Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій
В статті досліджується застосування методу ланцюгово-дробової апроксимації для побудови дробово-раціональних апроксимаційних моделей об’єктів з розподіленими параметрами на прикладі моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів. In this paper the method of chain-fractional approximat...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18749 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій / В.А. Іванюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 59-68. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859586479859171328 |
|---|---|
| author | Іванюк, В.А. |
| author_facet | Іванюк, В.А. |
| citation_txt | Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій / В.А. Іванюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 59-68. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | В статті досліджується застосування методу ланцюгово-дробової апроксимації для побудови дробово-раціональних апроксимаційних моделей об’єктів з розподіленими параметрами на прикладі моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів.
In this paper the method of chain-fractional approximations for constructing fractional-rational approximating models of objects with distributed parameters on the example of simulated diving tow underwater objects is study.
|
| first_indexed | 2025-11-27T10:46:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 2
59
УДК 004.942
В. А. Іванюк, канд. тех. наук
Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка,
м. Кам’янець-Подільський
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ЗАНУРЕННЯ БУКСИРУВАНИХ
ПІДВОДНИХ ОБ’ЄКТІВ ШЛЯХОМ ЛАНЦЮГОВО-ДРОБОВОЇ
АПРОКСИМАЦІЇ ПЕРЕДАТНИХ ФУНКЦІЙ
В статті досліджується застосування методу ланцюгово-
дробової апроксимації для побудови дробово-раціональних
апроксимаційних моделей об’єктів з розподіленими парамет-
рами на прикладі моделювання процесу занурення буксирува-
них підводних об’єктів.
Ключові слова: передатна функція, об’єкти з розподіле-
ними параметрами, ланцюгові дроби, апроксимація, буксиру-
вані підводні об’єкти.
Вступ. Буксирувані підводні об’єкти (БПО) широко використову-
ються для дослідження та освоєння світового океану. Завдяки таким ва-
жливим перевагам у порівнянні з автономними підводними апаратами,
як відсутність небезпеки для життя обслуговуючого персоналу та значно
більшим часом неперервної роботи. БПО з’єднані з судном-носієм гнуч-
ким механічним зв’язком — тросом або кабель-тросом. Цей зв’язок ви-
користовується для контролю глибини занурення БПО, обміну інформа-
цією між судном і БПО та для передачі електроенергії на БПО.
Управління глибиною занурення БПО здійснюється за допомогою
гнучкого механічного зв’язку — троса або кабель-троса, який є ланкою
з розподіленими параметрами. При використанні системи стабілізації
глибини занурення необхідно враховувати внутрішнє тертя троса і тер-
тя його об воду для визначення статистичних характеристик — диспе-
рсій переміщення і його похідних, а також зусилля в точці кріплення
тросу. Максимальне значення цих величин, які знайдені для деякого,
прийнятого в якості гранично допустимого степеня морського хвилю-
вання, дозволять розрахувати параметри підводного пристрою аморти-
зації. Тому є необхідність використання математичної моделі троса як
системи з розподіленими параметрами, яка дозволить врахувати внут-
рішнє тертя в ньому і тертя його з водою, а також керуючі впливи сис-
теми автоматичного управління, які компенсують вплив качки судна і
дозволяють керувати глибиною занурення БПО.
Передатні функції, що описують поведінку троса, як об’єкта з роз-
поділеними параметрами, містять ірраціональні та трансцендентні функ-
ції від аргументу p. Безпосереднє використання таких математичних
© В. А. Іванюк, 2009
Математичне та комп’ютерне моделювання
60
моделей при чисельних розрахунках у більшості випадків є неможливим
або досить складним. Тому задача розробки методів та алгоритмів екві-
валентного або апроксимаційного перетворення складних передатних
функцій з метою їх ефективної чисельної реалізації при комп’ютерному
моделюванні є актуальною і такою, яка поки що не достатньо розв’язана.
