Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы
В настоящей статье построено общее решение граничной задачи об изгибных колебаниях биморфных пьезокерамических пластин, имеющих форму параллелограмма. При этом решение для поперечного прогиба представляется в виде суперпозиции функций, представляемых в виде бесконечных рядов, каждое слагаемое которы...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2019 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2019
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188109 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы / П. Шакери Мобараке, В.Т. Гринченко, Б. Солтанниа // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 3. — С. 120-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188109 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шакери Мобараке, П. Гринченко, В.Т. Солтанниа, Б. 2023-02-12T18:32:57Z 2023-02-12T18:32:57Z 2019 Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы / П. Шакери Мобараке, В.Т. Гринченко, Б. Солтанниа // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 3. — С. 120-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188109 В настоящей статье построено общее решение граничной задачи об изгибных колебаниях биморфных пьезокерамических пластин, имеющих форму параллелограмма. При этом решение для поперечного прогиба представляется в виде суперпозиции функций, представляемых в виде бесконечных рядов, каждое слагаемое которых удовлетворяет уравнению гармонических изгибных колебаний пьезопластины. На основі методу суперпозиції розроблено ефективний метод аналітичного розв’язання задачі про гармонічні згинні коливання біморфних п’єзокерамічних пластини у вигляді паралелограма. Редукція нескінченних рядів, що використовуються, дозволяє здійснити перехід до скінченновимірної системи алгебраїчних рівнянь, яка отримується на основі вимог задоволення заданих граничних умов за допомогою методу мінімізації середньо-квадратичного відхилення та методу колокації. Basing on the superposition method, an effective method is developed for analytically solving the problem on harmonic bending vibrations of the bimorph piezoceramic plates of parallelogram shape. А reduction of the used infinite series allows a transition to the finite-dimensional system of algebraic equations. This system is obtained on the basis of requirement of satisfying the specified boundary conditions using both the minimization method of the standard deviation and the collocation method. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы Bending Vibrations of the Bimorph Pirzoceramic Plates of Non-Canonical Shape Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы |
| spellingShingle |
Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы Шакери Мобараке, П. Гринченко, В.Т. Солтанниа, Б. |
| title_short |
Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы |
| title_full |
Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы |
| title_fullStr |
Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы |
| title_full_unstemmed |
Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы |
| title_sort |
изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы |
| author |
Шакери Мобараке, П. Гринченко, В.Т. Солтанниа, Б. |
| author_facet |
Шакери Мобараке, П. Гринченко, В.Т. Солтанниа, Б. |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Bending Vibrations of the Bimorph Pirzoceramic Plates of Non-Canonical Shape |
| description |
В настоящей статье построено общее решение граничной задачи об изгибных колебаниях биморфных пьезокерамических пластин, имеющих форму параллелограмма. При этом решение для поперечного прогиба представляется в виде суперпозиции функций, представляемых в виде бесконечных рядов, каждое слагаемое которых удовлетворяет уравнению гармонических изгибных колебаний пьезопластины.
На основі методу суперпозиції розроблено ефективний метод аналітичного розв’язання задачі про гармонічні згинні коливання біморфних п’єзокерамічних пластини у вигляді паралелограма. Редукція нескінченних рядів, що використовуються, дозволяє здійснити перехід до скінченновимірної системи алгебраїчних рівнянь, яка отримується на основі вимог задоволення заданих граничних умов за допомогою методу мінімізації середньо-квадратичного відхилення та методу колокації.
