Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора

Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора

У статті методом інтегральних перетворень розв’язано задачу математичного моделювання нестаціонарних температурних полів в тонких циліндрично-ізотропних пластинах у вигляді кільчастого сектора. Одержано точні аналітичні розв’язки алгоритмічного характеру, зручні для якісного аналізу та числових розр...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Дата:2010
Автор: Громик, А.П.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18770
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 64-77. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18770
record_format dspace
spelling Громик, А.П.
2011-04-09T20:42:20Z
2011-04-09T20:42:20Z
2010
Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 64-77. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
XXXX-0060
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18770
519.6
У статті методом інтегральних перетворень розв’язано задачу математичного моделювання нестаціонарних температурних полів в тонких циліндрично-ізотропних пластинах у вигляді кільчастого сектора. Одержано точні аналітичні розв’язки алгоритмічного характеру, зручні для якісного аналізу та числових розрахунків на ЕОМ. Розглянуто випадки симетрії та асиметрії задачі теплопровідності відносно серединної площини пластини з урахуванням поведінки коефіцієнтів теплообміну з бічних поверхонь пластини.
In this article by the method of integral transformations the task of mathematical design of the unstationary temperature fields is untied in cylinder-izotrophic plates as an unlimited ring-shaped sector. The exact analytical upshots of algorithmic character are got, comfortable for the highquality analysis and numerical calculations on COMPUTER. The cases of symmetry and asymmetry of task of heat conductivity are considered in relation to the middle plane of plate taking into account the conduct of coefficients of heat exchange from the lateral surfaces of plate.
uk
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора
spellingShingle Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора
Громик, А.П.
title_short Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора
title_full Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора
title_fullStr Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора
title_full_unstemmed Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора
title_sort математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора
author Громик, А.П.
author_facet Громик, А.П.
publishDate 2010
language Ukrainian
container_title Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
description У статті методом інтегральних перетворень розв’язано задачу математичного моделювання нестаціонарних температурних полів в тонких циліндрично-ізотропних пластинах у вигляді кільчастого сектора. Одержано точні аналітичні розв’язки алгоритмічного характеру, зручні для якісного аналізу та числових розрахунків на ЕОМ. Розглянуто випадки симетрії та асиметрії задачі теплопровідності відносно серединної площини пластини з урахуванням поведінки коефіцієнтів теплообміну з бічних поверхонь пластини. In this article by the method of integral transformations the task of mathematical design of the unstationary temperature fields is untied in cylinder-izotrophic plates as an unlimited ring-shaped sector. The exact analytical upshots of algorithmic character are got, comfortable for the highquality analysis and numerical calculations on COMPUTER. The cases of symmetry and asymmetry of task of heat conductivity are considered in relation to the middle plane of plate taking into account the conduct of coefficients of heat exchange from the lateral surfaces of plate.
issn XXXX-0060
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18770
citation_txt Математичне моделювання нестаціонарного теплопереносу в тонкій пластині у вигляді кільчастого сектора / А.П. Громик // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 64-77. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT gromikap matematičnemodelûvannânestacíonarnogoteploperenosuvtonkíiplastiníuviglâdíkílʹčastogosektora
