Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки

Розглянуто спосіб побудови математичних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки. Проведено оцінку похибки апроксимації. The way of construction of mathematical models of the distributed links of electromechanical systems on an instance of a...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Date:	2010
Main Authors:	Карпенко, В.М., Федорчук, В.А.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18771
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки / В.М. Карпенко, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 78-95. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859992906910138368
author	Карпенко, В.М. Федорчук, В.А.
author_facet	Карпенко, В.М. Федорчук, В.А.
citation_txt	Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки / В.М. Карпенко, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 78-95. — Бібліогр.: 3 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Розглянуто спосіб побудови математичних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки. Проведено оцінку похибки апроксимації. The way of construction of mathematical models of the distributed links of electromechanical systems on an instance of a drilling string of the drilling rig is observed. The estimation of a lapse of approximation is spent.
first_indexed	2025-12-07T16:32:12Z
format	Article
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 78 УДК 004.942:519.876.5 В. М. Карпенко, канд. техн. наук, В. А. Федорчук, канд. техн. наук ДП «Науканафтогаз» НАК «Нафтогаз України», м. Київ, **Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г. Є. Пухова НАН України, м Київ ПОБУДОВА СТРУКТУРНИХ АПРОКСИМАЦІЙНИХ МОДЕЛЕЙ РОЗПОДІЛЕНИХ ЛАНОК ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ НА ПРИКЛАДІ БУРИЛЬНОЇ КОЛОНИ БУРОВОЇ УСТАНОВКИ Розглянуто спосіб побудови математичних моделей розпо- ділених ланок електромеханічних систем на прикладі буриль- ної колони бурової установки. Проведено оцінку похибки ап- роксимації. Ключові слова: математична модель, апроксимація, роз- поділений об’єкт. Вступ. Розвиток електронних та комп’ютерних засобів дав по- штовх також і до розвитку сучасних електромеханічних систем. Викори- стання в їх складі комп’ютерних засобів дозволило розв’язати комплекс задач, які пов’язані не лише з керуванням, а також із контролем, адапта- цією, діагностикою, сумісною роботою з іншими системами, підтрим- кою інтелектуальних функцій тощо. Слід відзначити, що поява можли- вості вирішення таких складних та специфічних задач обумовлена вико- ристанням в підсистемах керування, контролю та діагностики комп’ютерних моделей об’єктів керування. Отже, на сучасному етапі розвитку керованих електромеханічних систем виникає задача побудови комп’ютерних моделей реального часу для об’єктів керування. Ще на етапі побудови математичної моделі доцільно проводити аналіз особливостей обраного класу динамічних об’єктів з метою отримання математичних залежностей в такому вигляді, який би давав змогу ефективно розв’язувати поставлені задачі. Різноманітність спо- собів математичного опису динамічних систем, можливість комбіну- вання різних підходів при моделюванні різнотипних елементів — все це приводить до необхідності врахування специфіки кожного елемента системи. Так при описі динаміки складних механічних елементів (дов- гих кінематичних передач, просторових рамних конструкцій і механіз- мів), які складаються як з однорідних, так і з неоднорідних елементів (балок, стержнів, пластин, оболонок і т.д.) з різними типами зв’язку між собою (з’єднання через пружні і демпферні елементи, жорсткі та рухомо-шарнірні з’єднання тощо), застосування універсального підхо- ду моделювання є неможливим. Наявність різнотипних зв’язків та різ- © В. М. Карпенко, В. А. Федорчук 2010 Серія: Технічні науки. Випуск 3 79 них типів руху між елементами в системах (поздовжнього, поперечно- го, крутильних коливань) ускладнюють задачу їх математичного опи- су. Така різноманітність способів взаємодії може бути відтворена за допомогою структурних моделей, які можуть складатися з різнотипних ланок, з’єднаних певним чином в єдину блочно-структурну схему. Для побудови моделі використовуються два типи блоків — бло- ки із входами-виходами, що прийшли з теорії керування, і блоки з контактами, які успішно використовуються при проектуванні механі- чних, гідравлічних та електричних систем. Складні моделі, які скла- даються із компонентів різної фізичної природи та оснащені цифро- вими системами керування, вимагають одночасного використання блоків різного типу. Далі модель автоматично представляється у ви- гляді великої системи рівнянь, яку необхідно розв’язати чисельно. Автоматична