О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2
Проведен анализ распространения нелинейной упругой продольной плоской волны смещения u(x1,t) для симметричного начального профиля в виде функции Гаусса и несимметричного начального профиля в виде функции Уиттекера. В межах моделі Мурнагана вивчено теоретично та чисельно нелінійну плоску поздовжню пр...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2020 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2020
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188282 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 / Я.Я. Рущицкий, В.Н. Юрчук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 17-27. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188282 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Рущицкий, Я.Я. Юрчук, В.Н. 2023-02-20T17:24:19Z 2023-02-20T17:24:19Z 2020 О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 / Я.Я. Рущицкий, В.Н. Юрчук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 17-27. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188282 Проведен анализ распространения нелинейной упругой продольной плоской волны смещения u(x1,t) для симметричного начального профиля в виде функции Гаусса и несимметричного начального профиля в виде функции Уиттекера. В межах моделі Мурнагана вивчено теоретично та чисельно нелінійну плоску поздовжню пружну хвилю зміщення для двох форм початкового профілю - гармонічного і дзвіноподібного. Основна новизна полягає в тому, що еволюція хвиль аналізується наближеними методами з урахуванням перших трьох апроксимацій. Аналіз гармонічної хвилі розглядається тільки для порівняння з новими результатами для дзвіноподібної хвилі. Показано деякі суттєві відмінності між еволюцією хвиль. По-перше, симетричні початково профілі трансформуються внаслідок еволюції в спотворенні по-різному: гармонічний профіль симетрично і дзвіноподібний профіль асиметрично. По-друге, третя апроксимація вводить четверту гармоніку для гармонічної хвилі, коли ця хвиля аналізувалася методом послідовних наближень, тоді як дзвіноподібна хвиля характеризується у третьому наближенні по-іншому в рамках аналізу методом обмежень на градієнт зміщення. На відносно довгих відстанях від початку поширення хвилі одногорба дзвіноподібна хвиля перетворюється в двогорбу. Ці горби прилягають один до одного і зменшують в два рази їх підошви. Третє наближення дозволяє спостерегти нові хвильові ефекти: несиметрію лівого і правого горбів відносно їх піків і несиметрію горбів щодо один до одного - опущення лівого горба і підйом правого. Результати дослідження коментуються The propagation of a nonlinear elastic longitudinal plane wave of displacement is analyzed theoretically and numerically within the framework of the Murnaghan model for a symmetrical initial profile in the form of Gauss’s function and asymmetrical initial profile in the form of Whittaker’s function. The basic novelty consists in that the evolution of waves is analyzed by the approximate methods by taking into account the first three approximations. The analysis of the harmonic wave is considered for the only comparison with the new results for Whittaker’s wave. Some essential distinctions between the evolution of waves are shown. Common to these profiles is the distortion of the initial profile when the wave moves due to the nonlinear self-interaction of the wave. A bell-shaped (symmetrical profile) solitary wave retains symmetry when moving in a nonlinearly elastic body. For some initial sets of parameters, this wave initially does not change the bottom length and only shows the tendency to form two humps instead of one when taking into account the second conditional harmonic (the formation of two bell-shaped waves adjacent to each other and having half the bottom) as well as the sinking of the left hump and elevation of the right hump when taking into account the third harmonic. The asymmetrical profile in the form of Whittaker's function retains the length of the bottom and asymmetry in the case of the allowance for the second harmonic, but the value of the amplitude increases rapidly. When the third harmonic is taken into account, two asymmetrical humps are formed, which resemble the evolution of the symmetrical profile when the second harmonic is taken into account. Common to the evolution of symmetrical and asymmetrical profiles is the scenario of distortion of the initial profile of the wave - the formation of two symmetrical humps in the case of accounting for the second harmonic of Gauss’s function and two asymmetrical humps in the case of accounting for the third harmonic of Whittaker’s function. In the case of allowance for the third harmonic for symmetrical and asymmetrical profiles, the two humps become asymmetric but this asymmetry of profiles is different. Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, выполнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направлений научных исследований» (КПКВК 6541230). ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 On Effect of the Third Approximation in Analysis of Evolution of Nonlinear Elastic P-Wave. Part II Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 |
| spellingShingle |
О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 Рущицкий, Я.Я. Юрчук, В.Н. |
| title_short |
О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 |
| title_full |
О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 |
| title_fullStr |
О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 |
| title_full_unstemmed |
О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 |
| title_sort |
о влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой р-волны. часть 2 |
| author |
Рущицкий, Я.Я. Юрчук, В.Н. |
| author_facet |
Рущицкий, Я.Я. Юрчук, В.Н. |
| publishDate |
2020 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Effect of the Third Approximation in Analysis of Evolution of Nonlinear Elastic P-Wave. Part II |
| description |
Проведен анализ распространения нелинейной упругой продольной плоской волны смещения u(x1,t) для симметричного начального профиля в виде функции Гаусса и несимметричного начального профиля в виде функции Уиттекера.
