К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках

В данной работе рассмотрены вопросы постановки динамических задач поведения составных конструкций (уравнения колебаний с соответствующими граничными и начальными условиями), построение численных алгоритмов, решение соответствующих задач математической физики. Проведен анализ полученных числовых резу...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Прикладная механика
Date:	2020
Main Authors:	Луговой, П.З., Мейш, В.Ф., Мейш, Ю.А., Орленко, С.П.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188213
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках / П,З. Луговой, В.Ф. Мейш, Ю.А. Мейш, С.П. Орленко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 32-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860211452320677888
author	Луговой, П.З. Мейш, В.Ф. Мейш, Ю.А. Орленко, С.П.
author_facet	Луговой, П.З. Мейш, В.Ф. Мейш, Ю.А. Орленко, С.П.
citation_txt	К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках / П,З. Луговой, В.Ф. Мейш, Ю.А. Мейш, С.П. Орленко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 32-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Прикладная механика
description	В данной работе рассмотрены вопросы постановки динамических задач поведения составных конструкций (уравнения колебаний с соответствующими граничными и начальными условиями), построение численных алгоритмов, решение соответствующих задач математической физики. Проведен анализ полученных числовых результатов. Выполнено комплексное расчетно-экспериментальное исследование динамического поведения обтекателя, представляющего собой составную оболочку полусфера – цилиндр, при действии на него плоской ударной волны. Розроблено методику розв'язання динамічних задач поведінки складених оболонкових конструкцій (розв'язання рівнянь коливань з відповідними граничними і початковими умовами). Використано конструктивно-ортотропну модель тришарової оболонкової структури з чарункуватим заповнювачем, для якої інтегральні значення модулів пружності і коефіцієнтів Пуансона визначаються з експерименту. Побудовано чисельні алгоритми, розв'язано відповідні задачі математичної теорії пружності. Проаналізовано отримані числові результати. A technique is developed for solving the dynamic problems of the behavior of compound shell structures (solving the oscillation equations with the corresponding boundary and initial conditions). The constructive – orthotropic model of a three – layer shell structure with a cellular filler is used, for which the integral values of the elastic modulus and Poisson's coefficients are determined according to the experimental data. The numerical algorithms are constructed, and the corresponding problems of mathematical theory of elasticity are solved. The obtained numerical results are analyzed.
first_indexed	2025-12-07T18:15:02Z
format	Article
fulltext	2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 1 32 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 1 П . З . Л у г о в о й , В . Ф . М е й ш , Ю . А . М е й ш , С . П . О р л е н к о К РАСЧЕТУ ДИНАМИКИ СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ВРАЩЕНИЯ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НАГРУЗКАХ Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул.Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e – mail: plugovyy@inmech.kiev.ua Abstract. A technique is developed for solving the dynamic problems of the behavior of compound shell structures (solving the oscillation equations with the corresponding boundary and initial conditions). The constructive – orthotropic model of a three – layer shell structure with a cellular filler is used, for which the integral values of the elastic modulus and Poisson's coefficients are determined according to the experimental data. The numerical algorithms are constructed, and the corresponding problems of mathematical the- ory of elasticity are solved. The obtained numerical results are analyzed. Key words: compound shell structures, technique of solving the dynamic problems, numerical algorithms, numerical results. Введение. Оболочки простейших канонических форм при динамических нагрузках, подда- ющиеся исследованию традиционными методами математической физики и числен- ного анализа, исследованы сравнительно подробно [10 – 16]. Однако, в последнее время, создание прогрессивных технологий, объектов специального назначения и т.