побудова сукупної системи рівнянь та вибір для неї ефективного чисельного методу розв’язування є складною теоретич- ною і технічною задачею. Насамперед, складність обумовлена тим, що електромеханічні системи містять елементи різної фізичної при- роди з різними характеристиками та властивостями, що породжує неоднорідність їх математичного опису. При чисельній реалізації таких математичних моделей підхід, коли загальна система рівнянь розв’язується одним методом, без врахування специфіки математич- ного опису складових частин моделі, в переважній більшості випад- ків виявляється неефективним, а іноді і неможливим. Побудова структурної моделі. Для забезпечення широких мо- жливостей у виборі методів чисельної реалізації для структурних елементів математичної моделі доцільно використовувати структур- но-алгоритмічний метод, який передбачає проведення синтезу моделі на рівні структурних елементів у вигляді блоків-алгоритмів. При використанні структурно-алгоритмічного підходу процес побудови моделі складної електромеханічної системи можна розділи- ти на такі етапи: Аналіз і конкретизація задачі. При створенні моделі проводять аналіз класу задач, які будуть розв’язуватися з її використанням. Основна мета, що переслідується на цьому етапі — збір інформації про специфіку процесів, що моделюються та визначення вимог що- до необхідної адекватності і точності моделі. Проведення декомпозиції системи. У разі необхідності прово- диться перший рівень декомпозиції системи за фізичним принципом. При цьому система подається у вигляді сукупності m елементів (1) , ( 1, )iП i m з певної множини фізичних підсистем 1-го рівня. На- приклад, для класу електромеханічних систем «бурові установки» до Математичне та комп’ютерне моделювання 80 множини фізичних підсистем 1-го рівня можуть входити: дизель, ге- нератор електричної енергії, лебідка, електродвигун лебідки, талева система, насоси промивної рідини, електродвигун роторного столу, бурильна колона, забійний двигун, пристрої для автоматизації спус- ко-підйомних робіт тощо. Оскільки при функціонуванні електроме- ханічної системи її фізичні підсистеми, що отримуються в результаті першого рівня декомпозиції, взаємодіють між собою через різного роду зв’язки (механічні, гідравлічні, пневматичні, електричні та ін.), то при синтезі моделі задається ще і їх опис (1) (1) (1) (1) 1 2( , ,..., ), 1, j mПF П П П j l , де l — кількість існуючих зв’язків між підсистемами першого рівня. Якщо в результаті проведення першого рівня декомпозиції деякі структурні елементи (підсистеми) виявляються занадто складними і виникають труднощі при їх математичному описі, або є необхідність контролю параметрів підсистеми на рівні їх внутрішньої структури, тоді для таких елементів доцільно проводити повторну декомпози- цію, тобто декомпозицію 2-го рівня. В результаті отримаємо розши- рення множини фізичних підсистем (2) , ( 1, )rП r k та зв’язків між ними (2) (1) (1) (2) (2) (2)(1) 1 2 1 2( , ,..., , , ,..., ) j m kПF П П П П П П , 1,j g , де g — кіль- кість існуючих зв’язків між підсистемами першого і другого рівня. Описаний процес можна проводити поетапно, доки не отримаємо елементарні фізичні підсистеми, для яких проводити декомпозицію вже не доцільно. Формування математичної моделі. Для кожного структурного елемента системи, що моделюється, обирається один із можливих варі- антів його математичного опису, виходячи із аналізу поставленої зада- чі. Побудова моделей структурних елементів може проводитись двома способами: на основі відомих фізичних законів чи на основі експери- ментальних даних. Отримані математичні моделі можуть мати різні форми опису: алгебраїчну, диференціальну, інтегральну, алгебраїчно- диференціальну, інтегро-диференціальну і т.п. Загалом отримаємо структурну неоднорідну математичну модель системи. Перетворення та апроксимація вихідних математичних моде- лей до зручного для моделювання вигляду. Різноманітність форм ма- тематичного опису динамічних об’єктів вимагає окремо розв’язання задачі вибору ефективного способу подання математичних моделей з урахуванням їх подальшої чисельної реалізації. Вибір способу мате- матичного опису структурних елементів залежить від багатьох фак- торів: від характеру залежностей (лінійні, нелінійні); від вимірності (просторово одновимірні та багатовимірні); від просторової залежно- Серія: Технічні науки. Випуск 3 81 сті параметрів (із зосередженими чи розподіленими параметрами); від залежності в часі (стаціонарні, нестаціонарні), від швидкості змі- ни параметрів (високочастотні чи низькочастотні) і т.