first_indexed 2025-11-26T01:45:40Z
last_indexed 2025-11-26T01:45:40Z
_version_ 1850606125465993216
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 64 УДК 519.6 А. П. Громик, викладач Подільський державний аграрно-технічний університет, м. Кам’янець-Подільський МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕСТАЦІОНАРНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСУ В ТОНКІЙ ПЛАСТИНІ У ВИГЛЯДІ КІЛЬЧАСТОГО СЕКТОРА У статті методом інтегральних перетворень розв’язано за- дачу математичного моделювання нестаціонарних температу- рних полів в тонких циліндрично-ізотропних пластинах у ви- гляді кільчастого сектора. Одержано точні аналітичні розв’язки алгоритмічного характеру, зручні для якісного ана- лізу та числових розрахунків на ЕОМ. Розглянуто випадки си- метрії та асиметрії задачі теплопровідності відносно середин- ної площини пластини з урахуванням поведінки коефіцієнтів теплообміну з бічних поверхонь пластини. Ключові слова: рівняння теплопровідності, інтегральні перетворення, головні розв’язки. Вступ. Проблеми математичного моделювання реальних фізич- них процесів, зокрема процесів теплопереносу в тонких пластинах та масивних тілах у декартовій та циліндричній системах координат становлять значний теоретичний, практичний та економічний інтерес [1—5]. Питанням побудови методом інтегральних перетворень точ- них аналітичних розв’язків математичних моделей процесів теплопе- реносу в тонких пластинах різної геометричної форми присвячено роботи автора [6—9]. У цій статті ми пропонуємо точні аналітичні розв’язки математичних моделей нестаціонарних процесів теплопе- реносу (початково-крайових задач) для тонких циліндрично- ізотропних пластин у вигляді кільчастого сектора. Основна частина. I. Задача математичного моделювання неста- ціонарного теплопереносу в тонкій циліндрично-ізотропної пластині у вигляді кільчастого сектора, через бічні поверхні z   якої від- бувається теплообмін із зовнішнім середовищем за законом Ньютона, в припущеннях, що: a) термопружні характеристики пластини не залежать від тем- ператури; b) пластина підігрівається неперервно розподіленими джерела- ми тепла; © А. П. Громик, 2010 Серія: Технічні науки. Випуск 3 65 c) через поверхні r = R0, r = R (або r = R0 або r = R) відбувається теп- лообмін за законом Ньютона або ці поверхні підтримуються при заданому тепловому режимі чи піддаються дії теплового потоку; d) задача теплопровідності симетрична відносно серединної площини пластини і коефіцієнти теплообміну з бічних поверхонь z   пластини рівні, зводиться до побудови обмеженого в області       0 0 0 0, , : 0 , , , 0, , 0, , 2r r R R R R                 розв’язку рівняння теплопровідності [5]   2 2 2 2 2 2 1 1 1 , , T T T f r a r rr r                     (1) з початковою умовою     0 , , , ,T r g r       (2) крайовими умовами на радіальних поверхнях         0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 , , , , , c r rr R c r rr R h T h t r h T h t r                            (3) та одними з крайових умов  10 ,T g r    ,   0 1 ,T r      , (4)  20 ,T g r    ,   0 2 , T r           , (5)  3 0 , T g r        ,   0 3 ,T r      , (6)  4 0 , T g r        ,   0 4 , T r           (7) на гранях клина, де 1 va C  — коефіцієнт температуропровідності;  — коефіцієнт теплопровідності; Cv — об’ємна теплоємність; 2 12 z    ; z — коефіцієнт теплообміну з бічних поверхонь z   пластини;  = 2 — приведений коефіцієнт теплопровідності; 2 — товщина пластини; 1 0rj rjh    — відносні коефіцієнти теплооб- міну через поверхні r = R0 та r = R; rj — коефіцієнти теплообміну че- рез ці поверхні;  ,c jt   — температура середовища на цих поверхнях; Математичне та комп’ютерне моделювання 66 j — коефіцієнти зв’язності крайових умов;  , ,f r       1 2 , , , ,z ct r W r       ;  , ,ct r  — температура середо- вища, що омиває пластину;  , ,W r  — потужність теплових джерел. Згідно з [10] визначимо скінченні пряме ,m ikF та обернене 1 ,m ikF  інтегральні перетворення Фур’є щодо кутової змінної  за правилами:       0 , , , 0 m ik m ik m ikF f f U d f           , (8)    1 , , , , 00 2 ik m ik m ik m m ik m ik m F f f U f             , (9)           0 0 2 2 , , , , 0 ,2 0 , , 2 0 , , , 0 0 0 , m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik d f df df F f U U d dd dU dU f f f f d d                                              (10) де         ,11 ,11 0 0 ,12 ,12 0 0 , sin ; 2 1 2 1 , sin ; 2 2 m m m m m m U m m U                          ,21 ,12 ,21 0 0 ,22 ,11 ,22 0 2 1 , cos ; 2 , cos ; m m m m m m mm U m U                                 0 1 ,11 0 0 ,12 0 0 1 ; 2 1 0 1 ; 2 m m m m m f f f m df f f d                              ,21 0 00 2 1 1 ; 2 m m mdf f f d            Серія: Технічні науки. Випуск 3 67     0 ,22 0 1 ; m m df df f d d          0 0,ik  1ik m  при 11,12, 21,ik  1, 2,...;m  22 22 0 1 , 1 2 m   при 1, 2,...m  Інтегральний оператор ,m ikF за правилом (8) внаслідок тотожно- сті (10) крайовим задачам (1)—(3),(4),...,(1)—(3),(7) ставить у відпо- відність задачу побудови обмеженого в області   0, ;0 ;0r R r R           розв’язку рівняння теплопровідності В-параболічного типу [11]   22 , , 2 , , ,2 2 1 1 ,m ik m ik m ik m ik m ik T T T r a r rr r                   (11) з початково-крайовими умовами    , ,0 , ,m ik m ikT r g r     (12)   0 1 , 1, , ,m ik m ikr R h T r           2 , 2, , ,m ik m ikr R h T r         (13) де      2 , , ,, , .m ik m ik m ikr f r r T      До задачі (11)—(13) застосуємо скінченне інтегральне перетво- рення Ганкеля 2-го роду щодо радіальної змінної r [12]:       0 , , R n n n R H f r f r f r R rdr f         (14)      1 1 , , , n n n n n n n f r R H f f f r f r R                (15)     0 0 2 2 2 2 2 0 0 1 21 1 , , , n n n n r R n n r R d f df H f f r drdr r df R f R R h f dr df Rf R R h f dr                                     (16) Математичне та комп’ютерне моделювання 68 де   1n n    — корені трансцендентного рівняння Бесселя 2-го роду    2 1 0 0 0, , 0,c f R R R g R R        що утворюють дискретний спектр,    2 ,0, ,n n n nf r R c U r R        2 ,0 ,n n nRV r R   — відповідна спектральна функція з квадратом норми     0 2 2, , , R n n n n R f r R f r R rdr                                  , , , , , 1 1 0 , , 1, 1 1, 1 , 2 2 , , , , , , , , , . U x y J x N y J y N x c h R V x y J x N y J y N x c h R J x x J x N x x N x                                                      2 2 ,0 1,1, , , ,m n n m v n n n m n ng r R c V r R RU r R        Jv(x), Nv(x) — функції Бесселя 1-го і 2-го роду  -го порядку. Інтегральний оператор mH за правилом (14) внаслідок тотожності (16) крайовій задачі (11)—(13) ставить у відповідність задачу Коші.           , , , , 2 , , , , 0 0 1, , 2, ,, , , m ik m ik m ik n m ik n m ik n n n m ik n n m ik dT a T d R f R R Rf R R                    (17)   2 2 2 , , , ,0 , .m ik n m ik n n nT g          (18) Безпосередньо перевіряється, що розв’язком задачі (17),(18) є функція               22 , , , , , 0 0 0 1, , 2, ,, , . nn a sa m ik n m ik m ik n m n n m ik m n n m ik T e g a e s R f R R s Rf R R s ds                      (19) Застосувавши до функції, визначеної формулою (19), обернене перетворення Ганкеля 2-го роду за правилом (15) та обернене скін- ченне перетворення Фур’є за правилом (9), одержуємо функцію       0 00 0 , , , , , , , , R ik ik R T r a G s r f s d d ds                 Серія: Технічні науки. Випуск 3 69             0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , в ik з ik R ik R a W s r s d ds a W s r s d ds G r g d d                                       (20)   0 1 0 , , , , R ik R a H s r d ds         яка описує структуру нестаціонарного температурного поля в тонкій циліндрично-ізотропній пластині у вигляді кільчастого сектора. У формулі (20) беруть участь головні розв’язки: функція Коші         2 , , , 00 2 , , , , , ,a ik ik m m ik m ik m ik m G r e G r U U               (21) внутрішня радіальна функція Гріна    0 0, , , , , , , ,в ik ikW r R G r R      (22) зовнішня радіальна функція Гріна    , , , , , , , ,з ik ikW r RG r R      (23) та функції          2 , , , 00 2 , , , ,a ik ik m m ik m ik m ik m H r e G r T U              (24) відповідної крайової задачі, де         2 , 2 1 , , , . , n m n n m n na m ik n m n n f r R f R G r e f r R                (25) Проаналізуємо формулу (20) в залежності від типу крайових умов на гранях  = 0 і  = 0 пластини. 