В межах моделі Мурнагана вивчено теоретично та чисельно нелінійну плоску поздовжню пружну хвилю зміщення для двох форм початкового профілю - гармонічного і дзвіноподібного. Основна новизна полягає в тому, що еволюція хвиль аналізується наближеними методами з урахуванням перших трьох апроксимацій. Аналіз гармонічної хвилі розглядається тільки для порівняння з новими результатами для дзвіноподібної хвилі. Показано деякі суттєві відмінності між еволюцією хвиль. По-перше, симетричні початково профілі трансформуються внаслідок еволюції в спотворенні по-різному: гармонічний профіль симетрично і дзвіноподібний профіль асиметрично. По-друге, третя апроксимація вводить четверту гармоніку для гармонічної хвилі, коли ця хвиля аналізувалася методом послідовних наближень, тоді як дзвіноподібна хвиля характеризується у третьому наближенні по-іншому в рамках аналізу методом обмежень на градієнт зміщення. На відносно довгих відстанях від початку поширення хвилі одногорба дзвіноподібна хвиля перетворюється в двогорбу. Ці горби прилягають один до одного і зменшують в два рази їх підошви. Третє наближення дозволяє спостерегти нові хвильові ефекти: несиметрію лівого і правого горбів відносно їх піків і несиметрію горбів щодо один до одного - опущення лівого горба і підйом правого. Результати дослідження коментуються
The propagation of a nonlinear elastic longitudinal plane wave of displacement is analyzed theoretically and numerically within the framework of the Murnaghan model for a symmetrical initial profile in the form of Gauss’s function and asymmetrical initial profile in the form of Whittaker’s function. The basic novelty consists in that the evolution of waves is analyzed by the approximate methods by taking into account the first three approximations. The analysis of the harmonic wave is considered for the only comparison with the new results for Whittaker’s wave. Some essential distinctions between the evolution of waves are shown. Common to these profiles is the distortion of the initial profile when the wave moves due to the nonlinear self-interaction of the wave. A bell-shaped (symmetrical profile) solitary wave retains symmetry when moving in a nonlinearly elastic body. For some initial sets of parameters, this wave initially does not change the bottom length and only shows the tendency to form two humps instead of one when taking into account the second conditional harmonic (the formation of two bell-shaped waves adjacent to each other and having half the bottom) as well as the sinking of the left hump and elevation of the right hump when taking into account the third harmonic. The asymmetrical profile in the form of Whittaker's function retains the length of the bottom and asymmetry in the case of the allowance for the second harmonic, but the value of the amplitude increases rapidly. When the third harmonic is taken into account, two asymmetrical humps are formed, which resemble the evolution of the symmetrical profile when the second harmonic is taken into account. Common to the evolution of symmetrical and asymmetrical profiles is the scenario of distortion of the initial profile of the wave - the formation of two symmetrical humps in the case of accounting for the second harmonic of Gauss’s function and two asymmetrical humps in the case of accounting for the third harmonic of Whittaker’s function. In the case of allowance for the third harmonic for symmetrical and asymmetrical profiles, the two humps become asymmetric but this asymmetry of profiles is different.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188282 |
| citation_txt |
О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2 / Я.Я. Рущицкий, В.Н. Юрчук // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 17-27. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ruŝickiiââ ovliâniitretʹegopribliženiâprianalizeévolûciinelineinouprugoirvolnyčastʹ2 AT ûrčukvn ovliâniitretʹegopribliženiâprianalizeévolûciinelineinouprugoirvolnyčastʹ2 AT ruŝickiiââ oneffectofthethirdapproximationinanalysisofevolutionofnonlinearelasticpwavepartii AT ûrčukvn oneffectofthethirdapproximationinanalysisofevolutionofnonlinearelasticpwavepartii |
| first_indexed |
2025-11-25T00:18:15Z |
| last_indexed |
2025-11-25T00:18:15Z |
| _version_ |
1850501740582928384 |
| fulltext |
2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 6 17
Я . Я . Р у щ и ц к и й , В . Н . Ю р ч у к
О ВЛИЯНИИ ТРЕТЬЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРИ АНАЛИЗЕ
ЭВОЛЮЦИИ НЕЛИНЕЙНО УПРУГОЙ Р-ВОЛНЫ. ЧАСТЬ 2.
