Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии

В данной работе приводятся уравнения осесимметричных колебаний дискретно подкрепленных многослойных оболочек различной геометрии (цилиндр, сфера, конус). В основу положена теория многослойных оболочек с использованием гипотез ко всему пакету. При рассмотрении дискретных подкрепляющих ребер используе...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Мейш, В.Ф., Мейш, Ю.А., Арнаута, Н.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2019
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188136
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии / В.Ф. Мейш, Ю.А. Мейш, Н.В. Арнаута // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 4. — С. 113-122. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188136
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1881362025-02-09T20:28:44Z Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии Numerical Analysis of Nonstatinary Vibrations of Multilayered Discretely Stiffened Shells of Different Geometry Мейш, В.Ф. Мейш, Ю.А. Арнаута, Н.В. В данной работе приводятся уравнения осесимметричных колебаний дискретно подкрепленных многослойных оболочек различной геометрии (цилиндр, сфера, конус). В основу положена теория многослойных оболочек с использованием гипотез ко всему пакету. При рассмотрении дискретных подкрепляющих ребер используется уточненная модель стержней типа Тимошенко. Для вывода уравнений колебаний используется вариационный принцип Рейсснера для динамических процессов. Численный метод решения динамических уравнений основан на применении интегро-интерполяционного метода построения конечно-разностных схем для уравнения с разрывными коэффициентами. Как числовые примеры рассмотрены задачи динамического деформирования дискретно подкрепленных пятислойных оболочек различной геометрии (цилиндрическая, сферическая и коническая оболочки) при действии распределенной внутренней импульсной нагрузки. Досліджено вимушені коливання дискретно підкріплених багатошарових циліндричних, сферичних та конічних оболонок під дією нестаціонарних навантажень. Динамічну поведінку підкріплених оболонок розглянуто в рамках теорії оболонок та стержнів згідно моделі С. П. Тимошенка. Представлено відповідні постановки та розроблено чисельний алгоритм розв'язання задач даного класу. Наведено чисельні приклади динамічної поведінки дискретно підкріплених багатошарових циліндричних, сферичних, конічних оболонок та проведено аналіз одержаних результатів.Досліджено вимушені коливання дискретно підкріплених багатошарових циліндричних, сферичних та конічних оболонок під дією нестаціонарних навантажень. Динамічну поведінку підкріплених оболонок розглянуто в рамках теорії оболонок та стержнів згідно моделі С. П. Тимошенка. Представлено відповідні постановки та розроблено чисельний алгоритм розв'язання задач даного класу. Наведено чисельні приклади динамічної поведінки дискретно підкріплених багатошарових циліндричних, сферичних, конічних оболонок та проведено аналіз одержаних результатів. The forced vibrations of the multi-layered discretely stiffened cylindrical, spherical, and conical shells under action of nonstationary loads are studied. The dynamical behaviour of stiffened shells is considered on the base of Timoshenko type theory of shells and ribs. The Reissner’s variational principle for dynamical processes is used for deriving the motion equations. An efficient numerical method with using Richardson type finite difference approximation for solution of problems stated is elaborated. The numerical examples are given and the numerical findings are analysed. 2019 Article Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии / В.Ф. Мейш, Ю.А. Мейш, Н.В. Арнаута // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 4. — С. 113-122. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188136 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В данной работе приводятся уравнения осесимметричных колебаний дискретно подкрепленных многослойных оболочек различной геометрии (цилиндр, сфера, конус). В основу положена теория многослойных оболочек с использованием гипотез ко всему пакету. При рассмотрении дискретных подкрепляющих ребер используется уточненная модель стержней типа Тимошенко. Для вывода уравнений колебаний используется вариационный принцип Рейсснера для динамических процессов. Численный метод решения динамических уравнений основан на применении интегро-интерполяционного метода построения конечно-разностных схем для уравнения с разрывными коэффициентами. Как числовые примеры рассмотрены задачи динамического деформирования дискретно подкрепленных пятислойных оболочек различной геометрии (цилиндрическая, сферическая и коническая оболочки) при действии распределенной внутренней импульсной нагрузки.
