Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез
В работе предложено построение нового моментного критерия качества проверки сложных статистических гипотез на основе использования стохастических полиномов в качестве решающих функций и моментно-кумулянтного описания случайных величин. Предложенный подход позволяет эффективно синтезировать нелинейны...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18756 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез / В.В. Палагин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18756 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Палагин, В.В. 2011-04-09T19:53:09Z 2011-04-09T19:53:09Z 2009 Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез / В.В. Палагин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18756 621.37:621.391 В работе предложено построение нового моментного критерия качества проверки сложных статистических гипотез на основе использования стохастических полиномов в качестве решающих функций и моментно-кумулянтного описания случайных величин. Предложенный подход позволяет эффективно синтезировать нелинейные решающие правила с меньшими вероятностями ошибок при обработке негауссовских случайных величин по сравнению с известными результатами. The new moment criterion of quality for test of composite statistical hypotheses on the basis of the use of stochastic polynomials as decision functions and moment-cumulant description of casual sizes is developed. The offered approach allows effectively synthesising nonlinear decision rules with less probability of errors for Non-Gaussian random variable as compared to the known results. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез |
| spellingShingle |
Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез Палагин, В.В. |
| title_short |
Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез |
| title_full |
Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез |
| title_fullStr |
Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез |
| title_full_unstemmed |
Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез |
| title_sort |
асимптотически нормальный критерий качества типа неймана-пирсона для проверки сложных статистических гипотез |
| author |
Палагин, В.В. |
| author_facet |
Палагин, В.В. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
В работе предложено построение нового моментного критерия качества проверки сложных статистических гипотез на основе использования стохастических полиномов в качестве решающих функций и моментно-кумулянтного описания случайных величин. Предложенный подход позволяет эффективно синтезировать нелинейные решающие правила с меньшими вероятностями ошибок при обработке негауссовских случайных величин по сравнению с известными результатами.
The new moment criterion of quality for test of composite statistical hypotheses on the basis of the use of stochastic polynomials as decision functions and moment-cumulant description of casual sizes is developed. The offered approach allows effectively synthesising nonlinear decision rules with less probability of errors for Non-Gaussian random variable as compared to the known results.
|
| issn |
XXXX-0060 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18756 |
| citation_txt |
Асимптотически нормальный критерий качества типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических гипотез / В.В. Палагин // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 137-142. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT palaginvv asimptotičeskinormalʹnyikriteriikačestvatipaneimanapirsonadlâproverkisložnyhstatističeskihgipotez |
| first_indexed |
2025-11-26T00:41:48Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:41:48Z |
| _version_ |
1850596657649942528 |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 2
137
УДК 621.37:621.391
В. В. Палагин, канд. техн. наук
Черкасский государственный технологический университет, г. Черкассы
АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ
КАЧЕСТВА ТИПА НЕЙМАНА-ПИРСОНА ДЛЯ ПРОВЕРКИ
СЛОЖНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
В работе предложено построение нового моментного кри-
терия качества проверки сложных статистических гипотез на
основе использования стохастических полиномов в качестве
решающих функций и моментно-кумулянтного описания слу-
чайных величин. Предложенный подход позволяет эффектив-
но синтезировать нелинейные решающие правила с меньшими
вероятностями ошибок при обработке негауссовских случай-
ных величин по сравнению с известными результатами
Ключевые слова: моментный критерий качества, сто-
хастический полином, моментно-кумулянтное описание.
Во многих технических системах, в том числе в телекоммуника-
ционных, системах связи и радиомониторинга широкое применение
находят статистические методы обработки сигналов, в том числе и
для распознавания сигналов на фоне помех. Такие методы обработки
сигналов широко используются для решения многих прикладных
задач, где в основе их решения лежит решающая функция, представ-
ленная в виде сравнения отношения правдоподобия с тем или иным
порогом, который выбирается по какому либо из классических кри-
териев качества (критерий Байесса, критерий идеального наблюдате-
ля, критерий Неймана-Пирсона и т.д.) [1]. Такие критерии назовем
вероятностными, так как в их основе лежат вероятности ошибок
первого и второго рода решающей функции.
