Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями
Исследования показали, что получивший распространение в расчетах нестационарных колебаний континуальных систем метод интегральных уравнений Вольтерра может быть успешно реализован и в расчетах таких систем с односторонними дискретными связями. Описанный ранее эффект несимметрии упругой характеристик...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188161 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями / В.П. Ольшанский, В.В. Бурлака, М.В. Слипченко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 5. — С. 135-144. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188161 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ольшанский, В.П. Бурлака, В.В. Слипченко, М.В. 2023-02-14T16:54:17Z 2023-02-14T16:54:17Z 2019 Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями / В.П. Ольшанский, В.В. Бурлака, М.В. Слипченко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 5. — С. 135-144. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188161 Исследования показали, что получивший распространение в расчетах нестационарных колебаний континуальных систем метод интегральных уравнений Вольтерра может быть успешно реализован и в расчетах таких систем с односторонними дискретными связями. Описанный ранее эффект несимметрии упругой характеристики балки, подкрепленной односторонней упругой опорой и нагруженной мгновенным импульсом, в определенных условиях проявляется и при нагружении её импульсом конечной продолжительности во времени. Закон распределения импульса по длине балки оказывает существенное влияние на её прогибы и реакции дискретных упругих опор. Розглянуто імпульсне деформування балки з шарнірно обіпертими кінцями та дискретним підкріпленням в прольоті пружними лінійними опорами. Припущено, що має місце однобічна в'язь (контакт) балки з опорою, коли опора внаслідок відриву від неї балки піддається лише стиску і не піддається розтягу. Визначення сили контактної взаємодії балки зі стиснутою опорою зведено до розв'язання інтегрального рівняння Вольтера, яке проводиться покроковим у часі числовим методом. Розглянуто два варіанти узагальненого розподілу зовнішнього навантаження по довжині балки. Встановлено умови, за яких максимальне переміщення балки над опорою у напрямі дії зовнішнього силового імпульсу менші, ніж амплітуди переміщення балки у протилежному напрямі, при її русі після порушення контакту з опорою. Показано, що така нерівність спостерігається лише при короткочасних імпульсних навантаженнях і властива системам з несиметричною характеристикою пружності.Розглянуто імпульсне деформування балки з шарнірно обіпертими кінцями та дискретним підкріпленням в прольоті пружними лінійними опорами. Припущено, що має місце однобічна в'язь (контакт) балки з опорою, коли опора внаслідок відриву від неї балки піддається лише стиску і не піддається розтягу. Визначення сили контактної взаємодії балки зі стиснутою опорою зведено до розв'язання інтегрального рівняння Вольтера, яке проводиться покроковим у часі числовим методом. Розглянуто два варіанти узагальненого розподілу зовнішнього навантаження по довжині балки. Встановлено умови, за яких максимальне переміщення балки над опорою у напрямі дії зовнішнього силового імпульсу менші, ніж амплітуди переміщення балки у протилежному напрямі, при її русі після порушення контакту з опорою. Показано, що така нерівність спостерігається лише при короткочасних імпульсних навантаженнях і властива системам з несиметричною характеристикою пружності. The pulsed deformation of a beam with hinged ends and discrete stiffening in the span by elastic linear supports is considered. It is assumed that due to separation of the beam from support a one-sided restraint (contact) of the beam with support arises, when the support is subjected to compression only and is not subjected to tension. A determination of the contact force of the beam with a compressed support is reduced to solution of the Volterra integral equation, which is solved numerically using a time-stepping method. Two variants of the generalized distribution of the external load along the length of the beam are considered. The conditions are established under which the maximum beam movement above the support in the direction of the action of the external force pulse is less than the amplitude of the beam movement in the opposite direction, when it moves after breaking the contact with the support. It is shown that such an inequality is observed only for the short-time impulse loads and is characteristic for the systems with asymmetric elasticity characteristics. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями Dynamics of the Pulse Loaded Beam with One-Side Support Constraints Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями |
| spellingShingle |
Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями Ольшанский, В.П. Бурлака, В.В. Слипченко, М.В. |
| title_short |
Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями |
| title_full |
Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями |
| title_fullStr |
Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями |
| title_full_unstemmed |
Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями |
| title_sort |
динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями |
| author |
Ольшанский, В.П. Бурлака, В.В. Слипченко, М.В. |
| author_facet |
Ольшанский, В.П. Бурлака, В.В. Слипченко, М.В. |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Dynamics of the Pulse Loaded Beam with One-Side Support Constraints |
| description |
Исследования показали, что получивший распространение в расчетах нестационарных колебаний континуальных систем метод интегральных уравнений Вольтерра может быть успешно реализован и в расчетах таких систем с односторонними дискретными связями. Описанный ранее эффект несимметрии упругой характеристики балки, подкрепленной односторонней упругой опорой и нагруженной мгновенным импульсом, в определенных условиях проявляется и при нагружении её импульсом конечной продолжительности во времени. Закон распределения импульса по длине балки оказывает существенное влияние на её прогибы и реакции дискретных упругих опор.