01 .Нехай на гранях  = 0 та  = 0 задано крайові умови 1-го роду (умови (4)). У цьому випадку          1 11 ,11 1 12 0 00 2 , , , , 1 sin . mik m m m m H r m G r g                     (26) Математичне та комп’ютерне моделювання 70 Якщо визначити нижню  ,11 , , ,нW r    та верхню  ,11 , , ,вW r    тангенціальні функції Гріна крайової задачі (1)—(3), (4) то її розв’язком буде функція                           0 0 0 0 0 0 0 11 11 0 11 0 0 11 2 0 0 11 2 0 0 ,11 1 0 1 ,11 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , [ , , , , , , , , ] R R R R в з R н R в T r G r g d d G s r f s d d ds a W s r s d ds a W s r s d ds a W s r g s W s r s d d                                                                            ,s (27) де     2 ,11 ,112 1 00 2 , , , , sin ,н a m m m W r t mG r               (28)       2 1 ,11 ,112 1 00 2 , , , 1 , sin . mв a m m m W r e G r               (29) 02 . Нехай на грані  = 0 задано крайову умову 1-го роду, а на грані  = 0 задано крайову умову 2-го роду (умови (5)). У цьому випадку функції Гріна        2 ,12 ,122 1 00 2 1 , , , 2 1 , sin , 2 н a m m m W r e m G r               (30)        2 ,12 ,122 1 00 2 12 , , , 1 , sin . 2 mв a m m m W r e G r                (31) Функція  12 , ,T r  визначається формулою (27) із заміною в головних розв’язках індекса 11 на індекс 12 і функцій 1 1,g  на функ- ції 2 2,g  . Серія: Технічні науки. Випуск 3 71 03 .Нехай на грані  = 0 задано крайову умову 2-го роду, а на грані  = 0 задано крайову умову 1-го роду (умови (6)). У цьому випадку функції Гріна      2 ,21 ,212 1 00 2 12 , , , , cos , 2 н a m m m W r e G r                 (32)        2 ,21 ,212 1 00 2 1 , , , 1 , cos . 2 mв a m m m W r e G r               (33) Функція  21 , ,T r  визначається формулою (27) із заміною в головних розв’язках індекса 11 на індекс 21 і функцій 1 1,g  на функ- ції 3 3,g  . 04 .Нехай на гранях  = 0 та  = 0 задано крайові умови 2-го роду (умови (7)). У цьому випадку функції Гріна     2 22 ,22 ,212 0 00 2 , , , , cos ,н a m m m m W r e G r                (34)       2 22 ,22 ,212 0 00 2 , , , 1 , cos . mв a m m m m W r e G r               (35) Функція  22 , ,T r  також визначається формулою (23) із замі- ною в головних розв’язках індекса 11 на індекс 22 і функцій 1 1,g  на функції 4 4,g  . ІІ. Якщо задача теплопровідності несиметрична відносно сере- динної площини пластини і коефіцієнти теплообміну з бічних повер- хонь z   пластини рівні, то нестаціонарне температурне поле ви- значає скалярна величина [1]          1 2, , , , , , , , , , , . z z t r z T r T r T r T r                (36) Функції  , ,jT r  є обмеженим в області П розв’язком сепара- тної системи диференціальних рівнянь теплопровідності В- параболічного типу [11]   2 2 2 2 2 2 1 1 1 , , , 1, 2j j j j j T T T f r j a r rr r                      (37) з початковими умовами     0 , , , , 1, 2,j jT r g r j        (38) крайовими умовами Математичне та комп’ютерне моделювання 72   0 1 1 ,j jr R h T r           ,  2 2 ,j jr R h T r          (39) та одними з крайових умов  10 ,j jT g r     ,   0 1 ,j jT r       , (40)  20 ,j jT g r     ,   0 2 ,j j T r           , (41)  3 0 , j j T g r        ,   0 3 ,j jT r       , (42)  4 0 , j j T g r        ,   0 4 ,j j T r           (43) на гранях клина, де  2 1 2 1 1 1 1 22 , 6 2 , 2z z z zr r             — коефіцієнт термоо- пору,       1 1 , , 2 , , , , ,c zf r t r W r                  1 2 , , 6 , , , , , , 2 c cc c z t t f r t r W r t                  ct  — температура середовища, що омиває поверхні z   ;  , , ,W r   , ,W r  — потужності теплових джерел. Згідно з формулами (20)—(25) одержуємо, що                     0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 0 , 2 0 0 , 0 1 , 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , R ijk j ik j R в j ik j з j ik j R j ik j R R j ik R T r a G s r f s d d ds a W s r s d ds a W s r s d ds G r g d d a H s r d ds                                                                   (44) Серія: Технічні науки. Випуск 3 73 де         2 , , , , 00 2 , , , , , ,ja ik j ik m m ik m ik m ik m G r e G r U U                (45)    , 0 , 0, , , , , , , ,в