При практическом использовании вероятностных критериев ка-
чества наиболее широкое практическое распространение получило
построение алгоритмов обнаружения и распознавания сигналов на
фоне гауссовских помех. Это объясняется тем, что, с одной стороны,
такой вид распределения помех часто распространенный в каналах
связи, а с другой стороны, является удобной математической идеали-
зацией реальный природных процессов. На практике такая постанов-
ка задачи не всегда оправдана, и многие помехи могут иметь негаус-
совский характер [2]. В этом случае использование вероятностных
критериев качества вызывает ряд трудностей, связанных как с необ-
ходимостью использования плотностей распределения таких помех,
так и с реализацией полученных алгоритмов обработки сигналов.
© В. В. Палагин, 2009
Математичне та комп’ютерне моделювання
138
В последнее время интерес к негауссовским сигналам и процессам,
как более общих, значительно возрос, о чем свидетельствуют многочис-
ленные научные публикации, как в ближнем, так и в дальнем зарубежье,
поэтому возникает необходимость в поисках новых подходов к решению
задачи распознавания сигналов на фоне негауссовских помех.
В теории вероятностей и математической статистике случайные ве-
личины количественно можно охарактеризовать не только с помощью
установления вероятности осуществления того или иного события, но и
с помощью более грубой количественной меры числовых характеристик
случайных величин, таких как математическое ожидание, дисперсия и
т.д. [3, 4]. Критерии, основанные на использовании моментов решающей
функции, назовем моментными критериями качества.
Данный научный подход с применением моментных критериев ка-
чества принципиально отличается от существующих (вероятностных),
так как в качестве априорного описания случайных величин использует-
ся не плотность распределения, а моментно-кумулянтное описание слу-
чайных величин, позволяющее получить более простые алгоритмы об-
работки сигналов и учесть тонкую структуру негауссовской помехи, что
существенно улучшает качественные показатели алгоритмов обработки
сигналов по сравнению с гауссовской помехой [5—7].
Целью работы является адаптация моментного критерия каче-
ства типа Неймана-Пирсона для проверки сложных статистических
гипотез, основанного на использовании моментно-кумулянтного
описания случайных величин и стохастических полиномов в качестве
решающих функций для построения эффективных алгоритмов распо-
знавания сигналов на фоне негауссовских помех.
Рассмотрим обобщение применения полученного асимптотиче-
ски нормального критерия качества типа Неймана-Пирсона для про-
верки сложных статистических гипотез [8]. Для этого проведем его
адаптацию на случай рассмотрения N гипотез.
Пусть на интервале времени ( )0,T наблюдается случайные сиг-
налы ( )i tξ , 1,i N= , по которым будут приниматься решения о реа-
лизации соответствующей гипотезы iH , т.е. решения о приеме соот-
ветствующего полезного сигнала ( )is t , который подлежит распозна-
ванию. Принимаемые сигналы ( )i tξ представляют собой аддитив-
ную смесь ( ) ( )i i it s tξ η= + , где ( )i tη — негауссовская случайная ве-
личина, описываемая последовательность моментов и кумулянтов.
Каждому сигналу ( )i tξ соответствует свое моментно-
кумулянтное описание, представленное в виде конечной последова-
Серія: Технічні науки. Випуск 2
139
тельности моментов { } { }( )1 2 2 3 4, ,..., , 0, , , ,...,i i i il i i i ilm α α α χ γ γ γ , кото-
рое будет однозначно интерпретировать представление полезных
сигналов и негауссовских помех. Необходимо построить такие ре-
шающие правила (РП) по заданному критерию качества, которые бы
с заданной точностью различали гипотезы iH , 0,i N= .
При классическом подходе к построению РП распознавания
сигналов решают задачу нахождения максимума вероятности пра-
вильного распознавания заданных сигналов, которая в общем случае
имеет вид
iH :
1,
max ,i
i N i
xP W H α λ
=
≥
r r
,
, ,r i m l
r m
x xP W P WH Hα α ≥
r rr r
, , 1,r m N= , r m≠ ,
где λ — порог, выбираемый по определенному вероятностному кри-
терию качества, ,r m — проверяемые гипотезы.