Метою дослідження є розробка та реалізація алгоритмів ланцю-
гово-дробової апроксимації складних передатних функцій об’єктів з
розподіленими параметрами та моделювання розподіленої ланки, яка
відтворює процес занурення буксируваних підводних об’єктів.
Основна частина. При дослідженні гнучкого зв’язку врахову-
ються його пружні, інерційні і демпфуючі властивості, які розподіле-
ні по його довжині та залежать від властивостей матеріалу.
Трос розглядається як об’єкт з розподіленими параметрами. При
описі поведінки ланки трос-БПО приймаються наступні допущення:
змінні складові сил в тросі не переважають постійних складових, які
обумовлені силами ваги у воді троса і БПО; деформації в тросі пропор-
ційні виникаючим у ньому силам і описуються законом Гука; сила опору
руху БПО, закріпленого на кінці троса, приймається пропорційною шви-
дкості його переміщення; трос розташований у воді вертикально у ви-
гляді прямої лінії; нехтуються розподілені по довжині троса обертальні
моменти; поперечні коливання троса не враховуються.
Сили, які діють у системі трос-БПО, мають наступні складові: вага
у воді, сили пружності, сили інерції, сили тертя об воду та сили внутріш-
нього тертя. Так як ці складові розподілені по довжині троса, то сили,
прикладені до верхнього і нижнього його кінців, не рівні між собою.
Повні сили і деформації складаються із статичних і динамічних
складових. До перших відноситься вага витісненої води, а також пос-
тійні складові сил пружності і тертя, обумовлені середньою швидкістю
переміщення елементів у воді, яка визначається рівномірним рухом
судна-носія і роботою лебідок у сталому режимі. Обмежуючись визна-
ченням тільки динамічних складових, можна не враховувати вагу троса
у воді. Ці складові з’являються під впливом збурень, прикладених до
системи судно-БПО. Коливання, що при цьому виникають, розподіля-
ються вздовж троса зі швидкістю звука, відбиваючись від кінців троса.
Одна складова повздовжньої сили T викликає пружну деформа-
цію у відповідності із законом Гука, а інша, згідно гіпотези Фойгта,
силою внутрішнього тертя, яку вважають пропорційною швидкості
деформації і площі поперечного перерізу троса. Повздовжня сила
змінюється по довжині троса через розподіленість вздовж нього сил
інерції і сил внутрішнього опору, обумовленого тертям об воду.
З урахуванням всіх припущень повздовжні коливання попереч-
ного перерізу троса описуються наступною системою диференціаль-
них рівнянь:
Серія: Технічні науки. Випуск 2
61
2
T
x xT E F F
z z t
λ∂ ∂
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
∂ ∂ ⋅∂
, (1)
2
2
T z xm
z tt
β∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅
∂ ∂∂
, (2)
де z — координата, вздовж якої відраховується довжина тросу в не-
напруженому стані, tE — модуль пружності троса, F — площа попе-
речного перерізу троса, x — зміщення поперечного перерізу троса у
напрямку повздовжньої осі троса Oz, початок якої співпадає з його
верхнім кінцем, λ — коефіцієнт, який визначає силу внутрішнього
тертя, m — маса одиниці довжини троса, β — коефіцієнт опору оди-
ниці довжини троса, що враховує його тертя об воду.
Модуль пружності троса менший, ніж матеріалу, з якого він виго-
товлений. При розрахунках коливань стальних тросів під навантажен-
ням рекомендується приймати 51.65 10TE = ⋅ МПа [4]. Площа перерізу
троса F рівна сумарній площі поперечних перерізів жил.
