Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел

Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел

В данной работе изложена методика численного исследования поведения элементов конструкций в виде тел вращения, учитывающая возникновение и изменение пластических деформаций при разгрузке в процессе неизотермического нагружения. На конкретных примерах проанализированы полученные по изложенной методик...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Прикладная механика
Datum:2019
Hauptverfasser: Савченко, В.Г., Бабешко, М.Е.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2019
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188135
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел / В.Г. Савченко, М.Е. Бабешко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 4. — С. 101-112. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188135
record_format dspace
spelling Савченко, В.Г.
Бабешко, М.Е.
2023-02-13T16:42:14Z
2023-02-13T16:42:14Z
2019
Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел / В.Г. Савченко, М.Е. Бабешко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 4. — С. 101-112. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
0032-8243
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188135
В данной работе изложена методика численного исследования поведения элементов конструкций в виде тел вращения, учитывающая возникновение и изменение пластических деформаций при разгрузке в процессе неизотермического нагружения. На конкретных примерах проанализированы полученные по изложенной методике результаты в процессе переменного неизотермического нагружения в предположении различного поведения материала при разгрузке (упругая разгрузка, изотропное упрочнение или идеальный эффект Баушингера). Проведена оценка возникающих при этом областей пластического деформирования материала.
Проведено чисельне дослідження неосесиметричного пружнопластичного напружено-деформованого стану тіл обертання при неізотермічних складних процесах навантаження з врахуванням вторинних пластичних деформацій. Це дослідження базується на визначальних рівняннях теорії процесів малої кривизни та методі скінченних елементів. Використано моделі пружного розвантаження, ідеального ефекту Баушінгера і ізотропного зміцнення. Вплив використання різних моделей розвантаження проілюстровано на числових прикладах.Проведено чисельне дослідження неосесиметричного пружнопластичного напружено-деформованого стану тіл обертання при неізотермічних складних процесах навантаження з врахуванням вторинних пластичних деформацій. Це дослідження базується на визначальних рівняннях теорії процесів малої кривизни та методі скінченних елементів. Використано моделі пружного розвантаження, ідеального ефекту Баушінгера і ізотропного зміцнення. Вплив використання різних моделей розвантаження проілюстровано на числових прикладах.
A technique of numerical study is elaborated for the non-axisymmetric elastoplastic stress-strain state in the solid of revolution during the non-isothermal combined processes of loading with allowance for the repeated plastic strains. This technique is based on the constitutive equations of the theory of small curvature processes and the finite element method. The models of elastic unloading, perfect Bauschinger effect and isotropic hardening are used. An effect of the application of variable models of unloading is illustrated by numerical examples.
ru
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Прикладная механика
Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел
A Technique of Allowance for the Plastic Deformations under Unloading in Problems of Thermoelasticity of Axisymmetric Bodies
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел
spellingShingle Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел
Савченко, В.Г.
Бабешко, М.Е.
title_short Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел
title_full Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел
title_fullStr Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел
title_full_unstemmed Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел
title_sort методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел
author Савченко, В.Г.
Бабешко, М.Е.
author_facet Савченко, В.Г.
Бабешко, М.Е.
publishDate 2019
language Russian
container_title Прикладная механика
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format Article
title_alt A Technique of Allowance for the Plastic Deformations under Unloading in Problems of Thermoelasticity of Axisymmetric Bodies
description В данной работе изложена методика численного исследования поведения элементов конструкций в виде тел вращения, учитывающая возникновение и изменение пластических деформаций при разгрузке в процессе неизотермического нагружения. На конкретных примерах проанализированы полученные по изложенной методике результаты в процессе переменного неизотермического нагружения в предположении различного поведения материала при разгрузке (упругая разгрузка, изотропное упрочнение или идеальный эффект Баушингера). Проведена оценка возникающих при этом областей пластического деформирования материала. Проведено чисельне дослідження неосесиметричного пружнопластичного напружено-деформованого стану тіл обертання при неізотермічних складних процесах навантаження з врахуванням вторинних пластичних деформацій. Це дослідження базується на визначальних рівняннях теорії процесів малої кривизни та методі скінченних елементів. Використано моделі пружного розвантаження, ідеального ефекту Баушінгера і ізотропного зміцнення. Вплив використання різних моделей розвантаження проілюстровано на числових прикладах.Проведено чисельне дослідження неосесиметричного пружнопластичного напружено-деформованого стану тіл обертання при неізотермічних складних процесах навантаження з врахуванням вторинних пластичних деформацій. Це дослідження базується на визначальних рівняннях теорії процесів малої кривизни та методі скінченних елементів. Використано моделі пружного розвантаження, ідеального ефекту Баушінгера і ізотропного зміцнення. Вплив використання різних моделей розвантаження проілюстровано на числових прикладах. A technique of numerical study is elaborated for the non-axisymmetric elastoplastic stress-strain state in the solid of revolution during the non-isothermal combined processes of loading with allowance for the repeated plastic strains. This technique is based on the constitutive equations of the theory of small curvature processes and the finite element method. The models of elastic unloading, perfect Bauschinger effect and isotropic hardening are used. An effect of the application of variable models of unloading is illustrated by numerical examples.