д. часто приводит к необходимости разработки конструктивных оболочечных элементов с усложненной геометрической структурой. Вопросы динамического поведения таких оболочек изучены недостаточно. Сложность формы оболочки может быть обусловлена образованием поверхности оболочек в виде комбинации нескольких простых поверхностей (составные оболоч- ки). Часто это связано с функциональным назначением тонкостенной конструкции. В частности, в авиастроении и космической технике: оболочки корпусов самолетов или элементов корпусов ракет. При этом указанные элементы поддаются динамическим нагрузкам различного вида, в том числе нестационарным нагрузкам. В данной работе рассмотрены вопросы постановки динамических задач поведе- ния составных конструкций (уравнения колебаний с соответствующими граничными и начальными условиями), построение численных алгоритмов, решение соответст- вующих задач математической физики. Проведен анализ полученных числовых ре- зультатов. Выполнено комплексное расчетно-экспериментальное исследование дина- мического поведения обтекателя, представляющего собой составную оболочку полу- сфера – цилиндр, при действии на него плоской ударной волны. Особенно ответ- ственный характер приобретают экспериментальные исследования по определению предельных нагрузок, при которых испытуемые объекты разрушаются или принима- ют качественные изменения. Отсюда следует актуальность разработки данной рас- четно-экспериментальной методики. Также рассмотрена задача динамического пове- дения цилиндрической оболочки с деформируемой перегородкой (круглая пластина) при импульсном нагружении. 33 §1. Постановка задачи. Моделирование динамического поведения составного обтекателя при действии ударных волн. Необходимым этапом проектирования современных конструкций является мате- матическое моделирование на ПК их поведения в штатных и аварийных режимах ра- боты. Полученные знания позволяют более целенаправленно осуществлять физиче- ское моделирование и ставить натурные эксперименты. Импульсные нагрузки явля- ются определяющими при расчете поведения конструкций. Оценка таких нагрузок является исключительно важной, ибо она в значительной мере определяет точность окончательного решения задачи. Применение сложного математического аппарата для описания динамического поведения конструкции не дает желаемого результата, если внешние силы определены недостаточно точно. Известно, что нагрузка, воспринимаемая поверхностью конструкции при падении на нее волны, складывается из трех составляющих: давления в падающей волне, дав- ления в волне, отраженной от объекта как от твердого тела, и давления, излучаемого самой конструкцией в процессе перемещения и деформирования под действием удар- ной волны. В [1 – 3, 5, 7 – 9] показано, что процесс формирования нагрузки на по- верхности деформируемого объекта при падении волн с давлением 50,5 10 ПаР   можно определить, используя геометрически подобную модель и измеряя при этом дифракционное давление дР (сумма давлений в падающей волне и в волне, отражен- ной от объекта как от твердого тела). Дифракционный процесс исследовался на жесткой модели типа цилиндр- полусфера, повторяющей геометрию натурного обтекателя. Модель изготавливалась на токарном станке из дюралюминия (радиус цилиндрической и сферической частей составлял 35 мм). Модель крепилась на торце длинного стального цилиндра, ось ко- торого проходила параллельно направлению распространения волны в канале удар- ной трубы прямоугольного сечения 210 140 мм 5, 8. Установка давала возмож- ность получать ударные волны с крутым фронтом и давлением до 1105 Па и длитель- ностью 810-3 с. Регистрация нагрузок на поверхности модели проводилась миниатюрными пьезо- датчиками 1, лицевая сторона которых устанавливалась заподлицо с поверхностью модели. Точки, в которых проводилась регистрация нагрузок, указаны на рис.1. При этом точка 1 имела угловую координату 0;  точка 2 – / 6;  точка 3 – / 4;  точка 4 – / 3;  точка 5 – / 2.  Точка 6 на цилиндрической поверхности от- стояла от основания модели на расстоянии, равном 5 мм. В каждом опыте измерялась скорость фронта падающей ударной волны с погрешностью, не превышающей 1%, что приводило к ошибкам рассчитанных давлений не более  2% 5. Общая ошибка измерения дифракционного давления не превышала  7%. Измерения проводились при падении на модель ударных волн со скачком давления во фронте Р от 0,1105 до 0,4105 Па. Численные значения фронтальных величин без- размерного дифракционного давления д /Р Р в точках 1 – 6 модели для трех случаев падения волн с амплитудами 0,1105; 0,2105 и 0,4105Па приведены в табл. 1. Таблица 1 №№ точек 1 2 3 4 5 6 -510 ПаР  д /Р Р 0,1 2,1 1,8 1,7 1,5 1,4 1,0 0,2 2,2 1,9 1,8 1,5 1,5 1,1 0,4 2,3 2,1 2,0 1,7 1,6 1,2 На рис. 1 схематически показаны эпюры нагрузок, которые испытывала поверх- ность модели в различные моменты времени для случая 50,2 10 Па.