Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор)

В статье проведено решение широкого класса задач пространственной теории электроупругости о гармонических волновых и колебательных процессах в кусочно неоднородных и непрерывно неоднородных пьезокерамических телах цилиндрической формы. Проведен анализ влияния фактора неоднородности связанного электр...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2020
Main Authors:	Григоренко, А.Я., Григоренко, Я.М., Лоза, И.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Series:	Прикладная механика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188272
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор) / А.Я. Григоренко, Я.М. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 3-55. — Бібліогр.: 96 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188272
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1882722025-02-09T21:10:32Z Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор) Numerical Analysis of Dynamical Processes in the Inhomogeneous Piezoceramic Cylinders (Review) Григоренко, А.Я. Григоренко, Я.М. Лоза, И.А. В статье проведено решение широкого класса задач пространственной теории электроупругости о гармонических волновых и колебательных процессах в кусочно неоднородных и непрерывно неоднородных пьезокерамических телах цилиндрической формы. Проведен анализ влияния фактора неоднородности связанного электрического поля и вида предварительной поляризации пьезокерамических материалов на спектральные характеристики указанных выше электроупругих тел. Для этого был предложен дискретно континуальный численно аналитический подход к решению широкого класса задач пространственной теории электроупругости о стационарных динамических процессах в кусочно-неоднородных (слоистых) и непрерывно неоднородных (функционально градиентных) телах цилиндрической формы. Ранее такой подход эффективно применялся при решении задач теории упругости. Представлений огляд робіт присвячено чисельним дослідженням нових задач теорії електропружності. А саме визначенню динамічних характеристик неоднорідних п'єзокерамічних хвилеводів кругового поперечного перерізу та неоднорідних п'єзокерамічних циліндрів скінченної довжини. Для розв'язання описаних задач запропоновано ефективний чисельно-аналітичний підхід. Запропонований підхід базується на поєднанні різноманітних аналітичних перетворень (апарату спеціальних функцій, розвиненню в ряди Фур'є та методу сплайн-колокацій), які дозволяють звести вихідні тримірні рівняння теорії електропружності у частинних похідних до граничної задачі на власні значення для систем звичайних диференціальних рівнянь. Отримана система звичайних диференціальних рівнянь розв'язується методом дискретної ортогоналізації. На основі отриманих розв'язків проведено дослідження закономірностей спектральних характеристик в неоднорідній структурі з врахуванням зв'язаного електричного поля п'єзокерамічних шарів. Проведено також дослідження впливу неоднорідності та зв'язаного електричного поля на динамічні характеристики описаних вище тіл. Значну увагу надано дослідженню достовірності отриманих чисельних обчислень. The review of works is given, which are devoted to the numerical investigations of the new problems of the theory electroelasticity. Namely, they are devoted to the determination of dynamical characteristics of the inhomogeneous piezoceramic circular waveguides and the inhomogeneous piezoceramic finite-length cylinders. An effective numerical-analytical approach is proposed in these works. The proposed method is based on uniting the different analytical transforms (apparatus of special functions, expansion in the Fourier series, and spline-approximations method with collocation method) allows reducing the initial three-dimensional equations of electroelasticity theory in the partial derivatives to the boundary value problem for the system of ordinary differential equations. The obtained one-dimensional problem is solved by the method of discrete orthogonalization. Basing on the obtained solutions, the new regularities of spectral characteristics with the inhomogeneous structure are studied, with allowance for the coupled electric field of the piezoceramic layers. Also, the study is carried out for an effect of the inhomogeneity and coupled electric field on the dynamic characteristics of the bodies under study. Significant attention is paid to the validation of the reliability of the results obtained by the numerical calculations. Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, выполнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направлений научных исследований» (КПКВК 6541230). 2020 Article Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор) / А.Я. Григоренко, Я.М. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 3-55. — Бібліогр.: 96 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188272 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В статье проведено решение широкого класса задач пространственной теории электроупругости о гармонических волновых и колебательных процессах в кусочно неоднородных и непрерывно неоднородных пьезокерамических телах цилиндрической формы. Проведен анализ влияния фактора неоднородности связанного электрического поля и вида предварительной поляризации пьезокерамических материалов на спектральные характеристики указанных выше электроупругих тел. Для этого был предложен дискретно континуальный численно аналитический подход к решению широкого класса задач пространственной теории электроупругости о стационарных динамических процессах в кусочно-неоднородных (слоистых) и непрерывно неоднородных (функционально градиентных) телах цилиндрической формы. Ранее такой подход эффективно применялся при решении задач теории упругости.
format	Article
author	Григоренко, А.Я. Григоренко, Я.М. Лоза, И.А.
spellingShingle	Григоренко, А.Я. Григоренко, Я.М. Лоза, И.А. Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор) Прикладная механика
author_facet	Григоренко, А.Я. Григоренко, Я.М. Лоза, И.А.
author_sort	Григоренко, А.Я.
title	Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор)
title_short	Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор)
title_full	Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор)
title_fullStr	Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор)
title_full_unstemmed	Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор)
title_sort	численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор)
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2020
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188272
citation_txt	Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор) / А.Я. Григоренко, Я.М. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 3-55. — Бібліогр.: 96 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT grigorenkoaâ čislennyianalizdinamičeskihprocessovvneodnorodnyhpʹezokeramičeskihcilindrahobzor AT grigorenkoâm čislennyianalizdinamičeskihprocessovvneodnorodnyhpʹezokeramičeskihcilindrahobzor AT lozaia čislennyianalizdinamičeskihprocessovvneodnorodnyhpʹezokeramičeskihcilindrahobzor AT grigorenkoaâ numericalanalysisofdynamicalprocessesintheinhomogeneouspiezoceramiccylindersreview AT grigorenkoâm numericalanalysisofdynamicalprocessesintheinhomogeneouspiezoceramiccylindersreview AT lozaia numericalanalysisofdynamicalprocessesintheinhomogeneouspiezoceramiccylindersreview
first_indexed	2025-11-30T21:16:42Z
last_indexed	2025-11-30T21:16:42Z
_version_	1850251573994717184
fulltext	2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 5 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 5 3 А . Я . Г р и г о р е н к о 1 , Я . М . Г р и г о р е н к о 1 , И . А . Л о з а 2 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В НЕОДНОРОДНЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ (ОБЗОР) ¹Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: ayagrigorenko1991@gmail.com ²Национальный транспортный университет, ул. Омельяновича-Павленко, 1, 01010, Киев, Украина;e-mail: dukeigor@i.ua Abstract. The review of works is given, which are devoted to the numerical investiga- tions of the new problems of the theory electroelasticity. Namely, they are devoted to the determination of dynamical characteristics of the inhomogeneous piezoceramic circular waveguides and the inhomogeneous piezoceramic finite-length cylinders. An effective nu- merical-analytical approach is proposed in these works. The proposed method is based on uniting the different analytical transforms (apparatus of special functions, expansion in the Fourier series, and spline-approximations method with collocation method) allows reducing the initial three-dimensional equations of electroelasticity theory in the partial derivatives to the boundary value problem for the system of ordinary differential equations. The obtained one-dimensional problem is solved by the method of discrete orthogonalization. Basing on the obtained solutions, the new regularities of spectral characteristics with the inhomogene- ous structure are studied, with allowance for the coupled electric field of the piezoceramic layers. Also, the study is carried out for an effect of the inhomogeneity and coupled electric field on the dynamic characteristics of the bodies under study. Significant attention is paid to the validation of the reliability of the results obtained by the numerical calculations. Key words: 3D theory of electroelasticity, dynamical process, piezoelectric circular waveguide and finite-length cylinder, coupled electroelastic fields, inhomogeneous pie- zoceramic materials, discrete-continuum methods. Введение. Как было отмечено в [65], одними из основных направлений исследований в со- временной механике твердого деформируемого тела является дальнейшее развитие методов численного анализа и механики связанных полей. В настоящем сообщении описано исследование важного класса задач электроупругости – динамических про- цессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах. Решение отмеченного класса задач сопряжено с большими трудностями математического характера. В связи с этим возникает необходимость применения численных методов для их решения. Исследо- вания, приведенные авторами в данной статье, являют собой актуальную проблему современной механики деформируемого твердого тела. Одной из важных составляющих механики связанных полей является электроуп- ругость – область в современной науке, которая занимается исследованием проблем, находящихся на стыке двух классических научных направлений: механики твердого деформируемого тела и электродинамики (электростатики) сплошных сред. Сам тер- мин электроупругость появился сравнительно недавно (в 60-х годах прошлого столе- тия) и широко употребляется, главным образом, среди представителей механики де- формируемого твердого тела. Среди физиков болеe употребим традиционный термин – пьезоэлектричество. Работы [10, 17, 26, 66, 74, 94] являются фундаментальными в этой области. 4 Важным этапом в развитии электроупругости явилось создание пьезокерамики на основе сегнетоэлектриков. Это было осуществлено в конце 40-х годов прошлого сто- летия сразу в нескольких странах. Первая пьезокерамика была получена на основе порошка титанобария BaTiO3, отметим еще ряд пьезокерамических и пироэлектриче- ских материалов, которые существуют в настоящее время таких как ZnO, CdS, Bi12GeO20, TeO2, LiNbO3, LiTaO3, Ba2NaNb5O15 и GaAs. Благодаря свойству преобразовывать механическую энергию в электрическую и наоборот, пьезоэлектрические материалы находят самое разнообразное применение на практике. Перечислим некоторые области широкого применения пьезоэлектриче- ских материалов: излучатели и антенны в гидроакустике; стабилизаторы частоты в радиотехнических устройствах и эталонах времени; электрические фильтры и линии задержки в радио- и телефонной связи; датчики для измерения ускорений, уровня вибрации, акустической эмиссии при неразрушающем контроле; пьезотрансформато- ры и пьезодвигатели; в медицинской томографии, а также в медицинских инструмен- тах различного назначения. Особое место в использовании пьезоэлектрических преобразователей занимают электроупругие композиты – слоистые конструктивные элементы, составленные из пьезоэлектрических и упругих слоев [21, 87, 93]. Сложность математической модели, описывающей динамические процессы в элементах пьезоэлектрических устройств обусловило тот факт, что в основном иссле- дованы либо одномерные задачи [11, 12, 21, 93 и др.], либо задачи, в которых привле- кались приближенные модели на основе теории пластин и оболочек [15, 16, 87 и др.]. Точное решение подобных задач возможно лишь для особых случаев с высокой сте- пенью симметрии в физико-механических свойствах пьезоэлектрического материала, способах нагружения, вида граничных условий и т.д. [11, 68, 72, 73, 83 – 85]. Также для исследования динамических процессов в элементах пьезоэлектрических устройств применялся метод степенных рядов [75, 76, 78 – 82, 88, 90 – 92]. Широкое применение пьезокерамических элементов и устройств связано со стремлением к наиболее полному учету реальных процессов, происходящих в пьезокерамических конструктивных материалах, выявлением и изучением трехмерных эффектов, кото- рые имеют место в толстостенных элементах. Несмотря на большое количество пуб- ликаций, посвященных этому вопросу в научной литературе, известны лишь отдель- ные работы, посвященные динамическим процессам в однородных и неоднородных пьезокерамических цилиндрах конечной длины, а также пьезокерамических неодно- родных цилиндрических волноводах, выполненные в рамках трехмерной теории упругости [1, 2, 11, 14, 19, 20, 25, 37, 38, 41 – 46, 67 – 71, 76 – 85, 87 – 92]. В этом случае, кроме необходимости удовлетворения граничных условий на ограничивающих соответствующие тело поверхностях, также необходимо удовлетво- рение условий контакта на поверхности раздела двух материалов, что существенно усложняет проведение исследований с помощью аналитических и численных подхо- дов. Кроме того, в таком конструктивном элементе за счет различия физико- механических свойств материалов слоев в процессе эксплуатации возникает концен- трация напряжений. Это, в свою очередь, приводит к развитию микротрещин, что негативно сказывается на несущей способности соответствующего конструктивного элемента и может привести к его разрушению. Для устранения этих проблем были созданы так называемые функционально градиентные пьезокерамические материалы (ФГПМ), у которых физико-механические свойства материала непрерывно изменяют- ся вдоль одного или нескольких координатных направлений. Исследование динами- ческих процессов в цилиндрических пьезокерамических телах с разным характером неоднородности (кусочная неоднородность, непрерывная неоднородность) сопряжено с большими трудностями вычислительного характера. Можно отметить только неко- торые работы в этом направлении [3, 4, 18 – 20, 23, 24, 47, 53]. В статье проведено решение широкого класса задач пространственной теории электроупругости о гармонических волновых и колебательных процессах в кусочно неоднородных и непрерывно неоднородных пьезокерамических телах цилиндри- ческой формы. Проведен анализ влияния фактора неоднородности связанного элек- трического поля и вида предварительной поляризации пьезокерамических материалов на спектральные характеристики указанных выше электроупругих тел. Для этого был 5 предложен дискретно континуальный численно аналитический подход к решению широкого класса задач пространственной теории электроупругости о стационарных динамических процессах в кусочно-неоднородных (слоистых) и непрерывно неодно- родных (функционально градиентных) телах цилиндрической формы. Ранее такой подход эффективно применялся при решении задач теории упругости. §1. Основные соотношения. Колебания пьезоэлектрических тел, как механический процесс, описаны уравне- ниями движения линейно упругих деформируемых твердых тел, а с точки зрения электрических процессов в пьезоэлектрическом континууме – уравнениями электро- динамики. Обе группы взаимосвязаны, и взятые вместе, формируют уравнения элект- роупругости: механические уравнения движения 2 2 div t     u σ , (1.1) где σ – тензор напряжений