issn 0032-8243
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188135
citation_txt Методика учета пластических деформаций при разгрузке в задачах термопластичности для осесимметричных тел / В.Г. Савченко, М.Е. Бабешко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 4. — С. 101-112. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT savčenkovg metodikaučetaplastičeskihdeformaciiprirazgruzkevzadačahtermoplastičnostidlâosesimmetričnyhtel
AT babeškome metodikaučetaplastičeskihdeformaciiprirazgruzkevzadačahtermoplastičnostidlâosesimmetričnyhtel
AT savčenkovg atechniqueofallowancefortheplasticdeformationsunderunloadinginproblemsofthermoelasticityofaxisymmetricbodies
AT babeškome atechniqueofallowancefortheplasticdeformationsunderunloadinginproblemsofthermoelasticityofaxisymmetricbodies
first_indexed 2025-11-26T23:06:07Z
last_indexed 2025-11-26T23:06:07Z
_version_ 1850779650274361344
fulltext 2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 4 101 В . Г . С а в ч е н к о , М . Е . Б а б е ш к о МЕТОДИКА УЧЕТА ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ РАЗГРУЗКЕ В ЗАДАЧАХ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: plast@inmech.kiev.ua Abstract. A technique of numerical study is elaborated for the non-axisymmetric elas- toplastic stress-strain state in the solid of revolution during the non-isothermal combined processes of loading with allowance for the repeated plastic strains. This technique is based on the constitutive equations of the theory of small curvature processes and the finite ele- ment method. The models of elastic unloading, perfect Bauschinger effect and isotropic hardening are used. An effect of the application of variable models of unloading is illustrat- ed by numerical examples. Key words: thermoplasticity, bodies of revolution, non-axisymmetric stress-strain state, isotropic material, elastic unloading, perfect Bauschinger effect, isotropic hardening, repeat- ed plastic strain. Введение. Форсированное развитие современного машиностроения и создание конкурентно способной продукции невозможно без принципиально новых разработок, без матема- тического моделирования происходящих в элементах рассматриваемой конструкции процессов и последующего вычислительного эксперимента. При этом исходный объ- ект заменяется его математической моделью с дальнейшим исследованием, экспери- ментированием с помощью вычислительно-логических алгоритмов. Одним из факто- ров, способствующих решению указанных проблем, является создание методик, поз- воляющих в рамках единого подхода выполнить детальный анализ температурных полей и упругопластического напряженно-деформированного состояния (НДС) ши- рокого класса конструкций с максимально полным учетом особенностей их деформи- рования в рабочих и экстремальных условиях. Именно такой подход позволяет обес- печить нужные технико-экономические показатели изделия и высокую эксплуатаци- онную надежность при ограниченных затратах на сложные и дорогостоящие экспе- риментальные испытания. Особенность деформирования элементов конструкций, подверженных интенсив- ному внешнему нагреву, состоит в том, что с ростом температуры в поверхностных слоях сжимающие напряжения уменьшаются и переходят в растягивающие с возник- новением пластических деформаций другого знака. Это вызвано тем, что, несмотря на рост температуры, прогрев элемента в глубину материала уменьшает градиенты тем- пературы в поверхностных слоях. В настоящее время известен целый ряд разработок [2 – 8, 15 и др.], позволяющих проводить квазистатический анализ неравномерно нагретых элементов конструкций как в упругой, так и в упругопластической постановке, в большинстве из которых классы решаемых задач ограничены введением различных упрощающих допущений, позволяющих описать только частные случаи процесса деформирования рассматрива- емого элемента конструкции. В некоторых из этих работ предполагается только упру- гое поведение материала элемента конструкции во всем диапазоне изменения напря- 102 жений, в других – связь между напряжениями и деформациями принимается физиче- ски нелинейной, однако процесс разгрузки не учитывается. Часто предполагается, что в элементах конструкции реализуются простые процессы деформирования с возник- новением только упругой разгрузки, хотя при интенсивном нагреве и силовом нагру- жении происходит деформирование по траекториям малой кривизны [3, 10, 11, 20, 21] с возникновением вторичных пластических деформаций при разгрузке и др. Во всех этих работах используются модифицированные соотношения теории процессов де- формирования по траекториям малой кривизны [6, 18] и традиционные соотношения теории простых процессов, в основу которых положены соотношения теории Пранд- тля – Рейса [16, 17] и теории Генки [14], соответственно. Работы, в которых рассматриваются процессы деформирования малой кривизны, посвящены, в основном, исследованию НДС оболочек вращения при повторном тер- мосиловом нагружении с учетом вторичных пластических деформаций [9 – 12 и др.]