Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі
For constructing the analytical solutions of contact boundary-value problems of convective diffusion, a method based on the application of integral transformations separately in contacting regions is generalized. The admixture concentration in each structural element, as well as mass fluxes and the...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1876 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.М. Сівак // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 44–49. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859994340135272448 |
|---|---|
| author | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Сівак, В.М. |
| author_facet | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Сівак, В.М. |
| citation_txt | Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.М. Сівак // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 44–49. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | For constructing the analytical solutions of contact boundary-value problems of convective diffusion, a method based on the application of integral transformations separately in contacting regions is generalized. The admixture concentration in each structural element, as well as mass fluxes and the filter saturation time by a polluting substance, is found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:33:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.958:536.72
© 2007
Є.Я. Чапля, О. Ю. Чернуха, В. М. Сiвак
Конвективна дифузiя у двошаровому фiльтрi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Я.Й. Бураком)
For constructing the analytical solutions of contact boundary-value problems of convective dif-
fusion, a method based on the application of integral transformations separately in contacting
regions is generalized. The admixture concentration in each structural element, as well as mass
fluxes and the filter saturation time by a polluting substance, is found.
У сучасних системах очистки забруднених вод широко використовуються багатошаровi
фiльтри з рiзною пористiстю шарiв [1]. Ефективнiсть їх роботи iстотно залежить вiд сорб-
цiйних властивостей окремих шарiв, пористостi, а також вiдповiдних геометричних пара-
метрiв. В iнженернiй практицi для розрахунку таких фiльтрiв, як правило, використовують
комп’ютерне моделювання, розв’язуючи числовими методами нелiнiйнi задачi фiльтрацiї
стiчних вод [2].
Разом з тим для аналiзу впливу пористостi та геометричних параметрiв фiльтра на
довговiчнiсть його роботи доцiльно отримати аналiтичнi розв’язки аналогiчних задач у лi-
неаризованому варiантi описання процесiв сорбцiї. У данiй роботi дослiджуються проце-
си масопереносу частинок суспензiй з урахуванням конвективної складової перенесення та
сорбцiйних процесiв у двошаровому фiльтрi.
1. Вихiднi спiввiдношення. При формулюваннi вихiдних спiввiдношень моделi фiльт-
рацiї в структурних шарах фiльтра вважатимемо, що довiльна область складається з моно-
кристалiв рiзного типу, якi утворюють скелет, та водного розчину, який заповнює поровий
простiр. Приймемо, що в процесi фiльтрацiї скелет не деформується, i пористiсть залиша-
ється сталою (не враховуються змiни, пов’язанi iз сорбцiєю домiшкової речовини). Водний
розчин є двокомпонентним i складається з частинок води та забруднюючої субстанцiї.
Основними процесами, що розглядаються, є конвективна дифузiя домiшок та їх сорбцiя
скелетом. Цi процеси описуються з використанням наближення континууму центрiв мас [3]
для рiдкої фази при умовi, що швидкiсть конвективного руху частинок наближено дорiвнює
iстинiй швидкостi порового розчину ~v, тобто ~v ≈ ~vf/κ, де ~vf — швидкiсть фiльтрацiї; κ —
пористiсть. Крiм того, вважатимемо, що iнтенсивнiсть процесу сорбцiї є прямо пропорцiй-
на концентрацiї забруднення, а густина ρ — стала. Тодi розподiл концентрацiї домiшки c1
в поровому розчинi шару знаходимо з балансового рiвняння
∂c1
∂t
+ ~v · ~∇c1 = D∆c1 − kc1, (1)
а її концентрацiю c2 на скелетi — iз спiввiдношення
∂c2
∂t
= kc1, (2)
де D — коефiцiєнт дифузiї; k — кiнетичний коефiцiєнт, що визначає iнтенсивнiсть процесу
сорбцiї. Крапкою позначено скалярний добуток; ~∇ — оператор Гамiльтона, ∆ = ~∇ · ~∇ —
оператор Лапласа. При цьому потiк домiшки ~J1 задається виразом ~J1 = ~vc1 − ρD~∇c1.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
2. Контактно-крайова задача конвективної дифузiї. Розглянемо шар товщиною
x∗, що складається з двох пiдшарiв товщиною x′ i δx (δx = x∗ − x′) вiдповiдно. Система
декартових координат вибрана так, щоб вiсь Ox була перпендикулярна до поверхонь шару
з початком на верхнiй границi i спрямована в глиб тiла. Вважаємо, що на верхнiй i нижнiй
поверхнях тiла вiдомi сталi значення концентрацiї домiшки:
c
(j)
1
∣∣∣
x=0
= c0 ≡ const; c
(j)
2
∣∣∣
x=x∗
= c∗ ≡ const. (3)
Також приймаємо, що в початковий момент часу
c
(j)
1
∣∣∣
t=0
= c
(j)
2
∣∣∣
t=0
= 0. (4)
Тут j позначає номер пiдшару фiльтра: j = 1 — для Ω1 =]0;x′[, j = 2 — для Ω2 =]x′;x∗[.