Коши;  – плотность материала; u – вектор перемещений; уравнения Максвелла 1 rot c t     B E ; 1 rot c t     D H ; div D 0 ; div B 0 , (1.2) где B – вектор магнитной индукции; E – вектор напряженности электрического по- ля; D – вектор электрической индукции; H – вектор напряженности магнитного по- ля; c – скорость света. В дальнейшем будем рассматривать акустоэлектрические колебания, в связи с чем уравнения Максвелла могут быть упрощены. Это связано с тем, что акустические движения намного медленнее, чем электромагнитные. Если движения среды медлен- ные, то электромагнитное поле в ней распадается на взаимно не связанные между со- бой электрическое и магнитное поля. Рассмотрим только электрическое поле, по- скольку именно электрические константы входят в физические соотношения для пье- зоэлектрической среды. Следовательно, в данном случае уравнения Максвелла при- нимают вид rot E 0 ; div 0D . (1.3) Из первого уравнения следует, что электрическое поле является потенциальным и будет справедливым представление grad ,E   (1.4) где  – электростатический потенциал. Эти уравнения называют квазистатическим приближением уравнений Максвелла или уравнениями вынужденной электростатики диэлектриков. Таким образом, система уравнений, которая описывает колебания пьезоэлектри- ческой среды, имеет следующую форму: 2 2 div u σ t     ; div 0D ; grad E . (1.5) Эту систему уравнений необходимо дополнить физическими и геометрическими соотношениями. Физические соотношения для линейного пьезоэлектрического мате- риала выводятся из энергетических соотношений; в частности, из электрической эн- тальпии. Будем иметь следующие соотношения: σ c ε e EE    ;    D e σ ε E . (1.6) Здесь Ec – тензор модулей упругости, определенных при постоянном электрическом поле; ε – тензор деформаций; e – тензор пьезомодулей; ε – тензор диэлектрической проницаемости материала при постоянных деформациях. Для малых деформаций сплошной среды имеют место линейные геометрические соотношения: 6 2 grad (grad ) .T ε u u (1.7) Запишем уравнения линейной теории электроупругости в индексной форме для кри- волинейной системы координат  1 2 3, ,   : уравнения движения 2 , 0;ij j i u   (1.8) уравнения электростатики , ,0;i j i iD E    ; (1.9) соотношения Коши  , , 1 , 2ij i j j iu u   (1.10) где j i iju g u и ij i jg e e – метрические тензоры. Компоненты тензора в уравнениях (1.8) – (1.10) определены для локального бази- са. Также применяется ковариантное дифференцирование. Уравнения, описывающие электроупругие колебания в цилиндрической системе координат, имеют следующий вид: 1 2 3; ; ;r z       2 2 2 2 2 .rd dr r d dz   Здесь rd – дифференциальный элемент дуги и dr – его проекция на ось 1 . Будут справедливы следующие соотношения: 1 2 31; ; 1;e e r e   2 11 22 331; ; 1; 0 ( )ijg g r g g i j     ; 11 22 33 2 1 1; ; 1; 0 ( ).ijg g g g i j r      Определяя символы Кристоффеля по формуле 1 2 jsk is is ks ji k j k gg g g                , единственные отличные от нуля символы имеют следующий вид: 2 2 1 12 21 22 1 ; .r r        Применяя ковариантные производные, мы можем получить следующую форму основных соотношений: уравнения движения 11 12 13 22 11 2 11 0;r u r z r                    21 22 23 12 2 23 0;u r z r                  (1.11) 31 32 33 13 2 31 0;u r z r                  уравнения электростатики 7 1 ;E r     2 ;E       3 ;E z     1 2 3 11 0; D D D D r z r           (1.12) соотношения Коши 1 11 ; u r     2 22 1 ; u u r      3 33 ; u z     3 2 232 ; u u z         3 1 132 ; u u r z        2 1 12 2 2 2 . u u u r r          (1.13) Лучшее представление о характере состояния электроупругих тел можно полу- чить, используя физические компоненты, которые однородны по своей размерности и в произвольной ортогональной системе координат определяются как физ ;i i iiA A g физ ;i ii iA A g физ ;ij ij ii jjB B g g физ ,ij ii jj ijB B g g (в этих формулах отсутствует суммирование по повторяющимся индексам). Физичес- кие компоненты обозначим такими же символами, как и компоненты тензоров, но с индексными величинами осей систем координат: 11;rr  2 22 ;r  33;zz  23;z r  12 ;r r  13;rz  11;rr  222 1 ; r  33;zz  23 1 ;z r  12 1 ;r r  13;rz  1;ru u 2 1 ;u u r  3;zu u 1;rD D 2 ;D rD  3;zD D 1;rE E 2 1 ;E E r  3.zE E В терминах физических компонент основные соотношения имеют следующий вид: уравнения движения 21 0;rrr rz rr ru r r z                     21 2 0;r z r u r r z                        (1.14) 21 0;zrz zz rz zu r r z                 уравнения электростатики ;rE r     1 ;E r r     ;zE z     1 1 ;r z r DD D D r r r z           (1.15) линейные кинематические соотношения ;r rr u r     1 ;r u u r r        ;z zz u z     8 1 2 ;z z u u z r          2 ;z r rz u u r z        1 2 .r r uu u r r            (1.16) Предварительно поляризованные пьезокерамические тела относятся к трансвер- сально изотропным с осью симметрии, которая совпадает с направлением поляриза- ции. Симметрия таких керамик соответствует симметрии кристаллов класса 6mm , которая имеет название гексагональной симметрии. Физические соотношения для пьезокерамических материалов имеют гексагональную симметрию В данном сообщении рассмотрим, как слоистые, так и непрерывно неоднородные пьезокерамические цилиндрические тела. В случае слоистых пьезокерамических цилиндров с произвольным числом слоев при различной поляризации физические соотношения записываются для каждого слоя. В дальнейшем физические соотношения будут приведены для каждой конкрет- ной решаемой задачи. В случае рассмотрения непрерывно неоднородного пьезокерамического материа- ла цилиндра все физико-механические модули параметры будут функциями радиаль- ной координаты. §2. Метод решения. В связи с широким применением современных средств вычислительной техники – персональных компьютеров с большой памятью и быстродействием, для расчета раз- личных аспектов электромеханического поведения различных конструктивных пьезо- керамических элементов в настоящее время широко применяются различные числен- ные подходы. Появились универсальные современные численные методы, с помощью которых проводится решение широкого класса задач механики связанных полей. Они носят название дискретных и построены на сведении исходных дифференциальных уравнений в частных производных к системам алгебраических уравнений высокого порядка. Это такие методы, как методы конечных разностей, вариационно-разност- ный метод, метод конечных элементов. Последний сегодня занимает первое место по применению благодаря своей универсальности и алгоритмичности [49, 95, 96]. Ука- занные особенности метода конечных элементов позволили создать программные комплексы ЛИРА, NXNASTRAN, ANSYS, SIMULA, Abaqus, PLAXIS и др., позволя- ющие решать статические и динамические задачи теории оболочек, упругости и электроупругости. Однако наряду с универсальными подходами к решению задач электроупругости, находят широкое применение так называемые дискретно-континуальные подходы, позволяющие свести задачу к обыкновенным дифференциальным уравнениям на ос- нове аппроксимации решения по другим переменным с помощью аналитических средств. Дискретно-континуальные подходы можно рассматривать как альтернативу универсальным численным методам в смысле того, что они применяются, как прави- ло, для исследования пьезокерамических объектов определенного класса и в этом случае могут давать более эффективные и точные результаты, которые можно ис- пользовать для тестирования при модификации различных дискретных подходов. Для решения полученных одномерных задач применяется хорошо зарекомендовавший себя при решении широкого класса задач теорий упругости и оболочек для анизо- тропных неоднородных материалов устойчивый численный метод дискретной орто- гонализации [4, 5, 8, 9, 14, 42, 46 – 48, 89]. В последнее время в задачах вычислительной математики, математической физи- ки и механики для решения широкого класса задач используется метод, основанный на применении сплайн-функций. Это объясняется преимуществами аппарата сплайн- приближений по сравнению с другими методами. К последним следует отнести сле- дующие: устойчивость сплайнов относительно локальных возмущений или, другими словами, поведение сплайна в окрестности точки не влияет на поведение сплайна в целом, как это, например, имеет место при полиномиальном приближении. Высокая сходимость сплайн-интерполяции, в отличие от полиномиальной, простота и удобст- во реализации алгоритмов, построения и вычисления сплайнов на персональных ком- 9 пьютерах – несомненные преимущества сплайн-интерполяции. Применение сплайн- функций в различных вариационных, проекционных и других дискретно-контину- альных методах, позволяет получить ощутимые преимущества по сравнению с ис- пользованием классического аппарата многочленов, существенно упростить их чис- ленную реализацию, а также получить искомое решение с высокой степенью точно- сти. Укажем на ряд публикаций, где метод сплайн-аппроксимации использован для исследования механического поведения упругих пластин и оболочек различной структуры на основании классической, уточненной и пространственных моделей [2, 3, 7 – 9, 13, 27 – 41, 43 – 45, 49 – 64, 77, 78] и подробно описан в [50 – 52, 57, 63]. В нашем сообщении такой подход впервые был применен для исследования ди- намического поведения пьезокерамических цилиндров с однородной и неоднородной структурой. §3. Свободные неосесимметричные колебания полых пьезокерамических ци- линдров конечной длины с различной поляризацией. Пьезокерамические активные элементы цилиндрической формы являются одними из наиболее распространенных в акустоэлектронике. Поэтому важное значение имеет исследование динамических процессов, происходящих в пьезокерамических цилин- драх. Решение динамических задач для толстостенных элементов как пространствен- ных задач теории электроупругости связано со значительными трудностями, обуслов- ленными сложностью системы исходных дифференциальных уравнений в частных производных, а также необходимостью удовлетворять краевым условиям на ограни- чивающих тело поверхностях. Эти трудности существенно возрастают в условиях связанности полей и анизотропии пьезоэлектрических материалов. Отметим только отдельные работы о колебаниях пьезокерамических цилиндров конечной длины, вы- полненные в рамках трехмерной теории упругости [1 – 3, 7, 12, 13, 23, 24, 37, 38, 41, 43, 44, 53, 68, 77, 78]. В данном параграфе выполнено исследование свободных неосесимметричных ко- лебаний полых пьезокерамических цилиндров конечной длины с различным направ- лением поляризации пьезокерамики с жестко заделанными торцами на основании предложенной авторами численно-аналитической методики [1 – 3, 7, 13, 37, 38, 41, 43, 44, 53, 77, 78]. Наряду с однородными пьезокерамическими цилиндрами в статье рассмотрены случаи пьезокерамических цилиндров, выполненных из непрерывно неоднородной керамики. На основании предложенной авторами численно-аналитической методики проведено решение с высокой степенью точности задач о свободных неосесиммет- ричных колебаниях однородных и неоднородных полых пьезокерамических цилин- дров конечной длины с различным направлением поляризации пьезокерамики и вы- полнен анализ влияния факторов неоднородности и связанного электрического поля на поведение динамических характеристик соответствующих цилиндров. Основные соотношения и разрешающие системы уравнений. Представим посную систему уравнений, описывающих данную задачу. Уравне- ния гармонических колебаний в цилиндрической системе координат  , ,r z имеют такой вид (рис. 1): Рис. 1 10 уравнения движения 2 2 1 ;zrr rz r rr u r r z t                      2 2 1 2 ;r z r u r r z t                         (3.1) 2 2 1 ;zrz zz z rz u r r z t                  уравнения электростатики 1 0;r z r DD D D r r z             ;rE r     1 ;E r       ;zE z     (3.2) геометрические соотношения ;r rr u r     1 ;r u u r         ;z zz u z     1 ;r r u u u r r             ;z r rz u u r z        1 .z z uu r z         (3.3) Представленные соотношения необходимо дополнить уравнениями состояния по- ляризованной пьезокерамики, которые зависят от направления предварительной по- ляризации. Уравнения состояния в случае осевой поляризации 11 12 13 13 ;rr rr zz zc c c e E       13 13 33 33 ;zz rr zz zc c c e E       662 ;i i i r rc   55 152 ;rz rz rc e E   55 152 ;z zc e E     (3.4) 15 112 ;r rz rD e E   15 112 ;zD e E     13 13 33 33 .z rr zz zD e e e E       Уравнения состояния в случае радиальной поляризации 33 13 13 33 ;rr rr zz rc c c e E       13 11 12 31 ;rr zz rc c c e E        13 12 11 31 ;zz rr zz rc c c e E       55 152 ;i r rc e E     55 512 ;rz rz zc e E   (3.5) 662 ;z zc   33 31 31 33 ;r rr zz rD e e e E       15 112 ;zD e E     51 332 .z rz zD e E   Уравнения состояния в случае окружной поляризации 11 13 12 13 ;rr rr zzc c c e E        13 33 13 33 ;rr zzc c c e E         12 13 11 13 ;zz rr zzc c c e E        55 152 ;r r rc e E    662 ;rz rzc  55 152 ;z z zc e E    15 112 ;r r rD e E   (3.6) 13 33 13 33 ;rr zzD e e e E         15 112 .z z zD e E   11 В случае рассмотрения непрерывно неоднородного пьезокерамического материа- ла цилиндра все физико-механические модули будут функциями радиальной коорди- наты. Граничные условия на боковых поверхностях цилиндра задаются следующим об- разом (при 0r R h  ): поверхности свободны от внешних усилий: 0rr r rz     ; и покрыты закоро- ченными электродами: 0  . На торцах (при / 2z L  ) будем задавать граничные условия жесткой заделки: 0r zu u u   , и условие, что торцы свободны от электродов: 0zD  ; что эквива- лентно следующим соотношениям: 0;ru  0zu u z z z           . Вид разрешающей системы уравнений будет зависеть от направления предвари- тельной поляризации керамики. Перейдем к рассмотрению задач для различных направлений пьезокерамики. Приведем вид разрешающих систем дифференциальных уравнений в частных производных в общем случае с переменными коэффициентами, которые получены с помощью тождественных преобразований исходных соотноше- ний (3.1 – 3.6). Разрешающая система уравнений в случае осевой поляризации 2 2 2 2 66 5511 2 2 2 2 2 11 11 11 2 2 2 11 66 12 66 11 66 13 15 2 11 11 11 11 1 1 1 1 1 ; r r r r r z c cu c u u u u c c c r rr r r z c c u c c u c c e eu c c r r c r z c r zr                                                         2 E 22 12 66 11 66 11 2 2 2 2 66 66 66 2 2 2 255 66 13 55 13 15 2 2 66 66 66 66 1 1 1 1 1 1 1 ; r r r z u c c c c uu u u c r r c r r c cr r r c u c c c e eu u c c c r z c r zz r                                                              (3.7)   22 2 13 55 111 1 2 2 2 2 2 311 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ; z r r z z z z c c uu u u r z r z r zr u u u u r rr z z                                                         222 13 55 154 4 2 2 2 2 2 15 5 55 33 2 2 2 2 1 1 1 1 , r r z z c c e uu u r z r z r zr e cu u r rz r z                                               где введены следующие обозначения: 2 55 11 15 ;c e   1 13 11 15 33 ;c e e   2 33 11 15 33 ;c e e   3 15 33 33 11;e e    4 13 15 55 13 ;c e c e   5 55 33 33 15 .c e c e   Разрешающая система уравнений в случае радиальной поляризации 2 2 2 233 6 6 13 33 711 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1r r r r r e e uu c u u u u r rr r r z r                                    12 2 2 2 2 8 9 8 10 10 13 33 2 2 2 1 1 1 1 ;z zu eu u r r r z r z r rr z                                     2 22 2 11 55 13 55 11 2 2 2 2 2 55 55 55 55 1 1 1 1r ru c c c c uu u c u c c r r c cr r r r                                  2 2 2 66 12 66 15 13 15 2 2 55 55 55 55 1 1 1 1 ;zc u u c c e e eu c r r c r z c c r rz r                                   22 2 12 55 13 55 12 66 2 55 55 55 2 2 2 2 66 13 15 1511 2 2 2 55 55 55 55 55 1 1 1 1 1 ; z r r z z z z c c c c c c uu u u u c r z c r z c r z r rr c e e eu c u u c c c c r z c r zr z                                                        (3.8) 2 22 233 6 6 33 13 711 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 9 10 10 13 33 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , r r r r z e c e uc u u u u r rr r r z r u e eu r r r z r rr z                                                                 где введены следующие обозначения: 2 55 33 33 ;c e    1 55 33 15 33 ;c e e      2 11 55 33 15 33 ;c c e e          3 13 55 33 13 15 