Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки

Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки

В данной работе построено аналитическое решение плоской задачи о действии нестационарной нагрузки определенного типа на поверхность упругого слоя, одна из граничных поверхностей которого является свободной, другая – жестко закрепленной. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Вследс...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Прикладная механика
Datum:2019
Hauptverfasser: Кубенко, В.Д., Саленко, С.Д.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2019
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188096
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки / В.Д. Кубенко, С.Д. Саленко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 2. — С. 73-86. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188096
record_format dspace
spelling Кубенко, В.Д.
Саленко, С.Д.
2023-02-12T13:03:05Z
2023-02-12T13:03:05Z
2019
Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки / В.Д. Кубенко, С.Д. Саленко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 2. — С. 73-86. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
0032-8243
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188096
В данной работе построено аналитическое решение плоской задачи о действии нестационарной нагрузки определенного типа на поверхность упругого слоя, одна из граничных поверхностей которого является свободной, другая – жестко закрепленной. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Вследствие однородности полученных трансформант для перехода в пространство оригиналов используется метод совместного обращения интегральных преобразований. Решение строится в виде ряда по отраженным волнам.
Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного навантаження на поверхню пружного шару. Застосовано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є. Розв'язок побудовано у вигляді ряду по відбитим хвилям, в якому при обчисленнях утримується скінченна кількість членів. Перехід в простір оригіналів проведено в результаті спільного обернення інтегральних перетворень. Числові розрахунки виконані для навантаження, що раптово виникає на поверхні шару і поширюється з постійною швидкістю. Нормальне напруження на осі симетрії обчислене для інтервалу часу, протягом якого головна хвиля розширення чотири рази проходить товщину шару. Наведено результати порівняння з аналогічною задачею при змішаних граничних умовах.Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного навантаження на поверхню пружного шару. Застосовано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є. Розв'язок побудовано у вигляді ряду по відбитим хвилям, в якому при обчисленнях утримується скінченна кількість членів. Перехід в простір оригіналів проведено в результаті спільного обернення інтегральних перетворень. Числові розрахунки виконані для навантаження, що раптово виникає на поверхні шару і поширюється з постійною швидкістю. Нормальне напруження на осі симетрії обчислене для інтервалу часу, протягом якого головна хвиля розширення чотири рази проходить товщину шару. Наведено результати порівняння з аналогічною задачею при змішаних граничних умовах.
An analytical solution of a plane problem on action of the nonstationary load on the surface of elastic layer is constructed. The Laplace and Fourier integral transforms are applied. The solution is obtained in the form of series by reflected waves, from which a finite number of terms are retained in the calculations. A transition to the space of originals is carried out by a joint inversion of integral transforms. The Numerical calculations are performed for a load that suddenly appears on the surface of a layer and propagates with the constant velocity. The normal stress on the axis of symmetry is calculated for the time interval during of which the extension head wave passes four times through the thickness of layer. The results of comparison with a similar problem for mixed boundary conditions are presented.
ru
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Прикладная механика
Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки
Wave Generation in Elastic Layer under Action of Non-Stationary Moving Load
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки
spellingShingle Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки
Кубенко, В.Д.
Саленко, С.Д.
title_short Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки
title_full Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки
title_fullStr Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки
title_full_unstemmed Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки
title_sort волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки
author Кубенко, В.Д.
Саленко, С.Д.
author_facet Кубенко, В.Д.
Саленко, С.Д.
publishDate 2019
language Russian
container_title Прикладная механика
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format Article
title_alt Wave Generation in Elastic Layer under Action of Non-Stationary Moving Load
description В данной работе построено аналитическое решение плоской задачи о действии нестационарной нагрузки определенного типа на поверхность упругого слоя, одна из граничных поверхностей которого является свободной, другая – жестко закрепленной. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Вследствие однородности полученных трансформант для перехода в пространство оригиналов используется метод совместного обращения интегральных преобразований. Решение строится в виде ряда по отраженным волнам. Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного навантаження на поверхню пружного шару. Застосовано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є. Розв'язок побудовано у вигляді ряду по відбитим хвилям, в якому при обчисленнях утримується скінченна кількість членів. Перехід в простір оригіналів проведено в результаті спільного обернення інтегральних перетворень. Числові розрахунки виконані для навантаження, що раптово виникає на поверхні шару і поширюється з постійною швидкістю. Нормальне напруження на осі симетрії обчислене для інтервалу часу, протягом якого головна хвиля розширення чотири рази проходить товщину шару. Наведено результати порівняння з аналогічною задачею при змішаних граничних умовах.Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного навантаження на поверхню пружного шару. Застосовано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є. Розв'язок побудовано у вигляді ряду по відбитим хвилям, в якому при обчисленнях утримується скінченна кількість членів. Перехід в простір оригіналів проведено в результаті спільного обернення інтегральних перетворень. Числові розрахунки виконані для навантаження, що раптово виникає на поверхні шару і поширюється з постійною швидкістю. Нормальне напруження на осі симетрії обчислене для інтервалу часу, протягом якого головна хвиля розширення чотири рази проходить товщину шару. Наведено результати порівняння з аналогічною задачею при змішаних граничних умовах. An analytical solution of a plane problem on action of the nonstationary load on the surface of elastic layer is constructed. The Laplace and Fourier integral transforms are applied. The solution is obtained in the form of series by reflected waves, from which a finite number of terms are retained in the calculations. A transition to the space of originals is carried out by a joint inversion of integral transforms. The Numerical calculations are performed for a load that suddenly appears on the surface of a layer and propagates with the constant velocity. The normal stress on the axis of symmetry is calculated for the time interval during of which the extension head wave passes four times through the thickness of layer. The results of comparison with a similar problem for mixed boundary conditions are presented.