п. Також врахо- вується арсенал алгоритмічних засобів для чисельної реалізації різ- них типів моделей та можливості еквівалентних та апроксимаційних перетворень моделей, в тому числі, за допомогою розроблених спеці- алізованих програмних засобів. Отже, для отримання можливості вибору ефективного способу математичного опису структурних еле- ментів моделей складних електромеханічних систем виникає необ- хідність у розробці для цього класу об’єктів методів їх математично- го опису та перетворення, на основі яких створюється базова множи- на математичних моделей підсистем. Це дає змогу використовувати в повній мірі структурно-алгоритмічний підхід з можливістю враху- вання на кожному етапі синтезу моделі додаткової інформації про об’єкт, що в цілому дозволяє підвищити ефективність розв’язання поставленої задачі. Розробка структурно-алгоритмічної моделі. Оскільки при чи- сельній реалізації структурних математичних моделей задача зво- диться до чисельної реалізації окремих структурних елементів моде- лі, які, в свою чергу, отримано на основі базової множини математи- чних моделей підсистем, тоді є зміст в розробці для кожного елемен- та базової множини алгоритму його чисельної реалізації. В результаті отримаємо базову множину алгоритмів для чисельної реалізації мо- делей підсистем, що дає можливість синтезу моделей складних елек- тромеханічних систем із певного базового набору скалярних моде- лей-алгоритмів. При цьому виникає важлива задача — забезпечення алгоритмічної сумісності програмних модулів в незалежності від ме- тодів їх внутрішньої алгоритмічної реалізації. Введення параметрів моделі та розв’язування задачі. При чисе- льній реалізації отриманих структурних елементів математичної моде- лі виникає необхідність в обчисленні необхідних параметрів, які, влас- не кажучи, можуть і не збігатися з відомими фізичними параметрами вихідної моделі. Тоді, для зручності роботи з комп’ютерною моделлю, необхідно передбачити можливість їх автоматичного перерахунку. Реєстрація результатів моделювання. На цьому етапі відобра- жаються результати обчислень у вигляді чисел, графіків, діаграм. Вони виводяться на екран, паперовий або магнітний носій. Для цього модель доцільно будувати таким чином, щоб контрольні параметри були присутні в моделі у явному вигляді. Контроль точності. Для оцінки вірогідності отриманих резуль- татів необхідно проводити контроль точності розв’язків. Оскільки строгий аналіз точності є складною задачею, то в більшості випадків Математичне та комп’ютерне моделювання 82 можна обмежитися наближеними, але оперативними методами конт- ролю точності. Для цього можна використовувати метод порівняння аналітичного і машинного розв’язків при однакових вихідних даних. В якості тестових вхідних сигналів у багатьох випадках використо- вують одиничний стрибок. Аналіз результатів і доопрацювання моделі. Для підвищення адекватності комп’ютерної моделі необхідно проводити аналіз отри- маних результатів і, якщо потрібно, здійснювати корекцію моделі. При алгоритмічно-структурному методі моделювання елементам комп’ютерної структурної моделі, як правило, відповідають окремі фізичні елементи, що дає можливість контролю та корегування окре- мих фрагментів моделі. Отримання математичних залежностей. Вихідним пунктом за- дач математичного моделювання є виділення та аналіз сукупності неза- лежних і залежних змінних, що характеризують досліджуваний об’єкт. У загальному випадку в результаті цього етапу утворюється набір {t, х, у, u, ut, ux, uхх . . .}, (1) де t — час, х та y — просторові (незалежні) змінні; в набір входить залежна змінна u та її похідні, склад яких визначається з апріорних передумов. Величини (1) використовуються для одержання математичної моделі об’єкта одним із двох основних шляхів: або на основі відомих законів, тобто на основі розробленої раніше теорії досліджуваного об’єкта, або на основі експериментальних даних про впливи на об’єкт і його реакції, тобто, на основі методів ідентифікації. Будемо вважа- ти, що в кінцевому результаті величини (1) зв’язуються якоюсь точ- ною залежністю Ф, якщо застосувати перший підхід, або наближе- ною залежністю Ф , якщо застосувати другий, і модель буде подава- тись рівнянням Ф(t, х, у, u, ut, . . .) = 0 (2) у першому випадку, або Ф (t, х, у, u, ut, . . .) = 0 (3) у другому. В залежності від виду об’єкта та ступеня адекватності його ма- тематичної моделі рівняння (2) або (3) можуть бути звичайними ди- ференціальними рівняннями, рівняннями в частинних похідних, од- номірними або багатомірними інтегральними, інтегро-диференціаль- ними рівняннями тощо. Отже, при моделюванні динамічних систем важливим способом виявлення їх специфічних властивостей і можливостей чисельної реа- лізації є подання моделей у різних еквівалентних формах, що вимагає Серія: Технічні науки. Випуск 3 83 розвитку методів еквівалентних перетворень. Найчастіше