Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування
Запроваджено скінченне гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті полярної осі з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є. Одержано інтегральне зображення аналітичного розв'язку відповідних задач статики, квазістати...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18773 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 103-118. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634555704573952 |
|---|---|
| author | Конет, І.М. Ленюк, М.П. |
| author_facet | Конет, І.М. Ленюк, М.П. |
| citation_txt | Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 103-118. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Запроваджено скінченне гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті полярної осі з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є. Одержано інтегральне зображення аналітичного розв'язку відповідних задач статики, квазістатики та динаміки.
The scinchenne hybrid integral transformation generated on the segment of arctic axis with two points of interface by a hybrid differential operator (Contorovicha-Lebedeva-Besselya-Four'e) is inculcated. The integral image of analytical decision of the proper tasks of statics, cvazistatici and dynamics is got.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:14:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 3
103
УКД 517.91:532.2
І. М. Конет*, д-р фіз.-мат. наук, професор,
М. П. Ленюк**, д-р фіз.-мат. наук, професор
*Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана
Огієнка, м. Кам’янець-Подільський,
**Національний технічний університет «ХПІ», м. Чернівці
СКІНЧЕННІ ГІБРИДНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
ТИПУ (КОНТОРОВИЧА-ЛЄБЄДЄВА) — БЕССЕЛЯ — ФУР'Є
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
Запроваджено скінченне гібридне інтегральне перетворен-
ня, породжене на сегменті полярної осі з двома точками спря-
ження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-
Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є. Одержано інтегральне зобра-
ження аналітичного розв'язку відповідних задач статики, ква-
зістатики та динаміки.
Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, функ-
ції Коші, головні розв’язки, гібридне інтегральне перетворення,
функції впливу, основна тотожність, логічна схема.
Вступ. Вивчення фізико-технічних характеристик композитних
матеріалів, які знаходяться в різних умовах експлуатації, математич-
но приводить до задачі інтегрування сепаратної системи диференціа-
льних рівнянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі з
відповідними початковими та крайовими умовами [1—5]. Одним із
ефективних методів побудови точних аналітичних розв'язків таких
задач є метод гібридних інтегральних перетворень. Основні поло-
ження теорії скінченних гібридних інтегральних перетворень (СГІП)
закладено в роботі [6]. Ця стаття присвячена запровадженню одного з
типів СГІП та їх застосуванню при розв’язуванні задач математичної
фізики кусково-однорідних середовищ.
Основна частина. Запровадимо інтегральне перетворення, поро-
джене на множині
2 0 1 1 2 2 3 0 3: , , , ; 0,I r r R R R R R R R R
гібридним диференціальним оператором (ГДО)
1
2
2
,( ) 0 1 1
2
2 2
1 2 2 , 2 3 3 2
,
M r R R r a B
d
r R R r a B r R R r a
dr
(1)
де x — одинична функція Гевісайда [7].
© І. М. Конет, М. П. Ленюк 2010
Математичне та комп’ютерне моделювання
104
У рівності (1) беруть участь диференціальні оператори Конторови-
ча-Лєбєдєва
1
2 2 2 2 2 2
1 12 1B r d dr r d dr r [8], Бесселя
2
2 2 1 2 2 2
, 2 22 1B d dr r d dr r [9] та Фур'є
2 2d dr [10]; 2 1 0j , 2 , 0, .
Означення. Областю визначення ГДО ,( )vM назвемо множину G
вектор-функцій 1 2 3( ) ; ;g r g r g r g r з такими властивостями:
1) вектор-функція 1 21 , 2 3( ) ; ;f r B g r B g r g неперервна
на множині 2I ;
2) функції ( )jg r задовольняють крайові умови
0
3
0 0
11 11 1
3 3
22 22 3
0,
0;
r R
r R
d g rdr
d g rdr
(2)
3) функції ( )jg r задовольняють умови спряження
1 1 2 2 1 0, , 1,2.
k
k k k k
j j k j j k r R
d dg r g r j kdr dr
(3)
Будемо вважати в подальшому, що виконані умови на коефіцієнти:
0
11 0 , 0
11 0 , 0 0
11 11| | 0 , 3
22 0 , 3
22 0 , 0k
jm , 0k
jm ,
3 3
22 22 0 , 1 2 0k kc c , 2 1 1 2
k k k k
jk j j j jc .