issn 0032-8243
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188096
citation_txt Волнообразование в упругом слое при действии нестационарной подвижной нагрузки / В.Д. Кубенко, С.Д. Саленко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 2. — С. 73-86. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT kubenkovd volnoobrazovanievuprugomsloeprideistviinestacionarnoipodvižnoinagruzki
AT salenkosd volnoobrazovanievuprugomsloeprideistviinestacionarnoipodvižnoinagruzki
AT kubenkovd wavegenerationinelasticlayerunderactionofnonstationarymovingload
AT salenkosd wavegenerationinelasticlayerunderactionofnonstationarymovingload
first_indexed 2025-11-24T16:27:45Z
last_indexed 2025-11-24T16:27:45Z
_version_ 1850484141066289152
fulltext 2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 2 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 2 73 В . Д . К у б е н к о 1 , С . Д . С а л е н к о 2 ВОЛНООБРАЗОВАНИЕ В УПРУГОМ СЛОЕ ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ 1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: vdk@inmech.kiev.ua 2ГУ «Отделение гидроакустики института геофизики им. С.И. Субботина НАНУ», ул. Преображенская 3, 65082, Одесса, Украина; e-mail: salenkos@ukr.net Abstract. An analytical solution of a plane problem on action of the nonstationary load on the surface of elastic layer is constructed. The Laplace and Fourier integral transforms are applied. The solution is obtained in the form of series by reflected waves, from which a finite number of terms are retained in the calculations. A transition to the space of originals is carried out by a joint inversion of integral transforms. The Numerical calculations are performed for a load that suddenly appears on the surface of a layer and propagates with the constant velocity. The normal stress on the axis of symmetry is calculated for the time inter- val during of which the extension head wave passes four times through the thickness of lay- er. The results of comparison with a similar problem for mixed boundary conditions are presented. Key words: elastic layer, nonstationary load, wave process, integral transforms. Введение. Исследование волновых процессов в слоистой среде является предметом много- численных публикаций и связано с рядом практических приложений, таких как меха- ника материалов, прикладная геофизика, оптика, медицина. В большинстве работ, посвященных исследованию волновых процессов в слоистой среде, рассмотрены ста- ционарные волновые процессы, для которых основным параметром, определяющим выбор метода исследования, является соотношение между длиной волны и характер- ным размером тела. Среди исследований нестационарных процессов в упругих телах с плоскими границами основное количество публикаций посвящено изучению рас- пространения волн в упругом полупространстве. В первых работах [4, 11, 17, 19, 20] упор делается на использовании асимптотических методов и обнаружении качествен- ных особенностей возникающих волновых процессов, таких как выделение отдель- ных типов волн и их фронтов, рассеяние и затухание в специфических направлениях, поведение волн в дальней зоне, обнаружение сингулярностей и др. Рассматривается преимущественно точечный (линейный в случае плоской задачи) источник, модели- руемый дельта-функцией. Доминирующим является применение интегральных пре- образований по временной и пространственным переменным и их обращение мето- дом Каньяра [9]. Не задаваясь целью анализа всех публикаций в этом направлении, отметим работу [8], в которой методами интегральных преобразований и их совмест- ного обращения по методике Каньяра получены выражения для двух компонент век- тора упругого перемещения (осесимметричная задача) при нестационарном нагруже- нии по круговой площадке конечного радиуса в случае однородного и квадратичного распределения нагрузки вдоль радиуса. Вычисленные перемещения являются разрыв- ными, что обусловлено избранной зависимостью действующей нагрузки от времени в виде дельта-функции. В статье [18] для аналогичной задачи обращение преобразова- ний Лапласа и Ханкеля производится сведением к несобственным интегралам и их 74 вычислением численными методами. Ряд обобщений приведен в книге [24]. Случай заглубленного источника, приложенного к поверхности наклонной плоскости, рас- смотрен в публикациях [10, 22]. Методом Каньяра (или Каньяра-де