Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности

Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности

В данной работе предложена теория и методика решения нелинейных задач магнитоупругости гибких оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого нагрева. На основании предложенной методики исследовано напряженно-деформированное состояние (НДС) гибкой усеченной конической оболочки переменной...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Прикладная механика
Дата:2020
Автори: Мольченко, Л.В., Лоос, И.И., Васильева, Л.Я., Пархоменко, А.Ю.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188230
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.Я. Васильева, А.Ю. Пархоменко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 83-94. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188230
record_format dspace
spelling Мольченко, Л.В.
Лоос, И.И.
Васильева, Л.Я.
Пархоменко, А.Ю.
2023-02-17T14:21:25Z
2023-02-17T14:21:25Z
2020
Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.Я. Васильева, А.Ю. Пархоменко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 83-94. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
0032-8243
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188230
В данной работе предложена теория и методика решения нелинейных задач магнитоупругости гибких оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого нагрева. На основании предложенной методики исследовано напряженно-деформированное состояние (НДС) гибкой усеченной конической оболочки переменной толщины с учетом джоулевого тепла.
Розглянуто теорію та побудову нелінійних рівнянь термомагнітопружності гнучких оболонок обертання змінної жорсткості з урахуванням джоулевого тепла в нестаціонарному магнітному полі. Наведено методику розрахунку гнучких оболонок обертання змінної товщини в магнітному полі. Проведено аналіз термомагнітопружності зрізаної гнучкої конічної оболонки в осесиметричній постановці з урахуванням джоулевого нагріву.
A theory and construction of non-linear problems of the thermomagnetoelasticity of flexible shells of revolution of variable thickness is considered with taking into account the Joule heat in the nonstationary magnetic field. A technique of analysis of a flexible conical shells of revolution of variable stiffness in the magnetic field is proposed. The thermoelasticity of the truncated flexible conical shell is considered an axisymmetric statement with taking into account the Joule heating.
ru
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Прикладная механика
Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности
Magnetoelastic Deformation of Isotropic Shells of Revolution of Variable Stiffness. Allowance for the Joule Heat and Geometrical Nonlinearity
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности
spellingShingle Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности
Мольченко, Л.В.
Лоос, И.И.
Васильева, Л.Я.
Пархоменко, А.Ю.
title_short Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности
title_full Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности
title_fullStr Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности
title_full_unstemmed Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности
title_sort магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности
author Мольченко, Л.В.
Лоос, И.И.
Васильева, Л.Я.
Пархоменко, А.Ю.
author_facet Мольченко, Л.В.
Лоос, И.И.
Васильева, Л.Я.
Пархоменко, А.Ю.
publishDate 2020
language Russian
container_title Прикладная механика
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format Article
title_alt Magnetoelastic Deformation of Isotropic Shells of Revolution of Variable Stiffness. Allowance for the Joule Heat and Geometrical Nonlinearity
description В данной работе предложена теория и методика решения нелинейных задач магнитоупругости гибких оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулевого нагрева. На основании предложенной методики исследовано напряженно-деформированное состояние (НДС) гибкой усеченной конической оболочки переменной толщины с учетом джоулевого тепла. Розглянуто теорію та побудову нелінійних рівнянь термомагнітопружності гнучких оболонок обертання змінної жорсткості з урахуванням джоулевого тепла в нестаціонарному магнітному полі. Наведено методику розрахунку гнучких оболонок обертання змінної товщини в магнітному полі. Проведено аналіз термомагнітопружності зрізаної гнучкої конічної оболонки в осесиметричній постановці з урахуванням джоулевого нагріву. A theory and construction of non-linear problems of the thermomagnetoelasticity of flexible shells of revolution of variable thickness is considered with taking into account the Joule heat in the nonstationary magnetic field. A technique of analysis of a flexible conical shells of revolution of variable stiffness in the magnetic field is proposed. The thermoelasticity of the truncated flexible conical shell is considered an axisymmetric statement with taking into account the Joule heating.