Визначимо величини
2
1 2
2 1
11 12 1
1 2 1 2 1
21 22 1 2
1 Rc c
c c R R
,
2
12
2 2 1
22 2
1c
c R
, 3 1,
вагову функцію
1
2
2 1
0 1 1
2 1
1 2 2 2 3 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
r r R R r r
r R R r r r R R r
та скалярний добуток
3 1
1
0 0
32
2
1 2
2 1
1 1 1
2 1
2 2 2 3 3 3
( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) , , .
R R
R R
RR
R R
u r v r u r v r r dr u r v r r dr
u r v r r dr u r v r dr u G v G
(4)
Серія: Технічні науки. Випуск 3
105
Для u G та v G із умов спряження (3) випливає базова то-
тожність [6]
2
1 1 1 1
1
, 1, 2.
k k
k
k k k k r R k k k k r R
k
c
u v u v u v u v k
c (5)
Наявність базової тотожності (5) та крайових умов (2) дає можли-
вість одержати рівність
,( ) ,( )[ ], , [ ] ,M u v u M v
яка означає, що ГДО ,( )M є самоспряженим оператором. Отже, його
спектр дійсний. Оскільки ,( )M не має на множині 2I особливих то-
чок, то його спектр дискретний [6].
З метою знаходження власних чисел й відповідних їм власних век-
тор-функцій розглянемо задачу Штурма-Ліувілля: знайти на множині 2I
ненульовий розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних
рівнянь 2-го порядку
1
2
2
1 ,( );1 0 1
2
, 2 ,( );2 1 2
2 2
3 ,( );3 2 32
, 0, , ,
, 0, , ,
, 0, ,
B b V r r R R
B b V r r R R
d b V r r R R
dr
(6)
з нульовими крайовими умовами
0
3
0 0
11 11 ,( );1
3 3
22 22 ,( );3
, 0,
, 0
r R
r R
d V rdr
d V rdr
(7)
та однорідними умовами спряження
1 1 ,( );
2 2 ,( ); 1
,
, 0, , 1, 2,
k
k k
j j k
k k
j j k r R
d V rdr
d V r j kdr
(8)
де
11 2 2 2( ) ( )j j j jb b a k , 2 0jk , 1,3j ; — спектральний
параметр, а ,( ) ,( );1 ,( );2 ,( );3, , ; , ; ,V r V r V r V r —
відповідна йому спектральна вектор-функція.
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння
1
2
1 0B b v утворюють функції
11 1,v C r b та
12 1,v D r b
[8]; для диференціального рівняння Бесселя 2
2
, 2 0B b v — функції
Математичне та комп’ютерне моделювання
106
Бесселя
21 , 2v J b r та
22 , 2v N b r [9]; для диференціального
рівняння Фур'є 2 2 2
3 0d dr b v — тригонометричні функції
1 3cosv b r та 2 3sinv b r [10].
Якщо покласти
1 1
2 2
,( );1 1 1 1 1 0 1
,( );2 2 , 2 2 , 2 1 2
,( );3 3 3 3 3 2 3
, , , , , ,
, , ,
, cos sin , , ,
V r A C r b B D r b r R R
V r A J b r B N b r r R R
V r A b r B b r r R R
, (9)
то крайові умови (7) та умови спряження (8) для визначення величин
jA , jB ( 1,3)j дають однорідну алгебраїчну систему рівнянь
1 1
01 21
;11 0 1 1 ;11 0 1 1, , 0,X R b A X R b B
1 1
2 2
11 12
; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1
11 12
, ; 2 2 1 2 , ; 2 2 1 2
, ,
0,
j j
j j
X R b A X R b B
u b R A u b R B
(10)
31 32
22 3 3 3 22 3 3 3 0.v b R A v b R B
Однорідна алгебраїчна система рівнянь (10) має ненульовий ро-
зв'язок тоді й тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю [11]:
1 2 1 2
,( ) 22 3 2 3 3 ,( );1 12 3 2 3 3 ,( );2
;11 0 1 1 , ;2 ;21 0 1 1 , ;1
, ,
, , , , 0.