Хуупа) исследует- ся действие подвижной нестационарной нагрузки [5, 12]. Подобные задачи решаются также численными методами, преимущественно конечно-элементными. Перечисленные выше исследования имеют дело с полубесконечными объектами: полупространством в осесимметричном случае или полуплоскостью в случае плоской задачи. Для таких объектов характерным является возбуждение волновых возмуще- ний на границе и последующее беспрепятственное распространение акустических или упругих волн в массиве объекта. Для объекта ограниченных размеров, в частности, для слоя, как уже отмечалось, характерной особенностью волновых процессов, воз- буждаемых на одной из границ, является многократное поочередное отражение воз- бужденных волн от каждой из границ. Тем самым в теле создается сложное поле дав- лений и скоростей (напряжений в упругом слое), изменяющееся каждый раз с прихо- дом той или иной отраженной волны в рассматриваемую точку. Такая задача значи- тельно сложнее и требует разработки соответствующих подходов к ее решению. Установившиеся процессы в слоистых средах исследованы достаточно широко [7, 13, 23]. В монографиях [4, 19] впервые дана постановка нестационарной первой краевой задачи для упругого слоя и при помощи асимптотических методов исследуется пове- дение волновых полей в дальней по отношению к области приложения нагрузки зоне. В публикации [16] применительно к изучению раннего этапа проникания затупленно- го индентора в поверхность упругого слоя с использованием методики Каньяра по- строено решение, позволяющее проанализировать характер распространения прямых и многократно отраженных упругих волн и напряженное состояние вдоль оси сим- метрии задачи в плоском случае. Наконец, в работах [14, 15] методами интегральных преобразований построено точное аналитическое решение нестационарной плоской задачи для упругого слоя со смешанными условиями на гранях при действии поверх- ностной, распределенной по области конечных размеров, нагрузке. В данной работе построено аналитическое решение плоской задачи о действии нестационарной нагрузки определенного типа на поверхность упругого слоя, одна из граничных поверхностей которого является свободной, другая – жестко закреплен- ной. Применяются интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Вследствие одно- родности полученных трансформант для перехода в пространство оригиналов исполь- зуется метод совместного обращения интегральных преобразований [3, 9]. Решение строится в виде ряда по отраженным волнам. В отличие от решения, полученного в [15] для смешанных условий на гранях, граничные условия первой и второй задач теории упругости обусловливают ветвящийся волновой процесс, когда при каждом отражении от границы падающая волна одного типа порождает отраженные волны обоих типов (волны расширения и сдвига). Поэтому при вычислениях приходится ограничиваться лишь конечным числом отражений. В данной работе построен волно- вой процесс на интервале времени, в течение которого головная волна в слое четы- режды проходит толщину слоя. При этом учтены все волны, возникающие при взаи- модействии волновых фронтов с гранями слоя в пределах рассмотренного интервала. Приведенные числовые результаты иллюстрируют развитие нормального напряжения вдоль оси симметрии задачи и выполнены для нагрузки, которая внезапно возникает на поверхности слоя и распространяется по ней с постоянной скоростью. Отметим, что возможное решение рассматриваемой нестационарной задачи луче- вым методом позволяет определить характеристики процесса только на фронте волны и в непосредственной близости к фронту; предложенное ниже решение дает возмож- ность получить распределение напряжения по всей толщине слоя. §1. Постановка задачи. Рассмотрим плоскую задачу о действии нестационарной нагрузки на поверхность упругого слоя толщиной h . Отнесём слой к декартовым координатам ,x z , так что ось x направлена вдоль границы слоя, ось z – в глубину слоя. Нагрузка  ,x t в виде нормального напряжения возникает в некоторый начальный момент времени 0t  . 