Basing on the superposition method, an effective method is developed for analytically solving the problem on harmonic bending vibrations of the bimorph piezoceramic plates of parallelogram shape. А reduction of the used infinite series allows a transition to the finite-dimensional system of algebraic equations. This system is obtained on the basis of requirement of satisfying the specified boundary conditions using both the minimization method of the standard deviation and the collocation method.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188109 |
| citation_txt |
Изгибные колебания биморфных пьезокерамических пластин неканонической формы / П. Шакери Мобараке, В.Т. Гринченко, Б. Солтанниа // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 3. — С. 120-132. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šakerimobarakep izgibnyekolebaniâbimorfnyhpʹezokeramičeskihplastinnekanoničeskoiformy AT grinčenkovt izgibnyekolebaniâbimorfnyhpʹezokeramičeskihplastinnekanoničeskoiformy AT soltanniab izgibnyekolebaniâbimorfnyhpʹezokeramičeskihplastinnekanoničeskoiformy AT šakerimobarakep bendingvibrationsofthebimorphpirzoceramicplatesofnoncanonicalshape AT grinčenkovt bendingvibrationsofthebimorphpirzoceramicplatesofnoncanonicalshape AT soltanniab bendingvibrationsofthebimorphpirzoceramicplatesofnoncanonicalshape |
| first_indexed |
2025-11-24T03:01:51Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:01:51Z |
| _version_ |
1850837198255947776 |
| fulltext |
2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 3
120 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 3
П . Ш а к е р и М о б а р а к е 1 , В . Т . Г р и н ч е н к о 2 ,
Б . С о л т а н н и а 3
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БИМОРФНЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ
ПЛАСТИН НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
1Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко,
просп. акад. Глушкова, 4е, 03127, Киев, Украина; e-mail: pouyan.shakeri@gmail.com
2 Институт гидромеханики НАНУ,
ул. М. Капнист, 8/4, 03057, Киев, Украина; e-mail: vgrinchenko@yahoo.com
3 Университет Альберты, факультет машиностроения, г. Эдмонтон, Альберта,
Канада, T6G 1H9 babak.soltannia@ualberta.ca
Abstract. Basing on the superposition method, an effective method is developed for
analytically solving the problem on harmonic bending vibrations of the bimorph pie-
zoceramic plates of parallelogram shape. А reduction of the used infinite series allows a
transition to the finite-dimensional system of algebraic equations. This system is obtained on
the basis of requirement of satisfying the specified boundary conditions using both the min-
imization method of the standard deviation and the collocation method.
Key words: bending vibrations, piezoceramic plates of non-canonical shape, superposi-
tion method, collocation method, standard deviation minimization method, reduction meth-
od, natural frequency spectrum.
Введение.
Традиционно пьезокерамические элементы используются в технических прило-
жениях в виде относительно простых геометрических объектов – цилиндр, круглая
или прямоугольная пластина, удлиненный призматический стержень. Использование
сплошного электродного покрытия в таких элементах приводит к относительному
обеднению спектра реально возбуждаемых частот за счет симметрии форм колебаний
и частотной зависимости эффективного коэффициента электромеханической связи.
Задачу повышения насыщенности выбранного интервала частот эффективно возбуж-
даемыми колебаниями без увеличения размеров элемента можно решить с помощью
изменения его формы. В этом случае при том же однородном электродировании в
элементе могут возбуждаться формы с различными типами симметрии. В данной ра-
боте такая возможность иллюстрируется на примере параллелограммной биморфной
пластины. Для такого типа пластин на основе общей идеи о построении общего реше-
ния граничных задач [2, 14] получено представление решения, обеспечивающее воз-
можность количественной оценки динамических свойств параллелограммной би-
морфной пластинки в широком диапазоне частот. Рассматривается два подхода к по-
лучению количественных оценок на основе построенных аналитических выражений.
Дается сравнение эффективности этих подходов. Показана возможность получения
достаточно точных значений собственных частот при умеренных объемах вычисле-
ний. Сами собственные частоты находятся при анализе вынужденных колебаний пла-
стины по оценкам амплитуд характерных физических параметров.
Вопросу исследования изгибных колебаний пластин, представляющему значи-
тельный интерес в различных областях, посвящено очень большое количество работ,
121
в которых применяются как приближенные численные методы, так и методы, осно-
ванные на использовании аналитических решений. Достаточно обширный обзор со-
стояния вопроса можно найти в работах [1, 4, 10, 11, 13].