b R b R A b R b R A
R R b B R R b B
(11)
У рівності (11) беруть участь функції:
1 1 1
1 1
01 12
; 1 0 1 1 ;11 0 1 ; 1 1 1
02 11
;11 0 1 ; 1 1 1
, , , ,
, , ,
j j
j
R R b X R b X R b
X R b X R b
2 2 2
2 2
11 22
, 2 1 2 2 , ; 2 2 1 , ; 1 2 2
12 21
, ; 2 2 1 , ; 1 2 2
,
, , 1,2,
j k
j k
b R b R u b R u b R
u b R u b R j k
21 32 22 31
2 3 2 3 3 2 3 2 22 3 3 2 3 2 22 3 3, ,j j jb R b R v b R v b R v b R v b R
1 2
1 2
,( ); ;11 0 1 1 , ;2 2 1 2 2
;21 0 1 1 , ;1 2 1 2 2
, , ,
, , , ,
j j
j
A R R b b R b R
R R b b R b R
Серія: Технічні науки. Випуск 3
107
2
2
,( ); , ; 1 2 1 2 2 22 3 2 3 3
, ; 2 2 1 2 2 12 3 2 3 3
, ,
, , .
j j
j
B b R b R b R b R
b R b R b R b R
Корінь n трансцендентного рівняння (11) підставимо в систему
(10) й відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності. Якщо виб-
рати
1
02
1 0 ;11 0 1, nA A X R b ,
1
01
1 0 ;11 0 1, nB A X R b , де величина 0A
підлягає визначенню, то перше рівняння системи (10) стає тотожністю;
1/22 2 1
jn n j jb k a , 2 0jk , 1,3j .
Розглянемо стосовно А2, В2 алгебраїчну систему рівнянь
2 2
1
11 12
, ; 2 2 1 2 , ; 2 2 1 2
0 ; 1 0 1 1, , , 1,2.
j n j n
j n
u b R A u b R B
A R R b j
(12)
Визначник алгебраїчної системи (12)
2 2 2
2 2 2 2
11 12
, , ;12 2 1 , ;22 2 1
11 12 21
, ;22 2 1 , ;12 2 1 2 2 1
2 1
2
0.
n n n
n n
n
q u b R u b R
c
u b R u b R
b R
Отже, алгебраїчна система (12) має єдиний розв'язок [11]:
2 1 2
1 2
2 1 2
1 2
1 12
2 0 , ;11 0 1 1 , ;22 2 1
12
;21 0 1 1 , ;12 2 1
1 11
2 0 , ;21 0 1 1 , ;12 2 1
11
;11 0 1 1 , ;22 2 1
, ,
, , ,
, ,
, , .
n n n
n n
n n n
n n
A A q R R b u b R
R R b u b R
B A q R R b u b R
R R b u b R
(13)
При відомих А2, В2 розглянемо алгебраїчну систему рівнянь
стосовно А3, В3:
2
121 22
2 3 2 3 2 3 2 3 0 , ,( ); .j n j n n j nv b R A v b R B A q A
(14)
Визначник алгебраїчної системи (14)
21 22 21 22
12 3 2 22 3 2 22 3 2 12 3 2 22 3 0.n n n n nv b R v b R v b R v b R c b
Отже, система (14) має єдиний розв'язок [11]:
22 22
3 ,( );2 12 3 2 ,( );1 22 3 2 ,( );2
21 21
3 ,( );1 22 3 2 ,( );2 12 3 2 ,( );1
,
.
n n n n n
n n n n n
A A v b R A v b R
B A v b R A v b R
(15)
Ми прийняли, що
20 22 3 , ( )n nA c b q , 1 2( ) ( , ) .
Підставивши визначені величини Аj, Вj згідно формул (13) та
(15) у рівності (9), отримуємо функції:
Математичне та комп’ютерне моделювання
108
2 1;11 1
1;11 1
01
,( );1 22 3 , 0 1 1
02
0 1 1
, , ,
, , ,
n n n n
n n
V r c b q X R b D r b
X R b C r b
1 2
1 2
1
,( );2 22 3 ;21 0 1 1 , ;12 2 1 2
1
;11 0 1 1 , ;22 2 1 2
, , , ,
, , , ,
n n n n n
n n n
V r c b R R b b R b r
R R b b R b r
(16)
2 2 2
2 2
1 11
, ; 2 2 1 2 , ; 2 2 1 , 2
12
, ; 2 2 1 , 2
,
, 1, 2,
j n n j n n
j n n
b R b r u b R N b r
u b R J b r j
,( );3 ,( );2 3 ,( );1 3, cos sinn n n n nV r b r b r .