. В развитие этих разработок в данной работе изложена методика численного исследо- вания поведения элементов конструкций в виде тел вращения, учитывающая возник- новение и изменение пластических деформаций при разгрузке в процессе неизотер- мического нагружения. На конкретных примерах проанализированы полученные по изложенной методике результаты в процессе переменного неизотермического нагру- жения в предположении различного поведения материала при разгрузке (упругая раз- грузка, изотропное упрочнение или идеальный эффект Баушингера). Проведена оцен- ка возникающих при этом областей пластического деформирования материала. 1. Постановка задачи. Основные разрешающие соотношения. В цилиндрической системе координат , ,z r  рассматривается составное (слоистое) тело вращения, изготовленное из изотропных и ортотропных материалов при неизотер- мическом нагружении объемными ( , , )z rK K K K  и поверхностными ( , , )n nz nrt t t t  си- лами с заданными условиями теплового воздействия. Предполагается, что в началь- ный момент времени 0t тело находится при начальной температуре 0T . Под состав- ным телом подразумевается дискретно однородное тело вращения, все составные ча- сти которого также являются телами вращения с общей осью вращения. Составные части тела, выполненные из разных материалов, скреплены между собой при темпе- ратуре 0T без натяга и на их общей границе выполняются условия идеального силово- го и теплового контактов. Нагружение тела осуществляется таким образом, что задачу исследования НДС можно рассматривать в квазистатической постановке. При решении задачи термовязкопластичности процесс нагружения и нагрева тела необходимо разбить на ряд этапов таким образом, чтобы ломаная кривая достаточно точно аппроксимировала траекторию деформирования, а моменты времени, разграни- чивающие этапы, как можно лучше совпадали с моментами перехода отдельных эле- ментов тела из состояния активного нагружения к разгрузке и наоборот. Для опреде- ления термовязкопластического НДС исследуемого тела вращения необходимо на каждом этапе нагружения последовательно решить задачу нестационарной теплопро- водности по определению температуры T при заданных условиях теплообмена с окружающей средой и задачу термовязкопластичности по определению перемещений iu , деформаций ij и напряжений ( , , , )ij i j z r  для фиксированных моментов времени при заданных условиях нагружения и закрепления. Исследование температурного и НДС рассматриваемого составного тела враще- ния будет осуществляться на основе вариационных уравнений: вариационного уравнения теплопроводности 1 ( )z r V T T T T c T q q q dV T Td t z r r                                      = 0 (1) 103 и вариационного уравнения Лагранжа   0 t ij ij i i ni i V K u dV t u d          (i, j= z, r, ). (2) Здесь V – объем рассматриваемого тела вращения, ограниченного поверхностью ; t  – часть поверхности  , на которой заданы компоненты поверхностной нагруз- ки ;nt  ,c  – коэффициент удельной массовой теплоемкости и плотность материала тела;  – коэффициент теплоотдачи при конвективном теплообмене тела со средой температуры ; t – текущее время нагрева и нагружения тела; , ,z rq q q – приведен- ные тепловые потоки в соответствующих направлениях: 1 z zz zr z T T T q z r r                ; 1 r zr rr r T T T q z r r                ; 1 ;z r T T T q z r r                   (3) ij  компоненты тензора теплопроводности. Определяющие соотношения представим в виде связи между компонентами тен- зоров напряжений ij и деформаций ij , коэффициенты которых определяются в за- висимости от типа материала, используемых уравнений состояния, способа линеари- зации и др. При записи определяющих уравнений используем представление тензора деформаций в виде суммы тензоров упругой и пластической деформаций и деформа- ций ползучести. На каждом этапе нагружения задачу термовязкопластичности решаем методом последовательных приближений. В этом случае используемые определяю- щие уравнения можно представить в виде [19] * ij ijmn mn ijА    (m, n = , ,z r  ) (4) при условии ijmn jimn ijnm mnijA A A A   . (5) Коэффициенты ijmnA (4), (5) для каждого типа материала имеют различный вид в за- висимости от используемых теорий пластичности и ползучести. Слагаемые * ij учи- тывают тепловую деформацию, отклонение материала от упругого, зависимость диа- грамм деформирования материала от температуры, вид анизотропии, а также способ линеаризации определяющих уравнений и др. Для линеаризации определяющих уравнений используются методы последовательных линейных приближений, когда в каждом приближении решение исходной нелинейной задачи сводится к решению ли- нейной задачи теории упругости с дополнительными слагаемыми * ij . Эти слагаемые определяются по результатам решения задачи в предыдущем приближении. Выраже- ния ijmnA , * ij (4), (5) для изотропного материала, ортотропного в цилиндрической системе координат или прямолинейно ортотропного материалов приведены в работах [3, 19]. При описании неупругого деформирования изотропных материалов на каждом из выбранных этапов нагружения воспользуемся зависимостями теории