Розглянуто імпульсне деформування балки з шарнірно обіпертими кінцями та дискретним підкріпленням в прольоті пружними лінійними опорами. Припущено, що має місце однобічна в'язь (контакт) балки з опорою, коли опора внаслідок відриву від неї балки піддається лише стиску і не піддається розтягу. Визначення сили контактної взаємодії балки зі стиснутою опорою зведено до розв'язання інтегрального рівняння Вольтера, яке проводиться покроковим у часі числовим методом. Розглянуто два варіанти узагальненого розподілу зовнішнього навантаження по довжині балки. Встановлено умови, за яких максимальне переміщення балки над опорою у напрямі дії зовнішнього силового імпульсу менші, ніж амплітуди переміщення балки у протилежному напрямі, при її русі після порушення контакту з опорою. Показано, що така нерівність спостерігається лише при короткочасних імпульсних навантаженнях і властива системам з несиметричною характеристикою пружності.Розглянуто імпульсне деформування балки з шарнірно обіпертими кінцями та дискретним підкріпленням в прольоті пружними лінійними опорами. Припущено, що має місце однобічна в'язь (контакт) балки з опорою, коли опора внаслідок відриву від неї балки піддається лише стиску і не піддається розтягу. Визначення сили контактної взаємодії балки зі стиснутою опорою зведено до розв'язання інтегрального рівняння Вольтера, яке проводиться покроковим у часі числовим методом. Розглянуто два варіанти узагальненого розподілу зовнішнього навантаження по довжині балки. Встановлено умови, за яких максимальне переміщення балки над опорою у напрямі дії зовнішнього силового імпульсу менші, ніж амплітуди переміщення балки у протилежному напрямі, при її русі після порушення контакту з опорою. Показано, що така нерівність спостерігається лише при короткочасних імпульсних навантаженнях і властива системам з несиметричною характеристикою пружності.
The pulsed deformation of a beam with hinged ends and discrete stiffening in the span by elastic linear supports is considered. It is assumed that due to separation of the beam from support a one-sided restraint (contact) of the beam with support arises, when the support is subjected to compression only and is not subjected to tension. A determination of the contact force of the beam with a compressed support is reduced to solution of the Volterra integral equation, which is solved numerically using a time-stepping method. Two variants of the generalized distribution of the external load along the length of the beam are considered. The conditions are established under which the maximum beam movement above the support in the direction of the action of the external force pulse is less than the amplitude of the beam movement in the opposite direction, when it moves after breaking the contact with the support. It is shown that such an inequality is observed only for the short-time impulse loads and is characteristic for the systems with asymmetric elasticity characteristics.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188161 |
| citation_txt |
Динамика импульсно нагруженной балки с односторонними опорными связями / В.П. Ольшанский, В.В. Бурлака, М.В. Слипченко // Прикладная механика. — 2019. — Т.55, № 5. — С. 135-144. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT olʹšanskiivp dinamikaimpulʹsnonagružennoibalkisodnostoronnimiopornymisvâzâmi AT burlakavv dinamikaimpulʹsnonagružennoibalkisodnostoronnimiopornymisvâzâmi AT slipčenkomv dinamikaimpulʹsnonagružennoibalkisodnostoronnimiopornymisvâzâmi AT olʹšanskiivp dynamicsofthepulseloadedbeamwithonesidesupportconstraints AT burlakavv dynamicsofthepulseloadedbeamwithonesidesupportconstraints AT slipčenkomv dynamicsofthepulseloadedbeamwithonesidesupportconstraints |