format	Article
author	Мейш, В.Ф. Мейш, Ю.А. Арнаута, Н.В.
spellingShingle	Мейш, В.Ф. Мейш, Ю.А. Арнаута, Н.В. Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии Прикладная механика
author_facet	Мейш, В.Ф. Мейш, Ю.А. Арнаута, Н.В.
author_sort	Мейш, В.Ф.
title	Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии
title_short	Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии
title_full	Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии
title_fullStr	Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии
title_full_unstemmed	Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии
title_sort	численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2019
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188136
citation_txt	Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии / В.Ф. Мейш, Ю.А. Мейш, Н.В. Арнаута // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 4. — С. 113-122. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT meišvf čislennyianaliznestacionarnyhkolebaniimnogosloinyhdiskretnopodkreplennyhoboločekrazličnoigeometrii AT meišûa čislennyianaliznestacionarnyhkolebaniimnogosloinyhdiskretnopodkreplennyhoboločekrazličnoigeometrii AT arnautanv čislennyianaliznestacionarnyhkolebaniimnogosloinyhdiskretnopodkreplennyhoboločekrazličnoigeometrii AT meišvf numericalanalysisofnonstatinaryvibrationsofmultilayereddiscretelystiffenedshellsofdifferentgeometry AT meišûa numericalanalysisofnonstatinaryvibrationsofmultilayereddiscretelystiffenedshellsofdifferentgeometry AT arnautanv numericalanalysisofnonstatinaryvibrationsofmultilayereddiscretelystiffenedshellsofdifferentgeometry
first_indexed	2025-11-30T12:23:18Z
last_indexed	2025-11-30T12:23:18Z
_version_	1850218015842369536
fulltext	2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 4 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 4 113 В . Ф . М е й ш , Ю . А . М е й ш , Н . В . А р н а у т а ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОСЛОЙНЫХ ДИСКРЕТНО ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОБОЛОЧЕК РАЗЛИЧНОЙ ГЕОМЕТРИИ Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: desc@inmech.kiev.ua Abstract. The forced vibrations of the multi-layered discretely stiffened cylindrical, spherical, and conical shells under action of nonstationary loads are studied. The dynamical behaviour of stiffened shells is considered on the base of Timoshenko type theory of shells and ribs. The Reissner’s variational principle for dynamical processes is used for deriving the motion equations. An efficient numerical method with using Richardson type finite dif- ference approximation for solution of problems stated is elaborated. The numerical exam- ples are given and the numerical findings are analysed. Key word: shells of revolution, Timoshenko type theory of shells and ribs, numerical method, nonstationary vibrations. Введение. Задачи динамики многослойных дискретно подкрепленных оболочек при неста- ционарных нагрузках находят широкое прикладное применение в современной тех- нике (машиностроение, авиационно-космическая техника, судостроение и т.