Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка
Non-homogeneous linear systems of differential equations with classical Riemann-Liouville fractional derivatives, as well as regularized Caputo's fractional derivatives, are considered. Using the Laplace transform, the solutions to such systems are represented in the form of analogs of the Cauc...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1877 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка / А.А. Чикрий, И.И. Матичин // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 50–55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1877 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18772025-02-09T22:36:21Z Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка Чикрий, А.А. Матичин, И.И. Інформатика та кібернетика Non-homogeneous linear systems of differential equations with classical Riemann-Liouville fractional derivatives, as well as regularized Caputo's fractional derivatives, are considered. Using the Laplace transform, the solutions to such systems are represented in the form of analogs of the Cauchy formula for arbitrary measurable and bounded functions of time on the right-hand side. These relations play a key role in solving the related problems of mathematical control theory and the theory of dynamic games. 2007 Article Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка / А.А. Чикрий, И.И. Матичин // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 50–55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1877 518.9 ru application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Чикрий, А.А. Матичин, И.И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка |
| description |
Non-homogeneous linear systems of differential equations with classical Riemann-Liouville fractional derivatives, as well as regularized Caputo's fractional derivatives, are considered. Using the Laplace transform, the solutions to such systems are represented in the form of analogs of the Cauchy formula for arbitrary measurable and bounded functions of time on the right-hand side. These relations play a key role in solving the related problems of mathematical control theory and the theory of dynamic games. |
| format |
Article |
| author |
Чикрий, А.А. Матичин, И.И. |
| author_facet |
Чикрий, А.А. Матичин, И.И. |
| author_sort |
Чикрий, А.А. |
| title |
Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка |
| title_short |
Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка |
| title_full |
Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка |
| title_fullStr |
Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка |
| title_full_unstemmed |
Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка |
| title_sort |
об аналоге формулы коши для линейных систем произвольного дробного порядка |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1877 |
| citation_txt |
Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка / А.А. Чикрий, И.И. Матичин // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 50–55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT čikriiaa obanalogeformulykošidlâlineinyhsistemproizvolʹnogodrobnogoporâdka AT matičinii obanalogeformulykošidlâlineinyhsistemproizvolʹnogodrobnogoporâdka |
| first_indexed |
2025-12-01T11:11:19Z |
| last_indexed |
2025-12-01T11:11:19Z |
| _version_ |
1850304082874466304 |
| fulltext |
УДК 518.9
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Чикрий, И.И. Матичин
Об аналоге формулы Коши для линейных систем
произвольного дробного порядка
Non-homogeneous linear systems of differential equations with classical Riemann-Liouville frac-
tional derivatives, as well as regularized Caputo’s fractional derivatives, are considered. Using
the Laplace transform, the solutions to such systems are represented in the form of analogs of
the Cauchy formula for arbitrary measurable and bounded functions of time on the right-hand
side. These relations play a key role in solving the related problems of mathematical control
theory and the theory of dynamic games.
1. Дробные производные Римана–Лиувилля и Капуто. Пусть R
m — m-мерное евкли-
дово пространство; R+ — положительная полуось; f(t), f : R+ → R
m — некоторая абсолютно
непрерывная функция. Рассмотрим производную дробного порядка α (0 < α < 1) в смысле
Римана–Лиувилля:
Dαf(t) = 0D
α
t f(t) =
1
Γ(1 − α)
d
dt
t
∫
0
f(τ)
(t − τ)α
dτ, (1)
где Γ(z) =
∞
∫
0
e−ttz−1dt — гамма-функция Эйлера, удовлетворяющая функциональному
уравнению Γ(z + 1) = zΓ(z).