Введемо до розгляду квадрат норми власної функції:
3
0
1 2
1 2
0 1
3
2
2 2
,( ) ,( )
2 22 1 2 1
,( );1 1 ,( );2 2
2
,( );3 3
( , ) , ( )
, ,
, .
R
n n
R
R R
n n
R R
R
n
R
V r V r r dr
V r r dr V r r dr
V r dr
(17)
Згідно з роботою [6] справедливі такі теореми.
Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені n трансцендентно-
го рівняння (11) складають дискретний спектр ГДО ,( )M : дійсні,
різні, симетричні відносно 0 й на додатній півосі 0 утворю-
ють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною гранич-
ною точкою .
Теорема 2 (про дискретну функцію). Система власних вектор-
функцій ,( ) 1
( , )n n
V r
ортогональна з ваговою функцією ( )r , пов-
на й замкнена.
Теорема 3 (про зображення рядом Фур'є). Будь-яка вектор-
функція ( )g r G зображається абсолютно й рівномірно збіжним на
множині 2I рядом Фур'є за системою ,( ) 1
, n n
V r
:
3
0
,( )
,( ) 2
1
,( )
,
, .
( , )
R
n
n
n R n
V r
g r g V r d
V r
(18)
Серія: Технічні науки. Випуск 3
109
Ряд Фур'є (18) визначає пряме ,( )H й обернене 1
,( )H
скін-
ченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на мно-
жині 2I ГДО ,( )M [6]:
3
0
,( ) ,( ) , ,
R
n n
R
H g r g r V r r dr g (19)
,( )1
,( ) 2
1
,( )
,
.
,
n
n n
n
n
V r
H g g g r
V r
(20)
В основі застосування запровадженого формулами (19), (20)
СГІП до розв'язання відповідних задач математичної фізики кусково-
однорідних середовищ знаходиться основна тотожність інтегрально-
го перетворення ГДО ,( )M .
Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція
1 21 , 2 3; ;f B g r B g r g r неперервна на множині 2I , а
функції ( )jg r задовольняють крайові умови
0 3
0 0 3 3
11 11 1 0 22 22 3,r R r R R
d dg r g g r gdr dr (21)
та умови спряження
1 1 2 2 1 , , 1,2,
k
k k k k
j j k j j k r R jk
d dg r g r j kdr dr
(22)
то справедлива основна тотожність інтегрального перетворення гіб-
ридного диференціального оператора ,( )M :
1
3 12 2 0
,( ) ,( ) 11 ,( );1 0
1
12 1 2 3 2
1 1 0 22 ,( );3 3 3 30
2
,( );12 2 ,( );22 1
1
,
,
.
n n j jn n
j
n R
k k
k n k n k
k
H M g r g k g V R
R a g V R a g
h Z Z
(23)
У рівності (23) прийняті позначення:
1
1
0
2 1
1 1 ,( );1 1, ,
R
n n
R
g g r V r r dr
2
2
1
2 1
2 2 ,( );2 2, ,
R
n n
R
g g r V r r dr
Математичне та комп’ютерне моделювання
110
3
2
3 3 ,( );3 3, ;
R
n n
R
g g r V r dr
12 1 2 1
1 1 1 111 ,h R a c 22 1 2 1
2 2 2 122h R a c ,
,( ); 2 2 2 ,( ); 1 , , 1, 2
k
k k k
j n j j k n r R
dZ V r kdr .
Логічну схему застосування запровадженого СГІП покажемо на
типових задачах математичної фізики кусково-однорідних середовищ.