75 Введем следующие безразмерные обозначения: 0 0 0 ; ; ; ; ; ; ; ; 2 j p jk p s jkj u c t c cx z K x z u t c R R R R c c                 2 ; ; ; , , ,p sb c c j k x z             черта над которыми ниже будет опущена. Здесь R  некоторый характерный линейный размер; ,  – упругие постоянные Ламе; ,p sc c – соответственно скорости распространения волн расширения и сдвига в материале слоя; , K  соответственно, плотность и модуль всестороннего сжатия материала слоя; ju  компоненты вектора перемещений. Поведение упругой среды описывается волновыми потенциалами  и  , кото- рые в случае плоской задачи удовлетворяют волновым уравнениям [1] 2 2 2 2 2 2 2 1 0; х z t             2 2 2 2 2 2 2 1 0 х z t             (1.1) и связаны с упругими перемещениями и напряжениями соотношениями [1]   2 2 2 2 2 2 ; ; 1 2 2 ;x z zzu u b b x z z x xx z                        (1.2) 2 2 2 2 2 2 2xz b x zx z                . В качестве граничных условий при z = 0 рассмотрим первую краевую задачу тео- рии упругости, согласно которой на границе задаётся нормальное zz и касательное xz напряжения. При z h примем условие жёсткого закрепления  , ; 0;0 0 0; 0. x tzz xzz z u uzx z hz h        (1.3) Начальные условия для потенциалов нулевые: 0 0 0 0 0; 0.t t t tt t              (1.4) §2. Общее решение. Если волновые уравнения (1.1) подвергнуть интегральным преобразованиям Лапласа по времени (с учётом нулевых начальных условий) и Фурье по координате x (предполагая, что при x  потенциалы и их первые производные стремятся к ну- лю) [6], они приобретут вид 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0; 0, LF LF LF LFd s d s dz dz                         (2.1) где s и  – соответственно, параметры преобразования Лапласа и Фурье. Общее решение уравнений (2.1) записывается в виде    , , ; z z P PLF A s e A s e          , , z z S S LF B s e B s e       ; 76 2 2 2 2 2 2; .P s S s       Здесь    , ; ...; ,A s B s  — функции, подлежащие определению из граничных усло- вий. В результате удовлетворения граничным условиям (1.3) определяются произ- вольные постоянные, и выражение для изображения LF zz выглядит следующим обра- зом (выражения для перемещений и касательного напряжения не приводятся, имея в виду, что их получение может быть выполнено аналогично):        1 12 1 , , 2 2 , . z zz z S SP PLF zz q e A s q e A s i Se B s i Se B s                       (2.2) Здесь обозначено        , ; , ; , ; , ;A A B BA s A s B s B s                 / / / / 2 / 2 1 3 1 43 hP hS LF hP hS hS A e e q e e q q e q q             ;   / / 2 / 2 / 2 / 2 / / 1 4 1 33 hP hS LF hP hS hP hP hS A e e q q e e q q e e e                ;  / / / / 2 / 1 3 42 2 2 LF hP hS hP hS hP B i P e e q e e q e q                 ;  / / / / 2 / 2 / 2 / 1 3 42 2 2 LF hP hS hP hS hS hP hS B i P e e q e e q e q e e                     ; (2.3)   / / / / / / 2 / 2 /1 ;hP hS hS hP hP hS hP hSDe e a e e ce e e e                     2 2 3 1 2 1 2 4 1 2 2 2 4 3 4 1 2 4 1 2 4 ( ) ; ; ; ( ) q q q q q q q q a c D q q q q q q                     2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 42 ; 4 ; ; .q s q PS q PS q PS            Взаимодействие порожденных действующей нагрузкой волн с граничными по- верхностями слоя обусловливает появление многократно отраженных волн в нем. При этом падающая волна одного типа при каждом взаимодействии с границей порождает отражённые волны обоих типов. Таким образом, первично порожденные действую- щей нагрузкой продольно поляризованная и поперечно поляризованная волны, отра- жаясь от границы z = h, обусловливают появление четырех отражённых волн, кото- рые, взаимодействуя с границей z = 0, порождают восемь отражённых волн второй очереди, и этот процесс при отсутствии потерь может продолжаться бесконечно дол- го. Построить решение в пространстве оригиналов для произвольного количества от- ражений в выбранной формулировке граничной задачи не представляется возможным ввиду существенной громоздкости выражений. Для получения решения задачи в обозримом виде, представим функцию LF zz из (2.2) в виде ряда по отражённым волнам в упругом слое, для чего разложим функцию 1/  из (2.3) в бесконечный степенной ряд вида   1 21 1 ... ,x x x      имея в виду, что выражение в квадратных скобках в выражении  существенно меньше 1 при больших значениях параметра s, что обеспечивает сходимость указанного разложе- ния. Такой ряд может быть формально записан в виде 77      , / ( , ) / 0 1 1 , , , , , n N n z hP M n z hS n R P S s n e e           (2.4) где 1 2( , ) ( ) , ( , ) ( ) ,N n z F n h z M n z F n h z    а 1 2( ), ( )F n F n — некоторые функции n, принимающие целочисленные значения. Ограничивая рассмотрение задачи конечным интервалом времени, бесконечный