процессов ма- лой кривизны между компонентами напряжений ij и деформаций ,ij линеаризован- ные с помощью метода дополнительных напряжений [4]. В этом случае связь между компонентами напряжений ij и деформаций ij в любом элементе тела из изотроп- 104 ного материала записывается в виде закона Гука с дополнительными слагаемыми, учитывающими тепловую деформацию, отклонение материала от упругого, а также зависимость упругих характеристик от температуры:    0 0 02zz zz rr zzG             ; 02zr zr zrG     (z, r,  ). (6) Здесь введены следующие обозначения:  * 0 0 1 0 02 2 ( 2 )n ij ij ij T ijG G K G K            ; (7) 0 1 ; G G    1 0 1 K K    ; 0 0 0 2 ; 3 K G    2 (1 ) 1 2 G v K v    ; 0 ( ) / 3;zz rr       0( )T T T T   , (8) где 0 ,G G и 0 ,K K – соответственно, модули сдвига и объемного расширения мате- риала при начальной и текущей температуре соответственно; v – коэффициент Пуас- сона; n ij – накопленные к концу m -го этапа нагружения неупругие составляющие компонентов деформации, равные в силу пластической несжимаемости материала неупругим составляющим компонентов девиатора деформаций n ije и которые опреде- ляются соотношениями   1 1 m m ijn n ij k ij k nm k k k s e e S        . (9) Приращения k n  за k-й этап нагружения определяются методом последовательных приближений в процессе решения краевой задачи. При этом k n   k p k c     и предполагается, что вначале m-го этапа нагружения известны значения мгновенной неупругой деформации 1 1 1 m m n k n k        , которые были получены в конце предыдущего 1m  -го этапа. В общем случае интенсивность касательных напряжений 1/2( / 2)ij ijS s s является функционалом интенсивности деформаций сдвига  1/2 / 2ij ije e  , интенсивности накопленных за m этапов неупругих деформаций сдвига 1 m m n k n k     , температуры T и времени t 5. Для его конкретизации предполагается существование зависимости ( , , , ),nS F T t   (10) которая определяется с использованием диаграмм растяжения и последующего сжа- тия после достижения фиксированного значения пластической деформации цилин- дрических образцов, полученных при различных постоянных значениях температуры и скоростей нагружения. На основе этих экспериментов строится семейство мгновен- ных термомеханических поверхностей  * * *, ,pS F T   для различных фиксиро- ванных значений температуры при первоначальном нагружении и разгрузке, учиты- вающей уровни достигнутых пластических деформаций. Учет скорости нагружения осуществляется путем построения сопряженных к ним диаграмм ползучести ( , , )c c T t   . Переход от одноосного НДС к интенсивности касательных напряже- ний S и интенсивности деформаций сдвига  осуществляется по формулам: 105 * *1 3 1 1 2 ; ; ; 3 2 2 4 (1 )3 p pS G                   . (11) В дальнейшем будут рассматриваться такие процессы деформирования, в которых отсутствуют деформации ползучести. В этом случае функциональная зависимость (10) превращается в функцию – в семейство мгновенных термомеханических поверх- ностей  * , ,pS F T   . Некоторые результаты экспериментального исследования закономерностей поведения материала при повторном деформировании на цилиндри- ческих образцах из стали Х18Н10Т изложены в работе [9], где приведены зависи- мости модулей упругости и коэффициента Пуассона при разгрузке от величины пред- варительной пластической деформации. Там же оценен прямой эффект Баушингера в зависимости от пластической деформации и приведены некоторые диаграммы пов- торного деформирования после предварительного деформирования. Опыты показы- вают, что в этом случае для конкретизации зависимости pS T    достаточно знать диаграммы активного нагружения образцов   и значения предела текучести T  при сжатии после предварительного растяжения в зависимости от достигнутой пластической деформации p при различных значениях температуры (или при перво- начальном сжатии и последующем растяжении). При этом предел текучести при сжа- тии для многих материалов оказывается на 10 – 15% процентов ниже, чем при растя- жении. Это различие во многом определяется предварительной пластической дефор- мацией. Процесс деформирования элемента тела можно условно разделить на два этапа: активный процесс деформирования при росте пластических деформаций и процесс разгрузки, когда пластические деформации остаются постоянными (упругая разгруз- ка), или процесс деформирования, когда пластические деформации уменьшаются. При активном процессе деформирования из естественного ненапряженного со- стояния k p  определяется с использованием первоначальных диаграмм, которые имеют вид ( , )S Ф Т  . Методика определения по этим диаграммам приращения ин- тенсивности неупругих деформаций сдвига подробно описана в работах [3, 19]. При разгрузке элемента тела и нагружении его нагрузкой обратного знака в области изме- нения пластических деформаций зависимость S от , T можно представить в виде - - * T Т Т S -S S , 2G(T)TS S Ф T             , (12) где / 3T T TS S    – интенсивность касательных напряжений, соответствующая пределу текучести материала при одноосном растяжении; / 3T TS   – интенсив- ность касательных напряжений, соответствующая пределу текучести материала при сжатии после предварительного растяжения до значения пластической деформации (1) p в момент разгрузки элемента тела (1) (1)3 /2р р  ; * 1( ) 1( ) 1/2 ij[( )( ) / 2]р p ij ij ij       – интенсивность деформаций сдвига, а 1( )p ij – значения компонент пластической де- формаций в момент начала разгрузки. Во многих случаях при исследовании напряженного состояния элементов кон- струкций из конкретных материалов отсутствуют эксперименты о зависимости пре- делов текучести от пластической деформации. В этом случае для описания разгрузки и процесса нагружения элементов тела нагрузкой противоположного знака использу- ется одно из следующих модельных представлений о поведении материала: упругая разгрузка; изотропное упрочнение; идеальный эффект Баушингера и др. При упругой разгрузке 106 (1) (1)2 ( , ) ( )p pS G T    . (13) В соответствии с моделью изотропного упрочнения при разгрузке и нагружении нагрузкой обратного знака (1) (1) * , 2 ( ) T T S S S S S Ф T G T           , (14) где (1)S – интенсивность касательных напряжений, соответствующих пластической деформации (9) в момент разгрузки. В случае, когда материал при разгрузке и нагружении нагрузкой противополож- ного знака подчиняется идеальному эффекту Баушингера (1) (1) * , 2 ( ) T T S S S S S Ф T G T           . (15) Как показали эксперименты [9], рассмотренные модели поведения материала охватывают диапазон, в котором лежат кривые разгрузки и повторного нагружения большинства материалов. Это позволяет путем серии расчетов дать оценку НДС эле- ментов конструкций, соответствующего реальным кривым с учетом разгрузки и нагружении нагрузкой противоположного знака. Учитывая форму рассматриваемых тел, при решении трехмерных задач для тел вращения используем полуаналитический метод конечных элементов [3, 6, 13 и др.], в котором решение ищется в виде рядов 0 1 ( , , , ) ( , , ) cos ( , , ) sin ;m m m m T z r t T z r t m T z r t m          (16) ( )( ) 0 1 ( , , , ) ( , , ) cos ( , , ) sin mm z zz m m u z r t u z r t m u z r t m          ( , )z r ; ( ) ( ) 1 0 ( , , , ) ( , , ) sin ( , , ) cos m m m m u z r t u z r t m u z r t m           , (17) коэффициенты которых определяются на основе соответствующих вариационных уравнений (1) – (3) с привлечением конечных элементов в меридиональном сечении тела. При таком подходе трехмерная задача для тел вращения может быть сведена к решению ряда двумерных вариационных задач относительно неизвестных значений коэффициентов в рядах (16), (17). Для этого в случае решения задачи теплопроводности необходимо представить входящие в вариационное уравнение (1) коэффициенты теплопроводности ij в виде 0(1 )T ij ij ij    и предположить, что в некоторый фиксированный момент времени коэффициент теплоотдачи  , температура окружающей среды  , приведенные теп- ловые потоки , ,z rq q q в соответствующих направлениях, а также произведение c являются известными функциями координат и не варьируются. Используя в качестве конечных элементов в меридиональном сечении тела треугольные конечные элемен- ты с линейным законом изменения коэффициентов _ ,m mT T  в них, для определения по явной разностной схеме решения задачи теплопроводности коэффициентов _ mT в вершинах ( , , )i j k элементов, в которых сторона ij совпадает с поверхностью тела, получим рекуррентные соотношения 107 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) M mi mi ij mi ij mjM q q q i q t T t t T t A t t B t t c H                     2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mi mj mkii ii ij ij ij ij ik ikD m N A T t D m N B T t D m N T t         (18) _ _ _ *( )*( )*( ) *( )*( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( )mmm mmi i i i iz z r r q L q t q t P q t q t mR q t             ( 1, 2, ..., )i N , позволяющие вычислить соответствующие значения коэффициентов _ mT в момент времени t t  через их значения в момент t , а в случае решения задачи по неявной разностной схеме – систему уравнений _ _ 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) M mi mjii ii i ij ij ij ij q D m N c H A T t t D m N B T t t t                   _ 2( ) ( )mkik ik q D m N T t t      = (19) _ 1 1 ( ) ( ) ( ) M mii ij mi ij mj q c H T t A t t B t t t                _ _ _ *( )*( )*( ) *( )*( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( )mmm mmi i iz z r r q L q t q t P q t q t mR q t            (i = 1, 2 …. , N). Здесь m – номер гармоники; N – количество узловых точек; M – количество тре- угольных элементов в меридиональном сечении тела; q – номер треугольного элемен- та; _ , mimi   , *( ) *( ),m m i ijq q – значения коэффициентов разложения температуры окружа- ющей среды и приведенных тепловых потоков (3) в аналогичные (16) тригонометри- ческие ряды в соответствующих точках рассматриваемого треугольника. Аналогично, используя подход, подробно описанный в работах [3, 4, 6], для определения коэффициентов    , ( , , )m mu u z r    в вершинах ( , , )i j k треугольных элементов q меридионального сечения тела в тригонометрических