В настоящей статье на основании подхода, аналогичного использованному в
предыдущих работах авторов [8, 9, 14 – 19], построено общее решение граничной за-
дачи об изгибных колебаниях биморфных пьезокерамических пластин, имеющих
форму параллелограмма. При этом решение для поперечного прогиба представляется
в виде суперпозиции функций, представляемых в виде бесконечных рядов, каждое
слагаемое которых удовлетворяет уравнению гармонических изгибных колебаний
пьезопластины. Эти функции строятся так, чтобы на сторонах параллелограмма они
представляли собой ряды по полным тригонометрическим базисам. Для определения
коэффициентов рядов используются функциональные уравнения, порождаемые гра-
ничными условиями задачи. Для решения этих уравнений возможно использование
двух подходов – подхода, связанного с минимизацией средне-квадратического откло-
нения, и подхода, основанного на методе коллокации. При практическом использова-
нии конечных сумм оба метода приводят к поиску решения систем линейных алгеб-
раических уравнений. Получены количественные оценки динамических характерис-
тик пьезопластин, анализ которых позволяет оценить влияние геометрии пластины.
Метод решения дает возможность получить надежные оценки точности решения.
§1. Основные соотношения теории колебаний биморфных пьезокерамичес-
ких пластин.
Изгибные колебания тонких биморфных пьезокерамических пластин со встреч-
ной толщиной поляризацией слоев, полностью электродированных в плоскости их
соединения и на лицевых поверхностях, в приближении Кирхгофа описываются урав-
нением движения относительно поперечных перемещений серединной поверхности
( , , )w x y t , имеющем при отсутствии нагружения на поверхностях пластины вид [4],
по форме совпадающий с чисто упругим случаем:
2
2 2
2
0.
h w
w
D t
(1.1)
Здесь – плотность материала; h – толщина пластины, а эффективная изгибная
жесткость биморфной пластины вычисляется по формуле
23
2 2
11
1
1 ,
12 (1 ) 8 1
p
E
p
kh
D
s k
где 11
Es и 12
Es – упругие податливости пьезоэлектрического материала; 12 11/E Es s –
коэффициент Пуассона в плоскости изотропии пластины; 2
pk – статический планар-
ный коэффициент электромеханической связи. Моменты при этом выражаются через
прогиб w и подведенную к пластине разность электрических потенциалов 0V в виде
2 2 2
31 0
2 2
11
;
4 (1 )x E
d Vw w h
M D
hx y s
2 2 2
31 0
2 2
11
;
4 (1 )y E
d Vw w h
M D
hx y s
(1.2)
2
(1 ) ; ,xy yx xy
w
M D M M
x y
122
где
2 2
2 2
1 1
/ 1
8 1 8 1
p p
p p
k k
k k
– эффективный коэффициент Пуассона; 31d – пьезоэлектрическая постоянная. Соот-
ветственно, перерезывающие силы представляются в форме
2 2; .x yQ D w Q D w
x y
(1.3)
Далее, в точке края пластинки с нормалью n изгибающий и крутящий моменты
выражаются через (1.2) в виде [7, 20]
2 2 2 ;n x x y y xy x yM M n M n M n n (1.4)
2 2( ) ( ) ,nt xy x y x y x yM M n n M M n n (1.5)
а для перерезывающей силы имеем
.n x x y yQ Q n Q n (1.6)
Как известно [7, 20], при задании на контуре пластинки граничных условий вместо
двух функций (1.5), (1.6) используется обобщенная по Кирхгофу перерезывающая
сила
,nt
n n
M
V Q
s
(1.7)
где s – контурная (естественная) координата границы пластинки. В случае прямоли-
нейного участка границы с единичным касательным вектором ( , )y xn n
.nt nt nt nt
y x
M M M M
n n
s x y
(1.8)
При задании на границе пластины изгибающего момента nM развернутое выра-
жение для граничного условия представляется в виде
2 2 2 2
2 2 2 31 0
2 2
11
(1 ) 2 .
4 (1 )x y x y nE
d Vw w w h
D w n n n n M
x y hx y s
(1.9)
Зависящая от разности потенциалов на электродах пластины величина в правой части
(1.9) возникает в результате наличия связи электрических и механических полей и
может рассматриваться как некоторый эффективный момент Veff
nM , приложенный к
краю биморфной пластины.