ряд (2.4) заменяем конечной суммой от 0 до N , где N – число отражений, учитываемых в решении. Оригинал такой суммы пред- ставляет собой точное решение задачи на интервале времени, безразмерная величина которого есть  0, N . Как показывает опыт решения подобных по постановке задач со смешанными граничными условиями [15], характерные особенности волновых процессов (при ко- нечных временах взаимодействия) обнаруживаются уже на интервале време- ни 0 4t  . Напомним, что в используемых безразмерных обозначениях волна рас- ширения проходит за единицу безразмерного времени толщину упругого слоя h и, таким образом, на рассматриваемом интервале времени волна расширения, как голов- ная волна, претерпевает три отражения. Из (2.2) – (2.4) получаем следующее выражение для искомого напряжения LF zz :  , ,LF LF LF zz R s   (2.5) где введены такие обозначения:   1 2, zz SPLF LF LFR s R e R e     22 3 4 5 6 h z S h zh z h z hS h SP P PLF LF LF LFR e R e R e e R e e                       2 7 8 9 h z h zh h z hS S SP P PLF LF LFR e e R e e R e e                 2 22 3 10 11 12 13 h h z h zz h z hS S SP P PLF LF LF LFR e e R e R e R e e                23 2 4 4 4 14 15 16 17 18 ; h h z zh z h h z h z hS S SP P P P PLF LF LF LF LFR e e R e e R e R e R e e                        (2.6)   2 2 1 2 1 1 2 32 2 2 1 2 1 2 4 1 2 ; ; ;LF LF LFq q q R R R q q q q q q q                      2 3 2 1 4 5 6 52 2 4 1 2 4 1 2 ; ;LF LF LF LFq q q q R R R R q q q q q q             ;         2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 7 82 22 2 4 1 2 4 1 2 3 3 ; ;LF LF q q q q q q q q R R q q q q q q                        2 22 1 3 1 21 2 3 9 10 9 112 22 2 4 1 2 4 1 2 2 ; ; ;LF LF LF LF q q q qq q q R R R R q q q q q q                78       2 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 12 132 2 22 2 44 1 2 1 2 ; ;LF LF q q q q q q q q q R R qq q q q q                      2 2 2 2 2 22 1 2 3 4 1 2 1 2 3 1 21 2 2 14 152 2 2 22 2 4 41 2 1 2 ( ) 4 ( )5 ; ;LF LFq q q q q q q q q q qq q q R R q qq q q q                           2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 2 16 13 17 182 2 22 2 4 1 2 1 2 ( ) ( ) ; ; .LF LF LF LFq q q q q q q R R R R q q q q q                    Как будет показано в следующем пункте, в процессе волнообразования в упругом слое каждое слагаемое в выражении  ,LFR s  отвечает определенной волне: первые два члена, содержащие 1 2,LF LFR R , отвечают расходящимся волнам, порожденным дей- ствующей нагрузкой; выражение в круглых скобках, содержащее 3 6 LF LFR R , соответ- ствует первым отражениям от нижней грани слоя; выражение в квадратных скобках со слагаемыми 7 12 LF LFR R – отражениям от верхней границы слоя, а второму отраже- нию от нижней границы отвечают слагаемые 13 18 LF LFR R . Таким образом, оригинал выражения (2.5) представляет искомое напряжение на интервале времени [0, 4], в те- чение которого головная волна расширения проходит расстояние в 4 толщины слоя. Отметим, что все функции    , 1,...18LF iR s i  – однородны по переменным , .s  Переход в пространство оригиналов для функции  , ,LF zz s z  реализуем при по- мощи метода совместного обращения интегральных преобразований [3, 9] для одно- родных по переменным ,s  функций. Эта процедура упрощается, если изображение функции, задающей действующую нагрузку (функция ( , ))LF s  , также являлось однородной функцией параметров интегральных преобразований. В частности, этому условию удовлетворяет нагрузка, внезапно возникающая при t = 0 и распространяю- щаяся с постоянной скоростью вдоль поверхности z = 0:    0t,x H kt - x   . (2.7) Ее изображение  ,LF s  имеет вид   0 2 2 2 , . 2 LF k s s k       (2.8) Здесь и ниже  H t обозначает единичную функцию Хевисайда. §3. Обращение интегральных преобразований. Выражение (2.6) содержит слагаемые, у которых в качестве множителя при дроб- но-рациональных функциях фигурируют одна или две экспоненциальные функции с показателем степени, содержащим радикал 2 2 2P s    или 2 2 2S s    . Пред- ставим такое слагаемое в общем виде     22 22 22 , , , ( 1, , 18). ss MN LF LF i iS s z R s e e i          (3.1) Здесь , ; 0, , 2, 0, , 4.N nh z M mh z m n       Произведём совместное обращение интегральных преобразований для функции 79    ,( , ) ,LF LF LF i is z s S s, x, z    . (3.2) С этой целью оригинал функции  , ,LF j s z  представим в виде обращения преобра- зования Фурье [6]    1 , , , , 2 F i x j jt x z t z e d         . (3.3) Введём далее в рассмотрение вспомогательную функцию  , , ;U t x z  следующего вида:    1 , , ; , , . 