Р   Около каж- 34 дой эпюры указано безразмерное время ( ) ,t c R где  – время от начала со- прикосновения фронта волны с моделью в секундах; c – скорость звука в воздухе; R – радиус сферической и цилиндриче- ской частей модели. По нормали к по- верхности модели отложено отношение д / ,Р Р причем единичное значение ука- занного отношения выбрано равным ра- диусу модели. Общая длительность не- установившейся фазы формирования нагрузки примерно равна времени, за ко- торое волна проходила линейный размер модели ( 2),t  после чего наступало одинаковое по величине всестороннее сжатие, равное давлению Р за фронтом ступенчатой ударной волны. Уравнения колебаний обтекателя. Исходя из полученных экспериментальных данных по определению параметров дифракционной картины на жесткой модели ци- линдр – полусфера проведено математическое моделирование динамики составного обтекателя. Обтекатель рассматривался как трехслойная составная конструкция, ко- торая состояла из полусферического купола, жестко соединенного с цилиндрическим отсеком того же радиуса. Элементы указанной структуры подвергались действию распределенной ударной нагрузки. Предполагается, что напряженно-деформирован- ное состояние исходной упругой оболочечной структуры может быть определено в рамках геометрически нелинейного варианта теории тонких оболочек типа Тимошен- ко в квадратичном приближении – уравнения [2] 2 2 1 132 11 22 1 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ; A u A T T k T I A A t            1 2 3 132 1 11 2 22 3 1 2 1 2 1 1 ( ) ( , ) ; u A T k T k T P t I A A t             (1.1) 2 2 1 2 11 22 13 2 2 1 2 1 1 1 ( ) , A A M M T I A A t              где         1311 11 11 21 22 22 22 22 12 11 13 11 1 2 13 13 13 11 11 11 21 22 22 22 22 12 11 ; ; ; ; ; ; T B T B T T T T B k M D M D                          (1.2) 21 2 11 1 1 3 22 1 2 3 13 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 11 22 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 11 22 13 13 12 21 12 21 3 3 1 2 11 22 1 2 12 21 12 21 1 1 1 ; ; ; 2 1 1 1 ; ; ; ; ; ; 1 1 ; ; ; 12(1 ) 12(1 ) u A k u u k u A A A u A k u A A A A E h E h B B B G h E h E h D D I h I                                                        3 . 12 h (1.3) Рис. 1 35 В приведенных уравнениях величины 1, t – пространственная и временная коор- динаты; 1 2 1 2, , ,A A k k – параметры срединной поверхности оболочки, которые отвеча- ют за геометрическую форму частей обтекателя; 1 3 1, ,u u  – компоненты обобщенного вектора перемещений срединной поверхности оболочки; 11 22 13 11 22, , , ,T T T M M – инте- гральные характеристики напряжений, которые возникают в оболочке; 1 2,I I – приве- денные инерционные жесткостные параметры; h – толщина оболочки;  – плотность материала оболочки; 1 2 12 13 12 21, , , , ,E E G G   – физико-механические параметры мате- рила оболочки; 3 1( , )P t – нагрузка, которая формируется на поверхности обтекателя. Уравнения движения составной оболочечной конструкции (1.1) – (1.3) дополняются соответствующими граничными условиями. Начальные условия при 0t  нулевые. Отметим, что здесь используется конструктивно-ортотропная модель трехслой- ной оболочечной структуры с ячеистым заполнителем, для которой интегральные значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона определяются согласно экс- периментальным данным. §2. Численный алгоритм решения задачи. Математическое моделирование напряженно–деформированного состояния обте- кателя при нестационарных нагружениях проводилось численными методами. Для решения приведенных уравнений использовался интегро-интерполяционный метод построения конечно-разностных схем по пространственной координате 1 и явная схема интегрирования по временной координате t – разностные уравнения [2]. При численных расчетах оболочных структур, которые состоят из оболочечных элементов разной геометрии (сфера – цилиндр, конус – цилиндр, и т.д.) по линиям контактов указанных элементов возникают особенности. Для устранения особенно- стей в точках изменения геометрии оболочечных элементов используется специаль- ный алгоритм. Предположим, что js – точка жесткого соединения оболочных эле- ментов разной геометрии по координате .s Выделим переходной элемент соединения оболочечных элементов разной геометрии 1/2 1/2 ,j js s s   и запишем для него сле- дующие условия: 1 1 ;u u  3 3 ;u u  1 1 ;   (2.1) 22 31 13 1311 11 1 1 11 2 22 3 12 2 2 1 11 11 13 2 2 ; ; , j j j j j uu T T I s T T k T k T P s I s t t M M T I s t                          (2.2) где 11 11 1 21 2 3( ) ;j j jT B s k k u   13 13 1;jT B s  22 22 2 12 1 3( ) ,j j jT B s k k u   а величины 11T  , 13T  , 11M  – компоненты обобщенного вектора усилий, которые дей- ствуют на переходной элемент 1/2 1/2j js s s   слева (верхний индекс минус) и справа (верхний индекс плюс). Для обоснования достоверности и точности предлагаемой численной методики было проведено сопоставление численных результатов согласно уравнений (1.1) – (2.2) с известными экспериментальными данными [7] по динамическому деформиро- ванию замкнутых стальных составных оболочек полусфера – цилиндр при внутрен- нем взрыве заряда сферической формы. Для определения профиля давления, дей- ствующего на внутреннюю поверхность конструкции, использовалась эмпирическая зависимость для величины давления, возникающего от взрыва сферического заряда взрывчатого вещества (ВВ) 36 3 3 , при ; ( , ) 0, при ; mQ x t x Q P x t x t Q           28(3 1) / [25( 1)]     . В выше приведенной формуле m – масса сферического заряда ВВ; Q – теплотвор- ная способность ВВ; x – расстояние от центра заряда до внутренней поверхности конструкции;  – показатель адиабаты в уравнении состояния ВВ. Параметры