отримання моделі, виходячи з її фізичних властивостей, зручно здійснювати в од- ній формі, а її чисельну реалізацію — в іншій, еквівалентній вихідній. У зв’язку із зростанням складності досліджуваних динамічних систем, а отже і складності їх моделей, істотну роль набувають мето- ди нееквівалентних (апроксимаційних) перетворень математичних описів систем. В основі даних методів лежить можливість спрощення вихідної динамічної моделі шляхом визначення і виключення тих її компонент, які слабо (виходячи з деякого критерію) впливають на результат моделювання. При реалізації такого підходу проводиться апроксимація вихід- ної моделі більш простим описом шляхом редукції, тобто виконуєть- ся заміна Ф → Ф (або Ф → Ф  ), виходячи з мінімізації обраного й обґрунтованого критерію близькості виду μ(Ф , Ф ) = ε → min. На даний час нееквівалентні методи перетворення моделей ще не одержали достатнього розвитку, незважаючи на те, що вони при- водять до досить ефективних результатів. Зіставлення декількох видів математичних моделей одного і то- го ж об’єкта дозволяє повніше оцінити їх адекватність, вибрати ту чи іншу модель за умов найбільш ефективної реалізації. Від якості виб- раної моделі залежить ефективність результатів дослідження об’єкта в цілому. Так при моделюванні об’єктів з розподіленими параметра- ми, математичні моделі яких, зазвичай, подаються у вигляді дифере- нціальних рівнянь в частинних похідних, виникає необхідність в їх апроксимації системами звичайних диференціальних рівнянь. З фізи- чної точки зору такий перехід означає заміну моделі системи з не- скінченим числом степенів свободи моделлю системи зі скінченим числом степенів свободи. Розглянемо математичний опис об’єкта з розподіленими пара- метрами, заданий в прямокутній області G{α < x < β; y0 < y < y0 + l} у вигляді еліптичного диференціального рівняння 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , 0 в ), u u u u a x y b x y c x y d x y e x y u f x y x yx y a b G Г               (4) з граничними умовами u(x, y0) = φ0(x); u(x, y0 + l) = φ1(x); 0 0 0 1 0 1 0 0 ( , ) ( ); ( , ) ( ) ( ), ( , ) ( ); ( , ) ( ) ( ), u x y x u x y l x x u y y u y y y y y l                     (5) Математичне та комп’ютерне моделювання 84 де φi(x), ψi(y) (i = 0, 1) — задані функції. Застосувавши метод прямих [1] до рівнянь (4)—(5) отримаємо систему з n звичайних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку:                                 1 12 2 1 1 2 , 2 1,2,..., , k k k k k k k k k k k k k k b x a x u x u x u x u x c x u x h d x u x u x e x u x f x O h h k n                     (6) де yk = y0 + kn (k = 0, 1, 2, ..., n), 1 l h n   , yk(x) = u(x, yk). Нехтуючи в (6) членами O(h2) та позначивши через Uk(x) набли- жені значення розв’язку u(x, y) на прямій y = yk для їх визначення, отримаємо систему рівнянь                               1 12 1 1 2 , 2 1, 2,..., . k k k k k k k k k k k k k k b x a x U x U x U x U x c x U x h d x U x U x e x U x f x h k n                    (7) Використовуючи граничні умови на Г, маємо:                       0 0 1 1 1 , , ; 1, 2,..., . n k k k k U x x x U x k x U y U y k n                       (8) Отже, отримана модель у вигляді системи диференціальних рівнянь (7) з граничними умовами (8) апроксимує з точністю до h2 диференціа- льне рівняння (4) з граничними умовами (5). Слід відзначити, що за до- помогою методу прямих, який використовується для розв’язування ди- ференціальних рівнянь в частинних похідних по суті проводиться деко- мпозиція вихідної моделі за однією змінною на n структурних елементів. На основі проведеної декомпозиції можна здійснювати побудову струк- турних моделей об’єктів з розподіленими параметрами. При цьому слід враховувати, що заміна моделі з нескінченою кількістю степенів свободи скінченновимірною приводить до розходжень значень їх власних частот. Отже, для оцінки точності отриманих структурних апроксимаційних моделей можна скористатись величиною відмінності власних частот розподіленого і скінченнозосередженого об’єкта. Серія: Технічні науки. Випуск 3 85 Оцінимо точність апроксимації при заміні однорідного об’єкта з розподіленими параметрами, що зазнає деформації розтягу та стис- нення багатомасовою системою. Його власні частоти знаходяться шляхом розв’язування наступної задачі: 2 2 2 2 2 0 u u a t x       ; 0 0 x x l u u x x        , де u — зсув перерізу розподіленого об’єкта; 2 0 Es Esl a M   ; 0M — повна маса розподіленого об’єкта. Частоти знаходяться зі співвідношення , 1, 2,q aq q q l      , (9) де q — номер гармоніки; 0 0 k M   ; 0 Es k l  — повна жорсткість розподіленого об’єкта. В якості оцінки точності апроксимації приймемо величину різ- ниці власних частот еквівалентних об’єктів із