Враховуючи, що T TE Fλ τ= , де Tτ — постійна часу внутріш-
нього тертя [4], з (1) отримаємо:
2
T T
x xT E F
z z t
τ
∂ ∂
= ⋅ ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ⋅∂
. (3)
Застосувавши до рівнянь (2) і (3) перетворення Лапласа [1],
отримаємо:
( ) ( ),
1T T
x z p
T E F p
z
τ
∂
= ⋅ ⋅ + ⋅
∂
, (4)
( ) ( ) ( )2,
, ,
T z p
m p x z p p x z p
z
β
∂
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
∂
. (5)
Застосувавши до (4)—(5) перетворення Лапласа [1] за z, отрима-
ємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
( ) ( ) ( ) ( )( ), 1 , 0,T TT s p E F p s x s p x pτ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ;
( ) ( ) ( ) ( )2, 0, , ,s T s p T p m p x s p p x s pβ⋅ − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ , (6)
де ( )0,T p , ( )0,x p — зображення сили натягу і переміщення верх-
нього кінця троса, p і s — аргументи зображення функції часу та фу-
нкції z в просторі Лапласа.
З (6) знаходяться
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
0, 0,
,
1T T
T p s x p m p p
T s p
m p ps
E F p
β
β
τ
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
=
⋅ + ⋅
−
⋅ ⋅ + ⋅
; (7)
Математичне та комп’ютерне моделювання
62
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
1
2
2
0, 0, 1
,
1
T T
T T
x p s T p E F p
x s p
m p ps
E F p
τ
β
τ
−
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
=
⋅ + ⋅
−
⋅ ⋅ + ⋅
. (8)
Переходячи від зображень за зміною s до оригіналів за змінною
z [1], отримаємо
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0, ch 0, shw
z zT z p T p r p x p Z p r p
w w
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
; (9)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 0, ch 0, shw
z zx z p x p r p T p Z p r p
w w
− = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
, (10)
де TE Fw
m
⋅
= — швидкість розповсюдження коливань у тросі (швид-
кість звуку), ( ) ( ) ( )2 1w w T TZ p b p v p pτ= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ — хвильовий опір;
w Tb m w E F m= ⋅ = ⋅ — опір розповсюдженню коливань у тросі,
( )
2
1
T
T
p v pr p
pτ
+ ⋅
=
+ ⋅
— коефіцієнт розповсюдження коливань в опера-
торному вигляді; Tv
m
β
= — відносний поздовжній опір троса.
Зображення переміщення початку троса ( )0,x p відомо, воно
визначається параметрами судна та морського хвилювання, а також
роботою лебідки судна. Зображення другої початкової умови ( )0,T p
можна отримати, використовуючи рівняння руху БПО.
Крім маси БПО необхідно враховувати приєднані маси води, які
залежать від геометричних характеристик БПО, головним чином, від
розмірів максимального перерізу, перпендикулярного напрямку руху.
Сила опору руху БПО у воді визначається квадратичною залежністю
від швидкості вздовж води. При невеликих швидкостях переміщення
БПО коефіцієнт опору зменшується пропорційно швидкості. Тому
можна враховувати, що сила опору руху БПО у воді росте пропор-
ційно швидкості переміщення. Лінійна залежність зображення за Ла-
пласом сили ( ),T L p від зображення прискорення переміщення
( )2 ,p x L p визначається формулою [4]:
( ) ( ) ( )2, ,BPO BPOT L p m p k p x L p= − ⋅ + ⋅ ⋅ , (11)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
63
де BPOk — коефіцієнт опору води руху БПО, BPOm — сума маси
БПО і приєднаних мас, які враховують інерційні гідродинамічні сили,
що діють на БПО.
Підстановкою замість z повної довжини троса в ненавантажено-
му стані L знаходиться зображення сили ( ),T L p і переміщення
( ),x L p нижнього кінця троса.
Отриману систему рівнянь можна подати у вигляді направлено-
го графа, з якого шляхом використання теореми про граничні значен-
ня функцій часу і їх зображень за Лапласом знаходиться початкове
значення сили ( )0,0 0T = та використавши правило Мейсона визна-
чаються передатні функції зміщення нижнього кінця троса з БПО і
сили на верхньому кінці троса [4]:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
, 1,
0,
ch sh
x
BPO BPO
L L
w
x L p
W L p
x p m p k pr p r p
Z p
τ τ
= =
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ ⋅
;
(12)
( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
2
2
sh ch
,
0,
0,
ch sh
BPO BPO
L L
w
T
BPO BPO
L L
w
m p k pr p r p
T L p Z p
W p
x p m p k pr p r p
Z p
τ τ
τ τ
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ ⋅
= =
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ ⋅
,
(13)
де L
L
w
τ = — час проходження хвилі по тросу.