33 ;c c e e e          4 12 13 33 13 33 ;c c e e       5 33 11 15 33 ;e e      6 33 15 55 33 ;c e c e       7 33 15 13 55 33 ;c e c c e           8 33 13 15 13 55 33 ;c e e c c e           9 12 13 33 33 13 ;c c e c e        10 33 11 15 33 .c e e     Разрешающая система уравнений в случае окружной поляризации 2 2 2 233 55 66 33 55 2 2 2 2 2 2 11 11 11 11 1 1 1 1r r r r r c c c c c uu u u u u c c c r r cr r r z r                              2 2 2 13 55 12 13 12 66 33 13 15 2 2 11 11 11 11 11 1 1 1 1 ;z zc c u c c c c e e eu u c r r c r z c r z c c r rr                                       2 22 27 6 55 11 8 112 2 2 2 2 2 2 2 55 11 6 5 15 11 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; r r z u c uu u u r rr r r r u c u eu r r r z r rz r                                                                         (3.9) 22 2 13 66 12 66 13 55 2 66 66 66 1 1z r rc c c c c c uu u u c r z c r z c r zr                            2 22 2 55 13 1511 2 2 2 66 66 66 66 1 1 1 ;z z z z c e eu c u u u c c c r r c r zr z                      13 222 233 3 55 152 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1r re c e uu u u r rr r r r r                                2 22 2 55 15 3 151 2 2 2 1 1 1 1 1 ,zc e u eu r r r r rr z                                    где введены следующие обозначения: 2 55 11 15c e    ;    1 13 55 11 13 15 15c c e e e         ;  2 33 55 11 15 33c c e e       ; 3 33 11 15 33c e e     ; 4 15 33 33 11e e      ; 5 55 13 33 15c e c e      ;  6 33 33 33 55 15c e c c e        ; 7 55 13 33 15c e c e      ; 8 55 33 15 33c e e     и безразмерные величины 0 00 ; ; ; ; ,ij ij ij ij ij ij c eh h c e R               (3.10) где: 0R – радиус срединной поверхности цилиндра; h – половина толщины цилинд- ра;  – круговая частота; 1010 a   ; 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Метод решения. Для сведения исходных систем трехмерных дифференциальных уравнений теории электроупругости (3.7) – (3.9) в частных производных в общем случае с переменными коэффициентами к двумерным, будем применять метод разделения переменных. Учи- тывая тот факт, что цилиндр является замкнутым телом в окружном направлении, представим компоненты разрешающего вектора в виде стоячих волн в окружном направлении. Характер этих волн зависит от предварительной поляризации пьезоке- рамики. Для пьезокерамики, поляризованной в осевом и радиальном направлении, компо- ненты разрешающего вектора представлены в виде  1 , cos ;ru hU r z m  2 , sin ;u hU r z m   3 , cos ;zu hU r z m  4 0 , cos .h U r z m     (3.11) Для пьезокерамики, поляризованной в окружном направлении, компоненты раз- решающего вектора представлены в виде  1 , cos ;ru hU r z m  2 , sin ;u hU r z m   3 , cos ;zu hU r z m  4 0 , sin .h U r z m     (3.12) На основании представления (3.11), система дифференциальных уравнений (3.7) примет вид 22 2 211 66 55 11 661 1 1 1 22 2 2 2 11 11 11 1 1c m c c c cU U U m U U c c r r cr r z r                        2 2 12 66 11 66 3 13 152 4 11 11 11 ; c c c c U e eU Um c r r c r z c r z                       14 E2 2 12 66 11 66 552 1 2 2 12 2 2 66 66 66 2 266 11 13 55 3 13 15 4 22 66 66 66 1 1 ; c c c c cU U U Um m U c r r c r r cr r z c m c c c U e e Um m U c c r z c r zr                                             (3.13)  2 2 13 55 113 1 1 1 1 2 2 2 22 23 3 32 4 11 32 2 2 1 1 1 1 1 ; c cU U U Um r z r z r zr U U Um U r r z r z                                                    2 2 13 55 154 4 1 4 1 2 2 2 2 22 5 3 15 55 334 4 3 42 2 2 1 1 . c c eU U U Um r z r z r zr U e cU Um U U r rz r z                                        На основании представления (3.12), система дифференциальных уравнений (3.8) примет вид 22 2 213 33 11 33 1 31 1 1 1 2 12 2 2 2 22 3 3 13 33 5 52 2 4 4 4 2 42 2 2 1 1 1 1 1 ; e e c mU U U Um U r r r rr z r U U e U Um m U U r z r z r rr r z                                                           22 211 55 13 55 55 112 1 1 22 2 2 55 55 55 2 66 12 66 3 15 13 152 2 4 42 2 55 55 55 55 1 1 ; c c c c c m cU Um m U U c c r r cr r r c c c U e e eU U Um m m U c r r c r z c c r rz r                                              (3.14) 2 22 23 13 55 12 55 12 66 661 1 2 32 2 55 55 55 55 2 2 3 3 13 15 1511 4 4 2 55 55 55 1 1 1 1 ; U c c c c c c m cU U Um U c r z c r z c r z cr r U U e e ec U U r r c c r z c r zz                                                   22 2 211 33 6 6 33 13 84 1 1 2 33 12 2 2 22 7 9 3 13 33 10 104 4 2 42 2 2 1 1 1 1 1 . c e m c eU U U Um e U r r r rr r z U e e U Um m U U r z r rr r z                                                   На основании представления (3.12), система дифференциальных уравнений (3.9) примет вид 22 2 233 55 66 13 551 1 1 2 12 2 2 11 11 11 2 2 33 55 12 66 3 12 13 3 13 15 334 2 42 2 11 11 11 11 11 1 1 1 ; c m c c c cU U U Um U c c r r c r rr r z c c c c U c c U e e eUm m m U U c c r z c r z c r r cr r                                                        15 22 255 11 55 11 32 1 1 2 2 1 11 22 2 2 2 2 3 15 112 1 4 4 42 2 1 1 1 ; c c mU U Um m U U r r r rr r r U eU Um m U r z r rz r                                             (3.15) 2 2 3 12 66 13 66 13 551 1 2 2 66 66 66 2 2 2 255 3 3 13 1511 4 32 2 2 66 66 66 1 1 1 ; U c c c c c cU U Um c r z c r z c r zr m c U U e ec U U c c r r cr z z                                              22 25 6 55 15 74 1 1 15 22 2 2 22 55 15 5 3 15 82 4 4 42 2 1 1 1 1 . c e mU Um m U e U r rr r r c e m U eU U Um U r r z r r r z                                             Для сведения систем двумерных дифференциальных уравнений (3.13)  (3.15) в частных производных к краевым задачам на собственные значения для систем обык- новенных дифференциальных уравнений, применяем метод сплайн-коллокаций. Не- известные функции        1 2 3 4, , , , , , ,U r z U r z U r z U r z представим в виде следующих отрезков рядов для различных случаев предварительной поляризации пьезокерамики. Осевая поляризация                         1 1 1 2 2 1 0 0 3 3 2 4 4 2 0 0 , ; , ; , ; , . N N i i i i i i N N i i i i i i U r z u x z U r z u x z U r z u x z U r z u x z                 (3.16) Радиальная и круговая поляризация                         1 1 1 2 2 1 0 0 3 3 2 4 4 1 0 0 , ; , ; , ; , , N N i i i i i i N N i i i i i i U r z u x z U r z u x z U r z u x z U r z u x z                 (3.17) где 0r R x h   ,        1 2 3 4, , ,i i i iu x u x u x u x – искомые функции от переменной x ;  ji z  1, 2; 0, 1, ,j i N   – линейные комбинации B -сплайнов третьего поряд- ка на равномерной сетке  : 0/ 2L z  < 1z < ... < / 2nz L с учётом граничных усло- вий при / 2z L  та / 2z L . Так, как в решаемые системы уравнений входят про- изводные от неизвестных искомых функций не выше второго порядка, то можно в выражениях (3.16), (3.17) ограничиться сплайнами третьего порядка   2 3 2 1 2 2 1 3 3 2 1 3 1 2 2 0; ; ; ; 3 3 3 1; ;1 3 6 4; ;6 1 ; ; 0; , i i i i ii i i i i i z z z z z z z z z z z z B z z z z z z z z z z z                                             (3.18) 16 где   /k zz z z h  на интервале:  1; ,k kz z  2, 1;k i i   1, 1;i N   1 const.z k kh z z   При этом функции ji формируются таким образом: а) если соответствующий компонент вектора решения равняется нулю, тогда имеем 1 0 1 0 1 0 3 3 1 3 3 3 1 ( ) 4 ( ) ( ); ( ) 4 ( ) ( ) ( ); 2j jz B z B z z B z B z B z          3( ) ( ), 2, 2 ;i ji z B z i N    (3.19) б) если производная по z от соответствующего компонента вектора решения равна нулю тогда имеем:  0 1 0 1 0 3 1 3 3 3 3 1 ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ), 2, 2 . 2 i j j jiz B z z B z B z B z z B z i N         (3.20) Аналогичные формулы имеют место для 1( )jN z  и ( )jN z . Подставляем решения (3.16) и (3.17) в соответствующие уравнения (3.13)  (3.15) по- требуем, чтобы они удовлетворялись в заданных точках коллокации  / 2; / 2 ,k L L   0,k N . Рассмотрим случай, когда количество узлов сетки четное  2 1 3N n n   (учитывается 0z ), в точках коллокации они удовлетворяют условиям  2 2 2 1, ,i i iz z   2 1 2 2 1, ( 1, )i i iz z i n    . Тогда на отрезке  2 2 1,i iz z  имеем по два узла коллокации, а на соседних отрезках  2 1 2 2,i iz z  узлы коллокации отсутствуют. На каждом из отрез- ков  2 1 2 2,i iz z  точки коллокации выбираются следующим образом: 2 2 1 ,i i zz w h   2 1 2 2 ( 1, )i i zz w h i n     , где 1w и 2w это корни полинома Лежандра второго порядка на отрезке  0, 1 , которые равняются 1 1 3 ; 2 6 w   2 1 3 2 6 w   . Такой выбор точек коллокации является оптимальным и существенно увеличивает порядок точности ап- проксимации. Если ввести обозначения:   ; , 0, ; 1, 2;j ji kФ k i N j         T T 1 10 11 1 2 20 21 2, ,..., ; , ,..., ;N Nu u u u u u u u     T T 3 30 31 3 4 40 41 4, ,..., ; , ,..., ;N Nu u u u u u u u      , , , 1,8 ;k l k l k l        T 2 2 2 0 1, , , , , ,..., , ,kl kl kl kl Na a x a x a x      , система (3.13) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вы- сокого порядка-  8 1N  относительно функций 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,u u u u u u u u    : 1 1; d dx  u u 2 2 ; d dx  u u 3 3; d dx  u u 4 4 ; d dx  u u  11 1 12 1 1 13 1 1 14 2 211 1 15 2 2 16 1 3 17 1 4 ; a a a ad dx a a a                     u u uu u u u      21 1 1 22 1 1 23 2 24 2 212 2 25 2 2 26 1 3 27 1 4 a a a ad dx a a a                     u u uu u u u   ; (3.21)   31 1 1 32 1 1 33 2 213 1 34 1 35 1 3 36 1 3 37 11 4 a a ad a a a adx                        u u uu u u u   ; 17     41 1 1 42 1 1 43 2 2 44 1 45 1 314 1 46 1 47 1 4 48 1 41 a a a a ad dx a a a                           u u u uu u u   , где 2 266 11 11 2 11 1 ; m c c a cx           55 12 11 ; c a c     13 1 ;a x    11 66 14 2 11 ; m c c a c x       12 66 15 11 ; c c a c x       13 55 16 11 ; c c a c       13 15 17 11 ; e e a c        11 66 21 2 66 ; m c c a c x       12 66 22 66 ; m c c a c x      2 211 66 23 2 66 1 ; m c c a cx           55 24 66 ; c a c     25 1 ;a x   13 55 26 66 ; c c m a c x      13 15 27 66 ; e e m a c x      4 31 1 1 ;a x       4 32 1 ;a       4 33 1 ; m a x       2 2 34 332 1 ; m a x           5 35 ;a     36 1 ;a x   6 37 ;a    1 41 1 ;a x    1 42 ;a    1 43 ; m a x    2 15 44 ; e a      2 45 ;a    2 46 2 ; m a x  3 47 ;a     48 1 a x   . Система (3.14) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка –  8 1N  относительно функций 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,u u u u u u u u    : 1 1; d dx  u u 2 2 ; d dx  u u 3 3; d dx  u u 4 4 ; d dx  u u     11 1 12 1 1 13 1 1 14 2 2 15 2 211 1 16 1 3 17 1 3 18 1 19 1 4 110 1 4 ; a a a a ad dx a a a a a                               u u u uu u u u u      21 1 1 22 1 1 23 2 24 2 212 2 25 2 2 26 1 3 27 1 4 28 1 4 ; a a a ad dx a a a a                       u u uu u u u u    (3.22)  31 1 1 32 1 1 33 2 2 34 1 35 1 313 1 36 1 3 37 1 4 38 1 4 a a a a ad dx a a a                           u u u uu u u u    ;     41 1 42 1 1 43 2 1 44 2 2 45 2 214 1 46 1 3 47 1 3 48 1 49 1 4 410 1 4 a a a a ad dx a a a a a                              u u u uu u u u u     , где 2 26 11 33 11 332 1 ; m c a x              6 12 ;a     13 33 13 1 1 ; e e a x         7 14 2 ; m a x    18 8 15 ; m a x    9 16 ;a x    8 17 ;a    2 10 18 2 ; m a x     10 19 ;a    13 33 110 1 ; e e a x     11 55 21 2 11 ; c c m a c x      13 55 22 11 ; c c m a c x      2 211 55 23 2 55 1 ; m c c a cx           66 24 55 ; c a c     25 1 ;a x   12 66 26 11 ; c c m a c x      15 27 2 55 ; e m a c x    13 15 28 55 ; e e m a c x      12 55 31 55 1 ; c c a c x       13 55 32 11 ; c c a c       12 66 33 55 ; c c m a c x       2 266 34 2 55 1 ; m c a cx          11 35 55 ; c a c     36 1 ;a x   15 37 55 1 ; e a c x     13 15 38 55 ; e e a c       2 211 33 1 41 332 1 ; c e m a e x             1 42 ;a    33 33 43 1 ; e c a x     2 44 2 ; m a x     3 45 ; m a x    4 46 ;a x    3 47 ;a    2 5 48 2 ; m a x    5 49 ;a     13 33 410 1 1 e e a x        . Система (3.15) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка –  8 1N  относительно функций 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,u u u u u u u u    : 1 1; d dx  u u 2 2 ; d dx  u u 3 3; d dx  u u 4 4 ; d dx  u u  11 1 12 1 1 13 1 1 14 2 2 15 2 211 1 16 1 3 17 1 3 18 1 4 19 1 4 ; a a a a ad dx a a a a                          u u u uu u u u u      21 1 1 22 1 1 23 2 24 2 212 2 25 2 2 26 1 3 27 1 4 28 1 4 a a a ad dx a a a a                       u u uu u u u u    ; (3.23)  31 1 1 32 1 1 33 2 2 34 1 35 1 313 1 36 1 3 37 1 4 a a a a ad dx a a                        u u u uu u u    ; 41 1 1 42 2 1 43 2 2 44 2 214 1 45 1 3 46 1 4 47 1 4 a a a ad a a adx                      u u u uu u u u    , где 33 55 11 2 11 ; c c a c x      2 12 11 ;a c     13 1 ;a x   33 55 14 2 11 ; m c c a x c       13 55 15 11 ; m c c a xc      13 12 16 11 ; c c a xc      12 66 17 11 ; c c a c      2 33 18 2 11 ; m e a x c   13 15 19 11 ; m e e a xc      7 21 2 ; m a x    6 22 ; m a x     2 2 23 55 11 8 112 1 1 ;a c m x             24 1;a   55 11 25 ; c a x     19 6 26 ; m a x    2 5 27 2 ; m a x    15 11 28 ; e a x     13 66 31 66 1 ; c c a xc      12 66 32 66 1 ; c c a xc       13 55 33 66 ; m c c a xc      2 255 34 2 66 1 ; m c a cx          11 35 66 ; c a c     36 1 ;a x   13 15 37 66 ; m e e a c      2 41 2 ; m a x    3 42 ; m a x    2 255 4 43 152 2 1 ; c m a e x x             55 15 44 ; c e a x     3 45 ; m a    2 1 46 2 ; m a x    47 1 .a x  Системы (3.21)  (3.23) можно преобразовать к нормальной форме Коши  , d A x dx   R R , (3.24) где 10 11 1 10 11 1 20 21 2 20 21 2 30 31 3 30 31 3 40 41 4 40 41 4 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , N N N N N N N N u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u         R                   . Если ввести обозначения: 1 11 1 1 ;      1 12 2 1 ;      2 21 1 1 ;      2 22 2 1 ;      1 11 1 1 ;      1 12 2 1 ;      2 21 1 1 ;      2 22 2 1 ,      а также для осевой поляризации: 2 11 66 515 1 2 11 1111 ; c m c c cx c           2 11 1 ; c    2 66 11 515 1 2 66 1166 ; c m c c cx c           2 66 1 ; c    2 2 1 1 2 22 ; m x         11 2 ;      2 11 33 6 6 1 2 11 ; c e m x           15 2 ; e     для радиальной поляризации: 2 11 33 1 1 1 2 11 ; c m x           33 2 ;      2 55 11 66 1 2 55 1155 ; c m c c cx c           2 55 1 ; c    2 66 11 1 2 55 2255 ; m c c cx c         2 55 1 ; c    5 1 22 ;     33 2 ; e     для окружной поляризации: 2 11 66 66 1 2 11 1111 ; c m c c cx c           2 11 1 ; c    2 55 11 3 1 2 11 1 ; c m x          11 2 ;      2 55 11 1 2 66 2266 ; m c c cc x         2 66 1 ; c    2 55 15 4 1 2 ; c e m x        15 2 . e     20 Тогда матрица A для системы (3.24) будет иметь вид                     11 66 12 66 11 66 13 152 1 2 2 11 11 21 11 21111 11 66 12 66 13 55 13 152 1 22 66 66 21 66 2166 4 4 12 12 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 m c c m c c c c e e x c x c cc x m c c m c c m c c m e e c x x xc xcc x x                                                                      13 55 111 2 3 1 2 12 22 2 15 13 55 2 55 114 4 1 2 2 12 12 12 22 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 m c c x x me c c cm x x xx                                             (3.25) Граничные условия для системы (3.24) будут иметь следующий вид:    1 21 0; 1 0.  B R B R (3.26) Матрицы 1B и 2B имеют вид для системы (3.26) 12 1 11 1 12 1 13 2 13 2 1 1 1 1 55 1 55 2 15 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c c с m c e m c c e                        B        12 1 11 1 12 1 13 2 13 2 1 1 1 2 55 1 55 2 15 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c c с m c e m c c e                      B        . Матрица A для системы (3.24) будет иметь вид:           2 2 13 33 3 5 5 13 332 4 2 1 2 2 2 21 21 11 11 55 13 55 12 66 13 152 15 1 22 2 55 55 21 55 5555 12 55 55 12 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 e e m m em x x x x xx x m c c m c c m c c m e ee m c x x xc c c xc x x c c c x                                                                   13 55 12 66 2 15 13 15 1 2 55 12 55 12 55 12 55 12 2 2 33 33 7 8 9 10 101 13 33 1 2 2 2 21 11 . 