рассматриваемой конструкции полагались следующие: 04L R ; 02cL R ; 2 0 21,3 10R   м; 0/ 0,047h R  ; 1,327m  кг, где 0R – внутренний радиус цилиндрической и сферической частей конструкции; L – общая длина конструкции; cL – длина цилиндрической части конструкции. При расчетах в уравнениях (1.1) – (2.2) полагалось 1 1A  ; 2A R ; 1 0k  ; 2 1 /k R для цилиндрической части и 1A R ; 2 1sinA R  ; 1 2 1 /k k R  для сферической части. Сравнительный анализ теоретичеc- ких и экспериментальных значений приведен в табл. 2, где 1t – интервал времени от начала радиального смещения стенок рассматриваемой конструкции до достижения ими максимальной скорости в сечении 02s R ; 22 – соответствующее этому момен- ту времени значение окружной деформации; 2t – время соответствующее достиже- нию прогибом 3u максимального значения; T – период радиальных колебаний. Реги- страция деформаций 22 во времени центральном поперечном сечении составной оболочки в эксперименте [7] проводилась методом фоторегистрации и тензометриро- вания. Значительная разница в величине 2t объясняется тем, что в численных расче- тах максимум прогиба достигается во втором полупериоде колебаний, а в экспери- менте – в третьем полупериоде. Таблица 2 Данные для сравнения 1t , мкс 22 2t , мкс T , мкс Эксперимент [7] 40 0,015 300 240 Численный расчет (1.1) – (2.2) 42 0,018 190 245 Использование явной конечно-разностной схемы интегрирования по координате t позволяет детально анализировать характеристики напряженно-деформированного состояния обтекателя в любой момент времени на исследуемом временном интервале. §3. Исследование динамического поведения обтекателя. Рассматриваемый обтекатель представляет собой трехслойную структуру, которая состоит из двух обшивок толщиной 1,310-3м и 0,8510-3м и расположенным между ними ячеистым заполнителем при общей толщине 1110-3м. Расчет по определению напряженно-деформированного состояния обтекателя согласно уравнений (1.1) – (2.2) при действии плоской ударной волны согласно экспериментальных данных, которые приведены в §1, были проведены при следующих геометрических и физико-меха- нических параметрах: 1,425R  м; 0,89L  м;  =1,7103кг/м3; 96 10 Па;E   0,3  , где L – длина цилиндрической части обтекателя. Интегральные физико-механические характеристики обтекателя брались согласно паспортных данных изделия. При расче- тах сферической части обтекателя в уравнениях полагалось 1 2 1 1; sin ;A R A R k   2 1 /k R  , где 1 – угол между осью вращения и нормалью в текущей точке; для ци- линдрической части обтекателя полагалось 1 21; ;A A R  1 20; 1/k k R  . Нагрузка 3 1( , )P t задавалась согласно экспериментальным данным, которые приведены в на- 37 чале параграфа при 50,2 10 Па.P   Рас- чет проводился на временном интервале 0 10t T  , где /T R c , с – скорость звука в воздухе. При расчетах полагалось 340c  м/с. При численных расчетах ана- лизировались величины прогиба 3u , по- перечной деформации 22 и поперечного напряжения 22 по времени и по длине обтекателя на интервале 0 10t T  . Как показали расчеты, максимальные величи- ны 22 и 22 наблюдаются в области по- люса полусферической оболочки и цилин- дрической оболочки в области / 2x L . В частности, на рис. 2 и рис. 3 приведены зависимости величины напряжения 22 в области цилиндрической оболочки / 2x L и области полюса сферической части кон- струкции, соответственно, для временно- го интервала 0 10t T  . Из приведенных расчетов можно отметить, что максималь- ная величина деформаций 22 порядка 310 , а максимальные значения напряжений 22 не превышают величин порядка 610 Па. На рис. 4 приведены зависимости ве- личины прогиба 3u по центральному се- чению обтекателя во времена 3t T (кривая 1) и 6t T (кривая 2), которые соответствуют достижению максималь- ных значений величины 3u . Качественная картина распределения максимальных величин 3u аналогична величинам 22 , 22 – максимумы наблюдаются в области полюса и в области / 2x L цилиндриче- ской части обтекателя. Максимальный прогиб 3u не превышает значения поряд- ка 0,2h . Следует отметить, что сравне- ние результатов по приведенным уравне- ниям в линейной постановке и геометри- чески нелинейной постановке отличаются в ряде точек по максимальным величинам до 20 – 25% (нелинейной теории соответ- ствуют большие величины). Таким образом, в данном исследовании, исходя из экспериментального определе- ния вида дифракционной нагрузки, проведено математическое моделирование дина- мического поведения обтекателя. Следует отметить, что математическое моделирова- ние динамики обтекателя при набегании на него ударной волны с 50,2 10 ПаP   показало, что максимальные перемещения в самых опасных точках обтекателя (полюс полусферы и середина цилиндрической оболочки) не превышают 0,2h , а деформации – 310  . Анализ проведенных исследований показывает, что обтекатель сохраняет Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 38 свою работоспособность после воздействия на него в направлении оси ударной волны амплитудой до 50,2 10 Па.P   