j ik j ikW r R G r R      (46)    , ,, , , , , , , ,з j ik j ikW r RG r R      (47)          2 , , , , 00 2 , , , , ,ja ik j ik m m ik m ik j m ik m H r e G r T U               (48)         2 , 2 1 , , , . , n m n n m n na m ik n m n n f r R f R G r e f r R                (49) Зазначимо, що формули (26)—(35) залишаються вірними для кожного 1, 2.j  ІІІ. Якщо задача теплопровідності несиметрична відносно сере- динної площини пластини і коефіцієнти теплообміну з бічних повер- хонь z   пластини різні, то функції  , ,jT r  є обмеженим в області П розв’язком параболічної системи диференціальних рівнянь теплопровідності     2 2 1 1 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 1 22 2 2 1 1 , , 31 1 3 4 , , z T a T T T af r r r C Cr r T a T T T af r r r C r Cr r                                                           (50) з початково-крайовими умовами (38), (39) та одними з крайових умов (40)—(43), де ,z z       z — коефіцієнти теплообміну з бічних поверхонь z   пластини, 2 vC c — теплоємність пластини,                   1 1 1 2 , , , , , , , , , , , 3 , , 3 , , , , . c c c c f r t r t r W r f r t r t r W r                                        Інтегральний оператор Фур’є ,m ikF мішаним задачам (50), (38), (39), (40)—(50), (38), (39), (43) ставить у відповідність задачу побудо- ви обмеженого в області  розв’язку системи диференціальних рів- нянь теплопровідності В-параболічного типу [11] Математичне та комп’ютерне моделювання 74     22 1, , , 1, ,2 2 1, , 2, , 1, , 2 2 1, , 2, ,2 2 2, , 1, , 2, , 1 , , 1 33 4 , m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik m ik z T a T r rr r T T a r C C T a T r rr r T T a r C r C                                                             (51) з початково-крайовими умовами    , , , ,0 , ; 1,2,j m ik j m ikT r g r j      (52)     0 1 , , 1 , , 2 , , 2 , , , , , , j m ik j m ikr R j m ik j m ikr R h T r h T r                    (53) де    2 , , , , ,, ; 1, 2.j m ik j m ik m ik j jr f r T j      До задачі (52),(53) застосуємо інтегральне перетворення Ганкеля 2-го роду за правилом (14). Внаслідок тотожності (16) одержуємо задачу Коші     1, , , 2 1 1, , , 2, , , 2 2 1, , , 1 2, , , 2 1, , , 2 2, , , 2 2 2, , , 2 , 3 3 4 , , m ik n m ik n m ik n m ik n n m ik n m ik n m ik n m ik n n z T T T C a a C T T T C a a C r                                              (54)  , , , , , ,0 , 1,2,j m ik n j m ik nT g j      (55) де           , , , , , , 0 0 1 , , 2 , , , , . j m ik n j m ik n m n n j m ik m n n j m ik R f R R Rf R R                Серія: Технічні науки. Випуск 3 75 Позначимо через 2 22 3 1 6 3 0. z zr r                         Оскільки характеристичне рівняння     2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 0z z z C                 системи звичайних диференціальних рівнянь (54) має дійсні різні корені  2 2 1,2 nz a     , то розв’язуюча матриця (фундаментальна матриця розв’язків задачі Коші) цієї системи обчислюється за правилом [13]           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 0 0 0 0 1 , 32 , 32 n n z n a a a a a a a a a a z dzCG e z z C e e e e e C e Q q e e e e C                                                                         (56) де 2 2 0 0 0 6 6 3 , . z z q q r r                            Покладемо:                         1, , , 1, , , 11, , , , , , 1, , 2, , ,2, , , 12, , 21, , 1, , , 2, , , , 22, , 2, , , , , , , , , . m ik n m ik n m ik m ik n m ik n m ik m ik nm ik n m ik m ik m ik n m ik m ik n m ik m ik n T g T g gT                                                         Безпосередньо перевіряється, що розв’язком задачі (54), (55) є вектор-функція , , , , , , 0 ( ) ( ) ( ) ( ) .m ik n n m ik n n m ik nT G g a G s s ds        (57) Повертаючись у формулі (57) до оригіналів, одержуємо вектор- функцію         0 0 * 0 , , , , , , , R ik ik R T r Q G r g d d                Математичне та комп’ютерне моделювання 76                 0 0 0 * 0 0 ,* 1 0 0 ,* 2 , , , , , , , , , , , , , R ik R в ik з ik a Q s G s f s d d ds a Q s W s r s W s r s d ds                                         (58)     0 * 1 0 , , , , R ik R a Q s H s r d ds           яка описує структуру шуканого