2 F i x jU t x z t z e e d            (3.4) Здесь  – некоторый действительный произвольный положительный параметр. Оче- видно, что     0 , , lim , , ; .j t x z U t x z      (3.5) Функция  , ,F j t z  является четной по переменной  , поэтому  , , ;U t x z  можно представить в виде следующей суммы:      1 2, , ; , , ; , , ;U t x z U t x z U t x z    , (3.6) где введены обозначения        1 2 1 2 0 0 1 2 1 1 , , ; , , ; , , ; , , ; 2 2 , . s sF F j jU t x z t z e d U t x z t z e d s ix s ix                         Подвергнем функцию U1 интегральному преобразованию Лапласа по переменной t:     1 1 0 0 1 , , ; , , 2 sL st F jU s x z e t z e d dt          . (3.7) В силу выполнения условия 1Re Re( ) 0s ix   интеграл по  сходится, поэтому законно изменение порядков интегрирований в (3.7):    1 1 0 0 1 , , ; , , 2 sL F st jU s x z e d t z e dt           . (3.8) Интеграл по t – прямое интегральное преобразование Лапласа по переменной t: функции  , ,F j t z  [6], поэтому (3.8) можно представить в виде     1 1 0 1 , , ; , , . 2 sL LF jU s x z s z e d        (3.9) Рассуждая аналогично, можно записать     2 2 0 1 , , ; , , . 2 sL LF jU s x z s z e d        (3.10) Если в (3.9), (3.10) подставить функцию  , ,LF j s z  из (2.6) и выполнить замену пе- ременных s  , получим 80     2 2 2 2 1 1 0 2 2 0 1,2 , , ; ( 1, 2). (1 ) ls N M s jL l Rk U s x z e d l s k                         (3.11) Здесь запись (1, )jR  обозначает функцию  ,LF jR s  из (2.6), у которой параметр s заменён на 1, а параметр  на  ; функции 1 4, ...,q q теперь имеют следующий вид:    2 2 2 2 2 1 2 31 2 ; 4 ; ;q q g q g                  2 2 2 2 2 4 ; 1 1 .q g g            В (3.11) выполним инверсию преобразования Лапласа под знаком интеграла, ис- пользуя табличное соотношение [6]  1 /sbL e s H t b      . Получим     * , , 0 2 2 0 1,2 , , ; ( 1, 2) 1 l lt z s j l Rk N M U t x z H t d l k                       . (3.12) Теперь в силу (3.5) и (3.6) запишем представление для искомого напряжения  , ,j t x z     2 0 1 , , lim , , ; .j l l t x z U t x z        (3.13) Функции  * , , , 1,2l lt z s l  при 0  можно определить из решения следующих уравнений:  2 2 2 2 1 1 1, 10; . 1, 2l l lt N M ix l                      (3.14) После выполнения алгебраических преобразований в левой части (3.14) получим сле- дующие полиномы 4-ой степени по переменной  с комплекснозначными коэффи- циентами:  ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 4 3 2 1 0 ( 1, 2) ,l l l l lP d d d d l          (3.15) где приняты такие обозначения:          2 2 2 1 0 1 1(1) (2) (1) (1) (2) 3 3 3 2 2 2 2 6 ; ; ; xt x b z b z b z t t c z x d i d d d d                   2 4 2 1 1 0(1) (2) (1) (1) (2) 1 1 1 0 0 2 2 ; ; tx c z t t c z t c z d i d d d d             ;                 2 22 2 22 2 2 2 1 0 2 ; 2 ; M N N M N M x x b z b z                                   22 2 2 2 2 2 1 0 14 2 2 ; ; 2 M N M N b z M N c z c z               . 81 Задача определения верхних пределов интегрирования в (3.12) сводится к опреде- лению корней полиномов  ( ) 4 lP  . Заметим, что  (1) 4P  и  (2) 4P  не имеют общих корней, т.к. их наибольший общий делитель равен 1. Добавим, что единственной изо- лированной особой точкой для комплекснозначной функции  4 , 1, 2,lP l  является бесконечно-удалённая точка   . Поэтому в окрестности этой точки функция  4 , 1,2lP l  является аналитической функцией, для которой справедлив принцип аналитического продолжения. Вследствие этого действительные части искомых кор- ней функции  4 , 1, 2lP l  при произвольном x единственным образом определяются за счёт определения действительных корней функции  4 , 1, 2lP l  , при 0x  . §4. Обращение на оси симметрии. Покажем, что действительные корни функции  4 , 1,2lP l  при х = 0 можно определить в явном виде и укажем критерий отбора действительного корня, удовле- творяющего условиям данной задачи. Ограничимся определением нормального напряжения zz на оси z. Верхний предел интегрирования  * ,t z в (3.12) в этом случае можно определить из уравнения (3.14), в котором следует положить 0x  , так что уравнение примет вид 2 2 2 2 1 1 0.t N M               (4.1) Решение уравнения (4.1) сводится к определению корней следующего биквадратного