Представленная методика может быть использована при проектировании объектов сложной геометрии, устойчивых к действию ударных волн. §4. Динамическое поведение цилиндрической оболочки деформируемыми перегородками при импульсных нагрузках. Постановка задачи. Рассмотрим цилиндрическую оболочку с плоскими упруги- ми перегородками. Перегородка представляет собой круглую пластину, прикреплен- ную перпендикулярно к внутренней поверхности оболочки. Предполагаются условия жесткого контакта пластина – оболочка. Математической моделью процесса нестационарного деформирования рассматри- ваемой конструкции является гиперболическая система нелинейных дифференциаль- ных уравнений теории оболочек и пластин типа Тимошенко. При построении матема- тической модели уравнений движения составной конструкции использовался упро- щенный вариант геометрически нелинейной теории оболочек и пластин согласно В.В. Новожилова [2]. Уравнения движения изотропной тонкостенной цилиндрической оболочки в слу- чае осесимметричного нагружения имеют вид 2 11 1 2 ; T u h x t      2 13 322 2 T uT h x R t       ; (4.1) 23 11 1 13 212 M h T x t       , (4.2) где 21 11 1 32 1 ( ) ; 21 uEh T u x R          23 3 22 12 1 ( ) ; 21 u uEh T x R              2 13 1 1( );T Gk h    3 1 11 2 ; 12(1 ) Eh M x       3 1 . u x     В соотношениях (4.1) – (4.2) h – толщина оболочки;  – плотность материала; ,E  – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; G – модуль сдвига; 1u , 3u , 1 – ком- поненты вектора перемещений срединной поверхности оболочки; 11T , 22T , 11M , 13T – усилия и моменты срединной поверхности оболочки; 2k – коэффициент сдвига. Уравнения движения круглой пластины в полярных координатах записываются следующим образом: 2 1 11 22 2 1 1 ( ) ; p p p p u rT T h r r r t       (4.3)   2 3 13 11 1 22 2 1 1 ( ) ; p p p p p u rT rT T h r r r r t          23 1 11 22 13 2 1 1 ( ) ( ) 12 pp p p p h rM M T r r r t        . Выражения для усилий и моментов круглой пластины представлены формулами 2 21 1 1 11 1 1 22 12 2 3 3 1 1 1 1 11 222 2 2 13 1 1 1 1 ( ) ; ( ) ; 2 21 1 ( ) ( ) ; ; 12(1 ) 12(1 ) ( ). p p pp p p p p p p p pp p p p p p p u u uEh Eh T u T r r r r E h E h M M r r r r T Gk h                                                          (4.4) 39 В соотношениях (4.3), (4.4) ph – толщина пластины; 1 pu , 3 pu , 1 p – компоненты вектора перемещений срединной поверхности пластины; 11 pT , 22 pT , 11 pM , 22 pM , 13 pT – усилия и моменты в пластине. В дальнейшем рассматривается конструкция, у которой левый торец цилиндриче- ской оболочки ( 0)x  подвергается нагружению, а правый торец ( )x L жестко за- щемлен. Граничные условия в этом случае для оболочки запишутся в виде: для 0x  11 1( );T P t 13 2 ( );T P t 11 0;M  13 13 11 1;T T T   (4.5) для x L 1 3 1 0,u u    (4.6) где 1( )P t , 2 ( )P t – усилия, прилагаемые к свободному торцу цилиндрической оболочки. Для пластины в качестве граничных усилий используются условия стыковки, ко- торые более подробно будут рассмотрены при построении числового алгоритма. В центре пластины должны выполняться условия 1 10; 0;u   2 13 3 2 2 . p pT u h r t      (4.7) Уравнения движения, описывающие нестационарное поведение конструкции, до- полняются начальными условиями при 0t  1 3 1 0;u u    31 1 0; uu t t t         1 3 1 0;p p pu u    31 1 0. pp puu t t t         (4.8) Построение численного алгоритма. В основу построения числового алгоритма положена конечноразностная аппроксимация исходных дифференциальных уравне- ний (4.1) – (4.8) по пространственным и временной координатам. Определяется реше- ние на гладких частях и «склеива- ется» на линиях разрыва. В рас- сматриваемой задаче линиями раз- рыва являются точки пересечения срединной поверхности цилиндри- ческой оболочки со срединной по- верхностью пластины. Проводится дискретизация об- ласти изменения переменных x , r таким образом, чтобы координаты точек пересечения срединных по- верхностей оболочка – пластина попадали в целые точки сеточной области. Выделяется переходной элемент стыковки цилиндрическая оболочка – пластина (рис. 5) и за- писываются для него соответству- ющие уравнения колебаний 2 1 11 1/2 11 1/2 13 1/2 1 2 2 2 22 1/2 22 1/2 3 13 1/2 13 1/2 11 1/2 1 2 2 11 1/2 11 1/2 13 1/2 13 1/2 ( ) ; ( ) ( ) ; 2 ( ) 2 n n pn i i m p p n n pni i i i m n n n n i i i i u T T Q F F t T T x u T T T F F R t x M M T T R                                   (4.9) Рис. 5 40 23 3 11 1/ 2 11 1/2 2 ( ) , 4 12 12 2 p pn pn i m m r h h r M T x t                где 1 ;F x h   2 ; 2 pr F h   13 13 1 11;T T T  3 13 13 11 , p p p pu T T T r     где x , r – шаги дискретизации по пространственным переменным. Компонентами искомого вектора решения системы уравнений (4.9) являются гра- ничные условия для уравнений движения пластины (4.7) с учетом пространственной конфигурации. Разностная схема для уравнений (4.1) – (4.3) на гладкой части решения запишем в виде , , , , 1 11 1/2 11, 1/2 22, 1/2 22, 1/2 1 1 ( ) ( ) ( ); 2 p p n p n p n p n j j j r j j j j h u r T T T