Используя интегрирование по частям и дифференцирование интеграла, зависящего от
параметра, выражение (1) можно привести к виду
Dαf(t) =
1
Γ(1 − α)
d
dt
t
∫
0
f(τ)
(t − τ)α
dτ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u = f(τ) du = f ′(τ) dτ
dv = (t − τ)−α dτ v =
(t − τ)1−α
α − 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
1
Γ(1 − α)
d
dt
(
f(τ)(t − τ)1−α
α − 1
∣
∣
∣
∣
∣
t
0
−
t
∫
0
f ′(τ)(t − τ)1−α
α − 1
dτ
)
=
=
1
Γ(1 − α)
d
dt
(
f(0)t1−α
1 − α
+
1
1 − α
t
∫
0
f ′(τ)(t − τ)1−α dτ
)
=
=
f(0)t−α
Γ(1 − α)
+
1
Γ(1 − α)
t
∫
0
f ′(τ)
(t − τ)α
dτ. (2)
Таким образом, производная дробного порядка α (α ∈ (0, 1)) в смысле Римана–Лиувилля
представима в виде суммы сингулярного члена
f(0)t−α
Γ(1 − α)
(3)
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
и интеграла
1
Γ(1 − α)
t
∫
0
f ′(τ)
(t − τ)α
dτ.
Последний носит название дробной производной в смысле Капуто, или регуляризованной
дробной производной. Присутствие слагаемого (3) приводит к тому, что дробные производ-
ные Римана–Лиувилля имеют особенность в нуле и в задаче Коши для дифференциальных
уравнений дробного порядка в смысле Римана–Лиувилля (при описании динамических сис-
тем) необходимо задавать начальные условия специального вида, не имеющие четкой фи-
зической интерпретации.
Этих недостатков дробной производной Римана–Лиувилля лишена регуляризованная
производная дробного порядка α (α ∈ (0, 1))
D(α)f(t) = C
0Dα
t f(t) =
1
Γ(1 − α)
t
∫
0
f ′(τ)
(t − τ)α
dτ, (4)
которая была, по-видимому, впервые введена М. Капуто в работе [2], а также, независимо
от него, М.М. Джрбашяном и А.Б. Нерсесяном в работе [3].
Пусть теперь n− 1 < α < n, n ∈ N (N — множество натуральных чисел), дробная часть
числа α, как обычно, обозначается {α}, его целая часть — [α]. Таким образом, [α] = n −
− 1, {α} = α − n + 1. Дробная производная Римана–Лиувилля произвольного порядка α
(n − 1 < α < n, n ∈ N) вводится следующим образом [1]:
Dαf(t) =
(
d
dt
)[α]
D{α}f(t) =
(
d
dt
)[α] 1
Γ(1 − {α})
d
dt
t
∫
0
f(τ)
(t − τ){α}
dτ =
=
1
Γ(n − α)
(
d
dt
)n
t
∫
0
f(τ)
(t − τ)α−n+1
dτ. (5)
Лемма 1. Пусть n− 1 < α < n, n ∈ N, а функция f(t) имеет абсолютно непрерывные
производные до порядка (n − 1) включительно. Тогда справедливо
Dαf(t) =
n−1
∑
k=0
tk−α
Γ(k − α + 1)
f (k)(0) +
1
Γ(n − α)
t
∫
0
f (n)(τ)
(t − τ)α−n+1
dτ. (6)
Доказательство. Доказательство проведем с помощью математической индукции по n.
Для n = 1 равенство (6) принимает вид (2).
Пусть при n − 2 < α < n − 1
Dαf(t) =
n−2
∑
k=0
tk−α
Γ(k − α + 1)
f (k)(0) +
1
Γ(n − 1 − α)
t
∫
0
f (n−1)(τ)
(t − τ)α−n+2
dτ. (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 51
Тогда при n−1 < α < n, учитывая, что {α} = {α−1} и [α−1] = [α]−1 для α /∈ Z, получим
Dαf(t) =
(
d
dt
)[α]
D{α}f(t) =
d
dt
(
d
dt
)[α]−1
D{α}f(t) =
d
dt
Dα−1f(t).