issn 0032-8243
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188230
citation_txt Магнитоупругое деформирование изотропных оболочек вращения переменной жесткости: учет джоулевого тепла и геометрической нелинейности / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.Я. Васильева, А.Ю. Пархоменко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 2. — С. 83-94. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT molʹčenkolv magnitouprugoedeformirovanieizotropnyhoboločekvraŝeniâperemennoižestkostiučetdžoulevogoteplaigeometričeskoinelineinosti
AT loosii magnitouprugoedeformirovanieizotropnyhoboločekvraŝeniâperemennoižestkostiučetdžoulevogoteplaigeometričeskoinelineinosti
AT vasilʹevalâ magnitouprugoedeformirovanieizotropnyhoboločekvraŝeniâperemennoižestkostiučetdžoulevogoteplaigeometričeskoinelineinosti
AT parhomenkoaû magnitouprugoedeformirovanieizotropnyhoboločekvraŝeniâperemennoižestkostiučetdžoulevogoteplaigeometričeskoinelineinosti
AT molʹčenkolv magnetoelasticdeformationofisotropicshellsofrevolutionofvariablestiffnessallowanceforthejouleheatandgeometricalnonlinearity
AT loosii magnetoelasticdeformationofisotropicshellsofrevolutionofvariablestiffnessallowanceforthejouleheatandgeometricalnonlinearity
AT vasilʹevalâ magnetoelasticdeformationofisotropicshellsofrevolutionofvariablestiffnessallowanceforthejouleheatandgeometricalnonlinearity
AT parhomenkoaû magnetoelasticdeformationofisotropicshellsofrevolutionofvariablestiffnessallowanceforthejouleheatandgeometricalnonlinearity
first_indexed 2025-11-25T23:10:40Z
last_indexed 2025-11-25T23:10:40Z
_version_ 1850579318593290240
fulltext 2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 2 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 2 83 Л . В . М о л ь ч е н к о 1 , И . И . Л о о с 2 , Л . Я . В а с и л ь е в а , А . Ю . П а р х о м е н к о МАГНИТОУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ: УЧЕТ ДЖОУЛЕВОГО ТЕПЛА И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ Николаевский национальный университет им. В.А. Сухомлинского, ул. Никольская, 24, 54030, Николаев, Украина; e-mail: 1l.molchenko@gmail.com; 2Loiri@ ukr.net Abstract. A theory and construction of non-linear problems of the thermomagnetoelas- ticity of flexible shells of revolution of variable thickness is considered with taking into ac- count the Joule heat in the nonstationary magnetic field. A technique of analysis of a flexi- ble conical shells of revolution of variable stiffness in the magnetic field is proposed. The thermoelasticity of the truncated flexible conical shell is considered an axisymmetric state- ment with taking into account the Joule heating. Key words: magnetic field, Joule heat, Lorentz force, variable stiffness, flexible conical shell. Введение. Теория термомагнитоупругости пластин и оболочек – один из актуальных разде- лов теории упругости, т.к. многие элементы современных технологических конструк- ций изготовлены в виде гибких пластин и оболочек, которые в процессе эксплуатации находятся под действием механических, электромагнитных и температурных нагру- зок [1, 3, 11]. В настоящее время в теоретических и прикладных исследованиях суще- ственное развитие получило направление, связанное с изучением нестационарных термомеханических процессов деформирования при действии на токопроводящие элементы магнитных полей [7, 8, 10, 12]. Строгий анализ процессов деформирования при термоэлектромагнитном влиянии должен учитывать уравнения механики, элек- тродинамики и уравнения теплопроводности при учете джоулевого тепла. Учет сил Лоренца и джоулевого тепла является определяющим в связанных задачах магнито- упругости. В данной работе предложена теория и методика решения нелинейных задач маг- нитоупругости гибких оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулево- го нагрева. На основании предложенной методики исследовано напряженно-дефор- мированное состояние (НДС) гибкой усеченной конической оболочки переменной толщины с учетом джоулевого тепла. 