Передатні функції для будь-якого перерізу троса з координатою
z отримуються шляхом визначення (12)—(13) з наступною підстано-
вкою в (9)—(10):
( ) ( )
( )
,
,
0,x
x z p
W z p
x p
= =
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
2
2
ch sh
ch sh
BPO BPO
w
BPO BPO
L L
w
m p k pL z L zr p r p
w Z p w
m p k pr p r p
Z p
τ τ
⋅ + ⋅− − ⋅ + ⋅ ⋅
=
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ ⋅
; (14)
( ) ( )
( )
,
,
0,T
T z p
W z p
x p
= =
Математичне та комп’ютерне моделювання
64
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
2
2
sh ch
ch sh
BPO BPO
w
BPO BPO
L L
w
m p k pL z L zr p r p
w Z p w
m p k pr p r p
Z p
τ τ
⋅ + ⋅− − ⋅ + ⋅ ⋅
=
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ ⋅
. (15)
В отриманих передатних функціях (12)—(15) присутні ірраціо-
нальні та трансцендентні вирази. Для можливості чисельної реалізації
таких передатних функцій необхідно здійснювати їх апроксимацію.
Одним із ефективних є метод апроксимації за допомогою ланцю-
гових дробів, які володіють дуже важливою властивістю — вони схо-
дяться швидше, ніж інші послідовні ряди і містять більше важливих
характеристик об’єктів в декількох перших членах [5].
Розглянемо алгоритм побудови ланцюгово-дробових апроксима-
ційних моделей складних передатних функцій [2].
Нехай маємо передатну функцію ( )W p . Розвинувши її в степене-
вий ряд отримаємо:
2 3
0 1 2 3 ...L c c p c p c p= + + + + . (16)
Зв’язаний з (16) визначник Ганкеля визначається наступним чи-
ном:
( )
0 1nH = ,
( )
1 1
1 2
1 2 2
...
...
...
n n n k
n n n n k
k
n k n k n k
c c c
c c c
H
c c c
+ + −
+ + +
+ − + + −
=
M M M M
, 1, 2,3,...k = (17)
Для ряду (16) існує правильний C-дріб
31 21 ...
1 1 1
a pa p a p
+ + + + ,
який відповідає L (в точці 0).p = Тоді
( )1 0kH ≠ і ( )2 0kH ≠ , 1, 2,3,...k =
і
( )1
1 1a H= ,
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1
2 21
1
mm
m
m m
H H
a
H H
−
−
= − ,
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 1
2 1 1 2
m m
m
m m
H H
a
H H
+ −
+ = − , 1, 2,3,...m =
Розглянутий алгоритм дозволяє отримати ланцюгові дроби. Для
отримання дробово-раціональної передатної функції будуються підхі-
дні дроби. В результаті отримаємо
( )
1 2
1 2 1 0
1
1 1 0
n n
n n
n n
n n
a p a p a p aW p
b p b p b p b
− −
− −
−
−
+ + + +
=
+ + + +
…%
…
.
Серія: Технічні науки. Випуск 2
65
Для застосування розглянутого алгоритму необхідно, щоб функ-
ція ( )W p була аналітичною, тобто, щоб її можна було розвинути в
степеневий ряд в околі точки 0.
У випадку сингулярності функції ( )W p пропонується виконува-
ти заміну змінних, тобто виконати заміну 1p s= + . В результаті отри-
маємо функцію ( )W s , для якої застосовуємо описаний вище алгоритм.
В отриманому наближенні ( )W s% виконуємо обернену заміну 1s p= − .
Функція ( )W p% буде наближенням ( )W p .
