Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования

Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования

Рассмотрено применение операционного метода S-преобразований к аппроксимационному решению линейных дифференциальных уравнений с производными целого и дробного порядков и параметрической идентификации на основе использования функций отклика на внешнее воздействие. Описан вычислительный эксперимент по...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Date:2010
Main Author: Васильев, А.В.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18764
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 14-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18764
record_format dspace
spelling Васильев, А.В.
2011-04-09T20:28:23Z
2011-04-09T20:28:23Z
2010
Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 14-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
XXXX-0060
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18764
621.3720619(045)
Рассмотрено применение операционного метода S-преобразований к аппроксимационному решению линейных дифференциальных уравнений с производными целого и дробного порядков и параметрической идентификации на основе использования функций отклика на внешнее воздействие. Описан вычислительный эксперимент по решению прямой и обратной задач на примере уравнения Баглея-Торвика в среде системы Mathematica®.
The application of S-transform operational method for approximate solution of linear differential equations with derivatives of integer and noninteger order has been considered. S-transform method also was applied to parametric identification problem for above equations based on given response function. Computer experiment connected with solution of direct and inverse problems for Bagley-Torvik equation was described. Computations were fulfilled in Mathematica® program area.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
spellingShingle Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
Васильев, А.В.
title_short Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_full Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_fullStr Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_full_unstemmed Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования
title_sort решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе s-преобразования
author Васильев, А.В.
author_facet Васильев, А.В.
publishDate 2010
language Russian
container_title Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
description Рассмотрено применение операционного метода S-преобразований к аппроксимационному решению линейных дифференциальных уравнений с производными целого и дробного порядков и параметрической идентификации на основе использования функций отклика на внешнее воздействие. Описан вычислительный эксперимент по решению прямой и обратной задач на примере уравнения Баглея-Торвика в среде системы Mathematica®. The application of S-transform operational method for approximate solution of linear differential equations with derivatives of integer and noninteger order has been considered. S-transform method also was applied to parametric identification problem for above equations based on given response function. Computer experiment connected with solution of direct and inverse problems for Bagley-Torvik equation was described. Computations were fulfilled in Mathematica® program area.
issn XXXX-0060
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18764
citation_txt Решение прямой и обратной задач для линейных дифференциальных уравнений смешанного порядка на основе S-преобразования / А.В. Васильев // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 14-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT vasilʹevav rešenieprâmoiiobratnoizadačdlâlineinyhdifferencialʹnyhuravneniismešannogoporâdkanaosnovespreobrazovaniâ
first_indexed 2025-11-25T02:29:44Z
last_indexed 2025-11-25T02:29:44Z
_version_ 1850501724578512896
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 14 УДК 621.3720619(045) А. В. Васильев, канд. техн. наук Отделение гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике ИПМЭ им. Г. Е. Пухова НАН Украины, г. Киев РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ПОРЯДКА НА ОСНОВЕ S-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Рассмотрено применение операционного метода S- преобразований к аппроксимационному решению линейных дифференциальных уравнений с производными целого и дробного порядков и параметрической идентификации на ос- нове использования функций отклика на внешнее воздействие. Описан вычислительный эксперимент по решению прямой и обратной задач на примере уравнения Баглея-Торвика в среде системы Mathematica®. Ключевые слова: аппроксимация сигналов, дробное ис- числение, параметрическая идентификация, математическое моделирование динамических систем, операционные методы анализа. Введение. При исследованиях динамических систем наиболее часто встречаются две задачи: для заданных структуры математиче- ской модели, коэффициентов, начальных условий и внешнего воз- действия определить отклик системы (например, решить интегро- дифференциальное уравнение). Такую задачу обычно называют пря- мой. Если задана структура математической модели, начальные усло- вия, внешнее воздействие и отклик на нее, но неизвестны коэффици- енты уравнений, то процесс нахождения коэффициентов составляет существо обратной задачи. Последняя носит название задачи пара- метрической идентификации. Так как информация об отклике систе- мы получается как результат наблюдения (измерения) поведения сис- темы, которые сопровождаются различного рода ошибками, исследо- ватели прибегают к методам повторных экспериментов, фильтрации сигналов, их осреднения, что часто превращает обратную задачу в некорректную. В последнее время большой интерес получили дина- мические системы, математические модели которых содержат интег- ро-дифференциальные операторы нецелых (дробных) порядков, ме- тоды исследования которых проходят в настоящее время период ин- тенсивной разработки [1]. В данной работе рассматриваются опера- ционные методы решения прямой и обратной задач для линейных динамических систем, на примере дифференциального уравнения, © А. В. Васильев, 2010 Серія: Технічні науки. Випуск 3 15 включающего производные как целого, так и дробного порядков. Ис- пользован операционный метод S-преобразований [2]. Вычислитель- ные эксперименты выполнены в среде системы Mathematica®. Постановка задачи. Математическая модель динамической системы представлена в форме:     0 1 k n C k t k a D x t f t    . (1) при следующих ограничениях и начальных условиях: 1 1 20; 1 0na n n         , (2)     00 , : 0, 