| first_indexed |
2025-11-25T13:19:41Z |
| last_indexed |
2025-11-25T13:19:41Z |
| _version_ |
1850512958888607744 |
| fulltext |
2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 5
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 5 135
В . П . О л ь ш а н с к и й 1 , В . В . Б у р л а к а 2 , М . В . С л и п ч е н к о 3
ДИНАМИКА ИМПУЛЬСНО НАГРУЖЕННОЙ БАЛКИ С ОДНОСТОРОН-
НИМИ ОПОРНЫМИ СВЯЗЯМИ
Харьковский национальный технический университет
сельского хозяйства имени Петра Василенко
ул. Алчевских, 44, 61002, Харьков, Украина,
e-mail: 1OlshanskiyVP@gmail.com; 2Burlaka2V@ukr.net;3Slipchenko_M@ukr.net
Abstract. The pulsed deformation of a beam with hinged ends and discrete stiffening in
the span by elastic linear supports is considered. It is assumed that due to separation of the
beam from support a one-sided restraint (contact) of the beam with support arises, when the
support is subjected to compression only and is not subjected to tension. A determination of
the contact force of the beam with a compressed support is reduced to solution of the Volter-
ra integral equation, which is solved numerically using a time-stepping method. Two vari-
ants of the generalized distribution of the external load along the length of the beam are con-
sidered. The conditions are established under which the maximum beam movement above
the support in the direction of the action of the external force pulse is less than the amplitude
of the beam movement in the opposite direction, when it moves after breaking the contact
with the support. It is shown that such an inequality is observed only for the short-time im-
pulse loads and is characteristic for the systems with asymmetric elasticity characteristics.
Key words: beam, impulse load, discrete elastic supports, one-sided ties, integral equa-
tions, numerical method.
Введение.
С математической моделью балки на промежуточных упругих опорах связан рас-
чет мостовых перекрытий, многоопорных валопроводов, трубопроводов небольшого
диаметра с относительно длинными пролетами между ложементами и других механи-
ческих систем. Упругие опоры могут выполнять роль ограничителей хода (буферов) в
механизмах с упругими звеньями. Безаварийная эксплуатация таких систем обеспечи-
вается надлежащими расчетами их на жесткость и прочность. Поэтому математичес-
кое моделирование напряженно-деформированного состояния континуальных систем
с дискретными упругими связями относится к актуальным научно-техническим зада-
чам. Так, из-за распространенности в строительстве многопролетных балок, в строи-
тельной механике разработаны специальные упрощенные методы их статического
расчета. Но анализ деформированного состояния таких балок становится значительно
сложнее при учете податливости опор и динамического приложения нагрузки, что
требует привлечения более совершенных методов расчета, представленных в научной
литературе.
1. Краткий анализ публикаций и постановка проблемы.
Динамическое нестационарное деформирование упругих конструкций моделиро-
вали во многих публикациях, часть из которых вошла в обзоры в [6, 9, 11, 15]. В них
рассмотрены нестационарные колебания как однородных [3, 13, 15] так и неоднород-
ных, в частности, слоистых [7, 9 – 12, 13, 14, 16] твердых тел. Определение изменений
во времени неизвестных сил и моментов часто сводили к численному решению инте-
136
гральных уравнений типа Вольтерра на компьютере [4, 10, 13 – 15]. Такой способ
расчета наблюдается и в более современных публикациях [5, 17, 19] при моделирова-
нии импульсного деформирования биморфных тел. Здесь используем упомянутый
способ для анализа динамики балки с односторонними дискретными упругими связя-
ми в пролете, когда в ходе движения происходит нарушение контакта балки с опорой.