д.). Одной из особенностей указанной тематики является учет дискретности расположения ребер при постановке исходных задач. При динамических нагрузках дискретно подкреплен- ных оболочек локальные возмущения в области дискретных элементов приводят к зна- чительному перераспределению параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) по всей длине конструкции. Исходная постановка задач и сложность процес- сов, возникающих при этом, обуславливают необходимость использования современ- ных численных методов решения динамических задач поведения многослойных обо- лочечных конструкций с учетом дискретного размещения ребер. Условно решение динамических задач дискретно подкрепленных многослойных оболочек можно разделить на две части: 1) решение задачи в гладкой области (дина- мика гладкой многослойной оболочки); 2) решение задачи на линиях пространствен- ных разрывов (динамика подкрепленной оболочки в области контакта оболочка – ребро с учетом действия соответствующих сил). Вопросам динамики гладких много- слойных оболочек в классической и уточненной постановках посвящено значительное число публикаций. В частности, следует отметить работы [11 – 17]. Свободные и вы- нужденные колебания при гармонических нагрузках дискретно подкрепленных одно- слойных оболочек различной геометрии (цилиндрические, конические, сферические оболочки) в рамках классической теории рассмотрены в работах [1, 2, 7]. Вынужденные колебания дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии в уточненной по- становке при нестационарных нагрузках представлены в работах [3, 8, 9]. В данной работе приводятся уравнения осесимметричных колебаний дискретно подкрепленных многослойных оболочек различной геометрии (цилиндр, сфера, ко- 114 нус). В основу положена теория многослойных оболочек с использованием гипотез ко всему пакету. При рассмотрении дискретных подкрепляющих ребер используется уточненная модель стержней типа Тимошенко [2, 8, 9]. Для вывода уравнений коле- баний используется вариационный принцип Рейсснера для динамических процессов [2]. Численный метод решения динамических уравнений основан на применении ин- тегро-интерполяционного метода построения конечно-разностных схем для уравне- ния с разрывными коэффициентами [2, 5]. Как числовые примеры рассмотрены зада- чи динамического деформирования дискретно подкрепленных пятислойных оболочек различной геометрии (цилиндрическая, сферическая и коническая оболочки) при дей- ствии распределенной внутренней импульсной нагрузки. §1. Исходные предположения. Рассматривается неоднородная упругая структура, которая представляет собой дискретно подкрепленную многослойную оболочку. Предполагается, что слои обо- лочки и дискретные подкрепляющие элементы жестко соединены между собой. Полагаем, что собственно многослойная оболочка (обшивка) состоит из M орто- тропных слоев с постоянными толщинами mh 1 1, , M m m m M h h         . При построении математической модели процесса динамического деформирования многослойной конструкции используется вариант теории оболочек типа Тимошенко, в основу кото- рого положены следующие предположения. 1. Изменение перемещений по толщине m -го слоя задается аппроксимацией вида    1 1 1, , , , ( , )z m m mU x y z U x y z z x y  ;    2 2 2, , , , ( , )z m m mU x y z U x y z z x y  ; (1.1)    3 3, , , ,z m mU x y z U x y z ,  / 2, / 2mz h h  , где 1 2 3 1 2, , , ,m m m m mU U U   – компоненты обобщенного вектора перемещений средин- ной поверхности m -го слоя. 2. Поперечные сдвиговые напряжения 13 z m и 23 z m изменяются по толщине соот- ветствующего слоя согласно формул      0 13 1 13, , ,z m m mx y z f z x y  ;      0 23 2 23, , ,z m m mx y z f z x y  , (1.2) где функции 1 2( ), ( )m mf z f z выбираем из условий непрерывности поперечных напря- жений по толщине. 