Поскольку n − 2 < α − 1 < n − 1, можно воспользоваться равенством (7):
Dαf(t) =
d
dt
Dα−1f(t) =
d
dt
(
n−2
∑
k=0
tk−α+1
Γ(k − α + 2)
f (k)(0) +
1
Γ(n − α)
t
∫
0
f (n−1)(τ)
(t − τ)α−n+1
dτ
)
.
Интегрируя последнее выражение по частям, получим
Dαf(t) =
d
dt
(
n−2
∑
k=0
tk−α+1
Γ(k − α + 2)
f (k)(0) +
tn−α
Γ(n − α)(n − α)
f (n−1)(0) +
+
1
Γ(n − α)(n − α)
t
∫
0
f (n)(τ)
(t − τ)α−n
dτ
)
=
n−2
∑
k=0
(k − α + 1)tk−α
Γ(k − α + 2)
f (k)(0) +
+
(n − α)tn−α−1
Γ(n − α)(n − α)
f (n−1)(0) +
(n − α)
Γ(n − α)(n − α)
t
∫
0
f (n)(τ)
(t − τ)α−n+1
dτ =
=
n−1
∑
k=0
tk−α
Γ(k − α + 1)
f (k)(0) +
1
Γ(n − α)
t
∫
0
f (n)(τ)
(t − τ)α−n+1
dτ,
что и требовалось доказать.
Как и в предыдущем случае, интегральный член в выражении (6) представляет со-
бой регуляризованную дробную производную в смысле Капуто произвольного порядка α
(n − 1 < α < n, n ∈ N):
D(α)f(t) = C
0Dα
t f(t) =
1
Γ(n−α)
t
∫
0
f (n)(τ)
(t−τ)α+1−n
dτ = Dαf(t)−
n−1
∑
k=0
tk−α
Γ(k−α + 1)
f (k)(0). (8)
Известны следующие выражения для преобразования Лапласа дробных производных
Римана–Лиувилля и Капуто [4]:
L{Dαf(t); s} = sαF (s) −
n−1
∑
k=0
skDα−k−1f(t)
∣
∣
t=0
, (9)
L{D(α)f(t); s} = sαF (s) −
n−1
∑
k=0
sα−k−1f (k)(0). (10)
2. Обобщенная матричная функция Миттаг–Леффлера. В работе [5] определена
обобщенная матричная функция Миттаг–Леффлера:
Eρ(B;µ) =
∞
∑
k=0
Bk
Γ(kρ−1 + µ)
, (11)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
где ρ > 0, µ ∈ C (C — множество комплексных чисел), а B — произвольная квадратная
матрица порядка m.
Обобщенная матричная функция Миттаг–Леффлера играет важную роль при изуче-
нии линейных систем дробного порядка. Будем обозначать I единичную матрицу поряд-
ка m. Справедлива следующая лемма, которая позволяет находить преобразование Лапласа
выражений, содержащих обобщенную матричную функцию Миттаг–Леффлера.
Лемма 2. Пусть α > 0, β > 0, A — произвольная квадратная матрица порядка m.
Тогда справедливо
L
{
tβ−1E1/α(Atα;β); s
}
= sα−β(sαI − A)−1.
Доказательство. Учитывая определения обобщенной матричной функцией Миттаг–
Леффлера, гамма-функции Эйлера и используя замену τ = st, получаем
L
{
tβ−1E 1
α
(Atα;β); s
}
=
∞
∫
0
e−sttβ−1E 1
α
(Atα;β)dt =
∞
∫
0
e−sttβ−1
∞
∑
k=0
Aktαk
Γ(αk + β)
dt =
=
∞
∑
k=0
Ak
Γ(αk + β)
∞
∫
0
e−sttαk+β−1dt =
∞
∑
k=0
Ak
Γ(αk + β)sαk+β
∞
∫
0
e−τταk+β−1 dτ =
=
∞
∑
k=0
Aks−(αk+β).