Задачи такого типа, но без нарушения контакта, сведением к интегральным уравнени-
ям решали в [3, 13, 14]. Двадцать работ по динамике балок при импульсном нагруже-
нии, выполненных в последнее время, вошли в список литературы в [3]. Часть из них
касается и балок с упругими промежуточными опорами (трёхпролётных и четырёх-
пролётных), но при безотрывном движении их от опор. Двухсторонние опорные связи
используют и зарубежные авторы [18, 20, 21] при моделировании динамики мостовых
конструкций под действием подвижных нагрузок. Механические системы с односто-
ронними связями, в том числе и балки с дискретными промежуточными опорами,
рассмотрены в [2], но там изложен только статический расчет методом квадратичного
программирования. В заключение укажем также статью [8], в которой описана дина-
мика балки, односторонне подкрепленной упругой опорой, при мгновенном импульс-
ном нагружении. Вопросы динамики многопролетных балок с односторонними связями
в условиях действия импульсов конечной продолжительности действия во времени,
пока не освещены в научной литературе, чем и обусловлена цель данной работы.
Целью этой работы является изучение особенностей движения балки, вызванных
односторонними упругими связями в пролете, при кратковременном импульсном
нагружении, с использованием интегральных уравнений и их численным решением.
2. Постановка задачи и ее решение.
Движение балки, которая находится в состоянии покоя до приложения импульс-
ной нагрузки, описываем дифференциальным уравнением:
4 2
14 2
y y
EJ F q x H t H t t
x t
(1)
1
1
1 sign .
2
n
j j j j
j
C Y t Y t x x
Здесь EJ – изгибная жесткость балки; F – ее погонная масса; ,y y x t – попе-
речное перемещение (прогиб) балки; q x – интенсивность распределения нагрузки
по длине балки; 1t – длительность импульса во времени t ; jC – жесткость j -ой опо-
ры на сжатие; ,j jY t y x t , jx – сечения, в которых балка подкреплена промежу-
точными опорами; H t , 1H t t – единичные функции Хевисайда; jx x –
дельта-функции; 0;x l – пространственная координата; l – длина балки; n – ко-
личество промежуточных опор.
Расчетная схема балки показана на рис. 1, где 1,q x t q x H t H t t .
Рис. 1
137
Решение уравнения (1) строим в виде ряда
1
, sinm m
m
y x t f t x
, (2)
где /m m l ; mf t – неизвестные функции.
Подстановкой (2) в (1) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения
2
2
12
2m
m m m
d f
f Q H t H t t
dt Fl
1
1
1 sign sin ,
2
n
j j j m j
j
C Y t Y t x
в которых 2 /m m EJ F ;
0
sin
l
m mQ q x x dx . При нулевых начальных усло-
виях они имеют решения
4
1 0
2
sin sin ,
jun
m m m m j m j j m
jm
f t Q t C x Y u t u du
lEJ
(3)
где
1 1
1 cos
2sin sin
2 2
m
m m
m
t
t t t
t
при
1
1,
t t
t t
*
* *
при
,
j
j
j j
t t u
u
u t u
*ju – значения u , при которых 0jY u .
Решения (3) сохраняют смысл лишь до значения t , при котором начинается по-
вторный контакт балки с опорами, но этого достаточно, чтобы выяснить особенности
движения системы на начальном этапе, без учета рассеяния энергии.
Учитывая (2) и (3), получаем формулу прогибов балки
4
1 1
2 1
, sin
n
m m m j m j
m jm
y x t Q t C x
lEJ
(4)
0
sin sin .
ju
j m mY u t u du x
В ней множитель mQ зависит от закона распределения динамической нагрузки по
длине балки. Рассмотрим для конкретности два варианта обобщенного распределе-
ния, симметричного относительно середины балки.
Первый степенной, на промежутке / 2 ; / 2x l h l h , задаем в виде
2
2
3 / 2 / 2
1 .
1
x lP
q x
hh
(5)
Здесь 2h l – длина участка приложения внешней нагрузки; P – величина мгновен-
но приложенной локально распределенной силы; z – гамма-функция; – показа-
тель степени, причем 1 .
138
В случае 0 имеем равномерное распределение с интенсивностью:
const.
2
P
q x
h
(6)
Для закона (5) интегрированием получаем
1/2
1/2
2 3
sin
2 2m m
m
m
Q P J h
h
, (7)
где 1/2J z – функция Бесселя первого рода.
Из (7) следует, что при 0
sin
sin .
2
m
m
m
h m
Q P
h
(8)
Если 0h , то при 1 , sin ( / 2)mQ P m , что соответствует действию сосредо-
точенного импульса в сечении / 2x l .