Задача 1 (статики). Побудувати обмежений в області
2, : , ,Д r z r I z
розв'язок еліптичної системи диференціальних рівнянь [12]
1
2
2
21
1 1 1 1 0 12
2
22
2 2 , 2 2 1 22
2 2
23 3
3 3 3 2 32 2
, , , ,
, , , ,
, , ,
u
u B u f r z r R R
z
u
u B u f r z r R R
z
u u
u f r z r R R
z r
(24)
з крайовими умовами
0
3
0 0
11 11 1 0
3 3
22 22 3
, ( ),
, ( )
r R
r R R
u r z g z
r
u r z g z
r
(25)
та умовами спряження
1 1 2 2 1( , ) ( , ) ( ),
, 1,2.
k
k k k k
j j k j j k r R jku r z u r z z
r r
j k
(26)
Запишемо систему (24) у матричній формі
1
2
2
2
1 12
12
2
, 2 2 22
3
2 2
2
3 32 2
( , )
( , )
( , ) ( , ) .
( , )
( , )
B u r z
z
f r z
B u r z f r z
z
f r z
u r z
z r
(27)
Серія: Технічні науки. Випуск 3
111
Інтегральний оператор ,( )H згідно правила (19) зобразимо у
вигляді операторної матриці-рядка
1 2
1
0 1
3
2
2
2 1
,( ) ,( );1 1 ,( );1
2 1
2 ,( );3 3
... , ,
, .
R R
n n
R R
R
n
R
H V r r dr V r
r dr V r dr
(28)
Застосуємо операторну матрицю-рядок (28) до системи (27) за пра-
вилом множення матриць. Внаслідок основної тотожності (23) маємо
крайову задачу: побудувати обмежений на декартовій осі | |z розв'я-
зок звичайного диференціального рівняння другого порядку
1
23
2 2 2
2
1
1 2 10
11 ,( );1 0 1 00
13
22 ,( );3 3 3
2
,( );12 2 ,( );22 1
1
( ) ( ) ( )
, ( )
, ( )
( ) ( ) ( ).
n j j jn n
j
n
n R
k k
k n k n k n
k
d
k u z f z
dz
V R R g z
V R g z
h Z z Z z F z
(29)
Припустимо, не зменшуючи загальності, що 2 2 2
1 2 3max ; ;
2
1 0 . Покладемо всюди 2
1 0k , 2 2 2
2 1 2 0k , 2 2
3 1k
2
3 0 ,
3
1
( )jn n
j
u u z
. Диференціальне рівняння (29) набуває вигляду
2
2 2
12
( ) ( ).n n n
d
u z F z
dz
(30)
Безпосередньо перевіряється, що розв'язком диференціального
рівняння (30) є функція
| | 1/22 2
1( ) ( ) , .
2
n z
n n n n
n
e
u z F d
(31)
При цьому функція ( )nu z буде обмежена на ( ) , якщо функція
( )nF z буде мати при | |z скінченне граничне значення або
( ) 0.nF
Математичне та комп’ютерне моделювання
112
Оператор 1
,( )H
згідно правила (20) як обернений до (28) зобра-
зимо у вигляді операторної матриці-стовпця
12
,( );1 ,( )
1
121
,( ) ,( );2 ,( )
1
12
,( );3 ,( )
1
( , ) ,
[ ] ( , ) , .
( , ) ,
n n
n
n n
n
n n
n
V r V r
H V r V r
V r V r
(32)
Застосуємо операторну матрицю-стовпець (32) за правилом мно-
ження матриць до матриці-елемента ( )nu z , де функція ( )nu z визначе-
на формулою (31). У результаті низки елементарних перетворень отри-
муємо єдиний розв'язок еліптичної крайової задачі (24)—(26):
1
,( );3 ,( );1 0
2
2 1,( );2 ,( );1
1
3
,( );
1
( , ) , , , ,
, , , ,
, , , , , 1,3,
j
j
j j R j
j j
k k kk k
k
R
jm m m m
m R
u r z W r z g W r z g d
h R r z R r z d
H r z f d d j
(33)
де 12 1
1( ) , 22 1
2 ( ) , 3 ( ) 1 .