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: rushch@inmech.kiev.ua
Abstract. The propagation of a nonlinear elastic longitudinal plane wave of displace-
ment is analyzed theoretically and numerically within the framework of the Murnaghan mo-
del for a symmetrical initial profile in the form of Gauss’s function and asymmetrical initial
profile in the form of Whittaker’s function. The basic novelty consists in that the evolution
of waves is analyzed by the approximate methods by taking into account the first three ap-
proximations. The analysis of the harmonic wave is considered for the only comparison with
the new results for Whittaker’s wave. Some essential distinctions between the evolution of
waves are shown. Common to these profiles is the distortion of the initial profile when the
wave moves due to the nonlinear self-interaction of the wave. A bell-shaped (symmetrical
profile) solitary wave retains symmetry when moving in a nonlinearly elastic body. For some
initial sets of parameters, this wave initially does not change the bottom length and only shows
the tendency to form two humps instead of one when taking into account the second condi-
tional harmonic (the formation of two bell-shaped waves adjacent to each other and having
half the bottom) as well as the sinking of the left hump and elevation of the right hump when
taking into account the third harmonic. The asymmetrical profile in the form of Whittaker's
function retains the length of the bottom and asymmetry in the case of the allowance for the
second harmonic, but the value of the amplitude increases rapidly. When the third harmonic
is taken into account, two asymmetrical humps are formed, which resemble the evolution of
the symmetrical profile when the second harmonic is taken into account. Common to the
evolution of symmetrical and asymmetrical profiles is the scenario of distortion of the initial
profile of the wave - the formation of two symmetrical humps in the case of accounting for
the second harmonic of Gauss’s function and two asymmetrical humps in the case of accou-
nting for the third harmonic of Whittaker’s function. In the case of allowance for the third
harmonic for symmetrical and asymmetrical profiles, the two humps become asymmetric but
this asymmetry of profiles is different.
Key words: solitary nonlinear elastic P-wave; Murnaghan potential; approximate meth-
od; Gauss and Whittaker initial wave profiles; evolution; distortion.
Введение.
Данное исследование продолжает анализ, проведенный в [18] для одиночной плос-
кой волны. Использована модель Мурнагана нелинейного упругого деформирования
материала [2 – 4, 6, 7, 10].
Упругий потенциал Мурнагана квадратично и кубически нелинеен относительно
компонентов тензора деформаций Коши – Грина
, , , ,
2 2 2 3
1 2 ;
( ) 1 2 ( ) ( ) 1 3 ( ) 1 3 ( )
nm n m m n k n k m
ik mm ik ik im km ik mm mm
u u u u
W A B C
(1)
( , , , ,A B C – упругие постоянные модели Мурнагана).
Выбран вариант представления потенциала Мурнагана через градиенты смещений,
где учтены лишь квадратично и кубически нелинейные составляющие [4, 8 – 10]
18
2 2
, , , , , ,
2 3
, , , , , , , , ,
1 2 1 4 1 4
1 2 1 12 1 2 1 3
m m i k k i i k m i m k
m m i k i k k m m i i k k i m m m m
W u u u A u u u
B u u Au u u Bu u u C u
(2)
и рассмотрено движение, в котором смещения зависят лишь от одной пространствен-
ной координаты и времени 1( , )k ku u x t (смещения в направлении оси 1Ox в декарто-
вой системе координат 1 2 3Ox x x ). В этом случае вид потенциала (2) упрощается
2 2 2
1,1 2,1 3,1
3 2 2
1,1 1,1 2,1 3,1
1 2 2
1 2 1 3 1 3 1 2 .