розподіленими та зосе- редженими параметрами. Для переходу до багатомасової моделі роз- ділимо стержень на п однакових ділянок. Масу кожної ділянки 0im M n зосередимо в її середині у вигляді абсолютно жорсткого тіла. Жорсткості між сусідніми ділянками приймаємо рівними жорст- кості ділянок , 1 0 , 1, 2, , 1i ik nk i n    . Надалі для спрощення запи- су індекси для величин , 1i ik  та im опустимо. Для визначення власних частот багатомасової системи позначи- мо відносний зсув сусідніх мас через iu . Тоді, враховуючи (7), можна записати п–1 рівнянь 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 2 1 2 0; 2 0; 2 0; 2 0. i i i i n n n mu ku ku mu ku ku ku mu ku ku ku mu ku ku                             Запишемо характеристичне рівняння цієї системи Математичне та комп’ютерне моделювання 86     1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0. n n n n k m k m k m k m k k                                                                   (10) Розкриття визначника  1n  за степенями 2 і знаходження власних частот вимагає навіть при відносно невеликому порядку ви- значника значної обчислювальної роботи. Для скорочення обчислень і знаходження власних частот без розв’язання рівняння (n – 1)-го поряд- ку відносно 2 можна скористатися методом виробляючих функцій. Нехай   0 n n n G z z      — виробляюча функція послідовності  n . Розкриваючи визначник 2i за елементами першого рядка і ал- гебраїчне доповнення до члена –1 у першому рядку за елементами пер- шого стовпця, отримуємо 2 2 12i i i m k                   . (11) При цьому 2 0 11; 2 m k        . (12) Рівняння (11) множимо на 2iz  та підсумуємо по і: 2 2 1 2 2 1 0 0 0 2i i i i i i i i i m z z z z z k                           . (13) Оскільки Серія: Технічні науки. Випуск 3 87  2 2 0 1 0 2 ;i m i m i m z z G z z                    2 1 0 0 1 ,k m i m i m z z G z                то рівняння (13) можна записати в такий спосіб:       2 2 0 1 02 m G z z z G z z G z k                     . Розв’язуючи це рівняння відносно G(z) і використовуючи (12), знаходимо виробляючу функцію   2 2 1 1 2 G z m z z k            . Оскільки в характеристичному рівнянні діагональні члени зав- жди позитивні, позначаючи 2 1 cos m k    , (14) одержуємо   2 1 1 cos G z z z    . Останній вираз для виробляючої функції розвиваємо в степене- вий ряд по z:     0 sin 1 sin n n n G z z         . (15) Коефіцієнти цього розвинення і є шуканими n . Рівняння (10) для власних частот у випадку механічної багатомасової системи згід- но (15) буде мати вигляд  1 sin 0n n    , звідки , 1, 2, , 1 q q n n     . З урахуванням (14) власні частоти системи, що складається з п мас, рівні ( ) 2 sin (2 ) n q q n n   . При збільшенні числа зосереджених мас значення низьких влас- них частот багатомасової системи із зосередженими параметрами Математичне та комп’ютерне моделювання 88 будуть наближатися до відповідних значень власних частот об’єкта з розподіленими параметрами: ( )lim lim 2 sin 2 n q q n n q n q n q n q n            . Відносна похибка заміни об’єкта з розподіленими параметрами на систему із зосередженими параметрами рівна ( ) ( ) 1 sin / 2 2 n q qn q q q q n n          . (16) Із цієї формули слідує, що похибка не залежить від параметрів об’єкта, а визначається лише числом зосереджених мас п і номером гармоніки q. На рис. 1 представлена залежність відносної похибки від значень номера гармоніки та числа зосереджених мас при апрокси- мації багатомасовою моделлю. Рис. 1. Залежність відносної похибки від номера гармоніки та числа зосере- джених мас Отже, задаючись похибкою апроксимації або знаючи зону робо- чих частот усієї системи, при побудові апроксимаційної моделі мож- на визначати з (16) необхідну кількість диференціальних рівнянь сис- теми (кількість зосереджених мас). Побудова комп’ютерної моделі бурильної колони бурової уста- новки. При розв’язуванні задач аналізу динаміки бурової установки, в задачах керування виникає необхідність створення адекватних матема- тичних та комп’ютерних моделей як окремих елементів, так і всієї сис- Серія: Технічні науки. Випуск 3 89 теми в цілому. При цьому доводиться мати справу з моделями елементів різної фізичної природи (із розподіленими та зосередженими параметра- ми, нелінійними та лінійними, просторово одномірними та багатомірни- ми), які мають суттєві відмінності при їх математичному описі [2]. Ана- ліз таких систем за допомогою традиційних методів, коли розв’язується система рівнянь, в яку входять звичайні диференціальні рівняння, рів- няння в частинних похідних, нелінійні диференціальні рівняння, інтег- ральні та інтегро-диференціальні рівняння, утруднюється, насамперед, відсутністю загальних методів їх розв’язування. На сьогоднішній день для