Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I
Настоящая обзорная статья посвящена краткому описанию и соответствующему анализу основных результатов по неклассическим проблемам механики разрушения, полученных автором статьи и его учениками за последние 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАН...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2019
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188095 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I / А.Н. Гузь // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 2. — С. 8-72. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188095 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1880952025-02-09T10:14:42Z Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I Nonclassical Problems of Fracture Mechanics: to Fiftieth Anniversary of Studies (review). I Гузь, А.Н. Настоящая обзорная статья посвящена краткому описанию и соответствующему анализу основных результатов по неклассическим проблемам механики разрушения, полученных автором статьи и его учениками за последние 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ. Оглядова стаття присвячена короткому опису та відповідному аналізу основних результатів по некласичним проблемам механіки руйнування, які одержані автором статті та його учнями за останні 50 років у відділі динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАНУ. An analysis of main results on investigation of some nonclassical problems of fracture and failure mechanics is considered. Results under consideration were obtained by author and his pupils in the department of dynamics and stability of continuum of the S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of the National academy of sciences of Ukraine (NASU) during last 50 years. 2019 Article Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I / А.Н. Гузь // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 2. — С. 8-72. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188095 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Настоящая обзорная статья посвящена краткому описанию и соответствующему анализу основных результатов по неклассическим проблемам механики разрушения, полученных автором статьи и его учениками за последние 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ. |
| format |
Article |
| author |
Гузь, А.Н. |
| spellingShingle |
Гузь, А.Н. Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I Прикладная механика |
| author_facet |
Гузь, А.Н. |
| author_sort |
Гузь, А.Н. |
| title |
Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I |
| title_short |
Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I |
| title_full |
Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I |
| title_fullStr |
Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I |
| title_full_unstemmed |
Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I |
| title_sort |
неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). i |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2019 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188095 |
| citation_txt |
Неклассические проблемы механики разрушения: к 50-летию исследований (обзор). I / А.Н. Гузь // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 2. — С. 8-72. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT guzʹan neklassičeskieproblemymehanikirazrušeniâk50letiûissledovanijobzori AT guzʹan nonclassicalproblemsoffracturemechanicstofiftiethanniversaryofstudiesreviewi |
| first_indexed |
2025-11-25T19:47:11Z |
| last_indexed |
2025-11-25T19:47:11Z |
| _version_ |
1849792989086351360 |
| fulltext |
2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 2
8 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 2
А . Н . Г у з ь
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ:
К 50-ЛЕТИЮ ИССЛЕДОВАНИЙ (ОБЗОР). I.
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. П.Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: guz@carrier.kiev.ua
Abstract. An analysis of main results on investigation of some nonclassical problems of
fracture and failure mechanics is considered. Results under consideration were obtained by au-
thor and his pupils in the department of dynamics and stability of continuum of the
S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of the National academy of sciences of Ukraine (NASU)
during last 50 years.
Nonclassical problems of fracture and failure mechanics are defined as ones in which the
approaches and criteria of classical fracture and failure mechanics are inapplicable. Distinguish-
ing feature of results of author and his pupils is application of the 3D (three-dimensional) theo-
ries of stability, dynamics and statics of solid mechanics to investigation of nonclassical prob-
lems of fracture and failure mechanics. Vast majority of others authors practises various approx-
imate theories of shells, plates and rods and others approximate approaches to investigation of
nonclassical problems of fracture and failure mechanics.
Main scientific results in the eight nonclassical problems of fracture and failure mechanics
obtained in the framework of above mentioned approach (3D theories of solid mechanics) are
presented in very short form. Principal attention is directed to problems statement with the analy-
sis of corresponding experiments, development of the method of solution in the framework of
approach under consideration and discussion of final results. In view of it the mathematical as-
pect of methods of solution under consideration and their computer-aided realization are not dis-
cussed in this review paper, information on this subject is presented as annotation in short form.
Next eight nonclassical problems of fracture and failure mechanics (results of author and his
pupils) are considered in this review paper:
the first problem – fracture of composites compressed along reinforcing elements;
the second problem – model of short fibers in stability and fracture of composites under
compression;
the third problem – end-crush fracture of composites under compression along reinforcing
elements;
the fourth problem – brittle fracture of cracked materials with initial (residual) stresses acting
along cracks;
the fifth problem – separation into slender parts of composites under tension or compression
along reinforcing elements;
the sixth problem − fracture of materials under compression along parallel cracks;
the seventh problem – brittle fracture of cracked materials under dynamical loads (with con-
tact interaction of crack faces);
the eighth problem – fracture of thin-walled cracked bodies under tension with prebuckling.
About 523 monographs and main papers published by author and his pupils on the eight
nonclassical problems of fracture and failure mechanics under consideration are included in the
list of literature to this review paper.
The total review paper includes three parts. The first part has a subtitle: General problems;
this part is publishing in the journal «Prikladnaya Mekhanika» (55, № 2, 2019). The second part
has a subtitle: Compressive failure of composite materials. The third part has a subtitle: Others
nonclassical problems of fracture mechanics.
Key words: nonclassical problems of fracture and failure mechanics; investigation during
last 50 years; author and his pupils; S.P.Timoshenko Institute of Mechanics; department of dy-
namics and stability of continuum.
9
Предисловие.
Настоящая обзорная статья посвящена краткому описанию и соответствующему
анализу основных результатов по неклассическим проблемам механики разрушения,
полученных автором статьи и его учениками за последние 50 лет в отделе динамики и
устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ.
Обсуждаемая обзорная статья разделана на три части. Первая часть имеет подза-
головок «Общие вопросы» и публикуется в журнале «Прикладная механика» (55, № 2,
2019); в первую часть включены Введение и §§1 и 2. Вторая часть имеет подзаголовок
«Разрушение композитных материалов при сжатии»; во вторую часть включены
§§3 – 5. Третья часть имеет подзаголовок «Другие неклассические проблемы меха-
ники разрушения»; в третью часть включены §§6 – 10 и список литературы, который
является общим для всех трех частей.
Во всей обзорной статье (§§1 – 10) для всех формул, рисунков, Примечаний и
Таблиц принята двойная нумерация (в пределах каждого параграфа); при этом первый
номер соответствует номеру параграфа и второй номер (после точки) соответствует
номеру объекта в пределах рассматриваемого параграфа. Таким образом, можно рас-
сматривать результаты каждого параграфа практически независимо от других пара-
графов, ориентируясь на список литературы, который является общим для всей статьи
и который представлен в третьей части статьи.
1. Введение.
В настоящее время повсеместно признано, что фундаментальная работа A.A.Griffith
[276] за 1920 г. определила начало нового научного направления в естествознании и
технике – механику разрушения, которая является одним из наиболее активно разра-
батываемых направлений фундаментального и прикладного характера в механике во
второй половине ХХ века и в начале ХХI века. Обсуждаемое направление по актуаль-
ности, фундаментальности и приложимости к инженерному делу в механике в наше
время может быть сравнимо, по-видимому, лишь с механикой композитов. Подтвер-
ждением вышеизложенному соображению может служить тот факт, что в середине
второй половины ХХ века созданы две восьмитомные коллективные фундаментальные
монографии энциклопедического характера: монография [127] посвящена проблемам
композитных материалов, в том числе и механике композитов; монография [160] по-
священа проблемам разрушения материалов, в том числе и механике разрушения.
За почти 100-летнее развитие механики разрушения в многочисленных научных
центрах различных государств всего мира, начиная с 1920 г., исследованы и в насто-
ящее время активно рассматриваются различные проблемы механики разрушения; по
результатам исследований опубликованы сотни монографий и десятки тысяч статей.
Следует отметить, что исследуемые проблемы механики разрушения можно разде-
лить на классические и неклассические проблемы; при этом в настоящее время клас-
сические проблемы механики разрушения уже сравнительно подробно исследованы и
разработаны, что вызвало у ряда ученых соображение о назревшем кризисе в обсуж-
даемом научном направлении, а неклассические проблемы механики разрушения
остались сравнительно недостаточно исследованными и разработанными, что, по-
видимому, сохранится и в ближайшие годы в силу многочисленности отмеченных
проблем. При кратком рассмотрении неклассические проблемы механики разрушения
можно определить как проблемы, к анализу и исследованию которых неприменимы
подходы и критерии классических проблем механики разрушения; более подробно и
последовательно вопрос о разделении проблем механики разрушения на классические
и неклассические проблемы рассмотрен в §1 настоящей обзорной статьи.
В отделе динамики и устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Ти-
мошенко Национальной академии наук Украины (НАНУ) уже более 50 лет автор
настоящей обзорной статьи вместе с учениками занимаются исследованием ряда не-
классических проблем механики разрушения. Первыми публикациями в этом научном
направлении были статьи [25, 26] автора за 1969 г., относящиеся к одной из некласси-
ческих проблем механики разрушения, хотя результаты статьи [26] были фактически
опубликованы в статье [278] за 1967 г. применительно к ортотропному упругому телу,
которым в континуальном приближении моделируется композитный материал.
10
В последующие 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред активно
занимались исследованием ряда неклассических проблем механики разрушения; ос-
новные результаты были получены по восьми неклассическим проблемам механики
разрушения, которые в краткой форме перечислены в §1 настоящей обзорной статьи.
В связи с вышеизложенным предлагаемая читателям обзорная статья посвящена до-
статочно краткому анализу обсуждаемых результатов; причем статья подготовлена с
учетом соображений по стилю представления материала, которые изложены ниже в
настоящем Введении. Целесообразно отметить, что в список литературы к настоящей
обзорной статье включены около 523 монографий и основных публикаций в научных
журналах и в трудах международных конференций, опубликованных автором статьи
и его учениками; кроме того, по полученным результатам защищены 14 диссертаций
на степень доктора физико-математических или технических наук (DSc). Таким образом,
можно считать, что сравнительно краткий стиль изложения и обсуждения результатов,
полученных в отделе динамики и устойчивости сплошных сред, частично предопреде-
лен вышеуказанным количеством публикаций и защищенных докторских диссертаций.
Кроме того, как представляется автору, результаты по неклассическим проблемам
механики разрушения, представленные в научных статьях и монографиях, в силу тра-
диционных соображений о стиле изложения научных результатов фундаментального
характера в механике изложены в форме, которая хорошо воспринимается представи-
телями отдельных научных направлений и не всегда является достаточно информа-
тивной для широкого круга специалистов по проблемам разрушения. Следует отме-
тить, что проблемами разрушения занимаются представители различных научных
направлений, включая механику, физику, материаловедение и т.д., а также представи-
тели многочисленных научно-технических направлений, занимающихся разработкой
различных аспектов инженерного дела. В связи с этим, по-видимому, весьма актуаль-
ным вопросом является представление результатов по неклассическим проблемам
механики разрушения в форме, которая была бы достаточно информативной для ши-
рокого круга специалистов, интересующихся различными фундаментальными и при-
кладными аспектами проблемы разрушения. В то же время вышеотмеченное пред-
ставление должно включать основные аспекты рассматриваемых проблем (неклас-
сичность рассматриваемых механизмов разрушения, строгость описания, анализ ос-
новных подходов и полученных результатов, описание новых эффектов механическо-
го характера и т.д.). Вполне очевидно, что при попытке реализации вышеуказанного
стиля изложения результатов по неклассическим проблемам механики разрушения
необходимо отказаться от подробной информации по сугубо математическим аспек-
там методов решения и от чрезмерной насыщенности конкретными результатами в
виде многочисленных графиков и таблиц.
Таким образом, цель настоящей обзорной статьи можно определить следующим
образом – краткое описание и соответствующий анализ основных результатов по
неклассическим проблемам механики разрушения, полученных автором статьи и его
учениками за последние 50 лет в отделе динамики и устойчивости сплошных сред
Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, с привлечением вышеотмеченного
стиля написания обзорных статей. В этом случае основное внимание уделяется по-
становке задач с анализом соответствующих экспериментов, разработке метода реше-
ния при рассматриваемом подходе и обсуждению конечных результатов; в связи с
этим математические аспекты рассматриваемых методов решения и их компьютерная
реализация не обсуждаются в настоящей обзорной статье, информация об этих вопро-
сах представлена в краткой форме в виде аннотаций.
Стремление подготовить обзорные статьи по неклассическим проблемам механи-
ки разрушения, основываясь на результатах автора и его учеников и придерживаясь
вышеуказанного стиля обзорных статей, сформировалось при подготовке заказного
доклада [318] для симпозиума IUTAM (Cambridge, UK, 1995 г.), при подготовке ста-
тьи [325] для энциклопедии по разрушению [273] (USA, 1998 г.), при чтении лекций в
Yildiz Technical University (Стамбул, март 1998 г.) и в Институте механики (Ханой,
декабрь 1998 г.) и при докладе на семинаре в University of Technology (Вена, декабрь
1999 г.). Вышеуказанный подход был частично реализован в лекциях [329], которые
можно считать началом работы по формированию обзорных статей по неклассиче-
ским проблемам механики разрушения (в основном, по публикациям автора и его
учеников) в рамках вышеуказанного стиля подготовки обзорных статей.
11
В последующие годы с учетом принятого стиля подготовки обзорных статей бы-
ли подготовлены и опубликованы обзорные статьи по неклассическим проблемам
механики разрушения (в основном по работам автора и его учеников), например,
[336] в 2000 г., [350] в 2009 г. и [59] в 2014 г., а также ряд других. Причем статья [350]
в виде ее сокращенного варианта [347] была также опубликована в журнале «AN-
NALS. THE EUROPEAN ACADEMY OF SCIENCES» в связи с награждением автора
медалью (the 2007 BLAISE PASCAL MEDAL in Materials Sciences of the EAS). Таким
образом, статья [347] может рассматриваться как расширенная PASCAL MEDAL
LECTURE, обычно принятая Pascal Medals Lecture (written presentation) опубликована
[349] в журнале «Прикладная механика».
Все же необходимо отметить, что обзорные вышеуказанные статьи [336, 350, 59,
347] по неклассическим проблемам механики разрушения, хотя и подготовлены в
рамках обсуждаемого стиля обзорных статей, но относятся или к отдельным неклас-
сическим проблемам, или к меньшему периоду времени. В связи с этим публикацию
настоящей обзорной статьи по неклассическим проблемам механики разрушения (в
основном по результатам автора и его учеников за последние 50 лет), подготовлен-
ную в соответствии с обсуждаемым стилем, можно считать вполне целесообразной;
безусловно при подготовке настоящей статьи были также использованы обзорные
статьи [336, 350, 59, 347] и ряд других.
Примечание. В настоящей обзорной статье лишь §2 не соответствует обсуждае-
мому стилю изложения результатов. Так, в §2 изложен математический аппарат трех-
мерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел в весьма крат-
кой форме с учетом основных соотношений. Указанное исключение связано с тем,
что в пяти проблемах (1, 2, 3, 4 и 6) из восьми рассматриваемых в настоящей статье
проблем применяется трехмерная линеаризированная теория устойчивости деформи-
руемых тел. В то же время указанная теория устойчивости является менее известной и
менее широко применяемой по сравнению с другими разделами механики деформи-
руемых тел.
Дополнительно отметим некоторые особенности терминологии, которая исполь-
зуется в механике применительно к исследованию явлений разрушения материалов и
элементов конструкций. Под «fracture» понимается разрушение, которое определяется
распространением одной или нескольких трещин; при этом «fracture mechanics» зани-
мается исследованием разрушения материалов или элементов конструкций, которое
также определяется распространением одной или нескольких трещин. Под «failure»
понимается разрушение, которое определяется исчерпанием несущей способности
материала или элемента конструкции и, в основном, проявляется не только в распро-
странении одиночных трещин; при этом «failure mechanics» занимается исследовани-
ем разрушения материалов и элементов конструкций, которое также определяется
исчерпанием несущей способности материалов и элементов конструкций и проявля-
ется, в основном, не только в распространении одиночных трещин. Под «damage»
понимается разрушение, которое проявляется в накоплении повреждений в виде диф-
фузно расположенных развивающихся или зарождающихся трещин или других по-
вреждений; при этом «damage mechanics» занимается исследованием закономерностей
(кинетики) накопления повреждений, в основном, в рамках различных континуальных
представлений с привлечением определенным образом выбранного «damage
indicator». Безусловно, вышеизложенная классификация является достаточно услов-
ной и в то же время достаточно полезной и информативной, с точки зрения автора
настоящей статьи, при анализе различных результатов в механике разрушения в ши-
роком смысле этого термина. Так, например, результаты по неклассическим пробле-
мам механики разрушения материалов, которые анализируются в настоящей обзорной
статье, относятся к fracture mechanics и к failure mechanics, которые в тексте статьи
разделять не будем.
Целесообразно подчеркнуть, что научные результаты по неклассическим пробле-
мам механики разрушения, полученные за последние 50 лет в отделе динамики и
устойчивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко Национальной
академии наук Украины (НАНУ), краткий анализ которых при выбранном стиле из-
ложения приведен в настоящей обзорной статье, по-видимому, в достаточной мере
представлены мировому научному сообществу. Подтверждением вышеуказанного
12
соображения являются сведения, которые можно получить при анализе списка лите-
ратуры к настоящей обзорной статье; как уже отмечалось в настоящем Введении, в
список литературы входит 523 монографии и основные публикации в научных жур-
налах и в трудах международных конференций, принадлежащих автору статьи и его
ученикам. Из анализа указанных публикаций следуют три вывода.
1. Из отмеченных 523 публикаций 38 статей опубликовано в журнале «ДАН
СССР», который переводился на английский язык и был одним из самых авторитет-
ных научных журналов.
2. Из отмеченных 523 публикаций 320 статей опубликовано в англоязычных
научных журналах.
3. Из отмеченных 523 публикаций 53 сообщения опубликовано в трудах между-
народных конгрессов, конференций и симпозиумов, которые соответствуют докладам
на этих международных форумах.
Сведения, изложенные в настоящем Введении, относятся ко всем рассматривае-
мым восьми неклассическим проблемам механики разрушения, что дает возможность
избежать определенного повторения применительно к каждой проблеме.
§1. Разделение на классические и неклассические проблемы механики раз-
рушения.
В настоящем параграфе в сравнительно последовательной и четкой форме пред-
ставлено разделение проблем механики разрушения на классические и неклассиче-
ские проблемы, достаточно кратко сформулированы восемь неклассических проблем
механики разрушения (предмет исследований в отделе динамики и устойчивости
сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ) и приведены приме-
ры исследований ситуаций, которые не могут быть отнесены к неклассическим про-
блемам механики разрушения. Следует отметить, что исследование неклассических
проблем механики разрушения требует и развитие не только новых подходов и крите-
риев разрушения, но и разработку новых методов исследования; в случае же приме-
нения методов исследования, характерных для классических проблем механики, мож-
но получить физически некорректные результаты, что обсуждено в статье [351].
Целесообразно также отметить, что рассматриваемая в настоящем параграфе
классификация проблем механики разрушения с четким выделением классических и
неклассических проблем, по-видимому, впервые была опубликована в 1990 г. и изло-
жена во Введении в 4-х томную (в 5-и книгах) монографию [154], которая посвящена
изложению результатов по неклассическим проблемам механики разрушения, полу-
ченным на то время в Институте механики им. С.П.Тимошенко НАНУ; отмеченное
Введение относится ко всей коллективной монографии и помещено в т. 1.
1.1. Классические проблемы механики разрушения. В настоящее время, по-
видимому, можно считать, что в механике разрушения (в широком смысле) определи-
лись основные концепции и подходы к формулировке критериев разрушения. К ос-
новным концепциям и подходам в механике разрушения (в широком смысле) можно
отнести следующие результаты.
1. Фундаментальная теория хрупкого разрушения Гриффитса [276].
2. Концепция квазихрупкого разрушения (Ирвин, Орован и другие).
3. Энергетический критерий разрушения Гриффитса [276] или эквивалентный ему
(но более легко реализуемый) силовой критерий Ирвина [496, 497].
4. Концепция не зависящего от контура интегрирования интеграла (J-интеграл, Г-
интеграл, Эшелби [272], Черепанов [172, 173], Райс [550]).
5. Критерий критического раскрытия трещин.
Вышеуказанные концепции и подходы предполагают, что определенные условия
выполняются или реализуются при определенных условиях, к которым можно отне-
сти следующие условия.
Условие 1. Растяжение или сдвиг возникает в окрестности трещин, при этом ис-
ключается действие сжатия.
Условие 2. В процессе деформирования тела с трещинами не возникают резкие
изменения конфигурации тела (например, явление потери устойчивости не предше-
ствует явлению разрушения тела с трещинами).
13
Условие 3. В процессе деформирования тела с трещинами не возникают резкие
изменения характера деформирования до разрушения (например, отсутствует измене-
ние граничных условий в процессе деформирования).
Необходимо отметить, что вышеуказанное Условие 1 является принципиаль-
ным, так как в случае сжатия вдоль трещин все вышеизложенные концепции и
подходы не работают.
В ситуации, соответствующей Условию 2, все вышеизложенные концепции и под-
ходы могут работать, но предварительно необходимо исследовать напряженно-дефор-
мированное состояние с учетом резкого изменения конфигурации тела в процессе
деформирования. В настоящее время в подавляющем большинстве исследований по
механике разрушения (в широком смысле) вышеуказанный анализ не проводится.
В ситуации, соответствующей Условию 3, все вышеизложенные концепции и под-
ходы могут работать, но предварительно необходимо исследовать напряженно-дефор-
мированное состояние тела с учетом резкого изменения характера деформирования до
разрушения (например, с учетом изменения граничных условий в процессе деформи-
рования). В настоящее время в подавляющем большинстве исследований по механике
вышеуказанный анализ не проводится.
Учитывая вышеизложенные соображения, указанные результаты и проблемы, со-
ответствующие отмеченным пяти концепциям или подходам и полученные при вы-
полнении Условий 1 – 3, можно рассматривать как классические проблемы механики
разрушения, к которым можно отнести в настоящее время следующие исследования.
1. Определение коэффициентов интенсивности напряжений для тел сложной
формы, содержащих трещины, при различных силовых, тепловых и электромагнит-
ных воздействиях. При этом для получения указанных результатов применяются ана-
литические, численные (с привлечением компьютеров), экспериментальные и экспе-
риментально-теоретические методы. Результаты этих исследований (коэффициенты
интенсивности напряжений) совместно с отмеченными критериями разрушения дают
необходимую информацию о разрушении материалов и элементов конструкций в тех
случаях, когда применимы эти критерии разрушения.
2. Экспериментальное исследование сложных случаев разрушения материалов и
элементов конструкций, заканчивающееся в большинстве случаев результатами опи-
сательного характера без должного анализа и попыток формулировки новых критери-
ев разрушения, соответствующих рассматриваемым явлениям.
Следует отметить, что в настоящее время подавляющее число публикаций отно-
сится к классическим проблемам механики разрушения в указанном выше смысле.
По-видимому, в связи с отмеченной ситуацией многие ученые пришли к выводу о
существовании идейного кризиса в механике разрушения на современном этапе ее
развития. Также следует отметить, что второе направление в классических проблемах
механики может служить первым этапом в исследованиях неклассических проблем
механики разрушения.
1.2. Неклассические проблемы механики разрушения. К неклассическим про-
блемам механики разрушения можно условно отнести следующие исследования.
1. Изучение новых механизмов разрушения, которые не описываются в рамках
основных пяти вышеуказанных концепций и подходов (с учетом выполнения Условий
1 – 3), при надлежащем анализе и попытке формулировки новых критериев разруше-
ния, соответствующих рассматриваемым явлениям.
2. Исследование отдельных классов задач для материалов и элементов конструк-
ций применительно к изучаемым новым механизмам разрушения и с привлечением
соответствующих специально сформулированных критериев разрушения.
Как уже отмечалось, изложенная выше классификация (разделение на классические
и неклассические проблемы) является достаточно условной и не всегда однозначной.
Все же эта классификация сравнительно четко определяет направленность исследова-
ний и форму их новизны, что представляется весьма существенным при анализе резуль-
татов исследований. Также следует отметить, что число механизмов разрушения суще-
ственно расширяется при учете микроструктуры материалов на различном уровне ее
описания. Эта особенность, прежде всего, относится к механике разрушения компози-
тов, для которых характерным является учет микроструктуры на различных уровнях.
14
Для ученых, занимающихся исследованием неклассических проблем и механиз-
мов разрушения, является характерным применение весьма приближенных расчетных
схем и моделей; в случае композитных материалов такие приближенные расчетные
схемы и модели применяются для анализа разрушения в микроструктуре композитов.
Применение приближенных расчетных схем и моделей приводит к существенным
количественным погрешностям, а во многих случаях и к качественным отличиям;
следовательно, при помощи приближенных схем и моделей весьма затруднительно
выполнить надежный анализ неклассических проблем и механизмов разрушения. От-
меченная ситуация определяет существенное значение результатов по исследованию
неклассических проблем и механизмов разрушения, которые получены при достаточ-
но строгих расчетных схемах и моделях.
Как уже отмечалось во вводной части настоящего параграфа, вышеизложенное раз-
деление (пп. 1.1 и 1.2) проблем механики разрушения на классические и неклассические
было изложено во Введении в 4-х томную (в 5-и книгах) коллективную монографию
[154], которое помещено в т. 1 этой монографии. В последующие годы обсуждаемое
выделение классических и неклассических проблем механики разрушения без суще-
ственного изменения включалось в обзорные статьи [336, 350, 59, 347] и ряд других.
1.3. Восемь неклассических проблем механики разрушения. В последние 50
лет сотрудники отдела динамики и устойчивости сплошных сред Института механики
им. С.П.Тимошенко НАНУ, наряду с другими исследованиями, проводят исследова-
ния по восьми неклассическим проблемам механики разрушения. Ниже (в настоящем
п. 1.3) кратко сформулируем обсуждаемые проблемы с указанием явлений, соответ-
ствующих этим проблемам; в последующих параграфах (§§3 – 10) настоящей статьи
каждая из восьми неклассических проблем будет рассмотрена в отдельном параграфе
с четким указанием результатов, полученных сотрудниками отдела динамики и
устойчивости сплошных сред.
Проблема 1. Разрушение в композитных материалах при сжатии вдоль армиру-
ющих элементов. При экспериментальных исследованиях в ряде научных центров
различных стран мира было доказано, что в обсуждаемой ситуации разрушение в
композитных материалах (начало или старт разрушения) может определяться потерей
устойчивости состояния равновесия в структуре композита, что является общей кон-
цепцией в рассматриваемой проблеме. При общей концепции для исследования
устойчивости и, следовательно, разрушения при сжатии композитных материалов
разработано два подхода.
Первый подход основан на применении различных приближенных теорий стерж-
ней, пластин и оболочек, а также других приближенных расчетных схем; в силу
сложности анализируемого явления такой подход, по-видимому, не может привести к
достоверным результатам.
Второй подход основан на применении трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел, построенной с обычно принятой в механике точ-
ностью; результаты в рамках второго подхода принадлежат, в основном, автору ста-
тьи и его ученикам.
Проблема 2. Модель коротких волокон в теории устойчивости и в механике раз-
рушения композитных материалов при сжатии. Композитные материалы создаются
как со сравнительно длинными (предмет рассмотрения Проблемы 1), так и с доста-
точно короткими волокнами (армирующими элементами). При экспериментальных
исследованиях в случае композитных материалов с короткими волокнами при сжатии
вдоль волокон было обнаружено явление потери устойчивости в структуре композит-
ного материала с формами потери устойчивости, которые не являются периодически-
ми вдоль оси волокна и которые характерны для коротких волокон в матрице. Теория
устойчивости в рассматриваемом случае при сжатии и соответствующая механика
хрупкого разрушения были развиты с применением трехмерной линеаризированной
теории устойчивости упругих тел, построенной с обычно принятой в механике точно-
стью; основные результаты получены автором статьи и его учениками, включая и ре-
зультаты в рамках плоской задачи для композитов различной структуры.