3. Компоненты тензора деформаций в квадратичном приближении для m -го слоя записываются в виде 11 11 11 z m m mz    ; 22 22 22 z m m mz    ; 12 12 12 z m m mz    ; 13 13 z m m  ; 23 23 32 z m m mz    ; 21 11 1 1 2 m m m U x       ; 22 3 22 2 1 2 m m m m m U U y R        ; 1 2 12 1 2 m m m U U y x          ; 1 11 m m x      ; (1.3) 2 22 m m y      ; 2 23 m m mR     ; 1 2 12 m m m y x          ; 3 1 m m U x     ; 3 2 2 m m m m U U y R      , где mR – радиус срединной поверхности m -го слоя. 115 При построении математической модели деформирования i -го подкрепляющего ребра, направленного вдоль оси OX ( j -го подкрепляющего ребра, направленного вдоль оси OY ), будем исходить из гипотезы недеформируемости поперечного сече- ния подкрепляющего элемента в рамках теории стержней Тимошенко. Аппроксимация перемещений по сечению i -го ( j -го) подкрепляющего ребра принимается в виде  1 1 1 2, , ( ) ( ) ( )yz i i i iU x y z U x y x z x    ;  2 2 3, , ( ) ( )yz i i iU x y z U x z x  ; (1.4)  3 3 3, , ( ) ( )yz i i iU x y z U x y x  , где 1 2 3 1 2 3, , , ( ), ( ), ( )i i i i i iU U U x x x   – компоненты обобщенного вектора перемеще- ний центра тяжести поперечного сечения i -го ребра. Отнесем общую систему координат неоднородной по толщине структуры к сре- динной поверхности одного из слоев обшивки толщиной ch координату z будем от- считывать в сторону возрастания внешней нормали к исходной поверхности. Условия жесткого соединения слоев позволяют установить кинематические условия контакта между компонентами обобщенных векторов перемещений срединных поверхностей слоев: 1 1 1( , ) ( , ) ( , )m cmU x y U x y h x y  ; 2 2 2( , ) ( , ) ( , )m cmU x y U x y h x y  ; 3 3( , ) ( , )mU x y U x y ; 1 1( , ) ( , )m x y x y  ; 2 2( , ) ( , )m x y x y  . (1.5) Условия контакта между компонентами вектора перемещений центра тяжести по- перечного сечения i -го ребра, направленного вдоль оси OX , и компонентами обоб- щенного вектора перемещения исходной срединной поверхности записывается в виде:  1 1 1( ) , ( , )i i ci iU x U x y h x y  ;  2 2 2( ) , ( , )i i ci iU x U x y h x y  ; (1.6)  3 3( ) ,i iU x U x y ;  2 1( ) ,i ix x y  ;  3 2( ) ,i ix x y  . Аналогичным образом записываются условия контакта j -го подкрепляющего ре- бра, направленного вдоль оси у с обшивкой. В формулах (1.5), (1.6) cmh – расстояние от исходной поверхности к срединной поверхности m -го слоя; cih – расстояние от исходной срединной поверхности к ли- нии центра тяжести поперечного сечения i -го ребра. §2. Уравнения колебаний. Для вывода уравнений движения многослойной дискретно подкрепленной струк- туры используются вариационный принцип Рейсснера для динамических процессов [2], согласно которому   2 1 0, t t R T A dt      (2.1) где R – функционал Рейсснера; T – кинетическая энергия; A – работа внешних сил. В случае осесимметричных колебаний многослойных оболочечных структур с учетом дискретности размещения подкрепляющих ребер параметры напряженно- деформированного состояния структуры зависят только от координаты 1 . При этом уравнения колебаний значительно упрощаются и имеют следующий вид: в гладкой области – 116   2 2 11 22 1 2 1 1 1 A A T T A A          2 2 1 1 1 13 1 1 22 2 U k T P I I t t        ;   2 3 132 1 11 2 22 3 1 2 1 2 1 1 U A T k T k T P I A A t           ; (2.2)   2 2 11 22 1 2 1 1 1 A A M M A A          2 2 1 1 13 2 32 2 U T I I t t       ; уравнения колебаний j -го дискретного ребра –   2 1 11 2 ;j j jj u T F t     2 3 13 2 22 2 [ ] ;j j j j j j j u T k T F t        2 1 11 2 j j крjj M I t      . (2.3) Осесимметричные уравнения колебаний многослойной оболочечной неоднородной структуры (2.2), (2.3) дополняются соответствующими граничными и начальными условиями. В случае свободного края при 1 10  граничные условия имеют вид 1311 11 0T T M   . В случае жестко закрепленного края при 1 10  граничные условия имеют вид 1 3 1 0u u    . Начальные условия записываются в виде 1 3 1 0;u u    31 1 0. uu t t t         §3. Численный алгоритм. Рассматриваются