1. Постановка задачи. Двумерные нелинейные уравнения магнитоупругости гибких оболочек вращения переменной жесткости. Рассмотрим нелинейную задачу магнитоупругости об определении НДС прово- дящих гибких оболочек вращения переменной жесткости, находящихся под действи- ем нестационарного магнитного поля и произвольной механической нагрузки. При- нимаем, что изотропная упругая оболочка изготовлена из материала с конечной про- водимостью См/м и находится во внешнем магнитном поле 0 А/мH  . Кроме того, 84 оболочка является проводником равномерно распределенного электрического тока плотности 2А/мстJ  . Пространственные уравнения магнитоупругости в дифференциальной форме в ла- гранжевых переменных имеют вид [6, 8, 14]  rot ; rot ; div 0; div , B V E H J B F F t t                       (1) где В/мE  – напряженность электрического поля; А/мH  – напряженность магнитно- го поля; ТлB  – магнитная индукция; 2А/мJ  – плотность электрического тока; 3г/мк – плотность материала; 2Н/мF  – объемная механическая сила; 2Н/мF   – объемная сила Лоренца; 2Н/м  – тензор внутренних напряжений. Закон Ома и сила Лоренца с учетом стороннего тока стJ  , соответственно, имеют вид стJ J E V B            ; стF J B E V B B                . (2) При построении приближенных (двумерных в материальных переменных) урав- нений движения и уравнений электродинамики теории тонких оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке, используются гипотезы Кирхгофа – Лява и гипотезы о характере распределения электромагнитного поля [1, 6]  , , ;E E t     , , ;E E t    ; u u E B B t t             , , ;J J t     , , ;J J t    0;J  (3)   2 H H H H H h             ;   2 H H H H H h             ;  , , .H H t    Здесь  , ,iH i     – известные составляющие напряженности магнитного поля на поверхностях оболочки, определяемые из внешней задачи магнитостатики;  , мh s  – переменная толщина оболочки;  , ,   – ортогональные криволинейные коорди- наты срединной поверхности оболочки. Рассмотрим гибкие изотропные оболочки вращения переменной толщины, коор- динатная поверхность которых замкнутая в окружном направлении поверхности вра- щения. За координатную поверхность выбираем срединную поверхность оболочки и отнесем ее в недеформированном состоянии к криволинейной ортогональной системе координат s ,  , где s – длина меридиана;  – центральный угол в параллельном круге. Отсчитывая координату  по нормали к срединной поверхности вращения, отнесем оболочку к ортогональной пространственной системе координат , ,s   . Применяя вариационный принцип к уравнениям магнитоупругости (1), с исполь- зованием (2), учитывая гипотезы Кирхгофа – Лява и электродинамические гипотезы (3), уравнения и соотношения магнитоупругости гибких оболочек вращения перемен- ной толщины принимают такой вид [6]: уравнения магнитоупругости:     2 2 1 coss s s s s s rN S H r u N Q r F F r h s R R t                    ; 85   2 2 2 1 cos ( ) (sin ) sin s N v r S H H Q r F F r h r s s R t                         ;     2 2 sins s s rQ Q N w r N r F F r h s R t                    ;   sin cos 0s s s s rMH M rQ r N M rS s r                    ; 21 1 ( ) 0s s s M r H rQ r N M rS r s R                   ; (4) ( )1 1 s B rE E t r s r              ;   1 0,5s H H Hw v E B B B t t r h                        ;  0,5 s s s s H H Hw u E B B B t t s h                     ; выражения деформаций через перемещения: 21 2ss s s u w s R       ; 21 cos sin 1 2 v u w r r r            ; 1 s s u v r r s r               ; s ss s     ; 1 cos sr r           ; (5) 1 cos 1 1 cos sins s s u v v s r r R r r r s                           , где s s w u s R       ; 1 sinw v r r        ; соотношения упругости:  1s N ss TN D          ;  1N ss TN D          ; 1 2N sS D     ; (6) (1 )M sH D    ;  1s M ss TM D          ;  1M ss TM D          , где   2 2 1 , , , h T h T s t d h         ;   2 3 2 12 , , , h T h T s t d h          ; 2 ( , ) 1N Eh s D     ;   3 2 ( , ) 12 1 M Eh s D     . Составляющие силы Лоренца F   в соответствии с выражением (2) представля- ются в виде: 86 ^ s scm Bh F hJ B B r                 1 0,25 12s s s s u h B B B B B B B B t                            2 21 0,25 ; 12 B Bv B B B B B t                         ^ 0,5ст s s w F hJ B hE B h B B B t                  2 22 1 0,25 12 u u B B B B B t t                          1 0, 25 ; 12s s s s v B B B B B B B B t                        (7)      ^ 0,5 2ст ст s s Bh F h J B B J B B B B r                              0,5 0,5s s s s u hE B B h B B B t                    2 2 2 2 21 1 0,25 . 