W u u u
A B C u B u u u
(3)
Из (3) получаются нелинейные волновые уравнения для трех типов поляризован-
ных плоских волн (P-, SH-, SV- волны). Простейшие нелинейные волновые уравнения
являются квадратично нелинейными. В частности, движение Р-волны описывается
уравнением
1, 1,11 1 1,11 1,1 2 2,11 2,1 3,11 3,12 ;ttu u N u u N u u u u (4)
1 23 2 2 3 ; 2 1 2 .N A B C N A B (5)
Далее анализ ограничен задачей, когда первоначально в материале возбуждается
лишь Р-волна [18] и основным нелинейным явлением является явление самогенерации
волны. Тогда нелинейное уравнение (4) принимает вид
2
1, 1,11 1 1,11 1,1 1, 1,11 1 1,11 1,12tt tt Lu u N u u u v u N u u , (6)
где 2Lv – фазовая скорость Р-волны в линейном приближении.
К настоящему моменту уравнения (6) анализировались приближенно в рамках трех
методов – последовательных приближений, медленно изменяющихся амплитуд, огра-
ничения на градиент смещения [1 – 4, 6, 10, 18]. Изучались волны с разными началь-
ными профилями. Большинство результатов относится к анализу нелинейного поведе-
ния волн в рамках двух первых приближений. Для трех первых приближений изучены
гармонические волны [10, 11 – 13] и волны колоколообразного профиля [18]. Оказа-
лось, что особенности эволюции волны выявляются наиболее четко лишь при числен-
ном моделировании. Поскольку такая задача является многопараметрической и на
результаты влияет существенно выбор материала, длины и амплитуды волны, то по-
лученные сценарии эволюции волны отличаются довольно значительно. Поэтому лю-
бые новые числовые результаты, полученные для новых материалов или новых пара-
метров волны, всегда дополняют общую картину эволюции.
В настоящем исследовании выбраны симметричный профиль в виде функции
Гаусса и несимметричный профиль в виде функции Уиттекера с целью исследовать
эволюцию волны с несимметричным профилем. Целью объединения анализа для двух
профилей является сравнение сценариев симметричного и несимметричного профи-
лей волны. Основным новшеством в представленном анализе одиночной волны явля-
ется учет третьего приближения. Следует отметить, что третье приближение уже ана-
лизировалось ранее для иных материалов для симметричного колоколообразного про-
филя, где обнаружено, что решающим фактором для выявления достаточно видимого
эффекта эволюции является расстояние, которое прошла волна.
1. Приближенный подход к анализу нелинейного волнового уравнения (6).
Как известно [10 – 13, 18], анализ эволюции одиночных волн методом последова-
тельных приближений приводит к существенным математическим сложностям и по-
этому далее будет применен метод ограничения на градиент смещения. Для этого
удобно представить уравнение (6) в виде
2 2
1, 1 1,1 1,11 1, 1,1 1,110 1 0;tt L tt Lu v N u u u u v u 1 2N . (7)
19
Предполагается, что начальный профиль волны описывается достаточно гладкой
функцией 1 1( , 0) ( )u x t F x и волна имеет форму волны Даламбера
1 1,u x t F x vt , (8)
где скорость волны переменная и определяется выражением
1,11 Lv u c . (9)
Далее корень в (9) записывается в виде ряда
1/ 2 2
1,1 1,1 1,1 1,11 1 1 1 2 1 8u u u u
при ограничении
1,1 1u . (10)
Ввиду малости величины 1,1u решение (8) может быть представлено приближен-
но в виде первых трех аппроксимаций
1 1 1 1,1 1,1, 1 2 1 1 4L L Lu x t F a x v t t v u v u . (11)
Поскольку ранее приближенное решение записывалось в виде первых двух ап-
проксимаций, то приближение (11) вносит элемент новизны в последующий анализ.
Следует заметить, что адекватность приближения (12) зависит от точности выполне-
ния условия (10), которое включает ограничения на два параметра: зависящий от свойств
материала параметр 3 2 3 2A B C и градиент перемещения 1,1u .
Если обозначить фазу волны с постоянной фазовой скоростью через 1 La x c t
и ввести дополнительный малый параметр
1,1 1,11 2 1 1 4 1L Lt v u v u , (12)
то решение (12) можно представить в виде ряда Тейлора
/ // 2
1, 1 2u x t F F F F . (13)
Далее по причине малости анализ ограничивается первыми трема членами в
(13). Поскольку малость 1,1u уже предположена в (10), то это (12) является услови-
ем на Lav t .
Далее из (13) получается выражение для градиента смещения
1
/ / / /
1,1 1 1,11, 1 2 [1 (1/ 2) ] ( )x L Lu x t F F a t v u t v aF ,
которое позволяет записать решение (13) в виде
/ 2 / /
1 1 ,1 ,1 ,1
22 / /
,1 ,1
, 1 2 1 1 4
1 2 1 1 4 .
