R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии
The combined usage of R-functions, iterative, structural, and variational methods for solving the direct and inverse non-linear heat transfer problems is proposed. Indeterminate components of the approximate analytical solutions of the heat transfer problems are determined by iterative methods with...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1882 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии / А.П. Слесаренко, Н.А. Сафонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 94–99. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859685552675094528 |
|---|---|
| author | Слесаренко, А.П. Сафонов, Н.А. |
| author_facet | Слесаренко, А.П. Сафонов, Н.А. |
| citation_txt | R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии / А.П. Слесаренко, Н.А. Сафонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 94–99. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The combined usage of R-functions, iterative, structural, and variational methods for solving the direct and inverse non-linear heat transfer problems is proposed. Indeterminate components of the approximate analytical solutions of the heat transfer problems are determined by iterative methods with solving the corresponding system of algebraic equations. The results of solving the direct and inverse non-linear heat transfer problems are presented. The results of solving the latter are compared with those for a test problem.
|
| first_indexed | 2025-11-30T22:15:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2007
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 536.24
© 2007
А.П. Слесаренко, Н. А. Сафонов
R-функции, вариационно-структурный и итерационные
методы в идентификации и математическом
моделировании нелинейных процессов
теплопроводности в областях с источниками энергии
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Г. Стояном)
The combined usage of R-functions, iterative, structural, and variational methods for solving
the direct and inverse non-linear heat transfer problems is proposed. Indeterminate components
of the approximate analytical solutions of the heat transfer problems are determined by iterative
methods with solving the corresponding system of algebraic equations. The results of solving the
direct and inverse non-linear heat transfer problems are presented. The results of solving the
latter are compared with those for a test problem.
При применении аналитических методов к решению прямых и обратных линейных и нели-
нейных задач теплопроводности, механики, электродинамики и др. для областей сложной
формы возникали математические трудности принципиального характера. Это объясня-
лось тем, что необходимо было решить проблему построения приближенных аналитичес-
ких структур решения этих задач таким образом, чтобы они точно удовлетворяли задан-
ным граничным условиям задачи и обладали свойствами универсальности относительно
изменения геометрических параметров области и теплофизических параметров граничных
условий. Актуальность решения этой проблемы заключалась в том, что приближенные ана-
литические решения выполняют роль качественно новых эмпирических формул, которые
моделируют большой объем дискретной информации при проведении вычислительного или
физического эксперимента.
Проблему точного учета информации о геометрии области при решении краевых задач
математической физики приближенными аналитическими методами удалось эффективно
решить с помощью R-функций [1] академиком НАН Украины В.Л. Рвачевым. С использо-
ванием R-функций впервые точно решена обратная задача аналитической геометрии для
областей любой заданной сложной формы. После этого наступил период успешного разви-
тия приближенных аналитических методов (метод R-функций, вариационно-структурный
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Рис. 1. Пластина с локальным источником энергии
метод, регионально-структурный метод) [2–11] и их эффективного применения к решению
краевых задач теплофизики, механики, магнитной гидродинамики, электродинамики и др.
В данной работе, посвященной памяти академика НАН Украины В. Л. Рвачева, предла-
гается совместное применение метода прямых [12], итерационного [13] и вариационно-струк-
турного [2–8] методов для решения обратной нелинейной нестационарной задачи теплопро-
водности:
∂T
∂Fo
= ∆T − BiT + F (T ) в Ω, (1)
∂T
∂ν
= 0 на Γ0; T = 0 на Γ1; −
∂T
∂ν
= Bi2T на Γ2, (2)
T = T0 в Ω при Fo = 0, (3)
T = T ∗(tk, xm, ym), (xm, ym) ∈ Ω, (4)
где F (T ) = γeβT , (x, y) ∈ Ωi, в области неканонической формы с источником энергии
(рис. 1); Bi = αL2/λd — число Био; α — коэффициент теплоотдачи с поверхности плас-
тины; L — характерный размер пластины; T (x, y, Fo) — температура; t — время; Γ =
= Γ0
⋃
Γ1
⋃
Γ2 — граница области; λ — коэффициент теплопроводности.
Представим первую производную по времени в уравнении (1) посредством приближен-
ного конечно-разностного выражения:
∂T
∂Fo
≈
T l+1
− T l
∆Fo
.