Тодi шуканi розподiли концентрацiї частинок домiшки в рiдинi та на скелетi вiдповiдно
до спiввiдношень (1) i (2) знаходимо з рiвнянь
∂c
(j)
1
∂t
= Dj
∂2c
(j)
1
∂x2
− vj
∂c
(j)
1
∂x
− kjc
(j)
1 ,
∂c
(j)
2
∂t
= kjc
(j)
1 , x ∈ Ωj, j = 1, 2.
(5)
На границi контакту x = x′ виконується умова рiвностей хiмiчних потенцiалiв i масових
потокiв. Приймаємо лiнiйну залежнiсть мiж хiмiчними потенцiалами та концентрацiями.
Маємо
λ1c
(1)
1
∣∣∣
x=x′
= λ2c
(2)
1
∣∣∣
x=x′
; ρ1D1
∂c
(1)
1
∂x
− v1c
(1)
1
∣∣∣∣
x=x′
= ρ2D2
∂c
(2)
1
∂x
− v2c
(2)
1
∣∣∣∣
x=x′
, (6)
де λj — коефiцiєнти концентрацiйної залежностi хiмiчних потенцiалiв; ρj — густина мате-
рiалу областi Ωj (j = 1, 2).
3. Схема розв’язання задачi. Розв’язок контактно-крайової задачi (3)–(6) будемо шу-
кати за допомогою iнтегральних перетворень за просторовою змiнною окремо в областях Ω1
i Ω2 [4]. Для того щоб застосувати перетворення за змiнною x, необхiдно знати величину
вiдповiдних функцiй на границях областi перетворення [5]. Тому на границi контакту дооз-
начимо шукану функцiю за допомогою першої контактної умови (6) таким чином:
λ1c
(1)
1 (x, t)
∣∣∣
x=x′
= λ2c
(2)
1 (x, t)
∣∣∣
x=x′
= g(x′, t) ≡ g(t). (7)
Враховуючи вигляд операторiв перших рiвнянь систем (5)
(
Lj ≡ Dj
∂2
∂x2
− vj
∂
∂x
)
, а та-
кож те, що задано граничнi умови 1-го роду, в областi Ω1 застосуємо таке скiнченне iнтег-
ральне перетворення [6]:
c1(n, t) =
x′∫
0
c
(1)
1 (x, t) exp
{
−
v1x
2D1
}
sin(ynx) dx, n = 1, 2, . . . ; (8a)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 45
c
(1)
1 (x, t) =
2
x′
exp
{
v1x
2D1
} ∞∑
n=1
c1(n, t) sin(ynx), (8б)
де yn = nπ/x′. В областi Ω2 застосуємо аналогiчне до (8) перетворення iз зсувом:
c2(m, t) =
x∗∫
x′
c
(2)
1 (x, t) exp
{
−
v2(x − x′)
2D2
}
sin(ym(x − x′))dx, m = 1, 2, . . . ; (9a)
c
(2)
1 (x, t) =
2
δx
exp
{
−
v2(x − x′)
2D2
} ∞∑
m=1
c2(m, t) sin(ym(x − x′)), (9б)
де ym = mπ/δx.