полинома  4P  :           22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 ( ) ; 2 ; M N N M t M N P a b c b                               2 2 2 2 22 2 4 ; . M N t M N t a M N c               (4.2) Корни полинома (4.2) имеют вид                 2 2 2 2* 2 2 2 2 1,2 2 2 2 1 ,t z M N N M t M N N M                 2 2 2 2 22 .MNt t N M       (4.3) Для выбора знака перед радикалом в выражении (4.3) воспользуемся следующими рассуждениями. Если принять в (4.1) 0  , получим 1 1 .t N M     (4.4) При подстановке (4.4) в (4.3) следует получить  * , 0t z  ; этому условию удовле- творяет знак минус перед радикалом в (4.3). С учётом вышеизложенного выражение для искомого нормального напряжения на оси z окончательно примет следующий вид:     * ,18 0 2 2 1 0 ( ) ( ) 1,2 , 0, . 1 t z j j j zz j N z M z Rk t x z H t d k                       (4.5) 82 Вид функций ( )jM z и ( )jN z в зависимости от значения индекса суммирова- ния j приведен ниже в таблице. j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 jM 0 z 0 2h z h h z h z h z jN z 0 2h z 0 h z h h h z 2h j 10 11 12 13 14 15 16 17 18 jM 2h 0 2h z h z h 2h z 0 0 z jN z 2h z 0 3h 3h z 2h 4h z 4h z 4h Как известно, упругая волна одного типа при взаимодействии с плоской границей в общем случае порождает отраженные волны обоих типов – расширения и сдвига; это происходит при каждом последующем отражении. Вид слагаемых в выражении (4.5) позволяет проследить историю происходящих отражений. Аргумент функции Хевисайда определяет момент появления отраженной волны в текущей точке z, а сла- гаемые Nj(z) / α, Mj(z) / β показывают – сколько и каких трансформаций претерпела каждая конкретная волна перед этим. §5. Числовые результаты. Вычисления нормального напряжения  , 0,zz t z для различных значений параметра нагрузки k выполнены при следующих исходных данных:    01; 0,5; 1; 1, 0,1; 0,5; 1; 2 0, 1 ; 0, 4 .h k z t         (5.1) При численном интегрировании в (4.5) использована квадратурная формула тра- пеций. Точность вычислений определена путём сравнения результатов при различных значениях шага интегрирования. Ниже каждый рисунок с индексом (1) (расположен слева) содержит графики нор- мального напряжения  , 0,zz t z в упругом слое при исходных данных (5.1), и неста- ционарной нагрузке (2.7) для подобной по постановке задачи со смешанными гранич- ными условиями (на верхней грани задана нормальная нагрузка и отсутствует каса- тельное перемещение, на нижней грани отсутствует нормальное перемещение и каса- тельное напряжение). Эти результаты получены в работе [15]. Рисунки с индексом (2) (расположены справа) воспроизводят результаты вычислений данной работы. Распределение напряжения  , 0,zz t z вдоль оси z в фиксированные моменты времени 0,5; 1; 2; 3; 4t t t t t     для различных значений скорости распростра- нения нагрузки k представлены на рис.1 – 4. 1) t = 0,5; 2) t = 1; 3) t = 2; 4) t = 3; 5) t = 4 1) t = 0,5; 2) t = 1; 3) t = 2; 4) t = 3; 5) t = 4 Рис. 1.1 Рис. 1.2 83 1) t = 0,5; 2) t = 1; 3) t = 2; 4) t = 3; 5) t = 4 1) t = 0,5; 2) t = 1; 3) t = 2; 4) t = 3; 5) t = 4 Рис. 2.1 Рис. 2.2 1) t = 0,5; 2) t = 1; 3) t = 2; 4) t = 3; 5) t = 4 1) t = 0,5; 2) t = 1; 3) t = 2; 4) t = 3; 5) t = 4 Рис. 3.1 Рис. 3.2 1) t = 0,5; 2) t = 1; 3) t = 2; 4) t = 3; 5) t = 4 1) t = 0,5; 2) t = 1; 3) t = 2; 4) t = 3; 5) t = 4 Рис. 4.1 Рис. 4.2 84 Развитие напряжения во времени в фиксированных точках оси z проиллюстриро- вано рис. 5 – 8. 1) z = 0,2; 2) z = 0,4; 3) z = 0,6; 4) z = 0,8; 5) z = 1 1) z = 0,2; 2) z = 0,4; 3) z = 0,6; 4) z = 0,8; 5) z = 1 Рис. 5.1 Рис. 5.2 1) z = 0,2; 2) z = 0,4; 3) z = 0,6; 4) z = 0,8; 5) z = 1 1) z = 0,2; 2) z = 0,4; 3) z = 0,6; 4) z = 0,8; 5) z = 1 Рис. 6.1 Рис. 6.2 1) z = 0,2; 2) z = 0,4; 3) z = 0,6; 4) z = 0,8; 5) z = 1 1) z = 0,2; 2) z = 0,4; 3) z = 0,6; 4) z = 0,8; 5) z = 1 Рис. 7.1 Рис. 7.2 85 1) z = 0,2; 2) z = 0,4; 3) z = 0,6; 4) z = 0,8; 5) z = 1 1) z = 0,2; 2) z = 0,4; 3) z = 0,6; 4) z = 0,8; 5) z = 1 Рис. 8.1 Рис. 8.2 Сравнение результатов данной работы и публикации [15] свидетельствует о том, что в осевом направлении нормальные напряжения, вычисленные для этих двух гра- ничных задач, мало отличаются, и, по-видимому, результаты работы [15] могут с до- статочной достоверностью быть использованы и при значительном числа учитывае- мых отражений. Что касается характера распределения напряжений в направлении