12 12s s s s B Bw B B B B B B t                          Отметим, что в случае использования канонических координат в теории оболочек враще- ния коэффициенты Ламе срединной поверхности  1,A B r s  , а также / cosdr ds  , где  – угол между осью вращения и нормалью к оболочке;  r s – радиус парал- лельного круга;  ,h h s  – толщина оболочки. В соотношениях (4) – (7) введены следующие обозначения: ,sN N – нормальное и тангенциальное усилия; S – сдвигающее усилие; ,sQ Q – поперечные усилия; , ,sM M H – изгибные и крутящий моменты соответственно; , ,u v w – компоненты вектора перемещения; ,sE E – составляющие напряженности электрического поля; B – нормальная составляющая магнитной индукции; sB , B  – известные состав- ляющие магнитной индукции на поверхностях оболочки; s ,  – углы поворота нормали; E – модуль Юнга;  – коэффициент Пуассона; sR – главный радиус кри- визны; Гн/м – коэффициент магнитной проницаемости; 1/ С  – коэффициент линейного температурного расширения;  , , ,T s t С   – температура тела. Осталь- ные вышеперечисленные компоненты из уравнений (4) соответствуют размерностям теории оболочек. К полученным уравнениям необходимо присоединить начальные и граничные условия. 87 2. Термодинамические соотношения определения джоулевого тепла гибких оболочек в микросекундном диапазоне. Сформулируем уравнение динамической термомагнитоупругости с учетом джоу- левой температуры, которая возникает в гибкой оболочке при действии на нее маг- нитного поля в микросекундном диапазоне (переходной процесс) [4, 6 – 8, 13]. При расчете температуры  , , ,T s t  будем использовать уравнение баланса тепла в виде дж T C Q t    , (8) где 2 дж / Вт/мQ JJ   – джоулево тепло, выделяемое в результате циркуляции в обо- лочке вихревых токов;  Дж/ кг СC  – удельная теплоемкость. Плотность магнитной энергии на единицу объема запишем в виде функции   30,5 , Дж/мW BH   , (9) а количество тепла, выделяемого током J  в единицу времени (мощность джоулева тепла на единицу массы) определяется формулой дж JE Q     . Запишем магнитное давление P в виде суммы двух составляющих ( , ) ( ) ( , )TP T P P T    , где ( )P  – составляющая давления, зависящая только от плотности ;  ,TP T – тепловая составляющая, зависящая от температуры и плотности. Также представим приращение внутренней энергии в виде энергии без учета температуры и тепловой составляющих, т.е. ,TdU dU dU    где 3ik ikdU d P de     ;  дж3 div gradT T TdU P de dQ T dr     . (10) Здесь  Вт/ м СT  – коэффициент теплопроводности. Примем далее, что приращение тепловой энергии пропорционально приращению температуры, т.е. ( )TdU C T dT ; 0 ( ) T TU C T dT  , где C – удельная теплоемкость при постоянной деформации. Тогда выражение (10) можем использовать для вычисления температуры  дж div grad .T T C Q T t       (11) Учитывая, что удельная теплоемкость металлов для температур выше 0T вплоть до точки плавления изменяется незначительно (не более чем на 5 – 10 % от среднего значения), тепловую энергию можно представить в виде 88    ср 0 0 0 T T TU C T dT C T T U     ; 0 0 0 ( ) T TU C T dT  , где срС – среднее значение теплоемкости на интервале 0[ , ]T T . Следуя [7], уравнение (11) преобразуется в известное уравнение теплопровод- ности с источником джоулева тепла джср 1 ;T T Q T t C       ср T T C    , constT  , (12) где 2м /сT – коэффициент тепловой диффузии. Используя выражение для расчета джоулева тепла, оценим величину температу- ры, возникающую в результате джоулева нагрева в зависимости от величины магнит- ной индукции B  . Используя (9) и уравнение Максвелла rot H E   , из соображений теории размерности и на основании (12) имеем 0 ср 2 T D T T W T C         ; 20,5 /W B   , (13) где 21/ м /cD  – коэффициент магнитной диффузии. В качестве характерного времени принято время диффузии магнитного поля на расстояние L , т.