В результате этого дифференциальное уравнение теплопроводности (1) в точках сетки по
временной переменной
ωFo =
{
Fol : Fol+1 = Fol + ∆Fo, l = 0, nτ − 1, ∆Fo =
τ
nτ
, nτ ∈ N
}
примет вид
T l+1
− T l
∆Fo
= ∆T l+1
− BiT l+1 + F (T l+1).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 95
Аппроксимируем функцию мощности источника энергии в виде следующей двойной суммы:
F (T l+1) = γl+1e
βl+1T l+1
≈
ni
∑
p+q=0
al+1
p,q Pp(x)Pq(y),
где al+1
p,q — постоянные неопределенные коэффициенты; Pp(x), Pq(y) — полиномы Чебышева,
нормированные относительно области их определения Ωi.
Нестационарная краевая задача теплопроводности (1)–(3) для каждого момента времени
Fol+1 представляется в виде стационарных краевых задач
−∆T l+1 +
(
Bi +
1
∆Fo
)
T l+1 =
ni
∑
p+q=0
al+1
p,q Pp(x)Pq(y) +
1
∆Fo
T l в Ω, (5)
T l+1 = 0 на Γ1; −
∂T l+1
∂ν
= Bi2T
l+1 на Γ2;
∂T l+1
∂ν
= 0 на Γ0, (6)
l = 0, 1, 2, . . ., T 0 = T0 в Ω. Представим решение краевых задач теплопроводности в виде
суммы двух решений: T l+1 = T
l+1
+
ni
∑
p+q=0
al+1
p,q T l+1
p,q , тогда, следуя принципу суперпозиции,
функция температуры T
l+1
будет решением следующей стационарной краевой задачи теп-
лопроводности для моментов времени Fol+1:
−∆T
l+1
+
(
Bi +
1
∆Fo
)
T
l+1
=
1
∆Fo
T
l
в Ω, (7)
T
l+1
= 0 на Γ1; −
∂T
l+1
∂ν
= Bi2T
l+1
на Γ2;
∂T
l+1
∂ν
= 0 на Γ0, (8)
l = 0, 1, 2, . . ., T
0
= T0 в Ω. Аналитические структуры решения, построенные с использова-
нием R-функций, точно удовлетворяющие граничным условиям (2) задачи (1)–(4), имеют
вид
T = (T0ω
−2
0 + T1ω
−1
1 + T2ω
−2
2 )(ω−2
0 + ω−1
1 + ω−2
2 )−1 =
n
∑
i,j=0
Cijχij(x, y), (9)
где
T1 = ω1Φ =
n
∑
i,j=0
Cijχ
(1)
ij (x, y), T0 = Φ − ω0D
(0)
1 Φ =
n
∑
i,j=0
Cijχ
(0)
ij (x, y),
T0 = Φ − ω2D
(2)
1 Φ + ω2Bi2Φ =
n
∑
i,j=0
Cijχ
(2)
ij (x, y), Φ =
n
∑
i,j=0
Cijϕij ,
ϕij = Pi(x)Pj(y), Pk(z), k = i, j — полиномы Чебышева, ω0 = x+y−
√
x2+y2,
ω1 = 2d − x − y +
√
(d − x)2 + (d − y)2, ω2 = 2 − x − y +
√
(1 − x)2 + (1 − y)2,
D
(k)
1 =
∂
∂x
∂ωk
∂x
+
∂
∂y
∂ωk
∂y
, k = 0, 2, χij(x, y) =
χ
(0)
ij ω−2
0 + χ
(1)
ij ω−1
1 + χ
(2)
ij ω−2
2
ω−2
0 + ω−1
1 + ω−2
2
.
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
Краевую задачу теплопроводности (7), (8) сведем к проблеме минимума квадратичного
функционала
I
l+1
=
∫
Ω
[
(
∇T
l+1)2
+
(
Bi +
1
∆Fo
)
(
T
l+1)2
− 2
1
∆Fo
T
l
T
l+1
]
dΩ +
∫
Γ2
Bi2
(
T
l+1)2
dΓ2
при условии, что T
l+1
= 0 на Γ1. Для определения неизвестных коэффициентов C
l+1
i,j по-
лучим
n
∑
i,j
C
l+1
i,j
{
∫
Ω
[
∇χij∇χks +
(
Bi +
1
∆Fo
)
χijχks
]
dΩ +
∫
Γ2
Bi2χijχksdΓ2
}
=
=
∫
Ω
1
∆Fo
T lχksdΓ2, k, s = 0, n.