Тодi крайовi задачi (3)–(5), (7) в зображеннях набудуть вигляду
dc1
dt
+ (D1y
2
n + k1)c1 = D1yn
(
c0 −
(−1)n
λ1
g(t) exp
{
−
v1x
′
2D1
})
, c1(n, t)
∣∣
t=0
= 0; (10)
dc2
dt
+ (D2y
2
m + k2)c2 = D2ym
(
g(t)
λ2
− (−1)mc∗ exp
{
−
v2δx
2D2
})
, c2(m, t)
∣∣
t=0
= 0. (11)
Розв’язки задач (10), (11) можна подати у виглядi
c1(n, t) = e−(D1y2
n
+k1)t
t∫
0
D1y
2
n
[
c0 −
(−1)n
λ1
g(t′) exp
{
−
v1x
′
2D1
}]
e(D1y2
n
+k1)t′dt′; (12)
c2(m, t) = e−(D2y2
m
+k2)t
t∫
0
D2y
2
m
[
g(t′)
λ2
− (−1)kc∗ exp
{
−
v2δx
2D2
}]
e(D2y2
m
+k2)t′dt′. (13)
Для знаходження функцiї g(t′) використаємо умову рiвностi потокiв домiшки на по-
верхнi контакту шарiв. Пiсля застосування обернених iнтегральних перетворень (8б) i (9б)
до виразiв (12) та (13) пiдставляємо одержанi концентрацiї у другу умову (6), i отримане
рiвняння розв’язуємо вiдносно функцiї g(t′). В результатi маємо
g(t′) =
a1c0 exp
{
v1x
′
2D1
}
Σ−
n + a2c∗ exp
{
−
v2δx
2D2
}
Σ+
m
a1
λ1
Σ+
n +
a2
λ2
Σ−
m
, (14)
де a1 = 2D2
1ρ1/x
′, a2 = 2D2
2ρ2/δx; Σ±
n =
∞∑
n=1
(±1)ny2
ne−(D1y2
n
+k1)(t−t′), Σ±
m =
∞∑
m=1
(±1)my2
m×
×e−(D2y2
m
+k2)(t−t′).
Для концентрацiї домiшкової речовини в розчинi остаточно отримаємо
c
(1)
1 (x, t) = c0 exp
{
v1x
2D1
}[
sh η1(x
′ − x)
sh η1x′
−
2D1
x′
e−k1t
∞∑
n=1
yn sin(ynx)
D1y2
n + k1
e−D1y2
n
t
]
−
−
2D1
λ1x′
∞∑
n=1
(−1)nyn sin(ynx)
t∫
0
g(t′)e−(D1y2
n
+k1)(t−t′)dt′; (15)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
c
(2)
1 (x, t) = c∗ exp
{
−
v2(x∗ − x)
2D2
}[
sh η2(x − x′)
sh η2δx
−
−
2D2
δx
e−k2t
∞∑
m=1
(−1)m
ym sin(ym(x − x′))
D2y2
m + k2
e−D2y2
m
t
]
+
+
2D2
λ2δx
exp
{
v2(x − x′)
2D2
} ∞∑
m=1
ym sin(ym(x − x′))
t∫
0
g(t′)e−(D2y2
m
+k2)(t−t′)dt′, (16)
де функцiя g(t′) визначається за формулою (14).