е. / Dt L   . Так как / 1T D   для металлов (например для алюминия при 0 20 CT   – 6/ 3,0 10T D    , для нержавеющей стали – 5/ 0,8 10T D    ), то из символическо- го уравнения (13) следует, что процессом теплопроводности в переходном режиме можно пренебречь. Таким образом, учитывая оценку членов уравнения (12), получаем приближенное уравнение для определения температуры, возникающей в результате джоулева нагре- ва в микросекундном диапазоне в виде джср 1T Q t C    . (14) Исходя из уравнения (14), имеем  ср дж , 2 2 П F П С h h Q dt C dT T T dt    (15) где ПТ – температура на поверхности оболочки; СТ – температура срединной по- верхности оболочки;  2Вт / м СF  – коэффициент теплоотдачи. Выражение температуры при изменении вдоль  принимает вид 22 дж 1 4 . 8П Т Q h T T h              Исходя из симметрии задачи для оболочек вращения, на срединной поверхности тепловой поток q = 0 при 0  , а на поверхности – дж / 2q Q h и ПТ Т . С учетом (15) выражение для определения температуры принимает вид 22 ср дж 4 1 4 . 8 2 T C П T F F Q h hC T T T h h                    89 Компоненты электрического тока с учетом стороннего тока имеют вид     ст ст 0,5 ; 0,5 ; 0. s s s s s w v J J E B B B t t w u J J E B B B J t t                                    3. Разрешающая система уравнений магнитоупругости гибкой конической оболочки переменной жесткости с учетом джоулевой температуры. Рассмотрим осесимметричную нелинейную краевую задачу магнитоупругости об определении НДС гибкой конической оболочки переменной толщины с учетом джоу- лева тепла [1, 9, 12]. Оболочка упругая изотропная, изготовленная из алюминия (рис. 1). Полагаем, что на поверхности / 2h   оболочки осуществляется теплооб- мен по закону Ньютона – Рихмана (с коэффициентом теплообмена F ) с внешней средой, имеющей температуру ноль градусов. Также оболочка является проводником стороннего тока плотности .стJ  Рис. 1 Пусть задача магнитостатики для возмущенного состояния решена, т.е. известны векторы магнитной индукции начального состояния для внешней и внутренней обла- стей. За координатную плоскость выбираем срединную поверхность оболочки, отне- сенную к системе координат ,s  , координата  отсчитывается по нормали к средин- ной поверхности. Принимаем, что все компоненты возбужденного электромагнитного поля и поля перемещений не зависят от координаты  , положим [6]: 0; 0; 0; 0; 0; 0.sv E B F F            При построении разрешающей системы термомагнитоупругости усеченной гиб- кой конической оболочки переменной толщины, в качестве искомых функций выбра- ны следующие [4, 5]: , , , , , , , .s s s su w N M Q B E  Разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений магнитоупру- гости осесимметричной изотропной конической оболочки переменной жесткости с учетом джоулевой температуры принимает вид   2 21 cos sin 1 1 2s s T u N u w s Eh r r                 ; 90 ;s w s      2 3 12 1 coss s sM s rEh         ;  cos cos sin 1s s s CT N N Eh u w F hJ B s r r r                       2 2 2 cos 0,5 s s T w u Eh u h E B B B B B h t t r t                    ; (16) cos sin sin cos sins s s Q Q N Eh u w F s r r r r r                        2 0,5 0,5 0,25CT s s s s s s w hJ B B h E B B B B t                  21 0,5 12 s s s s w u B B B B B t t                2 2 sin 12 s s s T h Eh w B B B h t r t          ;   3cos cos 1 12 s s s s s s M Eh M Q N s r r                3sin cos 12s s s Eh M r r           ;     0,5 s s s s B BB w u E B B B s t t h                     ; cosBE E s t r         . Здесь     22 22 2 24 1 0,06 8 T T С ст s s s s T F h w w T J E B B E B B h t t                                          2 4 1 2 0,5 ; 0. 