рядах (17) в каж- дом приближении получаем систему 3N линейных алгебраических уравнений для каждой гармоники в отдельности: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) M zi q zi q zi q zp zp rp rp p p zi q B u B u B u D      ; ( ) ( ) ( ) 1 ( ) M ri q ri q ri q zp zp rp rp p p ri q B u B u B u D      ; (20) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) M i q i q i q zp zp rp rp p p i q B u B u B u D          ( , , ), 1, 2, ...,p i j k i N    . Таких систем будет столько, сколько членов сохраняется в решении. Элементы матрицы этих систем вычисляются через значения коэффициентов физических урав- нений и координаты вершин элементов в меридиональной плоскости, а правая часть системы – через амплитудные значения дополнительных напряжений * ij , а также объемных и поверхностных нагрузок в соответствующих точках меридионального сечения. 108 Для отдельного треугольного элемента с вершинами , ,i j k выражения для коэф- фициентов, входящих в (18) – (20), приведены в работах [3, 6, 19 и др.]. Коэффициенты mT , ( )m iu определяются аналогичными выражениями, в которых m необходимо заменить на m , а все величины с чертой на соответствующие им значения с двумя и наоборот. Зная mT , mT  и ( )m iu , ( )m iu во всех точках конечно элементной разбивки меридио- нального сечения тела, значения температуры и компоненты перемещений в теле определяются путем вычисления тригонометрических рядов (16), (17). Затем вычис- ляются компоненты деформаций и напряжений в каждом приближении для рассмат- риваемого момента времени. Количество необходимых приближений определяется из условия, что в двух последовательных решениях относительное изменение НДС ока- зывалось меньше заданного параметра. 2. Числовые результаты расчетов. Для оценки влияния различных подходов к построению диаграмм поведения ма- териала при разгрузке исследуем НДС толстостенного цилиндра [15], половина мери- дионального сечения которого показана на рис. 1. мr, 04,0 A B 02,0 C 0 04,0 08,0 мz, Рис. 1 На торце z = 0 реализуется условие шарнирного опирания: 0, 0nrt w  и он является теплоизолированным: / 0.T z   В начальный момент времени цилиндр находится в ненапряженном состоянии при 293K.T  Процесс нагружения и нагрева состоит из двух этапов. На первом этапе на части поверхности ABC цилиндра происходит кон- вективный теплообмен со средой температуры 1. Коэффициент теплоотдачи  из- меняется линейно от значения 21,0 Вт/(см )К   в точке В до значения 0  в точ- ках А и С. Остальная часть цилиндра теплоизолирована. На втором этапе происходит охлаждение цилиндра (температура среды полагается значительно меньше первона- чальной при тех же значениях коэффициента теплоотдачи на поверхностях) и на ча- сти торцевой поверхности прикладывается нагрузка 5 MПа.nzt   На рис. 2 приведены графики изменения относительной температуры 1/Т  по радиу- су цилиндра при z = 9,25 см (рис. 2, а) и по длине цилиндра при r = 3,25 см (рис. 2, б). Анализ этих кривых показывает, что при нагреве цилиндра (кривые 1) возникают большие градиенты температуры как в радиальном, так и в осевом направлениях. Проведенные расчеты НДС цилиндра с использованием идеального эффекта Баушин- гера при разгрузке показали, что неравномерный нагрев на первом этапе приводит к развитию пластических деформаций в большей части объема цилиндра, отмеченной штриховкой на рис. 1. На втором этапе после прекращения первоначального нагруже- ния и нагрева при охлаждении и приложении на части торца растягивающей осевой нагрузки возникает область, где начинается разгрузка с возникновением вторичных пластических деформаций (на рис. 1 эта область показана двойной штриховкой). 109 Рис. 2 Напряженное состояние цилиндра при различных предположениях о поведении материала при разгрузке проанализируем в сечении z = 9,25см. Результаты расчета, соответствующие концу второго этапа нагружения, показаны на рис. 3 в виде графи- ков изменения в радиальном направлении осевой zz (рис. 3, а) и окружной  (рис. 3, б) компонентов напряжений. Кривые 1 на рисунке соответствуют расчету с учетом идеального эффекта Баушингера при разгрузке (15), кривые 2 – модели изо- тропного упрочнения (14), а кривые 3 – модели упругой разгрузки (13) без учета воз- никновения вторичных пластических деформаций. Сопоставление этих кривых пока- зывает, что учет вторичных пластических деформаций приводит к существенному перераспределению компонентов напряжений по сравнению с результатами расчета без учета возможного возникновения вторичных пластических деформаций. Это пе- рераспределение напряжений привело к значительному снижению максимальных растягивающих осевых zz и окружных  напряжений вблизи внешней поверх- ности цилиндра. Рис. 3 Из приведенных результатов также следует, что уровень максимальных напряже- ний падает при переходе от модели разгрузки без учета возникновения вторичных пластических деформаций к модели изотропного упрочнения, а наиболее низкий уро- вень дает расчет при идеальном эффекте Баушингера. При этом значения вторичных пластических деформаций возрастают в том же