Для знаходження концентрацiї частинок, сорбованих на скелетi, проiнтегруємо другi
рiвняння систем (5). Маємо
c
(1)
2 (x, t) = c0 exp
{
v1x
2D1
}[
sh η1(x
′ − x)
sh η1x′
t +
x′
2η1D1
(
sh η1x
(sh η1x′)2
+
+
(
1 +
x
x′
)
ch η1(x
′ − x)
sh η1x′
)
+
2D1
x′
e−k1t
∞∑
n=1
yn sin(ynx)
(D1y2
n + k1)2
e−D1y2
n
t
]
−
−
2D1
λ1x′
∞∑
n=1
(−1)nyn sin(ynx)
t∫
0
t′∫
0
g(t′′)e−(D1y2
n
+k1)(t′−t′′)dt′′dt′; (17)
c
(2)
2 (x, t) = c∗ exp
{
−
v2(x∗ − x)
2D2
}[
sh η2(x − x′)
sh η2δx
t +
+
δx
2η2D2
(
sh η2(δx + x − x′)
(sh η2δx)2
+
(
1 +
x − x′
δx
)
ch η2(x − x′)
sh η2δx
)
+
+
2D2
δx
e−k2t
∞∑
m=1
(−1)m
ym sin(ym(x − x′))
(D2y2
m + k2)2
e−D2y2
m
t
]
−
2D2
λ2δx
×
× exp
{
v2(x − x′)
2D2
} ∞∑
m=1
ym sin(ym(x − x′))
t∫
0
t′∫
0
g(t′′)e−(D2y2
m
+k2)(t′−t′′)dt′′dt′. (18)
Для аналiзу довговiчностi роботи фiльтра з урахуванням умови k1 ≪ k2 знайдемо час
насичення t∗, розв’язуючи нелiнiйне рiвняння
sup
x∈Ω2
c
(2)
2 (x, t∗) = N2, (19)
де N2 — максимальна концентрацiя домiшки, здатної адсорбуватися на скелетi. Рiвнян-
ня (19) розв’язуємо, наприклад, методом Ньютона, записуючи похiдну через скiнченнi рiз-
ницi:
ti+1 = ti −
f(ti)(ti − ti−1)
f(ti) − f(ti−1)
, i = 1, 2, . . . ,
де
f(t) =
x′ − x − δx
2η2D2
+
sh η2δx
sh η2(x − x′)
{
−
δx
2η2D2
sh η2(δx + x − x′)
(sh η2δx)2
−
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 47
−
2D2
δx
e−k2t
∞∑
m=1
(−1)m
ym sin(ym(x − x′))
(D2y2
m + k2)2
e−D2y2
m
t +
1
c∗
exp
{
v2(x∗ − x)
2D2
}[
N2 +
+
2D2
λ2δx
exp
{
v2(x − x′)
2D2
} ∞∑
m=1
ym sin(ym(x − x′))
t∫
0
t′∫
0
g(t′′)e−(D2y2
m
+k2)(t′−t′′)dt′′dt′
]}
.
Зауважимо, що контактно-крайова задача (3)–(6) допускає введення природної безроз-
мiрної форми [3]
ξ =
(
k2
D
)1/2
x, τ = k2t, (20)
де D = max{D1,D2}. Тодi коефiцiєнти вихiдної задачi також набувають безрозмiрного
вигляду
Dj → dj =
Dj
D
; k1 → a =
k1
k2
, k2 → 1; vj → ṽj = (k2D)1/2vj ;
λ1 → λ =
λ1
λ2
, λ2 → 1.
Вiдзначимо також, що функцiя концентрацiї допускає нормування на значення, що пiд-
тримується на поверхнi (верхiй або нижнiй) фiльтра. Тодi така нормована концентрацiя
залежатиме вiд вiдношення сталих значень концентрацiї домiшки на границях тiла.
4. Потоки домiшкової речовини. Одержання аналiтичних розв’язкiв для концентра-
цiй дає можливiсть знайти потоки маси забруднюючої речовини Jj в областi Ωj (j = 1; 2)
через поверхню x = x [3]:
Jj(t)
∣∣
x=x
= −ρjDj
∂cj(x, t)
∂x
+ vjcj(x, t)
∣∣
x=x
. (21)
Пiдставляємо у спiввiдношення (21) вирази для концентрацiй (15), (16) та отримаємо
в областi Ω1
J1(t)
∣∣∣∣
x=x
= c0 exp
{
v1x
2D1
}[
v1
(
1−
ρ1
2
){
sh η1(x
′−x)
sh η1x′
−
2D1
x′
e−k1t
∞∑
n=1
yn sin(ynx)
D1y2
n + k1
e−D1y2
n
t
}
+
+ η1ρ1D1
ch η1(x
′ − x)
sh η1x′
+
2ρ1
x′
D2
1e
−k1t
∞∑
n=1
y2
n cos(ynx)
D1y2
n + k1
e−D1y2
n
t
]
−
−
2D1
λ1x′
∞∑
n=1
(−1)nyn[v1 sin(ynx) + ρ1D1yn cos(ynx)]
t∫
0
g(t′)e−(D1y2
n
+k1)(t−t′)dt′;
в областi Ω2
J2(t)
∣∣∣∣
x=x
= c∗ exp
{
−v2(x∗ − x)
2D2
}[
v2
(
1 +
ρ2
2
){
sh η2(x − x′)
sh η2δx
−
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
−
2D2
δx
e−k2t
∞∑
m=1
(−1)m
ym sin(ym(x − x′))
D2y2
m + k2
e−D2y2
m
t
}
− η2ρ2D2
ch η2(x − x′)
sh η2δx
+
+
2ρ2
δx
D2
2e
−k2t
∞∑
m=1
y2
m cos(ym(x − x′))
D2y2
m + k2
e−D2y2
m
t
]
−
2D2
λ2δx
exp
{
v2(x − x′)
2D2
} ∞∑
m=1
ym ×
×
[
v2
(
1−
ρ2
2
)
sin(ym(x−x′))+ρ2D2ym cos(ym(x−x′))
] t∫
0
g(t′)e−(D2y2
m
+k2)(t−t′)dt′.