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 c c m c c e e e c c x x c x c c e m m m e e x x x xx x                                                               (3.27) Матрицы 1B и 2B граничных условий (3.26) для системы уравнений (3.24) имеют сле- дующий вид: 21 13 1 33 1 13 1 13 2 33 1 55 1 55 1 55 1 15 1 55 1 55 2 15 1 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c c c m c e c m c c e m c c e                  1B           13 1 33 1 13 1 13 2 33 1 55 1 55 1 55 1 15 1 55 1 55 2 15 1 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c c c m c e c m c c e m c c e                 2B           Матрица A для системы (3.24) будет иметь вид:      2 33 55 13 55 13 152 13 12 12 66 33 1 2 2 2 11 11 21 11 21 1111 11 2 2 55 11 15 112 1 1 4 1 22 2 21 13 66 1 66 12 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 m c c m c c m e ec c c c m e x xc xc c xcx c x c c em m m m x x x xx x c c c xc                                                             13 55 22 66 13 15 1 2 66 12 66 12 66 12 2 26 5 55 15 5 8 15 1 22 2 21 111 . 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 m c cc e e c xc x c m m c e m m e x x xx x                                                 (3.28) Матрицы 1B и 2B граничных условий (3.27) для системы (3.26) имеют следующий вид: 13 1 11 1 13 1 12 2 13 1 55 1 55 1 55 1 15 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c c c m c e m c m c c e B                        13 1 11 1 13 1 12 2 13 1 55 1 55 1 55 1 15 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c c c m c e m c m c c e B                       Решение сформулированных выше краевых задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений выполнено устойчивым чис- ленным методом дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска. Численный анализ спектра собственных частот свободных неосесимметрич- ных колебаний пьезокерамических цилиндров конечной длины с осевой поляри- зацией пьезокерамики. Для оценки достоверности результатов расчетов для данного класса задач рас- смотрим тестовую задачу о свободных колебаниях однородного полого пьезокерами- ческого цилиндра с граничными условиями шарнирного опирания на торцах (рис. 1). 22 В качестве материала цилиндра рассматривалась пьезокерамика PZT 4. Геометри- ческие характеристики цилиндра задавались следующими: длина цилиндра 10L  , внутренний радиус – 3R  , внешний  5R  . При таких геометрических характе- ристиках данная задача совпадает с задачей о распространении акустоэлектрических волн в пьезокерамическом волноводе (при 0, 25  ). В табл. 1 представлено сравнение результатов решения задачи первые шесть соб- ственных частот с помощью метода сплайн коллокации при различном числе точек коллокации аналитической решении, полученном в работе [91]. Таблица 1 Порядковый номер частоты N = 24 N = 30 Аналитическое решение 1 0,1501 0.1412 0.1411 2 0,2743 0.2739 0.2738 3 0,3774 0,3767 0,3764 4 0,4358 0,4339 0,4338 5 0,5081 0,5072 0,5071 6 0,6057 0,6048 0,6045 Результаты, приведенные в табл. 1, говорят о практическом совпадении данных, полученных с помощью метода сплайн-коллокации и метода степенных рядов, что может служить критерием достоверности проведения расчетов на основе предложен- ного нами численно аналитического подхода. Решена задача в случае жесткого закрепления торцов цилиндра. На рис. 2 пред- ставлена зависимость первых пяти собственных частот от относительной длины ци- линдра со следующими геометрическими параметрами: длина 10L  , внутренний радиус 3R  , внешний  5R  . Материал цилиндра – пьезокерамика PZT 4. Сплошными линиями показано значение частот с учётом пьезоэффекта, штриховыми – без учёта пьезоэффекта ( 0ije  ). Очевидно, что с увеличением относительной дли- ны цилиндра собственные частоты уменьшаются. Первая собственная частота почти не зависит от связанного электрического поля, для более высоких частот связанное электрическое поле оказывает более существенно влияние на характер поведения собственных частот. 0 2 4 6 8 2 4 6 8  L/h 0 1 2 3 4 1,0 1,5 2,0 2,5  R - Рис. 2 Рис. 3 23 На рис. 3 представлена зависимость первых пяти частот свободных колебаний пьезокерамического цилиндра от внутреннего радиуса R , при этом внешний радиус остается постоянным и равняется 5R  . Длина цилиндра равняется 5L  . Для пер- вых трех собственных частот наблюдается с увеличением радиуса цилиндра увеличе- ние значений собственных частот, в случае более высоких частот характер спектра усложняется, появляются интервалы, где наблюдается незначительная зависимость значений собственных частот от рассматриваемого геометрического параметра ци- линдра. Решим задачу для случая, когда материал цилиндра является непрерывно неодно- родным. Физико-механические характеристики такого материала изменяются по ра- диальной координате по экспоненциальному закону следующим образом: 0 ,nr ij ijc c e 0 ,nr ij ije e e 0 nr ij ij e  . Параметр n определяется экспериментальным путем и, как пра- вило, находится в следующем интервале 2 ≤ n ≤ 2 . Характеристики материала с индексом 0 достигаются на внешней поверхности цилиндра ( 5R  ) и имеют следу- ющие значения: 0 10 0 10 0 10 0 10 11 12 13 332 2 2 2 H H H H 13,9 10 ; 7,43 10 ; 7,78 10 ; 11,5 10 ; м м м м c c c c        0 10 0 0 0 0 0 55 13 15 33 11 332 2 2 2 H K K K 2,56 10 ; 5, 2 ; 12,7 ; 15,1 ; 730; 635. м м м м c e e e          (3.29) Характер изменения физико-механических характеристик материала показано на рис. 4 на примере упругого модуля 11c . 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 0 - 0 , 5 - 1 , 0 - 1 , 5 n = 1 , 51 , 0 0 , 5 c 11 c 0 11 x 2 4 6 8 2 4 6 8 0 - 0 , 5 - 1 , 0 - 1 , 5 0 , 5 1 , 0  L/h n = 1 , 5 Рис. 4 Рис. 5 На рис. 5 представлена. зависимость первой собственной частоты от относитель- ной длины цилиндра для различных значений параметра неоднородности n ( 1m  ). На рис. 6 представлена зависимость первой собственной частоты колебаний ци- линдра от внутреннего радиуса R для различных значений параметра n , внешний радиус при этом остается постоянным и равняется 5R  ( 1m  ) при длине цилин- дра 5L  . 24 Проведем исследование влияния свя- занного электрического поля и фактора не- однородности электрического поля на зна- чения собственных частот колебаний ци- линдра. Для определения влияния фактора неоднородности проведем сравнение значе- ний частот для неоднородного цилиндра и однородного с осредненными характери- стиками, вычисленными с применением теории эффективных модулей для случая, когда модули меняются по экспоненциаль- ному закону   0 0 2 1 . 2 R nRnr nh R e dr e e R R nh            (3.30) В табл. 2 приведены значения первых пяти частот свободных колебаний неодно- родного пьезокерамического цилиндра и проведено сравнение с приближенными значениями собственных частот для одно- родного цилиндра, упругие модули которого определены с помощью применения формул теории эффективных модулей. Также проводится сравнение с собственными частотами неоднородного цилиндра при отсутствии связанного электрического поля. Расчеты проводились при следующих параметрах: 5L  , 5R  , 2R  , 1,5n  , 1m  , материал цилиндра – пьезокерамика PZT 4. Таблица 2 № ча- стоты Неоднород- ный цилиндр Цилиндр из осредненного одно- родного материала Относитель- ная погреш- ность, % Без учёта свя- занного электри- ческого поля Относитель- ная погреш- ность, % 1 1,15 1,16 0,9 1,14 0,9 2 2,18 2,18 0,0 1,79 17,9 3 2,31 2,35 1,8 2,04 11,7 4 2,82 2,64 6,4 2,19 22,3 5 2,98 3,04 2,0 2,84 4,7 Как можно видеть из приведенной таблицы, относительная погрешность при пре- небрежении фактора неоднородности для данной задачи значительно меньше, чем погрешность, которая возникает при пренебрежении связанного электрического поля. Так, при пренебрежении фактором неоднородной. структуры цилиндра, наибольшая погрешность для приведенных пяти собственных первых частот возникает на четвер- той частоте и составляет 6,4%. Для случая, когда пренебрегаем связанным электриче- ским полем, погрешность на отмеченных выше частотах будет значительно больше и составит 22,3% для третьей собственной частоты. Численный анализ спектра собственных частот свободных неосесиммет- ричных колебаний пьезокерамических цилиндров конечной длины с радиальной поляризацией пьезокерамики. Представим результаты численного анализа решений задачи в случае жестко заде- ланных торцов цилиндра. В качестве материала цилиндра принята пьезокерамика PZT 4. На рис. 7 показана зависимость первых пяти частот собственных колебаний от отно- сительной длины цилиндра /L h ( 5;R  3R  ). Здесь R – внешний радиус ци- линдра; R – внутренний. Сплошными линиями показано изменение значений первых пяти собственных частот ( ) в зависимости от изменения безразмерной длины ци- линдра ( /L h ) с учетом пьезоэффекта, пунктирными – без учета пьезоэффекта 0 1 2 3 4 0,5 1,0 1,5 R - 0 , 5 1 , 0 n = 1 , 5 0 - 0 , 5 - 1 , 0  - 1 , 5 Рис. 6 25 ( 0ije  ). Из приведенных результатов вид- но, что влияние пьезоэффекта приводит к «ужесточению» материала, т.е. к повыше- нию значения собственных частот. В этом случае при определении первой и второй собственных частот влиянием пьезоэффекта можно пренебречь для всех длин цилиндри- ческих оболочек, вплоть до относительной длины ( 5L  ). Для более высоких частот это влияние заметно для более длинных ци- линдров. На рис. 8 представлены графики зави- симостей первых пяти собственных частот от внутреннего диаметра цилиндра ( R ), при этом длина цилиндра ( 5L  ) и внешний диаметр ( 5R  ) остаются фиксированны- ми. Анализ приведенных результатов показывает, что влияние пьезоэффекта является существенным в рассматриваемом диапазоне. Наименьшее его влияние заметно лишь для первой собственной частоты. Для более высоких частот наблюдается существен- ная перестройка спектра собственных частот колебаний. На рис. 9 показана зависимость первых шести частот собственных колебаний от числа m полуволн в окружном направлении. Хотя промежуточные значения соб- ственных частот между целыми значениями числа полуволн не имеют физического смысла, они соединены линией для большей наглядности зависимости. Сплошной линией соединены значения частот собственных колебаний для случая пьезокерами- ческого цилиндра, пунктирной – для случая упругого цилиндра ( 0ije  ). На основа- нии представленных данных заметим, что наименьшее влияние пьезоэффекта сказы- вается на первые две частоты для малых значений m . С ростом числа полуволн в окружном направлении наблюдается усиление влияния пьезоэффекта на спектр соб- ственных частот. Решим задачу для случая, когда материал цилиндра является непрерывно неодно- родным. Физико-механические характеристики такого материала изменяются по ра- Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9 26 диальной координате по экспоненциальному закону следующим образом: ,o nr ij ijc c e ,o nr ij ije e e o nr ij ij e  . Параметр n определяется экспериментальным путем и, как правило, находится в следующем интервале: 2 ≤ n ≤ 2 . Характеристики материала с индексом 0 достигаются на внешней поверхности цилиндра ( 5R  ) и имеют значе- ния (3.29). Характер изменения физико-механических характеристик материала показан на рис. 4 на примере упругого модуля 11c . На рис. 10 показана зависимость первой собственной частоты от относительной длины цилиндра для различных значений параметра неоднородности n . 2 4 6 8 0 2 4 6 0 - 0 , 5 - 1 , 0 - 1 , 5 0 , 5 1 , 0  L / h n = 1 , 5 0 1 2 3 4 1 2 0 - 0 , 5 - 1 , 0 - 1 , 5 0 , 5 1 , 0  n = 1 , 5 R - Рис. 10 Рис. 11 На рис. 11 показано, как влияет изменение внутреннего радиуса R цилиндра на значение первой собственной частоты колебаний при различных значениях парамет- ра n , при этом внешний радиус цилиндра остается постоянным и равняется 5R  . Длина цилиндра имеет значение 5L  , количество полуволн в окружном направле- нии равно 1m  . Проведем исследование влияния связанного электрического поля и фактора неод- нородности электрического поля на значения собственных частот колебаний цилин- дра с радиальной поляризацией. Для определения влияния фактора неоднородности проведем сравнение значений частот для неоднородного цилиндра и однородного с осредненными характеристиками, вычисленными с применением теории эффективных модулей для случая, когда модули меняются по экспоненциальному закону (3.30). В табл. 3 приведены значения первых пяти частот свободных колебаний неодно- родного пьезокерамического цилиндра и проведено сравнение с приближенными зна- чениями собственных частот для однородного цилиндра, упругие модули которого определены с помощью применения формул теории эффективных модулей. Таблица 3 № частоты Неоднород- ный цилиндр Цилиндр из осредненного однородного материала Относительная погрешность % Без учёта свя- занного элек- трического поля Относительная погрешность, % 1 1,31 1,31 0 1,21 7,6 2 2,16 2,10 2,8 1,83 15,3 3 2,29 2,30 0,4 2,22 3,1 4 2,69 2,68 0,4 2,31 14,1 5 3,08 3,11 1,0 2,74 11,0 27 Также проводится сравнение с собственными частотами неоднородного цилиндра при отсутствии связанного электрического поля. Расчеты проводились при следую- щих параметрах: 5L  , 5R  , 2R  , 1,5n  , 1m  , материал цилиндра – пьезоке- рамика PZT 4. Как можно видеть из приведенной табл. 3, относительная погрешность при пре- небрежении фактора неоднородности для данной задачи значительно меньше, чем погрешность, которая возникает при пренебрежении связанного электрического поля. Так, при пренебрежении фактором неоднородной структуры цилиндра, наибольшая погрешность для приведенных пяти собственных первых частот возникает на второй частоте и составляет 2,8 %. Для случая, когда мы пренебрегаем связанным электриче- ским полем, погрешность на отмеченных выше частотах будет значительно больше и составляет 15,3% для второй собственной частоты Численный анализ спектра собственных частот свободных неосесиммет- ричных колебаний пьезокерамических цилиндров конечной длины с круговой поля- ризацией пьезокерамики. Решена задача в случае жесткого закрепления торцов цилиндра. На рис. 12 пред- ставлена зависимость первых пяти собственных частот от относительной длины ци- линдра /L h со следующими геометрическими параметрами: внутренний радиус 3R  , внешний  5R  . Материал цилиндра – пьезокерамика PZT 4. Количество полуволн в окружном направлении имеет следующее значение: 1m  . Сплошными линиями показано значение частот с учётом пьезоэффекта, штриховыми – без учёта пьезоэффекта ( 0ije  ). Можно видеть, что с увеличением относительной длины ци- линдра собственные частоты уменьшаются. Первая собственная частота для длинных цилиндров практически почти не зависит от связанного электрического поля, для бо- лее высоких частот связанное электрическое поле оказывает более существенно влия- ние на характер поведения собственных частот. Для собственных частот, начиная со второй, отметим интервалы, на которых собственная частота незначительно зависит от геометрических параметров цилиндра («плато») и точки сближения частот (не пе- ресечения) частот. Очевидно, что отмеченные значения являются неблагоприятными для надежного функционирования соответствующих конструктивных элементов, имеющих цилиндрическую форму. В этом случае незначительному изменению соб- ственной частоты колебаний соответствует существенное изменение формы колеба- ний. Приведенные данные, безусловно, требуют дополнительных исследований. 0 2 4 6 8 2 4 6 8  L / h 0 1 2 3 4 1 2  R - Рис. 12 Рис. 13 28 На рис. 13 представлена зависимость первых пяти частот свободных колебаний пьезокерамического цилиндра от внутреннего радиуса R , при этом внешний радиус остается постоянным и равняется 5R  . Длина цилиндра равняется 5L  . Количе- ство полуволн в окружном направлении имеет следующее значение: 1m  . Для пер- вой собственной частоты наблюдается увеличение частоты с увеличением радиуса цилиндра, в случае более высоких частот характер спектра усложняется, появляются интервалы, где наблюдается незначительная зависимость значений собственных ча- стот от рассматриваемых геометрических параметров цилиндра. Решим задачу для случая, когда материал цилиндра является непрерывно неодно- родным. Физико-механические характеристики такого материала изменяются по ра- диальной координате по экспоненциальному закону, как и в случае осевой и радиаль- ной поляризации цилиндра. Характеристики материала с индексом 0 достигаются на внешней поверхности цилиндра ( 5R  ) и имеют значения (3.29). Характер изменения физико-механических характеристик материала показан на рис. 4 на примере упругого модуля 11c . На рис. 14 показана зависимость первой частоты собственных колебаний цилин- дра для случая непрерывно неоднородного материала при различных значениях пара- метра неоднородности n . Количество полуволн в окружном направлении имеет сле- дующее значение: 1m  . 