оси x, то, очевидно, сделанное выше утверждение не будет справедливым, ибо сме- шанные граничные условия работы [15] исключают появление поверхностных волн, влияние которых на напряженное состояние может быть существенным. РЕЗЮМЕ. Побудовано аналітичний розв'язок плоскої задачі про дію нестаціонарного наван- таження на поверхню пружного шару. Застосовано інтегральні перетворення Лапласа і Фур'є. Розв'я- зок побудовано у вигляді ряду по відбитим хвилям, в якому при обчисленнях утримується скінченна кількість членів. Перехід в простір оригіналів проведено в результаті спільного обернення інтеграль- них перетворень. Числові розрахунки виконані для навантаження, що раптово виникає на поверхні шару і поширюється з постійною швидкістю. Нормальне напруження на осі симетрії обчислене для інтервалу часу, протягом якого головна хвиля розширення чотири рази проходить товщину шару. Наведено результати порівняння з аналогічною задачею при змішаних граничних умовах. 1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – К.: Наук. думка, 1978. – 308 с. 2. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. – 800 с. 3. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. – Л: Судостроение, 1972. – 376с. 4. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. – Amsterdam: Elsevier, 1975. – 425 p. 5. Bakker M.C., Kooij M.B.J., Verweij M.D. A knife-edge load traveling on the surface of an elastic half- space // Wave Motion. – 2012. – 49. – P. 165 – 180. 6. Bateman H., Erdelyi A. Tables of Integral Transforms [in 2 vol.]. Vol. 1. – NY.: McGraw-Hill book Com. Inc. – 1954. – 344 p. 7. Brekhovskikh L.M. Waves in Layered Media. – Appl. Mathematics and Mechanics. Vol. 16. – NY.: Acad. Press, 1980. – Р. 503. 8. Bresse L.F., Hutchins D.A. Transient generation of elastic waves in solids by a disk-shaped normal force source // J. Acoust. Soc. Аmеr. – 1989. – 86, N. 2. – P. 810 – 817. 9. Cagniard L.P.E., Flinn E.A., Dix C.H. Reflection and Refraction of Progressive Seismic Waves. – NY.: McGraw-Hill, 1962. – 282p. 10. De A., Roy A. Transient response of an elastic half space to normal pressure acting over a circular area on an inclined plane // J. Eng. Math. – 2012. – 74. – P.119 – 141. 11. De Hoop A.T. A modification of Cagniard's method for solving seismic pulse problems // Appl. Sci. Res. Sect B. – 1960. – 8. – P. 349 – 356. 86 12. De Hoop A.T. The moving-load problem in soil dynamics – the vertical displacement approximation // Wave Motion. – 2002. – 36. – Р. 335 – 346. 13. Ewing W. M., Jardetsky W.S., Press F. Elastic Waves in Layered Media. – NY.: McGraw-Hill, 1957. – 380 p. 14. Kubenko V.D. Non-stationary stress state of an elastic layer at the mixed boundary conditions // ZAMM. – 2016. – 96, N 12. – P. 1442 – 1456. 15. Kubenko V.D. Nonstationary Deformation of an Elastic Layer with Mixed Boundary Conditions // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 6. – P. 563 – 580. 16. Kubenko V.D., Marchenko T.A. Indentation of a Rigid Blunt Indenter into an Elastic Layer: a Plane Prob- lem // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 3. – P. 286 – 295. 17. Lamb H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid // Philos. Trans. Roy. Soc. – London, Ser. A. – 1904. – 203. – P. 1 – 42. 18. Laturelle F.G. The stresses produced in an elastic half-space by a normal step loading over a circular area analytical and numerical results // Wave Motion. – 1990. – 12. – P. 107 – 127. 19. Miklowitz J. Theory of elastic waves and waveguides. – NY.: North-Holl. Publ. Comp., 1978. – 618 p. 20. Pekeris C.L. The seismic surface pulse // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. – 1955. – 41, N 7. – Р. 469 – 480. 21. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Inverse Laplace Transforms. Integrals and Series. V. 5. – NY.: Gordon and Breach, 1992. – 481 p. 22. Roy A., De A. Exact solution to surface displacement associated with sources distributed on an inclined plane // Int. J. Eng. Sci. and Techn. – 2011. – 3. – Р.137 – 145. 23. Stovas A., Roganov Y. Acoustic Waves in Layered Media - From Theory to Seismic Applications / in: Waves in Fluids and Solids, Vila R.P. (Ed.). – London: InTech., 2011. – 52p. 24. Verruijt A. An Introduction to Soil Dynamics. – London: Springer, 2010. – 433 p. Поступила 07.11.2017 Утверждена в печать 22.11.2018

Ähnliche Einträge