численные алгоритмы решения нестационарных динамических задач для многослойных подкрепленных оболочек вращения с учетом дискретности размещения ребер. Численный алгоритм решения нестационарных задач теории неод- нородных многослойных оболочек основывается на применении интегро-интерполя- ционного метода построения конечно-разностных схем по пространственной коорди- нате и явной конечно-pазностной схемы типа «крест» по временной координате [2, 5]. В силу исходной постановки задач ищется численное решение в гладкой области упругой структуры (для многослойной оболочки между ребрами) и на линиях распо- ложения соответствующих ребер. Исходная группа уравнений, описывающая динамическое поведение неоднород- ной упругой оболочечной структуры, представляет собой две системы уравнений. Одна из них – это уравнения колебаний элементов многослойных подкрепленных оболочек (уравнения колебаний многослойной гладкой оболочки и уравнения колеба- ний ребер), вторая – соотношения обобщенного закона Гука для каждого из указан- ных элементов. Переход от непpеpывной системы уравнений к конечно-разностной выполняется в два этапа. Первый этап состоит в конечно-разностной аппроксимации дивергентных уравнений колебаний в усилиях-моментах, основывающийся на приме- нении интегpо-интеpполяционного метода аппpоксимации уpавнений колебаний обо- лочки и ребер. Второй этап аппроксимации уравнений состоит в выбоpе энеpгетиче- ски согласованных конечно-pазностных аппpоксимаций величин усилий-моментов и соответствующих величин дефоpмаций, чтобы выполнялся закон сохранения полной механической энергии на разностном уровне. 117 Одной из особенностей решения краевых задач теории подкрепленных оболочек с учетом дискретного размещения ребер является наличие разрывных коэффициентов в уравнениях колебаний, что в свою очередь, негативно влияет на сходимость числен- ных результатов. Для построения более эффективных алгоритмов применяется под- ход, который основывается на определении приближенных решений по Ричардсону [4]. Причем, при фиксированном разностном шаге по временной координате исполь- зуется последовательность приближенных аппроксимаций по пространственной ко- ординате. При этом процедура экстраполяции формируется согласно формулы ( ) ( /2) ( ) 4 1 3 3 n n n l s l s l sU U U    , где ( /2) n l sU  и ( ) n l sU  – численные решения уравнений колебаний соответственно с дис- кретными шагами по пространственной координате / 2s и s , 1 1s A . Разностные уравнения аппроксимируют исходные уравнения колебаний в гладкой области с четвертым порядком точности по координате s . §4. Решения конкретных задач. Рассматриваются задачи динамического поведения многослойных подкрепленных цилиндрических, сферических, конических оболочек с учетом дискретности разме- щения ребер, которые представляют собой набор дискретных кольцевых ребер, при внутреннем нормальном осесимметричном импульсном нагружении согласно уравне- ний колебаний (2.2), (2.3). Цилиндрическая оболочка. Рассматривается задача определения НДС пятислой- ной цилиндрической оболочки при нестационарном нагружении. В уравнениях (2.2), (2.3) полагалось 1 1 2, 1,x A A R    , где R – радиус приведенной срединной по- верхности. Полагалось, что края оболочки жестко защемлены. Краевые условия для такого случая имеют вид при 0,x x L  : 1 2 3 0U U    , где L – длина оболочки. Нестационарная распределенная нагрузка задавалась в виде: 3 ( ) sin t P t A T        ( ) ( )t t T    , где A – амплитуда нагрузки; T – длительность нагрузки. Задача рассматривалась при следующих геометрических и физико-механических параметрах: 1 3 1 3 1 1 1 1 1 3100 1000; 