15
Проблема 3. Разрушение в виде смятия торцов при сжатии композитных мате-
риалов. В механике элементов конструкций известно явление смятия торцов элемента
конструкции при сжатии вдоль армирующих элементов, когда происходит разруше-
ние только вблизи торцов. С привлечением трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел построены основы механики разрушения в виде
смятия торцов при сжатии вдоль армирующих элементов. Обсуждаемый механизм
разрушения описан явлением приповерхностной неустойчивости загруженных торцов
композитного материала, когда форма потери устойчивости затухает при удалении от
торцов. Основные результаты (применительно к плоской и пространственной зада-
чам) получены автором статьи и его учениками.
Проблема 4. Хрупкое разрушение материалов с трещинами с учетом действия
начальных (остаточных) напряжений вдоль трещин. Обсуждаемая механика хрупко-
го разрушения относится к изотропным материалам и ортотропным материалам, при
этом композитные материалы моделируются в континуальном приближении орто-
тропными материалами; в случае ортотропных материалов предполагается, что тре-
щины расположены в плоскостях симметрии свойств материала. В вышеизложенной
ситуации механика хрупкого разрушения таких материалов не может быть построена
с привлечением основных соотношений классической линейной теории упругости,
так как в сингулярную часть известного решения Инглиса – Мусхелишвили для мате-
риала с трещиной не входят начальные (остаточные) напряжения, действующие вдоль
трещин. В связи с этим для построения механики хрупкого разрушения материалов с
трещинами с учетом действия начальных (остаточных) напряжений вдоль трещин
привлечена трехмерная линеаризированная теория упругости при конечных (больших)
и малых начальных деформациях. При указанном подходе построены основы механи-
ки хрупкого разрушения материалов с трещинами с учетом действия начальных
(остаточных) напряжений вдоль трещин, включая формулировку основных соотно-
шений и критерия разрушения, а также разработку методов решения и исследование
основных задач. Результаты, в основном, получены автором статьи и его учениками.
Проблема 5. Хрупкое разрушение в виде «размочаливания» при растяжении или
сжатии композитных материалов вдоль армирующих элементов. Под «размочалива-
нием» в рассматриваемом случае понимается разделение на отдельные удлиненные
(вдоль армирующих элементов) части. В статьях [347, 350] на английском языке рас-
сматриваемая проблема имеет название «Shredding fracture of composites stretched or
compressed along the reinforcing elements», где «shredding» имеет смысл «измельча-
ние». Поскольку в обсуждаемом виде разрушения фактически происходит разделение
(вдоль армирующих элементов, вдоль линии действия растяжения или сжатия) ком-
позита на отдельные достаточно удлиненные (сравнимые с длиной образца) части, то
в abstract настоящей статьи применено более точное название настоящей проблемы
«separation into slender parts of composites under tension or compression along reinforcing
elements». В исследованиях предложена модель причины обсуждаемого явления раз-
рушения композита при растяжении или сжатии – наличие периодических искривлений
во внутренней структуре композита, так как наличие указанных периодических ис-
кривлений приводит к возникновению разрывающих нормальных или касательных
напряжений на границе раздела сред (on interface), которые являются одинаковыми по
величине как при растяжении, так и при сжатии равными по величине внешними
нагрузками. В связи с вышеизложенным в исследованиях развита статика композитов
с внутренними искривлениями. Основные результаты принадлежат, по-видимому,
автору статьи и его ученикам и последователям.
Проблема 6. Разрушение при сжатии вдоль параллельных трещин. Рассматрива-
емая проблема относится к металлам, сплавам, композитам и другим материалам, ко-
торые в континуальном приближении моделируются изотропными или ортотропными
телами; в случае ортотропных материалов принимается, что плоские трещины распо-
ложены в плоскостях симметрии свойств материалов. В обсуждаемой ситуации при
сжатии вдоль системы плоских трещин, лежащих в параллельных плоскостях, для
любых линейных и нелинейных моделей деформируемых тел (с учетом упругих, пла-
стических и вязких деформаций) все три коэффициента интенсивности напряжений
равны нулю (в силу симметрии свойств материала и условий нагружения). В связи с
16
вышеизложенным в обсуждаемой ситуации все пять основных подходов классической
механики разрушения, изложенные в п. 1.1 настоящего параграфа, не работают. Об-
суждаемая же ситуация (наличие трещин в параллельных плоскостях) вполне реали-
стична для конструкционных материалов, в частности для композиционных материа-
лов, поскольку для композитов характерным является наличие параллельных поверх-
ностей раздела свойств наполнителя и связующего, в которых наблюдается наличие
различных видов нарушения адгезии, в том числе и наличие трещин.
Учитывая вышеизложенное, в Проблеме 6 принята общая концепция – начало
(старт) разрушения определяется достижением сжимающими нагрузками значений,
соответствующих локальной потере устойчивости состояния равновесия возле тре-
щин. В рассматриваемой Проблеме 6, как и в Проблеме 1, с учетом вышеуказанной
общей концепции для исследования устойчивости и, следовательно, разрушения при
сжатии материалов с системой параллельных трещин разработано два подхода.
Первый подход основан на применении различных приближенных теорий стерж-
ней, пластин и оболочек, а также других приближенных схем; в силу сложности ана-
лизируемого явления такой подход, по-видимому, не может привести к достоверным
результатам.
Второй подход основан на применении трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел, построенной с обычно принятой в механике точ-
ностью; в связи с этим второй подход позволяет получить достоверные результаты
даже в случаях, когда первый подход неприменим. Результаты в рамках второго под-
хода принадлежат, в основном, автору статьи и его ученикам и последователям.
Проблема 7. Хрупкое разрушение материалов с трещинами при действии дина-
мических нагрузок (с учетом контактного взаимодействия берегов трещин). В об-
суждаемой проблеме для материала применяется модель линейно-упругого изотроп-
ного тела и трещины, как и в других проблемах механики разрушения, моделируются
математическими разрезами, которые не имеют толщины. В указанной ситуации рас-
пределение напряжений и перемещений вблизи трещин формируется падающими и
отраженными упругими волнами, которые возникают при действии внешних динами-
ческих нагрузок.
При действии на берега трещин нагрузок, определяющихся распространяющими-
ся упругими волнами, возникают перемещения берегов трещин, которые во времени
изменяют знак; отмеченное явление возникает, например, в случае гармонических
волн на протяжении каждого периода, так в продольных волнах возникают фазы рас-
тяжения и сжатия и в поперечных волнах возникают фазы с поперечными перемеще-
ниями различных знаков. Так в простейшем примере (нормальное падение плоской
продольной гармонической волны на плоскую трещину) в первый полупериод возни-
кает фаза растяжения (трещина раскрывается, берега трещины не взаимодействуют) и
во второй полупериод возникает фаза сжатия (трещина закрывается, происходит кон-
тактное взаимодействие берегов трещина); отметим, что нумерация полупериодов
носит условный характер и отмеченное явление всегда существует независимо от
интенсивности внешней нагрузки.
Таким образом, можно считать, что изменение во времени знаков перемещений
берегов трещины, по-видимому, является характерной особенностью физики явлений,
возникающих при действии динамических нагрузок; отмеченное явление необходимо
учитывать при построении динамической механики разрушения. В классической ме-
ханике динамического разрушения обсуждаемое явление не учитывается; в качестве
примера можно указать монографии [156, 157] и многочисленные другие монографии,
а также подавляющее число публикаций в научных журналах и в трудах конференций.
Необходимо отметить, что учесть вышесформулированное явление (изменение
граничных условий на берегах трещин – плавный переход от свободных трещин до
динамически контактирующих берегов трещин за каждый период) можно лишь в
рамках нелинейной динамической механики разрушения, принимающей во внимание
изменение граничных условий в процессе деформирования (невыполнение Условия 3
применении классической механики разрушения).
В работах автора и его учеников развит простейший вариант нелинейной динами-
ческой механики хрупкого разрушения, который заключается в применении линейных
динамических уравнений линейно-упругого изотропного тела, описывающих распро-
17
странение упругих волн в материале, и нелинейных граничных условий, описываю-
щих изменение контактного взаимодействия в процессе деформирования. В указан-
ных работах также развит и реализован численный метод решения сформулирован-
ных нелинейных динамических задач; в результате решения и анализа ряда плоских,
пространственных и антиплоских задач выявлены и сформулированы основные зако-
номерности, характеризующие качественное и количественное отличие классической
и неклассической проблемы динамической механики разрушения.
Проблема 8. Разрушение тонкостенных тел с трещинами при растяжении в
случае предварительной потери устойчивости. Неклассичность рассматриваемой
проблемы механики разрушения заключается в том, что в обсуждаемом случае не
выполняется Условие 2 применимости классической механики разрушения (потеря
устойчивости не предшествует разрушению), которое сформулировано в п. 1.1 насто-
ящего параграфа. Действительно, в классической механике разрушения материалов с
трещинами при растяжении и сдвиге молчаливо предполагается, что разрушение
начинается от той конфигурации тела, которую оно имело в недеформированном со-
стоянии. Следовательно, принимается, что в процессе деформирования до начала раз-
рушения не происходит резкого изменения конфигурации тела, т.е. потеря устойчиво-
сти не предшествует разрушению. В действительности даже при растяжении в случае
тонкостенных тел локальная потеря устойчивости состояния равновесия возле трещин
может предшествовать разрушению.
Эталонными задачами в рассматриваемой неклассической проблеме механики
разрушения являются задачи о растяжении тонкостенных пластин и оболочек перпен-
дикулярно к трещине; в случае цилиндрических оболочек, как правило, исследуется
ситуация, когда трещина расположена вдоль направляющей оболочки и оболочка рас-
тягивается вдоль оси. В указанной ситуации в результате концентрации напряжений
возле трещины возникают локальные зоны сжимающих напряжений, что может при-
вести к локальной потере устойчивости возле трещин до начала процесса разрушения.
Различные авторы при исследовании вышеизложенной ситуации применяют раз-
личные приближенные расчетные схемы при анализе локальных зон потери устойчи-
вости возле трещин и отверстий. В работах автора и его учеников для анализа рас-
сматриваемой проблемы применяются строгие уравнения механики тонкостенных
систем с последующим использованием вариационных и численных методов; при
этом существенное внимание уделяется проведению экспериментальных исследова-
ний и использованию их результатов при анализе рассматриваемой проблемы.
Вышеизложенными сведениями в настоящем пункте 1.3 ограничимся при краткой
формулировке рассматриваемых восьми неклассических проблем механики разруше-
ния с указанием явлений, соответствующих этим проблемам. Как уже отмечалось во
вводной части настоящего пункта 1.3, в последующих параграфах этой статьи (§§3 –
10) каждая из восьми обсуждаемых проблем будет рассмотрена в отдельном парагра-
фе с четким и кратким указанием результатов, полученных автором и его учениками.
1.4. Дополнительное обсуждение неклассических проблем механики разру-
шения. В настоящем пункте (п. 1.4) в краткой форме приводятся: дополнительное
обсуждение моделей и подходов, применяемых при исследовании восьми вышеизло-
женных неклассических проблем механики разрушения в работах автора и его учени-
ков; обсуждение одного из приближенных подходов, направленного на сведение не-
классической Проблемы 6 (п. 1.3) к классическим проблемам механики разрушения;
обсуждение одной из задач, на первый взгляд имеющей отношение к неклассическим
проблемам механики разрушения.
1.4.1. Краткое обсуждение моделей и подходов в неклассических проблемах
механики разрушения (Проблемы 1 – 8, п. 1.3). Применительно к рассматриваемым
неклассическим Проблемам 1 – 8 в публикациях различных авторов предложены
многочисленные приближенные подходы, модели и расчетные схемы; ниже рассмот-
рим лишь подходы и модели, которые предложены и применялись в публикациях ав-
тора и его учеников.
Применительно к Проблеме 1 (разрушение композитных материалов при сжатии
вдоль армирующих элементов) для построения механики разрушения применялась
трехмерная линеаризированная теория устойчивости деформируемых тел при конеч-
18
ных и малых докритических деформациях. Исследования проводились для моделей
деформируемых тел с учетом упругих, пластических и вязких деформаций. Результа-
ты получены для композитных материалов для моделей кусочно-однородного тела,
что является наиболее строгой моделью в рамках механики деформируемого тела, и
для континуального приближения (модель однородного тела с усредненными значе-
ниями параметров).
Применительно к Проблеме 2 (модель коротких волокон в теории устойчивости и
механике разрушения композитных материалов при сжатии) применялась трехмерная
линеаризированная теория устойчивости при малых докритических деформациях.
Исследования проводились только с учетом упругих деформаций (хрупкое разруше-
ние) для модели кусочно-однородного тела.
Применительно к Проблеме 3 (разрушение в виде смятия торцов при сжатии
композитных материалов) применялась трехмерная линеаризированная теория устой-
чивости деформируемых тел при малых докритических деформациях. Исследования
проводились для моделей деформируемых тел с учетом упругих и пластических де-
формаций. Результаты получены для континуального приближения при анализе явле-
ния приповерхностной неустойчивости загруженных торцов композитного материала.
Применительно к Проблеме 4 (хрупкое разрушение материалов с трещинами с
учетом действия начальных (остаточных) напряжений вдоль трещин) применялась
трехмерная линеаризированная теория упругости при конечных и малых начальных
(остаточных) деформациях для гиперупругих изотропных и ортотропных материалов
с произвольной структурой упругого потенциала. Целесообразно отметить, что выше-
указанная линеаризированная теория эквивалентна трехмерной линеаризированной
теории устойчивости деформируемых тел. Результаты получены для модели одно-
родного материала (континуальное приближение) с различными трещинами, вдоль
которых действуют начальные (остаточные) напряжения.
Применительно к Проблеме 5 (хрупкое разрушение в виде «размочаливания» при
растяжении или сжатии композитных материалов вдоль армирующих элементов)
применяются трехмерные линейные теории упругости и вязкоупругости для изотроп-
ных и ортотропных материалов при статических нагрузках. Исследования проводи-
лись для модели кусочно-однородного материала и для модели однородного материа-
ла (в континуальном приближении). При этом для модели однородного материала
(континуальное приближение) разработаны специальные подходы (модели и теории),
позволяющие определять напряжения на площадках, размеры которых меньше пери-
одов искривлений в структуре композитного материала. Таким образом, вышеука-
занные континуальные теории позволили определить распределение напряжений в
пределах периода искривлений; заметим, что континуальные теории, предложенные
другими авторами, позволяют определять напряжения только на площадках, размеры
которых значительно больше периодов искривлений в структуре композитных мате-
риалов. Результаты получены для слоистых и волокнистых материалов.
Применительно к Проблеме 6 (разрушение при сжатии вдоль параллельных тре-
щин) применяется трехмерная линеаризированная теория устойчивости деформируе-
мых тел при конечных (больших) и малых докритических деформациях. Исследова-
ния проведены для однородных материалов с трещинами, которые расположены в
параллельных плоскостях, для различных моделей деформируемых тел с учетом
упругих, пластических и вязких деформаций. Необходимо отметить, что результаты
для моделей с учетом только упругих и пластических деформаций получены с боль-
шей степенью завершенности и общности по сравнению с результатами с учетом вяз-
ких деформаций; отмеченное соображение обсуждается более подробно в §2 настоя-
щей статьи при изложении основных соотношений и общих вопросов трехмерной
линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел для моделей с учетом
упругих, пластических и вязких деформаций. В случае слоистых композитных мате-
риалов исследования проведены также для модели кусочно-однородных материалов,
когда трещины расположены в границах раздела компонент (in interface); получены
как точные решения с привлечением аналитических методов, так и решения с привле-
чением численных методов и компьютеров.
Применительно к Проблеме 7 (хрупкое разрушение материалов с трещинами при
действии динамических нагрузок (с учетом контактного взаимодействия берегов тре-
19
щин)) применяются уравнения динамики линейного упругого изотропного тела и но-
вые нелинейные граничные условия на берегах трещин, соответствующие изменяю-
щемуся контактному взаимодействию в процессе деформирования. Для решения
сформулированных нелинейных динамических задач разработан метод последова-
тельных приближений, когда в каждом из приближений задачи сводятся к задачам с
фиксированной зоной контактного взаимодействия, размеры которой определяются
из предыдущих приближений; фактически в каждом из приближений получаем как
бы задачу классической динамической механики разрушения.
Применительно к Проблеме 8 (разрушение тонкостенных тел с трещинами при
растяжении в случае предварительной потери устойчивости) проводились теоретиче-
ские и экспериментальные исследования для тонкостенных элементов (пластины и
цилиндрические оболочки); при теоретических исследованиях анализировалось хруп-
кое разрушение (применялась линейная теория упругости) и при экспериментальных
исследованиях рассматривалось разрушение при упругих и пластических деформаци-
ях. При исследовании хрупкого разрушения тонкостенных пластин с трещинами при
растяжении (с учетом возможности локальной потери устойчивости возле трещин)
привлекалась линеаризированная теория устойчивости тонкостенных пластин, по-
строенная с привлечением гипотезы Кирхгоффа – Лява.
Вышеизложенными сведениями ограничимся в настоящем пункте (п. 1.4.1) при
весьма кратком обсуждении моделей и подходов в восьми неклассических проблемах
(Проблемы 1 – 8, п. 1.3), которые рассмотрены в публикациях автора и его учеников. Из
вышеприведенной информации следует, что из рассматриваемых восьми проблем в
пяти проблемах (Проблемы 1, 2, 3, 4 и 6) применялась трехмерная линеаризирован-
ная теория устойчивости деформируемых тел, в Проблеме 5 применялась трехмерная
линейная теория упругости или вязкоупругости при статическом нагружении, в Про-
блеме 7 применялась трехмерная линейная теория упругости при динамическом
нагружении и нелинейные граничные условия на берегах трещин и в Проблеме 8
применялась двумерная линеаризированная теория устойчивости тонкостенных пла-
стин, построенная с привлечением гипотезы Кирхгоффа – Лява.
Таким образом, в большинстве из восьми рассматриваемых неклассических про-
блем механики разрушения (в 5-и из 8-и) применялась трехмерная линеаризированная
теория устойчивости деформируемых тел; в то же время следует отметить, что выше-
указанная теория устойчивости, по-видимому, является менее известной и менее ши-
роко применяемой по сравнению с другими разделами механики деформируемых тел.
В связи с вышеотмеченной ситуацией в настоящую обзорную статью включен §2, в
котором приведен в весьма краткой форме обзор становления трехмерной линеаризи-
рованной теории устойчивости деформируемых тел, следуя, в основном, монографи-
ям [49, 334] и другим монографиям автора, а также обзорным статьям [337, 338, 344,
353]. Также в §2 изложен математический аппарат трехмерной линеаризированной
теории устойчивости деформируемых тел при конечных (больших) и малых докрити-
ческих деформациях в весьма краткой форме с изложением основных соотношений,
следуя [49, 334, 337, 338, 344, 353], что является исключением и не соответствует сти-
лю написания настоящей обзорной статьи; отмеченная ситуация была подчеркнута в
Примечании, изложенном во Введении в настоящую статью.
В заключительной части настоящего пункта (п. 1.4.1) рассмотрим ряд вопросов
общего характера, которые возникают в механике композитов, в том числе и в меха-
нике нанокомпозитов. Так, при проведении исследований по обсуждаемым некласси-
ческим проблемам механики разрушения применительно к композитным материалам
применялись (были использованы) два общеизвестных подхода или модели.
При первом подходе используется модель кусочно-однородной среды; в этом слу-
чае для описания движения (равновесия) каждого из армирующих элементов (напол-
нителя) и матрицы (связующего) применяются в общем случае трехмерные соотно-
шения механики деформируемых тел при определенных (с учетом дефектов) услови-
ях на границе раздела сред. Первый подход является наиболее строгим и точным в
рамках механики деформируемых тел и с его привлечением можно исследовать
напряженное состояние, динамику и устойчивость в структурных элементах, т.е. в
микроструктуре композитного материала. Очевидно, что применение первого подхода
является необходимым при исследовании полей напряжений и деформаций, явлений
20
распространения волн и потери устойчивости, когда характерные параметры рас-
сматриваемых явлений (расстояния, на которых существенно изменяются напряжения
и деформации в статических задачах; длины волн в волновой динамике; длины волн
форм потери устойчивости) являются величинами одного порядка или значительно
меньшими по сравнению с геометрическими размерами (минимальными размерами)
структурных элементов композитных материалов.
При втором подходе композитный материал моделируется однородным анизо-
тропным материалом с усредненными постоянными; учет микроструктуры композит-
ного материала в этом случае осуществляется посредством определения усредненных
постоянных, которые зависят от физико-механических свойств и геометрической фор-
мы наполнителя и связующего, а также от их объемной концентрации. Очевидно, что
применение второго подхода является обоснованным, когда характерные параметры
рассматриваемых явлений (они указаны в первом подходе) являются значительно
большими величинами по сравнению с геометрическими размерами (максимальными
размерами) структурных элементов композитных материалов. Следует подчеркнуть,
что методы определения усредненных постоянных, которые еще называют приведен-
ными постоянными, в настоящее время достаточно разработаны и представлены в об-
щеизвестных многочисленных публикациях, однако здесь их рассматривать не будем,
так как настоящая обзорная статья посвящена другим вопросам. Все же целесообразно
подчеркнуть, что при рассмотрении вопроса об определении усредненных постоянных
композитных материалов нельзя исключать из рассмотрения экспериментальные спосо-
бы определения указанных постоянных (как для однородного анизотропного материа-
ла), хотя в отечественной и зарубежной научной литературе значительно большее вни-
мание уделяется теоретическим методам определения значений усредненных постоян-
ных. Однако лишь при экспериментальном определении значений усредненных посто-
янных (как для однородного анизотропного материала) можно учесть влияние различ-
ных несовершенств и дефектов во внутренней структуре композитного материала, ко-
торые возникают практически при любой технологии их создания.
Целесообразно отметить, что выше был описан первый подход, который приме-
нялся при исследовании восьми рассматриваемых неклассических проблем механики
разрушения применительно к композитным материалам и который является наиболее
точным и строгим в рамках модели кусочно-однородной среды. Все же в рамках мо-
дели кусочно-однородной среды существуют и приближенные подходы, когда для
наполнителя или связующего (или и для наполнителя и для связующего) применяют-
ся приближенные расчетные схемы.
В целом же при переходе от модели кусочно-однородного материала к модели
однородного материала с усредненными постоянными реализуется применение про-
цедуры (принципа, процесса или концепции) гомогенизации и в результате получаем
однородный (гомогенный) материал.
Следует отметить, что при разработке основ механики нанокомпозитов с поли-
мерной матрицей (например, монографии [90, 423], статья [424] и другие публикации,
указанные в списке литературы к [90, 423, 424]), кроме процедуры (принципа, процес-
са или концепции) гомогенизации также применяется процедура (принцип, процесс или
концепция) континуализации. Дело в том, что в нанокомпозитах с полимерной матри-
цей обычно наполнителями являются однослойные и многослойные углеродные
нанотрубки (CNT). По своей внутренней структуре углеродные нанотрубки состоят из
отдельных атомов в каждом атомном слое; при этом, естественно, отдельные атомы
расположены на определенных расстояниях друг от друга и удерживаются на этих
расстояниях за счет сил межатомного взаимодействия, что и определяет упорядочен-
ные (зигзагообразные, креслообразные или хиральные) структуры. Таким образом,
каждая углеродная нанотрубка, как наполнитель в нанокомпозите с полимерной мат-
рицей, представляет собой дискретную систему, которая деформируется совместно с
полимерной матрицей; при этом деформирование последней описывается обычно в
рамках обычных континуальных представлений (как непрерывная среда). В связи с
этим для описания совместного деформирования нанотрубок и полимерной матрицы
(совместного движения) целесообразно применять единообразное описание движения
(деформирования) нанотрубок и матрицы, что и достигается за счет применения
принципа континуализации для нанотрубок.
21
Процедура (принцип, процесс или концепция) континуализации заключается в за-
мене (моделировании) дискретной системы непрерывной системой (средой) с опреде-
лением усредненных постоянных в рамках непрерывной системы (среды). Целесооб-
разно отметить, что подавляющее большинство исследователей, занимающихся экс-
периментальным определением свойств углеродных нанотрубок, представляют ин-
формацию о свойствах нанотрубок в величинах, обычно принятых для континуаль-
ных представлений (по существу после применения принципа континуализаций)
(например, в монографии [57], т. 1, стр. 80 – 83).
Таким образом, можно считать, что одним из наиболее популярных подходов при
исследовании композитов является применение процедуры гомогенизации для всего
композита. В случае нанокомпозитов соответствующий подход заключается в перво-
начальном применении процедуры континуализации для нанотрубки и в последую-
щем применении принципа гомогенизации для всего нанокомпозита.
Дополнительные сведения о вопросах общего характера, кратко рассмотренных
выше в заключительной части настоящего пункта (п. 1.4.1), приведены в Предисловии
к монографии [54], в Предисловии и Введении к 2-томной монографии [57] и в моно-
графиях [90, 423] (применительно к построению основ механики нанокомпозитов).
1.4.2. О рассмотрении неклассических проблем механики разрушения с точ-
ки зрения классических проблем механики разрушения. По-видимому, можно
считать, что в настоящее время существуют попытки рассмотреть или исследовать
отдельные неклассические проблемы механики разрушения с точки зрения классиче-
ских проблем механики разрушения (моделей и подходов) при введении соответ-
ствующих приближенных расчетных схем.
В настоящем пункте (п. 1.4.2) при-
ведем анализ одного из вышеотмечен-
ных предложений исследовать Про-
блему 6 (Разрушение при сжатии
вдоль параллельных трещин) (п. 1.3
настоящей статьи) за счет введения
приближенных расчетных схем, соот-
ветствующих классической механике
разрушения, следуя ряду публикаций
других авторов. Обсуждаемое предложение рассмотрим применительно к правому
кончику ( 1x a , Рис. 1.1) для материала с трещиной длиной 2a при сжатии вдоль
оси 10x (Рис. 1.1), ограничимся анализом в рамках плоской деформации в плоскости
1 20x x . Существо предложения сводится к тому, что при анализе распространения
трещины следует учитывать микроструктуру материала; таким образом, трещина бу-
дет распространяться не по прямой линии 2 0x , а по некоторой ломаной линии, ко-
торая определяется влиянием микроструктуры и является близкой к линии 2 0x
(Рис. 1.1). Необходимо отметить, что Рис. 1.1 соответствует поликристаллическому
материалу, когда учитывается микроструктура материала возле правого кончика тре-
щины (наличие монокристаллов, которые отмечены более густой штриховкой) и тре-
щина распространяется по ломаной линии, обходя монокристаллы. На Рис. 1.1. также
указано обозначение: − угол между вертикальной осью и нормалью к одному из
отрезков рассматриваемой ломаной линии, по которой в соответствии с обсуждаемым
предложением прогнозируется распространение трещины. При действии внешних
нагрузок в виде, представленном на Рис. 1.1, на берегах трещины при предполагаемом
ее распространении вдоль ломаной линии будут возникать сдвигающие напряжения,
определяемые величиной угла на Рис. 1.1; в связи с этим с учетом таким образом
введенных сдвигающих напряжений уже можно применять критерий разрушения
классической механики разрушения (подход Гриффитса – Ирвина, п. 1.1 настоящей
статьи).
Рис. 1.1
22
При анализе перспектив развития рассматриваемого подхода для поликристалли-
ческих материалов или для композитных материалов, которые имеют внутреннюю
структуру, близкую к зернистой, целесообразно учесть следующие три соображения.
1. Учет влияния микроструктуры вышеуказанных материалов в кончике трещины
применительно к механике разрушения для случая, представленного на Рис. 1.1, по-
видимому, соответствует следующему этапу в процессе познания применительно к
механике разрушения, которая обычно развивается в рамках континуальных пред-
ставлений для различных материалов.
2. При попытке реализации обсуждаемого подхода для вышеуказанных материа-
лов необходимо выполнить сложнейшие исследования по идентификации явлений,
происходящих в кончике трещины на микроструктурном уровне и определяющих
ломаную линию – линию распространения трещины, с модельными представлениями,
используемыми в механике разрушения.
3. При незначительном отличии на Рис. 1.1 ломаной линии от прямой линии (при
малых углах на Рис. 1.1) вводимые (при рассматриваемом подходе) сдвигающие
напряжения будут значительно меньшими сжимающих напряжений 11 на Рис. 1.1.