r r        (4.10) 3 3 1, , , 3 11 1/2 13, 1/2 1/2 11, 1/2 1 1 ( ) ( ) ;j jp p n p n p n j j j r j j j j r u u h u r T r T r r r              , , , , , , 1 11 11, 1/2 22, 1/2 22, 1/2 13, 1/2 13, 1/2 ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ); 12 2 2 p p n p n p n p n p n p n j j j r j j j j j j h u r M M M T T r r           2 13, 1/2 3 1, 1 1, 1 ( ) ( ) ; 2 n n n n j i x i iT Gk h u          (4.11) , , , 2 , , 11, 1/2 1 3 12 1 ( ) ( ) ( ) ; 1 2 2 p p n p n p n p n p n j j r j r j j j Eh T u u u u r               , , , 2 , , 22, 1/2 1 3 1 1 12 1 (( ) ( ) ) ( ) ; 1 2 2 p p n p n p n p n p n j j r j r j j j Eh T u u u u r               , , , , 11, 1/2 1 1, 1 1,2 ( ) ( ) ; 212(1 ) p p n p n p n p n j j r j j j Eh M r                , 2 , , , 13, 1/2 3, 1, 1 1, 1 ( ) ( ) . 2 p n p p n p n p n j j r j jQ Gk h u          В соотношениях (4.10), (4.11) введены обозначения разностных производных со- гласно работе [6]. Аналогичным образом аппроксимируются граничные и начальные условия (4.5) – (4.8). Разностные соотношения (4.10), (4.11) позволяют получать дискретное решение системы уравнений (4.1) – (4.4) со вторым порядком точности по пространственным и временной координатам. Уравнения (4.9) – (4.11) позволяют сохранить разностный аналог закона сохранения полной механической энергии системы. При исследовании вопросов устойчивости линеаризованных разностных уравнений (4.9) – (4.11) вос- пользуемся необходимым условием устойчивости [2, 4], согласно которому 2 / ,t   (4.12) где 1 2max( , )   , 1 , 2 – максимальные частоты собственных колебаний дис- кретных систем соответственно для цилиндрической оболочки и пластины; t – шаг дискретизации по временной координате. 41 Значения для 1 и 2 имеют следующий вид: 1/222 2 2 2 2 213 13 1 11 2 2 11 11 1/222 2 2 2 2 213 13 2 11 2 2 11 11 2 1 (1 ) 3 3(1 ) 3 ; 2 3 3(1 ) 3(1 ) 3 , 2 p p c k c kx x c x c h c h c k c kr x c r c h c h                                         (4.13) где 2 11 2 ; (1 ) E c     2 13 G c   . Числовые результаты. Для обоснования достоверности точности предлагаемой численной методики проведено сопоставление численных результатов согласно урав- нений (4.9) – (4.11) с экспериментальными данными работы [7], где исследовалось поведение замкнутых стальных цилиндрических оболочек с плоскими днищами при взрыве внутри сферического заряда ВВ. Параметры рассматриваемой конструкции сле- дующие: 215, 25 10 мR   ; 0/ 0,0025h R  ; 044L R ; 00,164 ;ph R 3245 10 кг ,m   где 0R – внутренний радиус оболочки; m – масса заряда ВВ. При задании профиля давления 3( , )P x t , действующего на внутреннюю поверхность оболочки, использова- лась эмпирическая зависимость для величины давления, возникающего от взрыва сферического заряда ВВ, согласно материалам предыдущего параграфа. Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных значений приведен в табл. 3, где 1t – интервал времени от начала смещения стенок рассматриваемой обо- лочки до достижения ими максимальной скорости в сечении 022 ;x R 22 – соответ- ствующее этому моменту времени значение окружной деформации; 2t – время, соот- ветствующее достижению прогибом максимального значения; cT – период собствен- ных радиальных колебаний рассматриваемой конструкции. Таблица 3 Значение 1t , мкс 22 2t , мкс cT , мкс Эксперимент 40 0,009 200 250 Теоретический расчет 50 0,010 165 210 В качестве числового примера рассматривается реакция составной изотропной конструкции при осесимметричном нагружении со следующими физико-механи- ческими и геометрическими параметрами 107 10 Па;E   0,3;  3 32,7 10 кг/м ;   210 м;h  / 50;R h  / 2;L R  35 10 м;ph   1 2 ( ) 1 cos t P t t        при ;t T 1( ) 0P t  при ;t T 2 ( ) 0P t  при t T , 11 . 4 L T c  Граничные условия – (4.7), (4.8). Пластина стыкуется с цилиндрической оболоч- кой в точке 0,5 .x L 42 На рис. 6 – 8 представлены зависимо- сти 11 , 22 , 3u от пространственной ко- ординаты x . Кривые 1 – 4 соответствуют конфигурациям величин 11 , 22 , 3u в моменты времени 11/ , 1, 4jt jL c j  . Как показали вычисления, пластина практически не оказывает влияния на распределение продольных волн напря- жения (рис. 6). Четко проявляется влия- ние деформируемой пластины на величи- ны 22 , 3u в цилиндрической оболочке. Кривые 1 – 4 на рис. 7, 8 позволяют про- следить отражение поперечных волн напряжения и волн прогиба от места сты- ковки цилиндрическая оболочка – дефор- мируемая пластина. Уменьшение значе- ний напряжений 22 и прогиба 3u в месте стыковки (значение 22 уменьшается в 2,5-3 раза по сравнению со значениями в оболочке без пластины) ведет к увеличе- нию градиента напряжений 22 в облас- ти, близлежащей к месту стыковки. На- блюдается эффект квазизапирания волн погиба в части цилиндрической оболочки при 0,5 x L  . Выводы. В данной статье создана комплексная методика расчета динамики составных обо- лочечных конструкций вращения при не- стационарных нагрузках. Методика вклю- чает: постановку задач теории оболочек вращения, численный метод решения за- дач, графическую обработку полученных результатов. Для задачи динамического поведения обтекателя полусфера – ци- линдрическая оболочка выполнено комп- лексное рассчетно-экспериментальное ис- следование поведения обтекателя при дей- ствии на него плоской ударной волны. Важной особенностью являются экспери- ментальные исследования по определе- нию плоской ударной волны. Постановка задач теории оболочек вращения основана на применении уравнений колебаний обо- лочек на базе уточненной модели С.