0,3; 0, 4; 7;an an anE E         5 2 2 1 3 4 5 Н/м2 ;0; ; 1, 25; 10 ;jR h h h h h h h L R A           1 1 1; 3; 0, 25 ( 1, 3).j j jE E h h jL j    Полагалось, что первый, третий и пятый слои неоднородной оболочки характери- зуются следующими физико-механическими параметрами: 1 3 5 10 1 1 1 7 10E E E    Па; 1 3 5 32,7 10      кг/м3. А второй и четвертый слои характеризуются материалом со следующими физико-механическими параметрами (заполнитель): 3 3 1 1 3; ;an an anE   . На рис. 1 и рис. 2 приведены результаты расчетов. На рис. 1 изображена зависи- мость величин 3U по координате x в зависимости от физико-механических парамет- ров заполнителя для случая времени 8t T . Кривая 1 соответствует случаю 1 3 1 1 1000;anE E  кривая 2 – случаю 1 3 1 1 100.anE E  118 Рис. 2 соответствует зависимости величин напряжения 22 по координате x с соот- ветствующими обозначениями кривых на рисунке для случая 12t T . Анализируя выше приведенные зависимости, можно отметить, что оболочка с параметрами 1 3 1 1 anE E  1000 при указанном выше динамическом нагружении «более чувствительна» по от- ношению к случаю 1 3 1 1 100.anE E  Наблюдается увеличение величин прогиба 3U в случае менее жесткого заполнителя ( 1 3 1 1 1000anE E  ) по отношению к 1 3 1 1 100.anE E  При рассмотрении величин напряжения 22 для случая 1 3 1 1 1000anE E  наглядно наблюдается место расположения дискретных подкрепляющих элементов при 0,25 ( 1, 3)jx jL j  , чего не наблюдается для случая более жесткого заполнителя. Сферическая оболочка. Рассматривается задача динамического поведения пяти- слойной сферической оболочки с подкрепленным отверстием при внутреннем импульс- ном нагружении. В уравнениях колебаний (2.2), (2.3) принято 1 ,A R 2 1sinA R  . Полагалось, что один край оболочки при 0s s 1 1( )s A свободный, а второй край оболочки при Ns s – жестко защемлен. Полагалось, что свободный край подкреп- лен кольцевым ребром в области 1 0s s (случай, когда край ребра совпадает со сво- бодным краем оболочки, при этом центр тяжести поперечного сечения подкрепляю- щего ребра проектируется на внутреннюю точку приведенной срединной поверхно- сти, т.е. 0 0,5j js s b  , где jb – ширина ребра). Граничные условия для свободного края при 0s s имеют следующий вид: 11 13 110, 0, 0T T M   ; а уравнения колебаний подкрепляющего ребра принимаются согласно формул (2.3). Для случая жестко защемленного края при Ns s полагалось 1 3 1 0u u    . Нестационарная импульсная нагрузка задавалась в виде  3 sin / ( ) ( )P A t T t t T      , где A – амплитуда нагрузки; T – длительность нагрузки. При расчетах полагалось 610A  Па; 650 10T   с. Задача рассматривалась при следующих геометрических и физико-механических параметрах: 0,3R  м; 1 2 3 4 5h h h h h h     ; / 9 / 20jh h  ; 410jF  м2; 1 3h h  3 5 10h   м; 3 2 4 3 10h h    м; 10 /12;  1 / 2.N  Рис. 1 Рис. 2 119 Рассматривается случай, когда первый, третий и пятый слои неоднородной обо- лочки характеризуются следующими физико-механическими параметрами: 1 3 1 1E E  5 10 1 7 10E   Па; 1 3 5 32,7 10      кг/м3. Второй и четвертый слои состоят из материала со следующими физико-механическими параметрами (заполнитель): 3 1 ;anE 3 1 3;an an  ; 1 3 1 1 10 1000;anE E   1 1 0,3;  3 1 1 30, 4; 7.an an    Физико-механические параметры подкрепляющих элементов – 1 1jE E , 1j  . Полученные численные результаты позволяют проводить анализ НДС пятислой- ной упругой структуры сферического типа с отверстием в любой момент времени (расчеты проводились при 0 100t T  ) согласно приведенной постановки задач. В частности, на рис. 3 и 4 приведены зависимости величин 3U и 22 от пространствен- ной координаты 