Таким чином, метод побудови точних розв’язкiв контактно-крайових задач дифузiї,
який базується на застосуваннi iнтегральних перетворень за просторовими змiнними в кон-
тактуючих областях, узагальнено на випадок урахування конвективного механiзму масопе-
реносу та сорбцiйних процесiв. Побудованi аналiтичнi розв’язки задачi конвективної дифузiї
для двошарвого фiльтра дозволяють аналiзувати розподiли концентрацiї дифундуючої ре-
човини у кожному з елементiв структури, знаходити потоки маси домiшкових частинок,
визначати час насичення забруднюючою субстанцiєю фiльтра, вiд якого залежить час його
замiни.
1. Журба М.Г. Основы процессов и техника доочистки сточных вод фильтрированием // Доочистка
сточных вод. – Кишинев: Молдагропромреклама, 1990. – С. 4–38.
2. Сiвак В.М., Бомба А.Я., Присяжнюк I.М. Комп’ютерне моделювання процесiв очищення стiчної
води на каркасно-засипних фiльтрах // Вiсн. Нац. ун-ту водн. господарства та природокористування:
Зб. наук. праць. – Вип. 4(32). – Рiвне: Вид-во НУВГП. – 2005. – С. 164–169.
3. Чапля Є.Я., Чернуха О.Ю. Фiзико-математичне моделювання гетеродифузного масопереносу. –
Львiв: СПОЛОМ, 2003. – 128 с.
4. Фiзико-математичне моделювання складних систем / Пiд ред. Я. Бурака, Є. Чаплi. – Львiв: СПО-
ЛОМ, 2004. – 264 с.
5. Снеддон И. Преобразования Фурье. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1955. – 667 с.
6. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение
к исследованию систем с распределенными параметрами. – Москва: Наука, 1985. – 304 с.
Надiйшло до редакцiї 06.07.2006Центр математичного моделювання Iнституту
прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
Унiверситет Казимира Великого, Бидгощ, Польща
Нацiональний унiверситет водного господарства
та природокористування, Рiвне
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1876 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:33:43Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Сівак, В.М. 2008-09-03T12:39:46Z 2008-09-03T12:39:46Z 2007 Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, В.М. Сівак // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 44–49. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1876 517.958:536.72 For constructing the analytical solutions of contact boundary-value problems of convective diffusion, a method based on the application of integral transformations separately in contacting regions is generalized. The admixture concentration in each structural element, as well as mass fluxes and the filter saturation time by a polluting substance, is found. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі Article published earlier |
| spellingShingle | Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Сівак, В.М. Інформатика та кібернетика |
| title | Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі |
| title_full | Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі |
| title_fullStr | Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі |
| title_full_unstemmed | Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі |
| title_short | Конвективна дифузія у двошаровому фільтрі |
| title_sort | конвективна дифузія у двошаровому фільтрі |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1876 |
| work_keys_str_mv | AT čaplâêâ konvektivnadifuzíâudvošarovomufílʹtrí AT černuhaoû konvektivnadifuzíâudvošarovomufílʹtrí AT sívakvm konvektivnadifuzíâudvošarovomufílʹtrí |