П. Тимошенко. Для численного решения динами- ческих задач применен конечно-разностный подход, основанный на применении ин- тегро-интерполяционного метода построения конечно-разностных схем по простран- ственной координате и явной аппроксимации по временной координате. Проведены теоретические исследования устойчивости приведенных конечно-разностных схем. Рассмотрены задачи моделирования динамического поведения составного обтека- теля при действии ударных волн и динамического поведения цилиндрической обо- лочки с деформируемой перегородкой при импульсной нагрузке. При математиче- ском моделировании динамики обтекателя показано, что максимальное перемещение в самых опасных точках обтекателя (полюс полусферы и середина цилиндрической Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 43 оболочки) не превышает 0,2h , а деформации – 310  . Анализ проведенных иссле- дований показывает, что обтекатель сохраняет свою работоспособность после воздей- ствия на него ударной волны в направлении оси давлением до 50,2 10 Па.P   При рассмотрении задачи динамического поведения цилиндрической оболочки с дефор- мируемой перегородкой показано, что перегородка практически не оказывает влияния на распределение продольных волн напряжения 11 при продольном ударе. Четко проявляется влияние деформируемой пластины на величины 22 и 3u в цилиндриче- ской оболочке. Полученные результаты позволяют проследить эффект отражения по- перечных волн напряжения 22 и волн прогиба 3u от места стыковки цилиндрическая оболочка – деформируемая пластина. Значение 22 уменьшается в 2,5-3 раза по срав- нению со значениями оболочки без пластины. Наблюдается эффект квазизапирания волн прогиба в части цилиндрической оболочки при 0,5L x L  . Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы- полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ- лений научных исследований» (КПКВК 6541230). РЕЗЮМЕ. Розроблено методику розв'язання динамічних задач поведінки складених оболонко- вих конструкцій (розв’язання рівнянь коливань з відповідними граничними і початковими умовами). Використано конструктивно-ортотропну модель тришарової оболонкової структури з чарункуватим заповнювачем, для якої інтегральні значення модулів пружності і коефіцієнтів Пуансона визначають- ся з експерименту. Побудовано чисельні алгоритми, розв’язано відповідні задачі математичної теорії пружності. Проаналізовано отримані числові результати. 1. А.с. №1059456 (СССР). Датчик импульсных давлений / И.И.Аникьев, М.И.Михайлова, А.С. Спи- совский, Е.А. Сущенко. – Опубл. в Б.И., 1983, №45.-С.181. 2. Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. Динамика неоднородных оболочек при нестационарных нагрузках / Под ред. акад. НАН Украины А.Н. Гузя. – К.: Изд.-полиграф. центр «Киевский ун-т», 2012. – 541 с. 3. Луговой П.З., Михайлова М.И., Мейш В.Ф., Малашенков С.П., Аникьев И.И., Сущенко Е.А. Взаимо- действие ударных волн с объектами сложной геометрии // Проблемы прочности. – 2003. – № 6. – С. 56 – 66. 4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. – 536 с. 5. Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т.; Т.3. Прикладные исследо- вания / Под общ. ред. А.Н. Гузя. – К.: Наук.думка, 1983. – 264 с. 6. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с. 7. Цыпкин В.И., Иванов А.Г., Минеев В.И., Шитов А.Н. Влияние масштаба, геометрии и заполняющей среды на прочность стальных сосудов при внутреннем импульсном нагружении // Атомная энер- гия. – 1976. – 41, № 5. – С. 303 – 308. 8. Экспериментальные исследования тонкостенных конструкций / Под ред. А.Н.Гузя и В.А. Заруцко- го. – К.: Наук. думка, 1984. – 240 с. 9. Anik’ev I. I., Mikhailova M. I., Sushchenko E.A. Dynamic Loading of Cylindrical and Spherical Bodies Interacting with a Shock Wave // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, N 12 – Р. 1405 – 1410. 10. Banerjee J.R., Cheung C. W., Morishima R., Perera M., Njuguna J. Free vibration of a three – layered sandwich beam using the dynamic stiffness method and experiment // Int. J. of Solids Struct. – 2007. – 44, N 22. – P. 7543 – 7563. 11. Lugovoi P.Z., Skosarenko Yu. V., Orlenko S.P., Shugailo A.P. Application of the Spline-Collocation Method to Solve Problems of Statics and Dynamics for Multilayer Cylindrical Shells with Design and Manufacturing Features // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 5. – Р. 524 – 533. 12. Lugovoi P.Z., Shugailo A.P., Kruglyi Ya.D., Kolupaev A.M. Effect of Sludge on the Stress–Strain State of Heat-Exchange Tubes of a Steam Generator // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 1. – Р. 86 – 94. 