порядке. Поскольку [9] истинная диа- грамма разгрузки в повторного нагружения лежит между кривыми, соответствующи- ми изотропному упрочнению и идеальному эффекту Баушингера, то расчеты НДС исследуемого элемента конструкции по этим двум моделям определяют тот диапазон, в котором будут находиться значения компонентов напряжений, соответствующие реальным диаграммам. В качестве примера рассмотрим термонапряженное состояние тела вращения, по- ловина меридионального сечения и схема нагружения которого показана на рис. 4. Тело состоит из двух цилиндров, изготовленных из сплава ЭИ-437, и соединяющей их 110 втулки из сплава ЭИ-395. Необходимые для расчета значения теплофизических и механических характеристик материалов можно найти в работах [1, 5]. Этот элемент конструкции подверга- ется следующему тепловому и силовому воздействию. На протяжении первых 60 с на внутренней поверхности элемента происходит нагрев за счет теплообмена с внешней средой, имеющей температуру 973К  , с коэффициентом теплообмена 20,5 Вт/(см К).  На этой же поверхно- сти приложено давление P =10 МПа, на торцах приложена распределенная нагрузка 10,42МПаnzt  и 17,78 МПаnzt  , соответственно, слева и справа. В интервале вре- мени от 60 с до 300 с осуществлялось охлаждение ( 293 К,  20,3 Вт/(см К)  ) при отсутствии силового воздействия. На части внешней поверхности тело закрепле- но, т.е. компоненты перемещений полагаются равными нулю. Остальные части по- верхности свободны от нагрузок и теплообмен с окружающей средой на них отсут- ствует. Для построения диаграммы переменного деформирования предполагалось, что материалы рассматриваемого элемента конструкции обладают идеальным эффектом Баушингера. Весь исследуемый процесс разбивался на этапы моментами времени 5 с, 30 с, 45 с, 60 с, 65 с, 90 с, 120 с, 300 с и задача теплопроводности решалась как по яв- ной разностной схеме, так и по неявной. До момента времени t = 65 c при решении использовалась явная разностная схема, далее – неявная схема. Результаты решения задачи приведены на рис. 5 – 7. На рис. 5 приведены графики распределения температуры по радиусу в показан- ном на рис. 4 сечении при z = 0, 0788 м в процессе нагрева (кривая 1 – при t = 30 с, кри- вая 2 – при t = 60 с), а также при охлаждении (кривая 3 – при t = 120 с, а кривая 4 – при t = 300 с). На этих рисунках можно оценить изменение градиента температу- ры в процессе нагрева и охлаждения. Развитие зон неупругого деформиро- вания в процессе нагрева и охлаждения для моментов времени t = 30 с, 60 с, 120 с и 300 с схематически показано на рис. 6. На этих рисунках одинарной штриховкой показана область, где происходит актив- ный процесс нагружения; двойной штри- ховкой – область, где после первоначаль- ного пластического деформирования из- менилось направление процесса, но не- упругие деформации при этом не измени- лись, т. е. происходит упругая разгрузка; часть меридионального сечения, где развиваются вторичные пластические деформа- ции при разгрузке, зачернена. Из рисунка видно, что значительная часть объема мате- риала перешла в пластическое состояние. К концу нагрева и нагружения (до 60 с) об- ласть пластического деформирования увеличилась, а часть ее перешла в состояние «упругой разгрузки». В процессе охлаждения при снятых нагрузках (до 300 с) возни- кает область, где развились вторичные пластические деформации и увеличились зоны упругой разгрузки. Следует отметить, что при охлаждении часть области упругой разгрузки переходит в состояние повторного пластического деформирования. Рис. 4 Рис. 5 111 Рис. 6 Рис. 7 На рис. 7 показано изменение осевых zz (рис.7, а) и окружных  (рис.7, б) ком- понентов напряжений по радиусу при r = 0,0788 м для разных моментов времени: t = = 30 с (кривая 1), t = 60 с (кривая 2), t = 120 с (кривая 3) и t = 300 с (кривая 4). Из ри- сунков следует, что к моменту окончания процесса охлаждения в рассматриваемом элементе сохраняется высокий уровень напряжений, хотя силовая нагрузка отсутству- ет, а градиенты и уровни температуры малы. Это объясняется тем, что к моменту из- менения направления процесса деформирования была накоплена существенная пла- стическая деформация, которая вызывает существенные остаточные напряжения. Это наглядно указывает на необходимость учета истории нагружения при исследовании напряженного состояния в элементах конструкций при переменных процессах нагру- жения, вызывающих пластические деформации. Заключение. В работе предложена методика исследования неосесимметричного термонапря- женного состояния осесимметричных тел в процессах сложного неизотермического нагружения, позволяющая учесть возникновение пластических деформаций противо- положного знака первоначальным. При отсутствии экспериментальных диаграмм нагружения образцов, их разгрузки и повторного нагружения нагрузкой противопо- ложного знака первоначальному напряженное состояние исследуемого элемента тела определяется путем введения некоторых модельных представлений о поведении ма- териала при разгрузке: упругая разгрузка, изотропное упрочнение или идеальный эф- фект Баушингера. На конкретном примере проиллюстрировано изменение результа- тов решения задачи в зависимости от используемой модели поведения материала при разгрузке. Расчеты с использованием двух последних моделей определяют тот диапа- зон, в котором будут находиться истинные значения компонентов напряжений. 