розв’язування окресленого кола задач можна використати велику кількість програмних засобів. Серед них доцільно відзначити такі, як MathCAD, Mathematica, Maple, MatLab, FemLab, WorkBench, Scilab, МАРС, ADAMS та ін. Однак, для реаліза- ції структурно-алгоритмічного підходу при синтезі комп’ютерних мо- делей найбільш ефективним середовищем моделювання є Simu- link/MatLab. При моделюванні блоків бурової установки найбільші труднощі при чисельній реалізації викликають елементи з розподіленими па- раметрами. В першу чергу, це стосується колони бурильних труб, яка є неоднорідною, оскільки складається з різноманітного устаткування (стальних та поважчених бурильних труб, центраторів, перевідників, калібраторів, розширювачів, шламоуловлювачів та ін.). Також типовим елементом з розподіленими параметрами є стовп промивної рідини, яка подається через бурову колону до забою. Необ- хідність врахування динаміки руху промивної рідини в буровій колоні викликана ще і тим, що промивна рідина при бурінні забійним двигу- ном використовується для передачі енергії до нього, а керування обер- тальним моментом на долоті здійснюється через гідравлічний зв’язок. Колону бурильних труб, із врахуванням ряду припущень, можна вважати пружним стержнем із розподіленою масою, пружністю та в’язким тертям. До нижнього кінця колони прикладена осьова реак- ція забою і реакція долота, а по довжині — розподілені сили ваги, в’язкого тертя, інерції. У буровій колоні присутні три види деформа- ції — кручення, згину та розтягу-стиску. Деформація кручення впливає на динаміку обертального руху до- лота. При цьому на долото діє поздовжня сила зі сторони бурової коло- ни, яка, у свою чергу, залежить від динаміки поздовжнього руху колони. Отже, для підтримки оптимального навантаження на долото необхідно враховувати також деформації розтягу-стиску в елементах колони. Зв’язок параметрів, що характеризують поступальний та обертальний рухи здійснюється через модель взаємодії долото-порода. Якщо викори- стовується шарошечне долото, то при його обертанні, в результаті пере- Математичне та комп’ютерне моделювання 90 кочування шарошок по забою, виникають поздовжні коливання корпусу долота, які передаються бурильній колоні, а зубці шарошки, внаслідок ударної взаємодії з породою, спричинюють її руйнування. Таким чином, для отримання повноцінних результатів моделю- вання необхідно враховувати взаємодію породи, шарошечного доло- та, забійного двигуна та колони бурильних труб. Розглянемо способи математичного опису динаміки поздовж- нього та обертального руху колони бурильних труб. Швидкість зміщення перерізів колони V(x,t), яка викликана дією погонної зовнішньої сили F(x,t), описується диференціальним рів- нянням в частинних похідних 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) V x t V x t V x t F x t T x t m x h x k t t tt x              (17) із граничними та початковими умовами: ( , ) 0 V l t x    ; (0, ) 0 V t x    ; ( ,0) 0 V x t    ; ( ,0) 0V x  , де m(x) — погонна маса колони; h(x) — погонний коефіцієнт опору ко- лони; k — коефіцієнт пружності; F(x,t) — погонна зовнішня сила; T(x,t) — погонна сила тяжіння; V(x,t) — швидкість руху перерізу колони. Для опису динаміки обертального руху стержня використову- ється рівняння 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) p x t x t x t M x t J GJ t tt x             (18) із граничними та початковими умовами відповідно (19) та (20) ( , ) 0 l t x    ; (0, ) 0 t x    , (19) ( ,0) 0 x t    ; ( ,0) 0x  , (20) де ω — частота обертання колони; J — момент інерції; G — модуль зсуву; М — момент кручення; — коефіцієнт опору обертального руху; Jp — полярний момент інерції. Застосувавши метод прямих до рівнянь (17) та (18) отримаємо дві системи з n диференціальних рівнянь кожна 2 1 12 ( 2 )i i i i i i i i i i V V F T m h k V V V t t tt                , 1, 2,i n  ; (21) 2 1 12 ( 2 )i i i i pi i i i iJ GJ M tt                , 1, 2,i n  , (22) Серія: Технічні науки. Випуск 3 91 де Vi — швидкість руху i-го елемента; Fi — зовнішня сила, що діє на i-й елемент; Ti — сила тяжіння, що діє на i-й елемент; hi — кое- фіцієнт опору, що діє на i-й елемент; ki — коефіцієнт пружності для i-го елемента; ωi — частота обертання i-го елемента колони; Мi — момент кручення, що діє на i-й елемент τi — коефіцієнт опору обер- тальному руху i-го елемента колони; Jpi — полярний момент інерції i-го елемента колони. Після інтегрування систем рівнянь (21) та (22) отримаємо   2 1 12 2i i i i i i i i i x x m h k x x x F T tt            , 1, 2,i n  ; (23)   2 1 12 2i i i i pi i i i iJ GJ M tt                , 1, 2,i n  , (24) де xi -та — координата i-го елемента; φi — кут зсуву i-го елемента. При побудові моделі бурильної колони зробимо припущення, що