Не смотря на общий подход к постановке данной задачи, широкое
распространенное получило предположение о нормальном законе рас-
пределения случайных величин, что не всегда является адекватным в
реальных условиях. Применение вероятностного подхода в виде ис-
пользования плотностей распределения, отличных от гауссовских, на-
талкивается на ряд практических трудностей. Поэтому воспользуемся
моментным описанием случайных величин и представления отноше-
ний правдоподобия в виде стохастического полинома общего вида
( ) ( ) ( )
0
1 1
0
r
m
Hs n
mr mri
mr iv vsn
Hi v
x k x k >
<
= =
Λ = +∑∑v , , 1,r m N= , r m≠ (1)
для различения гипотез mH и rH , , 1,r m N= , r m≠ , где неизвест-
ные коэффициенты mr
ik и ( )
0
mrk должны определяться согласно за-
данного критерия качества.
В предположении наблюдения выборочных значений
{ }1,..., nx x x=
r при n → ∞ , вероятности ошибок РП согласно цен-
тральной предельной теореме будут распределены по нормальному
закону. Тогда для разработки и адаптации асимптотически нормально-
го критерия качества проверки сложных статистических гипотез типа
Неймана-Пирсона воспользуемся приведенными результатами в [8].
Показано, что оптимальные коэффициенты для РП общего вида
(1) для проверки сложных гипотез находятся из условия минимума
функционала
Математичне та комп’ютерне моделювання
140
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
( ) 2
1
( , )
r m
mr mr
mr mr
mr
m r
mr mr
G G
C C
YuP T G
T T
+
−
=
−
, , 1,r m N= , r m≠ , (2)
где ( )r
mrG , ( )m
mrG , ( )r
mrT , ( )m
mrT — дисперсии и математические ожидания
решающей функции при гипотезах mrH , а неизвестный коэффициент
mrC будет определяться из заданного условия вероятности ошибки
первого рода mrρ каждого mr -го РП и рассчитывается из условия
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
0.5
,
1 1
21 exp
22 s mr m r
mr iv iv iv
i
s s mr mr r
iv jv i j
i j
mr mr
nC k m m
k k F
x dxα ρ
π
=
= =
∞
−
= − ≤
∑
∑∑
∫ . (3)
Выбор mrρ при равновероятном предположении вероятности
ошибок первого рода каждого mr-го РП рассчитывается из условия,
что сумма всех mrρ для N гипотез должна быть равна суммарной ве-
роятности ошибок первого рода всех РП.
Минимизированная ошибка второго рода mr-го РП, согласно
центральной предельной теореме, будет распределена по нормально-
му закону и определяется из выражения
( )
( ) 2
2
min
1
2
YuP
mrV z
YuP
mr e dzβ
π
−
−
−∞
= ∫ , (4)
где ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
G
mr mr
mr
m r
YuP
mrmr m
T T
V C
−
= − .
Показано, что оптимальные коэффициенты ( )mr
ivk РП (1) должны
быть такими, чтобы обеспечивался минимум функционала (2), т.е.
обеспечивался минимум вероятности ошибки второго рода при фик-
сированном значении вероятности ошибки первого рода (3).
Тогда легко показать, что неизвестные коэффициенты ( )mr
ivk на-
ходятся из решения системы линейных алгебраических уравнений
( )
( ) ( )
( )
( , ) ( , )
2 2
1 1
r ms
mr i j v i j v m r
iv iv iv
i mr mr
F F
k m m
C C=
+ = −
−
∑ , 1,v n= , 1,j s= . (5)
Серія: Технічні науки. Випуск 2
141
Показано, что с учетом приведенных выражений порог РП (1)
выражен через найденные оптимальные коэффициенты ( )mr
ivk по
асимптотически нормальному критерию в следующем виде
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1 1 1 1
1
s n s n
mr mr m mr r
iv iv iv iv
i v i v
k C k m C k m
= = = =
= − + −
∑∑ ∑∑ . (6)
Определение 1. Примем функционал ( )( , ) mrYuP T G (2) за крите-
рий качества выбора РП вида (1) и будем считать наилучшем то пра-
вило, которое при ( )
0
mrk вида (6) и mr
ik найденных из (5) минимизи-
рует правую часть (4) при заданном значении вероятности ошибок
первого рода (3). Данный критерий будем называть адаптированным
моментным асимптотически нормальным критерием типа Неймана-
Пирсона для проверки сложных статистических гипотез.