При задании на прямолинейном участке границы пластины обобщенной перере-
зывающей силы nV граничное условие с учетом выражения (1.8) записывается в виде
3 3
2 2 2 2
2 2
(1 ) ( )x y y x x y
w w
D w n w n D n n n n
x y x y x y
3 3 3 3
2 2
3 2 2 3
.x y x y n
w w w w
n n n n V
x x y x y y
(1.10)
Заметим, что слева в (1.9) и (1.10) стоят члены, представляющие собой части из-
гибающего момента и обобщенной перерезывающей силы, связанные с упругой де-
123
формацией, которые можно обозначить def
nM и def
nV . При этом (1.9) и (1.10) в краткой
форме можно переписать в виде
;def Veff
n n nM M M .def
n nV V (1.11)
В случае возбуждения гармонических колебаний пьезопластины переменным
электрическим полем с разностью потенциалов 0 0( ) exp( )V t V i t от генератора
напряжений будем предполагать гармоническую зависимость всех исследуемых ве-
личин от времени. При этом
( , ) exp( ).w w x y i t (1.12)
В дальнейшем гармонический сомножитель exp( )i t будем опускать, а под вели-
чинами прогиба w , а также моментов перерезывающих сил и т.д. будем подразуме-
вать их амплитудные значения. Соответственно, подставляя (1.12) в уравнение дви-
жения (1.1), получаем уравнение вида
2 2 4 0,w k w где
2
4 .
h
k
D
(1.13)
В дальнейшем рассмотрении будет удобно использовать представление диффе-
ренциального оператора четвертого порядка в уравнении (1.13) в виде произведения
операторов второго порядка [12]: 2 2 4 2 2 2 2( )( )k k k . При этом произволь-
ное решение уравнения (1.13) может быть представлено в форме
w w w , (1.14)
где функции w и w являются решениями обыкновенного и модифицированного
уравнений Гельмгольца
2 2 0w k w и 2 2 0.w k w (1.15)
§2. Постановка задачи.
В рамках представленной выше модели рассмотрим задачу о гармонических ко-
лебаниях тонкой биморфной пьезокерамической пластины со свободными от механи-
ческих изгибающих моментов и обобщенных по Кирхгофу перерезывающих сил кра-
ями, имеющей форму параллелограмма OBCD с углами в вершинах O и C и разме-
рами сторон OD=BC=a, OB=CD=b, как показано на рис. 1. Соответственно, гранич-
ные условия на границе параллелограмма имеют вид (1.9) и (1.10) при
0; 0.n nM V (2.1)
Введем две прямоугольные декартовые системы координат 1 1Ox y и 2 2Ox y с нача-
лом в точке O, ориентированные как показано на рис. 1.
Рис. 1
124
Зависимость между координатами в этих системах имеет вид
1 2 2
1 2 2
sin cos ;
cos sin ;
x x y
y x y
2 1 1
2 1 1
sin cos ;
cos sin .
x x y
y x y
(2.2)
Общая схема решения данной задачи строится аналогично подходу, использован-
ному в работе [15, 18], в которой были рассмотрены планарные колебания пьезоэлек-
трических параллелограммных пластин. Решения для функций w и w при этом пред-
ставляются в виде суперпозиции функций, являющихся решениями уравнений (1.15):
1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , );w w x y w x y w x y w x y
1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ).w w x y w x y w x y w x y (2.3)
При этом функции iw и iw представляются в виде рядов, построенных таким обра-
зом, чтобы на i-х сторонах параллелограмма они представляли собой ряды по полным
тригонометрическим базисам:
(1) (2)
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1
0 0
( , ) ( ) cos ; ( , ) ( ) cos ( );n n
n n
n n
w x y A y x w x y A y x
a a
(3) (4)
3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
0 0
( , ) ( ) cos ( ); ( , ) ( ) cos ;m m
m m
m m
w x y A x y w x y A x y
b b
(1) (2)
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1
0 0
( , ) ( ) cos ; ( , ) ( ) cos ( );n n
n n
n n
w x y B y x w x y B y x
a a
(2.4)
(3) (4)
3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
0 0
( , ) ( ) cos ( ); ( , ) ( ) cos .m m
m m
m m
w x y B x y w x y B x y
b b
где 1 2,GB FD (см. рис. 1).