В случае 1 выражение (5) описывает действие на балку двух сил величиной
0,5P , сосредоточенных в сечениях 0,5x l h .
Второй вариант распределения тригонометрический. На промежутке [ / 2 ;x l h
/ 2 ]l h оно имеет вид
1 2
1 / 2
cos
1 22
2
x l
q x P
hh
. (9)
При 0 (9) переходит в равномерное распределение (6).
Для распределения (9) интегрированием получаем
2 1
2 2
sin sin ,
2 21
2
m
P m
Q
(10)
причем 2 / 2 /mmh l h .
Из (10), при 0 , следует формула (8). Для ее получения учитываем, что [1]
1
2 2 2
.
Если 0h , то 0 и предельный переход в (10) дает
sin
2m
m
Q P
.
При этом следует принять во внимание зависимость [1]
1
sin
z z
z
и задать / 2z .
139
Следовательно, при вычислении ,y x t по формуле (4) можно использовать вы-
ражения (8) и (10). При 1 0 они описывают сингулярные, а при 0 – регу-
лярные распределения нагрузки по длине балки. Локальные сингулярные распределе-
ния возникают при передаче внешней нагрузки на балку через жесткую накладку
(штамп) или через жёсткую перекрёстную балку. Итак, выражения (5) и (9) позволяют
рассматривать широкий класс внешних воздействий на балку, от локально распреде-
ленных до сосредоточенных. Но в (4) остаются еще неизвестными перемещения над
опорами jY t . Для их определения зададим в (4) sx x , 1,2,...,s n . В результате
получаем систему из n интегральных уравнений
4
1
2 1
s m m m
m m
Y t Q t
lEJ
1 0
sin sin sin .
jun
j m j j m m s
j
C x Y u t u du x
(11)
Ее приходится решать численными методами на компьютере как это делали в [4,
6], используя пошаговую во времени ступенчатую или кусочно-линейную аппрокси-
мации jY t .
3. Числовые результаты.
Сначала получаем их для балки, подкрепленной в середине пролета одной упру-
гой опорой. В этом случае вместо (11) имеем лишь одно интегральное уравнение
1
1 1 14
1,3,... 0
2 1
sin sin .
2
u
m m m m
m m
m
Y t Q t C Y u t u du
lEJ
(12)
Предположим, что импульс равномерно распределен по всей длине балки
0; 2h l . Тогда в (12) 2(2 / )sin ( / 2)mQ P m m .
Использованием ступенчатой аппроксимации выражение (12) сводим к рекур-
рентному соотношению
2
1
1 2 2
1,3,... 1,3,...
sin / 24 4
1 sin
2
m m
s
m mm m
sC P m
Y
Fl Fl m
1* /
1
1
12
1,3,... 1
1
sin / 24 1
sin cos
2
s u
s
m
m r m
m rm
s
C
s Y r
Fl
(13)
1* /
1
1
1
1
1
cos sin , 1, 2, ..., ,
2
s u
s
m r m
r
s
s Y r s K
в котором /t K ; K – количество участков на промежутке 0; t ; 1rY – постоянное
значение 1Y t на r -ом участке; вычисления сумм по r начинается, когда 2s и их
целесообразно накапливать в ходе расчета. При 1*s u суммы по r фиксируются и
остаются постоянными для больших s .
140
Задавая последовательно 1, 2, ... ,s K , с помощью (13), получаем дискретное
множество 11 12 1 1 1, , ... , ,KY Y Y Y K Y t , причем находим перемещения балки в
сечении / 2x l и при отсутствии ее контакта с опорой.
Для проведения расчетов задаем: 61,2 10EJ Паꞏм4; 13,7F кг/м; (двутавр
№ 14); 6l м и разные значения жесткости опоры 1C , силы P и длительности им-
пульса 1t .
Вычисленные частичные суммы M первоначальных членов в рядах по m в (13), при
6
1 10C Н/м; 39 10P Н; 1 0,02t с; 4000K для перемещений сечения балки над
опорой записано в табл. 1 (значения 1( )Y t в зависимости от M ). Наблюдается доста-
точно быстрая сходимость рядов по m .