Функция T l+1
p,q является решением краевой задачи теплопроводности:
−∆T l+1
p,q +
(
Bi +
1
∆Fo
)
T l+1
p,q = Pp(x)Pq(y) в Ω, (10)
T l+1
p,q = 0 на Γ1; −
∂T l+1
p,q
∂ν
= Bi2T
l+1
p,q на Γ2;
∂T l+1
p,q
∂ν
= 0 на Γ0, p, q = 0, ni (11)
и выбирается в виде структуры решения (9). Краевая задача (10), (11) эквивалентна про-
блеме минимума квадратичного функционала
I l+1 =
∫
Ω
[
(∇T l+1
p,q )2 +
(
Bi +
1
∆Fo
)
(T l+1
p,q )2 − 2Pp(x)Pq(y)T l+1
p,q
]
dΩ +
∫
Γ2
Bi2(T
l+1
p,q )2dΓ2
при условии, что T l+1
p,q = 0 на Γ1. Для определения неизвестных коэффициентов C l+1
pq,ij по-
лучаем
n
∑
i,j
C l+1
pq,ij
{
∫
Ω
[
∇χij∇χks +
(
Bi +
1
∆Fo
)
χijχks
]
dΩ +
∫
Γ2
Bi2χijχksdΓ2
}
=
=
∫
Ω
Pp(x)Pq(y)χksdΓ2, k, s = 0, n.
В результате решения краевых задач теплопроводности (7), (8); (10), (11) на последо-
вательных временных шагах Fol+1 сетки ωFo получены функции температур T
l+1
, T l+1
p,q , p,
q = 0, ni, учитывающих соответственно начальное условие (3) задачи (1)–(4) для каждого
момента времени (источник энергии T
l
/∆Fo) в уравнении (7) и составляющую источника
энергии в уравнении (9) Pp(x)Pq(y), p, q = 0, ni. Используя точечный метод наименьших ква-
дратов для учета данных теплофизического эксперимента (4), получим систему линейных
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 97
Таблица 1. Идентификация параметров γ и β функции мощности источника энергии во времени
t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
γ 9,999 9,966 9,980 9,991 9,997 10,999 10,001 10,002 10,002 10,002
β −0,499 −0,464 −0,481 −0,493 −0,499 −0,502 −0,504 −0,504 −0,504 −0,504
алгебраических уравнений, из решения которой находим коэффициенты аппроксимации
al+1
pq для функции мощности источника энергии:
ni
∑
p+q=0
al+1
pq
M
∑
m=1
T l+1
pq (xm, ym)T l+1
rs (xm, ym) =
=
M
∑
m=1
[T ∗l+1(xm, ym) − T
l+1
(xm, ym)]T l+1
rs (xm, ym), r, s = 0, ni.
Полученные коэффициенты al+1
pq , p, q = 0, ni дают возможность перейти к определению
параметров γl+1, βl+1 функции мощности источника энергии на каждом шаге по временной
переменной. Пусть в задаче (1)–(4) F (T l+1) = γl+1e
βl+1T l+1
, тогда ln F (T l+1) = ln γl+1 +
+ βl+1T
l+1. Для нахождения параметров ln γl+1 и βl+1 используем метод наименьших ква-
дратов в интегральной форме:
∫
Ωi
[
ln F (T l+1) − ln γl+1 − βl+1T
l+1
]2
dΩi = 0. При этом для
определения параметров ln γl+1 и βl+1 получим
ln γl+1
∫
Ωi
dΩi + βl+1
∫
Ωi
T l+1dΩi =
∫
Ωi
ln F (T l+1)dΩi,
ln γl+1
∫
Ωi
T l+1dΩi + βl+1
∫
Ωi
(T l+1)2dΩi =
∫
Ωi
T l+1 ln F (T l+1)dΩi,
l = 0, 1, 2, . . . .
При проведении вычислительного эксперимента для функции источника энергии в за-
даче (1)–(4) в виде F (T ) = 10,0e−0,5T была решена прямая задача с целью определения
данных вычислительного эксперимента для температуры в точках (xm, ym) в условии (4).