Подставляя , ( 1,4)i iw w i в соответствующие уравнения (1.15), мы приходим к
совокупности независимых однородных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (ОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами относительно входящих
в представления (2.4) функций ( ) ( ),j j
i iA B . Решая эти уравнения и выбирая решения
ОДУ из соображений независимости получаемых базисных функций и убывания экс-
понент от сторон внутрь параллелограмма, получаем явные выражения для ( ) ( ),j j
i iA B
в зависимости от соотношения / , /n mn a m b для каждого значения n и m :
2 2 2 2
1(1)
1 1 2 2 2 2
1
cos ; ;
( )
exp ; ;
n n
n n
n n
k y k
A y A
k y k
2 2 2 2
1(2)
1 2 2 2 2 2
1
sin ; ;
( )
exp ( ) ; ;
n n
n n
n n
k y k
A y A
k y h k
2 2 2 2
2(3)
2 3 2 2 2 2
2
sin ; ;
( )
exp ( ) ; ;
m m
m m
m m
k x k
A x A
k x a k
125
2 2 2 2
2(4)
2 4 2 2 2 2
2
cos ; ;
( )
exp ; ;
m m
m m
m m
k x k
A x A
k x k
(1) 2 2
1 1 1( ) exp ;n n nB y B k y (2) 2 2
1 2 1( ) exp ( ) ;n n nB y B k y h
(3) 2 2
2 3 2( ) exp ( ) ;m m mB x B k x a (4) 2 2
2 4 2( ) exp .m m mB x B k x
§3. Компьютерное моделирование колебаний пластины.
Основной целью при математическом моделировании физических колебаний яв-
ляется получение их количественных характеристик в зависимости от геометрических
параметров области их существования и граничных условий. Как правило, достиже-
ние этой цели осуществляется с использованием некоторых итерационных процессов.
Это может быть, например, процесс увеличения количества членов ряда Фурье, ис-
пользуемого для представления искомой функции. Для эффективной реализации та-
ких итерационных процессов очень важно иметь уверенность в том, что выбором ха-
рактеристик самого процесса обеспечивается его устойчивость и получение, в конеч-
ном итоге, достоверных количественных оценок. В этом смысле используемый в ра-
боте метод суперпозиции, приводящий к построению общих решений граничных за-
дач, обладает несомненным достоинством. Устойчивость и сходимость вычислитель-
ных процедур при его реализации обеспечивается фундаментальными свойствами
полноты используемых для представления значения функций.
Для получения количественных оценок поперечных перемещений, а также произ-
водных от них углов поворота, моментов и перерезывающих сил перейдем в пред-
ставлениях (2.4) от бесконечных рядов к конечным суммам по n и m до 1N и 1M
соответственно (метод редукции) [17]. Далее решение задачи сводится к определению
4( )N M неизвестных коэффициентов в редуцированных функциональных пред-
ставлениях (2.4), исходя из приближенного удовлетворения граничных условий на
сторонах параллелограмма OD (I), BC (II), CD (III) и OB (IV) (см. рис. 1) в отдельных
точках коллокации или в смысле метода минимизации средне-квадратического от-
клонения.
Метод коллокации. Применяя к рассматриваемой задаче об изгибных колебани-
ях параллелограммной биморфной пьезоэлектрической пластины со свободным краем
метод коллокации, мы требуем выполнение заданных на границе условий для изги-
бающих моментов (1.9) и обобщенных по Кирхгофу перерезывающих сил (1.10) в
отдельных точках границы (точках коллокации) [3], в качестве которых [9, 19] можно
выбрать середины отрезков равномерного разбиения на N частей границ I и II (отрез-
ки OD и BC), и на M частей границ III и IV (отрезки CD и OB). Таким образом, мы
имеем 2( )N M точек коллокации с координатами ( , )c c
i ix y , в каждой из которых
задан вектор внешней нормали с компонентами ,x yn n . В результате для каждой точки
коллокации формируются два линейных алгебраических уравнения относительно ко-
эффициентов ,ij ijA B усеченных рядов, представляющие собой приближенные выра-
жения условий (1.9), (1.10). Решая эту систему и подставляя найденные значения ко-
эффициентов в соответствующие представления для ,i iw w (2.4), вычисляя их супер-
позиции по формулам (2.3), и, наконец, суммируя w и w согласно (1.13), мы полу-
чаем требуемое приближенное решение w исследуемой краевой задачи.