Покажем, что
∞
∑
k=0
Aks−(αk+β) = sα−β(sαI − A)−1. Последнее равносильно
∞
∑
k=0
Aks−(k+1)α = (sαI − A)−1. (12)
Домножим левую часть равенства (12) на (sαI − A) (безразлично — слева или справа,
поскольку матрицы коммутируют). Получим
∞
∑
k=0
Aks−(k+1)α(sαI − A) =
∞
∑
k=0
Aks−kα −
∞
∑
k=0
A(k+1)s−(k+1)α = I.
Поскольку обратная матрица единственна, это завершает доказательство.
3. Системы дробного порядка. Пусть g(t), t ∈ R+, — измеримая ограниченная функ-
ция. Тогда g(t)e−st ∈ L1(0,∞), s ∈ C. Следовательно, к функции g(t) применимо преобра-
зование Лапласа [6].
Рассмотрим динамическую систему, эволюция которой описывается уравнением
Dαz = Az + g, n − 1 < α < n, (13)
с начальными условиями
Dα−kz(t)
∣
∣
t=0
= z0
k, k = 1, . . . , n. (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 53
Лемма 3. Траектория системы (13), (14) имеет вид
z(t) =
n
∑
k=1
tα−kE 1
α
(Atα;α − k + 1)z0
k +
t
∫
0
(t − τ)α−1E 1
α
(A(t − τ)α;α)g(τ) dτ. (15)
Доказательство. Применим к системе (13) преобразование Лапласа, учитывая фор-
мулу (9). Получим
sαZ(s) −
n
∑
k=1
sk−1z0
k = AZ(s) + G(s),
или
Z(s) =
n
∑
k=1
sk−1(sαI − A)−1z0
k + (sαI − A)−1G(s). (16)
Применяя к равенству (16) обратное преобразование Лапласа, с учетом леммы 2, получим
z(t) =
n
∑
k=1
tα−kE 1
α
(Atα;α − k + 1)z0
k +
t
∫
0
(t − τ)α−1E 1
α
(A(t − τ)α;α)g(τ) dτ,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим динамическую систему дробного порядка в смысле Капуто, описываемую
уравнением:
D(α)z = Az + g, n − 1 < α < n, (17)
с начальными условиями
z(k)(0) = z0
k, k = 0, . . . , n − 1. (18)
Лемма 4. Траектория системы (17), (18) имеет вид:
z(t) =
n−1
∑
k=0
tkE 1
α
(Atα; k + 1)z0
k +
t
∫
0
(t − τ)α−1E 1
α
(A(t − τ)α;α)g(τ) dτ. (19)
Доказательство. Применяя к системе (17) преобразование Лапласа, с учетом форму-
лы (10), запишем
sαZ(s) −
n−1
∑
k=0
sα−k−1z0
k = AZ(s) + G(s),
или
Z(s) =
n−1
∑
k=0
sα−k−1(sαI − A)−1z0
k + (sαI − A)−1G(s). (20)
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Применим к (20) обратное преобразование Лапласа. Тогда, учитывая лемму 2, будем иметь
z(t) =
n−1
∑
k=0
tkE 1
α
(Atα; k + 1)z0
k +
t
∫
0
(t − τ)α−1E 1
α
(A(t − τ)α;α)g(τ) dτ.
Отметим, что формулы (15), (19) для некоторых частных случаев получены иным спосо-
бом в работах [1, 5].
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
2. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent – II // Geophys. J. R.
Astr. Soc. – 1967. – 13. – P. 529–539.
3. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных
уравнений дробного порядка // Изв. АН Арм. ССР. – 1968. – 3, 1. – С. 3–29.
4. Podlubny I. Fractional differential equations. – San Diego: Acad. Press, 1999. – 340 p.
5. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Обобщенные матричные функции Миттаг–Леффлера в игровых за-
дачах для эволюционных уравнений дробного порядка // Кибернетика и системный анализ. – 2000. –
3. – С. 3–32.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – Москва:
Наука, 1976. – 543 с.
Поступило в редакцию 06.07.2006Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 55
|