Вышеизложенные соображения (особенно второе), по крайней мере, по мнению
автора настоящей статьи, не дают возможности ожидать получения (в ближайшее
время) результатов для обсуждаемых материалов (поликристаллические материалы;
композитные материалы с внутренней структурой, близкой к зернистой) в закончен-
ном виде при применении обсуждаемого подхода.
В случае же волокнистых и слоистых композитных материалов при сжатии
вдоль армирующих элементов характерным является распространение трещин в гра-
ницах раздела сред (in interface). В связи с этим при исследовании распространения
таких трещин уже заранее учитывается влияние структуры или микроструктуры ком-
позита в кончике трещины, следовательно, дополнительно учитывать влияние струк-
туры материала в кончике трещины, по-видимому, не имеет смысла.
Таким образом, обсуждаемое в настоящем пункте (п. 1.4.2) предложение можно
считать прямо относящимся к неклассическим проблемам механики разрушения, кото-
рые анализируются в настоящей обзорной статье; все же, как отмечалось выше, это
предложение нельзя считать перспективным с точки зрения получения новых конкрет-
ных результатов при анализе рассмотрения обсуждаемых восьми неклассических про-
блем механики разрушения при помощи классических проблем механики разрушения.
1.4.3. О некоторых других публикациях. В настоящее время в научной литературе
существует ряд публикаций, в которых исследуются конкретные задачи, на первый
взгляд как бы относящиеся к обсуждаемым в настоящей обзорной статье неклассиче-
ским проблемам механики разрушения. В действительности же эти результаты и иссле-
дуемые задачи никак не относятся к обсуждаемым в настоящей обзорной статье восьми
неклассическим проблемам механики разрушения, а имеют самостоятельное значение.
Вышеизложенные соображения продемонстрируем на примере конкретной пуб-
ликации [159], в названии которой указано, что исследование проводится «…при сжа-
тии пластины вдоль линии трещины»; в этой публикации действительно приведены
результаты экспериментальных исследований при сжатии вдоль двух трещин, которые
выходят из контура кругового отверстия и расположены на продолжении одного и того
же диаметра отверстия (расположены на одной линии). На Рис. 1.2 приведена расчет-
ная схема, соответствующая исследованиям [159]; следует отметить, что Рис. 1.2 пол-
ностью соответствует Рис. 1, а [159], где опущена информация, относящаяся к описанию
образцов, применяемых при эксперимен-
тальных исследованиях.
В случае, представленном на Рис. 1.2,
действительно исследуется сжатие вдоль
трещин, которые лежат в одной плоско-
сти; по внешним нагрузкам ситуация на
Рис. 1.2 как бы соответствует Проблеме 6
(Разрушение при сжатии вдоль параллель-
ных трещин) в соответствии с терминоло-
Рис. 1.2
23
гией п. 1.3 настоящей обзорной статьи. Все же в случае, представленном на Рис. 1.2,
трещины находятся в сложном поле напряжений, вызванном концентрацией напря-
жений около отверстия. Так, в случае [159] возле кончиков трещины (при 1x a на
Рис. 1.2, соответствующем расчетной схеме) возникают растягивающие напряжения
22 , вызванные концентрацией напряжений возле отверстия, что дает возможность
применять критерии разрушения классической механики разрушения (подход Гриф-
фитса – Ирвина). Вышеизложенное подтверждается и названием публикации [159]
«Экспериментальное определение величины IК …», где IК − общеизвестный коэф-
фициент интенсивности напряжений.
Из вышеизложенных сведений и соображений, рассмотренных в п. 1.4.3, следует,
что необходимо четко определять – относится ли конкретная публикация к обсуждае-
мым в настоящей обзорной статье неклассическим проблемам механики разрушения.
В заключение рассматриваемого §1 настоящей обзорной статьи отметим, что в
нем в достаточно краткой форме приведены сведения, относящиеся к разделению
проблем механики разрушения на классические и неклассические проблемы, а также
к формулировке и предварительному обсуждению восьми неклассических проблем
механики разрушения, которые уже 50 лет исследуются в отделе динамики и устой-
чивости сплошных сред Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ. Как уже
отмечалось во вводной части п. 1.3 настоящей обзорной статьи, в последующих §§3 –
10 настоящей статьи каждая из восьми неклассических проблем механики разрушения
будет рассмотрена в отдельном параграфе с четким указанием результатов, получен-
ных в отделе динамики и устойчивости сплошных сред.
§2. Краткое изложение основ трехмерной линеаризированной теории устой-
чивости деформируемых тел.
В настоящем параграфе приводится в весьма краткой форме информация об осно-
вах трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел, вклю-
чающая основные соотношения и сведения о математическом аппарате обсуждаемой
теории. Целесообразность включения этого материала в настоящую обзорную статью
следует из Примечания во Введении и сведений, изложенных в п. 1.4.1; основное со-
ображение можно сформулировать следующим образом: из восьми неклассических
проблем механики разрушения в пяти проблемах (Проблемы 1, 2, 3, 4 и 6) применя-
ется трехмерная линеаризированная теория устойчивости деформируемых тел, кото-
рая является менее известной и менее широкоприменяемой по сравнению с другими
разделами механики деформируемых тел. Также отметим, что включение в настоя-
щий параграф математических аспектов трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел является исключением из стиля написания обзора
по неклассическим проблемам механики разрушения, что также уже отмечалось во
Введении. В последующих параграфах (§§3 – 10) настоящей обзорной статьи будут
кратко изложены основные результаты по восьми обсуждаемым неклассическим про-
блемам механики разрушения, полученным в отделе динамики и устойчивости
сплошных сред, в принятом стиле изложения, отмеченном во Введении в настоящую
обзорную статью.
При построении обзора будем следовать монографиям [49, 334], где трехмерная
линеаризированная теория устойчивости деформируемых тел изложена в единой об-
щей форме для теории конечных (больших) и малых докритических деформаций для
различных моделей деформируемых тел с определяющими уравнениями достаточно
общей структуры при учете упругих, пластических и вязких деформаций. Дополни-
тельно будем привлекать сведения, изложенные в монографиях [30, 31, 34, 35, 60], а
также в публикациях, которые включены в списки литературы к монографиям [30, 31,
34, 35, 49, 60, 334]. По стилю изложения результатов настоящий §2 соответствует
стилю изложения обзорных статей [337, 338], но в настоящем §2 результаты пред-
ставлены в существенно более краткой форме; в связи с этим более подробные сведе-
ния можно получить также из современных обзоров по отдельным проблемам обсуж-
даемой теории [58, 344, 353, 382].
24
2.1. О становлении трехмерной линеаризированной теории устойчивости де-
формируемых тел. Начиная со знаменитой работы Эйлера за 1744 г., традиционно в
механике деформируемых тел исследования явления потери устойчивости проводи-
лись (исключительно) и проводятся (в большинстве публикаций для ряда традицион-
ных научных направлений) применительно к тонкостенным элементам конструкций
(стержни, пластины и оболочки); при этом для проведения исследований привлекают-
ся приближенные прикладные (одномерные для стержней, двумерные для пластин и
оболочек) теории, построенные с привлечением гипотез плоских сечений и Кирхгоф-
фа – Лява, а также других приближенных расчетных схем.
Лишь в начале ХХ-го века для разработки общего подхода к исследованию явле-
ния потери устойчивости в механике деформируемых тел и со средины ХХ-го века
для обеспечения исследования явления потери устойчивости в механике деформиру-
емого тела применительно к нетрадиционным новым научным направлениям (напри-
мер, геотектоника, механика композитных материалов, теория устойчивости локаль-
ного состояния равновесия возле горных выработок и ряд других) начала развиваться
трехмерная теория устойчивости деформируемых тел. В настоящее время, по-
видимому, можно считать, что первой публикацией по построению трехмерной теории
устойчивости деформируемых тел была статья Southwell [561], опубликованная в
1913 г.
В последующие годы были опубликованы результаты по построению трехмерной
теории устойчивости деформируемых тел, полученные рядом авторов; при этом по
построению указанной теории установилось два подхода.
При первом подходе основные уравнения и граничные условия трехмерной тео-
рии устойчивости деформируемых тел формируются, исходя из соответствующей
нелинейной теории, посредством применения строгой математической процедуры –
посредством линеаризации основных соотношений соответствующей нелинейной
теории. В связи с вышеизложенным основные соотношения трехмерной теории
устойчивости деформируемых тел, полученные при первом подходе, можно считать
достаточно строгими и точными, а также последовательно полученными; обсуждае-
мые результаты, полученные при первом подходе можно называть трехмерной лине-
аризированной теорией устойчивости деформируемых тел.
При втором подходе основные уравнения движения и соответствующие гранич-
ные условия трехмерной теории устойчивости деформируемых тел формируются,
исходя из определенных соображений физического характера; при этом полученные
результаты (уравнения движения и граничные условия) могут несколько отличаться
друг от друга, поскольку соответствующие соображения физического характера раз-
личных авторов могут несколько отличаться.
Проиллюстрируем вышеуказанный первый способ получения основных соотно-
шений трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел на
простейшем примере. Пусть в рамках рассматриваемого варианта нелинейной меха-
ники деформируемого тела имеет место следующее соотношение:
( ),y f x (2.1)
отсчет в котором ведется от первого отсчетного состояния (в случае упругих тел – от
естественного, недеформированного состояния). Рассмотрим соотношение (2.1) при-
менительно ко второму (начальному, невозмущенному) и третьему (возмущенному)
состояниям; с учетом вышеизложенных обозначений (2.1) применительно ко второму
и третьему состояниям можем записать
0 0 0 0( ); ( ),y f x y y f x x (2.2)
где y и x − возмущения соответствующих величин. Учитывая малость возмущений,
вводится следующее условие:
0 .x x (2.3)
В рамках обсуждаемого первого подхода (применение процедуры линеаризации),
из (2.2) с учетом (2.3) получаем следующее выражение:
25
0
.
x x
df
y x
dx
(2.4)
Таким образом, под основными соотношениями трехмерной линеаризированной
теории устойчивости деформируемых тел обычно понимаются соотношения типа (2.4),
т.е. соотношения между возмущениями; причем в соотношениях типа (2.4) будем
приближенно принимать знак равенства. Целесообразно отметить, что вышеуказанная
трехмерная линеаризированная теория устойчивости деформируемых тел соответ-
ствует рассматриваемому варианту нелинейной механики деформируемого тела.
В середине ХХ-го века рядом ученых в достаточно многочисленных публикациях
были предложены различные варианты трехмерной теории устойчивости деформиру-
емых тел, которые между собой отличаются подходами при их получении: привлече-
нием соображений физического характера; применением принципа линеаризации;
привлечением вариационных принципов; применением теории больших (конечных)
докритических деформаций и различных вариантов теории малых докритических де-
формаций; формулировкой соотношений в декартовых координатах; формулировкой
соотношений в произвольной криволинейной системе координат с привлечением ап-
парата тензорного анализа; применением тензоров напряжений, в которых составля-
ющие относятся к размерам площадок в отсчетной конфигурации (первое состояние)
или в актуальной конфигурации (третье состояние) и ряд других подходов. По-
видимому, можно считать завершающей публикацией в вышеуказанном процессе
исторического характера статью [275], опубликованную в 1952 г., в которой в самом
общем виде изложены основные соотношения трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел при конечных (больших) докритических деформа-
циях, полученные с привлечением тензорного анализа, и рассмотрены частные слу-
чаи. В статье [275] для линеаризированной трехмерной теории также впервые введено
название «теория малых деформаций, наложенных на конечные деформации», кото-
рое часто применяется в последующих публикациях других авторов, особенно англо-
язычных авторов.
Примечание 2.1. Следует отметить, что основные соотношения трехмерной ли-
неаризированной теории устойчивости деформируемых тел (ТЛТУДТ) в историче-
ском аспекте формировались на базе основных соотношений трехмерной линеаризиро-
ванной теории упругой устойчивости (ТЛТУУ). Дело в том, что основные соотношения
ТЛТУУ (уравнения движения и граничные условия, записанные в напряжениях) до вве-
дения в них линеаризированных соотношений упругости являются общими и для
ТЛТУУ и для ТЛТУДТ. При введении в вышеуказанные основные соотношения лине-
аризированных соотношений упругости получаем основные соотношения ТЛТУУ в
перемещениях, при введении в вышеуказанные основные соотношения линеаризиро-
ванных определяющих соотношений для любой другой модели деформируемых тел
получаем основные соотношения ТЛТУДТ для рассматриваемой модели.
Примечание 2.2. В обсуждаемые основные соотношения ТЛТУДТ входят напря-
жения докритического состояния, обычно отмеченные индексом «нуль», которые яв-
ляются неизвестными и определяются при решении каждой конкретной задачи
ТЛТУДТ. Если считать в обсуждаемых основных соотношениях ТЛТУДТ напряже-
ния, отмеченные индексом «нуль», заданными величинами, то основные соотношения
ТЛТУДТ в этом случае являются основными соотношениями трехмерной линеаризи-
рованной механики деформируемых тел (ТЛМДТ) с начальными или остаточными
напряжениями; в качестве последних в этом случае выступают напряжения, отмечен-
ные индексом «нуль». В вышеуказанном смысле трехмерная линеаризированная теория
упругости при конечных (больших) и малых начальных деформациях, которая привле-
кается в Проблеме 4 (хрупкое разрушение материалов с трещинами с учетом действия
начальных (остаточных) напряжений вдоль трещин) (по терминологии п. 1.3 насто-
ящей обзорной статьи), соответствует ТЛТУУ.
Исторический очерк становления и развития трехмерной теории устойчивости
деформируемых тел в 1913 – 1985 гг., включающий и ТЛТУДТ, со списком основных
публикаций представлен в монографии [49] на русском языке; на английском языке
этот очерк представлен в монографии [334], опубликованной в 1999 г.
26
Исторический очерк развития и становления трехмерной теории устойчивости
деформируемых тел в 1913 – 2000 гг., включающий и ТЛТУДТ, со списком основных
публикаций представлен в обзорной статье [337], первоначально опубликованной в
2001 г. на русском языке в журнале «Прикладная механика» и в последующем в 2002
г. на английском языке в журнале «International Applied Mechanics» издательством
SPRINGER, которое в настоящее время осуществляет перевод и публикацию на ан-
глийском языке журнала «Прикладная механика» в виде журнала «International Ap-
plied Mechanics». Дополнительные сведения можно получить из обзорной статьи за
2002 г. [338], посвященной родственной проблеме – трехмерной (по пространствен-
ным переменным) теории распространения упругих волн в материалах с начальными
(остаточными) напряжениями, а также из обзорных статей [344] за 2003 г. и [382] за
2004 г., посвященных другим родственным проблемам трехмерной линеаризирован-
ной механики деформируемых тел (ТЛМДТ).
Целесообразно отметить, что обзорные статьи [337, 338, 344, 382] автора настоя-
щего обзора опубликованы при проведении в 2000 – 2009 гг. журналом «Прикладная
механика» акции, посвященной Началу III-го Тысячелетия. При проведении указанной
акции в журнале «Прикладная механика» на русском языке было опубликовано 174
обзорных статьи, подготовленных учеными 26 стран всего мира; в 2001 – 2010 гг. эти
статьи на английском языке были опубликованы журналом «International Applied Me-
chanics». Вышеуказанная акция журнала «Прикладная механика» (174 обзорные ста-
тьи в течение 10 лет, авторы – ученые из 26 стран мира) не имеет аналога в мировой
научной литературе в периодических изданиях по механике.
В 2005 – 2011 гг. Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ опубликовал
многотомную коллективную монографию «Успехи механики» (в 6-и томах, в 7-и
книгах), в которую вошли 174 обобщающие обзорные статьи, опубликованные в 2000
– 2009 гг. в журнале «Прикладная механика» на русском языке и в 2001 – 2010 гг. в
журнале «International Applied Mechanics» на английском языке при проведении ак-
ции, посвященной Началу III-го Тысячелетия; в вышеуказанное издание вошли и
обобщающие обзорные статьи [337, 338], относящиеся к тематике настоящего обзора.
Многотомная коллективная монография «Успехи механики» (174 обзорные статьи за
последние 10 лет, авторы – ученые из 26 стран всего мира) не имеет аналога в миро-
вой монографической научной литературе по механике.
В 2016 – 2018 гг. Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ опубликовал
многотомную коллективную монографию «Современные проблемы механики» (в
3-х томах), посвященную 100-летию (1918 – 2018 гг.) Национальной академии наук
Украины и Института механики им. С.П.Тимошенко НАНУ; в вышеуказанное изда-
ние вошли обобщающие обзорные статьи ведущих ученых Института механики по
научным направлениям, которые развиваются в Институте механики в последние не-
сколько десятилетий. Указанные обобщающие обзорные статьи ведущих ученых Ин-
ститута механики опубликованы в 2010 – 2017 гг. в журнале «Прикладная механика»
на русском языке и в журнале «International Applied Mechanics» в 2011 – 2018 гг. на
английском языке; к этим статьям также относятся статьи автора настоящего обзора
([59] за 2011 г., [353] за 2012 г.), которые являются современными обзорами по от-
дельным направлениям трехмерной линеаризированной механики деформируемых
тел (ТЛМДТ).
Таким образом, сведения по становлению и развитию трехмерной теории устой-
чивости деформируемых тел в 1913 – 2011 гг., включая и ТЛТУДТ, со списками ос-
новных публикаций можно получить из обобщающих обзорных статей [337, 338, 344,
382, 59, 353] автора настоящего обзора, которые опубликованы в 2001 – 2012 гг. на
русском языке в журнале «Прикладная механика» и на английском языке в журнале
«International Applied Mechanics»; указанные обзорные статьи также вошли в много-
томные коллективные монографии «Успехи механики» (в 6-и томах, в 7-и книгах) за
2005 – 2011 гг. и «Современные проблемы механики» (в 3-х томах) за 2016 – 2018 гг.
Безусловно, наиболее информативной является обобщающая обзорная статья [337], в
которой в краткой форме представлен исторический аспект становления и развития
трехмерной теории устойчивости деформируемых тел, включая и трехмерные лине-
аризированные теории устойчивости деформируемых тел, со списком основных пуб-
ликаций применительно к 1913 – 2000 гг.
27
Результаты автора настоящей статьи по разработке трехмерной линеаризирован-
ной теории устойчивости деформируемых тел представлены в серии монографий [30,
31, 34, 35, 49, 334], первая из которых опубликована в 1971 г., и в статьях, частично
включенных в список литературы к настоящему обзору, [22 – 24, 27, 28, 32, 33, 36, 61,
62, 277, 278, 297, 299 – 301, 313, 319, 348, 355 – 358, 363, 376 – 380, 424, 425, 482] и
ряд других. Следует отметить, что более подробный список обсуждаемых статей
представлен в монографиях [30, 31, 34, 35, 49, 334] и в обзорах [337, 338, 344, 382, 59,
353]; причем первой публикацией автора настоящего обзора по трехмерной линеари-
зированной теории устойчивости деформируемых тел была статья [277], опублико-
ванная в 1967 г.
2.2. Классификация подходов (вариантов теории) в трехмерной линеаризи-
рованной теории устойчивости деформируемых тел. Обсуждаемая классификация
наиболее четко изложена в обзорных статьях [337, 338], хотя основные позиции такой
классификации были предложены автором в 1972 г. в статье, которая указана под № 35
в списке литературы обзора [337]; в последующие годы обсуждаемая классификация
применялась в монографиях [49, 334], которые, по-видимому, можно считать заклю-
чительными в серии монографий автора по трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел.
При изложении рассматриваемой классификации и в дальнейшем в настоящем
§2 будем применять лагранжев метод описания движения сплошной среды и исполь-
зовать метод сопутствующей системы координат; все соотношения будут приведены
с привлечением тензорного анализа, построенного на основе базисных векторов и
метрического тензора, которые введены в отсчетном (первом) состоянии. Также бу-
дем использовать напряжения, которые действуют в актуальной конфигурации (в
возмущенном, третьем состоянии), но отнесены к размерам соответствующих площа-
док в отсчетном (первом) состоянии; при применении других тензоров напряжений
рассматриваемая ситуация будет особо обсуждаться. Вышеизложенный метод описа-
ния основных соотношений используется в большинстве публикаций в нелинейной
механике деформируемых тел при конечных (больших) и малых деформациях.
Учитывая вышеизложенные сведения вводного характера, ниже в весьма краткой
форме изложим классификацию подходов (вариантов теории) в трехмерной линеари-
зированной теории устойчивости деформируемых тел (ТЛТУДТ); при этом уделим
внимание не только наиболее строгим и последовательным подходам (теориям), но и
недостаточно строгим и недостаточно последовательным подходам (теориям), а также
одному весьма приближенному подходу, который никак не связан с ТЛТУДТ (не сле-
дует при применении принципа линеаризации) и приводит даже к погрешностям ка-
чественного характера.
1. Теория больших (конечных) докритических деформаций. Рассматриваемый
подход (вариант теории) является наиболее строгим и последовательным; как уже
отмечалось в п. 2.1, обсуждаемый вариант теории в более общем виде сформирован в
публикации [275] за 1952 г. с привлечением тензорного анализа. В рамках указанной
теории основные соотношения имеют следующий вид:
уравнения движения
0 0( ) 0;j j in in j j j
i n n ng u S S u u F (2.5)
соотношения между контравариантными составляющими несимметричного тензора
напряжений Кирхгоффа t и контравариантными составляющими симметричного тен-
зора напряжений S
0 0( ) ;ij j j in in j
n n nt g u S S u (2.6)
условие несжимаемости
0,nj
n jq u (2.7)
где введено обозначение
*0 0( ) ;nj nm j j
m mq g g u (2.8)
ковариантные составляющие тензора деформаций Грина
28
0 02 ( ) ( ) ;j j j j
nm m m n n n m jg u g u u (2.9)
граничные условия в напряжениях на части поверхности 1S (с учетом обозначений
(2.6))
1
; ;j j j ij
iS
Q P Q N t (2.10)
граничные условия в перемещениях на части поверхности 2S
2
;j j
S
u f (2.11)
граничные условия для динамических граничных (краевых) задач
1 2
1 2; ;j j j ju f u f
(2.12)
начальные условия для динамических задач с начальными условиями
1 20 0
; ;j j j ju h u h
(2.13)
выражения для определения контравариантных составляющих векторов правых ча-
стей граничных условий в напряжениях (2.10) (величин jP ) при действии на 1S «сле-
дящей» нагрузки интенсивности P , которая направлена по нормали к 1S
* 1
0 0 0 *0 *0 *0 *0 *0 *0( ) ( ) ( )j j j kn m nm k n mk
k n n m mP PN g g g u g u g g g g g g
*0 ;k jg g u
(2.14)
прежде всего отметим, что: индексом «нуль» во всем §2 отмечены все величины, от-
носящиеся к докритическому состоянию (ко второму – невозмущенному, начальному
состоянию по терминологии, применяемой к процессу линеаризации); обозначение S
применительно к симметричному тензору напряжений введено в соответствии с обо-
значениями статьи [275], в исследованиях других авторов для обозначения упомяну-
того симметричного тензора напряжений применяются и другие обозначения; все
другие обозначения в (2.5) – (2.14) соответствуют монографиям [49, 334] и обзорным
статьям [337, 338] автора настоящей обзорной статьи. Также отметим, что в (2.14) и
дальше через P обозначена интенсивность поверхностной нагрузки, вычисленной на
единицу площади в докритическом состоянии (во втором состоянии); естественно,
что в этом случае указанная величина одинакова для докритического и возмущенного
(в актуальной конфигурации) состояний (в силу малости возмущений – условие (2.3)),
однако может существенно отличаться от аналогичной величины, вычисленной на
единицу площади в отсчетном (первом) состоянии, в силу применения теории конеч-
ных докритических деформаций.
Кроме того, в рассматриваемой теории «1» и ниже введены следующие обозначения:
ju − контравариантные составляющие возмущения вектора перемещений;
jF и jP − контравариантные составляющие возмущений векторов внешних мас-
совых и поверхностных сил;
1 2 1, , ,j j j jf f f h и 2
jh − контравариантные составляющие возмущений векторов пра-
вых частей в граничных и начальных условиях; jN − контравариантные состав-
ляющие орта внешней нормали к поверхности тела в отсчетной конфигурации (в
первом состоянии);
nmg − контравариантные составляющие метрического тензора сопутствующей си-
стемы координат в отсчетной конфигурации (в первом состоянии);
29
*
nmg − контравариантные составляющие метрического тензора сопутствующей си-
стемы координат в актуальной конфигурации (в третьем состоянии).
Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком обсуждении
теории «1» (теории конечных докритических деформаций); дополнительные сведения
можно получить из обзоров [337, 338] и приведенных в них списков литературы.
2. Первый вариант теории малых докритических деформаций. Прежде всего,
рассмотрим Основное положение (определение, упрощение) теории малых деформа-
ций и Следствия, которые следуют (доказываются) из Основного положения.
Основное положение (определение, упрощение) теории малых деформаций
заключается в том, что относительные удлинения и сдвиги являются малыми вели-
чинами по сравнению с единицей и ими по сравнению с единицей можно пренебречь.
Следствия Основного положения:
1. составляющие тензора деформаций Грина являются малыми величинами по
сравнению с единицей и ими по сравнению с единицей можно пренебречь;
2. изменение удлинений, площадей ориентированных площадок и объемов можно
не учитывать;
3. изменение составляющих метрического тензора сопутствующей системы коор-
динат при деформировании можно не учитывать.
Более подробно отмеченные сведения о нелинейной теории малых деформаций
представлены в монографиях [49, 334] и в более сокращенной форме в обзорах [337,
338]; вышеуказанный переход получается, исходя из нелинейной теории деформиро-
вания сплошной среды при конечных деформациях.
Впервые обсуждаемые упрощения и последовательный переход от теории конеч-
ных деформаций к теории малых деформаций были предложены в статьях [449, 500]
([500] с. 344, внизу) за 1939 г.; в монографии [155] за 1948 г. обсуждаемый подход
был изложен последовательно и в полном объеме и также рассматривался в моногра-
фиях [30, 49, 334]. Отметим, что вышеизложенные сведения относятся к построению
нелинейной механики малых деформаций сплошной среды.
При построении теории «2» (Первый вариант теории малых докритических де-
формаций), являющейся линеаризированной теорией, обычно реализуются два спо-
соба (два подхода).
При первом способе (подходе) применяются основные соотношения теории «1»
(Теория больших (конечных) докритических деформаций) в виде соотношений (2.5) –
(2.14) и других соответствующих выражений и в отмеченные соотношения последо-
вательно вводятся Основное положение и Следствия из него, изложенные выше и
соответствующие переходу от нелинейной теории конечных деформаций к нелиней-
ной теории малых деформаций; при таком способе из линеаризированной теории «1»
получают линеаризированную теорию «2».
При втором способе (подходе) вначале строятся все соотношения нелинейной
теории малых деформаций механики сплошной среды для соответствующей модели,
учитывая при выводе каждого из соотношений (в полной мере по мнению авторов
каждой из построенных теорий) все упрощения, соответствующие вышесформулиро-
ванным Основному положению и Следствиям из него нелинейной теории малых
деформаций. После получения всех соотношений нелинейной механики малых де-
формаций (можно считать с привлечением соображений физического характера) про-
водится их линеаризация и таким образом получают линеаризированную теорию «2»,
никак не привлекая теорию конечных (больших) деформаций.
Следует отметить, что с привлечением вышеуказанных двух способов (подходов)
не всегда получают для всех соотношений (в рамках линеаризированной теории) пол-
ностью совпадающие результаты; пример такой ситуации будет рассмотрен в заклю-
чительной части настоящего п. 2.2. По мнению автора настоящей обзорной статьи из
двух обсуждаемых способов (подходов) по последовательности и строгости предпо-
чтительным является первый способ (подход).