нестаціонарного температурного поля в тонкій циліндрично-ізотропної пластині у вигляді кільчастого сектора. У формулі (58) беруть участь функції:        * , , , 00 2 , , , , , ,ik ik m m ik m ik m ik m G r G r U U             (59)    ,* * 0 0, , , , , , , ,в ikikW r R G r R      (60)    ,* *, , , , , , , ,з ikikW r RG r R      (61)                 * * , 11, , ,* 00 , 22, , , , , , , 2 , . , , , ik m ikik ik m m ik m ik m m ikik H r TH r G r U TH r                                 (62) Зазначимо, що: 1) аналіз формул (58) в залежності від типу крайових умов на гра- нях клина ідентичний до аналізу формули (20) з пункту І; 2) при z z   формули (58) співпадають із формулами (44), а при , , 0, 0z z c ct t W T          — з формулою (20); 3) випадок зміни  в межах від 1 до 2 зводиться до розгляну- того нами заміною 1 0 2 1( ).          Висновки. Методом інтегральних перетворень побудовано точ- ні аналітичні розв’язки алгоритмічного характеру математичних мо- делей нестаціонарного теплопереносу в тонкій циліндрично- ізотропній пластині у вигляді кільчастого сектора з урахуванням си- метрії відносно серединної площини пластини та поведінки коефіціє- нтів теплообміну через бічні поверхні пластини. Список використаних джерел: 1. Подстригач Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подст- ригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. — М. : Наука, 1984. — 368 с. Серія: Технічні науки. Випуск 3 77 2. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дейнека. — К. : Наук. думка, 1991. — 432 с. 3. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородно- го тела / Ю. М. Коляно. — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с. 4. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий. — К. : Наук. думка, 1998. — 614 с. 5. Подстригач Я. С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках / Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно. — К. : Наук. думка, 1972. — 308 с. 6. Громик А. П. Математичне моделювання нестаціонарних температурних полів в тонкій ізотропній напівсмузі-пластинці / А. П. Громик // Матема- тическое моделирование : сб. науч. тр. НАН Украины. Ин-т математи- ки. — К., 1996. — С. 81—84. 7. Громик А. П. Нестаціонарна крайова задача теорії теплопровідності тон- ких циліндрично-ізотропних кругових пластин / А. П. Громик, І. М. Конет // Доповіді НАН України. Математика, природознавство, тех- нічні науки. — 1999. — № 10. — С. 16—20. 8. Громик А. П. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля у тонких необмежених циліндрично-ізотропних пластинках з круговим отвором / А. П. Громик // Вісник Тернопільського державного технічного універси- тету. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 123—129. 9. Громик А. П. Математичне моделювання нестаціонарних температурних полів в тонкій циліндрично-ізотропній пластині у вигляді необмеженого кільчастого сектора / А. П. Громик // Вісник Тернопільського державного технічного університету. — 2005. — Т. 10, № 2. — С. 164—174. 10. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике / К. Дж. Трантер. — М. : Гостехтеориздат, 1956. — 204 с. 11. Матійчук М. І. Параболічні сингулярні крайові задачі / М. І. Матійчук. — К. : Ін-т математики НАН України, 1999. — 176 с. 12. Ленюк М. П. Интегральные преобразования с разделенными переменны- ми (Фурье, Ханкеля) / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 60 с. 13. Эйдельман С. Д. Параболические системы / С. Д. Эйдельман — М. : Наука, 1964. — 444 с. In this article by the method of integral transformations the task of mathematical design of the unstationary temperature fields is untied in cyl- inder-izotrophic plates as an unlimited ring-shaped sector. The exact ana- lytical upshots of algorithmic character are got, comfortable for the high- quality analysis and numerical calculations on COMPUTER. The cases of symmetry and asymmetry of task of heat conductivity are considered in re- lation to the middle plane of plate taking into account the conduct of coef- ficients of heat exchange from the lateral surfaces of plate. Key words: heart conduction equation, integral transformation, main solutions. Отримано 07.03.10

Схожі ресурси