112 Р Е З Ю М Е . Проведено чисельне дослідження неосесиметричного пружнопластичного напру- жено-деформованого стану тіл обертання при неізотермічних складних процесах навантаження з врахуванням вторинних пластичних деформацій. Це дослідження базується на визначальних рівнян- нях теорії процесів малої кривизни та методі скінчених елементів. Використано моделі пружного розвантаження, ідеального ефекту Баушінгера і ізотропного зміцнення. Вплив використання різних моделей розвантаження проілюстровано на числових прикладах. 1. Безухов Н.И., Бажанов В.Л., Гольденблат И.И. и др. Расчеты на прочность, устойчивость и коле- бания в условиях высоких температур. – М.: Машиностроение, 1965 – 568 с. 2. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Демьянушко И.В. и др. Термопрочность деталей машин. – М.: Машино- строение, 1975. – 456 с. 3. Григоренко Я.М., Шевченко Ю.Н. и др. Механика композитов: В 12-ти т / Под общ. ред. А.Н.Гузя. Т.11. Численные методы. – К.: «А.С.К.», 2002. – 448 с. 4. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Пискун В.В., Савченко В.Г. Пространственные задачи термоплас- тичности. – К.: Наук. думка, 1980. – 264 с. 5. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Терехов Р.Г. Термовязкоупругопластические процессы сложного деформирования элементов конструкций. – К.: Наук, думка, 1992. – 328 с. 6. Шевченко Ю.Н., Савченко В.Г. Термовязкопластичность: Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5-ти т. – К.: Наук. думка, 1987. – Т. 2. – 264 с. 7. Шевченко Ю.Н., Савченко В.Г., Ищенко Д.А. Методические рекомендации «Метод и программа расчета на ЭВМ нестационарной теплопроводности и упругопластического напряженно- деформированного состояния элементов конструкций типа тел вращения при осесимметричных силовых и тепловых нагрузках». – К.: Ин-т механики АН УССР, 1988. – 42 с. 8. Шевченко Ю.Н., Савченко В.Г., Ищенко Д.А, Павлычко В.М. Расчеты и испытания на прочность. Метод и пакет прикладных программ расчета на ЭВМ нестационарной теплопроводности и упругопластического напряженно-деформированного состояния элементов конструкций типа тел вращения при осесимметричных силовых и тепловых нагрузках: Рекомендации Р 54-284-90. – М.: ВНИИНМАШ, 1990. – 58 с. 9. Babeshko M.E, Savchenko V.G. Axisymmetric Elastoplastic State of Compound Shells Subject to Thermal and Mechanical Loading and Radiation Exposure // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 4. – P. 368 – 373. 10. Babeshko M.E, Savchenko V.G. To Analysis of Processes of Non-Isothermal Loading the Shells of Revolution with Allowance for the Repeated Plastic Strains // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 6. – P. 539 – 646. 11. Babeshko M.E, Savchenko V.G. On Allowance for the Third Invariant of Stress Deviator in Analysis of Processes of Deformation of Thin Shells // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 2. – P. 163 – 171. 12. Babeshko M.E., Stryuk V.K. Calculating the Stress State of a Solid Cylinlder on the Basis of the Theory of Flow with Isotropic Hardening // Sov. Appl. Mech. – 1974. – 10, N 6. – P.587 – 591. 13. Bazhenov V.A., Vabishchevich M.O., Solodei I.I., Cherupnaya E.A. Semianalytic Finite-Element Method in Dinamic Problems of Linear Fracture Mechanics // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 5. – P. 519 – 530. 14. Hencky H. Zur Theorie der plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannungen // ZAMM. – 1924. – 4, N 4. – P. 323 – 334. 15. Ishchenko D.A., Savchenko V.G. Influence of Taking Account of Secondary Plastic Deformations on the Solution of the Axisymmetric Thermoplasticity Problem // Sov. Appl. Mech. – 1988. – 24, N 3. – P. 229 – 233. 16. Prandtl L. Anwendungsbeispile zu einem Henckyschen Satz uber das plastische Gleichgewicht // ZAMM. – 1923. – 3, N 6. – P. 401 – 406. 17. Reuss A. Berucksichtigung der elastischen Formanderung in der Plastizitatstheorie // ZAMM. – 1930. – 10, N 3. – P. 266 – 274. 18. Savchenko V.G., Babeshko M.E. Thermostressed State of Layered Bodies of Revolution Damaging under Deformation // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 3. – P. 287 – 305. 19. Shevchenko Yu.N., Savchenko V.G. Three-Dimensional Problems of Thermoviscoplasticity: Focus on Ukrainian Research (Review) // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 3. – P. 217 – 271. 20. Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S., Pigol’ O.V. Elastoplastic State of an Elliptical Cylindrical Shell with a Circular Hole // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 6. – P. 647 – 654. 21. Zyczkowski M. Combined Loadings in the Theory of Plasticity. – PWN – Polish Scientific Publishers, 1981. – 714 p. Поступила 26.04. 2018 Утверждена в печать 05.03.2019

Ähnliche Einträge