Вышесформулированные сведения и соображения относятся лишь к процедуре
построения теории «2» (Первый вариант теории малых докритических деформаций);
ниже в краткой форме приведем основные соотношения обсуждаемой теории «2»,
30
построенные с привлечением первого способа (подхода). При изложении отмечен-
ных соотношений уже применяется симметричный тензор напряжений (вместо
симметричного тензора напряжений S в теории конечных напряжений), что является,
по-видимому, уже достаточно общепринятым в механике деформируемых тел,
например, [499, 500, 155, 30, 49, 334].
Так, для теории «2» (Первый вариант теории малых докритических деформаций)
основные соотношения имеют следующий вид:
уравнения движения –
0 0( ) 0;j j in in j j j
i n n ng u u u F (2.15)
соотношения для определения контравариантных составляющих несимметричного
тензора напряжений Кирхгоффа t
0 0( ) ;ij i j in in j
n n nt g u u (2.16)
условие несжимаемости остается в форме (2.7), где введено обозначение
0( );nj nm j j
m mq g g u (2.17)
граничные и начальные условия остаются в форме (2.10) – (2.13);
соотношения для ковариантных составляющих тензора деформаций Грина для
докритического состояния (как и для теории «1»)
0 0 0 0
02 ;p
nm n m m n n p mu u u u (2.18)
соотношения для определения ковариантных составляющих тензора скоростей де-
формаций (только для теории «2»)
0 0 0 02 ( ) ( ) ( ) ( ) ;j j j j j j
nm n n m m m n j m n n m je g u g u u u u u (2.19)
выражения для определения контравариантных составляющих векторов правых ча-
стей граничных условий в напряжениях (2.10) (величин jP ) при действии на 1S «сле-
дящей» нагрузки интенсивности P , которая направлена по нормали к 1S ,
0 0( ) ( ) ( ) .j j j kn m nm k n mk k j
k n n m mP PN g u g u g g g g g g g g u
(2.20)
Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком обсуждении
теории «2» (Первый вариант теории малых докритических деформаций); дополни-
тельные сведения можно получить из обзоров [337, 338] и из приведенных в списках
литературы публикаций.
3. Второй вариант теории малых докритических деформаций. Основные соот-
ношения обсуждаемого варианта теории (Теории «3») следуют из предыдущего вари-
анта теории (Теории «2») при введении соответствующих упрощений, которые рас-
сматривались в 1934 г. в публикации № 110 из списка литературы к обзору [337], в
1939 г. в статье [500] (стр. 360, возле рисунка) и систематически применялись рядом
авторов, что отмечено в обзоре.
Основное положение (упрощение) второго варианта теории малых докрити-
ческих деформаций (теории «3») заключается в том, что докритическое состояние
можно определять в рамках геометрически линейной теории. В математическом ас-
пекте вышеуказанное положение (упрощение) эквивалентно допущению, что произ-
водные от перемещений докритического состояния являются малыми величинами по
сравнению с единицей и ими по сравнению с единицей можно пренебречь, что соответ-
ствует выражениям
0 .j j j
m m mg u g (2.21)
Таким образом, учитывая выражения (2.21), из соотношений (2.15) – (2.20) перво-
го варианта теории малых докритических деформаций (теории «2») получаем ос-
31
новные соотношения второго варианта теории малых докритических деформаций
(теории «3») в следующем виде:
уравнения движения
0( ) 0;ij in j j j
i nu u F (2.22)
соотношения для определения контравариантных составляющих несимметричного
тензора напряжений Кирхгоффа t
0 ;ij ij in j
nt u (2.23)
условие несжимаемости остается в форме (2.7), где введено обозначение
;nj njq g (2.24)
граничные и начальные условия остаются в форме (2.10) – (2.13);
соотношения для ковариантных составляющих тензора деформаций Грина для
докритического состояния
0 0 02 ;nm n m m nu u (2.25)
соотношения для определения возмущений ковариантных составляющих тензора
деформаций Грина и тензора скоростей деформации
2 ; 2 ;nm n m m n nm n m m nu u e u u (2.26)
выражения для определения контравариантных составляющих векторов правых
частей граничных условий в напряжениях (2.10) (величин jP ) при действии на 1S
«следящей» нагрузки интенсивности P , которая направлена по нормали к 1S ,
( ).j j jP P N u N g u
(2.27)
Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком обсуждении
теории «3» (второй вариант теории малых докритических деформаций); дополни-
тельные сведения можно получить из обзоров [337, 338] и из приведенных в списках
литературы публикаций, а также из монографий [49, 334] и публикаций, приведенных
в списках литературы к этим монографиям.
4. О линеаризированной теории устойчивости при малых деформациях и ма-
лых усредненных углах поворота. В монографии [155] предложена нелинейная тео-
рия при малых деформациях и малых усредненных углах поворота, которая получена
посредством введения упрощений в основные соотношения теории конечных (боль-
ших) деформаций; после линеаризации из вышеуказанной нелинейной теории полу-
чена трехмерная линеаризированная теория устойчивости деформируемых тел при
малых докритических деформациях и малых докритических усредненных углах пово-
рота. В монографии [155] впервые было введено понятие об усредненных углах пово-
рота для характеристики поворота всей окрестности рассматриваемой точки тела, при
этом усреднение проводилось для всех материальных волокон, проходящих через
рассматриваемую точку тела.
Следует отметить, что введенные в [155] усредненные углы поворота не имеют
непосредственного физического смысла, поскольку они не характеризуют изменение
геометрических объектов. В то же время удлинения и сдвиги, которые входят в Ос-
новное положение (определение, упрощение) теории «2», имеют непосредственный
физический смысл, так как они характеризуют изменение конкретных геометрических
объектов (изменение длины материальных волокон, изменение угла между двумя ма-
териальными волокнами). Отмеченное соображение относится как к построению не-
линейной теории малых деформаций и малых усредненных углов поворота, так и, сле-
дующей из нее трехмерной линеаризированной теории устойчивости при малых до-
критических деформациях и малых докритических усредненных углах поворота.
При построении нелинейной теории малых деформаций и малых усредненных уг-
лов поворотов принимается Основное положение (определение, упрощение) теории
«2» и вводится дополнительное Основное положение (определение, упрощение)
32
теории «4», которое сводится к тому, что усредненные углы поворота являются ма-
лыми величинами по сравнению с единицей и этими величинами по сравнению с еди-
ницей можно пренебречь. Естественно, что при построении соответствующей трех-
мерной линеаризированной теории устойчивости при малых докритических деформа-
циях и малых докритических углах поворота используются вышеуказанные два Ос-
новных положения (определения, упрощения).
Учитывая вышеизложенное, по-видимому, необходимо считать обсуждаемую
трехмерную линеаризированную теорию устойчивости при малых докритических
деформациях и малых докритических усредненных углах поворота логически непо-
следовательной, поскольку в ней проводятся упрощения, считая малой по сравнению
с единицей величину (усредненные углы поворота) и отбрасывая ее; при этом, как
отмечено выше, указанные величины (усредненные углы поворота) не имеют непо-
средственного физического смысла и их можно рассматривать как некоторые матема-
тические выражения, связанные с описанием процесса деформирования. Более по-
дробно обсуждение рассматриваемого вопроса (теории «4») представлено в обзоре
[337] за 2001 г.; в последующие годы автор настоящей обзорной статьи не возвращал-
ся к анализу этого вопроса.
5. О теории инкрементальных деформаций. В монографии Biot M.A. [222],
опубликованной в 1965 г., изложены основы теории инкрементальных деформаций и
ее многочисленные применения в механике деформируемых тел; следует отметить,
что монография [222] является, по-видимому, первой монографией в мировой научной
литературе по линеаризированной механике деформируемых тел, хотя в ней и рас-
смотрены только плоские (двумерные) задачи. Частично многочисленные публикации
M.A.Biot приведены в списках литературы к обзору [337] и монографии [30] за 1971
г., которая была первой монографией по трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел автора настоящего обзора и в которой наряду с плос-
кими задачами также рассмотрены пространственные задачи обсуждаемой теории.
Теория инкрементальных деформаций [222] с точки зрения обсуждаемых позиций
и классификации настоящей обзорной статьи является трехмерной линеаризирован-
ной теорией устойчивости деформируемых тел или в более широком смысле трех-
мерной линеаризированной механикой деформируемых тел. С точки зрения анализа
подходов, которые анализировались применительно к теориям «1 – 4», теория инкре-
ментальных деформаций (теория «5») является теорией малых докритических дефор-
маций, так как в ней принимается Основное положение (определение, упрощение)
теории «2»; кроме того, в обсуждаемой теории «5» также докритическое состояние
определяется по геометрически линейной теории, так как в ней принимается Основ-
ное положение (упрощение) теории «3». Вышеуказанные упрощения и построения в
обсуждаемой теории «5» являются в достаточной мере последовательными и соответ-
ствуют упрощениям и построениям теорий «2» и «3».
Дополнительно в теории инкрементальных деформаций вводятся упрощения и
преобразования, связанные с определенной интерпретацией углов поворота матери-
альных волокон, для определения которых применяются соотношения в рамках ли-
нейной теории; в действительности же в рамках нелинейной теории малых деформа-
ций, из которой фактически посредством линеаризации и упрощений получены ос-
новные соотношения обсуждаемой теории «5», углы поворота материальных волокон
определяются совершенно другими (по сравнению с линейной теорией) выражения-
ми. Вышеизложенные соображения свидетельствуют о том, что обсуждаемая теория
инкрементальных деформаций [222] является непоследовательной. К тому же по
мнению автора настоящей обзорной статьи основные соотношения теории «3» явля-
ются более простыми (по структуре) по сравнению с теорией «5»; дополнительные
сведения можно получить из обзора [337].
Вышеизложенными сведениями ограничимся при кратком обсуждении инкремен-
тальной теории деформаций [222].
6. Приближенный подход в трехмерной теории устойчивости деформируе-
мых тел. Рассматриваемый приближенный подход в трехмерной теории устойчиво-
сти деформируемых тел первоначально был предложен Л.С.Лейбензоном в 1951 г. в
[139] (с. 110 – 121) и стал достаточно популярным у русскоязычных исследователей
после публикации А.Ю.Ишлинского [125] в 1954 г.
33
Сущность приближенного подхода [139, 125] заключается в применении линей-
ных уравнений движения и в сугубо приближенном введении (в граничные условия в
напряжениях) величин, которые связаны с искривлением граничной поверхности, вы-
званной потерей устойчивости. Достаточно подробное изложение и анализ подхода
[139, 125] представлено в монографиях [30] за 1971 г. и [49] за 1986 г. на русском
языке и [334] за 1999 г. – на английском языке, а также в краткой форме – в обзоре
[337] за 2001 г. Как уже отмечалось в п. 2.1 настоящей статьи, обзор [337] на русском
языке вошел в многотомную коллективную монографию «Успехи механики» (в 6-и то-
мах, 7-и книгах), в которую включены 174 обобщающие обзорные статьи авторов из 26
стран всего мира, опубликованные в 2000 – 2009 гг. в журнале «Прикладная механика»
на русском языке и в 2001 – 2010 гг. в журнале «International Applied Mechanics» на ан-
глийском языке при проведении акции, посвященной Началу III-го Тысячелетия.
Ниже при изложении и анализе подхода [139, 125] будем следовать обзору [337].
В соответствии с монографией [49] (с. 370 – 376) основные уравнения приближенного
подхода [139, 125] (линейные уравнения) имеют следующий вид:
0,ij j
i u (2.28)
а граничные условия на части поверхности 1S [139, 125] могут быть представлены в
форме
1
0( ) .ij mj ni j
i n m S
N g u P (2.29)
Дальнейшее возможное упрощение граничных условий (2.29) в соответствии с
[139, 125] также представлено в монографии [49] (с. 374).
Анализ приближенного подхода [139, 125] выполнен в монографиях [30, 49, 334]
и обзоре [337], исходя из строгих линеаризированных постановок задач ТЛТУДТ
(теории «1» − «3») с привлечением лагранжевых координат; следует отметить, что
привлечение лагранжевых координат является общепринятым в механике деформи-
руемых тел. Не останавливаясь на изложении анализа в [30, 49, 334], приведем лишь
результаты указанного анализа в весьма краткой форме, что можно сформулировать в
виде следующих двух позиций.
1. Подход [139, 125] является сугубо приближенным и не следует из строгой
линеаризированной постановки (теории «1» − «3») ни при какой логически обосно-
ванной системе упрощений.
2. Неверным является утверждение некоторых авторов о том, что подход
[139, 125] следует из ТЛТУДТ в результате пренебрежения в уравнениях движения
членами порядка углов поворота и сохранения членов такого же порядка в граничных
условиях в напряжениях.
Вышеизложенные результаты [30, 49, 334] относятся лишь к общему анализу
приближенного подхода [139, 125]; безусловно более впечатляющей является инфор-
мация о точности результатов решения конкретных задач, полученных в рамках под-
хода [139, 125] (как и в рамках любого сугубо приближенного подхода в механике).
С целью анализа точности результатов, полученных с привлечением приближен-
ного подхода [139, 125], обычно рассматривают простейшую задачу – плоскую задачу
об устойчивости шарнирно-опертой пластины постоянной толщины при осевом сжа-
тии; при этом удобно ввести обозначения:
элP − эйлерова критическая сила (величина критической нагрузки, вычисленной с
привлечением гипотезы плоских сечений или гипотезы Кирхгоффа – Лява);
трехP − величина критической нагрузки, вычисленной в рамках трехмерной теории
устойчивости.
Исходя из общеизвестных и общепринятых соображений физического характера
(при уменьшении числа степеней свободы величины критических значений парамет-
ров системы должны увеличиваться или, в крайнем случае, не уменьшаться), в рас-
сматриваемом примере можем записать, что должно выполняться условие
трех элP P (2.30)
34
и не должно выполняться условие
трех эл.P P (2.31)
В аналитической форме в публикациях в периодических изданиях [277] за 1967 г.,
[22] за 1968 г. и [24] за 1969 г., а также в монографиях [30, 49, 334] строго доказано,
что даже для простейшей ТЛТУДТ (теории «3») выполняется условие (2.30); как сле-
дует из решения [125] этой же задачи в рамках приближенного подхода [139, 125] для
приближенного подхода выполняется условие (2.31), которое не должно выполняться
из общеизвестных соображений физического характера.
Таким образом, приближенный подход [139, 125] приводит не только к количе-
ственным погрешностям, но и к качественно неверным результатам. Можно считать,
что в русскоязычной литературе вышеизложенная ситуация является известной и до-
казанной в аналитической форме с 1967 – 1969 гг.
В англоязычной научной литературе
вышеизложенная ситуация, по-видимому,
стала известной после публикации статьи
[546] в 1969 г., в которой изложены ре-
зультаты численного исследования рас-
сматриваемой задачи для несжимаемого
материала и проведено сравнение резуль-
татов, полученных различными авторами
для этой задачи. В соответствии с [546] на
Рис. 2.1 для вышеуказанной задачи пред-
ставлена зависимость безразмерной вели-
чины критической нагрузки от безраз-
мерного параметра тонкостенности; при-
чем на Рис. 2.1 возле каждой кривой,
представляющей вышеуказанную зави-
симость, указаны фамилии авторов, на
основании решения которых получена эта
зависимость. Отметим, что на Рис. 2.1
кривая, связанная с именем Эйлера, полу-
чена на основании двумерной (в рассмат-
риваемой задаче одномерной) прикладной теории, построенной с привлечением гипо-
тезы Кирхгоффа – Лява; все другие кривые, представленные на Рис. 2.1 [546], получе-
ны на основании различных постановок задач трехмерной линеаризированной теории
устойчивости деформируемых тел (ТЛТУДТ). Из результатов, представленных на
Рис. 2.1 [546], следует, что для всех указанных решений, основанных на ТЛТУДТ, все
кривые лежат правее кривой, построенной на основе применения гипотезы Кирхгоф-
фа – Лява; следовательно, для всех приведенных решений, построенных на основе
ТЛТУДТ, выполняется следующее условие:
трех эл ,P P (2.32)
которое является более сильным по сравнению с условием (2.30). Также из результа-
тов, представленных на Рис. 2.1, следует, что лишь для решения, построенного на ос-
нове приближенного подхода [139, 125], кривая лежит левее кривой, построенной на
основе теории с применением гипотезы Кирхгоффа – Лява; следовательно, выполня-
ется условие
трех эл ,P P (2.33)
которое является более сильным по сравнению с условием (2.31). При этом, как уже
отмечалось выше, условие (2.31) не должно выполняться в силу общеизвестных и
общепринятых соображений физического характера.
Таким образом, результаты [546], полученные на основе численного исследова-
ния, и результаты [277, 22, 24] и других публикаций, полученные на основе исследо-
ваний в аналитической форме, качественно совпадают и свидетельствуют о том, что
приближенный подход [139, 125] может приводить также к качественно неверным
результатам.
Рис. 2.1
35
Учитывая вышеизложенное, приходим к выводу, что подход [139, 125] является
сугубо приближенным и никак не следует из ТЛТУДТ; к тому же подход [139, 125]
может приводить не только к количественным погрешностям, но также и к каче-
ственно неверным результатам. В связи с вышесформулированным выводом все
результаты, полученные с привлечением подхода [139, 125], требуют дополнительных
исследований с целью определения достоверности этих результатов и соответствия их
рассматриваемым явлениям механики и смежных областей естествознания; краткая
информация о применении подхода [139, 125] к исследованию проблем механики и
смежных областей естествознания представлена в обзоре [337].
Таким образом, в настоящем пункте (п. 2.2) представлены краткие, но информа-
тивные сведения о 6-и трехмерных теориях устойчивости деформируемых тел, кото-
рые, в определенном смысле, являются основными и наиболее часто применяемыми в
настоящее время. Ниже в настоящем пункте (п. 2.2) рассмотрим заключительную ин-
формацию, которая оформлена в виде Примечаний.
Примечание 2.3. В настоящем пункте (п. 2.2) в краткой форме применительно к
6-и рассматриваемым теориям (теории «1 – 6») приведены основные соотношения,
которые сформулированы относительно возмущений напряжений и перемещений.
Если к указанным соотношениям присоединить линеаризированные определяющие
уравнения (в частности, линеаризированные соотношения упругости), то получаем
замкнутые системы уравнений, сформулированные относительно возмущений, для
рассматриваемых моделей механики деформируемых тел.
Примечание 2.4. В вышеуказанные замкнутые системы уравнений входят вели-
чины напряжений докритического состояния, которые отмечены индексом «нуль» и
которые являются неизвестными (их надо определять в результате решения задач
устойчивости) в ТЛТУДТ. Если в замкнутых системах уравнений считать напряже-
ния, отмеченные индексом «нуль», известными величинами, то получаем основные
соотношения линеаризированной механики деформируемых тел для материалов с
начальными (остаточными) напряжениями.
Примечание 2.5. Рассмотренные шесть теорий можно характеризовать по стро-
гости их построения (по последовательности и точности).
Теория 1 (Теория больших (конечных) докритических деформаций) является
наиболее общей, последовательной и точной теорией.
Теория 2 (Первый вариант теории малых докритических деформаций) является
последовательной (получена из теории «1» при общепринятых допущениях о малости
удлинений и сдвигов) и не совсем точной (вводились указанные допущения) теорией.
Теория 3 (Второй вариант теории малых докритических деформаций) является
последовательной (дополнительно к упрощениям теории «2» вводилось общеприня-
тое допущение об определении докритического состояния по геометрически линей-
ной теории) и не совсем точной (вводились указанные упрощения) теорией.
Теория 4 (Линеаризированная теория устойчивости при малых деформациях и
малых усредненных углах поворота) является непоследовательной (вводится допуще-
ние о малости величины, не имеющей непосредственного физического смысла – о
малости усредненных углов поворота) и не точной (вводится указанное упрощение)
теорией.
Теория 5 (Теория инкрементальных деформаций) является линеаризированной,
непоследовательной (кроме общепринятых допущений теорий «2» и «3» вводятся
упрощения, вызванные непоследовательной интерпретацией углов поворота) и не
точной (вводятся указанные упрощения) теорией.
Теория 6 (Приближенный подход в трехмерной теории устойчивости деформи-
руемых тел) является непоследовательной (никак не следующей из строгих линеари-
зированных теорий) и не точной (приводит к качественно отличным результатам и
количественным погрешностям) теорией; это сугубо приближенный подход, приво-
дящий к вышеуказанной ситуации.
Примечание 2.6. В настоящем пункте (п. 2.2) при изложении процедуры постро-
ения теории «2» (Первый вариант теории малых докритических деформаций) во
вводной части указанного изложения было указано два существующих способа по-
36
строения основных соотношений обсуждаемой теории. При первом способе все ос-
новные соотношения обсуждаемой теории «2» получают из соответствующих соот-
ношений теории «1» (Теории больших (конечных) докритических деформаций) по-
средством введения в указанные соотношения теории «1» Основных упрощений не-
линейной теории малых деформаций; при таком способе получены все основные со-
отношения теории «2», которые приведены в настоящей обзорной статье. При втором
способе вначале получают основные соотношения нелинейной теории малых дефор-
маций, исходя з Основного положения (упрощения) нелинейной теории малых де-
формаций и сопутствующих соображений физического характера; потом проводят
линеаризацию полученных соотношений нелинейной теории малых деформаций, сле-
дуя процедуре, изложенной во вводной части п. 2.1 настоящей обзорной статьи.
Как уже отмечалось, не всегда результаты, полученные первым и вторым спосо-
бом, совпадают; в связи с отмеченной ситуацией ниже рассмотрим пример такого не-
совпадения применительно к выражению (2.14) для определения контравариантных
составляющих векторов правых частей граничных условий в напряжениях (2.10) (ве-
личин jP ) при действии на 1S «следящей» нагрузки интенсивности P , которая
направлена по нормали к 1S . Так, при реализации первого способа для определения
указанных величин получено выражение (2.20) применительно к теории «2» (Первый
вариант теории малых докритических деформаций) и выражения (2.27) примени-
тельно к теории «3» (Второй вариант теории малых докритических деформаций);
следует отметить, что выражения (2.20) и (2.27) не совпадают между собой, что и сле-
довало ожидать в силу введения в теории «3» дополнительно Основного положения
этой теории. При реализации второго способа получено для теории «2» и теории «3»
одинаковое следующее выражение:
;j jP PN u
(2.34)
причем выражение (2.34) получено и применялось в публикациях практически всех
исследователей, занимающихся нелинейной теорией малых деформаций.
Вполне очевидно, что выражения (2.34) не совпадают ни с одним из выражений
(2.20) и (2.27). По-видимому, можно считать, что отмеченное несовпадение результа-
тов является следствием существующей в процедуре построения теорий (проведение
преобразований при построении теорий) следующей ситуации применительно к тео-
рии «2» (Первый вариант теории малых докритических деформаций).
Линеаризация основных соотношений теории больших (конечных)
деформаций + введение в указанные соотношения упрощений, соответ-
ствующих Основному положению (определению) теории малых дефор-
маций построению основных соотношений нелинейной теории малых
деформаций на основе Основного положения (определения) малых де-
формаций и сопутствующих соображений физического характера + лине-
аризация полученных указанным образом основных соотношений.
Поскольку трехмерные линеаризированные теории устойчивости деформируемых
тел, по существу, оперируют с возмущениями рассматриваемых величин (малыми
величинами), то приведенный пример свидетельствует о необходимой строгости и
осторожности. Достаточно точные выражения (2.20) и (2.27), как будет отмечено в
последующем изложении, дают возможность последовательно рассмотреть некоторые
общие вопросы в отличие от выражений (2.34).
Вышеизложенными сведениями ограничимся при анализе построения и класси-
фикаций основных теорий и подходов в трехмерной теории устойчивости деформи-
руемых тел; дополнительные сведения можно получить из монографии [49, 334] и
обзоров [337, 338], а также из других публикаций, представленных в списке литерату-
ры к настоящей обзорной статье.
2.3. О критериях устойчивости в ТЛТУДТ. Прежде всего, целесообразно отме-
тить, что критерии устойчивости в ТЛТУДТ являются приложением, развитием и
обобщением соответствующих критериев устойчивости, которые существуют в дву-
мерных и одномерных прикладных теориях устойчивости тонкостенных деформиру-
емых элементов конструкций (стержни, пластины и оболочки), построенных с при-
37
влечением гипотез плоских сечений, Кирхгоффа – Лява, Тимошенко и т.д. Отмечен-
ная ситуация дает возможность рассмотреть в достаточно краткой форме различные
критерии устойчивости деформируемых тел применительно к различным моделям,
отмечая специфику их применения к ТЛТУДТ; дополнительные сведения при этом
можно получить из монографий [49, 334], в достаточно последовательной форме эти
сведения представлены в обзоре [337].
Предварительно в общем виде для всех моделей деформируемых тел приведем
некоторые сведения, относящиеся к классификации постановок задач в соответствии
со структурой возмущений составляющих массовых сил jF в (2.5) и поверхностных
сил jP в (2.10). В достаточно общем случае соответствующие контравариантные со-
ставляющие векторов этих сил можно представить в виде
1 2 1 2; ,j j j j j jF F u F u P P u P u
(2.35)
где через
j
kF и
j
kP обозначены дифференциальные операторы по пространствен-
ным ,n коэффициенты которых зависят от m и времени .
К динамическим задачам теории устойчивости относятся задачи, для которых вы-
полняется хотя бы одно из следующих условий:
2 20; 0.j jF P (2.36)
К статическим задачам теории устойчивости относятся задачи, для которых вы-
полняются следующие условия:
2 20; 0.j jF P (2.37)
В качестве примера статических задач, для которых выполняются более частного
вида условия по сравнению с условиями (2.37), можно указать статические задачи,
для которых выполняются условия
2 2 1 10; 0; 0; 0.j j j jF P F P (2.38)
К таким статическим задачам относятся задачи при действии «следящей» нагруз-
ки в виде равномерного давления, в обсуждаемом случае дифференциальные опера-
торы определяются из выражений (2.14) для теории «1» (Теории больших (конечных)
докритических деформаций), из выражений (2.20) для теории «2» (Первый вариант
теории малых докритических деформаций) и выражения (2.27) для теории «3» (Вто-
рой вариант теории малых докритических деформаций)
Ниже, следуя изложению обзорной статьи [337], рассмотрим информацию о кри-
териях устойчивости раздельно для основных моделей механики деформируемых тел.
2.3.1. Упругие тела. Рассмотрим устойчивость состояния равновесия упругого
тела. В этом случае предполагается, что после перехода в смежную равновесную фор-
му равновесия (возмущенное состояние) при уменьшении параметра нагружения (при
однопараметрическом нагружении) упругое тело возвращается в исходное (невоз-
мущенное) состояние; в отмеченной особенности заключается специфическое свой-
ство теории устойчивости упругих систем, которое нельзя перенести на неупругие
тела. Обычно при исследовании устойчивости состояния равновесия упругих тел
применяются динамический или статический (бифуркационный) критерии, соответ-
ствующие динамическому и статическому (методу Эйлера) методам исследования.
При применении динамического критерия устойчивости состояние равновесия
является устойчивым, если возмущения со временем затухают (при ); условно
при этом также считают состояние равновесия устойчивым, если для возмущений
получают только периодические по решения. При применении динамического кри-
терия устойчивости состояние равновесия считается неустойчивым, если возмущения
неограниченно возрастают при .
38
При применении динамического метода исследования используются уравнения
движения (2.5), (2.15), (2.22), (2.28) и другие им соответствующие граничные условия;
при этом под им соответствующие понимаются уравнения движения и граничные
условия, записанные в другой форме. Во всех величинах возмущений, которые входят
в вышеуказанные уравнения движения и граничные условия, выделяется множитель
exp i ; в результате из вышеуказанных уравнений и граничных условий получаем
задачу на собственные значения относительно параметра . Обозначим собственные
значения вышесформулированной задачи через ( 1, 2, ... , ).k k Учитывая вышеиз-
ложенное, будем считать состояние равновесия устойчивым (при принятом динами-
ческом критерии), если для всех собственных значений k выполняется условие
Im 0; 1, 2, ... , .k k (2.39)
Граница области устойчивости в пространстве параметров нагружения определя-
ется при этом в результате минимизации по различным комбинациям параметров
нагружения при условии, что эти параметры нагружения соответствуют условиям для
собственных чисел в следующем виде:
Im 0; 1, 2, ... , .k k (2.40)
При применении статического метода исследования (метод Эйлера) и статичес-
кого критерия устойчивости состояния равновесия (в этом случае следует принять
0 ) получаем задачу на собственные значения относительно параметров нагруже-
ния, которые входят в основные соотношения, указанные выше. Граница области
устойчивости в пространстве параметров нагружения (критические значения пара-
метров нагружения) определяется в результате минимизации по различным комбина-
циям параметров нагружения, соответствующим полученным собственным числам.