0 2 4 6 8 2 4 6 0 - 0 , 5 - 1 , 0 - 1 , 5 0 , 5 1 , 0  L / h n = 1 , 5 0 1 2 3 4 1 2 3 0 - 0 , 5 - 1 , 0 - 1 , 5 0 , 5 1 , 0  n = 1 , 5 R - Рис.14 Рис.15 На рис. 15 показана зависимость первой собственной частоты колебаний от внут- реннего радиуса R при различных значениях параметра неоднородности n , внеш- ний радиус при этом остается постоянным и равняется 5R  . Длина цилиндра вы- биралась равною 5L  . Количество полуволн в окружном направлении имеет следу- ющее значение: 1m  . Проведем исследование влияния связанного электрического поля и фактора неод- нородности электрического поля на значения собственных частот колебаний цилин- дра с окружной поляризацией. Для определения влияния фактора неоднородности проведем сравнение значений частот для неоднородного цилиндра и однородного с осредненными характеристиками, вычисленными применением теории эффективных модулей для случая, когда модули меняются по экспоненциальному закону (3.30). В табл. 4 приведены значения первых пяти частот свободных колебаний неодно- родного пьезокерамического цилиндра и проведено сравнение с приближенными зна- чениями собственных частот для однородного цилиндра, упругие модули которого оп- 29 ределены с помощью применения формул теории эффективных модулей. Также прово- дится сравнение с собственными частотами неоднородного цилиндра при отсутствии связанного электрического поля. Расчеты проводились при следующих параметрах: 5L  , 5R  , 2R  , 1,0n  , 1m  , материал цилиндра пьезокерамика- PZT 4. Таблица 4 № часто- ты Неоднородный цилиндр Цилиндр из осредненного однородного материала Относитель- ная погреш- ность, % Без учёта связанного электрического поля Относитель- ная погреш- ность % 1 1,22 1,22 0 1,16 4,9 2 1,30 1,28 1,5 1,26 3,1 3 1,49 1,56 4,7 1,42 4,7 4 1,90 1,82 4,2 1,63 14,2 5 2,01 2,05 2,0 1,83 9,0 Как можно видеть из приведенной таблицы, относительная погрешность при пре- небрежении фактора неоднородности для данной задачи значительно меньше, чем погрешность, которая возникает при пренебрежении связанного электрического поля. Так, при пренебрежении фактором неоднородной 47 структуры цилиндра, наиболь- шая погрешность для приведенных пяти собственных первых частот возникает на третьей частоте и составляет 4,7 %. Для случая, когда пренебрегаем связанным элек- трическим полем, погрешность на отмеченных выше частотах будет значительно больше и составляет 14,2% для второй собственной частоты. §4. Неосесимметричные электроупругие волны в слоистых по толщине по- лых цилиндрах с пьезокерамическими слоями. Пьезокерамические волноводы в виде неоднородного кругового цилиндра нахо- дят широкое применение в акустоэлектронике, что свидетельствует об актуальности исследования волновых процессов, происходящих в пьезокерамических телах. Отме- тим широкий спектр публикаций, где изучались волновые процессы в однородном пьезокерамическом цилиндрическом волноводе [11, 71, 75, 76, 81, 83 – 85, 88, 90 и др.]. Учет неоднородности материала цилиндра существенно усложняет процесс ис- следования отмеченной выше проблемы, отметим единичные исследования [3, 4, 14, 15, 23, 42, 46, 67 – 71, 79, 80]. Для слоистых цилиндров, кроме удовлетворения реше- ний на ограничивающих тело поверхностях, необходимо также удовлетворять усло- виям сопряжения, что приводит к повышению порядка систем уравнений. Также в настоящее время все более широкое применение имеют так называемые функцио- нально-градиентные пьезоэлектрические материалы, сочетающие преимущества би- морфов и лишенные проблемной зоны  поверхности соединения материалов с раз- личными коэффициентами температурного расширения. В данном параграфе рассмотрены неосесимметричные задачи о распространении электроупругих волн в неоднородных по толщине полых цилиндрах с пьезокерамиче- скими слоями, поляризованными в разных направлениях на основе пространственной теории электроупругости [10, 26, 94]. Основные соотношения. Разрешающая система уравнений. Полная система уравнений, которая описывает поставленную задачу приведена в §3 (3.1)  (3.6). В случае кусочно неоднородной структуры цилиндрического волново- да (cлоистый материал) эти соотношения для i -го слоя имеют вид: уравнения движения для i - го слоя 21 0; ii i i i irrr rz rr ru r r z                      21 2 0; i i i i ir z r u r r z                         (4.1) 30 21 0; ii i i izrz zz rz zu r r z                  уравнения электростатики для i -го слоя ; i i rE r     1 ; i iE r       ; i i zE z     (4.2) 1 1 0 ii i ir z r DD D D r r r z            . Геометрические соотношения для i -го слоя ; i i r rr u r     1 ; i i i ru u r r        ; i i z zz z u u     1 2 ; i ii i r r u uu r r r           2 ; i i i z r rz u u r z        1 2 . i i i z z u u z r          (4.3) Физические соотношения для i - го пьезокерамического слоя осевая поляризация 11 12 13 13 ;i i i i i i i i i rr rr zz zc c c e E       12 11 13 13 ;i i i i i i i i i rr zz zc c c e E        13 13 33 33 ;i i i i i i i i i zz rr zz zc c c e E       55 152 ;i i i i i rz rz rc e E   55 152 ;i i i i i z zc e E     (4.4) 662 ;i i i r rc   13 13 33 33 ;i i i i i i i i i z rr zz zD e e e E       15 112 ;i i i i i r rz rD e E   15 112 ;i i i i i z zD e E    радиальная поляризация 33 13 13 33 ;i i i i i i i i i rr rr zz rc c c e E       13 11 12 13 ;i i i i i i i i i rr zz rc c c e E        13 12 11 13 ;i i i i i i i i i zz rr zz rc c c e E       55 152 ;i i i i i r rc e E     55 152 ;i i i i i rz rz zc e E   (4.5) 662 ;i i i z zc   33 13 13 33 ;i i i i i i i i i r rr zz rD e e e E       15 112 ;i i i i i zD e E     15 112 ;i i i i i z rz zD e E   окружная поляризация 11 13 12 13 ;i i i i i i i i i rr rr zzc c c e E        13 33 13 33 ;i i i i i i i i i rr zzc c c e E         12 13 11 13 ;i i i i i i i i i zz rr zzc c c e E        55 152 ;i i i i i r r rc e E    55 152 ;i i i i i z z zc e E    (4.6) 31 662 ;i i i rz rzc  13 33 13 33 ;i i i i i i i i i rr zzD e e e E         15 112 ;i i i i i r r rD e E   15 112 .i i i i i z z zD e E   Физические соотношения для i -го проводящего слоя волновода            1 ; 1 1 2 1 1 2 1 1 2 i i i i i i i i i i rr rr zzi i i i i i E E E                                   1 ; 1 1 2 1 1 2 1 1 2 i ii i i i i i rr zzi i i i i i EE E                        (4.7)            1 ; 1 1 2 1 1 2 1 1 2 i ii i i i i i i zz rr zzi i i i i i EE E                             2 , 2 , 2 . 2 1 2 1 2 1 i i i i i i i i i rz rz r r z zi i i E E E                   В последующем индекс i не будем писать. Рассмотрим случай, когда внутренняя и внешняя поверхности цилиндра свободны от механических напряжений 0 0 0( , , ) 0; ( , , ) 0; ( , , ) 0,rr r rzR h z R h z R h z           (4.8) для электрических составляющих возможны два случая: поверхности свободны от электродов 0( , , ) 0;rD R h z  (4.9) поверхности покрыты тонкими закороченными электродами 0( , , ) 0.R h z   (4.10) В представленной статье изучается случай жесткого контакта соседних слоев ци- линдра, т.е. имеют место условия совместной работы i -го и  1i  -го слоев без скольжения и отрыва и непрерывности электрического поля 1;i i rr rr   1;i i r r    1;i i rz rz   1;i i r ru u  1;i iu u   1.i i z zu u  (4.11) Для электрических величин, которые входят в основные соотношения условия контакта соседних слоев цилиндра зависят от вида их материала. Компонентами разрешающего вектора выбираем величины, которые входят в граничные условия на боковой поверхности цилиндра и контакта слоев  , , , , , , , .rr r rz r z ru u u D    R (4.12) Разрешающие системы уравнений относительно неизвестного вектор-функции (4.12) для различных видов предварительной поляризации пьезокерамического ци- линдра будут иметь следующий вид: осевая поляризация 512 11 11 1 1 1 rrr rz rr c r r c r z rc z                      32 2 4 4 1 662 2 2 11 1111 1 ;z r u u u c c rc zr c t r                        2 512 4 15 2 11 11 11 2 1r rr r r c u e r rc r c r z r c                           22 2 2 4 1 55 552 2 2 2 1111 1 ;zu c u c c r zr c z t                          2 2 13 3 15 1 2 2 2 11 11 11 1rz rr r rz c e u r c z r c rc zz r                        2 2 2 2 55 61 55 2 2 2 2 11 11 1 ;z u c c u c r z cr z t                            15 55 ;rz r e c D r        13 1312 12 11 11 11 11 11 1 ;r z rr r e u cu c c u u r c c z rc rc c z              (4.13) 66 1 1 1 ;r r u u u r c r r            1511 ;z r rz r eu u D r z            2 2 13 6 7 511 2 2 2 11 11 55 11 1r rr reD u r c z c c c r zr z                       22 2 3 15 7 5 152 2 2 11 55 11 1 .z r e u u e D c c c z rz r                         Граничные условия для соответствующей системы уравнений (4.13) имеют вид 11 12 13 13 1 0;r z r uu u c c u c e r r r r                 1 0;r u uu r r r           55 55 15 0;r zu u c c e z r r          0  , (4.14) где 2 2 55 11 15 1 13 11 12 2 13 33 11 33; ( ); ;c e c c c c c c          3 13 13 11 33;c e c e   2 2 4 11 12 ;c c    5 13 11 12 ;e c c   2 6 13 33 13.c e   Радиальная поляризация 2 3 32 4 1 2 2 2 1 1 1 1 ;rrr rz z rr r r u u u D r r r z r z rr t r                                         22 2 2 6 6 52 1 2 2 2 2 2 2 ;r rr r z r r u u D u r r r r z rr r z t                                              33 2 5 52 66 1rz rr r rz uu c r z r r z z                            2 2 2 66 6 7 2 2 2 2 ;r z c D u zr z t                   33 331 1 1 ;z rr r r e u cu u D r r r z                     (4.15) 33 332 2 2 ;r z rr r r u eu u u D r r r z                      51 55 55 1 1 1 ;r r u e u u r c rc r r                51 55 55 1 ;z r rz eu u r c c z z          2 2 51 51 7 2 2 2 55 55 55 1 1 .rr rz r e eD D r c c z c rr z                        Граничные условия для соответствующей системы уравнений (4.15) имеют вид 33 13 13 33 1 0;r z r uu u c c u c e r r r r                 55 15 1 1 0;r u uu c e r r r r                 (4.16) 55 55 15 0;r zu u c c e z r z          0  , где 2 33 33 33 ;c e   1 33 13 13 33;c e c e   2 13 33 13 33;c e e        3 13 33 2 33 13 1 13 11 ;c c e e c c               4 13 33 2 33 13 1 13 12 ;c c e e c c          5 12 13 1 13 2c e c       ; 6 11 13 1 13 2c e c       ; 2 7 55 11 15c e   . Круговая поляризация 2 13 1 2 2 4 2 2 2 2 11 11 11 11 1 1 1 ;rrr rz z rr r c u u u r r c r z r zr c r c t r c                                         2 2 13 1 2 15 2 2 2 2 11 11 11 2r rr r r c u e r rc r z r c r c                           22 2 2 32 55 552 2 2 2 1111 1 ;zu c u c c r zr c z t                         34 2 6 312 15 11 11 11 1rz rr r rz c u e r c z r c z rc z                      2 2 2 2 3 55 7 55 2 2 2 2 11 11 ;z u c c u c z cr z t                            (4.17) 15 55 ;r r e c D r         13 13 13 12 11 11 11 11 11 1 ;r z rr r e c c uu c u u r c rc rc rc c z               5111 1 1 ;r r r u eu u D r r r                 66 1 ;z r rz u u r c z        2 2 15 8 1 112 2 2 2 11 11 11 1 1r rr reD u r c r c r z r c                       22 2 61 15 152 2 2 11 1 .z r u e u e D r z c z r                     Граничные условия для соответствующей системы уравнений (4.17) имеют вид 11 13 12 13 1 1 0;r z r uu u c c u c e r r r r                  55 15 1 0;r u uu c e r r r r                0;r zu u z r       0  , (4.18) где 1 13 13 11 33c e c e   ; 2 2 11 33 13c c c   ;  3 11 12 13c c c   ;  4 11 13 13c c e   ; 5 11 33 13 13c e c e   ;  6 11 12 13c c e   ; 2 2 7 11 12 ;c c   2 8 11 33 13 .c e   Метод решения. На первом этапе решения задач применяем метод разделения переменных. Соот- ветствующие компоненты разрешающего вектора решений представим в виде бегу- щих волн в осевом направлении и стоячих волн в окружном направление. Случай осевой поляризации      , , , sin sin ;rr rrr z t r m kz t           , , , cos sin ;r rr z t r m kz t            , , , sin cos ;rz rzr z t r m kz t            0 , , , sin cos ;r z t h r m kz t         (4.19)      , , , sin sin ;r ru r z t hu r m kz t         , , , cos sin ;u r z t hu r m kz t          , , , sin cos ;z zu r z t hu r m kz t         0, , , sin cos .r rD r z t D r m kz t      Случай радиальной поляризации 35      , , , sin cos ;rr rrr z t r m kz t           , , , cos cos ;r rr z t r m kz t            , , , sin sin ;rz rzr z t r m kz t            0 , , , cos cos ;r z t h r m kz t         (4.20)      , , , cos cos ;r ru r z t hu r m kz t         , , , sin cos ;u r z t hu r m kz t          , , , cos sin ;z zu r z t hu r m kz t         0, , , cos cos .r rD r z t D r m kz t      Случай окружной поляризации      , , , cos cos ;rr rrr z t r m kz t           , , , sin cos ;r rr z t r m kz t            , , , cos cos ;rz rzr z t r m kz t            0 , , , sin cos ;r z t h r m kz t         (4.21)      , , , cos cos ;r ru r z t hu r m kz t         , , , sin cos ;u r z t hu r m kz t          , , , cos sin ;z zu r z t hu r m kz t         0, , , sin cos .r rD r z t D r m kz t      Представления решений для неизвестных функций в виде (4.19)  (4.21) дает воз- можность перейти от трехмерной задачи электроупругости к краевым задачам на соб- ственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений: ( , ) . d A x dr   R R (4.22) Если ввести обозначения: 2 4 1 11 x c      ; 2 2 24 2 55 11 m x k c c      ; 2 2 2 2 3 55 11 k m x c c     , матрица A для случая осевой поляризации будет иметь вид 2 2512 4 1 1 11 11 11 11 2 2512 2 1 15 2 55 11 11 11 11 2 2 2 213 3 1 1 15 55 3 11 11 11 11 15 5 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kxc kx x mx k mx c c c c mxc mx x e mkx mkx c c c c c kc kx x m x e k mkx c c c c c e c                                                                5 1312 12 11 11 11 11 66 1511 2 2 2 2 2 213 6 5 5 3 11 15 15 11 11 11 11 11 . 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kcxc mxc c c c c mx x c e k ke k kx k m x e mkx m x e x c c c c c                                              36 Если ввести обозначения: 2 3 1 x       ; 2 2 26 2 66 m x k c      ; 2 2 2 6 3 66 k m x c      , матрица A для случая радиальной поляризации будет иметь вид 2 2 32 4 1 1 2 26 52 1 2 66 25 52 1 66 3 33 331 1 1 33 332 2 2 55 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 mx kx x x mx k mxmx mx x mkx c kxk k x mkx c e cx mx k ex mx k c                                                                               15 55 51 55 55 2 2 215 15 7 55 55 55 . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mxe mx x c ke k c c mxe ke m x k x c c c                       Если ввести обозначения: 2 2 1 11 x c      ; 2 2 22 2 55 11 m x k c c        ; 2 2 2 7 3 55 11 k m x c c       , матрица A для случая окружной поляризации будет иметь вид 2 2 213 31 2 1 11 11 11 11 2 2 2 2 213 31 2 15 2 55 11 11 11 11 6 3 312 15 55 11 11 11 11 1 0 2 0 0 0 c kxmx mx x mx k c c c c mxc m x mx x k e c mkx c c c c kxkc x e mkx c mkx c c c c                                                                           2 3 15 55 15 13 13 12 11 11 11 11 11 1511 66 2 2 2 2 2 2 213 8 61 1 11 15 15 11 11 11 11 11 0 0 0 0 0 0 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 e c mxe xc mxc kc c c c c c e mx x k c mxe m x mx m x k k e e mkx x c c c c c                                                               Граничные однородные условия имеют вид    1 0; 1 0,  1 2B R B R (4.23) 37 где матрицы B1 и B2 равняются: 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ; . 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2B B   Краевая задача на собственные значения (4.23), (4.24) решалась устойчивым чис- ленным методом дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска. Анализ численных результатов определения характеристик распространения электроупругих волн в слоистом пьезокерамическом цилиндре со слоями, поляри- зованными в осевом направлении. Ниже представим результаты численного анализа. Цилиндр состоит из трех слоев. Толщины внешних слоев равны 2h ; толщина внутреннего слоя равна h . Внешний и внутренний слои  стальные со следующими характеристиками: 10 221 10 H м ;E   0, 28;  3 2 м 7,85 10 кг м   . Внутренний слой  пьезокерамика PZT 4 имеет следующие характеристики: 10 2 10 2 10 2 10 2 11 12 13 3313,9 10 H м ; 7, 43 10 H м ; 7,78 10 H м ; 11,5 10 H м ;c c c c        10 2 2 2 55 13 152,56 10 H м ; 5,2 K м ; 12,7 K м ;c e e     2 3 2 33 11 0 33 015,1K м ; 730; 635; 7,5 10 кг м .