Таблица 1
210 ,t с
1M 5M 10M 50M
Значения 3
110 ,Y t м
1,5 8,456 8,271 8,269 8,268
2,5 4,281 4,863 4,866 4,867
3,5 –10,489 –10,450 –10,448 –10,447
4,5 –18,865 –19,649 –19,653 –19,653
5,5 –15,488 –16,575 –16,583 –16,583
О влиянии количества участков K на результаты расчета перемещений балки
предоставлена информация в табл. 2 (значения 1Y t в зависимости от K ).
Таблица 2
210 ,t с
500K 2000K 4000K 6000K
Значения 3
110 ,Y t м
1 5,137 5,139 5,140 5,140
2 8,685 8,697 8,699 8,700
3 –2,780 –2,810 –2,815 –2,817
4 –16,068 –16,187 –16,206 –16,213
5 –19,331 –19,489 –19,514 –19,522
6 –10,598 –10,678 –10,691 –10,695
Как видим, с увеличением времени t
целесообразно увеличивать и количество
участков K , чтобы не понизилась точ-
ность расчета.
На рис. 2 показаны графики переме-
щений середины балки во времени при
различных значениях жесткости опоры.
Цифрами 1, 2, 3 обозначены результаты,
полученные, соответственно, при 1 0C ,
5
1 10C Н/м, 6
1 10C Н/м. Продолжитель-
ность действия силы 39 10P Н составля-
ла 1 0,02t с. При наличии опоры ампли-
туды перемещений балки вниз, куда дей-
ствовала сила, оказались меньше, чем пе-
ремещение балки вверх, в результате от-
рыва ее от опоры. Этот динамический эф-
Рис. 2
141
фект присущ системам с несимметричной
характеристикой упругости [8], где он
проявлялся при действии мгновенного
импульса. Здесь имеем его и для импульса
конечной длительности.
На рис. 3 показаны графики 1( )Y t , по-
лученные при 5
1 10C Н/м; 36 10P Н и
различной продолжительности действия
импульса. Графикам, обозначенным циф-
рами 1, 2, 3 соответствуют 1 0,02t с;
1 0,05t с; 1 0,08t с. С увеличением вре-
мени 1t амплитуды перемещений балки вниз становятся больше амплитуды переме-
щений балки вверх, т.е. перестает проявляться эффект несимметрии упругой характе-
ристики.
Рассмотрим далее деформирование балки с двумя одинаковыми опорами
1 2C C , которые разделяют пролет на три равные части 1 2 1/ 3, 2x l x x . Для
вычисления перемещений над опорами имеем систему из двух интегральных уравне-
ний в (11). Но, учитывая симметрию системы, при равномерном распределении
внешней нагрузки по длине балки, в итоге приходим к одному интегральному урав-
нению:
1 2 14
1,3,5
2 1 2
sin sin
3 3m m m
m m
m m
Y t Y t Q t C
lEJ
(14)
1
1
0
sin sin ,
3
u
m
m
Y u t u du
в котором 2 /mQ P m , а в ряду по m равны нулю члены, где m кратное трем, по-
тому что для таких m sin ( / 3) 0m .
При числовом решении уравнения (14) оно тоже сводится к рекуррентному соот-
ношению, аналогичному (13).
Результаты такого решения записаны в табл. 3 (значения 1 2( ) ( )Y t Y t при различ-
ных 1C и t ). Они получены для: 61,2 10EJ Паꞏм4; 13,7F кг/м; 6l м;
39 10P Н; 1 0,02t с и различных значений 1C . Силу P считали равномерно рас-
пределенной по длине балки.
Таблица 3
100 ,t с
1 0С 4
1 10С Н/м 5
1 10С Н/м 6
1 10С Н/м
Значения 3
110 ,Y t м
1 5,709 5,691 5,530 4,126
2 19,281 19,035 16,929 4,331
3 26,559 25,600 17,973 –4,808
4 17,297 15,391 2,154 –11,816
5 –2,752 –4,920 –16,530 –11,470
6 –21,098 –22,235 –24,927 –3,989
7 –26,286 –25,683 –17,782 –
8 –15,087 –13,120 – –
Рис. 3
142
Наращивание жесткости опор приводит к уменьшению прогибов балки и увели-
чению частоты колебаний. Вследствие отрыва балки от опор амплитуды перемещений
балки вниз меньше, чем амплитуды перемещений вверх, что наблюдалось и для одной
опоры в пролете.