вона є однорідною на скінченній кількості ділянок ненульової довжини. Тоді в межах однієї такої ділянки будемо мати незмінні параметри. Розглянемо деякі з них. Момент інерції ділянки колони масою m та довжиною l знахо- димо з виразу 2 2( ) 2 m R r l J   , де R та r — відповідно, зовнішній та внутрішній радіус колони. Полярний момент інерції ділянки колони обчислюється за фор- мулою 4 4 1 1 32p r J d R            , де d — зовнішній діаметр колони. Момент опору, викликаний силами в’язкості при обертальному русі колони у промивній рідині, обчислюється за формулою Маргулеса 2 2 4 ( 1) T h r       ; C T R r   , де η — коефіцієнт в’язкості для промивної рідини; h — довжина ді- лянки колони; RС — радіус свердловини; rТ — зовнішній радіус пере- різу бурильної труби. Важливим моментом в процесі побудови комп’ютерної моделі бурильної колони є відтворення взаємодії долота із забоєм свердло- вини. При обертанні шарошечного долота відбувається складний процес перекочування зубців вінця шарошки по забою та їх вдавлю- Математичне та комп’ютерне моделювання 92 вання в породу, що викликає її руйнування [3]. При перекочуванні зубця конічної шарошки навколо миттєвого центру обертання корпус долота зміщується у вертикальному напрямі на величину cos cos sinв шh r t z z              , де ωш — кутова швидкість обертання шарошки; rв — радіус перифе- рійного вінця шарошки; z — число зубців шарошки; β — кут між віс- сю долота і віссю шарошки. При повороті шарошки на кут φ = ωш t виникає момент сили, прикладений до осі шарошки tgш в шM r P z       , де P — сила, що діє на долото з боку бурильної колони. В положенні φ = 0 момент сили Mш змінює знак, тобто на проміжку [– φmax, 0] мо- мент сили протидіє обертальному руху долота, а на проміжку [0, φmax] — прискорює його. Особливістю процесу перекочування шарошки є те, що час t і кут φ = ωшt знаходяться в проміжках відповідно 10 t T  і 0 2 /шt z   , де T1 — час перекочування шарошки із зубця на зу- бець. Параметри h, T1 визначаються виходячи із допущень, що всі шарошки долота синхронно перекочуються по забою, тобто одночас- но контактують з ним то одним, то двома зубцями. В момент перес- коку з одного опорного зубця шарошки на другий швидкість майже миттєво змінюється від максимального від’ємного значення до мак- симального додатного значення. В цей момент осьове прискорення теоретично прямує до нескінченості, а практично, враховуючи дефо- рмації елементів, набуває дуже великого значення. Отримана модель у вигляді системи диференціальних рівнянь дозволяє провести декомпозицію вихідної моделі за змінними x та φ на n ланок. Якщо проводити декомпозицію далі на рівні отриманих ланок, то доцільно виділити в її структурі величини, які мають фізич- ний зміст, що дасть можливість реалізувати динамічні нелінійні за- лежності через статичні (наприклад, використання гістерезисної не- лінійної залежності дозволяє відтворити в структурній моделі ефект втрати частини енергії деформації внаслідок внутрішнього тертя). Після еквівалентних перетворень для реалізації i-х диференціа- льних рівнянь систем (23) та (24) отримаємо структурну ланку у ви- гляді підсистеми simulink-моделі, приведеної на рис. 2. Серія: Технічні науки. Випуск 3 93 Отримана підсистема складає основу для синтезу структурної комп’ютерної моделі, що реалізує системи рівнянь (23)—(24). З’єднання підсистем здійснюється у відповідності до зв’язків між параметрами в системах диференціальних рівнянь. Синтезована таким чином структурна модель бурильної колони має ряд важливих властивостей. По-перше, дискретизація колони на ланки із зосередженими масами дає можливість для кожної ланки проводити уточнення моделі шляхом врахування певних особливос- тей на ділянках колони, в тому числі і нелінійних залежностей (на- приклад, зміну температури з ростом глибини, а отже й інших пара- метрів моделі, які залежать від температури). По-друге, за рахунок організації прямих та зворотних зв’язків між ланками, модель є обо- ротною, що дає змогу здійснювати вхідні впливи та отримувати ре- зультати на рівні будь-якої структурної ланки моделі. Рис. 2. Структурна реалізація ланки для моделювання ділянки колони із зосе- редженою масою при поступальному та обертальному русі Використаємо отримані структурні елементи для побудови моделі бурильної колони із урахуванням її поздовжнього та обертального ру- ху та взаємодії долота із забоєм. Керуючими діями будемо вважати силу, прикладену зі сторони лебідки через талеву систему та момент сили зі сторони роторного столу або забійного двигуна. При цьому будемо враховувати: неоднорідність бурової колони внаслідок викори- стання різнотипних бурильних труб; деформацію бурової вишки при Математичне та комп’ютерне