Розглянутий алгоритм подамо у більш стислому вигляді:
1. виконати заміну змінної p виразом p a+ (якщо точка 0 є осо-
бливою точкою ( )W p );
2. розвинути функцію ( )W p в степеневий ряд, в результаті чого
отримаємо ( ) 2
0 1 2 ...W p p pα α α= + + + ;
3. взяти 2n членів степеневого ряду;
4. перетворити скінченний степеневий ряд в ланцюговий дріб;
5. за коефіцієнтами ланцюгового дробу побудувати його підхід-
ний дріб, що буде дробово-раціональною передатною функцією;
6. виконати обернену заміну змінної p виразом p a− (якщо ви-
конувався пункт 1).
На основі розробленого алгоритму побудовано програмні засоби
в середовищі Matlab, за допомогою яких можна виконувати апрокси-
мацію складних передатних функцій [3].
Обчислювальний експеримент. Розглянемо залежність змі-
щення нижнього кінця троса з БПО від зміщення верхнього кінця
троса на прикладі троса марки КГП-1-20, який має наступні характе-
ристики [4]: діаметр троса — 323,4 10d −= ⋅ м, маса погонного метра
троса — 1,63m = кг/м, швидкість розповсюдження коливань в тросі
— 4020w = м/с, постійна часу внутрішнього тертя в тросі —
0,01Tτ = с, коефіцієнт, який враховує тертя троса об воду —
0,05Tv = с-1, коефіцієнт опору руху у вертикальному напрямку БПО
— 1800BPOk = кг/с, маса БПО з урахуванням приєднаних мас води —
5860BPOm = кг, довжина троса — 5000L = м.
Зміщення нижнього кінця троса з БПО описується передатною
функцією (12). Для отримання ланцюгово-дробової апроксимаційної
моделі варто вихідну функцію перетворити до найбільш простого
виду. Перетворимо (12) до наступного вигляду:
Математичне та комп’ютерне моделювання
66
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
2 coth
1,
ch 1 coth
w
L
BPO BPO
x
L L
Z p
r p
m p k p
W L p
r p r p
τ
τ τ
⋅
⋅ + ⋅
=
⋅ + ⋅
. (18)
Апроксимуємо кожний структурний елемент ( ),xW L p , тобто
( )
( )( )1
1
ch L
W p
r pτ
=
⋅
, ( ) ( )
2 2
w
BPO BPO
Z p
W p
m p k p
=
⋅ + ⋅
, ( )3W p =
( )( )coth L r pτ= ⋅ , причому ( )1W p і ( )3W p подаємо з використанням
степеневої функції ( )L r pe τ− ⋅ [6].
Моделювання проводиться в середовищі Simulink. Структурна
схема моделі зображена на рис. 1.
Рис. 1. Структурна схема ланки з передатною функцією Wx(L,p) в Simulink
За допомогою приведеної вище Simulink-моделі отримано гра-
фіки зміщення нижнього кінця троса з БПО при стрибкоподібному та
довільному зміщенні верхнього кінця троса. Результат моделювання
зображено відповідно на рис. 2 та рис. 3.
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t,с
x,
м
Рис. 2. Перехідна характеристика переміщення нижнього кінця троса з ПБО
Серія: Технічні науки. Випуск 2
67
0 10 20 30 40 50 60
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t,с
x,
м
Рис. 3. Переміщення нижнього кінця троса з ПБО (——)
відносно зміни положення його верхнього кінця (———)
Висновки. Отримані результати показують, що метод ланцюго-
во-дробової апроксимації складних передатних функцій можна ефек-
тивно використовувати при моделюванні об’єктів з розподіленими
параметрами, зокрема, при дослідженні процесу занурення буксиру-
ваних підводних об’єктів.
Список використаних джерел:
1. Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований. Том І. Преобразова-
ния Фурье, Лапласа, Меллина / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. : Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1969. — 344 с.
2. Джоунс У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения /
У. Джоунс, В. Трон // Пер. с анг. — М. : Мир, 1985. — 414 с.
3. Іванюк В. А. Ланцюгово-дробова апроксимація ірраціональних та транс-
цендентних передатних функцій об’єктів з розподіленими параметрами //
Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб.