Необходимо отметить, что динамический метод исследования применим к дина-
мическим и статическим задачам; статический же метод исследования применим
только к исследованию статических задач и то далеко не ко всем статическим зада-
чам. Поскольку применение статического метода (при его реализации) несравнимо
проще по сравнению с применением динамического метода, то всегда возникает про-
блема формулировки условий применимости статического метода (метода Эйлера)
для статических задач. Достаточные условия применимости метода Эйлера в общей
форме для упругих и пластических тел с достаточно общей формой определяющих
уравнений будут приведены также в настоящем параграфе (§2) при дальнейшем из-
ложении основ ТЛТУДТ.
Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком обсуждении
общепринятых критериев устойчивости состояния равновесия упругих тел; вышепри-
веденное изложение рассматриваемого вопроса совпадает с изложением этого вопро-
са в обзорной статье [337], поскольку со времени публикации статьи [337] в 2001 г. не
произошло изменений в общепринятых взглядах по обсуждаемой проблеме. Допол-
нительно следует отметить, что применительно к ряду проблем механики упругих тел
(например, к теории удара по упругим телам) используются и специфические более
приближенные критерии устойчивости упругих тел.
2.3.2. Пластические тела. При появлении в процессе деформирования даже до-
статочно малых пластических деформаций в силу их необратимости получаем (при
попытке применить концепцию теории упругой устойчивости) неустойчивое состоя-
ние равновесия, так как система, получившая пластические деформации, при умень-
шении параметра нагружения уже никогда не возвращается в исходное положение. В
связи с этим в механике неупругих тел никогда не рассматривается вопрос о возвра-
щении системы в исходное состояние после потери устойчивости. Учитывая вышеиз-
ложенные соображения, в механике пластических систем рассматривают вопрос об
устойчивости состояния равновесия по поведению возмущений, которые описываются
линеаризированной теорией; при этом вопрос о возвращении системы в исходное по-
ложение при уменьшении нагрузки, как уже отмечалось, никогда не предусматривается.
39
Следует подчеркнуть, что при исследовании
устойчивости состояния равновесия в точке 0O
на диаграмме ~ (Рис. 2.2) с привлечением
линеаризированной системы уравнений, при
строгом подходе, для возмущений необходимо
рассматривать наличие процессов активного
нагружения и разгрузки. Таким образом, при
строгом рассмотрении для возмущений получа-
ем линеаризированную систему уравнений с
изменяющейся зоной разгрузки, что, по сущест-
ву, исключает возможность получения решений
конкретных задач в рамках ТЛТУДТ. Подобная
сложность возникает и в теории устойчивости
тонкостенных систем, основанных на двумерных прикладных теориях тонкостенных
систем; в этом случае в теории устойчивости пластических систем для ряда задач уда-
ется преодолеть вышесформулированную сложность посредством использования из-
вестных гипотез о распределении напряженно-деформированного состояния по тол-
щине тонкостенных систем.
Для преодоления вышеуказанных сложностей при исследовании задач ТЛТУДТ
для пластических тел сформировалось два подхода:
первый подход основан на исследовании устойчивости состояния равновесия с
применением допущения – обобщенной концепции продолжающегося нагружения;
второй подход основан на исследовании устойчивости процесса деформирования
с применением допущения − склонности системы к потере устойчивости при равноак-
тивной бифуркации.
Не рассматривая и не анализируя вначале каждый из двух указанных подходов,
сформулируем основной вывод, который следует из отмеченного анализа. Основной
вывод заключается в том, что при двух различных подходах (первый – исследование
устойчивости состояния равновесия; второй – исследование устойчивости процесса
деформирования) и при различных допущениях для каждого из подходов (для первого
– обобщенная концепция продолжающегося нагружения без выяснения вида дополни-
тельной нагрузки, компенсирующей появление дополнительных зон разгрузки при по-
тере устойчивости; для второго – склонность к потере устойчивости при равноактивной
бифуркации) приходим к одной и той же линеаризированной задаче типа п. 2.2
настоящего параграфа с известными зонами разгрузки, которые определяются при
анализе докритического состояния.
Таким образом, учитывая вышесформулированный Основной вывод, при исследо-
вании трехмерных линеаризированных задач теории устойчивости для пластических
тел приходим в соответствии с вышеизложенными двумя подходами к линеаризиро-
ванным задачам, которые по структуре соответствуют задачам п. 2.2; при этом в соот-
ветствующие уравнения и граничные условия п. 2.2 необходимо ввести соотношения
линеаризированных определяющих уравнений соответствующей теории пластичнос-
ти. С учетом критериев и подходов для пластических тел (на основе вышеуказанных
линеаризированных систем уравнений) при решении конкретных задач применяются
динамический и статический методы исследования в такой же форме, как и для упру-
гих тел. Следовательно, можно считать, что доказано следующее Утверждение.
Утверждение. При рассмотренных подходах исследование задач трехмерной ли-
неаризированной теории устойчивости деформируемых тел можно проводить едино-
образно для упругих и пластических тел; при этом для пластических тел следует
определять докритическое состояние с учетом изменяющихся в процессе нагружения
зон разгрузки.
Рассмотрим в краткой форме первый подход, который основан на применении
обобщенной концепции продолжающегося нагружения. Впервые концепция продол-
Рис. 2.2
40
жающегося нагружения применительно к теории устойчивости тонкостенных пласти-
ческих систем, основанной на двумерных прикладных теориях, была предложена
Ф.Шенли (статья под № 104 за 1951 г. в списке литературы к обзору [337]). Обобще-
ние вышеуказанной концепции на ТЛТУДТ, называемое обобщенной концепцией
продолжающегося нагружения, рассматривалось в публикациях автора настоящей
обзорной статьи, например, статья за 1968 г. (№ 25 в списке литературы к обзору
[337]), статья за 1969 г. (№ 27 в списке литературы к обзору [337]) и статья [33] за
1973 г., а также в ряде работ других авторов; сравнительно подробное обсуждение
обобщенной концепции продолжающегося нагружения представлено в монографиях
автора настоящего обзора [34, 49, 334].
В обобщенной концепции продолжающегося на-
гружения принимается, что об устойчивости состояния
равновесия упругопластических тел (в рамках трех-
мерных теорий) можно судить по поведению возму-
щений, которые описываются линеаризированными
уравнениями п. 2.2 с привлечением линеаризирован-
ных определяющих уравнений соответствующей тео-
рии пластичности; при этом зоны разгрузки, возник-
шие в докритическом состоянии, не изменяются. Кро-
ме того, считается, что процесс потери устойчивости
начинается несколько раньше, чем достигается крити-
ческое состояние (состояние нейтрального равнове-
сия); в связи с этим процесс потери устойчивости про-
исходит при незначительном, но продолжающемся
нагружении, и разгрузка в процессе потери устойчивости не происходит. При таком
подходе фактически вместо ситуации, представленной на Рис. 2.2, исследуется ситуа-
ция, представленная на Рис. 2.3.
Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком обсуждении
первого подхода, дополнительные сведения можно получить из монографий [34, 49,
334]. Второй подход также достаточно подробно изложен в монографиях [34, 49,
334], в связи с этим в настоящей статье не будем приводить сведения, относящиеся ко
второму подходу; к тому же, как отмечено выше в Основном выводе, при применении
первого и второго подходов приходим к одинаковым линеаризированным задачам.
В заключительной части п. 2.3.2, следуя обзору [337], приведем два Примечания,
способствующих более четкому пониманию обсуждаемых вопросов применительно к
ТЛТУДТ для пластических тел.
Примечание 2.7. Необходимо отметить существенное принципиальное отличие
(как по строгости и логичности анализа, так и по соответствию физическому смыслу
рассматриваемых явлений) следующих двух ситуаций. Первая ситуация связана с
применением динамического метода исследования устойчивости пластических тел на
основе анализа линеаризированной системы, полученной с применением вышеизло-
женных двух подходов в ТЛТУДТ; естественно, в этом случае не учитывается изме-
нение зон разгрузки при исследовании колебательных движений для возмущений,
соответствующих применению динамического метода анализа. В этом случае опреде-
ляются величины критических нагрузок (конечные величины) в результате анализа по-
ведения малых возмущений; при этом применяются логически и физически обоснован-
ные подходы и концепции. Вторая ситуация возникает при исследовании динамиче-
ских задач для пластических тел (определение напряженно-деформированного состоя-
ния), например при исследовании колебаний пластических тел; ряд авторов в этой си-
туации, ссылаясь на использование теории малых деформаций, также не учитывают
изменение зон разгрузки при колебаниях, т.е. по существу вместо явления на Рис. 2.2
рассматривают явление на Рис. 2.3. Следует подчеркнуть, что в этом случае рассмат-
риваются не малые величины (возмущения – как в линеаризированной теории устой-
чивости), а величины (напряжения и перемещения при колебаниях), значения кото-
рых определяются уровнем внешней нагрузки. Кроме того, при указанной замене яв-
Рис. 2.3
41
лений (Рис. 2.2 на Рис. 2.3) правильно описывается поведение пластических тел на од-
ном полупериоде и неправильно описывается – на таком же втором полупериоде коле-
баний. Таким образом, неучет изменения зон разгрузки во второй ситуации приводит
к результатам, не соответствующим рассматриваемому физическому явлению.
Примечание 2.8. Концепцию продолжающегося нагружения (как в рамках при-
кладных двумерных теорий устойчивости тонкостенных пластических элементов
конструкций, так и обобщенный ее вариант применительно к ТЛТУДТ) можно счи-
тать приближенным приемом при исследовании устойчивости состояния равновесия
пластических тел, если принять следующую ее интерпретацию. Будем считать, что
точка 0O на Рис. 2.2 является точкой бифуркации применительно к конкретной задаче
для пластического тела. Для приближенного определения (вычисления) точки 0O рас-
смотрим на диаграмме ~ на Рис. 2.2 точку 0O , которая находится ниже точки 0O .
При нагружении в окрестности точки 0O нагружение будет продолжаться и разгрузки
возникать не будет; при этом примем, что продолжающееся нагружение в окрестно-
сти точки 0O будет компенсировать появление дополнительных зон разгрузки, если в
окрестности точки 0O рассматривать линеаризированную задачу типа Рис. 2.3. При-
ближая сколь угодно близко точку 0O к точке 0O , можно сохранять вышеприведен-
ные соображения; в результате можно сколь угодно точно определить положение
точки 0O на диаграмме Рис. 2.2.
Вышеприведенными сведениями ограничимся при весьма кратком рассмотрении
критериев устойчивости состояния равновесия пластических тел; дополнительная
информация по обсуждаемому вопросу представлена в монографиях [34, 49, 334].
2.3.3. Тела с реологическими свойствами. Прежде всего, целесообразно отме-
тить, что в случае упругих (п. 2.3.1) и пластических (п. 2.3.2) тел исследование про-
блемы устойчивости состояния равновесия основано на анализе поведения малых
возмущений, которые описываются линеаризированными трехмерными уравнениями,
и в качестве критерия устойчивости при динамическом методе исследования прини-
мается затухание возмущений во времени; естественно, что такой подход распростра-
няется на все модели деформируемых тел, в которых учитываются упругие и пласти-
ческие деформации. Вышеуказанный подход для упругих и пластических тел соот-
ветствует общепринятому традиционному подходу в механике и позволяет проводить
анализ соответствующих разнообразных задач при единообразной, общей и традици-
онной методологии.
В случае же тел с реологическими свойствами разработанные подходы к исследо-
ванию проблемы устойчивости не имеют вышеуказанных общности и единообразия,
характерных для упругих и пластических тел, применительно к исследованию разнооб-
разных задач, что и будет следовать из дальнейшего изложения в настоящем п. 2.3.3.
В весьма краткой форме рассмотрим некоторые подходы и критерии устойчиво-
сти, которые характерны для тел с реологическими свойствами (вязкоупругие,
наследственно-упругие, вязкоупругопластические и другие тела); несколько более
подробная информация по этому вопросу, в основном применительно к ТЛТУДТ,
приведена в монографиях [34, 49, 334]. Обычно исходят из следующего основного
предположения (допущения): об устойчивости можно судить по поведению возму-
щений в рамках линеаризированной задачи; при этом в случае тел с пластическими
свойствами дополнительно принимаются упрощения типа концепции продолжающе-
гося нагружения. В дальнейшем применяется следующий общий критерий: состояние
равновесия или движения считается устойчивым, если возмущения во времени зату-
хают, и неустойчивым – если возмущения во времени возрастают.
Вышеизложенный подход и общий критерий являются только общей схемой;
дальнейшее продвижение в этом научном направлении, в крайнем случае по мнению
автора настоящей обзорной статьи, еще не достигнуто ввиду следующих сложностей.
42
При применении вышеуказанного общего критерия получаются весьма сложные ли-
неаризированные систем уравнений, так как коэффициенты этих уравнений также
зависят от времени (в дополнение к зависимости от координат в случае неоднородных
докритических состояний, что наблюдается для упругих и пластических тел). В связи
с отмеченными сложностями в настоящее время при исследовании устойчивости тел с
реологическими свойствами, в основном, применяются различные приближенные
подходы, методы и критерии устойчивости. Анализ ряда отмеченных приближенных
подходов, методов исследования и критериев устойчивости (как в рамках прикладных
двумерных теорий тонкостенных элементов, так и в рамках ТЛТУДТ) рассматривался
в монографиях [34, 49, 334] и частично в обзорах, указанных в [337]; наиболее систе-
матизированные результаты обсуждаемого анализа представлены в обзоре [337], ко-
торому и будем следовать при дальнейшем изложении в настоящем пункте (п. 2.3.3).
Также отметим, что ниже приведена информация о приближенных подходах и крите-
риях устойчивости для тел с реологическими свойствами, в определяющие уравнения
которых обязательно входят упругие деформации; таким образом, исключается ин-
формация о приближенных подходах и критериях устойчивости, которые характерны
для неньютоновских жидкостей и родственных сред.
Учитывая вышеизложенные сведения и соображения, ниже, следуя обзору [337],
кратко рассмотрим пять приближенных подходов и соответствующие пять прибли-
женных критериев устойчивости состояния равновесия для тел с реологическими
свойствами.
Подход 1. В случае медленных изменений коэффициентов линеаризированной за-
дачи для указанных коэффициентов как бы вводится «свое» время 1 (фактически
фиксируется значение коэффициентов при 1 ) и для возмущений вводится время ;
при этом принимается, что «время 1 и время не зависят друг от друга». По-
видимому, можно считать, что такой подход может привести к правильным результа-
там лишь при исследовании поведения возмущений на малом интервале времени, за
который коэффициенты системы изменяются незначительно; этот подход еще связы-
вают как бы с «замораживанием времени». Вышеизложенный подход в ТЛТУДТ
применялся в монографии [30] за 1971 г. и в указанных в ней публикациях в периоди-
ческих изданиях, например, [28]. В связи с предполагаемым в этом случае медленным
изменением коэффициентов линеаризированных систем можно также дополнительно
ввести, следуя монографиям [34, 49, 334], следующее допущение:
0 0 .mu (2.41)
Подход 2. Достаточно широкое распространение получил подход, когда вопрос об
устойчивости тел с реологическими свойствами исследуется на основе анализа пре-
дельных систем; при этом под предельными системами понимаются линеаризирован-
ные системы уравнений и соответствующие граничные условия (как в рамках при-
кладных двумерных теорий тонкостенных элементов конструкций, так и в рамках
ТЛТУДТ), когда в коэффициентах принято . В качестве примера можно ука-
зать статью (№ 138 в списке литературы к обзору [337] и ряд других публикаций; в
этом случае исследуется асимптотическая устойчивость. Частично обзор результатов,
полученных с привлечением рассматриваемого приближенного подхода, приведен в
обзорных статьях (№ 73 и № 74 в списках литературы к обзору [337]).
Целесообразно отметить, что приближенный Подход 2 следует из приближенного
Подхода 1, если в последнем принять 1 .
Подход 3. В случае медленных движений при исследовании устойчивости состоя-
ния равновесия тел с реологическими свойствами можно отбросить силы инерции. Рас-
сматриваемый подход для прикладных двумерных теорий тонкостенных элементов
конструкций при ползучести применялся в монографии за 1966 г. (№ 102 в списке лите-
ратуры к обзору [337]) и назван там квазистатическим подходом. Обсуждаемый подход
применялся в ТЛТУДТ в монографии [30] за 1971 г. и в указанных в ней публикациях в
периодических изданиях, например [28], при однородных докритических состояниях.
43
Очевидно, что обсуждаемый квазистатический подход может привести к пра-
вильным результатам лишь при определенном типе внешних нагрузок; в случае упру-
гих и пластических тел такой подход называется статическим методом исследования
устойчивости состояния равновесия.
Подход 4. Приближенный подход и приближенный критерий устойчивости для
тел и тонкостенных элементов конструкций с реологическими свойствами. В статье
Н.Хоффа [495] за 1954 г. был предложен приближенный подход и приближенный
критерий, получивший название приближенного критерия устойчивости Хоффа, для
исследования устойчивости при ползучести тонкостенных систем (стержни, пластины
и оболочки) в рамках одномерных и двумерных прикладных теорий, построенных с
привлечением соответствующих гипотез. В соответствии с подходом [495] вводится
малое отклонение ( )f x первоначально прямолинейной формы тонкостенных систем
и в дальнейшем (на основе решения соответствующей задачи при ползучести) анали-
зируется изменение ( , )f x во времени при постоянной или возрастающей внешней
нагрузке. Критическое время cr при этом определяется из следующего условия:
( , ) при .crf x (2.42)
В случае слоистых и волокнистых композитных материалов для исследования за-
дач устойчивости при вязкоупругом деформировании необходимо вводить малые от-
клонения слоев и волокон от прямолинейной формы (типа величины ( )f x в случае
[495] тонкостенных элементов конструкций) во внутреннюю структуру композитного
материала. Вышеотмеченная процедура введения малых отклонений в структуру
композитного материала осуществляется при помощи соответствующих методов ме-
ханики искривленных композитов, изложенных в монографии [197]. Обсуждаемый
приближенный критерий устойчивости слоистых и волокнистых композитных мате-
риалов при вязкоупругом деформировании рассматривался в публикациях в периоди-
ческих изданиях [210, 186, 204] в 1997 – 1999 гг. и в ряде других публикаций, анализ
которых представлен в обзорной статье [187] за 2007 г. При рассматриваемом подхо-
де критическое время cr определяется из условий типа (2.42), при этом также из со-
ответствующих выражений также вычисляются величины T и T .
Подход 5. Приближенный подход и приближенный критерий устойчивости для
тел и элементов конструкций с реологическими свойствами. В статье Дж.Джерард и
А.Гильберт за 1959 г. (№ 77 в списке литературы к обзору [337]) был предложен при-
ближенный подход и приближенный критерий, получивший название метод критиче-
ской деформации, для исследования устойчивости при ползучести тонкостенных си-
стем (пластины и оболочки) в рамках двумерных прикладных теорий, построенных с
привлечением соответствующих гипотез. В соответствии с методом критической де-
формации или критерием критической деформации принимается, что критическое
время и критические силы при ползучести определяются из равенства деформации
при ползучести и критической деформации, вычисленной в предположении, что тон-
костенный элемент конструкции работает в упругой или упруго-пластической обла-
сти. Таким образом, критическое время определяется как время, необходимое для
достижения при заданной нагрузке деформацией значения критической деформации
для упругого или упруго-пластического тела. Для сложного напряженно-деформиро-
ванного состояния критическая деформация вычисляется по величине интенсивности
сдвига (по инвариантной величине).
В монографии [54] (с. 604 – 614) и в двухтомной монографии [57] (т. 2, с. 636 –
648), а также в публикациях в периодических изданиях, например, [306], рассмотрено
применение обсуждаемого критерия критической деформации к построению теории
устойчивости (ТЛТУДТ) простейшего тела с реологическими свойствами (ортотроп-
ного линейного наследственно-упругого тела нестареющего типа); отмеченные ре-
зультаты составили основу континуальной теории длительного разрушения компо-
зитных материалов при сжатии.
44
Примечание 2.9. Из приведенных выше в п. 2.3.3 сведений следует, что для тела
с реологическими свойствами, в отличие от упругих и пластических тел, в настоящее
время отсутствуют общий метод и соответствующий четко сформулированный кри-
терий устойчивости, позволяющие проводить исследования разнообразных задач; для
упругих и пластических тел таким достаточно общим методом является динамиче-
ский метод. Кроме того, вышерассмотренные приближенные критерии устойчивости
для тел с реологическими свойствами не всегда соответствуют общепринятому тра-
диционному подходу в механике, когда исследование устойчивости состояния равно-
весия основано на анализе поведения малых возмущений, которые описываются ли-
неаризированными уравнениями, и в качестве критерия устойчивости принимается
затухание возмущений во времени при динамическом методе исследования.
Вышеизложенными сведениями ограничимся при весьма кратком обсуждении рас-
сматриваемых вопросов для тел с реологическими свойствами. Необходимо в заклю-
чение только отметить, что в теории устойчивости материалов (тел, сред) и элементов
конструкций с реологическими свойствами используются и другие подходы и крите-
рии; выше в п. 2.3.3 рассмотрены только основные, с точки зрения автора настоящей
обзорной статьи, подходы и критерии, которые используются наиболее часто.
2.4. Общие вопросы ТЛТУДТ. В настоящем пункте (п. 2.4) в весьма краткой
форме приведем сведения, относящиеся к следующим общим вопросам ТЛТУДТ:
общая формулировка задач ТЛТУДТ для различных моделей деформируемых тел;
достаточные условия применимости статического метода исследования (метода Эй-
лера); примеры различного типа вариационных принципов ТЛТУДТ. Вышеуказанные
общие вопросы ТЛТУДТ рассмотрены достаточно последовательно (с возможной
степенью общности для различных моделей деформируемых тел) в монографиях [34]
за 1977 г., [49] за 1986 г. и [334] за 1999 г., а также в ряде обзорных статей, которые
включены в список литературы к настоящей обзорной статье; в наиболее сжатом виде
обсуждаемые вопросы приведены в обзоре [337], что и будет использовано ниже в
настоящем пункте. Общие вопросы ТЛТУДТ будем рассматривать лишь для трех тео-
рий, которые в соответствии с терминологией п. 2.2 настоящего параграфа (§2) имеют
названия: теория 1 (теория больших (конечных) докритических деформаций), теория 2
(первый вариант теории малых докритических деформаций) и теория 3 (второй ва-
риант теории малых докритических деформаций); причем рассмотрение проводится
в единой общей форме для вышеуказанных трех теорий, которые в соответствии с
Примечанием 2.5 являются последовательными.
2.4.1. Общая формулировка задач ТЛТУДТ для различных моделей дефор-
мируемых тел. Обсуждаемые результаты представим отдельно для сжимаемых тел,
вводя тензор четвертого ранга , и отдельно для несжимаемых тел, вводя тензор чет-
вертого ранга , а также отдельно рассмотрим некоторые свойства симметрии со-
ставляющих введенных тензоров и . Рассматриваемые результаты получаем,
вводя линеаризированные определяющие уравнения для различных моделей дефор-
мируемых тел в соответствующие выражения (2.5) – (2.14) для теории 1, (2.15) –
(2.20) для теории 2 и (2.22) – (2.27) для теории 3. Кроме того, воспользуемся выра-
жениями (2.35) для определения в достаточно общем случае ковариантных составля-
ющих векторов возмущений массовых и поверхностных сил и во всех величинах воз-
мущений в соответствии с динамическим методом исследования (п. 2.3) выделим
множитель ( exp i ).
Сжимаемые тела. В этом случае получаем линеаризированные уравнения дви-
жения в перемещениях
2
1 2( ) ( ) 0ij j j j
i u u F i F u
(2.43)
и линеаризированные граничные условия в напряжениях на части поверхности 1S
1 1
1 2( ) ( ) .ij jk jk
i kS S
N u P i P u
(2.44)
45
Граничные условия в перемещениях на части поверхности 2S остаются в форме
(2.11). Контравариантные составляющие несимметричного тензора напряжений
Кирхгоффа t при этом определяются следующими соотношениями:
.ij ijt u
(2.45)
Несжимаемые тела. В этом случае получаем линеаризированные уравнения
движения в перемещениях
2
(1) (2)( ) ( ) 0ij ij j j j
i u q p u F i F u
(2.46)
и линеаризированные граничные условия в напряжениях на части поверхности 1S
1 1
1 2( ) ( ) .ij ij jk jk
i k
S S
N u q p P i P u
(2.47)
Граничные условия в перемещениях на части поверхности 2S остаются в форме
(2.11) и условие несжимаемости остается в форме (2.7). Контравариантные составля-
ющие несимметричного тензора напряжений Кирхгоффа t при этом определяются
следующими соотношениями
.ij ij ijt u q p
(2.48)
Необходимо отметить, что выше соотношения (2.43) – (2.45) для сжимаемого тела
сформулированы относительно трех составляющих вектора возмущения перемеще-
ний, а соотношения (2.46) – (2.48) для несжимаемого тела сформулированы относи-
тельно трех составляющих вектора возмущения перемещений и скалярной величины
p . Для несжимаемого тела величины ijq определяются выражениями (2.8) для тео-
рии 1, (2.17) для теории 2 и (2.24) для теории 3.
В монографиях [34, 49, 334] приведены соотношения для вычисления составляю-
щих тензоров и для различных моделей упругих и пластических тел, а также тел
с реологическими свойствами применительно к теориям 2 и 3. В этих же монографи-
ях для теории 1 приведены соотношения для вычисления составляющих тензоров
и для гиперупругих анизотропных тел с произвольной структурой упругого потен-
циала; следует отметить, что монография [31] исключительно посвящена исследова-
нию устойчивости гиперупругих тел с произвольной структурой упругого потенциала
при больших (конечных) докритических деформациях, т.е. в рамках теории 1.
Некоторые свойства тензоров и . Аналогии. Из результатов, изложенных
в монографиях [34, 49, 334] следует, что упругих и пластических тел составляющие
тензоров и не зависят от и являются действительными
Im 0; Im 0.ij ij (2.49)
Также из результатов монографий [34, 49, 334] для тел с реологическими свой-
ствами в общем случае следует, что составляющие тензоров и зависят от и
являются комплексными
Im 0; Im 0.ij ij (2.50)
В общем случае упругих, пластических и тел с реологическими свойствами строго
доказано, что тел составляющие тензоров и не имеют свойств симметрии, кото-
рые характерны для линейной теории упругости анизотропного тела, т.е. имеют место
следующие условия:
, , ;
, , .
ijnm jinm ijnm ijmn ijnm nmij
ijnm jinm ijnm ijmn ijnm nmij
(2.51)
Также в общем, рассматриваемом в монографиях [34, 49, 334], случае доказано,
что для упругих и пластических тел имеют место следующие условия симметрии:
, .ijnm mnji ijnm mnji (2.52)
46
Заметим, что условия симметрии (2.52) являются существенными при формули-
ровке достаточных условий применимости статического метода (метода Эйлера).
Сформулированные основные соотношения ТЛТУДТ для сжимаемых тел в виде
(2.43) и (2.44) и для несжимаемых тел в виде (2.46) и (2.47) напоминают соответству-
ющие соотношения линейной механики деформируемых тел, в частности, линейной
теории упругости анизотропного тела; в связи с этим возникает вопрос о существова-
нии аналогий между линейными и линеаризированными задачами механики дефор-
мируемых тел. Постановка вопроса об указанной аналогии и ее краткое исследование
было выполнено в статье [32]; в последующем этот вопрос в более расширенном виде
рассматривался в монографиях [35, 44, 49, 334] как с точки зрения исчерпывающего
решения, так и с точки зрения применения при решении отдельных проблем.