Используя изложенную теорию, в дополнение к табл. 3, проведем расчет переме-
щения балки над одной из опор при различных распределениях силового импульса по
длине балки. В расчетах сохраним прежние геометрические и жёсткостные характе-
ристики балки, места расположения двух опор, а также значения P и 1t . Из заданных
ранее значений жёсткостей опор выбираем 5
1 2 10С С Н/м. Рассмотрим далее че-
тыре распределения q x .
1. Первое синусоидальное по всей длине балки
sin
2
P x
q x
l l
.
Оно вытекает из (9), когда 1 , 0,5h l . Ему, согласно (10), соответствует
/ 4
0m
P
Q
при
1;
1.
m
m
Вычисленные при этом распределении значения прогибов балки над опорой
11Y t записаны во второй столбец табл. 4.
2. Второе равномерное, но сила P распределена не по всей длине балки, а только
на ее участке между опорами. В этом случае выражения
3
const
P
q x
l
;
6
sin sin
6 2m
P m m
Q
m
;
2
;
3 3
l l
x
легко получить из (5), (7) или (9), (10), задав 0 , / 6h l . Вычисленные в этом
случае значения прогибов 12Y t записаны в третий столбец табл. 4.
3. Третье распределение задаем в виде двух сил величиной 0,5P , сосредоточен-
ных над опорами. Оно описывается выражением
2
0,5
3 3
l l
q x P x x
,
в котором z – дельта-функция или формулой (5) при 1 , / 6h l . Ему соот-
ветствует интеграл
cos sin
6 2m
m m
Q P
,
который можно получить из (7) предельным переходом 1 , положив / 6h l .
Это распределение приводит к тем значениям прогибов 13Y t , что находятся в чет-
вертом столбце табл. 4.
4. В пятом столбце табл. 4 записаны 14Y t , полученные при действии на балку
импульса, сосредоточенного в её центре.
В этом случае:
2
l
q x P x
; sin
2m
m
Q P
.
143
Выражение mQ можно получить как прямым интегрированием q x , по длине
балки, так и предельным переходом 0h , 1 в (7) или (10).
Таблица 4
100 t , с 3
1110 ,мY t 3
1210 ,мY t 3
1310 ,мY t 3
1410 ,мY t
1 6,825 8,294 7,572 8,645
2 20,894 25,393 23,111 26,526
3 22,176 26,960 24,425 28,259
4 2,645 3,232 2,839 3,459
5 –20,399 –24,795 –22,488 –25,978
6 –30,735 –37,391 –33,802 –39,235
7 –21,923 –26,673 –24,089 –28,001
Сопоставляя значения прогибов, приходим к заключению, что из рассмотренных
распределений импульса наиболее опасен вариант сосредоточения его в центре балки.
Ему соответствуют наибольшие прогибы и реакции опор.
Выводы.
Исследования показали, что получивший распространение в расчетах нестацио-
нарных колебаний континуальных систем метод интегральных уравнений Вольтерра
может быть успешно реализован и в расчетах таких систем с односторонними дис-
кретными связями. Описанный ранее эффект несимметрии упругой характеристики
балки, подкрепленной односторонней упругой опорой и нагруженной мгновенным
импульсом, в определенных условиях проявляется и при нагружении её импульсом
конечной продолжительности во времени. Закон распределения импульса по длине
балки оказывает существенное влияние на её прогибы и реакции дискретных упругих
опор.
Р Е З Ю М Е . Розглянуто імпульсне деформування балки з шарнірно обіпертими кінцями та
дискретним підкріпленням в прольоті пружними лінійними опорами. Припускається, що має місце
однобічна в’язь (контакт) балки з опорою, коли опора внаслідок відриву від неї балки піддається
лише стиску і не піддається розтягу. Визначення сили контактної взаємодії балки зі стиснутою опо-
рою зведено до розв’язання інтегрального рівняння Вольтера, яке проводиться покроковим у часі
числовим методом. Розглянуто два варіанти узагальненого розподілу зовнішнього навантаження по
довжині балки. Встановлено умови, за яких максимальне переміщення балки над опорою у напрямі
дії зовнішнього силового імпульсу менші, ніж амплітуди переміщення балки у протилежному напря-
мі, при її русі після порушення контакту з опорою. Показано, що така нерівність спостерігається
лише при короткочасних імпульсних навантаженнях і властива системам з несиметричною характе-
ристикою пружності.
