприклад: для будь-якого 2n ≥ існують такі визначені на
одиничному відрізку 1 [0;1]E = неперервні дійсні функції ( )pq xψ ,
що кожна визначена на n-мірному одиничному кубі [0;1]n nE = непе-
рервна дійсна функція 1( ,..., )nf x x може подаватись як
2 1
1
1 1
( ,..., ) ( )
q n n
pq
n q p
q p
f x x xχ ψ
= +
= =
=
∑ ∑ ,
© Д. А. Верлань, 2009
Серія: Технічні науки. Випуск 2
25
де функції ( )q yχ дійсні і неперервні. Подальший розвиток цієї теорії
можна знайти в роботі [4].
Постановка задачі. Будемо розглядати задачу наближення фун-
кції двох змінних у наступному вигляді. Нехай задана функція
( , )K x s інтегрована в квадраті ( a x b≤ ≤ , a s b≤ ≤ ). Необхідно апро-
ксимувати її сумою
1
( ) ( )
N
j j
j
x sα β
=
∑ , виходячи з умови мінімуму квад-
ратичного функціоналу
2
1
( , ) ( ) ( )
b b N
j j
ja a
K x s x s dxdsα β
=
Φ = −
∑∫∫ . (1)
Тобто, необхідно отримати наближення у вигляді
1
( , ) ( ) ( )
N
i i
j
K x s x sα β
=
≅ ∑ . (2)
Алгоритм І. Схема методу полягає в тому, що спочатку знахо-
диться перше наближення функції ( , )K x s у вигляді одного доданку
1 1( ) ( )x sα β . Цей, перший, доданок формуємо наступним чином: зада-
ємо
1
(0) ( )sβ — початкове наближення функції 1( )tβ та з умов міні-
муму функціоналу
2
(0,0) (0) (0)
1 1 1( , ) ( ) ( )
b b
a a
K x s s t dxdsα β Φ = − ∫ ∫ (3)
знаходимо (0)
1 ( )xα — початкове наближення 1 ( )xα .
Відомим варіаційним методом знаходимо, що для виконання
умови мінімуму функціоналу, визначеного виразом (3), необхідно,
щоб
(0)
1
(0)
1
(0) 2
1
( , ) ( )
( )
( ( ))
b
a
b
a
K x s s ds
x
s ds
β
α
β
=
∫
∫
. (4)
Потім уточнюючи функції (0)
1 ( )xα та
1
(0) ( )sβ з умов мінімуму
функціоналу отримаємо:
2
(0,1) (0) (1)
1 1 1( , ) ( ) ( )
b b
a a
K x s x s dxdsα β Φ = − ∫ ∫ , (5)
Математичне та комп’ютерне моделювання
26
далі відшуковуємо
1
(1)( )sβ — перше наближення функції 1( )sβ :
(0)
1
(1)
1
(0) 2
1
( , ) ( )
( )
( ( ))
b
a
b
a
K x s x dx
s
x dx
α
β
α
=
∫
∫
(6)
і т. д. Процес припиняється, як тільки виконуються умови:
( 1) ( ) 2
11 1
( 1) ( ) 2
21 1
( ( ) ( )) ,
( ( ) ( )) ,
b
N N
a
b
N N
a
s s
x x
β β ε
α α ε
+
+
− ≤
− ≤
∫
∫
(7)
де 1ε та 2ε — показники заданої точності обчислення функцій 1( )sβ
та 1( )xα .
На наступному кроці, аналогічно наближаємо функцію ( , )K x s −
1 1( ) ( )x sα β− добутком 2 2( ) ( )x sα β , виходячи з того ж критерію опти-
мальності (1), і т.д. Таким чином, отримуємо ряд
1
( ) ( )
N
j j
j
x sα β
=
∑ , який
з заданою точністю апроксимує вихідну функцію ( , )K x s .
Алгоритм ІІ. Для побудови апроксимуючого ряду можна засто-
сувати інший спосіб, який відрізняється від попереднього тим, що
задається одночасно N функцій (0) ( ), ( 1, )j s j Nβ = , які представля-
ють початкові наближення функцій ( )j sβ (кількість членів апрокси-
муючого ряду при цьому вибирається попередньо).