2.4.2. Достаточные условия применимости метода Эйлера (статического ме-
тода). Как уже отмечалось в п. 2.3.1 при характеристике методов исследования устой-
чивости состояния равновесия и соответствующих критериев устойчивости для упру-
гих тел, статический метод (метод Эйлера) является более простым по сравнению с
динамическим методом исследования, хотя статический метод (метод Эйлера) и при-
меним только к статическим задачам (и то не ко всем статическим задачам). Динами-
ческий метод исследования является более общим по сравнению со статическим ме-
тодом и динамический метод исследования применим к динамическим и статическим
задачам.
В связи с вышеизложенным возникает вопрос – когда результаты, полученные
методом Эйлера (статическим методом) совпадают с результатами, полученными ди-
намическим методом. Вышеуказанный вопрос решается формулировкой и доказа-
тельством достаточных (в обсуждаемом смысле) условий применимости метода Эй-
лера (статического метода, метода бифуркации) для решения статических задач
ТЛТУДТ (для случая выполнения условий (2.37)).
Обсуждаемый в настоящем пункте (п. 2.4.2) вопрос, как и любая научная пробле-
ма, имеет определенные этапы развития в историческом аспекте; развитие исследова-
ний по обсуждаемому вопросу, наряду с изложением результатов по другим вопро-
сам, достаточно последовательно рассмотрено в монографиях [31, 34, 35, 49, 334],
причем в монографиях [49, 334] результаты рассмотрения представлены в наиболее
общей форме, что дало возможность в обзоре [337] представить результаты рассмот-
рения в аннотированном виде. Отмеченная ситуация дает возможность рекомендовать
читателям, желающим получить более подробную информацию по обсуждаемому
вопросу, обратиться к вышеуказанным изданиям, в списках литературы к которым
приведены публикации многих авторов по рассматриваемому вопросу.
Учитывая вышеизложенное, ниже в настоящем пункте (п. 2.4.2) лишь представим
в аннотированной форме сведения о двух достаточно общих результатах, которые
получены по рассматриваемому вопросу.
Достаточные условия для нелинейных моделей упругих и пластических тел.
В ряде публикаций, например [27, 9], и потом достаточно последовательно в моно-
графиях [49, 334] были сформулированы и доказаны (в единой общей форме для тео-
рий 1 – 3) достаточные условия применимости метода Эйлера исследования устойчи-
вости состояния равновесия для гиперупругих анизотропных тел с произвольной
структурой упругого потенциала и пластических тел с определяющими уравнениями
достаточно общего вида (в последнем случае, естественно, с применением обобщен-
ной концепции продолжающегося нагружения). Обсуждаемые результаты получены
для сжимаемых и несжимаемых кусочно-однородных тел с учетом границы раздела
свойств тел, которая может возникать в докритическом состоянии за счет появления
зон разгрузки в случае пластических тел.
Основной результат для вышеуказанных нелинейных моделей деформируемых тел
можно сформулировать следующим образом: достаточные условия применимости
метода Эйлера выполняются, если внешние нагрузки (массовые и поверхностные си-
лы) являются консервативными силами, т.е. достаточные условия являются такими
же, как и для линейных упругих тел.
47
При доказательстве обсуждаемых достаточных условий применимости метода
Эйлера существенно используются условия типа (2.49) и (2.52); следовательно, полу-
ченное доказательство относится только к упругим и пластическим телам и не отно-
сится к телам с реологическими свойствами, поскольку для последних в общем слу-
чае имеют место условия (2.50). Таким образом, вопрос о формулировке и доказа-
тельстве достаточных условий применимости метода Эйлера для тел с реологически-
ми свойствами остается открытым; утверждение же отдельных авторов о якобы полу-
ченном доказательстве для тел с реологическими свойствами является ошибочным,
что и было отмечено в монографиях [34, 49, 334] и в обзорных статьях [426, 427].
Достаточные условия при действии «следящей» нагрузки в виде равномер-
ной нагрузки. Применительно к указанной ситуации необходимо различать два слу-
чае: в первом случае указанная «следящая» нагрузка приложена ко всей поверхности
тела; во втором случае указанная «следящая» нагрузка приложена к части поверхно-
сти тела.
В первом случае в единой общей форме для всех вариантов постановок задач
ТЛТУДТ (теории 1, 2 и 3) применительно к упругим и пластическим сжимаемым и
несжимаемым телам с привлечением соотношений (2.14) для теории 1, (2.20) для
теории 2 и (2.27) для теории 3 строго доказано, что достаточные условия применимо-
сти метода Эйлера выполняются; указанные результаты в наиболее полной форме
представлены в монографиях [35, 49, 334] и в современном обзоре [353]. Необходимо
отметить, что вышеуказанные результаты получены для односвязных тел (в этом слу-
чае возникает однородное докритическое состояние) и для многосвязных тел (приме-
нительно к отдельным постановкам задач).
Во втором случае рассматривается ситуация, когда на части 1S поверхности тела,
которая (часть поверхности тела) ограничена кривой L , задана «следящая» нагрузка в
виде равномерной нагрузки. В этом случае строго доказано, что достаточные условия
применимости метода Эйлера выполняются, если на кривой L выполняются следу-
ющие условия:
3 0 или 0 ,M LL
u u (2.53)
где введены обозначения: 3u − перемещение по нормали к поверхности 1S ; Mu − пе-
ремещение по нормали к кривой L в касательной плоскости к поверхности 1S . Условия
(2.53) получены в единой общей форме для различных вариантов постановок задач
ТЛТУДТ (теории 1, 2 и 3) применительно к упругим и пластическим сжимаемым и
несжимаемым телам с привлечением соотношений (2.14) для теории 1, (2.20) для тео-
рии 2 и (2.27) для теории 3 для определения составляющих «следящей» нагрузки; ука-
занные результаты в наиболее полной форме представлены в монографиях [49, 334].
Примечание 2.10. Как следует из Примечания 2.6, выражения (2.20) для теории 2
(первый вариант теории малых докритических деформаций) и выражения (2.27) для
теории 3 (второй вариант теории малых докритических деформаций) получены по-
следовательно и строго из выражений (2.14) для теории 1 (теории больших (конеч-
ных) докритических деформаций); в связи с чем выражения (2.20) и (2.27) можно счи-
тать достаточно точными для соответствующих вариантов теории. Выражения
(2.34) в общем виде для теорий 2 и 3 получены посредством линеаризации из нели-
нейной теории малых деформаций, которая уже построена с введением определенных
упрощений, исходя из соображений физического характера; в связи с чем выражения
(2.34) для теорий 2 и 3 можно считать недостаточно точными для соответствующих
вариантов теории.
Учитывая вышеизложенные в Примечании 2.10 сведения вводного характера,
необходимо отметить, что с привлечением соотношений (2.34) для теорий 2 и 3 при
определении составляющих «следящей» нагрузки уже нельзя получить результат
(2.53) при строгом рассмотрении. В монографии (№ 13 из списка литературы к обзору
[337]) для теории 3 был получен результат (2.53), исходя из выражений (2.34), в рам-
ках теории 3, но при этом привлекалась гипотеза Кирхгоффа – Лява; следовательно в
этом случае результат (2.53) получен лишь для прикладной двумерной теории, по-
48
строенной с привлечением гипотезы Кирхгоффа – Лява. Результат же (2.53), как уже
отмечалось перед Примечанием 2.10, получен строго и последовательно для трех-
мерных теорий 1, 2 и 3 при привлечении соответствующих строгих и последователь-
ных выражений (2.14), (2.20) и (2.27). Анализ обсуждаемого вопроса рассматривался
еще в 1980 г. в публикации автора настоящего обзора (№ 141 из списка литературы к
обзору [337]).
Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении рассматриваемого
вопроса; дополнительные сведения можно получить из монографий [49, 334] и обзора
[337], а также из публикаций, указанных в списках литературы к [49, 334, 337].
2.4.3. Достаточные условия устойчивости. Формулировка и доказательство до-
статочных условий устойчивости в теории устойчивости деформируемых тел являет-
ся активно разрабатываемым вопросом на протяжении всей истории развития и ста-
новления обсуждаемого научного направления. В настоящем пункте (п. 2.4.3), следуя
обзору [337], приведем в весьма краткой форме основные сведения по рассматривае-
мому вопросу; дополнительные сведения можно получить из монографий [49, 334], а
также из публикаций, указанных в списках литературы к [49, 334, 337].
В настоящее время достаточные условия устойчивости в строгой форме сформу-
лированы применительно к устойчивости состояния равновесия упругого тела при
действии консервативных нагрузок, исходя из обычно принятого в механике энерге-
тического подхода; принимая обобщенную концепцию продолжающегося нагруже-
ния, в такой же форме формулируются достаточные условия устойчивости состояния
равновесия и для пластических тел. В единой общей форме для всех рассматриваемых
постановок задач ТЛТУДТ (теории 1, 2 и 3) для нелинейно упругих анизотропных
сжимаемых (с привлечением составляющих тензора ) и несжимаемых (с привлече-
нием составляющих тензора ) тел достаточные условия устойчивости состояния
равновесия рассмотрены в монографиях [35, 49, 334]; при этом применялись подходы,
изложенные в монографии (№ 19 из списка литературы к обзору [337]) для теории 1
(теория больших (конечных) докритических деформаций).
Ниже в качестве примера приведем достаточные условия устойчивости состояния
равновесия для сжимаемых упругих тел с произвольной структурой упругого потен-
циала, когда возмущения внешних массовых и поверхностных сил равны нулю; эти
достаточные условия устойчивости состояния равновесия остаются в силе и для пла-
стических тел, если принять обобщенную концепцию продолжающегося нагружения.
В обозначениях монографий [49, 334] обсуждаемое условие имеет следующий вид
1 10; ( ) ,ij
i j
V
J J u u dV
(2.54)
которое должно выполняться для всех кинематически возможных перемещений.
Достаточные условия устойчивости состояния равновесия в форме (2.54) для рас-
сматриваемых сжимаемых упругих и пластических тел связаны с условиями един-
ственности решения соответствующих линеаризированных задач. В достаточно об-
щей форме условия единственности линеаризированных трехмерных задач для упру-
гих и пластических тел, по-видимому впервые, были получены в 1957 г. и 1958 г. в
публикациях (№ 153 и № 154 из списка литературы к обзору [337]); в применяемых в
настоящей статье обозначениях эти условия единственности решения линеаризиро-
ванных задач представлены в монографиях [49, 334]. Для рассматриваемых упругих и
пластических тел, когда возмущения внешних массовых и поверхностных сил равны
нулю, условия единственности решения линеаризированных задач можно представить
[49, 334] в следующей форме: условия
0ij
ij (2.55)
должны выполняться для произвольных nm , которые не равны нулю одновременно.
Условия (2.55) соответствуют результатам публикаций (№ 153 и № 154 из списка ли-
тературы к обзору [337]) и являются условиями сильной эллиптичности, которые
должны выполняться в каждой точке деформируемого тела; по терминологии вышеука-
занных публикаций условие (2.55) является условием строгой локальной выпуклости.
Из (2.55) и (2.54) следует, что если выполняется достаточное условие (2.55) един-
49
ственности решения линеаризированных задач, то выполняется и достаточное условие
(2.54) устойчивости состояния равновесия; таким образом, в рассматриваемом случае
потери устойчивости не возникает. Также отметим, что выполнение условия (2.55) обес-
печивает невозникновение явления «внутренней» неустойчивости материала; понятие
о явлении внутренней неустойчивости материала, по-видимому, впервые было введе-
но в публикациях за 1963 г. (№ 111 и № 120 из списка литературы к обзору [337]).
Как следует из Примечания 2.2, родственным научным направлением по отно-
шению к ТЛТУДТ является теория распространения упругих волн в телах с началь-
ными (остаточными) напряжениями, изложенная, например, в монографии [60]. В
вышеуказанной теории также применяется (более слабое по сравнению с (2.55)) сле-
дующее условие:
0,ij
ij
(2.56)
которое должно выполняться для всех nm не равных нулю одновременно. Усло-
вие (2.56) называется еще условием Адамара; при этом упругие тела, для которых
выполняется условие (2.56), называются телами Адамара. Условие Адамара (2.56)
обеспечивает, чтобы скорости распространения плоских гармонических волн (для
произвольной волновой нормали) в материалах с начальными (остаточными) напря-
жениями не были мнимыми величинами.
Вышеизложенными сведениями ограничимся при обсуждении достаточных усло-
вий устойчивости состояния равновесия в рамках ТЛТУДТ и родственных вопросов.
2.5. О вариационных принципах ТЛТУДТ для упругих и пластических тел. В
настоящем пункте (п. 2.5) в краткой форме рассмотрим сведения о вариационных
принципах ТЛТУДТ применительно к упругим и пластическим телам; при этом для
пластических тел будем применять обобщенную концепцию продолжающегося
нагружения, что дает возможность для упругих и пластических тел провести едино-
образное общее рассмотрение обсуждаемого вопроса. Формулировка и доказатель-
ство вариационных принципов теории устойчивости деформируемых тел (как в рам-
ках двумерных прикладных теорий для тонкостенных элементов конструкций, так и в
рамках ТЛТУДТ) рассматривалось во все годы развития и становления обсуждаемого
научного направления. В списках литературы к монографиям [49, 334] и обзору [337]
приведены основные публикации, относящиеся к обсуждаемому вопросу примени-
тельно к ТЛТУДТ; результаты автора настоящей статьи по этому вопросу представ-
лены в публикациях [33, 36] и в ряде других, причем основные результаты представ-
лены в монографиях [34, 49, 334]. В указанных монографиях вариационные принципы
представлены, в основном, в единой общей форме для различных постановок задач
ТЛТУДТ (теория 1, 2 и 3) для нелинейно упругого анизотропного тела с произволь-
ной структурой упругого потенциала и пластического тела с определяющими уравне-
ниями достаточно общего вида. Отметим, что обсуждаемые вариационные принципы
представлены для сжимаемых и несжимаемых тел при действии «мертвых» нагрузок
и в ряде случаев (для отдельных теорий) при действии «следящих» нагрузок; при этом
вариационные принципы сформулированы для кусочно-однородного тела с учетом
наличия поверхности раздела свойств материала, обозначенной как поверхность Ŝ ,
которая определяется наличием зон разгрузки, возникающих в докритическом состо-
янии. В связи с этим вводятся все обозначения для двух однородных частей материала
(зона активного нагружения, зона разгрузки) со знаками ( ): V − объем; S −
поверхность;
1S − части поверхностей, на которых заданы граничные условия в
напряжениях;
2S − части поверхностей, на которых заданы граничные условия в
перемещениях.
В монографиях [34, 49, 334] для ТЛТУДТ применительно к сжимаемым и несжи-
маемым телам изложены различные вариационные принципы: наиболее общий прин-
цип типа Ху-Вашицу, из условия стационарности соответствующего функционала
следуют все соотношения и уравнения, в том числе и граничные условия в перемеще-
50
ниях; принцип типа Гамильтона-Остроградского для динамического метода; принцип
типа возможных перемещений для статического метода; отдельные принципы для
случая действия «следящей» нагрузки. Ниже лишь в качестве примеров рассмотрен
ряд вариационных принципов, более полную информацию можно получить из моно-
графий [34, 49, 334].
2.5.1. Вариационный принцип типа Ху-Вашицу в ТЛТУДТ для несжимаемых
тел при «мертвых» внешних нагрузках. Единая общая форма для теорий 1, 2 и 3.
Рассмотрим в качестве примера несжимаемые тела, учитывая общую формулировку
задач для динамического метода исследования в виде (2.46) – (2.48) с учетом условия
несжимаемости в виде (2.8) и граничных условий в перемещениях на 2S в виде (2.11)
применительно к случаю, когда действуют «мертвые» внешние нагрузки (отсутству-
ют возмущения массовых и поверхностных нагрузок, а также правых частей гранич-
ных условий в перемещениях в виде (2.11) на части поверхности 2S ). Дополнительно,
как общепринято в принципе Ху-Вашицу, введем кинематический тензор v , ковари-
антные составляющие которого определяются следующими соотношениями
.v u (2.57)
Учитывая соотношения (2.46) – (2.48), (2.8), (2.11) и (2.57), для тела, которое име-
ет поверхность Ŝ раздела свойств, при действии вышеуказанных «мертвых» нагрузок
в общую формулировку задач при применении динамического метода исследования
необходимо включить соотношения:
уравнения движения
2 0, ;ij j k
it u V
(2.58)
определяющие уравнения
;ij ij ijt v q p
(2.59)
выражения для определения составляющих кинематического тензора
;v u
(2.60)
условие несжимаемости
0, ;ij k
jiq v V
(2.61)
граничные условия в напряжениях на частях
1S поверхности тела
10, ;ij k
iN t S
(2.62)
граничные условия в перемещениях на частях
2S поверхности тела
20, ;j ku S
(2.63)
условия непрерывности составляющих вектора напряжений на поверхности Ŝ разде-
ла свойств материала
ˆ0,ij ij k
i iN t N t S
(2.64)
и условия непрерывности составляющих вектора перемещений на поверхности Ŝ
раздела свойств материала
ˆ, .j j ku u S (2.65)
Выражения (2.58) – (2.65) полностью исчерпывают общую формулировку (в об-
щей форме для теорий 1, 2 и 3) задач ТЛТУДТ для несжимаемых тел с учетом суще-
ствования поверхности Ŝ раздела свойств материала. Для вышеуказанной формули-
ровки задач в обозначениях монографий [49, 334] вводится следующий функционал:
51
2 2
4
2
2
( , , , )
1 1
( )
2 2
1
( )
2
1
.
2
ij ij ij j
ji ji i j ji j
V
ij ij ij
ji ji i j ji
V
j ij ij
j i j i j
S S
J t v u p
v v t v u q p v u u dV
v v t v u q p v
u u dV N t u dS N t u dS
(2.66)
Утверждение. Если функции
ju удовлетворяют условиям непрерывности со-
ставляющих вектора перемещений на поверхности раздела Ŝ свойств материала в
виде (2.65), то из условия стационарности функционала (2.66) следуют все уравнения
и соотношения в виде (2.58) – (2.64).
Доказательство вышесформулированного Утверждения приведено в монографиях
[49, 334]; следует отметить, что при использовании функционала (2.66) и при доказа-
тельстве вышесформулированного Утверждения варьируются составляющие тензоров
t и v , составляющие векторов u и скаляры p . Вариационный принцип, ос-
нованный на функционале (2.66), является наиболее общим вариационным принци-
пом для несжимаемых тел в рамках ТЛТУДТ; заметим, что выше обсуждаемый вари-
ационный принцип сформулирован в единой общей форме для теорий 1, 2 и 3 в соот-
ветствии с терминологией п. 2.2 и вводной части п. 2.4.
При применении вышесформулированного вариационного принципа для решения
отдельных классов задач выполнение условия (2.65) можно обеспечить, задавая коор-
динатные функции в виде единых общих выражений для V и V . В случае сжи-
маемых тел также сформулирован и доказан аналогичный вариационный принцип;
соответствующие результаты приведены в монографиях [49, 334].
Если поверхность Ŝ раздела свойств материала отсутствует, то, естественно,
условия непрерывности на Ŝ в виде (2.64) и (2.65) исключаются и формулировка ос-
новных соотношений обсуждаемой задачи проводится для тензоров t и v , вектора u
и скаляра p и при применении динамического метода исследования включает следу-
ющие выражения:
уравнения движения
2 0, ;ij j k
i t u V (2.67)
определяющие уравнения
;ij ij ijt v q p
(2.68)
выражения для определения составляющих кинематического тензора
;v u (2.69)
условие несжимаемости
0, ;ij k
jiq v V (2.70)
граничные условия в напряжениях на части 1S поверхности тела
10, ;ij k
iN t S (2.71)
граничные условия в перемещениях на части 2S поверхности тела
20, .j ku S (2.72)
52
Выражения (2.67) – (2.72) полностью исчерпывают общую формулировку (в об-
щей форме для теорий 1, 2 и 3) задач ТЛТУДТ для несжимаемых тел (без поверхнос-
ти Ŝ раздела свойств материала). Для вышеуказанной формулировки задач в обозна-
чениях монографий [49, 334] вводится следующий функционал:
2
4 ( , , , )
1 1
( ) .
2 2
ij ij ij j ij
ij ij i j ij j i j
V S
J t v u p
v v t v u q pv u u dV N t u dS
(2.73)
Утверждение. Из условия стационарности функционала (2.73) следуют все соот-
ношения и уравнения (2.67) – (2.72).
Доказательство вышесформулированного Утверждения соответствует моногра-
фиям [49, 334]; при доказательстве варьируются составляющие тензоров t и v , со-
ставляющие вектора u и скаляр p . Вариационный принцип, основанный на функци-
онале (2.73), является наиболее общим вариационным принципом для несжимаемых
тел (без поверхности Ŝ раздела свойств материала) в рамках ТЛТУДТ; заметим, что
обсуждаемый вариационный принцип сформулирован в единой общей форме для
теорий 1, 2 и 3 в соответствии с терминологией п. 2.2 и вводной части р. 2.4. В случае
сжимаемых тел также сформулирован и доказан аналогичный вариационный прин-
цип; соответствующие результаты приведены в монографиях [49, 334].
2.5.2. Вариационный принцип ТЛТУДТ для сжимаемых тел при «следящей»
нагрузке. Результаты для теории 3. Прежде всего, необходимо отметить, что в слу-
чае «следящей» нагрузки в виде равномерного внешнего давления вариационные
принципы сформулированы и доказаны в монографиях [49, 334], а также в соответ-
ствующих публикациях, например статья [36] за 1979 г., только для теории 3 (второй
вариант теории малых докритических деформаций), когда для определения состав-
ляющих вектора внешней поверхностной нагрузки применяются выражения (2.27),
полученные в результате последовательных упрощений из соответствующих выра-
жений (2.14), первоначально построенных в рамках строгой и точной теории 1 (тео-
рия больших (конечных) докритических деформаций). Отметим, что в монографиях
[49, 334] сформулированы и доказаны вариационный принципы [49, 334] при действии
«следящей» нагрузки в виде равномерного внешнего давления; ниже в качестве при-
мера рассмотрим обсуждаемый вариационный принцип лишь для сжимаемого тела.
Обозначим через Q интенсивность внешнего нормального давления; в этом слу-
чае с учетом направления внешнего нормального давления ( Q P ) из (2.27) для
сжимаемых и несжимаемых тел получаем выражения для контравариантных состав-
ляющих возмущения вектора поверхностной нагрузки в виде
.j j jP Q N u N g u
(2.74)
Рассмотрим случай, когда ко всей поверхности S тела приложена «следящая»
нагрузка в виде равномерного внешнего давления. В этом случае в соответствии с
(2.43), (2.44) и (2.49) при общей формулировке задач получаем:
уравнения движения в перемещениях
2( ) 0,ij j k
i u u V
(2.75)
и граничные условия в напряжениях на всей поверхности тела (на поверхности S )
, .ijnm j j k
i m nN u Q N u N g u S
(2.76)
Выражения (2.75) и (2.76) полностью исчерпывают общую формулировку задач
ТЛТУДТ в перемещениях для сжимаемых тел применительно к рассматриваемому
53
случаю. Для вышеуказанной формулировки задач в обозначениях монографий [49,
334] вводится следующий функционал:
2 2
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
2
ij j i j i
i j j i i j
V
J u u u u u Q u u u dV
(2.77)
Утверждение. Из условия стационарности функционала (2.77) следуют уравне-
ния движения (2.75) и граничные условия в напряжениях, сформулированные через
перемещения, на всей поверхности тела.
Доказательство вариационного принципа приведено в монографиях [49, 334]; при
этом при исследовании функционала (2.77) варьируются составляющие вектора u . В
случае несжимаемых тел также сформулирован и доказан аналогичный вариационный
принцип, в этом случае уже варьируются составляющие вектора u и скаляр p ; соот-
ветствующие результаты представлены в монографиях [49, 334]. Обсуждаемые вари-
ационные принципы можно применять при исследовании задач об устойчивости гор-
ных выработок, где действие газа на поверхность выработки можно моделировать
«следящей» нагрузкой в виде равномерного давления.
В монографиях [49, 334] также сформулированы и доказаны вариационные прин-
ципы для сжимаемых и несжимаемых тел в рамках теории 3, когда равномерное
внешнее давление в виде «следящей» нагрузки приложено к части поверхности тела;
в этом случае полученные результаты имеют более сложный вид и в этой статье не
обсуждаются, ограничиваясь лишь вышеуказанными сведениями.
Примечание 2.11. Как уже отмечалось выше, результаты настоящего пункта (п.
2.5.2) получены лишь для теории 3 (второй вариант теории малых докритических
деформаций), когда для определения составляющих вектора внешней поверхностной
нагрузки («следящей» нагрузки) применялись достаточно точные выражения (2.27).
Если для определения составляющих вектора внешней поверхностной нагрузки
(«следящей» нагрузки) применять более приближенные выражения (2.34), то уже
нельзя сформулировать и доказать обсуждаемые вариационные принципы, т.е. нельзя
получить результаты настоящего п. 2.5.2. Следует отметить, что более приближен-
ные выражения (2.34) получены и применялись практически всеми исследователями,
которые изначально исходили из нелинейной теории малых деформаций. Критиче-
ское обсуждение весьма приближенных выражений (2.34) проведено в заключитель-
ной части п. 2.2, начиная с Примечания 2.6.
Целесообразно отметить, что вышеизложенная ситуация является уже вторым
случаем, когда при исследовании механических явлений, связанных с действием
«следящей» нагрузки, при применении (общепринятых среди специалистов, занима-
ющихся прикладными вопросами, но являющихся недостаточно точными) выражений
(2.34) для теории 3 нельзя получить результаты, которые получаются для теории 3 с
применением выражений (2.27), являющимися более точными по сравнению с (2.34).
Первая ситуация возникла при доказательстве применимости метода Эйлера для слу-
чая действия «следящей» нагрузки; анализ этой ситуации выполнен во второй части
п. 2.4.2. Оказалось, что при применении выражений для теории 3 (2.27) получаются
результаты, полностью совпадающие с соответствующими результатами для теорий 2
и 1; необходимо отметить, что ничего подобного нельзя получить при применении
(2.34).
Рассмотренные в настоящем Примечании 2.11 два случая применения общеиз-
вестных выражений (2.34) свидетельствуют, что для получения достоверных резуль-
татов в рамках теории 3, соответствующих результатам в рамках более точных тео-
рий 2 и, особенно, 1, целесообразно выражения (2.34) не применять несмотря на то,
что они являются общеизвестными и популярными.
Вышеизложенными сведениями в п. 2.4 ограничимся при обсуждении общих во-
просов ТЛТУДТ при их кратком рассмотрении; дополнительные сведения по обсуж-
даемым вопросам можно получить из монографий [49, 334] и обзора [337].
54
2.5. Общие решения ТЛТУДТ при однородных докритических состояниях. В
настоящем пункте (п. 2.5) в весьма краткой форме представим сведения по уже по-
строенным общим решениям ТЛТУДТ при однородных докритических состояниях;
более подробные сведения по построению общих решений и их применению к иссле-
дованию различных проблем представлены в монографиях автора настоящей статьи,
которые включены в список литературы к настоящей статье.
Для общности будем рассматривать ортотропные тела с прямолинейной ортотро-
пией, в которой оси симметрии свойств материала направлены по координатным ли-
ниям 0 nx декартовой системы координат. Исследование проведем в единой общей
форме для гиперупругих тел с произвольной структурой упругого потенциала с вы-
шеуказанным свойством симметрии и для пластических тел с определяющими урав-
нениями достаточно общего вида также с вышеуказанным свойством симметрии; при
этом для пластических тел будем принимать обобщенную концепцию продолжающе-
гося нагружения.