пe          Здесь для кривых введены обозначения, принятые в работе [90]. При 0  и 0k  приходим к задаче о колебаниях плоского слоя. Так, для однослойного цилиндра из металла имеем следующие формулы для частот:      1 ( ) 0; 2,905; 5,81; ... ; 0, 1, 2 ... ; 2 1 1 2 м E U n n n           ( ) ( ) 0;1,606; 3, 211; ... ; 0, 1, 2 ... . 2 2(1 ) м E V n W n n n         Для однослойного цилиндра из пьезокерамики PZT 4 11( ) 0; 2,138; 4,277; ... ; 0, 1, 2 ... ; 2 ïU n n c n     (2 1) 0,925;2,859; ... ;W n   2 55 15 11(2 ) ( ) 0;1,913; 3,826; ... ; 0, 1, 2 ... ;пW n n c e n      66( ) 0;1,003; 2,007; ... ; 0, 1, 2 ... . 2 пV n n c n     Поскольку частота слоистого цилиндра ограничена сверху соответствующей ча- стотой для сплошного металлического цилиндра, а снизу  частотой для сплошного пьезокерамического цилиндра, для слоистого цилиндра будем использовать анало- гичные обозначения. Ниже числовые результаты представлены в виде графиков и таблиц. На рис. 16 сплошными линиями показаны ветви дисперсионных соотношений для слоистого 38 цилиндра, пунктирными – для однородного цилиндра такой же геометрии из пьезоке- рамики PZT 4. Из приведенного рисунка видно, что влияние наличия металлических слоев приводит к «ужесточению» материала, т. е. к повышению значений собствен- ных частот. 0,2 0,4 0,6 0 1 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) V ( 2 )  0,2 0,4 0,6 0 1 2 3  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) V ( 2 )  Рис. 16 Рис. 17 На рис. 17 представлена зависимость первых шести частот от безразмерного вол- нового числа .kh  Сплошными линиями также обозначены ветви дисперсион- ных соотношений для слоистого цилиндра, а пунктирной – для однослойного сталь- ного цилиндра. Как видно из приведенного рисунка, в этом случае значения соб- ственных частот для слоистого цилиндра меньше соответствующих частот для сталь- ного цилиндра. Следовательно, частота собственных колебаний слоистого шара ле- жит в «коридоре» между собственной частотой для однослойного цилиндра из пьезо- керамики и частотой для однослойного цилиндра из стали. Это иллюстрирует рис. 18. Здесь сплошной линией обозначены собственные частоты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из пьезокерамики, штрихпунктирной – для цилиндра из стали (материал и геометрия цилиндра соответствует данным, принятым ранее). На рис. 19 представлена также зависимость первых шести частот от безразмерного волнового числа для значения 1m  . Сплошной линей обозначены собственные часто- ты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из пьезокерамики PZT 4. 0,2 0,4 0,6 0 1 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 )  0,2 0,4 0,6 0 1 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 )  Рис. 18 Рис. 19 39 На рис. 20 представлена зависимость первых шести частот от безразмерного вол- нового числа для значения 2m  . Сплошной линией обозначены собственные часто- ты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из стали. 0,2 0,4 0,6 0 1 2 3  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 )  0,2 0,4 0,6 0 1 2  W ( 0 ) V ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 )  Рис. 20 Рис. 21 На рис. 21 выполнено совмещение данных рис. 20 и 21 для первых четырех частот. Анализ численных результатов определения характеристик распространения электроупругих волн в слоистом пьезокерамическом цилиндре со слоями, поляри- зованными в радиальном направлении. Ниже приведены результаты численного анализа. На рис. 22 представлена зави- симость первых шести частот от безразмерного волнового числа /kh  (при этом значение 1m  , 0, 25  ). Принято, что цилиндр состоит из трех слоев. Толщины внешних слоев равны по / 2h , а толщина внутреннего слоя равна h . Материал внеш- них слоевсталь с характеристиками: 10 221 10 H/м ;E   0, 28;  3 27,85 10 кг/м .м   Внутренний слой  пьезокерамика PZT 4 с характеристиками: 10 2 12 7, 43 10 H / м ;c   10 2 13 7,78 10 H / м ;c   10 2 33 11,5 10 H / м ;c   10 2 55 2,56 10 H / м ;c   2 33 15,1 K / м ;e  2 13 5, 2K / м ;e   2 15 12,7 K / м ;e  11 730;  33 635;  3 27,5 10 кг/м .п   Для кривых введены обозначения, приня- тые в работе [91]. При 0  и 0k  прихо- дим к задаче о колебаниях плоского слоя. Так, для однослойного цилиндра из металла имеем следующие формулы для частот: 0,2 0,4 0,6 0 1 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 )  Рис. 22 40      1 ( ) 2 1 1 2 м E U n n          0; 2,905; 5,81; ...; 0, 1, 2,... ;n    ( ) ( ) 2 2 1 м E V n W n n        0; 1,606; 3, 211; ... ; 0, 1, 2 ...n  . Для однослойного цилиндра из пьезокерамики PZT 4 имеем равенства 2 11 11 11 1 (2 ) п e U n n c           0; 4,325; 8,649; ...; 0, 1, 2 ... ;n  (2 1) 1,995;6,729;...;U n   55( ) ( ) 0;0,918;1,835;...; 2 п c V n W n n      0,1,2...n  . Поскольку частота слоистого цилиндра ограничена сверху соответствующей часто- той для сплошного металлического цилин- дра, а снизу  частотой для сплошного пье- зокерамического цилиндра, то для слоистого цилиндра будем использовать аналогичные обозначения. На рис. 22 сплошными линия- ми показаны ветви дисперсионных соотно- шений для слоистого цилиндра, пунктирны- ми – для однородного цилиндра такой же геометрии из пьезокерамики PZT 4. Из при- веденного рисунка видно, что влияние нали- чия металлических слоев приводит к «уже- сточению» материала, т. е. повышению зна- чения собственных частот. При этом разли- чие в первой собственной частоте для слои- стого и однослойного цилиндров незначи- тельно. Для более высоких частот – различие более существенное. На рис. 23 представлена зависимость первых шести частот от волнового числа / ;kh  сплошными линиями также обозначены ветви дисперсионных соотноше- ний для слоистого цилиндра, а пунктирной – для однослойного стального цилиндра. Как видно, в этом случае значения собственных частот для слоистого цилиндра меньше соответствующих частот для стального цилиндра. Следовательно, частота собственных колебаний слоистого шара лежит в неком «коридоре» между собствен- ной частотой для однослойного цилиндра из пьезокерамики и частотой для однослой- ного цилиндра из стали. Это иллюстрирует рис. 24. Здесь сплошной линией обозначе- ны собственные частоты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из пье- зокерамики, штрихпунктирной – для цилиндра из стали. Материал и геометрия ци- линдра соответствует данным, принятым ранее. На рис. 25 представлена также зависимость первых шести частот от безразмерно- го волнового числа для значения 2m  . Сплошной линией обозначены собственные частоты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из пьезокерамики PZT 4. На рис. 26 представлена зависимость первых шести частот от безразмерного вол- нового числа для значения 2m  . Сплошной линей обозначены собственные частоты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из стали. На рис. 27 выполнено совмещение данных рис. 25 и 26 для первых четырех частот. 0,2 0,4 0,6 0 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 )  Рис. 23 41 0,2 0,4 0,6 0 1  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 )  0,2 0,4 0,6 0 1 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 )  Рис. 24 Рис. 25 0,2 0,4 0,6 0 1 2 3  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 )  0,2 0,4 0,6 0 1 2  U ( 0 ) V ( 0 ) W ( 0 ) V ( 1 )  Рис. 26 Рис. 27 Как известно, краевая задача (4.22), (4.23) математически эквивалентна задаче о свободных неосесимметричных колебаниях слоистого цилиндра с шарнирным опира- нием на торцах. Рассмотрим трехслойный цилиндр со слоями, аналогичными рас- смотренному выше цилиндру (с внутренним радиусом внутр. 3R  , внешним – внешн. 5R  и длиной – 10L  безразмерных единиц). При таком выборе геометриче- ских характеристик, значение 0/ 0, 25h R   совпадает со значениями, принятыми для расчетов в предыдущей задаче, результаты решения которой приведены на рис. 1 – 6. Кроме того, необходимо провести аналогичные исследования для значений 0m  , 1,m  2, ...m  Анализ частотного спектра показывает, что для определения первых пяти собст- венных частот достаточно четырех первых значений m : 0m  , 1m  , 2m  и 3m  . Результаты проведенных исследований представлены на рис. 7 – 10 для соответству- ющих значений m (сплошной линией обозначены дисперсионные кривые для неод- нородного цилиндра, а пунктирной – для однородного цилиндра из пьезокерамики PZT 4). 42 Видно, что соответствующие частоты будут лежать на пересечении соответству- ющих дисперсионных ветвей и значений 0,1; 0, 2; 0,3 ...;  следует их лишь распо- ложить в порядке возрастания. В табл. 5 представлены числовые значения первых пяти частот для случая трехслойного цилиндра (Вариант 1) и однородного пьезокера- мического цилиндра (Вариант 2). Показано также число полуволн ( m ) в окружном направлении и число полуволн в осевом направлении ( k ), а также – к какой относи- тельной погрешности (  ) при вычислении собственных частот приведет игнорирова- ние неоднородности. Таблица 5 № i Вариант 1 m k Вариант 2 m k  , % 1 0,1824 1 1 0,1368 1 1 25 2 0,1965 2 1 0,1645 2 1 16,3 3 0,2713 0 1 0,2007 0 1 26 4 0,3332 0 1 0,2487 0 1 25,4 5 0,3467 3 1 0,3023 1 1 12,8 Как видно из табл. 5, первая собственная частота не является собственной часто- той осесимметричных колебаний. Только лишь третья и четвертая собственные ча- стоты являются частотами осесимметричных колебаний. При этом третья частота яв- ляется частотой продольных колебаний, а четвертая – частотой крутильных колеба- ний. Собственные частоты, полученные в данной работе для однородного цилиндра из пьезокерамики PZT 4, полностью совпадают с данными, полученными на основа- нии подхода, разработанного в работе [76]. Естественно, что объем работ при этом со- вершенно разный. Однако, на основании анализа, проведенного в данной работе, кроме значений собственных частот, получена также информация о формах колебаний. Анализ численных результатов определения характеристик распростране- ния электроупругих волн в слоистом пьезокерамическом цилиндре со слоями, поляризованными в круговом направлении. Рассмотрим полый цилиндр, который состоит из трех слоев. Толщины внешних слоёв равны 2h ; толщина внутреннего слоя равна h . Материал внешнего и внутрен- него слоя  сталь со следующими характеристиками: 10 221 10 H м ;E   0,28;  3 2 м 7,85 10 кг м   . Внутренний слой волновода  пьезокерамика PZT 4 имеет характеристики и по- ляризована в окружном направлении 10 2 10 2 10 2 10 2 11 12 13 3313,9 10 H м ; 7, 43 10 H м ; 7,78 10 H м ; 11,5 10 H м ;c c c c        10 2 2 2 55 13 152,56 10 H м ; 5,2 K м ; 12,7 K м ;c e e     2 3 2 33 11 0 33 015,1K м ; 730; 635; 7,5 10 кг м .пe          При 0  и 0k  приходим к задаче о колебаниях плоского слоя. Для однород- ного пьезокерамического слоя собственные частоты определяются по формулам: 11(2 ) 0; 2,138; 4, 277; ... 2 п c U n n     0, 1, 2 ...;n  2 15 55 11 1 (2 ) 2,580; 5,159; ... ; п e V n n c           43 2 15 55 11 1 (2 1) 0,962; 3,782; ... ;n п e V n c            66( ) 0;1,003; 2,007; ..., 2 п c W n n     0, 1, 2 ...n  . Здесь n – ненулевые корни уравнения 2 15 2 15 55 11 cos sin 0. e e c        На рис. 28 сплошными линиями обозначены ветви дисперсионных кривых для слоистого цилиндра, пунктирными  для однородного аналогичной геометрии и ма- териала PZT 4. Параметр кривизны 0/ 0, 25h R   , число полуволн в окружном направлении равняется 1. 0,2 0,4 0,6 0 1 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) V ( 2 )  0,2 0,4 0,6 0 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 )  Рис. 28 Рис. 29 На рис. 29 сплошными линиями обозначены ветви дисперсионных кривых для слоисто- го цилиндра, пунктирными  для однородного аналогичной геометрии и металлического материала (сталь с параметрами 10 221 10 H м ;E   0,28;  3 2 м 7,85 10 кг м   ). В этом случае значения собственных частот для слоистого цилиндра меньше соответ- ствующих частот для цилиндра, материалом которого является металл. Можно заме- тить, что значение частот собственных колебаний слоистого цилиндра находятся в интервале между значениями собственных частот для однородного цилиндра из пье- зокерамического материала и однородного цилиндра из металла. 0,2 0,4 0,6 0 1 2  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 )W ( 1 ) W ( 2 )  0,2 0,4 0,6 0 1 2 3  V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 )  Рис. 30 Рис. 31 44 На рис. 30 сплошными линиями обозначены ветви дисперсионных кривых для сло- истого цилиндра, пунктирными  для однородного аналогичной геометрии и материала PZT 4 для 2m  . На рис. 31 для такого же значения числа полуволн сплошными лини- ями обозначены ветви дисперсионных кривых для слоистого цилиндра, пунктирными  для однородного аналогичной геометрии и металлического материала §5. Осесимметричные акустоэлектрические волны в полом цилиндре из непрерывно неоднородного пьезоэлектрического материала. В настоящее время все более широкое применение имеют так называемые функ- ционально-градиентные пьезоэлектрические материалы, сочетающие преимущества биморфов и лишенные проблемной зоны  поверхности соединения материалов с различными коэффициентами температурного расширения. Попытка учесть непре- рывно изменяющиеся свойства материала обуславливает тот факт, что физико-меха- нические модули материала не являются постоянными величинами, а функциями по одной из координат [3, 4, 18  20, 23, 24, 47 и др.]. Это является серьезной проблемой эффективного успешного применения многих численных методов. Здесь представлено решение задачи о распространении осесимметричных акусто- электрических волн в цилиндрическом волноводе из непрерывно неоднородного пье- зокерамического материала на основе предложенного подхода [42], который был применен для решения задач в случае слоистого пьезокерамического цилиндрическо- го волновода. Основные соотношения. Постановка задачи. Осесимметричные продольные уравнения движения волн в цилиндрической си- стеме координат ( , , )r z имеют вид:   21 0;rr rz rr ru r r z               21 0.rz zz rz zu r r z             (5.1) Уравнения электростатики: 1 0;r z r D D D r r z        ;rE r     .zE z     (5.2) Геометрические соотношения: ;r rr u r     1 ;ru r  ;z zz z u u     .z r rz u u r z        (5.3) В (5.1) – (5.3) принято: ij  компоненты тензора напряжений;   плотность материала;   круговая частота; iu  компоненты вектора перемещений; iD  ком- поненты вектора электрической индукции; iE  компоненты вектора напряженности электрического поля;   электростатический потенциал; ij  компоненты тензора деформаций. Физические соотношения для пьезокерамического материала, поляризованного в радиальном направлении, имеют вид: 33 13 13 33 ;rr rr zz rc c c e E       13 11 12 13 ;rr zz rc c c e E        13 12 11 13 ;zz rr zz rc c c e E       55 152 ;rz rz zc e E   (5.4) 33 13 13 33 ;r rr zz rD e e e E       15 332 ,z rz zD e E   где ijc  компоненты тензора модулей упругости; ije  компоненты тензора пьезо- модулей; ij  компоненты тензора диэлектрической проницаемости материала. Ука- занные выше компоненты являются функциями радиальной координаты. 45 Рассмотрим материал, состоящий из двух компонент – стали и пьезокерамики. Характеристики материала изменяются следующим образом по толщине: ( ) ( ) ( ) ,m p pP r P P V r P   (5.5) где ( )V z выражает объёмную долю керамики и определяется формулой: 0 1 ( ) . 