Початкове наближення для функцій ( )j xα ( 1, )j N= обчислю-
ється з умов мінімуму функціоналу
2
(0) (0) (0)
1
( , ) ,
b N
jt j ij ij
ia
K x s dsα β
=
Φ = −
∑∫ 1,j N= ,
де (0) (0) ( )ij i jtβ β= , (0) (0) ( )ij i jsα α= .
Далі процес апроксимації полягає в побудові та мінімізації фун-
кціоналів
2
(1) (1)
1
( , ) ( ) ,
b N
jt j ij i
ia
K x s s dsα β
=
Φ = −
∑∫
Серія: Технічні науки. Випуск 2
27
2
(1) (1)
1
( , ) ( ) ,
b N
js j i ij
ia
K x s x dxα β
=
Φ = −
∑∫
і далі (2)
jsΦ , (2)
jtΦ ,…, ( )k
jsΦ , ( 1)k
jt
+Φ , що дозволяє на деякому k -му на-
ближенні ( ) ( )k
i sα та ( ) ( )k
i tβ досягнути можливої для даного N точ-
ності апроксимації.
Обчислення власних значень та функцій ядра. Описані вище ал-
горитми, застосовані до апроксимації ядра інтегрального рівняння,
дозволяють обчислити його власні числа та власні функції.
Проаналізуємо властивості функцій 1( )xα та 1( )sβ . Для вико-
нання умов мінімуму функціоналу (1) необхідно, щоб 1( )xα та 1( )sβ
задовольняли системі інтегральних рівнянь
1
1
2
1
1
1
2
1
( , ) ( )
( ) ,
( )
( , ) ( )
( ) .
( )
b
a
b
a
b
a
b
a
K x s s ds
s
s ds
K x s x dx
t
x dx
β
α
β
α
β
α
=
=
∫
∫
∫
∫
(8)
Тоді мінімум функціоналу (1) визначається виразом
2 2 2
1min 1 1( , ) ( ) ( )
b b b b
a a a a
K x s dsdt s ds x dxβ βΦ = −∫ ∫ ∫ ∫ . (9)
Розв’язуючи систему (9) методом послідовних наближень отри-
маємо процедуру, яка вказана вище. Тобто ця система зводиться до
інтегрального рівняння відносно 1( )xα :
2
1 1 1 1 1
1 2
1
( , ) ( ) ( )
( )
( , ) ( )
b b
a a
b b
a a
K x x x dx a x dx
x
K x s x dx ds
α
α
α
=
∫ ∫
∫ ∫
, (10)
де 1 1( , ) ( , ) ( , )
b
a
K x x K x s K x s ds= ∫ — симетрична функція.
Математичне та комп’ютерне моделювання
28
Аналогічне рівняння отримаємо відносно 1( )sβ :
2
1 1 1 1 1
1 2
1
( , ) ( ) ( )
( )
( , ) ( )
b b
a a
b b
a a
K s s s ds s ds
s
K x s s ds dx
β β
β
β
=
∫ ∫
∫ ∫
%
, (11)
де 1 1( , ) ( , ) ( , )
b
a
K s s K x s K x s dx= ∫% — відповідне симетричне ядро.
Інтегральні рівняння (10) та (11) можна записати в більш компа-
ктному вигляді, відповідно:
1 1 1 1 1 1( ) ( , ) ( )
b
a
a
s K x x x dxα µ α= ∫ , (12)
1 1 1 1 1 1( ) ( , ) ( )
b
b
a
t K s s s dsβ µ β= ∫ % , (13)
де
2
1
1 2
1
( )
( , ) ( )
b
a
a
b b
a a
x dx
K x s x dx ds
α
µ
α
=
∫
∫ ∫
, (14)
2
1
1 2
1
( )
( , ) ( )
b
a
b
b b
a a
s ds
K x s s ds ds
β
µ
β
=
∫
∫ ∫
. (15)
Звідси легко бачити, що функції 1( )sβ та 1( )xα є власними фу-
нкціями, 1aµ та 1bµ — характеристичними числами інтегральних
операторів з ядрами 1( , )K x x та 1( , )K s s% відповідно. При цьому з сис-
теми (8) та виразів (14), (15) отримуємо:
1 1
2 2
1 1
1
( ) ( )
a b b b
a a
s ds x dx
µ µ
β α
= =
∫ ∫
.