Построение общих решений проведем для случая трехосного сжатия вдоль осей
вышеуказанной декартовой системы координат равномерно распределенными нагруз-
ками постоянной интенсивности (различной интенсивности для различных осей коор-
динат). В этом случае возникает однородное докритическое напряженное состояние
0 0 0 0 0
11 22 33const при ; 0 при ; .ij iji j i j (2.78)
Перемещения в докритическом напряженном состоянии (2.78) определяются сле-
дующим образом
0
1 2 3( 1) ; ; const,m m m mu x (2.79)
где m − коэффициенты удлинения.
Примечание 2.12. В настоящей статье приводятся сведения по построению об-
щих решений для упругих и пластических тел, в этом случае выполняются условия
0 constij . Построенные общие решения остаются в силе и для тел с реологическими
свойствами, однако в этом случае 0
ij и 0
mu уже зависят от времени; указанное обоб-
щение общих решений на тела с реологическими свойствами проведено в монографи-
ях [49, 334]. Следует отметить, что в силу зависимости 0
ij и 0
mu от времени отсут-
ствует перспектива применения общих решений для тел с реологическими свойства-
ми при решении конкретных задач. В связи с вышеизложенным ниже в настоящей
статье рассматриваются общие решения только для упругих и пластических тел в об-
щей форме для теорий 1, 2 и 3.
При построении общих решений обычно принимается, что возмущения массовых
сил отсутствуют; в связи с этим при применении динамического метода исследования
задач ТЛТУДТ в основных соотношениях в перемещениях для сжимаемых тел в виде
(2.43) – (2.45) и для несжимаемых тел в виде (2.46) – (2.48) и условия несжимаемости
в виде (2.7) следует принять
1 20, 0.j jF F (2.80)
В случае однородных докритических состояний в виде (2.78) и (2.79) таким обра-
зом получаем системы уравнений в частных производных с постоянными коэффици-
ентами в виде (2.43) с учетом (2.80) для сжимаемых тел и в виде (2.46) и (2.7) с уче-
том (2.80) для несжимаемых тел. Поскольку указанные системы уравнений имеют
достаточно высокий порядок, то в соответствии с опытом построения решений от-
дельных классов в этом случае перспективным является построение общих решений,
когда решение системы уравнений более высокого порядка представляется через ре-
шения уравнений или систем уравнений более низкого порядка. Такой подход являет-
ся общепринятым и при исследовании других классов задач механики сплошной сре-
ды и математической физики. Обсуждаемый подход реализован и для задач ТЛТУДТ,
55
при этом основная часть результатов представлена в монографиях [49, 334] для про-
странственных, плоских и антиплоских задач при динамическом и статическом мето-
дах исследования.
Целесообразно отметить, что в рассматриваемых в настоящей статье восьми не-
классических проблемах механики разрушения не возникают ситуации, когда необхо-
димо учитывать возникновение возмущений массовых и поверхностных сил, т.е. в
соответствии с обозначениями п. 2.3 имеют место следующие условия:
1 2 1 20, 0; 0, 0.j j j jF F P P (2.81)
В случае (2.81), как показано в п. 2.4.2, достаточные условия применимости мето-
да Эйлера для нелинейных моделей упругих и пластических тел выполняются; таким
образом результаты по исследованию задач ТЛТУДТ для любой из восьми обсуждае-
мых неклассических проблем механики разрушения совпадают при применении ди-
намического и статического методов исследования. В связи с вышеизложенным ниже
рассмотрим общие решения лишь применительно к статическому методу исследова-
ния, положив в системе уравнений (2.43) для сжимаемых тел и в системе уравнений
(2.46) и (2.7) для несжимаемых тел 0 ; при этом представим отдельно общие ре-
шения для сжимаемых тел, для несжимаемых тел и для случая привлечения ком-
плексных переменных.
2.5.1. Общие решения ТЛТУДТ для сжимаемых тел. Обсуждаемые общие ре-
шения для сжимаемых тел представим в единой общей форме для теорий 1, 2 и 3 (по
терминологии вводной части п. 2.4) отдельно для плоской и пространственной задач.
Плоская задача. Рассмотрим плоскую деформацию в плоскости 1 20x x для случая
(2.78) и (2.79). В этом случае следует принять
1 1 1 2 2 2 1 2 3( , ); ( , ); 0.u u x x u u x x u (2.82)
Перемещения ju определяются через функции n при , 1, 2j n следующим
образом:
2 2 2
2 1
1 1221 2222 1122 21212 2
1 2 1 2
2 2 2
2 1
2 2211 1212 1111 21122 2
1 2 1 2
;
.
u
x x x x
u
x x x x
(2.83)
Уравнение для определения функций ( 1, 2)j j имеет следующий вид:
2 2 2 2
2 2
2 32 2 2 2
2 1 2 1
0; 1, 2.j j
x x x x
(2.84)
В (2.84) величины 2
2 и 2
3 определяются из следующих выражений:
2 2 1 1 1 2
2,3 1111 1221 2222 2112
2222 2112 1111 2222 2112 1221 1122 2121 2211 1212
( ) ;
2 ( ) ( ).
c c
c
(2.85)
Построение решений в конкретных классах задач определяется структурой пара-
метров 2
2 и 2
3 .
Пространственная задача. Общее решение для пространственной задачи пред-
ставлено для докритического состояния в виде (2.78) и (2.79), для которого выполня-
ются условия
0 0 0
11 22 33 1 2 3; . (2.86)
56
Кроме того принимается, что нелинейные упругие и пластические тела являются
трансверсально-изотропными телами, в которых плоскости 3 constx являются плос-
костями изотропии (в этом случае ось 30x является осью изотропии). Общее решение
представлено в форме, которая является удобной при исследовании задач для цилин-
дрического тела с произвольным контуром поперечного сечения, ось которого
направлена вдоль оси 30x . Вводятся следующие обозначения: N и S − орты норма-
ли и касательной к контуру поперечного сечения в плоскости 3 constx ; Nu и Su −
перемещения по нормали и касательной к контуру поперечного сечения в плоскости
3 constx ; 3u − перемещение вдоль оси цилиндра; 1N и 2N − составляющие орта
нормали к контуру поперечного сечения в плоскости 3 constx . При вышеприведен-
ных обозначениях общее решение можно представить в следующем виде:
2 2
3 3
2
1
3 1133 3131 1111 1 3113 2
3
; ;
.
N Su u
S N x N S x
u
x
(2.87)
Уравнения для определения функций и имеют следующий вид:
2 2 2
2
1 1 12 2 2
3 1 2
2 2
2 2
1 2 1 32 2
3 3
0; ;
0.
x x x
x x
(2.88)
В (2.88) величины 2 1,2,3j j определяются из следующих выражений:
2 1 2 2 1 1 1 2
1 3113 1221 2,3 3333 3113 1111 1331
1111 1331 1111 3333 1331 3113 1133 3131 3311 1313
; ( ) ;
2 ( ) ( ).
c c
c
(2.89)
Построение решений в конкретных классах задач определяется структурой пара-
метров 2 1,2,3j j и соотношениями между ними.
Общие решения для сжимаемых тел в виде (2.83) – (2.85) для плоских задач и в
виде (2.87) – (2.89) для пространственных задач широко применялись в монографиях
[30, 31, 34, 35, 44, 49, 54, 57, 334] и в ряде других монографий, а также в соответствую-
щих статьях, опубликованных в периодических изданиях; наиболее полно и последо-
вательно обсуждаемые общие решения представлены в монографиях [49, 334], в ко-
торых также приведены выражения для определения составляющих ij для общих и
ряда конкретных моделей упругих, пластических и тел с реологическими свойствами.
2.5.2. Общие решения ТЛТУДТ для несжимаемых тел. Обсуждаемые общие
решения для несжимаемых тел представим в единой общей форме для теорий 1, 2 и 3
(по терминологии вводной части п. 2.4) отдельно для плоских и пространственных
задач. Необходимо отметить, что в случае несжимаемых тел общие решения пред-
ставлены для составляющих вектора u и для скаляра p в отличие от сжимаемого
тела (п. 2.5.1), для которого общие решения представлены только для составляющих
вектора u . Кроме того, в основные соотношения для несжимаемого тела в виде (2.46)
– (2.48) входят еще величины ijq , которые в декартовых координатах имеют вид
,ij ij jq q (2.90)
57
где величины jq , соответственно, для теорий 1, 2 и 3 определяются выражениями
1; ; 1.j j j j jq q q (2.91)
Коэффициенты удлинений ( 1, 2, 3)j j связаны между собой соотношениями,
которые следуют из условия несжимаемости для докритического состояния; обсужда-
емые соотношения, соответственно, для теорий 1, 2 и 3 имеют следующий вид:
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 31; 3 0; 3 0. (2.92)
Плоская задача. Рассмотрим плоскую деформацию в плоскости 1 20x x для случая
(2.78) и (2.79). В этом случае следует принять
1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2( , ); ( , ); 0; ( , ).u u x x u u x x u p p x x (2.93)
В общем случае обсуждаемой плоской деформации имеют место выражения
(2.92). В частном случае плоской деформации, когда докритическое состояние тоже
определяется в условиях плоской деформации, дополнительно следует принять
3 1 ; таким образом, с учетом 3 1 из (2.92), соответственно, для теорий 1, 2 и 3
получаем
2 2
1 2 1 2 1 21; 2 0; 2 0. (2.94)
В рассматриваемом общем решении для плоской деформации перемещения
( 1, 2)ju j и скаляр p определяются через функции ( 1, 2, 4)n n следующим об-
разом:
2 2 2 2 2
1 2 42
1 2 1 2 1 1221 2222 2 1122 21212 2 2 2
2 1 2 1 2 2 1
( ) ;u q q q q q
x x x x x x x
2 2 2 2 2
1 2 42
2 1 2 1 2 1111 2112 1 2211 12122 2 2 2
1 2 1 1 2 1 2
( ) ;u q q q q q
x x x x x x x
2 2 2
1
1 1221 2222 2 2211 12122 2 2
1 2 2 1
p q q
x x x x
2 2 2
2
2 1111 2112 1 1122 21212 2 2
1 2 1 2
.q q
x x x x
(2.95)
Уравнение для определения функций ( 1, 2, 4)n n имеет следующий вид:
2 2 2 2
2 2
2 32 2 2 2
2 1 2 1
0; 1, 2, 4.j j
x x x x
(2.96)
В (2.96) величины 2
2 и 2
3 определяются из следующих выражений:
2 2 2 2 1 1 2
2,3 1 1221 2 2112
2 2 2
2 2112 2 1111 1 2222 1 2 1122 2121 2211 1212
( ) ;
2 ( ).
c c q q
cq q q q q
(2.97)
Примечание 2.13. Общие решения для плоских задач ТЛТУДТ в виде (2.83) –
(2.85) для сжимаемых тел и в виде (2.95) – (2.97) для несжимаемых тел широко при-
менялись в монографиях [30, 31, 34, 35, 44, 49, 54, 57, 334] и в ряде других моногра-
58
фий, а также в соответствующих статьях, опубликованных в периодических изданиях;
при этом в большинстве исследований достаточно было удержать одну функцию
2 , приняв для сжимаемых тел 1 0 и для несжимаемых тел 1 0 и 4 0 .
Существуют ситуации (классы задач или отдельные проблемы), когда в обсуждаемых
общих решениях целесообразно удерживать для сжимаемых и несжимаемых тел по
две функции, приняв для сжимаемых тел 1 0 и 2 0 и для несжимаемых тел
1 0 , 2 0 и 4 0 . Вышеуказанная ситуация рассмотрена в монографиях
[44] и в т. 2 [154] при введении представления через комплексные потенциалы, чтобы
обеспечить их переход при 0 0ij в классические представления Колосова-Мусхе-
лишвили [148] и Лехницкого [140] для линейной теории.
Пространственная задача. Общее решение пространственной задачи для несжи-
маемых тел представлено для докритического состояния в виде (2.78) и (2.79), для
которого выполняется условие (2.86). В этом случае из выражений (2.91) и (2.86) в
общем виде для теорий 1, 2 и 3 получаем для величин jq (2.91) следующее условие:
1 2.q q (2.98)
Кроме того, из условий (2.86) и выражений (2.92) получаем соотношения для
определения величины 3 через величину 1, соответственно, для теорий 1, 2 и 3 в
следующем виде:
2 2 1 2
3 1 3 1 3 1; (3 2 ) ; 3 2 . (2.99)
Как и в случае сжимаемых тел, так и в обсуждаемом случае несжимаемых тел для
пространственной задачи принимается, что нелинейные упругие и пластические тела
являются трансверсально-изотропными телами, в которых плоскости 3 constx яв-
ляются плоскостями изотропии (в этом случае ось 30x является осью изотропии).
Общее решение представлено в форме, которая является удобной при исследовании
задач для цилиндрического тела с произвольным контуром поперечного сечения, ось
которого направлена вдоль оси 30 ;x в связи с этим применяются все обозначения,
введенные для сжимаемых тел перед выражениями (2.87). При вышеуказанных обо-
значениях общее решение для несжимаемого тела (для перемещений ,N Su u и 3u и
скаляра p ) можно представить в следующей форме:
2 2
3 3
2 2
1
3 1 3 1 1 2 2
1 2
2
1 1
1 3 3 1111 1 1133 3131 1 3 3113 2
3 3
; ;
; ;
( ) .
N Su u
S N x N S x
u q q
x x
p q q q q q
x x
(2.100)
Функции и определяются из уравнений (2.88) при следующих обозначениях
2 1 2 2 2 2 1 2
1 3113 1221 2,3 3 3113 1 1331
2 2 2
1 1331 1 3333 3 1111 1 3 1133 3311 1313 3131
; ( ) ;
2 ( ).
c c q q
cq q q q q
(2.101)
Построение решений в конкретных классах задач определяется структурой пара-
метров 2 ( 1, 2, 3)j j в виде (2.101) и соотношениями между ними.
Общие решения для несжимаемых тел в виде (2.95) – (2.97) для плоских задач и в
виде (2.100), (2.88) и (2.101) для пространственных задач широко применялись в мо-
59
нографиях [30, 31, 34, 35, 44, 49, 54, 57, 334] и в ряде других монографий, а также в
соответствующих статьях, опубликованных в периодических изданиях; наиболее
полно и последовательно обсуждаемые общие решения представлены в монографиях
[49, 334], в которых также приведены выражения для определения составляющих
ij тензора для общих и ряда конкретных моделей упругих, пластических и тел с
реологическими свойствами.
2.5.3. Комплексные потенциалы в плоских задачах ТЛТУДТ. Предваритель-
ное обсуждение. Комплексные потенциалы в плоских задачах ТЛТУДТ для статиче-
ского метода исследования (метода Эйлера) последовательно введены в монографии
[44] в 1983 г.; предварительно в более сокращенном виде обсуждаемые результаты
были представлены в статьях, которые указаны в списке литературы к [44]. В после-
дующие годы обсуждаемые результаты были представлены в полном объеме в т. 2
коллективной монографии [154] в 1991 г., в Дополнении к монографии [334] в 1999 г.
и в т. 2 двухтомной монографии [57] в 2008 г.; поскольку монография [334] издана на
английском языке издательством Springer, то обсуждаемые результаты вполне до-
ступны для англоязычных исследователей.
Рассматриваемые комплексные потенциалы в плоских задачах ТЛТУДТ вводятся
для статического (метода Эйлера) метода исследования при отсутствии возмущений
массовых и поверхностных сил (при выполнении условий (2.81)), как и во всех других
результатах п. 2.5; в этом случае согласно п. 2.4.2 выполняются достаточные условия
применимости статического метода (метода Эйлера). Следовательно, при применении
обсуждаемых комплексных потенциалов результаты решений задач при динамиче-
ском и статическом методах совпадают.
Ниже в п. 2.5.3 обсудим, следуя обозначениям [57], построение комплексных по-
тенциалов плоских задач ТЛТУДТ для линеаризированной механики материалов с
начальными (остаточными) напряжениями, так как последняя в соответствии с При-
мечанием 2.4 совпадает с ТЛТУДТ, если величины в ТЛТУДТ, отмеченные индексом
«0» (в ТЛТУДТ это величины докритического состояния), считать известными и
называть их начальными (остаточными) напряжениями. К тому же, из восьми неклас-
сических проблем механики разрушения, рассматриваемых в настоящей статье, в со-
ответствии с п. 1.3 в Проблеме 4 (хрупкое разрушение материалов с трещинами с
учетом действия начальных (остаточных) напряжений вдоль трещин) применяются
комплексные потенциалы плоских задач линеаризированной механики материалов с
начальными (остаточными) напряжениями.
При построении комплексных потенциалов плоских задач линеаризированной
механики материалов с начальными (остаточными) напряжениями необходимо учи-
тывать следующую ситуацию. В §2 настоящей статьи при рассмотрении основных
соотношений ТЛТУДТ в соответствии с п. 2.1 применялась лагранжева система коор-
динат, которая в отсчетном состоянии (первом состоянии) совпадала с определенной
криволинейной системой координат; при этом использовались составляющие тензора
напряжений, отнесенные также к размерам площадок в отсчетном (первом состоя-
нии), что является общепринятым в механике деформируемых тел. В случае плоских
задач ТЛТУДТ в п. 2.5.1 применительно к сжимаемым телам и в п. 2.5.2 примени-
тельно к несжимаемым телам применялась лагранжева система координат, введенная
в отсчетном (первом состоянии) и совпадающая в этом отсчетном (первом) состоянии
с декартовой системой координат. При введении комплексных потенциалов плоских
задач линеаризированной механики материалов с начальными (остаточными) напря-
жениями, как и в любой другой проблеме указанной механики, уже отсчетным состо-
янием следует считать начальное состояние (второе, невозмущенное состояние по
терминологии п. 2.1); таким образом, во втором состоянии следует вводить лагранже-
вы координаты, которые во втором состоянии совпадают с определенными криволи-
нейными системами координат. Кроме того, в рассматриваемом случае целесообразно
вводить тензора напряжений, составляющие которых измеряются на единицу площа-
ди также во втором (невозмущенном) состоянии.
60
Ниже, следуя вышеизложенному подходу, рассматриваются основные соотноше-
ния и общие решения линеаризированной механики материалов с начальными (оста-
точными) напряжениями, когда начальное состояние определяется соотношениями
(2.78) и (2.79) и является однородным состоянием; кроме того, будем рассматривать
материалы со свойствами симметрии, указанными во вводной части п. 2.5.
2.5.4. Основные соотношения и общие решения ТЛТУДТ в координатах на-
чального состояния. Целесообразно отметить, что основные соотношения обсужда-
емой механики для случая (2.78) и (2.79) в компактной форме представлены в §4 гла-
вы 1 первого тома двухтомной монографии [57], которым будем также следовать ни-
же.
В соответствии с вышеизложенным в рассматриваемом случае вводятся лагран-
жевы координаты 1,2,3my m , которые в начальном состоянии (втором, невозму-
щенном, в обсуждаемом случае – отсчетном) совпадают с декартовыми координата-
ми. В обсуждаемом случае связь между введенными декартовыми координатами ny и
декартовыми координатами nx , которые применялись в пп. 2.5.1 и 2.5.2, для одной и
той же материальной точки имеет следующий вид:
; const.n n n ny x (2.102)
Составляющие вектора перемещений (2.79) для начального состояния в коорди-
натах ny можно представить в следующей форме:
0 1( 1) .m m m mu y (2.103)
В дальнейшем для всех величин, которые рассматриваются в начальном (втором,
невозмущенном, в обсуждаемом случае – отсчетном) состоянии и отнесены к геомет-
рическим объектам в этом же состоянии, вводятся обозначения с индексом «штрих»;
исключение представляют комплексные потенциалы, в которых индекс «штрих» обо-
значает производную по комплексной переменной. Таким образом, вводятся: nmQ −
составляющие несимметричного тензора напряжений; mP − составляющие вектора по-
верхностной нагрузки на площадке с ортом нормали N ; − плотность материала.
Для введенных величин имеют место следующие выражения:
1 1 1 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ; ( ) ; ( ) .nm n nm m n n mQ t P N P (2.104)
Отметим, что во всех монографиях автора настоящей статьи при применении ла-
гранжева метода описания движения сплошной среды через N обозначается орт
нормали в определенной точке материальной поверхности в отсчетном состоянии, в
качестве которого выбрано недеформированное (первое) состояние; составляющие
mN орта нормали в (2.104) также относятся к вышеуказанному орту нормали. При
указанных обозначениях в той же точке материальной поверхности в возмущенном
состоянии (третьем состоянии, в актуальной конфигурации) действует поверхностная
нагрузка P .
Для формулировки основных соотношений в координатах начального состояния в
настоящем п. 2.5.4 вводится орт 0N нормали к той же материальной поверхности в
той же определенной точке в начальном (втором, невозмущенном, докритическом)
состоянии; в этом случае имеет место [57] (т. 1, стр. 153) следующее соотношение:
0 1 1( ) .j j jN N N (2.105)
Учитывая выражения (2.102) – (2.105), получаем в декартовых координатах
( 1, 2, 3),ny n введенных в начальном состоянии, основные соотношения линеаризи-
рованной механики материалов с начальными (остаточными) напряжениями в виде
следующих соотношений:
61
уравнения движения
, 0, ;ij i j nQ u y V (2.106)
уравнения несжимаемости
, 0, ;n n mu y V (2.107)
граничные условия в напряжениях на части 1S поверхности тела
0
1, ; ;j j n j i ijQ P y S Q N Q (2.108)
граничные условия в перемещениях на части 2S поверхности тела
20, ;j nu y S (2.109)
линеаризированные определяющие соотношения для сжимаемых тел
, ,ij ijQ u (2.110)
где составляющие тензора имеют следующий вид:
1
1 2 3( ) ;ij i ij (2.111)
линеаризированные определяющие соотношения для несжимаемых тел
, ,ij ij ijQ u p (2.112)
где составляющие тензора имеют следующий вид:
.ij i ij (2.113)
Следует отметить, что в монографиях [30, 31, 34, 35, 44, 49, 54, 57, 334] приведе-
ны для общих и конкретных моделей упругих, пластических и тел с реологическими
свойствами выражения для определения составляющих тензоров и при одно-
родных начальных (остаточных) состояниях или докритических состояниях в виде
(2.78) и (2.79).
Таким образом, выражения (2.106) – (2.113) совместно с выражениями для опре-
деления составляющих тензоров и в вышеуказанных монографиях представля-
ют собой основные соотношения линеаризированной механики материалов с началь-
ными (остаточными) напряжениями в виде (2.78) и (2.79) или ТЛТУДТ (что тожде-
ственно в силу Примечания 2.2) при однородном докритическом состоянии в виде
(2.78) и (2.79). Вышеуказанные основные соотношения построены в лагранжевых ко-
ординатах, которые совпадают с декартовыми координатами, введенными в началь-
ном (втором, докритическом, невозмущенном) состоянии; при этом все величины от-
несены к геометрическим объектам в этом же начальном состоянии. Отметим, что
обсуждаемые основные соотношения выше приведены в обозначениях, которые соот-
ветствуют обозначениям §4 главы 1 первого тома монографии [57]; при этом вышеиз-
ложенные основные соотношения представлены в едином общем виде для теорий 1, 2
и 3 (по терминологии вводной части (п. 2.4).
Для вышеизложенных основных соотношений в координатах начального состоя-
ния можно построить общие решения в форме, аналогичной общим решениям в коор-
динатах первого (недеформированного, отсчетного) состояния, которые изложены в
пп. 2.5.1 и 2.5.2; обсуждаемые общие решения достаточно подробно представлены в
§4 главы 1 первого тома монографии [57]. Ниже в качестве примера приведем общие
решения для плоской деформации при применении статического метода исследования
(метода Эйлера) по аналогии с результатами пп. 2.5.1 и 2.5.2; поскольку для рассмат-
риваемого случая (2.81) возмущений массовых и поверхностных сил выполняются
достаточные условия применимости статического метода (метода Эйлера), то резуль-
таты, полученные на основе обсуждаемых общих решений для статического метода,
будут совпадать с результатами, полученными в рамках динамического метода.
62
Таким образом, рассматривается плоская деформация в плоскости 1 20y y ; в этом
случае по аналогии с (2.82) и (2.93) имеют место следующие соотношения:
для сжимаемых тел
1 1 1 2 2 2 1 2 3( , ); ( , ); 0u u y y u u y y u (2.114)
и для несжимаемых тел
1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2( , ); ( , ); 0; ( , ).u u y y u u y y u p p y y (2.115)
В рассматриваемом случае плоской деформации все величины определяются че-
рез функции ( 1, 2j j для сжимаемых тел и 1, 2, 4j для несжимаемых тел) или
через их линейные комбинации, которые являются решениями уравнения
2 2 2 2
2 2
2 32 2 2 2
2 1 2 1
0;j
y y y y
(2.116)
при этом параметры 2
2 и 2
3 можно представить в следующей форме:
2 2
2,3 1 .A A A (2.117)
В (2.117) введены следующие обозначения для сжимаемых тел:
2
2222 2112 1111 2222 2112 1221 1122 1212 2222 2112 1 1111 12212 ;A A (2.118)
и для несжимаемых тел
2112 1111 2222 1122 1212 2222 1 12212 2 ; .A A (2.119)
С учетом вышеприведенных результатов и обозначений общее решение можно
представить в следующей форме для сжимаемых тел:
2 2 2
2 2
1 1221 2222 1122 12122 2
1 2 1 2
2 2 2
2 1
2 1122 1212 1111 21122 2
1 2 1 2
;u
y y y y
u
y y y y
(2.120)
и для несжимаемых тел:
2 2 2 2
1 2 4
1 1221 2222 1122 12122 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2
1 2 4
2 1111 1122 1212 21122 2 2
1 2 1 1 2 2
2 2
1221 2222 1122 12122 2
1 2
;
;
u
y y y y y y
u
y y y y y y
p
y y
1
1
2 2
2
1111 1122 1212 21122 2
1 2 2
.
y
y y y
(2.121)
Общие решения для плоской задачи (плоская деформация) в виде (2.114) – (2.121)
применяются для введения комплексных потенциалов; краткая информация и основ-
ные результаты по обсуждаемому вопросу приведены в следующем пункте.
63
2.5.5. Комплексные потенциалы в плоских линеаризированных задачах в ко-
ординатах начального состояния. Как уже отмечалось в п. 2.5.3, комплексные по-
тенциалы в плоских задачах для статического метода исследования (метода Эйлера)
последовательно и в полном объеме введены в монографии [44] в 1983 г.; предвари-
тельно в более сокращенном виде обсуждаемые результаты были представлены в ста-
тьях, которые указаны в списке литературы к [44]. В последующие годы обсуждаемые
результаты были представлены в полном объеме в т. 2 коллективной монографии
[154] в 1991 г., в Дополнении к монографии [334] в 1999 г. и в т. 2 двухтомной моно-
графии [57] в 2008 г. Ниже приведем краткие сведения о комплексных потенциалах в
плоских линеаризированных задачах, которые введены в координатах начального
(второго, невозмущенного) состояния; более подробно обсуждаемые результаты из-
ложены в §2 главы 7 второго тома двухтомной монографии [57], обозначения и стиль
изложения которого также применяется ниже применительно к упругим и пластиче-
ским материалам.
Наряду с параметрами 2
2 и 2
3 , которые вводятся выражениями (2.117) – (2.119)
и которые полностью характеризуют рассматриваемый сжимаемый или несжимаемый
материал и действующие начальные (остаточные) напряжения, также вводятся ком-
плексные параметры 1 и 2 следующими соотношениями:
2 2 2 2
1,2 2,3 1,2 1; .A A A i A A A (2.122)
Комплексные переменные в рассматриваемом случае плоской деформации вво-
дятся следующим образом:
1 2 1 2; ; 1,2 .k k k kz y y z y y k (2.123)
В силу (2.117) – (2.118) и (2.122) комплексные переменные kz (2.123) зависят от
свойств рассматриваемого сжимаемого или несжимаемого материала и действующих
начальных (остаточных) или докритических напряжений.
Строго доказано, что имеют место случаи равных и неравных комплексных пара-
метров или корней 1 и 2 , для которых выполняются определенные условия.