8 2 ср T ст s s П T T F F hCh w u J E B B B T h t t                                  Разрешающая система уравнений (16) является нелинейной смешанной гипербо- ло-параболической системой восьмого порядка с переменными коэффициентами. 4. Методика решения задач термомагнитоупругих гибких оболочек враще- ния переменной толщины с учетом джоулевой температуры. Методика решения задач термомагнитоупругости изотропных оболочек вращения переменной жесткости заключается в последовательном использовании схемы Нью- марка, метода квазилинеаризации и метода дискретной ортогонализации [2, 5, 15]. Для разделения переменных по временной координате применяем неявную ко- нечноразностную схему Ньюмарка [15] интегрирования уравнений термомагнито- упругости. Следующий этап решения нелинейной краевой задачи термомагнитоупругости основан на применении метода квазилинеаризации [2], с помощью которого нелиней- ная краевая задача сводится к последовательности линейных краевых задач на каж- дом временном шаге. Далее каждая из линейных краевых задач последовательности на соответствующем временном интервале решается численно с помощью устойчиво- го метода дискретной ортогонализации [5]. 91 Числовой пример. Рассмотрим случай, когда гибкая усеченная коническая оболочка переменной жесткости, изготовленная из алюминия, находится под воздействием нормальной со- ставляющей механической силы 2500sin H/мF t  и внешнего электрического тока 5 25 10 sin А/мстJ t   . Толщина оболочки принимается: 1) постоянной1 45 10 мh   ; 2) переменной  4 25 10 1 0,5 /h s b   ; 3) переменной  4 25 10 1 0,5 /h s b   м, где b = 0,4 м.1 Граничные условия выбраны в таком виде: 0; 0; 200; 0,5sin при 0;s su M Q B t s       0; 0; 0; 0 при 0, 4.su w M B s     Параметры оболочки и материала выбраны следующие: 10 2 1 0 10 м; 0,4 м; 7,1 10 H/м ; 314,16 c ; /10;s s E           13 6 70,3; 2670 кг/м ; 1, 256 10 Гн/м; 3,13 10 Ом м ; 0,5Т;sB                  ср 2 5820 Дж/ кг С ; 228 Вт/ м С ; 225 Вт/ м °С ; 2,36 10 1/ C.T FС            Решение задачи получено на интервале 21 10 ct   , временной шаг интегрирова- ния 45 10 ct   . На рис. 2 представлено безразмерное распределение прогиба 0/w h при 35 10 ct   . Линия 1 отвечает толщине оболочки 3; линия 2 – толщине 1; линия 3 – толщине 2. 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 w/h0 s, м 3 2 1 Рис. 2 Максимальная нелинейность прогиба достигается на торце оболочки s = 0 и рав- няется 0/ 4,60w h  (линия 3) при толщине 2. Также прогиб оболочки является нели- нейным с пятой по десятую точки графика. При постоянной толщине 45 10 мh   максимальная нелинейность равняется 2,96 (линия 2). Кроме того, прогиб оболочки является нелинейным с седьмой по десятую точки. При изменении толщины за зако- ном 3 – нелинейность наблюдается только в первой точке и равняется 2,20 (линия 1). 92 Исходя из полученных результатов (рис. 2), можно судить о влиянии толщины на НДС оболочки. На рис. 3 представлено распределение компоненты силы Лоренца 2Н/мsF  при s = 0. Здесь линия 1 отвечает толщине 2; линия 2 – толщине 1; линия 3 – толщине 3. Максимальные значения силы Лоренца по абсолютной величине достигаются при 21 10 ct   . Наибольшее значение силы наблюдаем в более толстой конической обо- лочке (линия 3) 2 4 6 8 10 -60000 -50000 -40000 -30000 -20000 -10000 0 F1, Н/м2 t, с 1 2 3 Рис. 3 Рис. 4 иллюстрирует распределение нормальной составляющей силы Лоренца при s = 0. Линии 1, 2, 3 соответствуют толщинам на рис. 3. Значения нормальной состав- ляющей силы Лоренца является положительным по сравнению с компонентой силы Лоренца 2Н/мsF  , которая принимает отрицательное значение. 2 4 6 8 10 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 1 2 3 F3, Н/м2 t, с Рис. 4 На рис. 5 представлены графики джоулевой температуры   CТ t  при s = 0 для толщин, приведенных выше. Линия 1 отвечает толщине 3; линия 2 – толщине 1; линия 3 – толщине 2. Как видно из графиков, максимальное значения температуры конической 93 оболочки достигает 14,56 C – (линия 1); 89,25 C – (линия 2); 133,3 C – (линия 3). Это говорит о том, что с уменьшением толщины, температура оболочки возрастает. 