1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям (с формулами, графиками и
математическими таблицами). – М.: Наука, 1979. – 832 с.
2. Аверин А.Н., Пузаков А.Ю. Расчет систем с односторонними связями // Строительная механика и
конструкции. Воронеж: Воронежский ГАСУ. – 2015. – № 1 (10). – С. 15 – 32.
3. Воропай А.В. Интегральные уравнения Вольтерра в некорректных задачах нестационарного де-
формирования пластин: монография. – Харьков: Лидер, 2018. – 214 с.
4. Голоскоков Е.Г., Ольшанский В.П. Упругий удар по трехслойной плите при наличии сосредоточен-
ных масс и нелинейных опор. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1972. – № 3. –
С. 111 – 116.
5. Кубенко В.Д., Янчевский И.В. Нестационарные неосесиметричные колебания цилиндрической обо-
лочки металл – пьезокерамика. // Методи розв’язування прикладних задач механіки деформівно-
го твердого тіла. – 2011. – Вип. 12. – С. 188 – 196.
6. Луговой П.З. Динамика оболочечных конструкций при импульсных нагрузках (обзор). // Прикл.
механика. – 1990. – 28, № 8. – С. 3 – 20.
144
7. Луговой П.З., Мейш В.Ф., Штанцель Э.Ф. Нестационарная динамика оболочечных конструкций. –
К.: Киевский университет, 2005. – 536 с.
8. Ольшанський В.П., Ольшанський С.В. Деформування імпульсом балки, однобічно підкріпленої пруж-
ною опорою. // Механіка та машинобудування. – 2018. – № 1. – С. 37 – 46.
9. Ольшанский В.П., Тищенко Л.Н., Ольшанский С.В. Колебания стержней и пластин при механи-
ческом ударе. – Харьков: Міськдрук, 2012. – 320 с.
10. Ольшанский В.П., Филиппов А.П. Колебания трёхслойной балки-полосы при ударе // Прикл. меха
ника. – 1970. – 6, № 12. – С. 92 – 96.
11. Сметанкина Н.В. Нестационарное деформирование, термоупругость и оптимизация многослой-
ных пластин и цилиндрических оболочек. – Харьков: Міськдрук, 2011. – 376 с.
12. Старовойтов Э.И., Яровая А.В., Леоненко Д.В. Локальные и импульсные нагружения трёхслой-
ных элементов конструкций. – Гомель: Бел.ГУТ. – 2003. – 367 с.
13. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. – М.: Машиностроение, 1970. – 734 с.
14. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Янютин Е.Г. Деформирование элементов конструкций под дей-
ствием ударных и импульсных нагрузок. – К.: Наук. думка, 1978. – 183 с.
15. Янютин Е.Г., Янчевский И.В., Воропай А.В. и др. Задачи импульсного деформирования элементов
конструкций. – Харьков: ХНАДУ, 2004. – 392 с.
16. Abrate S. Impact on composite structures. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. – 306 p.
17. Babaev A.E., Babaev A.A., Yancevskii I.V. Active Damping of the Nonstationary Flexural Vibrations of
Bimoph Beam // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 7. – P. 303 – 314.
18. Chan T., Ashbo D. Moving axle load from multi-span continuous bridge: laboratory study // J. of Vibra-
tion and Acoustics. – 2006. – 128. – P. 521 – 527.
19. Kubenko V.D., Yancevskii I.V. Vibrations of a Nonclosed Two-Layer Spherical Electroelastic Shell under
Impulsive Electromechanical Loading // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 806 – 811.
20. Pi Y., Ouyang H. Lyapunov-based boundary control of a multi-span beam subjected to moving masses //
J. of vibration and control. – 2015. – P. 1 – 14.
21. Sniady P., Zakes F. Drgania wieloprzeslowych ciaglych belek pryzmatycznych wywolane sila ruchoma
// J. of Civil Engineering, Environment and Architecture. – 2014. – 61 (2/14). – P. 185 – 195.
Поступила 20.09.2018 Утверждена в печать 04.06.2019
|