1 для случая 1 3 1 1/ 100anE E  в момент времени 13t T (время до- стижения максимального значения величины 3U неподкрепленной оболочки). Рис. 3 Рис. 4 120 Рис. 3 соответствует зависимостям 3U от пространственной координаты 1 , а рис. 4 – зависимостям величин 22 от пространственной координаты 1 . Кривая 1 соответствует случаю неподкрепленной оболочки, кривая 2 – случаю подкрепленного отверстия. Исходя из представленного графического материала, можно оценить влия- ние наличия подкрепляющего кольца на распределение кинематических 3U и стати- ческих 22 величин по сечению конструкции – отличие указанных параметров в об- ласти отверстия в несколько раз. Коническая оболочка. Дискретно-неоднородная по толщине упругая структура конического типа представляет собой систему, состоящую из многослойной подкреп- ленной конической оболочки с учетом дискретности ребер. Считается, что много- слойная подкрепленная коническая конструкция нагружена внутренней распределен- ной нестационарной нормальной нагрузкой 3( , )P s t , где s и t – пространственная и временная координаты. При рассмотрении осесимметричных колебаний конических оболочек обычно ис- пользуется система координат ,s t , причем координата s отсчитывается от вершины конуса. В некоторых случаях, в частности для усеченных конических оболочек, более удобным является использование координаты 1s , где координата 1s отсчитывается от края оболочки. Коэффициенты первой квадратичной формы и кривизны координатной поверхно- сти записываются следующим образом: 1 2 1 21; ; 0,; cos / ,s sA A R k k R    где  – угол конусности; 1s – текущая координата; 0 1 sinsR R s   . Рассматривается задача динамического деформирования пятислойной конической оболочки с жестко защемленными торцами под действием внутренней распределен- ной нагрузки 3( , )P s t . Граничные условия при 0 , Ns s s s  имеют вид: 1 3u u  1 0.  Нестационарная импульсная нагрузка задавалась в виде  3( , ) sin ( ) ( ) , t P s t A t t T T       где A – амплитуда нагрузки; T – длительность нагрузки. В расчетах полагалось 610A  Па; 650 10T   с. Расчеты проводились при следующих геометрических и фи- зико-механических параметрах: 1 3 5 10 1 1 1 7 10jE E E E     Па; 1 1 1/ 10 1000запE E   ; 1 3 5 1 1 1 0,3     ; 1 0,4зап  ; 1 3/ 7an   ; 3 1 3 5 2,7 10j        кг/м3; 1 2 3 4 5h h h h h h     ; 3 1 3 5 10h h h    м; 2 4 2 1; / 3h h h h  ; 4 0 0,1 ; / 9 / 20; 10j jR м h h F    м2; 1 / 3;  2 / 4;  3 / 6  . Дискретные подкрепляющие элементы расположены в точках 0, 25 ,j Ns s j 1,3j  . Полученные численные результаты позволяют проводить анализ НДС пятислой- ной подкрепленной упругой структуры конического типа в любой момент времени (расчеты проводились при 0 40t T  ). В частности, на рис. 5 и рис. 6 приведены за- висимости величин 3U и напряжения 22 от пространственной координаты s в зави- симости от величины угла конусности в моменты времени 4t T и 5,5t T . 121 Кривая 1 соответствует углу конусности 1 / 3;  кривая 2 – 2 / 4  , кривая 3 – 3 / 6  . Рассматривается случай 1 1 1/ 100запE E  . Исходя из представленного графиче- ского материала, можно визуально определить влияние конусности структуры на анти- симметричность распределения величин 3U и 22 по пространственной координате (как частный случай, для цилиндрической оболочки в случае 0  наблюдается сим- метричная картина относительно оси s ). Выводы. Рассмотрены задачи о вынужденных колебаниях дискретно подкрепленных мно- гослойных цилиндрических, сферических и конических оболочек при распределен- ных импульсных нагрузках. Динамическое поведение дискретно подкрепленных обо- лочек рассмотрено в рамках теории оболочек и стержней согласно модели С.