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 100 120 140 1 2 3 T,0C tt, с Рис. 5 2 4 6 8 10 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1 2 3 s, м Ms,  Рис. 6 На рис. 6 приведено изменение величины изгибающего момента ( ) Нм/мsM s при 35 10 ct   для соответствующих толщин (рис. 4). В окрестности торцов конической оболочки происходит существенное изменение значений моментов, что подтвержда- ется теорией тонких оболочек. Заключение. На основании полученных нелинейных уравнений термомагнитоупругости обо- лочек вращения с использованием предложенной методики исследовано термонапря- женное состояние гибких оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоу- левого тепла. Предложенная методика позволяет рассматривать различные варианты физико-механических параметров оболочек вращения переменной жесткости в гео- метрически-нелинейной постановке. В качестве иллюстрации предложенного подхода проведено исследование НДС осесимметричной усеченной гибкой конической оболочки переменной жесткости с 94 учетом джоулевого тепла. Результаты иллюстрируются графиками. Дан анализ полу- ченных результатов. РЕЗЮМЕ. Розглянуто теорію та побудову нелінійних рівнянь термомагнітопружності гнучких оболонок обертання змінної жорсткості з урахуванням джоулевого тепла в нестаціонарному магніт- ному полі. Наведено методику розрахунку гнучких оболонок обертання змінної товщини в магніт- ному полі. Проведено аналіз термомагнітопружності зрізаної гнучкої конічної оболонки в осесимет- ричній постановці з урахуванням джоулевого нагріву. 1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. – М.: Наука, 1977. – 272 с. 2. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – М.: Мир, 1968. – 184 с. 3. Будак В.Д., Мольченко Л.В., Овчаренко А.В. Численно-аналитическое решение краевых задач маг- нитоупругости. – Николаев: Илион, 2016. – 148 с. 4. Будак В.Д., Мольченко Л.В., Овчаренко А.В. Нелинейные магнитоупругие оболочки. – Николаев: Илион, 2016. – 136 с. 5. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных диффе- ренциальных уравнений // Успехи матем. наук. – 1963. – 16, вып. 5(99). – С. 171 – 174. 6. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупру- гости. – К.: ИПЦ «Киевский университет», 2010. – 403 с. (укр). 7. Дресвянников В.И. О нестационарных задачах механики упруго-пластических проводящих тел при действии сильных импульсных магнитных полей // Прикл. проблемы прочности и пластичности. –1979. – Вып. 19. – С. 32 – 47. 8. Тамм И.Е. Теория электромагнетизма. – М.: Наука, 1976. – 613 с. 9. Bian Y.H. Analysis of Nonlinear Stresses and Strains in a Thin Current-Carrying Elastic Plate // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 1. – P. 108 − 130. 10. Elhajjar R., Saponara V., Muliana A. Smart composites. Mechanics and Design. – New York: CRC Press, 2013. – 430 p. 11. Hutter K., Van de Ven A.F., Ursescy A. Electromagnetic Field Matter Interactions in Thermoelastic Sol- ids and Viscous Fluids. – New York: Springer. –2007. – 403 p. 12. Mol'chenko L.V., Loos I.I. Influence of Conicity on the Stress – Strain State of Flexible Orthotropic Con- ical Shell in Nonstationary Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 11. – P. 1261 – 1267. 13. Mol'chenko L.V., Fedorchenko L.N., Vasilieva L.Yu. Nonlinear Theory of Magnetoelasticity of Shells of Revolution with Joule Heat Taken into Account // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54. – N 3. – P. 306 – 314. 14 Moon F.C. Magneto-Solid Mechanics. – New York: John Wiley & Sons Inc., 1984. – 448 p. 15. Newmark N.M. A Method of Computation for Structural Dynamics // J. Eng. Mech. Div. Proc. ASCE. – 1959. – 85, N 7. – P. 67 – 97. Поступила 21.11.2018 Утверждена в печать 05.11.2019

Схожі ресурси