Метод минимизации средне-квадратического отклонения. Другой способ при-
ближенного удовлетворения граничных условий при решении рассматриваемой крае-
вой задачи состоит в последовательном умножении невязок граничных условий на
границах I, II и III, IV (см. выше) на независимые между собой функции из функцио-
нальных базисов, используемых для представления решения, и интегрирования полу-
126
ченных произведений по соответствующим граничным контурам I–IV, т.е. вычисля-
ются скалярные произведения (проекции) невязок на базисные функции, которые
приравниваются нулю [18]. В результате получается система линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно коэффициентов рядовых разложений ,ij ijA B . В рас-
сматриваемом случае в качестве функций, на которые осуществляется проектирова-
ние, выбираются тригонометрические функции, входящие как сомножители в дву-
мерные базисные функции: 1cos n x на стороне I, 1 1cos ( )n x на стороне II,
0, 1n N , 2 2cos ( )m y на стороне III и 2cos m y на стороне IV, 0, 1m M . В
большинстве случаев точность приближенных решений, получаемых при применении
данного метода, оказывается несколько выше, чем при использовании рассмотренно-
го выше метода коллокации.
На основе разработанных теоретических моделей разработаны программные
средства для численного моделирования изгибных колебаний биморфных пьезокера-
мических пластин, реализующие при приближенном удовлетворении граничных
условий как метод коллокации, так и метод минимизации средне-квадратического
отклонения, описанные выше.
Компьютерное моделирование проводилось для биморфных пьезокерамических
пластин толщиной 2.9 ммh , изготовленных из материала PZT-4, параметры кото-
рого приведены в [6]: -12 2
11 12,3 10 м / НEs , -12 2
12 4,05 10 м / НEs , 12 11/E Es s
0,329268 0,33 , 37500 кг/м .
При проведении вычислении для получения амплитудно-частотных характеристик
(АЧХ) рассматриваемых пьезокерамических пластин величина эффективной вынужда-
ющей моментной нагрузки Veff
nM в граничном условии (1.9) полагалась равной 1.
На рис. 2 представлены результаты расчетов амплитудно-частотной характери-
стики (АЧХ) для биморфной параллелограммной пластины с размерами 39,7 ммa
и 29,5 ммb с углом 85 по методу коллокации для значений 90N M (гори-
зонтальная ось – частота, кГц; вертикальная ось – прогиб в центре пластины Cw ).
Графики АЧХ, полученные в результате компьютерного моделирования при ис-
пользовании метода коллокации при 120N M , а также метода минимизации
средне-квадратического отклонения при 90N M и 120N M , а также значения
резонансных частот практически не отличаются от данных, приведенных на рис. 2.
Рис. 2
127
При анализе данных рис. 2 следует иметь в виду, что различие в амплитудах вы-
нужденных колебаний на частотах, которые определяются как собственные, связано
лишь с выбором шага расчетов по частоте и положением значения реальных соб-
ственных частот внутри выбранного интервала.
а б
в г
д е
ж з
Рис. 3
128
Выше на рис. 3 показаны формы колебаний, рассчитанные при использовании
данной аналитической методики, для следующих вычисленных резонансных частот
compf : а – 5,24 кГц, б – 6,25 кГц, в – 12,3 кГц, г – 21,8 кГц, д – 25,6 кГц, е – 36,515 кГц,
ж – 48,3 кГц, з – 57,98 кГц, которые соответствуют экспериментально определенным
значениям резонансных частот expf : 4,67 кГц, 6,03 кГц, 11,4 кГц, 22,18 кГц, 22,27 кГц,
30,77 кГц, 40,2 кГц, 44,38 кГц.
Кроме того, для исследования эффективности разработанного аналитического
подхода были проведены расчеты для параллелограммной пластины с более острым
углом 70 с размерами 45,1 ммa и 25,0 ммb . Для примера на рис. 4 приве-
дены формы колебаний на резонансных частотах compf , равных а – 16,4 кГц и б –
25,25 кГц, которые соответствуют экспериментальным частотам expf 14,0 кГц и
21,58 кГц соответственно.