2 2 n r R V r h       (5.6) Граничные условия на боковых поверхностях цилиндра (при 0r R h  ) примем следующими: поверхности свободны от внешних усилий: 0rr rz   и покрыты тонкими электродами, к которым подведена гармоническая разность потенциалов:   ( ) 0 i kz tV e   0(R  радиус срединной поверхности цилиндра; h  половина тол- щины цилиндра). Разрешающий вектор смешанного типа имеет вид  , , , , , . T rr rz r z ru u D  R (5.7) Разрешая систему (5.1)  (5.4) относительно вектора R , после ряда преобразова- ний получаем 2 512 4 1 2 2 11 11 1111 1 1 ;rr rz z rr r c u u r r c z rc z rc zr c t                             2 2 2 13 3 1 2 2 2 2 11 11 11 11 1 ;rz rr r rz z c u u r c z r c rc z cz z t                          15 55 ;rr r e c D r        33 1312 11 11 11 11 1 ;r z rr r e cu c u u r c c z rc c z           (5.8) 5111 ;z r rz r eu u D r z            22 13 6 5 3 2 2 11 11 11 11 1 .r rr r z r eD u u D r c z c rc z c rz z                  Методика решения краевых осесимметричных задач. Решение задачи будем искать в виде волн, бегущих в осевом направлении:          , , ; , , ( ) ;i kz t i kz t rr rr rz rzr z t i r e r z t r e               0 , , ( ) ; , , ( ) ;i kz t i kz t r rr z t h r e u r z t ihu r e       (5.9)    , , ( ) ;i kz t z zu r z t hu r e      0, , ( ) .i kz t r rD r z t D r e    Используя представление (9), исходную двумерную задачу теории электроупру- гости в частных производных, можно свести к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений:  , d A x dx   R R (5.10) 46 с граничными условиями ( 1) ; (1) ,  1 1 2 2B R C B R C (5.11) где вектор  00, 0, , 0, 0, 0V T 1C , вектор  2 00, 0, , 0, 0, 0V TC . Здесь введены безразмерные величины 0 0 0 0 00 ; ; ; ; ,ij ij ij ij ij ij c e r R h c e x h               где  – плотность материала цилиндра; 0R – радиус срединной поверхности; 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума; 10 210 H м  . Решение задачи (5.8), (5.9) выполнено устойчивым методом дискретной ортого- нализации в сочетании с методом пошагового поиска. Анализ численных результатов. Ниже приведены результаты численного анализа задачи (5.10), (5.11). Выражение (5.6) представляет собой общую формулу для физико-химических характеристик ма- териала; pP , mP  соответствующие характеристики керамики и металла. Показатель степени объёмной доли керамики в формуле (5.6) может изменяться в пределах 0 ≤ n <1000 . При этом если 0n  , то структура является полностью металлической, если же n   , то  пьезокерамической (рис. 32). 16 20 24 n = 1 0 0 n = 1 0 n = 5 n = 2 n = 1 10 H/м n = 0 x-1 0 0 1 2 3 4 2 4 6 A U ( 1 ) S W ( 1 ) A W ( 1 ) S U ( 0 ) S W ( 0 ) C P-C c ф C R / Рис. 32 Рис. 33 Для случая однородной задачи (свободные движения) наблюдаются (как это было отмечено в работе [42]) качественные различия в дисперсионных соотношениях. Лучше это видно, если рассмотреть фазовые скорости распространяющихся волн. Так для однородного цилиндра из пьезокерамики PZT 4 (рис. 33) первые две волны (0)SW и (0)AU в коротковолновом диапазоне выходят на поверхностную волну рэлеевского типа. Скорость этих волн меньше наименьшей из скоростей объемных волн в безгра- ничном пространстве. Rc   2 55 33 33 33min ; ( ) .c c e   Ниже проведен детальный анализ распределения перемещений в данных волнах. На рисунках используются обозначения для волн, принятые в работе [91]. Маркиров- 47 ка (0)SW означает, что волна рождается ( 0k  ) как симметричные продольные ко- лебания (планарные колебания), (0)AU  антисимметричные радиальные колебания. Остальные ветви в коротковолновом диапазоне довольно быстро выходят на волны, распространяющиеся без дисперсии, с постоянной скоростью, которая больше скоро- сти поверхностных волн и меньше скоростей объемных волн в безграничном про- странстве. Назовем эти волны  волнами Похгаммера – Кри [22, 86] (по аналогии с волнами Лэмба в пластине). Для случая, когда материал цилиндра неоднородный наблюдается существенная перестройка спектра фазовых скоростей. Для значения параметра неоднородности 5n  соответствующие фазовые скорости распространяющихся волн представлены на рис. 34. Из приведенного рисунка следует, что только первая ветвь выходит на бездис- персионную волну, а все остальные распространяются с существенной дисперсией. 0 1 2 3 4 3 6 9 12 AU(1) SW(1) AW(1)SU(0) c P-C c ф c R SW(0) / -1 0 -1 0 u r / m a x ( u r , u z ) A U ( 0 ) S W ( 0 ) u z / m a x ( u r , u z ) A U ( 1 ) S W ( 1 ) A W ( 1 ) x Рис. 34 Рис. 35 На частотах запирания ( 0  ) имеют место чисто упругие продольные колебания и связанные электроупругие радиальные колебания [7]. Анализ распределения ампли- туд перемещений в бегущих волнах в непосредственной близости к частотам запира- ния показывает, что движения сохраняют характер, принятый в обозначениях. На рис. 35 представлены результаты численного анализа распределения амплитуд перемещений первых пяти ветвей для случая однородного цилиндра ( 1000n  ) ( 0,01  ). Исследуем влияние параметра неоднородности на распределение амплитуд пере- мещений. Влияние указанного параметра существенно зависит от частоты. Так, для первой ветви (0)SW это влияние столь незначительно, что не может быть представле- но графически. Перемещения в этой волне являются преимущественно продольными, что и отражено в обозначении этой ветки. На рис. 36 представлены результаты чис- ленного анализа влияния параметра неоднородности на распределение амплитуд пе- ремещений для второй ветви (0)AU ( 0,01  ) для различных значений фактора неоднородности n . Сплошными линиями показаны амплитуды радиальных переме- щений ( ru ), пунктирными  продольных ( zu ). Для этих волн характерно преоблада- ние радиальных перемещений. Для ветвей (0)SW и (0)AU характерно практически линейное распределение амплитуд перемещений по толщине. На рис. 37 – 39 пред- ставлено влияние фактора неоднородности n на распределение амплитуд перемеще- ний для ветвей (1)AW , (1)SW и (1),AU соответственно ( 0,01  ). 48 -1 0 0 n = 5 n = 2 n = 100n = 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x -1 0 0 n = 5 n = 2 n = 10 n = 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 36 Рис. 37 -1 0 0 n = 10 n = 5 n = 2 n = 100 n = 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x -1 0 0 n = 10 n = 5 n = 2 n = 100 n = 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 38 Рис. 39 Для ветвей (1)AW и (1)SW в случае однородного материала характерно преобла- дание продольных перемещений. С ростом частоты наблюдается увеличение числа полуволн на единицу. Для случая неоднородного материала для ветви (1)AW (рис. 37) наблюдается незначительное влияние параметра неоднородности на характер распре- деления перемещений. Для ветви (1)SW (рис. 38) можно отметить, что изменение параметра неоднородности приводит к значительным изменениям характера распре- деления перемещений. Для больших значений параметра n , т.е. когда материал ци- линдра, в основном, состоит из пьезокерамики, преобладают осевые перемещения (так же, как в случае однородного пьезокерамического материала). С уменьшением параметра n , т.е. уменьшением объёмной доли пьезокерамики, перемещения стано- вятся, преимущественно, радиальными. Для ветви (1)AU (рис. 39), для больших значений параметра неоднородности n ха- рактерно преобладание радиальных перемещений, что и отражено в обозначении ветви. С уменьшением параметра неоднородности перемещения становятся преимуще- ственно продольными. Можно отметить на основании анализа приведенных рисунков 49 тенденцию к смещению движений частиц цилиндра в сторону меньших значений мо- дулей материала. Рассмотрим, как происходит трансформация распределения перемещений по толщине при уменьшении длины волны. Для случая однородного материала (рис. 40), первая ветвь (0)SW выходит на поверхностную волну рэлеевского типа, распростра- няющуюся вдоль внутренней поверхности цилиндра. Вторая ветвь (0)AU в коротко- волновом диапазоне выходит на поверхностную волну рэлеевского типа, распростра- няющуюся вдоль внутренней поверхности цилиндра (рис. 41, жирная линия). -1 0 0 0 , 0 1   3   2   1  u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x -1 0 0  0 , 0 1   3   2  u r / m a x ( u r , u z )  1  u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 40 Рис. 41 -1 0 0 0 , 0 14 2 u r / m a x ( u r , u z ) 1 u z / m a x ( u r , u z ) x -1 0 0 0 , 0 1 4 2 u r / m a x ( u r , u z ) 1 u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 42 Рис. 43 В случае, когда материал цилиндра неоднородный (параметр неоднородности 5n  ), наблюдаются качественные отличия в характере распределения амплитуд пе- ремещений. Как это отмечено выше, первая ветвь (0)SW также выходит на поверх- ностную волну рэлеевского типа (рис. 42, жирная линия). Вторая ветвь (0)AU уже не выходит на поверхностную волну рэлеевского типа (рис. 43). 50 Для следующих ветвей (1)AW и (1)SW (рис. 44 и рис. 45) в случае однородного материала наблюдается выход в коротковолновой области на почти симметричное (относительно срединной поверхности цилиндра) или почти антисимметричное рас- пределение перемещений по толщине цилиндра. Рождаются волны ( 0  ) (1)AW и (1)SW как продольные колебания антисимметричные и симметричные, соответствен- но, с уменьшением длины волны перемещения становятся, в основном, радиальными. Причем, радиальное перемещение для волны (1)AW имеет одну полуволну по тол- щине, продольное – две. Для волны (1)SW радиальное перемещение имеет две волны, продольное – три. Для более высоких ветвей сохраняется эта тенденция: перемещения либо почти симметричны, либо почти антисимметричны (с увеличением количества полуволн на единицу при увеличении порядкового номера волны на единицу). -1 0 -1 0 3 2 1 0 , 0 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) -1 0 -1 0 3 2 1 0 , 0 1 u r / m a x ( u r , u z ) u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 44 Рис. 45 -1 0 -1 0    u r / m a x ( u r , u z )  u z / m a x ( u r , u z ) x -1 0 -1 0 0 , 0 1 4 2 u r / m a x ( u r , u z ) 1 u z / m a x ( u r , u z ) x Рис. 46 Рис. 47 51 В случае неоднородного материала наблюдается нарушение симметрии распреде- ления перемещений относительно срединной поверхности. Перемещения увеличива- ются в более «мягких» участках цилиндра и уменьшаются в более «жестких». На рис. 46 представлено распределение перемещений для ветви (1)AW для раз- личных значений волнового числа. Жирными линиями, как и в предыдущих случаях, выделены перемещения для наибольшего из представленных волновых чисел. На рис. 47 дано распределение перемещений для ветви (1)SW для различных волновых чисел. Заключение. В настоящей статье представлен обзор публикаций и дано обобщение результатов по одной из важных проблем электроупругости – исследованию динамических про- цессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах. Исследование отмеченной проблемы сопряжено с трудностями вычислительного характера. В связи с этим авто- рами для решения задач электроупругости был эффективно применен дискретно- континуальный численно-аналитический подход, который ранее широко применялся для исследования механического поведения упругих тел. Предложенный подход ос- нован на совместном применении различных аналитических преобразований метода сплайн-коллокации, что даёт возможность свести трехмерные уравнения электро- упругости в общем случае с переменными коэффициентами к обобщенной проблеме на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Полученные одномерные задачи решены устойчивым численным методом дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска. Предложенный подход позволяет проводить исследование динамических процессов в пьезокерамических неоднородных цилиндрах в широком диапазоне изменения физи- ко-механических и геометрических параметров. Большое внимание уделено оценке достоверности полученных численных результатов. На основании предложенного подхода были решены ряд новых важных задач теории электроупругости, выполнено исследование свободных колебаний пьезокерамических однородных и непрерывно неоднородных цилиндров конечной длины, а также поведения гармонических элект- роупругих волн в цилиндрических слоистых металл – пьезокерамика и непрерывно неоднородных пьезокерамических волноводах. Получено ряд новых закономерно- стей, соответствующих спектральных характеристик для неоднородных пьезокерами- ческих цилиндров, проведен анализ влияния электрического поля и вида неоднород- ности на распределения спектра собственных частот цилиндров конечной длины и дисперсионных кривых для случая цилиндрического волновода. Результаты проведенных исследований свидетельствуют о широких возможно- стях применения предложенного дискретно-континуального подхода к решению за- дач электроупругости наряду с такими универсальными подходами, как конечно- разностные и конечно-элементные методы. Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы- полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ- лений научных исследований» (КПКВК 6541230). Р Е З Ю М Е . Представлений огляд робіт присвячено чисельним дослідженням нових задач те- орії електропружності, а саме визначенню динамічних характеристик неоднорідних п’єзокерамічних хвилеводів кругового поперечного перерізу та неоднорідних п’єзокерамічних циліндрів скінченної довжини. Для розв’язання описаних задач запропоновано ефективний чисельно-аналітичний підхід. Запропонований підхід базується на поєднанні різноманітних аналітичних перетворень (апарату спе- ціальних функцій, розвиненню в ряди Фур’є та методу сплайн-колокацій), які дозволяють звести вихідні тримірні рівняння теорії електропружності у частинних похідних до граничної задачі на вла- сні значення для систем звичайних диференціальних рівнянь. Отримана система звичайних диферен- ціальних рівнянь розв’язується методом дискретної ортогоналізації. На основі отриманих розв’язків досліджено закономірності спектральних характеристик в неоднорідній структурі з врахуванням зв’язаного електричного поля п’єзокерамічних шарів. Також вивчено вплив неоднорідності та зв’язаного електричного поля на динамічні характеристики описаних вище тіл. Значну увагу надано дослідженню достовірності отриманих чисельних обчислень. 52 1. Григоренко А.Я. Ефимова Т.Л., Лоза И.А. Об одном подходе к исследованию колебаний полых пьезокерамических цилиндров конечной длины // Доп. НАН України. – 2009. – № 6. – С. 61 – 67. 2. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Лоза И.А. Применение сплайн-аппроксимации и метода дис- кретной ортогонализации для решения задач о свободных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров // Теорет. и прикл. механика. – 2008. – 44. – С.133 – 137. 3. Григоренко А.Я., Лоза И.А. Неосесимметричные колебания полых цилиндров из функционально градиентных материалов, поляризованных в осевом направлении// Вісн. Дніпропетровського ун- ту. сер. «Механіка» – 2011. – 15. – 2, № 5. – С. 48 – 53. 4. Григоренко А.Я., Лоза И.А. Неосесимметричные электроупругие волны в полом пьезокерамическом цилиндре из функционально градиентного материала, поляризованного в осевом направлении слоями // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – 2012. – 20. – С. 137 – 143. 5. Григоренко А.Я., Лоза И.А. Осесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокера- мическими радиально поляризованными слоями // Проблеми обчислювальної механіки і міц- ності конструкцій. – 2011. – 17. – С. 87 – 95. 6. Григоренко А.Я., Лоза И.А., Шульга Н.А. Распространение осесимметричных волн в полом пье- зокерамическом цилиндре // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1983. – № 3. – С. 35 – 39. 7. Григоренко О.Я., Єфімова Т.Л., Лоза І.А. Розв’язання осесимметричної задачі про вільні коли- вання п’єзокерамічних порожнистих циліндрів скінченної довжини методом сплайн-колокацій // Мат. методи та фіз.- мех. поля. – 2008. – 51, № 3. – С. 112 – 119. 8. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания элементов оболочечных конструкций. – Киев: Наук. думка, 1986. – 172 с. 9. Григоренко Я.М., Влайков Г.Г., Григоренко А.Я. Численно-аналитическое решение задач меха- ники оболочек на основе различных моделей. – Киев: Академпериодика, 2006. – 472 с. 10. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость.– К.: Наук. думка, 1989. – 280 с. – (Механика связанных полей в элементах конструкций в 5-ти т., Т. 5.) 11. Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Нормальные волны в анизотропном пьезоактивном волноводе // Дефектоскопия.– 1975. – № 4. – С. 27 – 32. 12. Лазуткин В.Н., Михайлов А.И. Колебания пьзокерамических цилиндров конечных размеров с поляризацией по высоте // Акуст. журн. – 1976. – 22, № 3. – С. 393 – 399. 13. Лоза И.А. Применение сплайн-аппроксимации и метода дискретной ортогонализации для реше- ния задач о свободных колебаниях полых пьезокерамических цилиндров // Теор. и прикл. меха- ника. – 2008. – 44. – С. 61 – 65. 14. Лоза И.А. О неосесимметричных волнах в слоистых полых волноводах, содержащих пьезокера- мические слои, поляризованные в окружном направлении // Прикладные проблемы механики и математики– 2010. – 8. – С. 188 – 196 15. Ambadar A., Ferris C.D. Wave propagation in piezoelectric two-layered cylindrical shell with hexago- nal symmetry. Some application for long bone // J. Acoust. Soc. Amer. – 1965. – 63, N 3. – P. 781 – 792. 