13. Meish V.F., MeishA Yu.A., Arnauta N.V Numerical Analysis of Nonstationary Vibrations of Discretely Reinforced Multilayer Shells of Different Geometry // Int. Appl. Mech. – 2019. –55, N 4. – Р. 426 – 433. 14. Meish V.F., MeishA Yu.A., Pavlyuk А.V. Dynamics of a Three-Layer Elliptic Cylindrical Shell Rein- forced with Discrete Rings // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 2. – Р. 172 – 179. 15. Qatu M.S. Vibration of Laminated Shells and Plates. – New York: Academic Press, 2004. – 426 p. 16. Qatu M.S., Asadi E., Wang W. Review of Recent Literature on Static Analyses of Composite Shells: 2000 – 2010 // Open J. of Composite Materials. – 2012. – 2, N 3. – P. 61 – 86. Поступила 19.11.2018 Утверждена в печать 05.11.2019
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188213
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0032-8243
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:15:02Z
publishDate	2020
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
record_format	dspace
spelling	Луговой, П.З. Мейш, В.Ф. Мейш, Ю.А. Орленко, С.П. 2023-02-16T17:11:30Z 2023-02-16T17:11:30Z 2020 К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках / П,З. Луговой, В.Ф. Мейш, Ю.А. Мейш, С.П. Орленко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 32-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188213 В данной работе рассмотрены вопросы постановки динамических задач поведения составных конструкций (уравнения колебаний с соответствующими граничными и начальными условиями), построение численных алгоритмов, решение соответствующих задач математической физики. Проведен анализ полученных числовых результатов. Выполнено комплексное расчетно-экспериментальное исследование динамического поведения обтекателя, представляющего собой составную оболочку полусфера – цилиндр, при действии на него плоской ударной волны. Розроблено методику розв'язання динамічних задач поведінки складених оболонкових конструкцій (розв'язання рівнянь коливань з відповідними граничними і початковими умовами). Використано конструктивно-ортотропну модель тришарової оболонкової структури з чарункуватим заповнювачем, для якої інтегральні значення модулів пружності і коефіцієнтів Пуансона визначаються з експерименту. Побудовано чисельні алгоритми, розв'язано відповідні задачі математичної теорії пружності. Проаналізовано отримані числові результати. A technique is developed for solving the dynamic problems of the behavior of compound shell structures (solving the oscillation equations with the corresponding boundary and initial conditions). The constructive – orthotropic model of a three – layer shell structure with a cellular filler is used, for which the integral values of the elastic modulus and Poisson's coefficients are determined according to the experimental data. The numerical algorithms are constructed, and the corresponding problems of mathematical theory of elasticity are solved. The obtained numerical results are analyzed. Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, выполнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направлений научных исследований» (КПКВК 6541230). ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках To Analysis of Dynamics of Compound Shell Constructions of Revolution under Non-stationary Loads Article published earlier
spellingShingle	К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках Луговой, П.З. Мейш, В.Ф. Мейш, Ю.А. Орленко, С.П.
title	К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках
title_alt	To Analysis of Dynamics of Compound Shell Constructions of Revolution under Non-stationary Loads
title_full	К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках
title_fullStr	К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках
title_full_unstemmed	К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках
title_short	К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках
title_sort	к расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188213
work_keys_str_mv	AT lugovoipz krasčetudinamikisostavnyhoboločečnyhkonstrukciivraŝeniâprinestacionarnyhnagruzkah AT meišvf krasčetudinamikisostavnyhoboločečnyhkonstrukciivraŝeniâprinestacionarnyhnagruzkah AT meišûa krasčetudinamikisostavnyhoboločečnyhkonstrukciivraŝeniâprinestacionarnyhnagruzkah AT orlenkosp krasčetudinamikisostavnyhoboločečnyhkonstrukciivraŝeniâprinestacionarnyhnagruzkah AT lugovoipz toanalysisofdynamicsofcompoundshellconstructionsofrevolutionundernonstationaryloads AT meišvf toanalysisofdynamicsofcompoundshellconstructionsofrevolutionundernonstationaryloads AT meišûa toanalysisofdynamicsofcompoundshellconstructionsofrevolutionundernonstationaryloads AT orlenkosp toanalysisofdynamicsofcompoundshellconstructionsofrevolutionundernonstationaryloads

К расчету динамики составных оболочечных конструкций вращения при нестационарных нагрузках

Institution

Similar Items