Различие в расчетных и экспериментальных значениях резонансных частот объ-
ясняются тем известным фактом, что математическая модель пластины, основанная
на гипотезах Кирхгофа, является более жесткой по сравнению с действительной пла-
стиной, причем степень этой дополнительной жесткости повышается при уменьше-
нии отношения длины волны деформации к толщине пластины.
Кроме того, при сравнении данных теории и эксперимента относительно спектров
собственных частот пластинки следует иметь в виду следующее важное обстоятель-
ство. В теории результаты получены для модели идеально упругого материала. В экс-
перименте естественно проявляются реальные свойства материала, в частности нали-
чие внутреннего демпфирования. Относительно собственных частот наличие демп-
фирования приводит к смещению значений резонансной частоты, более того для та-
кого случая следует учитывать разницу значений собственных частот по скоростям и
по смещениям. Это два различных резонанса.
Ситуация усложняется также тем, что само демпфирование существенно зависит
от частоты, что также следует учесть при сравнении результатов. Не менее важным
является то обстоятельство, что в эксперименте невозможно реализовать точно задан-
ные в расчетной схеме граничные условия.
Для оценки точности результатов решения на рис. 5 – 8 также представлены гра-
фики погрешностей удовлетворения граничных условий
( ) ;err def comp Veff
n n nM M M ( ) ,err def comp
n nV V (3.1)
где comp обозначает величины, полученные в результате вычислений, а err – величи-
ны погрешностей. При этом графики а и в соответствуют случаю 90N M , а б и
г – 120N M . На рис. 5 и 6 показаны погрешности для случая применения метода
коллокации соответственно на участках границы I и IV (см. рис. 1), тогда как на рис. 7
и 8 – погрешности для случая использования метода минимизации средне-
квадратического отклонения на тех же участках границы.
а б
Рис. 4
129
а б
в г
Рис. 5
а б
в г
Рис. 6
130
При построении графиков погрешностей для случая использования метода колло-
кации на рис. 5, 6 данные в окрестности угловых точек представлены не полностью,
поскольку погрешность здесь несколько возрастает. Данные представленных на ри-
сунках, позволяют сделать качественный вывод о точности полученных результатов.
Поскольку оба метода при удовлетворении граничных условий связаны с пренебре-
жением вклада гармоник с высокими номерами, такое поведение невязки – высокая
изменяемость по координате – является естественным.
а б
в г
Рис. 7
а б
в г
Рис. 8
131
Заключение.
В работе предложен метод решения граничных задач теории изгибных колебаний
параллелограммных пьезокерамических биморфных пластин, свободных от недостат-
ков классического подхода возмущения формы границы. Аналитические представле-
ния функции прогиба могут быть использован при любых углах скоса параллело-
граммных пластин.
Практические вычисления выполнены с использованием двух подходов к форми-
рованию систем алгебраических уравнений в соответствии с заданными граничными
условиями, основанных на методе коллокации и методе минимизации средне-
квадратического отклонения при выполнении граничных условий. Оба подхода реа-
лизованы в эффективных алгоритмах для получения количественных оценок механи-
ческих характеристик колебательных систем.
Алгоритмы расчетов позволяют легко проводить оценку точности полученных ре-
зультатов и соответственно определять необходимое число слагаемых в рядах, пред-
ставляющих общее решение граничной задачи. Результаты конкретных расчетов ил-
люстрируют влияние возмущений в форме пластины на спектр резонансных частот и
характер движения в собственных формах колебаний. Оба предложенных алгоритма
получения количественных оценок характеристик колеблющейся пластины имеют
практически одинаковую эффективность. При этом метод коллокаций требует мень-
шего объема аналитических преобразований.
Р Е З Ю М Е . На основі методу суперпозиції розроблено ефективний метод аналітичного
розв’язання задачі про гармонічні згинні коливання біморфних п’єзокерамічних пластини у вигляді
паралелограма. Редукція нескінченних рядів, що використовуються, дозволяє здійснити перехід до
скінченновимірної системи алгебраїчних рівнянь, яка отримується на основі вимог задоволення зада-
них граничних умов за допомогою методу мінімізації середньо-квадратичного відхилення та методу
колокації.