Серія: Технічні науки. Випуск 2
29
Абсолютно очевидно, що система (8) або, що теж саме рівняння
(10) і (11), як рівняння з симетричними ядрами можуть мати злічену
множину розв’язків (злічену множину власних функцій оператора).
Якщо розв’язувати їх, наприклад (11), методом послідовних наближень
1
( ) ( ) 2
1 1 11 1
( 1)
2
( )
1
( , ) ( ) ( ( ))
( )
( , ) ( )
b b
n n
n a a
b b
n
a a
K s s s ds s ds
s
K x s t ds dx
β β
β
β
+ =
∫ ∫
∫ ∫
%
, (16)
то спочатку з’являється питання про збіжність хоча б до якогось
розв’язку рівняння (11).
Відповідно до методу Келлога [5], послідовність функцій
( )n
n
sω
ω
,
де ( ) n
n s Kω ω= (індекс ітерації оператора K , 1, 2, 3,...n = ), ( )xω —
довільна функція класу 2 ( , )L a b при n → ∞ збігається до власної
функції симетричного ядра ( , )K x s , яке відповідає найменшому ха-
рактеристичному числу µ , що є границею числової послідовності
1n
n
ω
ω
− . Якщо ( )sω ортогональна власним функціям 1( )xφ ,…, 1( )k xφ −
і не ортогональна ( )k xφ , то границею послідовності
( )n
n
xω
ω
буде
( )k xφ . Враховуючи це при n → ∞ послідовність
1
( 1) ( )n sβ + , визначена
виразом (16), збігається до власної функції ядра 1( , )K s s% , а
( ) 2
1
2
( )
1
( ( ))
( , ) ( )
b
n
a
b b
n
a a
s ds
K x s t ds dx
β
β
∫
∫ ∫
— до відповідного власного значення. Не-
важко переконатися, перемноживши обидві частини виразу (16) на
1
( ) ( )n sβ та проінтегрувавши по s , що
( 1) ( ) ( ) 2
1 1 1( ) ( ) ( ( ))
b b
n n n
a a
s x ds s dsβ β β+ ≥∫ ∫ , (18)
звідки слідує
Математичне та комп’ютерне моделювання
30
( 1) ( )
1 1( ) ( )
b b
n n
a a
s ds s dsβ β+ ≥∫ ∫ . (19)
Все вище сказане аналогічне і по відношенню до функції 1( )xα .
За допомогою нерівності (18) та виразу (9), що визначає мінімум фу-
нкціоналу (1), легко показати, що із збільшенням числа ітерацій під
час розв’язання системи (8) методом послідовних наближень квадра-
тична нев’язка
2
1 1( , ) ( ) ( )
b b
a a
K x s x s dxdsα β − ∫ ∫
монотонно спадає. Якщо ввести позначення:
( ) ( ) ( )2 2 2
1 11min ( , ) ( ( )) ( ( ))
b b b b
n n n
a a a a
K x s dxds s ds x dxβ αΦ = −∫ ∫ ∫ ∫ , (19)
( 1) ( 1) ( 1)2 2 2
1 11min ( , ) ( ( )) ( ( ))
b b b b
n n n
a a a a
K x s dxds s ds x dxβ α+ + +Φ = −∫ ∫ ∫ ∫ , (20)
то віднімаючи (19) від (20), отримаємо
( ) ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2
1 11 11min 1min ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) .
b b b b
n n n n n n
a a a a
s ds x dx s ds x dxβ α β α+ + +Φ − Φ = −∫ ∫ ∫ ∫
Із нерівності (18) і аналогічно з нерівності для функцій
1
( )n xα
видно, що
( ) ( 1)
1min 1min 0n n+Φ − Φ > .