Так, в случае неравных корней получаем
1 2 1 2 ; (2.124)
и в случае равных корней получаем
1 2 1 1 1 ; ; Re 0. (2.125)
После введения комплексных переменных в виде (2.123) с учетом обозначений
(2.122) представление напряжений ijQ и перемещений mu для плоской задачи через
комплексные потенциалы строится с применением уравнения (2.116) и представлений
общих решений в виде (2.120) для сжимаемых тел и в виде (2.121) для несжимаемых
тел. При указанном построении применяются определенные линейные комбинации
функций 1 2, и 4 чтобы обеспечить переход к классическим комплексным
представлениям Колосова-Мусхелишвили [148] и Лехницкого [140] при стремлении
начальных (остаточных, докритических) напряжений к нулю; соответствующие пре-
образования достаточно подробно изложены в монографии [44], в т. 2 коллективной
монографии [154] и в т. 2 двухтомной монографии [57].
Ниже приведем комплексные представления для напряжений и перемещений от-
дельно для случаев неравных (2.124) и равных (2.125) корней, следуя §2 главы 7 вто-
рого тома двухтомной монографии [57].
Так, для случая неравных корней (2.124) имеет место представление
64
22 1 1 2 2
1 2
21 21 1 1 1 21 2 2 2
12 1 1 1 2 2 2
1 22 2
11 11 1 1 1 11 2 2 2
1 2
1 1 2 2
2 Re ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ; 1, 2.k k k
Q z z
Q z z
Q z z
Q z z
u z z k
(2.126)
В (2.126) и ниже, как и отмечалось после выражений (2.103), индекс «штрих» воз-
ле функций от комплексных переменных обозначает производную от функций по
комплексной переменной. Таким образом, выражения (2.126) определяют напряжения
и перемещения плоской линеаризированной задачи в случае (2.124) неравных корней
через комплексные потенциалы 1 1( )z и 2 2( )z ; при этом 1 1( )z и 2 2( )z являют-
ся аналитическими функциями в области, занятой рассматриваемым материалом. Для
сжимаемых и несжимаемых материалов с моделями достаточно общего вида в [57]
(§2, глава 7, т. 2) приведены выражения для определения величин
21
j ,
11
j ,
1
j и
2
j (при 1,2j ) через 1 , 2 , nm и nm .
Для случая равных корней (2.125) имеет место следующее представление:
2
22 1 1 1 22 1
1 2
21 1 21 1 1 1 21 1
2
12 1 1 1 1 12 1
1 22
11 1 11 1 1 1 11 1
1 2
1 1 1 1
1 1
Re ( ) ( ) ( ) ;
Re ( ) ( ) ( ) ;
Re ( ) ( ) ( ) ;
Re ( ) ( ) ( ) ;
Re ( ) ( ) ( ) ; 1, 2;
( ) ( ), (
k k k
Q z z z z
Q z z z z
Q z z z z
Q z z z z
u z z z z k
z z
1 1) ( ).z z
(2.127)
В (2.127) и ниже, как и отмечалось после выражений (2.103) и (2.126), индекс
«штрих» возле функций от комплексных переменных обозначает производную от
функций по комплексной переменной. Таким образом, выражения (2.127) определяют
напряжения и перемещения плоской линеаризированной задачи в случае (2.125) рав-
ных корней через комплексные потенциалы 1z и 1z ; при этом 1z и 1z
являются аналитическими функциями в области, занятой рассматриваемым материа-
лом. Для сжимаемых и несжимаемых материалов с моделями достаточно общего вида
в [57] (§2, глава 7, т. 2) приведены выражения для определения величин 2
22 ,
21
j ,
2
12 ,
11
j ,
1
j и
2
j (при 1,2j ) через 1 , nm и nm .
Необходимо отметить, что представления (2.126) и (2.127) перемещений и напря-
жений плоских линеаризированных задач через аналитические функции комплексных
переменных относятся к материалам с однородными механическими свойствами в
случае определяющих уравнений достаточно общего вида, имеющими рассматривае-
мые свойства симметрии, и однородных начальных (остаточных, докритических) со-
стояний в виде (2.78) и (2.79). Обсуждаемые представления (2.126) и (2.127) для вы-
шеуказанной общности постановки задач дают возможность с привлечением методов
теории аналитических функций комплексных переменных получать точные решения
65
различных смешанных задач, когда граничные условия заданы при 2 consty . В
частности, с привлечением формулы Келдыша-Седова [126] и представления через
комплексные потенциалы в виде (2.126) для неравных корней (2.124) и в виде (2.127)
для равных корней (2.125) при рассматриваемой общности постановки задач (в еди-
ной общей форме для теорий 1, 2 и 3 по терминологии вводной части п. 2.4) получе-
ны точные решения для трещины, расположенной в плоскости 2 consty .
Для простейшего случая неоднородного материала (кусочно-однородный матери-
ал, трещина расположена в границе раздела свойств материала, в interface, при
2 consty ) уже нельзя получить точные решения при применении вышеуказанных
методов. В обсуждаемом случае (кусочно-однородный материал, смешанные гранич-
ные условия заданы на линии раздела свойств материала при 2 consty ) для задач
статики в рамках классической линейной теории упругости изотропного тела в моно-
графии Мусхелишвили [148] изложен метод решения указанных задач, который осно-
ван на сведении к задаче сопряжения двух голоморфных функций, заданных во всей
плоскости.
Ниже в весьма краткой форме излагаются результаты по сведению плоских лине-
аризированных задач при рассматриваемой общности постановки задач для обсужда-
емого случая (кусочно-однородный материал, граница раздела 2 0y , трещина в гра-
нице раздела) к задаче сопряжения двух голоморфных функций, заданных во всей
плоскости; более подробно рассматриваемые результаты изложены в монографии [57]
(§2, глава 8, т. 2). Через 1L обозначим совокупность отрезков на линии 2 0y , соот-
ветствующих трещинам; через 2L обозначим совокупность отрезков на линии 2 0y ,
соответствующих полному соединению двух компонент композитного материала (не-
прерывность векторов напряжений и перемещений). В обсуждаемом случае гранич-
ные условия на линии соединения (при 2 0y ) в соответствии с [57] (стр. 171, т. 2)
можно представить в следующем виде:
( ) ( )
22 21 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 22 21 21 1 1
1
( ) ( )
2 2 1 2 2
1
0, 0 при и 0;
, , ( ) 0;
( ) 0 при и 0;
Q Q y L y
Q Q Q Q u u
y
u u y L y
y
(2.128)
при этом также получаем соответствующие условия затухания «на бесконечности»
при 2y , поскольку рассматриваем композитный материал, составленный из
двух полуплоскостей. Индексами ( ) в (2.128) и ниже отмечены все величины, отно-
сящиеся к вышеуказанным двум полуплоскостям. Принадлежность комплексных по-
тенциалов в представлениях (2.126) и (2.127) к определенному конкретному материа-
лу, занимающему соответствующую полуплоскость, достигается за счет применения
комплексных параметров 1 и 2 (2.122), вычисленных для этого же материала. Та-
ким образом, в обсуждаемом случае кусочно-однородного материала, состоящего из
двух полуплоскостей, получаем по два комплексных потенциала (в представлениях
(2.126) и (2.127)) для каждой из полуплоскостей; при этом вышеуказанные комплекс-
ные потенциалы являются аналитическими функциями только для соответствующих
полуплоскостей. Для разработки метода построения точных решений для соединен-
ных двух полуплоскостей в рамках плоской линеаризированной задачи, аналогичного
методу Мусхелишвили [148] в рамках плоской задачи классической линейной теории
упругости изотропного тела, необходимо вместо представлений (2.126) и (2.127) по-
строить представления для полуплоскости через аналитические функции комплекс-
ных переменных, когда эти функции определены для всей плоскости. Такого типа
66
представления построены в статьях [377 – 380, 482] и достаточно подробно изложены
в монографии [57] (§2, глава 8, т. 2); в связи с этим ниже лишь приведем соответ-
ствующие представления для величин, которые входят в граничные условия (2.128) на
линии соединения (при 2 0y ) отдельно для случая неравных корней (2.124) и случая
равных корней (2.125).
Так, для случая неравных корней (2.124) для величин, входящих в граничные
условия (2.128), получено представление
22 11 1 2 12 1 2
21 21 1 1 2 22 1 2
1
31 1 32 2 33 2
1
2
41 1 42 2 43 2
1
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) .
Q C z z C z z
Q C z z C z z
u
C z C z C z
y
u
C z C z C z
y
(2.129)
Выражения (2.129) относятся в равной мере к верхней и нижней полуплоскостям;
для получения выражений, относящихся только к верхней или нижней полуплоско-
стям необходимо во всех величинах и функциях, входящих в (2.129), поставить ин-
дексы ( ). В монографии [57] (т. 2, стр. 175) представлены выражения для определе-
ния ,nmC входящих в (2.129), через 1 2, и коэффициенты, входящие в представле-
ние (2.126) для случая неравных корней (2.124). Необходимо отметить, что в (2.129)
функция ( )z является голоморфной во всей плоскости.
Аналогичным образом для случая равных корней (2.125) для величин, входящих в
граничные условия (2.128), получено следующее представление:
22 11 1 1 12 1 1 1 1
21 21 1 1 22 1 1 1 1
1
31 1 32 1 33 1 1 1 1
1
2
41 1 42 1 43 1 1
1
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) (
Q C z z C z z z z
Q C z z C z z z z
u
C z C z C z z z z
y
u
C z C z C z z z
y
1 1) ( ) .z
(2.130)
Выражения (2.130) относятся в равной мере к верхней и нижней полуплоскостям;
для получения выражений, относящихся только к верхней или нижней полуплоско-
стям, необходимо во всех величинах и функциях, входящих в (2.130), поставить ин-
дексы ( ±). В монографии [57] (т. 2, стр. 178) представлены выражения для определе-
ния nmC , входящих в (2.130), через 1 и коэффициенты, входящие в представление
(2.127) для случая равных корней (2.125). Необходимо отметить, что в (2.130) функ-
ция z является голоморфной во всей плоскости.
С привлечением представлений (2.129) в случае неравных корней (2.124) и (2.130)
в случае равных корней (2.125) смешанные плоские линеаризированные задачи или
задачи ТЛТУДТ для кусочно-однородного материала (две полуплоскости, соединен-
ные между собой) с линией раздела 2 0y сводятся к задаче сопряжения двух голо-
морфных во всей плоскости функций. В ряде случаев можно получить точное реше-
ние обсуждаемой задачи сопряжения двух функций в рамках математического аппа-
рата плоских линеаризированных задач; в частности, в статьях [337 – 380, 482] за 2000
67
– 2001 гг. и в монографии [57] (т. 2, глава 8, §2) за 2008 г. изложено точное решение
задачи об устойчивости кусочно-однородного материала (две полуплоскости, соеди-
ненные между собой) при сжатии вдоль границы раздела, в которой расположены плос-
кие трещины, при общей постановке задач, рассматриваемой в п. 2.5 настоящей статьи.
Целесообразно отметить, что в монографии [57] (т. 2) также изложено представ-
ление через комплексные потенциалы типа (2.126) и (2.127) для антиплоской лине-
аризированной задачи в координатах начального состояния; для сокращения объема
статьи указанные результаты в настоящей статье не обсуждаются.
2.5.6. Комплексные потенциалы в динамических плоских линеаризирован-
ных задачах в координатах начального состояния для движущихся трещин и
нагрузок. В настоящем пункте в весьма краткой форме, краткой даже по сравнению с
пп. 2.5.4 и 2.5.5, приведем основные результаты по введению комплексных потенциа-
лов в динамических плоских линеаризированных задачах в координатах начального
состояния, когда трещины расположены в плоскости 2 consty и движутся равно-
мерно и прямолинейно с постоянной скоростью const вдоль оси 10y ; рассматри-
ваются плоские трещины в плоскости 2 consty , которые являются бесконечными в
направлении оси 30y и имеют постоянную ширину вдоль оси 10y . Поскольку в плос-
кости 2 consty расположены вышеуказанные трещины, то дополнительно к (2.78) и
(2.79) для начального (остаточного, невозмущенного, докритического) состояния при-
нимается следующее условие:
0
22 0. (2.131)
Также принимается, что материалы имеют такие же свойства симметрии, как и в
пп. 2.5.3 – 2.5.4. Исследования проводятся для дозвукового режима движения трещин,
т.е. выполняются следующие условия:
1 12 13, , .l S Sc c c (2.132)
В (2.132) использованы обозначения монографии [60] для «истинных» скоростей
движения плоских волн в телах с начальными напряжениями (2.78), (2.79) и (2.131):
lmc − скорость продольных волн, распространяющихся вдоль оси 0 my ; Smnc − ско-
рость поперечных волн (волн сдвига), распространяющихся вдоль оси 0 my и поляри-
зованных в плоскости 0m ny y ; Smkc − скорость поперечных волн (волн сдвига), рас-
пространяющихся вдоль оси 0 my и поляризованных в плоскости 0m ky y ;
m n k m .
При вышеуказанных в п. 2.5.6 условиях процесс введения и применения ком-
плексных потенциалов в динамических плоских линеаризированных задачах в коор-
динатах начального состояния для движущихся трещин и нагрузок достаточно по-
дробно изложен в монографии [44] за 1983 г.; предварительно результаты, получен-
ные до 1983 г., были опубликованы в периодической печати в научных статьях, кото-
рые указаны в списке литературы к монографии [44]. Наиболее полно обсуждаемые
результаты для динамических задач, включая и результаты для кусочно-однородных
материалов (композитных материалов) типа результатов заключительной части п.
2.5.5, представлены в монографии [57] (т. 2, глава 10) за 2008 г.; предварительно соот-
ветствующие результаты, полученные в 1983 – 2007 гг., были опубликованы в науч-
ных статьях, которые указаны в списке литературы к монографии. Дополнительно
следует указать современный обзор [58], который посвящен анализу результатов по
механике движущихся трещин в материалах с начальными (остаточными) напряже-
ниями, которые получены до 2011 г.
В обсуждаемом случае для введения комплексных потенциалов для плоских ли-
неаризированных задач применительно к движущимся трещинам и нагрузкам следует
исходить из основных соотношений в виде (2.106) – (2.113) динамики материалов с
68
рассматриваемыми начальными (остаточными) напряжениями, сформулированными
в координатах начального состояния. Наряду с декартовой системой координат с ко-
ординатами ( 1, 2, 3)jy j введем подвижную декартову систему координат с коор-
динатами ( 1, 2, 3)j j следующими соотношениями:
1 1 2 2 3 3; ; .y y y (2.133)
Для плоской задачи в плоскости 1 20 в подвижных координатах 1,2,3j j
комплексные переменные 1,2kz k вводятся следующими выражениями:
1 2 1 2
1 2 1 2
;
; 1, 2,
k k k
k k k
z y y
z y y k
(2.134)
где комплексные параметры 1 и 2 определяются вторым выражением (2.122), в
котором введены следующие обозначения:
для сжимаемых материалов
2 2 2
2222 2112 1111 2222 2112 1221 1122 1212
2 2
2222 2112 1111 1221
2 ( ) ( ) ( ) ;
( )( )
A
A
(2.135)
и для несжимаемых материалов
2
2112 1111 2222 1122 1212
2
1 2112 1212
2 2( );
.
A
A
(2.136)
При обозначениях для A и 1A в виде (2.135) для сжимаемых материалов и в виде
(2.136) для несжимаемых материалов и второго выражения (2.122) для определения
корней 1 и 2 строго доказано, что имеет место случай неравных корней в виде
(2.124) и случай равных корней в виде (2.125).
Дальнейшая процедура введения комплексных потенциалов соответствует проце-
дуре, изложенной в п. 2.5.5 для статических задач; эти результаты подробно изложе-
ны в монографии [57] (т. 2, глава 10), в связи с этим ниже приведем лишь конечные
результаты, учитывая, что для динамических задач комплексные переменные вводят-
ся соотношениями (2.134) и комплексные корни 1 и 2 определяются вторым вы-
ражением (2.122) пари обозначениях (2.135) и (2.136).
Так, в случае неравных корней (2.124) напряжения и перемещения динамических
плоских линеаризированных задач определяются следующими соотношениями
22 1 1 2 22 Re ( ) ( ) ;Q z z
1 2
21 1 21 1 1 2 21 2 22 Re ( ) ( ) ;Q z z
1 2
12 1 12 1 1 2 12 2 22 Re ( ) ( ) ;Q z z (2.137)
1 22 2
11 1 11 1 1 2 11 2 22 Re ( ) ( ) ;Q z z
1 2
1 1 2 22 Re ( ) ( ) ; 1, 2k k ku z z k
69
через комплексные потенциалы 1 1( )z и 2 2( ),z которые являются аналитическими
функциями в области, занятой рассматриваемым материалом. Необходимо отметить,
что представления (2.137) для динамических задач при неравных корнях отличаются
от соответствующих представлений (2.126) для статических задач при неравных кор-
нях не только различными выражениями для определения величин 1 2 1, , , ,A A ,
2... , k , но и тем, что в (2.137) величины
12 1j при 1,2j . В монографии [57] (т. 2,
стр. 339) для сжимаемых и несжимаемых материалов с моделями достаточно общего
вида приведены выражения для определения величин
21 12 11 1, , ,j j j j и
2
j (при
1,2j ) через 1 2, , nm и .nm
В случае равных корней (2.125) напряжения и перемещения динамических плос-
ких линеаризированных задач определяются следующими соотношениями
2
22 1 1 1 22 1
1 2
21 1 21 1 1 1 21 1
1 2
12 1 12 1 1 1 12 1
1 22
11 1 11 1 1 1 11 1
1 2
1 1 1 1
1 1
Re ( ) ( ) ( ) ;
Re ( ) ( ) ( ) ;
Re ( ) ( ) ( ) ;
Re ( ) ( ) ( ) ;
Re ( ) ( ) ( ) ; 1, 2;
( ) ( )
k k k
Q z z z z
Q z z z z
Q z z z z
Q z z z z
u z z z z k
z z
1 1, ( )z z
(2.138)
через комплексные потенциалы 1( )z и 1( ),z которые являются аналитическими
функциями в области, занятой рассматриваемым материалом. Необходимо отметить,
что представления (2.138) для динамических задач при равных корнях отличаются от
соответствующих представлений (2.127) для статических задач при равных корнях не
только различными выражениями для определения величин 2 2
1 1 22, , , , ... , ,kA A но
и тем, что в (2.138) величина 1
12 1. В монографии [57] (т. 2, стр. 342 – 344) для
сжимаемых и несжимаемых материалов с моделями достаточно общего вида приве-
дены выражения для определения величин 2
22 21 12 11 1, , , ,j j j j и
2
j (при 1, 2j )
через 1, nm и .nm
Также отметим, что комплексные представления напряжений и перемещений ди-
намических плоских линеаризированных задач в виде (2.137) для неравных корней
(2.124) и в виде (2.138) для равных корней (2.125) при стремлении начальных (оста-
точных, докритических) напряжений к нулю переходят в известные комплексные
представления Галина [19] динамической плоской задачи классической линейной
теории упругости.
Необходимо отметить, что представления (2.137) и (2.138) перемещений и напря-
жений динамических плоских линеаризированных задач через аналитические функ-
ции комплексных переменных, как и соответствующие представления (2.126) и
(2.127) для статических плоских линеаризированных задач, относятся к материалам с
однородными механическими свойствами в случае определяющих уравнений доста-
точно общего вида, имеющими рассматриваемые свойства симметрии, и однородных
начальных (остаточных, докритических) состояний в виде (2.78) и (2.79). Обсуждае-
мые представления (2.137) и (2.138) для вышеуказанной общности постановки задач
дают возможность (с привлечением методов теории аналитических функций ком-
плексных переменных) получать точные решения различных смешанных задач, когда
70
движущиеся граничные смешанные условия заданы при 2 consty . В частности, с
привлечением формулы Келдыша-Седова [126] и представлений для динамических
плоских линеаризированных задач через комплексные потенциалы в виде (2.137) для
случая неравных корней (2.124) и в виде (2.138) для равных корней (2.125) при рас-
сматриваемой общности постановки задач (в единой общей форме для теорий 1, 2 и 3
по терминологии вводной части п. 2.4) получены точные решения для трещины, дви-
жущейся в плоскости 2 consty .
Для простейшего случая неоднородного материала (кусочно-однородный матери-
ал, движущаяся трещина расположена в границе раздела свойств материала, в inter-
face, при 2 consty ) уже нельзя получать точные решения при применении вышеука-
занных методов. В рассматриваемом случае динамических плоских линеаризирован-
ных задач для двух соединенных полуплоскостей из различных материалов, по линии
раздела которых (в interface) движутся плоские трещины, необходимо построить
представление напряжений и перемещений для каждой из полуплоскостей через ана-
литические функции, которые определены для всей плоскости; аналогичная ситуация
имеет место и для статических плоских линеаризированных задач, которая исследо-
вана во второй половине предыдущего пункта (п. 2.5.6). Следует отметить, что в вы-
шеизложенных комплексных представлениях (2.137) и (2.138) для динамических
плоских линеаризированных задач представлены комплексные потенциалы, которые
являются аналитическими функциями лишь для областей, занятых рассматриваемым
материалом; в обсуждаемом случае (две соединенные полуплоскости) в представле-
ниях (2.137) и (2.138) комплексные потенциалы являются аналитическими функциями
для соответствующих полуплоскостей. После получения представления напряжений и
перемещений динамических плоских линеаризированных задач для полуплоскости
через аналитические функции, которые определены для всей плоскости, точные ре-
шения в ряде случаев можно получить посредством сведения к задаче Римана – Гиль-
берта или по терминологии монографии [148] к задаче сопряжения двух голоморфных
функций, заданных во всей плоскости. Соответствующие результаты в достаточно
полной форме представлены в монографии [57] (т. 2, глава 10, §§5 и 6), в связи с этим
ниже приведем лишь некоторые основные результаты.
Граничные условия на линии раздела (при 2 0y ) для движущихся трещин в гра-
нице раздела в подвижной системе координат по аналогии с (2.128) можно предста-
вить в следующем виде:
22 21 1 1 2
22 22 21 21 1 1 2 2
1 1
0, 0 при и 0;
, , ( ) 0, ( ) 0.
Q Q L
Q Q Q Q u u u u
(2.139)
Представление величин, входящих в (2.139), для каждой из полуплоскостей при-
ведем для неравных и равных корней 1 и 2 , которые определяются вторым выра-
жением (2.122) при обозначениях (2.135) и (2.136) для динамических плоских лине-
аризированных задач.
Так в случае неравных корней (2.124) величины, входящие в (2.139), для каждой
из полуплоскостей определяются следующими выражениями
22 11 1 2 12 1 2
21 21 1 2 22 1 2
1
31 1 32 2 33 2
1
2
41 1 42 2 43 2
1
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( )
Q C z z C z z
Q C z z C z z
u
C z C z C z
u
C z C z C z
(2.140)
71
через функцию ( )jz при 1,2j , которая является голоморфной во всей плоскости.
В монографии [57] (т. 2, стр. 401) представлены выражения для определения nmC ,
входящих в (2.140), через 1 и 2 и коэффициенты, входящие в представление
(2.137) для случая неравных корней (2.124), применительно к динамической плоской
линеаризированной задаче. Выражения (2.140) относятся в равной мере к верхней и
нижней полуплоскостям; для получения выражений, относящихся только к верхней
или нижней полуплоскостям, необходимо во всех величинах и функциях, входящих в
(2.140), поставить индекс ( ).
В случае равных корней (2.125) величины, входящие в (2.139), для каждой из по-
луплоскостей определяются следующими выражениями
22 11 1 1 12 1 1 1 1
21 21 1 1 22 1 1 1 1
1
31 1 32 1 33 1 1 1 1
1
2
41 1 42 1 43 1 1
1
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 Re ( ) ( ) ( ) (
Q C z z C z z z z
Q C z z C z z z z
u
C z C z C z z z z
u
C z C z C z z z
1 1) ( )z
(2.141)
через функцию 1( ),z которая является голоморфной во всей плоскости.
В монографии [57] (т. 2, стр. 405) представлены выражения для определения nmC ,
входящих в (2.141), через 1 и коэффициенты, входящие в представление (2.138) для
случая равных корней (2.125), применительно к динамической плоской линеаризиро-
ванной задаче. Выражения (2.141) относятся в равной мере к верхней и нижней полу-
плоскостям; для получения выражений, относящихся к верхней или нижней полу-
плоскостям, необходимо во всех величинах и функциях, входящих в (2.141), поста-
вить индекс ( ).
С привлечением представлений (2.140) и (2.141) через одну функцию, которая яв-
ляется голоморфной во всей плоскости, и с последующим сведением к задаче Римана
– Гильберта выполнен последовательный анализ ряда динамических плоских лине-
аризированных задач для композитного материала, состоящего из двух соединенных
полуплоскостей из различных материалов, в линии раздела которых движется плоская
трещина. Соответствующие строгие результаты были первоначально опубликованы в
статьях [339 – 342] за 2002 г. и представлены в достаточно полной форме в моногра-
фии [57] (т. 2, глава 10, §§5 и 6) за 2008 г.; анализ результатов по построению меха-
ники движущихся трещин в материалах с начальными (остаточными) напряжениями
представлен в современном обзоре [58] за 2011 г.
Целесообразно отметить, что применительно к динамическим линеаризирован-
ным задачам в координатах начального состояния для движущихся трещин и нагрузок
получено представление напряжений и перемещений через комплексные потенциалы
не только для плоской задачи, для которой они имеют вид (2.137) для случая нерав-
ных корней (2.124) и вид (2.138) для случая равных корней (2.125), но и для соответ-
ствующей антиплоской задачи. Для последней ситуации (антиплоская задача) пред-
ставления напряжений и перемещений имеют более простой вид по сравнению с
представлениями (2.137) и (2.138); соответствующие результаты приведены в моно-
графии [57] (т. 2, глава 10, §2), для сокращения объема настоящей статьи вышеука-
занные результаты здесь не приводятся.
Примечание 2.14. В пп. 2.5.5 и 2.5.6 для статических и динамических плоских
линеаризированных задач в координатах начального состояния изложено представле-
ние напряжений и перемещений через комплексные потенциалы в единой общей
форме для теорий 1, 2 и 3 (по терминологии вводной части п. 2.4). В обсуждаемых
результатах при введении лагранжевых координат, которые в начальном (остаточном,
72
докритическом, невозмущенном, втором) состоянии совпадают с декартовыми коор-
динатами, учитывается изменение геометрических объектов при переходе от отсчет-
ного (первого) состояния ко второму (невозмущенному) состоянию. Из результатов п.
2.2 настоящей статьи получаем, что в теории 2 (первый вариант теории малых до-
критических деформаций) и в теории 3 (второй вариант теории малых докритиче-
ских деформаций) вышеотмеченные изменения не следует учитывать в силу принци-
пов и точности построения обсуждаемых теорий. Таким образом, из вышеизложенно-
го следует, что при последовательном рассмотрении обсуждаемых теорий отмеченное
изменение необходимо учитывать только в теории 1 (теории больших (конечных)
докритических деформаций).
В заключение к §2 настоящей статьи следует отметить, что в обсуждаемом пара-
графе достаточно последовательно изложены математические основы ТЛТУДТ, что
дает возможность в последующих параграфах не приводить рассмотренные результа-
ты применительно к каждой соответствующей проблеме.
РЕЗЮМЕ. Оглядова стаття присвячена короткому опису та відповідному аналі-
зу основних результатів по некласичним проблемам механіки руйнування, які одер-
жані автором статті та його учнями за останні 50 років у відділі динаміки та стійкості
суцільних середовищ Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАНУ.
Оглядова стаття розділена на три частини. Перша частина має підзаголовок «За-
гальні питання» і публікується в журналі «Прикладная механика» (55, № 2, 2019); в
першу частину включено Вступ та §§1 і 2. Друга частина має підзаголовок «Руйнування
композитних матеріалів при стиску»; в другу частину включено §§3 – 5. Третя части-
на має підзаголовок «Інші некласичні проблеми механіки руйнування»; в третю час-
тину включено §§6 – 10 та список літератури, який є загальним для всіх трьох частин.
Поступила 26.03.2018 Утверждена в печать 22.11.2018
|