Общая структура выбора РП распознавания сигналов на фоне
помех при использовании стохастических полиномов с оптимальны-
ми коэффициентами по данному критерию будет иметь вид
mH : 0 0
0
1, 1 1
max 0;
s n
m i m
iv v
r N i v
k x k
= = =
+ >
∑∑ 0H : 0 0
0
1, 1 1
max 0;
s n
m i m
iv v
r N i v
k x k
= = =
+ <
∑∑
0 0 0 0
0 0
1 1 1 1
,
s n s n
m i m r i r
iv v iv v
i v i v
k x k k x k
= = = =
+ > +∑∑ ∑∑ 1,r N= , r m≠ . (7)
Для качественной оценки полученных РП распознавания сигналов
на фоне помех введена величина, которая характеризует общую мини-
мизированную асимптотическую ошибку второго рода распознавания
гипотезы mH при заданной вероятности ошибки первого рода (3)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2
0
1
( , ) , 1, ,
r m
mr mr
N mrm mr
m rr
mr mr
G G
C C
YuP T G m N m r
T T=
+
−
= = ≠
−
∑ . (8)
Показано, что величина, обратная критерию качества выбора РП
характеризует количество извлекаемой информации из выборочных
значений о различении гипотез mH и rH и имеет вид
( )
( )
YuP mr
0 1 1
1
( , )
, 1, , .
mr
N s n
rm m r
iv iv iv
m i v
I
YuP T G
k m m r N m r
= = =
= =
= − = ≠∑ ∑∑
Математичне та комп’ютерне моделювання
142
На основе приведенного математического аппарата и адаптиро-
ванного критерия качества типа Неймана-Пирсона проверки сложных
статистических гипотез можно синтезировать нелинейные РП распо-
знавания сигналов на фоне негауссовских помех с меньшими вероят-
ностями ошибок второго рода при фиксированных вероятностях
ошибок первого рода по сравнению с линейными РП при степени
полинома 1s = , которые являются оптимальными для гауссовских
помех. Увеличение эффективности синтезированных РП при степени
полинома 2s ≥ получается в результате учета тонкой структуры не-
гауссовских помех в виде кумулянтов третьего и выше порядков, что
позволяет учесть асимметрию, эксцесс помехи.
Список использованной литературы:
1. Ван Трис. Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. : Пер. с
англ. / Под ред. В. И. Тихонова. — М. : Сов. радио, 1972. — 744 с.
2. Шелухин О.И. Негауссовские процессы / О.И. Шелухин, И.В. Беляков. —
СПб. : Политехника, 1992. — 312 с.
3. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских процессов и их преоб-
разований / А.Н. Малахов. — М. : Сов. радио, 1979. — 376 с.
4. Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы / Ю.П. Кунченко. — К. : Наук.
Думка, 2006. — 275 с.
5. Кунченко Ю.П. Построение моментного критерия качества типа Нейма-
на-Пирсона для проверки простых статистических гипотез / Ю.П. Кун-
ченко, В.В. Палагин // Вісник Інженерної Академії України, — № 1, —
2005, — С. 26—30.
6. Палагин В.В. Построение полиномиальных решающих правил обнаруже-
ния сигналов на фоне негауссовских помех по моментному критерию ти-
па Неймана-Пирсона / В.В. Палагин // Вісник ЧДТУ — № 4. — 2006. —
С. 94—99.
7. Лега Ю.Г. Построение полиномиальных решающих правил по моментному
критерию типа Неймана-Пирсона для проверки статистических гипотез /
Ю.Г. Лега, В.В. Палагин, С.А. Лелеко // Электроника и системы управле-
ния. — 2008. — №4 (18). — С. 71—78.
8. Палагин В.В. Построение моментного критерия проверки статистических
гипотез при использовании полиномиальных решающих правил / В. В. Па-
лагин // Электронное моделирование — 2008. — Т. 30. — С. 57—72.
The new moment criterion of quality for test of composite statistical
hypotheses on the basis of the use of stochastic polynomials as decision
functions and moment-cumulant description of casual sizes is developed.
The offered approach allows effectively synthesising nonlinear decision
rules with less probability of errors for Non-Gaussian random variable as
compared to the known results.
Key words: moment criterion of quality, stochastic polynomial, mo-
ment and cumulant description.
Отримано: 07.10.2009
|