У рівності (33) беруть участь головні розв'язки еліптичної кра-
йової задачі (24)—(26):
1) породжені крайовою умовою в точці 0r R функції Гріна
1
| |
,( );1
1
,( );1 0 ,( ); 2 1
1 020
11 ,( )
, ,
2
, ,
, 1,3;
,
n z
j
n n
n j n
n
e
W r z
V R V r
R j
V r
(34)
2) породжені крайовою умовою в точці 3r R функції Гріна
| |
,( );3
1
,( );3 3 ,( );
323
22 ,( )
, ,
2
, ,
, 1,3;
,
n z
j
n n
n j n
n
e
W r z
V R V r
j
V r
(35)
Серія: Технічні науки. Випуск 3
113
3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
| |
,( );22,( );1
1
,( );
2
,( )
, , ( )
2
,
, 1, 2, 1,3;
,
n z
j k
nk
n n
j n
n
e
R r z Z
V r
k j
V r
(36)
| |
,( );2
1
,( );
,( );12 2
,( )
( , , )
2
,
, 1, 2, 1,3;
,
n z
j
k
n n
j nk
n
n
e
R r z
V r
Z k j
V r
(37)
4) породжені неоднорідністю системи функції впливу
| |
,( );
1
,( ); ,( );
2
,( )
, , ,
2
, ,
, , 1,3.
,
n z
jm
n n
j n m n
n
e
H r z
V r V
j m
V r
(38)
Задача 2 (квазістатики). Побудувати обмежений в області
1 2 0 1 1 2 2 3 0 3, : 0, ; , , , ; 0,Д t r t r I R R R R R R R R
розв'язок сепаратної системи диференціальних рівнянь параболічного
типу [12]
1
2 21
1 1 1 1 1 0 1, , , ,
u
u a B u f t r r R R
t
2
2 22
2 2 2 , 2 2 1 2, , , ,
u
u a B u f t r r R R
t
(39)
2
2 23 3
3 3 3 3 2 32
, , ,
u u
u a f t r r R R
t r
з початковими умовами
0 1, , 1,3, , ,j t j j ju t r g r j r R R (40)
крайовими умовами
0 3
0 0 3 3
11 11 1 0 22 22 3( , ) ( ), ( , )r R r R Ru t r g t u t r g
r r
(41)
та умовами спряження
Математичне та комп’ютерне моделювання
114
1 1 2 2 1( , ) ( , ) ( ),
, 1, 2.
k
k k k k
j j k j j k jk
r R
u t r u t r t
r r
j k
(42)
Запишемо систему (39) й початкові умови (40) у матричній формі
1
2
2 2
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2 , 2 2 2 2
0
3 3 32
2 2
3 3 32
( , )
( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) , ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( )
( , )
t
a B u t r
t
f t r u t r g r
a B u t r f t r u t r g r
t
f t r u t r g r
a u t r
t r
.
(43)
Застосуємо до задачі (43) за правилом множення матриць опера-
торну матрицю-рядок (28). Внаслідок основної тотожності (23) отри-
муємо задачу Коші
1
3
2 2 2
1
1 2 10 2
11 1 1 ,( );1 0 00
13 2
22 3 3 ,( );3 3
2
,( );12 2 ,( );22 1
1
( ) ( )
, ( )
,
( ),
j j n jn n
j
n
n R
k k
k n k n k n
k
d
k u t f t
dt
a R V R g t
a V R g
h Z Z F t
(44)
3
0 0
1
.n t jn t n
j
u t u t g
(45)
Припустимо, не зменшуючи загальності, що 2 2 2
1 2 3max ; ;
2
2 0. Покладемо всюди 2
2 0k , 2 2 2
1 2 1 0k , 2 2 2
3 2 3 0k .
Рівняння (44) набуде вигляду
2 2
2 ( ) ( ).n n n
d
u t F t
dt
(46)
Розв'язком задачі Коші (46), (45) є функція
2 2 2 2
2 2
0
.n n
t
t t
n n nu t e g e F d
(47)
Введемо до розгляду головні розв'язки параболічної крайової за-
дачі (39)—(42):
Серія: Технічні науки. Випуск 3
115
1) породжені неоднорідністю системи (39) функції впливу
2 2
2 ,( ); ,( );
,( ); 2
1
,( )
, ,
, , ;
( , )
, 1,3,
n t j n k n
jk
n
n
V r V
H t r e
V r
j k
(48)
2) породжені крайовою умовою в точці 0r R функції Гріна
2 2
12 ,( );1 0 ,( ); 2 1( ) 2
,( );1 1 1 0201
11 ,( )
, ,
, ;
,
1,3,
n n j nt
j
n
n
V R V r
W t r e a R
V r
j
(49)
3) породжені крайовою умовою в точці 3r R функції Гріна
2 2
2 ,( );3 3 ,( );( ) 2
,( );3 3 3231
22 ,( )
, ,
, ;
,
1,3,
n n j nt
j
n
n
V R V r
W t r e a
V r
j
(50)
4) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
2 2
2 ,( );
,( );12,( );2 2
1
,( )
,
, ( ) ;
,
1,2, 1,3,
n t j nj k
nk
n
n
V r
R t r e Z
V r
k j
(51)
2 2
2 ,( );
,( );22,( );1 2
1
,( )
,
, ;
,
1, 2, 1,3.