П. Ти- мошенко. Для решения поставленных задач использован метод конечных разностей по пространственной и временной координатам. Представлены численные результаты решения задач, дан анализ влияния подкрепляющих ребер на НДС исходных неодно- родных конструкций. Рис. 5 Рис. 6 122 Р Е З Ю М Е . Досліджено вимушені коливання дискретно підкріплених багатошарових цилінд- ричних, сферичних та конічних оболонок під дією нестаціонарних навантажень. Динамічну поведін- ку підкріплених оболонок розглянуто в рамках теорії оболонок та стержнів згідно моделі С.П. Тимошенка. Представлено відповідні постановки та розроблено чисельний алгоритм розв’я- зання задач даного класу. Наведено чисельні приклади динамічної поведінки дискретно підкріплених багатошарових циліндричних, сферичних, конічних оболонок та проведено аналіз отриманих резуль- татів. 1. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Паламарчук В.Г. Динамика ребристых оболочек. – К.: Наук. думка, 1983. – 207 с. 2. Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. Динамика неоднородных оболочек при нестационарных нагрузках / под ред. акад. НАН Украины А.Н. Гузя. – К.: Изд. полиграф. центр «Киевский ун-т», 2012. – 541 с. 3. Колебания ребристых оболочек вращения / Под ред. Амиро И.Я. – К.: Наук. думка, 1988. – 172 с. 4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. – 536с. 5. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656с. 6. Altenbach H. Theories for laminated and sandwich plates: A review // Mechanics of Composite Materials. – 1998. – 34, N3. – P. 243 – 252. 7. Efimtsov B.M., Lazarev L.A. Forced vibrations of plates and cylindrical shellswith regular orthogonal system of stiffeners // J. of Sound and Vibrations. – 2009. – 327, Issues 1 – 2. – P. 41 – 54. 8. Lugovoi P.Z., Meish V.F. Dynamics of Inhomogeneous Shell Systems Under Non-Stationary Loading (Survey) // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 5. – P. 481 – 537. 9. Meish V.F., Maiborodina N.V. Stress State of Discretely Stiffened Ellipsoidal Shells under a Nonstation- ary Normal Load // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 6. – P. 675 – 686. 10. Meish V.F., Meish Yu.A., Pavlyuk A.V. Dynamics of a Three-Layer Elliptic Cylindrical Shell Reinforced with Discrete Rings // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 2. – P. 172 – 179. 11. Noor A.K., Burton W.S. Assessment of Computational Models for Multilayered Composite Shells // Appl. Mech. Rev. – 1990. – 43, N 4. – P. 67 – 97. 12. Pagano N.J. Exact Solutions for Composite Laminates in Cylindrical Bending // J. Composite Materials. – 1969. – 3. – P. 389 – 411. 13. Pagano N.J. Free edge stress fields in composite laminates // Int. J. Solids Struct. – 1978. – 14. – P. 401 – 406. 14. Qatu M.S. Recent Research Advances in the Dynamic Behavior of Shells: 1989 –2000, Part 1: Laminat- ed Composite Shells // Appl. Mech. Rev. – 2002. – 55, N 4. – P. 325 – 350. 15. Qatu M.S., Sullivan R.W., Wang W. Recent Research Advances in the Dynamic Behavior of Composite Shells: 2000 – 2009 // Composite Structures. – 2010. – 93, N 1. – P. 14 – 31. 16. Reddy J.N., Liu C.F. A higher – order shear deformation theory of laminated elastic shells // Int. J. Engng. Sci. – 1985. – 23. – P. 669 – 683. 17. Reddy J.N. On refined computational models of composite laminates // Int. J. for Numerical Methods in Engineering. – 1989. – 27. – P. 361 – 382. Поступила 29.01.2018 Утверждена в печать 05.03.2019

Численный анализ нестационарных колебаний многослойных дискретно подкрепленных оболочек различной геометрии

Репозитарії

Схожі ресурси