моделювання 94 навантаженні та її інертність; сили опору, викликані взаємодією про- мивної рідини зі стінками колони; виштовхувальну силу та інерцію стовпа промивної рідини; сили опору при взаємодії долота з породою. Колону бурильних труб доцільно подати у вигляді багатомасової системи з числом мас, що відповідає кількості бурильних свічок в колоні. По мірі нарощення колони буде збільшуватись кількість мо- дулів моделі. Структурна simulink-модель складається із однотипних ланок, починаючи з другої, які виконані у вигляді підсистеми, приве- деної на рис. 2. В модель також входять ланки для відтворення дина- міки бурової вишки, забійного двигуна, інерції промивної рідини в свердловині, взаємодії долота з породою. За допомогою отриманої моделі було проведено ряд обчислюва- льних експериментів. На рис. 3 відображено результати моделювання взаємодії шарошечного долота із дном свердловини. Рис. 3. Графік коливань корпусу долота Колона в початковий момент часу знаходилась у підвішеному стані в промивній рідині на висоті 0,4 м від дна свердловини. Для спу- ску колони було зменшено зусилля на крюку талевої системи на 750 кгс. В момент часу 7,5 с відбувся контакт шарошок долота із дном свердловини. На графіку спостерігається складний характер коливань долота, який викликаний, в першу чергу, змінами динамічного зусилля з боку колони на долото, а також силами, що виникають під час пере- t(с) h(м) Серія: Технічні науки. Випуск 3 95 кочування шарошок по забою. Також було отримано графік зміни на- вантаження на долото (рис. 4) при його контакті з дном свердловини. Рис. 4. Графік зміни навантаження на долото Висновки. Результати моделювання свідчать, що приведена структурна модель може використовуватись як на стадії проектуван- ня обладнання бурової установки, так і на стадії компонування бури- льної колони. Крім того, модель може використовуватись в системі керування при проходці свердловини для підтримки оптимальних режимів буріння та для оптимізації спуско-підйомних робіт. Список використаних джерел: 1. Березин И. С. Методы вычислений Т.2. / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — М. : Физматгиз, 1960. — 620 с. 2. Харченко Е. В. Динамические процессы буровых установок / Е. В. Харченко. — Львов : Свит, 1991. — 176 с. — Библиогр. : с. 171—174. 3. Балицкий П. В. Взаимодействие бурильной колонны с забоем скважины. / П. В. Балицкий. — М. : Недра, 1975. — 293 с. — Библиогр. : с. 281—289. The way of construction of mathematical models of the distributed links of electromechanical systems on an instance of a drilling string of the drilling rig is observed. The estimation of a lapse of approximation is spent. Key words: Mathematical model, approximation, distributed object. Отримано 23.05.10 P(H) t(с)
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18771
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0060
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:32:12Z
publishDate	2010
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Карпенко, В.М. Федорчук, В.А. 2011-04-09T20:45:19Z 2011-04-09T20:45:19Z 2010 Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки / В.М. Карпенко, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 78-95. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18771 004.942:519.876.5 Розглянуто спосіб побудови математичних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки. Проведено оцінку похибки апроксимації. The way of construction of mathematical models of the distributed links of electromechanical systems on an instance of a drilling string of the drilling rig is observed. The estimation of a lapse of approximation is spent. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки Article published earlier
spellingShingle	Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки Карпенко, В.М. Федорчук, В.А.
title	Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки
title_full	Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки
title_fullStr	Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки
title_full_unstemmed	Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки
title_short	Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки
title_sort	побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18771
work_keys_str_mv	AT karpenkovm pobudovastrukturnihaproksimacíinihmodeleirozpodílenihlanokelektromehaníčnihsistemnaprikladíburilʹnoíkoloniburovoíustanovki AT fedorčukva pobudovastrukturnihaproksimacíinihmodeleirozpodílenihlanokelektromehaníčnihsistemnaprikladíburilʹnoíkoloniburovoíustanovki

Побудова структурних апроксимаційних моделей розподілених ланок електромеханічних систем на прикладі бурильної колони бурової установки

Institution

Similar Items