n t j nj k
nk
n
n
V r
R t r e Z
V r
k j
(52)
Застосуємо до матриці-елемента [ ( )]nu t , де функція ( )nu t ви-
значена формулою (47), за правилом множення матриць операторну
матрицю-стовпець (32). У результаті низки елементарних перетво-
рень одержуємо інтегральне зображення єдиного розв'язку параболі-
чної задачі (39)—(42):
1
1
0
,( );1 0 ,( );3
0
2 1
,( ); 1 1 1 1
0
( , ) , ( ) , ( )
, , ( , ) ( ) ( )]
t
j j j R
Rt
j
R
u t r W t r g W t r g d
H t r f g d d
Математичне та комп’ютерне моделювання
116
2
2
1
2 1
,( ); 2 2 2 2
0
, , ( , ) ( ) ( )
Rt
j
R
H t r f g d d
(53)
3
2
,( ); 3 3 3 3
0
2
2 1,( );2 ,( );1
1 0
, , ,
, ( ) , ( ) , 1,3,
Rt
j
R
t
j j
k k kk k
k
H t r f g d d
h R t r R t r d j
де ( )t — дельта-функція, зосереджена в точці 0t [7].
Задача 3 (динаміки). Побудувати обмежений в області 1Д розв'я-
зок сепаратної системи диференціальних рівнянь гіперболічного типу [7]
1
2
2
2 21
1 1 1 , 1 1 0 12
2
2 22
2 2 2 , 2 2 1 22
2 2
2 23 3
3 3 3 3 2 32 2
, , , ,
, , , ,
, , , .
u
u a B u f t r r R R
t
u
u a B u f t r r R R
t
u u
u a f t r r R R
t r
(54)
з початковими умовами
0 0
,
, ( ), ( ), 1,3,j
j t j t j
u t r
u t r r r j
t
(55)
крайовими умовами (41) та умовами спряження (42).
Запишемо систему (54) й початкові умови (55) у матричній формі
1
2
2
2 2
1 1 12
12
2 2
2 2 , 2 22
3
2 2
2 2
3 3 32 2
,
,
, , ,
,
,
a B u t r
t
f t r
a B u t r f t r
t
f t r
a u t r
t r
(56)
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
, ,
, , , .
, 0 , 0
u t r r u t r r
u t r r u t r r
t
u t r t r u t r t r
(57)
Серія: Технічні науки. Випуск 3
117
Припустимо, не зменшуючи загальності, що 2 2 2
1 2 3max ; ;
2
3 0 Покладемо всюди 2 2 2
1 3 1 0k , 2 2 2
2 3 2 0k , 2
3 0k .
Застосуємо до задачі (56), (57) за правилом множення матриць опера-
торну матрицю-рядок (28). Внаслідок основної тотожності (23) маємо
задачу Коші
2
2 2
32
( ) ( )n n n
d
u t F t
dt
, 0 0
( )
( ) , .n
n t n t n
du t
u t
dt
(58)
Безпосередньо перевіряється, що розв'язком задачі Коші (58) є
функція
1/22 2
3
0
sin sin
( )
sin
( ) , .
n n
n n n
n n
t
n
n n n
n
t td
u t
dt
t
F d
(59)
Застосувавши до матриці-елемента [ ( )]nu t , де функція ( )nu t ви-
значена формулою (59), за правилом множення матриць операторну
матрицю-стовпець (32), маємо інтегральне зображення єдиного ана-
літичного розв'язку розглянутої гіперболічної задачі:
1
1
3
*
,( );
10
3
*
,( );
1
,( );1 0 ,( );3
0
2 1,( );2 ,( );1
,
, , ,
, ,
, ,
, ,
m
m
m
m
j
Rt
jm m m m m
m R
R
jm m m m
m R
t
j j R
j j
k k kk k
u t r
H t r f d d
H t r d
t
W t r g W t r g d
h R t r R t r d
2
1 0
, 1,3.