1. Барняк М.Я., Солтанниа Б. Проекционный метод решения задачи о собственных колебаниях жест-
ко защемленной пластинки // Акустичний вісник. – 2009. – 12, № 1. – C. 11 – 18.
2. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – К.: Наук. дум-
ка, 1981. – 284 с.
3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 312 с.
4. Мелешко В.В., Папков С.О. Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными
краями:от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней // Акустичний вiсник. – 2009. – 12, № 4.
– С. 34 – 51.
5. Механика связанных полей в элементах конструкций [ред. акад. НАН Украины А.Н.Гузь]: в 5 т. Т. 5.
Электроупругость / В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко, Н. А. Шульга. – К.: Наук. думка, 1989. – 280 с.
6. Мэзон У.П. Пьезоелектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. – М.: Изд. иностр.
лит., 1952. – 447с.
7. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Наука, 1966. – 636 с.
8. Шакери Мобараке П., Гринченко В.Т., Попов В.В., Солтанниа Б., Зражевский Г.М. Современные
методы численно-аналитического решения краевых задач для неканонических областей // Мате-
матические методы и физико-механические поля. – 2017. – 60, № 4. – С. 75 – 89.
9. Шакері Мобараке П., Зражевський Г.М. Алгоритм Гальоркіна в методі частинних областей розв'я-
зання граничних задач // Вісн. Київ. нац. ун-ту. Сер. Фіз.-мат. науки. – 2014. – Вип. 1. – С. 75 – 82.
10. Gorman D.J. Vibration analysis of plates by the superposition method. – London: World Scientific,
1999. – 384 p.
11. Hajikhani M., Soltannia B., Oskouei A.R., Ahmadi M. Monitoring of delamination in composites by use
of Acoustic Emission, 3rd Condition Monitoring & Fault Diagnosis Conference. – Tehran, Iran,
2009.(In Persian).
12. Leissa A.W., Qatu M.S. Vibrations of continuous systems. – New York: McGraw-Hill, 2011. – 524 p.
13 Papkov S.O., Banerjee J.R. A new method for free vibration and buckling analysis of rectangular ortho-
tropic plates // J. of Sound and Vibration. – 2015. – 339. – P. 342 – 358.
132
14. Shakeri Mobarakeh P., Grinchenko V.T. Construction method of analytical solutions to the mathematical
physics boundary problems for non–canonical domains // Reports on Mathematical Physics. – 2015. –
75, N 3. – P. 417 – 434.
15. Shakeri Mobarakeh P., Grinchenko V.T., Ahmadi H., Soltannia B. The amplitude-frequency characteris-
tics of piezoceramic plates depending on the shape of the boundaries // Proc. of 7th Int. Conf. on
Acoustics and Vibration (ISAV2017, Tehran, Iran, 2017).
16. Shakeri Mobarakeh P., Grinchenko V.T., Iranpour Mobarakeh S., Soltannia B. Influence of acoustic
screen on directional characteristics of cylindrical radiator // Proc. of 5th Int. Conf. on Acoustics and
Vibration (ISAV2015, Tehran, Iran, 2015).
17. Shakeri Mobarakeh P. Grinchenko V. Soltannia B. Directional characteristics of cylindrical radiators
with an arc-shaped acoustic screen // J. Eng. Math. – 2017. – 103, Iss. 1. – P. 97 – 110.
18. Shakeri Mobarakeh P. Grinchenko V.T., Soltannia B. Effect of boundary form disturbances on the fre-
quency response of planar vibrations of piezoceramic plates. Analytical solution // Strength of Materi-
als. – 2018. – 50, N 3. – P. 376 – 386.
19. Shakeri Mobarakeh P. Grinchenko V.T. Zrazhevsky G.M. A numerical-analytical method for solving
boundary value problem of elliptical type for a parallelogram shaped plate // Bulletin of Taras Shevchenko
National University of Kyiv. Series: Physics-Mathematics. – 2015. –Special issue. – P. 297 – 304.
20. Ventsel E., Krauthammer T. Thin plates and shells: Theory, analysis, and applications. – New York:
Marcel Dekker, 2001. – 688 p.
Поступила 22.10.2018 Утверждена в печать 05.03.2019
|