16. Berg M., Hagedorn P., Gutschmidt S. On the dynamics of piezoelectric cylindrical shells // J. Sound and Vibr. – 2004 – 274, N 1 – P. 91 – 109. 17. Berlincourt D. Piezoelectric crystals and ceramics. In: Ultrasonic Transducer Materials, Mattiat, O.E. (ed.) – New York: Plenum Press, 1971. – P. 62 – 124. 18. Birman V., Byrd L.W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures // Appl. Mechanica Rev. –2007. – 60. – P. 195 – 216. 19. Chen W.Q., Ding H.J. On free vibrations of a functionally graded piezoelectric rectangular plate // Acta Mech. – 2002. – 153. – P. 207 – 216. 20. Chen W.Q., Lu Y., Ye J.R., Cai J.B. 3D electroelastic fields in a functionally graded piezoceramic hol- low sphere under mechanical and electric loading // Arch. Appl. Mech. – 2002. – 72. – P. 39 – 51. 21. Crawly E.F., de Luis J. Use of piezoelectric actuators as elements of intelligent structures // AIAA J. – 1987. – 25, N 10. – P. 1373 – 1385. 22. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar // Quart. J. Pure Appl. Math. – 1886. – 21. – P. 287 – 298. 23. Dai H.L., Hong L., Fu Y.M., Xiao X. Analytical solution for electromagnetothermoelastic behaviors of functionally graded piezoelectric hollow cylinder // Appl. Math. Modeling. – 2010. – 34. – P. 343 – 357. 24. Dai H.L., Fu Y.M., Yang J.H. Electromagnetoelastic behaviors of functionally graded piezoelectric solid cylinder and sphere // Acta Mech. Sin. – 2007. – 23. – P. 55 – 63. 25. Dai H.L., Wang X. Transient wave propagation in piezoelectric hollow spheres subjected to thermal shock and electric excitation // Struct. Eng. Mech. – 2005. – 19, N 4. – P. 441 – 457. 26. Dökmeci M.C. A Dynamic Analysis of Piezoelectric Strained Elements. – New York: Research Devel- opment and Standardization Group, 1992. – 283 p. 27. Grigorenko A., Müller W.H., Wille R., Yaremchenko S. Numerical Solution of Stress-Strain State in Hollow Cylinder by Means of Spline Approximation // J. Math. Sci. – 2012. – 180, N 2 – P. 135 – 145. 53 28. Grigorenko A., Yaremchenko S. Spline-approximation method for investigation of mechanical behavior of anisotropic inhomogeneous shells // Selected Papers 9th int. conf. “Modern Building Materials, Strucruct. and Techniques”. – Vilnius: Technika, 2007. – Р. 918 – 924. 29. Grigorenko A.Ya. Numerical Solution of Problems of Free Axisymmetric Vibrations of a Hollow Or- thotropic Cylinder under Various Boundary Conditions at Its End Faces // Int. Appl. Mech. – 1997. – 33, N 5. – P. 388 – 393. 30. Grigorenko A.Ya. Numerical Studying the Stationary Dynamical Processes in Anisotropic Inhomoge- neous Cylinders// Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 8. – P. 831 – 866. 31. Grigorenko A.Ya., Bergulev A.S. Determination of the Stressed State of Rectangular Anisotropic Plates in the Space Statement // J. Math. Sci. – 2012. – 187, N 4. – P. 699 – 707. 32. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Application of Spline-Approximation for Solving the Problems on Natural Vibrations of Rectangular Shallow Shells with Varying Thickness // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 10. – P. 1161 – 1169. 33. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Using Spline-Approximation to Solve Problems of Axisymmetric Free Vibration of Thick-Walled Orthotropic Cylinders // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 10. – P. 1137 – 1147. 34. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Free Axisymmetric Vibrations of Solids Cylinders: Numerical Prob- lem Solving// Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 499 – 508. 35. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Korotkikh Yu.A. Free Axisymmetric Vibrations of Hollow Cylinder of Finite Length Made of Functionally Graded Materials // J. Math. Sci. – 2016. – 207, N 2. – P. 1 – 16. 36. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Korotkikh Yu.A. Free Axisymmetric Vibrations of Cylindrical Shells Made of Functionally Graded Materials // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 6. – P. 654 – 665. 37. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Loza I.A. Solution of an Axisymmetric Problem of Free Vibrations of Piezoceramic Hollow Cylinders of Finite Length by the Spline Collocation Method // J. Math. Sci. – 2010. – 165, N 2. – P. 290 – 300. 38. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Loza, I.A. Free Vibrations of Axially Polarized Piezoceramic Hollow Cylinders of Finite Length // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 2. – P. 625 – 623. 39. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L, Sokolova L.V. On the Approach to Studying Free Vibrations of Cylin- drical Shells of Variable Thickness in the Circumferential Direction Within a Refined Statement // J. Math. Sci. – 2010. – 181, N 4. – P. 548 – 563. 40. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L, Sokolova L.V. On the Investigation of Free Vibratioins of Nothin Cy- lindrical Shells of Variable Thickness by Spline-Collocation Method // J. Math. Sci. – 2012. – 184, N 4. – P. 506 – 519. 41. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Free Nonaxisymmetric Vibrations of Radially Polarized Hollow Pie- zoceramic Cylinders of Finite Length // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 11. – P. 1229 – 1237. 42. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Axisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Axially Polarized Piezoceramic Layers // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 707 – 713. 43. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Free Nonaxisymmetric Vibrations of Radially Polarized Hollow Pie- zoceramic Cylinders of Finite Length // Int. Appl. Mech. – 2011. – 46, N 11. – P. 1229 – 1237. 44. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Solution of the Problem of Nonaxisymmetrical Free Vibrations of the Piezoceramic Hollow Cylinders with Axial Polarization // J. Math. Sci. – 2012. – 184, N 1. – P. 69 – 77. 45. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Nonaxisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Radially Po- larized Piezoceramic Layers // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 641 – 640. 46. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Nonaxisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Axially Polar- ized Piezoceramic Layers // Int. Appl. Mech. –2014. – 50, N 2. – P. 150 – 158. 47. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Axisymmetric Acoustoelectric Waves in a Hollow Cylinder Made of a Con- tinuously Inhomogeneous Piezoelectric Material // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 4. – P. 374 – 380. 48. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Propagation of Axisymmetric Electroelastic Waves in a Hollow Layered Cylinder under Mechanical Excitation // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 5. – P.562 – 567. 49. Grigorenko A.Ya., Loza I.A., Yaremchenko S.N. Numerical Analysis of Free Vibrations of Piezoelectric Cylinders. In: New Achievements in Continuum Mechanics and Thermodynamics, 2019. – Berlin: Springer. – Р. 187 – 196. 50. Grigorenko A.Ya., Müller W.H., Grigorenko Ya.M, Vlaikov G.G. Recent Developments in Anisotropic Heterogeneous Shell Theory. General Theory and Applicationsof Classical Theory. – Vol. I. – Berlin: Springer, 2016. – 116 p. 51. Grigorenko A.Ya., Müller W.H., Grigorenko Ya.M, Vlaikov G.G. Recent Developments in Anisotropic Heterogeneous Shell Theory. Applications of Refined and Three-dimensional Theory. – Vol. IIA. – Berlin: Springer, 2016. – 42 p. 52. Grigorenko A.Ya., Müller W.H., Grigorenko Ya.M, Vlaikov G.G. Recent Developments in Anisotropic Heterogeneous Shell Theory. Applications of Refined and Three-dimensional Theory – Vol. IIB. – Springer, 2016. – 108 p. 53. Grigorenko A.Ya., Müller W.H., Wille R., Loza I.A. Nonaxisymmetric Vibrations of Radially Polarized Hollow Cylinders Made of Functionally Gradient Piezoelectric Materials // Continuum Mech. Thermodyn. – 2012. – 24, N 4 – 6. – P. 515 – 524. 54 54. Grigorenko A.Ya., Pankrat’ev S.A., Yaremchenko S.N. Influence of Orthotropy on the Stress–Strain State of Quadrangular Plates of Different Shapes // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 5. – P. 199 – 209. 55. Grigorenko A.Ya., Puzyrev S.V., Prigoda A.P., Horishko V.V. Theoretical-Experimental Investigation of Frequencies of Free Vibrations of Circular Cylindrical Shells // J. Math. Sci. – 2011. – 174, N 2. – P. 254 – 267. 56. Grigorenko A.Ya., Puzyrev S.V., Volchek E.A. Investigation of Free Vibrations of Noncircular Cylindri- cal Shells by the Spline-Collocation Method // J. Math. Sci. – 2012. – 185, N 6. – P. 824 – 827. 57. Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Some problems of the theory of elasticity for anisotropic bodies of cylindrical form. – Kyiv: Inst. Mech. of NAS of Ukraine and Techn. Center of NAS of Ukraine, 2002. – 217 p. 58. Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Investigation of the Static and Dynamic Behaviour of Anisotropic Cylin- drical Bodies with Noncircular Cross-Section // Int. J. Solids and Struct. – 2004. – 41. – P. 2781 – 2790. 59. Grigorenko A.Ya., Yaremchenko S.N. Investigation of Static and Dynamic Behaviour of Anisotropic Inhomogeneous Shallow Shells by Spline Approximation Method // J. Civil Eng. and Management – 2009. – 15, N 1. – P. 87 – 93. 60. Grigorenko A.Ya., Yaremchenko N.P., Yaremchenko S.N. Analysis of the Axisymmetric Strain– Stress State of a Continuously Inhomogeneous Hollow Sphere // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 5. – P. 577 – 583. 61. Grigorenko Ya.M. Solution of problems in the theory of shells by numerical-analysis methods // Soviet Appl. Mech. – 1984. – 20, N 10. – P.881 – 897. 62. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Spline-based Investigation of Natural Vibrations of Orthotropic Rectangular Plates of Variable Thickness within Classical and Refined Theories // J. Mech. and Struct. – 2008. – 3, N 5. – P. 929 – 952. 63. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Problems of Mechanics for Anisotropic Inhomoge- neous Shells on Basis of Different Models. – Kyiv: Akademperiodika, 2009. – 549 p. 64. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Zakhariichenko L.I. Analysis of Influence of the Geometrical Parameters of Elliptic Cylindrical Shells with Variable Thickness on Their Stress-Strain State // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 2. – P. 155 – 162. 65. Guz A.N. Modern Directions in the Mechanics of a Solid Deformable Body // Int. Appl. Mech. – 1985. –21, N 9. – P. 823 – 828. 66. Guz A.N., Makhort F.G. The Physical Fundamentals of the Ultrasonic Nondestructive Stress Analysis of Solids // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 9. – P. 1119 – 1149. 67. Heyliger P.R. A note on the static behavior of simply-supported laminated piezoelectric cylinder // Int. J. Solids and Struct. – 1997 – 34, N 29. – P. 3781 – 3794. 68. Heyliger P.R., Brooks S. Exact solution for piezoelectric laminates in cylindrical bending // J. Appl. Месh. – 1994. – 63, N 4. – P. 903 – 910. 69. Heyliger P.R., Ramirez G. Free vibrations of laminated circular piezoelectric plates and discs // J. Sound and Vibr. – 2000. – 229, N 4. – P. 935 – 956. 70. Hussein M., Heyliger P.R. Discrete layer Analysis of Axisymmetric Vibrations of Laminated Piezoe- lectric Cylinders // J. Sounds and Vibr. – 1996. – 192, N 5. – P. 995 – 1013. 71. Kharouf N., Heyliger P.R. Axisymmetric Free Vibrations of Homogeneous and Laminated Piezoelec- tric Cylinders // J. Sound and Vibr. – 1994. – 174, N 4. – P. 539 – 561. 72. Khoroshev K.G., Glushchenko Yu.A. The two-dimensional electroelasticity problems for multiconnect- ed bodies situated under electric potential difference action // Int. J. Solids and Struct. – 2012 – 49, № 18. – P. 2703 – 2711. 73. Khoroshev K.G., Glushchenko Yu.A. Plane electroelastical problem for a cracked piezoelectric half-space subject to remote electric field action // Europ. J. of Mech. A. Solids. – 2020. – 82. 103984 – P. 1 – 20. 74. Kuang Z.B. Theory of Electroelasticity. – Shanghai: Springer-Verlag, 2014. – 431 p. 75. Loza I.A. Axisymmetric Acoustoelectrical Wave Propagation in a Hollow Circularly Polarized Cylin- drical Waveguide // Soviet Appl. Mech. – 1984. – 20, N 12. – P. 1103 – 106. 76. Loza I.A. Propagation of Nonaxisymmetric Waves in Hollow Piezoceramic Cylinder with Radial Polar- ization // Soviet Appl. Mech. – 1985. – 21, N 1 – P. 22 – 27. 77. Loza I.A. Free Vibrations of Piezoceramic Hollow Cylinders with Radial Polarization // J. Math. Sci. – 2011. – 174, N 3. – P. 295 – 302. 78. Loza I.A. Torsional Vibrations of Piezoceramic Hollow Cylinders with Circular Polarization // J. Math. Sci. – 2012. – 180, N 2. – P. 146 – 152. 79. Loza I.A., Medvedev K.V., Shul'ga N.A. Propagation of Acoustoelectric Waves in a Planar Layer Made of Piezoelectrics of Hexagonal Syngony // Soviet Appl. Mech. – 1987. – 23, N 7. – P. 611 – 615. 80. Loza I.A. Medvedev K.V., Shul'ga N.A. Propagation of Nonaxisymmetric Acoustoelectric Waves in Layered Cylinders // Soviet Appl. Mech. – 1987. – 23, N 8. – P. 703 – 706. 81. Loza I.A. Shul'ga N.A. Effect of Electrical Boundary Conditions on the Propagation of Axisymmetric Acoustoelectric Waves in a Hollow Cylinder with Axial Polarization // Soviet Appl. Mech. – 1987. – 23, N 9. – P. 832 – 839. 55 82. Loza I.A. Shul'ga N.A. Forced axisymmetric vibrations of a hollow piezoceramic sphere with an electri- cal method of excitation // Soviet Appl. Mech. – 1990. – 23, N 8. – P. 703 – 706. 83. Paul H.S. Torsional vibration of circular cylinder of piezoelectric  -quartz // Arch. Mech. Stosow.  1962. – N 5.  P. 127 – 134. 84. Paul H.S. Vibration of circular cylindrical shells of piezoelectric silver iodide crystals // J. Acoust. Soc. Amer. – 1966.  40, N 5.  P. 1077 – 1080. 85. Paul H.S., Nelson V.K., Vazhapadi K. Flexural vibration of piezoelectric composite cylinder // J. Acoust. Soc. Am. – 1996. – 99, N 1. – P. 309 – 313. 86. Pochhammer L. Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbe- grenzten isotropen Kreiscylinder // J. Reine Angew. Math. – 1876. – 81. – P. 324 − 336. 87. Saravanos D.A., Heyliger P.R. Mechanics and computational models for laminated piezoelectric beams, plates, and shells // Appl. Mech. Rev. – 1999. – 52. – P. 305 – 320. 88. Shul’ga N.A. Propagation of Harmonic Waves in Anisotropic Piezoelectric Cylinders. Homogeneous Piezoceramic Waveguides // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 8. – P. 933 – 953. 89. Shul’ga N.A., Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Elastic Wave Propagation in Hollow Anisotropy Cylin- ders // Int. Appl. Mech. – 1996. – 32, N 5. – P. 357 – 362. 90. Shul’ga N.A., Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Axisymmetric Electroelastic Waves in a Hollow Piezoelec- tric Ceramic Cylinder // Soviet Appl. Mech. – 1984. – 20, N 1. – P. 23 – 28. 91. Shul’ga N.A., Grigorenko A. Ya., Loza I.A. Propagation of Nonaxisymmetric Acoustoelectric Waves in a Hollow Cylinder // Soviet Appl. Mech. – 1984. – 20, N 6. – P. 517 – 521. 92. Shul’ga N.A., Loza I.A. Axial vibrations of a hollow piezoceramic ball with axial polarization // J. of Soviet Math. – 1992. – 36. – P. 3296 – 3300. 93. Wang J., Shi Z. Models for designing radially polarized multilayer piezoelectric/elastic composite cy- lindrical transducers // J. Intelligent Mater. Systems and Structures. – 2016. – 27, N 4. – P. 500 – 511. 94. Yang J. An Introduction to the Theory of Piezoelectricity. – Berlin: Springer, 2005. – 284 p. 95. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. – New York: McGraw-Hill, 1989. – 564 р. 96. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Too J.M. Reduced Integration Technique in General Analysis of Plates and Shells // Int. J. Numer Methods Eng. – 1971. – 3, N2. –P. 275 – 290. Поступила 24.10.2019 Утверждена в печать 09.07.2020

Численный анализ динамических процессов в неоднородных пьезокерамических цилиндрах (обзор)

Institution

Similar Items