При решении обратной задачи (1)–(4) выбирались 4, 8, 12 точек, в которых температура
для каждого из моментов времени Fol+1 определялась из решения прямой нелинейной не-
стационарной задачи теплопроводности (1)–(3). Результаты вычислительного эксперимента
при решении обратной задачи теплопроводности (1)–(4) приведены в табл. 1 при исполь-
зовании данных теплофизического эксперимента в восьми точках. Использование данных
теплофизического эксперимента в четырех точках приводит к рассогласованию результатов
с точными значениями для параметров γ и β в пределах, не превышающих 1%.
Предложенный в работе подход к идентификации параметров функции, характеризу-
ющей мощность источника энергии, по данным теплофизического эксперимента позволяет
уточнять математические модели тепловых процессов в двумерных системах с источника-
ми энергии. К данным системам относятся платы электронных устройств, приборные пане-
ли космических аппаратов и др. Это позволяет значительно повысить степень адекватно-
сти моделирования тепловых процессов по отношению к реально протекающим в системах
с источниками энергии.
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №1
1. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. – Киев: Наук. думка, 1982. – 552 с.
2. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. –
Киев: Наук. думка, 1976. – 288 с.
3. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. –
Киев: Наук. думка, 1978. – 140 с.
4. Стоян Ю.Г., Проценко В. С., Шейко Т.И. и др. Теория R-функций и актуальные проблемы прикла-
дной математики. – Киев: Наук. думка, 1986. – 264 с.
5. Стоян Ю.Г., Путятин В.П. Размещение источников физических полей. – Киев: Наук. думка, 1981. –
184 с.
6. Рвачев В.Л., Проценко В.С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. –
Киев: Наук. думка, 1977. – 235 с.
7. Рвачев В.Л., Синекоп Н.С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. – Киев:
Наук. думка, 1990. – 212 с.
8. Рвачев В.Л., Курпа Л.В. R-функции в задачах теории пластин. – Киев: Наук. думка, 1987. – 176 с.
9. Слесаренко А.П., Меша Ю.В. Математическое моделирование температурных полей в многослойном
анизотропном теле сложного сечения // Доп. НАН України. – 2003. – № 5. – С. 82–85.
10. Слесаренко А.П., Котульский Д.А. Регионально-аналитическое моделирование конвективного те-
плообмена с учетом взаимного влияния стенок трубы и движущейся жидкости // Там же. – № 4. –
С. 77–82.
11. Слесаренко А.П., Сафонов Н.А., Зарубин С.А. R-функции, структурный и проекционные методы в
математическом моделировании нелинейных тепловых процессов в областях неканонической формы
с источниками энергии // Там же. – 2005. – № 3. – С. 78–82.
12. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. –
Москва: Мир, 1969. – 368 с.
13. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со мно-
гими неизвестными. – Москва: Мир, 1975. – 558 с.
Поступило в редакцию 03.07.2006Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №1 99
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1882 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T22:15:25Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слесаренко, А.П. Сафонов, Н.А. 2008-09-03T13:04:48Z 2008-09-03T13:04:48Z 2007 R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии / А.П. Слесаренко, Н.А. Сафонов // Доп. НАН України. — 2007. — N 1. — С. 94–99. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1882 536.24 The combined usage of R-functions, iterative, structural, and variational methods for solving the direct and inverse non-linear heat transfer problems is proposed. Indeterminate components of the approximate analytical solutions of the heat transfer problems are determined by iterative methods with solving the corresponding system of algebraic equations. The results of solving the direct and inverse non-linear heat transfer problems are presented. The results of solving the latter are compared with those for a test problem. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Теплофізика R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии Article published earlier |
| spellingShingle | R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии Слесаренко, А.П. Сафонов, Н.А. Теплофізика |
| title | R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии |
| title_full | R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии |
| title_fullStr | R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии |
| title_full_unstemmed | R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии |
| title_short | R-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии |
| title_sort | r-функции, вариационно-структурный и итерационные методы в идентификации и математическом моделировании нелинейных процессов теплопроводности в областях с источниками энергии |
| topic | Теплофізика |
| topic_facet | Теплофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1882 |
| work_keys_str_mv | AT slesarenkoap rfunkciivariacionnostrukturnyiiiteracionnyemetodyvidentifikaciiimatematičeskommodelirovaniinelineinyhprocessovteploprovodnostivoblastâhsistočnikamiénergii AT safonovna rfunkciivariacionnostrukturnyiiiteracionnyemetodyvidentifikaciiimatematičeskommodelirovaniinelineinyhprocessovteploprovodnostivoblastâhsistočnikamiénergii |