1, , 1r rx x r n   . (3) В выражении (1) использовано обозначение дифференциального оператора нецелого порядка 0 C tD в форме Капуто [1, 2]:         1 0 1 t J x t t x d          , (4)      0 n C n t n d x t D x t J dt           , 1n n   . (5) В выражениях (1—5) порядки дифференциальных операторов k могут принимать как дробные, так и целые значения. При решении прямой задачи необходимо найти решение (1) при известных ограничениях (2—3). Решение обратной задачи предпола- гает определение неизвестных коэффициентов ak при известных ре- шении x(t) и начальных условиях (3). Метод S-преобразований. Приведем в ретроспективном плане ос- новные соотношения, представляющие существо операционного метода S-преобразований. Для сигнала   , 0x t t T  и линейно-независимой системы базисных функций        1 2, , *mS t s t s t s t      под пря- мым S-преобразованием понимают систему выражений (6): 1 ,X W Q   0 ( ) ( ) , , : 1, 2, , , T ij i jw s t s t dt i j m    (6) 0 ( ) ( ) , : 1, 2, , , T i iq x t s t dt i m    в которой сигналу x(t) сопоставляется его операционный аналог ( ) x t X  — вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома Математичне та комп’ютерне моделювання 16 в системе базисных функций ( )S t  . Обратное S-преобразование опре- деляется выражением (7), которое восстанавливает сигнал в виде ап- проксимации по известному изображению X  :        ** 1 . m a i i i x t X S t S t X X s t           (7) Операции интегрирования с порядком  —   J x t       1 0 1 t t x d            в операционной области соответствует выражение (8): Y P X    , (8) где P — операционная матрица интегрирования целого или дроб- ного порядка, элементы которой определяются выбранной системой базисных функций [2], Y  — изображение интеграла сигнала x(t). Существо применения S-преобразования покажем на примере диф- ференциального уравнения смешанного порядка, известного как уравнение Баглея-Торвика [3]. Операционная форма математической модели динамической системы. К уравнению Баглея-Торвика сводится, в частности, про- цесс движения пластины, погруженной в Ньютоновскую жидкость [3]. Выбор этого уравнения для рассмотрения предлагаемого метода параметрической идентификации обусловлен двумя причинами. Пер- вая состоит в том, что уравнение Баглея-Торвика является уравнени- ем смешанного порядка, в котором присутствуют наряду с операто- ром дробного порядка обычные производные целого порядка. Вторая связана с наличием аналитического решения, которое может быть использовано в качестве исходной информации для решения иденти- фикационной задачи и сравнения аппроксимационного решения с аналитическим. При некоторых упрощающих предположениях урав- нение имеет вид:              3/2 0'' ' , 0 0, ' 0 0, 0. ta y t b D y t c y t f t y y t          (9) Перед применением S-преобразования приведем уравнение (9) к эквивалентному интегральному, путем двукратного интегрирования с переменным верхним пределом:           1/2 2 2 0 0 0 .t t ta y t b J y t c J y t J f t      (10) Серія: Технічні науки. Випуск 3 17 Применяя к уравнению (10) S-преобразование и разрешая полу- ченное выражение относительно изображения Y  , получим:   11/2 2 2 ,Y a E b P c P P F               (11)    * .ay t Y S t   (12) Выражения (11) и (12) записаны в форме, дающей решение пря- мой задачи анализа процесса. Для решения идентификационной задачи результат S-преобразования необходимо записать в следующей форме: 1/2 2 ,R E Y P Y P Y          (13)   2 * .A a b c R P F      (14) В выражениях (13—14) приняты следующие обозначения: E — единичная матрица, R+ — псевдообратная по отношению к R матри- ца. Для решения идентификационной задачи изображение решения Y  предполагается известным. В следующем разделе рассмотрим программу решения прямой и обратной задач в среде системы Mathematica® с соответствующими комментариями. Иллюстративный пример. Задано уравнение (9) при правой части следующего вида:       8, 0 1 0, 0 t f t t      (15) и следующих отсчетах решения, осредненных по 30 подинтервалам в диапазоне изменения аргумента  0 30t  : Необходимо оценить значения коэффициентов уравнения и по- лучить аппроксимационное решение уравнения (10). Программа решения прямой и обратной задач  Задание шага разбиения аргумента и порядка базисной системы функций  Задание базисной системы функций  Задание вида операционной матрицы интегрирования в системе базисных функций V Математичне та комп’ютерне моделювання 18  Определение операционных матриц интегрирования необходи- мых порядков  Нахождение изображения правой части уравнения (10)  Решение прямой задачи в операционной области  Аппроксимация решения прямой задачи  Определение вида идентификационной матрицы  Решение обратной задачи (параметрической идентификации) {1, 0.5, 0.5};A    Задание новых значений параметров прямой задачи  Визуализация аппроксимационного решения прямой задачи Рис. 1. Аппроксимация решения уравнения Баглея–Торвика ya(t). Серія: Технічні науки. Випуск 3 19 Заключение. В рассмотренном иллюстративном примере не при- водятся численные результаты решения прямой задачи ввиду их гро- моздкости. Рассмотренный подход может быть использован для нахо- ждения параметров математических моделей исследуемых динамиче- ских систем на основе данных экспериментальных исследований. Список использованной литературы: 1. Васильев В. В. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в мо- делировании динамических систем / В. В. Васильев, Л. А. Симак. — К. : НАН Украины, 2008. — 256 с. 2. Васильев А. В. Метод численного решения линейных дифференциальных уравнений с производными нецелого порядка по Капуто и с переменны- ми коэффициентами / А. В. Васильев // Математичне та комп’ютерне мо- делювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець- Подільський, 2009. — Вип. 2. — С. 3—14. 3. Podlubny I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. — San Diego: Academic Press. — 1999. — 340 p. 4. Wolfram S. The Mathematica Book / S. Wolfram. — Champain, II: Wolfram Media & Cambridge University Press. — 1999. — 1470 p. The application of S-transform operational method for approximate so- lution of linear differential equations with derivatives of integer and non- integer order has been considered. S-transform method also was applied to parametric identification problem for above equations based on given re- sponse function. Computer experiment connected with solution of direct and inverse problems for Bagley-Torvik equation was described. Computa- tions were fulfilled in Mathematica® program area. Key words: signal approximation, fractional calculus, parametric identification, dynamical system modeling, operational analysis methods. Отримано 15.06.10

Similar Items