На цьому можна закінчити розгляд процедури вибору оптималь-
них (в сенсі мінімуму квадратичної нев’язки) функцій 1( )xα та
1( )sβ , що апроксимують ( , )K x s на першому кроці.
Для визначення функцій 2 ( )xα та 2 ( )xβ маємо систему
2 1 1 2
2
2 2
2 2
2 1 1 2
2
2 2
2 2
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
( ) ( )
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
( ) ( )
b b
a a
b b
a a
b b
a a
b b
a a
K x s s ds x s s ds
s
s ds s ds
K x s x dx t x x dx
t
x dx x dx
β α β β
α
β β
α β α α
β
α α
= −
= −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
(21)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
31
Перемноживши перше з рівнянь (21) на
1
( )sα та проінтегрува-
вши по x , отримаємо
2
2
2 2 1 2
1 2
2 2
2 2
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
( ) ( )
b b b b
b
a a a a
b b
a
a a
x K x s s dsdx x dx s s dsdx
x x dx
s ds s ds
α β α β β
α α
β β
= −
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
Звідки
1 2( ) ( ) 0
b
a
x x dxα α =∫
та аналогічно
1 2( ) ( ) 0
b
a
x x dxα α =∫ .
Таким же чином можна показати, що всі інші ( )j xα та ( )j sβ
ортогональні між собою. Очевидно, що розв’язуючи систему (22)
методом послідовних наближень, початкове значення (0)
2 ( )sβ має
вибиратись не рівним 1 ( )sβ , так як нове ядро 1 1( , ) ( ) ( )K x s x sα β− не
містить в якості власних функцій 2 ( )sβ .
Отже, за допомогою описаної процедури здійснено перехід до
апроксимації функцій двох змінних білінійним рядом (тобто до відо-
мої формули (2)), який збігається до функції ( , )K x s в середньому. В
випадку рівномірної збіжності у формулі (2) можна поставити знак
рівності (при N → ∞ ). Доведення збіжності в середньому можна
знайти, наприклад, в [1].
Висновок. Таким чином розглянуті чисельні алгоритми набли-
ження функцій двох змінних, дозволяють отримувати апроксимуючі
ряди з мінімальною кількістю членів в порівняні з іншими методами.
Крім того вони суттєво орієнтовані на комп’ютерну реалізацію, оскі-
льки не потребують аналітичних передумов і перетворень.
Список використаних джерел:
1. Верлань А.Ф. Способ аппроксимации ядер при решении интегральных
уравнений на аналоговых и гибридных вычислительных машинах /
А.Ф. Верлань. — В кн.: Гибрид. вычисл. машины и комплексы : тез. докл.
— К. : Наук. Думка, 1972, — С. 18.
Математичне та комп’ютерне моделювання
32
2. Верлань А.Ф. Комбинированный метод аппроксимации ядер интеграль-
ных уравнений / А.Ф. Верлань, И.Е. Ефимов // Точность и надежность
кибернетических систем, — 1974, — Вып. 2, — С. 68—74.
3. Колмогоров А.И. О представлении непрерывных функций нескольких
переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одной перемен-
ной и умножения / А.И. Колмогоров // ДАН СССР, — 1957, 114, — № 5,
— С. 953—956.
4. Шура-Бура М.Р. Аппроксимация функций многих переменных функциями
каждая из которых зависит от одного переменного / М.Р. Шура-Бура // Вы-
числительная математика, — 1957, — сб. 2, — С. 3—19.
5. Михлин С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и ин-
тегральных уравнений / С.Г. Михлин, Х.Л. Смолицкий. — М. : Наука,
1965. — 383 с.
Iterative algorithms for approximation of functions of two variables by
sums of even products of functions of one variable, which are formed in
the sense of minimizing the quadratic residuals is consider.
Key word: approximation, numerical algorithm, the function of two
variables, the squared residuals
Отримано: 27.11.2009
|