наук. праць / Кам’янець-Подільський національний університет, Інститут
кібернетики імені В. М. Глушкова Національної академії наук України /
В. А. Іванюк. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський націо-
нальний університет, 2008. — Вип. 1. — С. 75—85.
4. Кувшинов Г. Е. Системы управления глубиной погружения буксируемых
объектов / Г. Е. Кувшинов, Л. А. Наумов, К. В. Чупина. — Владивосток :
Дальнаука, 2005. — 285 с.
5. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение
в вычислительной математике / В. Я. Скоробогатько. — М. : Наука. Глав-
ная редакция физико-математической литературы, 1983. — 312 с.
Математичне та комп’ютерне моделювання
68
6. Федорчук В. А. Апроксимація трансцендентних передатних функцій гі-
перболічного типу ланцюговими дробами / В. А. Федорчук, В. А. Іванюк
// Вестник Херсонского национального технического университета.
Вып. 2(28). — Херсон : ХНТУ, 2007. — С. 353—358.
In this paper the method of chain-fractional approximations for con-
structing fractional-rational approximating models of objects with distrib-
uted parameters on the example of simulated diving tow underwater ob-
jects is study.
Key words: transfer function, objects with distributed parameters,
chain fractions, approximation, towing underwater objects.
Отримано: 16.06.2009
УДК 539.3
І. М. Конет, д-р фіз.-мат. наук
Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка,
м. Кам’янець-Подільський
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СТАЦІОНАРНИХ
ПРОЦЕСІВ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В НАПІВОБМЕЖЕНИХ
КУСКОВО-ОДНОРІДНИХ ПРОСТОРОВИХ СЕРЕДОВИЩАХ
Методом інтегральних перетворень розв’язано задачу мате-
матичного моделювання стаціонарних температурних полів в
напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах.
Ключові слова: рівняння Пуассона, крайові умови, умови
спряження, інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Вступ. Проблеми математичного моделювання реальних фізич-
них процесів, зокрема процесів теплопровідності для кусково-
однорідних середовищ у декартовій, сферичній та циліндричній сис-
темах координат становлять значний теоретичний, практичний та
економічний інтерес [1—5]. Питанням побудови методом інтеграль-
них перетворень точних аналітичних розв’язків двовимірних та три-
вимірних лінійних температурних задач присвячені монографії [6—
9]. Зокрема, в [9] розглянуто випадок напівобмежених кусково-
однорідних за декартовою координатою циліндрично-кругових сере-
довищ. Необмежені двоскладові та тришарові просторові середовища
розглянуто у працях [10—13]. У цій статті ми пропонуємо точні ана-
літичні розв’язки математичних моделей стаціонарних процесів теп-
лопровідності (крайових задач) для напівобмежених кусково-
однорідних середовищ у просторовій декартовій системі координат.
© І. М. Конет, 2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18749 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0060 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T10:46:44Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Іванюк, В.А. 2011-04-09T19:35:01Z 2011-04-09T19:35:01Z 2009 Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій / В.А. Іванюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 59-68. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18749 004.942 В статті досліджується застосування методу ланцюгово-дробової апроксимації для побудови дробово-раціональних апроксимаційних моделей об’єктів з розподіленими параметрами на прикладі моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів. In this paper the method of chain-fractional approximations for constructing fractional-rational approximating models of objects with distributed parameters on the example of simulated diving tow underwater objects is study. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій Article published earlier |
| spellingShingle | Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій Іванюк, В.А. |
| title | Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій |
| title_full | Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій |
| title_fullStr | Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій |
| title_full_unstemmed | Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій |
| title_short | Моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій |
| title_sort | моделювання процесу занурення буксируваних підводних об’єктів шляхом ланцюгово-дробової апроксимації передатних функцій |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18749 |
| work_keys_str_mv | AT ívanûkva modelûvannâprocesuzanurennâbuksiruvanihpídvodnihobêktívšlâhomlancûgovodrobovoíaproksimacííperedatnihfunkcíi |