t
k
j
(60)
У рівностях (60) беруть участь функції 12 1*
1 ( )r r ,
22 1*
2 ( )r r , *
3 ( ) 1r та головні розв'язки задачі: функції впливу
,( ); ( , , )jmH t r , функції Гріна ,( );1 ( , )jW t r , ,( );3 ( , )jW t r та функції
Гріна ,( ); ( , )j
ikR t r , визначені формулами (48)—(52), в яких функція
2 2
2exp[ ( ) ]n t замінена на функцію 1 sinn nt , 2 2
3n n .
Математичне та комп’ютерне моделювання
118
Зауважимо, що наведені задачі статики, квазістатики й динаміки
поліпараметричні. Це дає можливість безпосередньо із загальних
структур виділяти необхідні практично важливі випадки (у рамках
розглянутої моделі).
Висновки. Запроваджено гібридне інтегральне перетворення,
породжене на сегменті 0 3,R R полярної осі з двома точками спря-
ження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-
Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є. Одержано інтегральні зображення
точних аналітичних розв’язків задач статики, квазістатики та динамі-
ки в кусково-однорідних середовищах.
Список використаних джерел:
1. Подстригач Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Под-
стригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. — М. : Наука, 1984. — 368 с.
2. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного
тела / Ю. М. Коляно. — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с.
3. Ленюк М. П. Температурні поля в плоских кусково-однорідних ортотропних
областях / М. П. Ленюк. — К. : Ін-т математики НАН України, 1997. — 188 с.
4. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в ортотропних
сферичних областях / І. М. Конет. — К. : Ін-т математики НАН України,
1998. — 209 с.
5. Конет І. М. Температурні поля в кусково-однорідних циліндричних обла-
стях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2004. — 276 с.
6. Комаров Г. М. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені ди-
ференціальними рівняннями другого порядку / Г. М. Комаров, М. П. Ленюк,
В. В. Мороз. — Чернівці : Прут, 2001. — 228 с.
7. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс /
Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
8. Ленюк М. П., Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва /
М. П. Ленюк, Г. І. Міхалевська. — Чернівці : Прут, 2002. — 280 с.
9. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного
волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с.
10. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. :
Физматгиз,1959. — 468 с.
11. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. — 432 с.
12. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с.
The scinchenne hybrid integral transformation generated on the seg-
ment of arctic axis with two points of interface by a hybrid differential op-
erator (Contorovicha-Lebedeva-Besselya-Four'e) is inculcated. The
integral image of analytical decision of the proper tasks of statics, cvazista-
tici and dynamics is got.
Key words: hybrid differential operator, Cauchy functions, main solutions,
hybrid integral transform, influence functions, basic identity, logical chart.
Отримано: 3.06.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18773 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0060 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:14:46Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Конет, І.М. Ленюк, М.П. 2011-04-09T20:49:36Z 2011-04-09T20:49:36Z 2010 Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 103-118. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18773 517.91:532.2 Запроваджено скінченне гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті полярної осі з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є. Одержано інтегральне зображення аналітичного розв'язку відповідних задач статики, квазістатики та динаміки. The scinchenne hybrid integral transformation generated on the segment of arctic axis with two points of interface by a hybrid differential operator (Contorovicha-Lebedeva-Besselya-Four'e) is inculcated. The integral image of analytical decision of the proper tasks of statics, cvazistatici and dynamics is got. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування Article published earlier |
| spellingShingle | Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування Конет, І.М. Ленюк, М.П. |
| title | Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування |
| title_full | Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування |
| title_fullStr | Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування |
| title_full_unstemmed | Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування |
| title_short | Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва) — Бесселя — Фур'є та їх застосування |
| title_sort | скінченні гібридні інтегральні перетворення типу (конторовича-лєбєдєва) — бесселя — фур'є та їх застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18773 |
| work_keys_str_mv | AT konetím skínčennígíbridnííntegralʹníperetvorennâtipukontorovičalêbêdêvabesselâfurêtaíhzastosuvannâ AT lenûkmp skínčennígíbridnííntegralʹníperetvorennâtipukontorovičalêbêdêvabesselâfurêtaíhzastosuvannâ |