L
L L
u x t F F a t v F aF
F a v t F av F
(14)
Приближенное представление решения (14) описывает нелинейные волновые эф-
фекты, состоящие в первую очередь в возникновении второй и третий гармоник в слу-
чае одиночной волны и увеличении амплитуды со временем распространения волны.
Далее рассматривается профиль в виде функции Гаусса 2
1 / 2
1
ax
F x e
(колоко-
лообразная волна) и профиль в виде функции Уиттекера 1 1/4;1/4 1F x W ax .
Для одиночной волны a определяет ширину подошвы волны. Этот параметр ва-
жен для оценки соотнесения волны к модели малых или немалых градиентов смеще-
ний. Отношение максимальной амплитуды волны к длине ее подошвы позволяет сде-
лать такую оценку.
20
2. Параметры материала и волны в последующем числовом моделировании.
Выберем два металлических композитных материала (матрица – алюминий,
наполнитель – вольфрам) с такими механическими параметрами (система СИ) [2]:
Материал 51 (объемное содержание матрицы равно 0,8) –
40,594 10 ; 10 105,59 10 ; 3, 26 10 ;
11 11 110,658 10 ; 2,18 10 ; 4,35 10A B C ; 34,515 10Lc ; 16,072 .
Материал 52 (объемное содержание матрицы равно 0,6) –
40,918 10 ; 10 1011,6 10 ; 0,721 10 ;
11 11 111,33 10 ; 4,45 10 ; 9,5 10A B C ; 33,769 10Lc ; 34,08 .
Для одиночной волны с профилем в виде функции Гаусса или функции Уиттекера
(которые является функциями конечного веса) предполагается, что длиной подошвы
волны L является интервал (расстояние), для которого площадь под графиком началь-
ного профиля волны вне этого интервала ничтожно мала. В представлении профиля в
виде 2
1 / 2
1
ax
F x e
и 1 1/4;1/4 1F x W ax параметр a определяет длину подошвы
по формуле 1/ a . Для исследуемых двух материалов и соответствующих волн
начальная подошва выбрана таким образом: для симметричного профиля
0,0375; 0,0187 ,L а для несимметричного профиля 0,0006; 0,0003 .L
Рассмотрено 16 вариантов первоначального задания параметров Р-волны (2 вари-
анта материала, 2 варианта аналитического представления профиля, 2 варианта подош-
вы волны, 2 варианта начальной амплитуды).
3. Числовой анализ волны с профилем в виде функции Гаусса.
Начальный профиль волны 2
1 / 2
1
ax
F x e
имеет колоколообразную симметрич-
ную форму и формула (14) приобретает вид
2 2 22 32 2 2 2 3 3 3 2
1, 1 2 1 8 .o o o
L Lu x t A e v a t A e v a t A e (15)
Заметим, что приближенная формула для колоколообразной волны (15) включает
как-бы три гармоники, поскольку для анализа профиля понятия первой, второй и тре-
тьей гармоник не вполне применимы и функции
22
1 2La x c t
e
, 2222 11
3 2
,
LL
a x c ta x c te e
можно считать первой, второй и третьей гармониками весьма условно.
Следует заметить, что в волне (15) квадрат фазы волны 1Lk x t во втором
слагаемом и куб в третьем слагаемом входят явно в выражение для амплитуды. Этот
факт характерен для одиночных волн и не присутствует в нелинейном описании гар-
монической волны.
По формуле (15) построены двумерные графики с координатами «смещение 1u –
пройденное волной расстояние 1x ». Всего 8 наборов (2 материала, 2 варианта длины
волны, 2 варианта максимальной начальной амплитуды). Каждый набор включает 3
графика для материала М-51 и 4 графика для материала М-52. На рис. 1, а, 2, а и
рис.1, б, 2, б наложены два профиля, которые отвечают: первый – первой гармонике,
второй – первой + второй гармоникам, где показано, что проявления нелинейности
уже наблюдаемо при расстоянии 50 повторений подошвы волны. На рис. 1, в, 2, в и
рис. 2, г показаны по два профиля: один соответствует первой + второй гармоникам и
другой – первой + второй + третьей гармоникам. Рис. 2, г аналогичен рис. 2, в, однако
соответствует большему расстоянию, пройденному волной. В этом случае наблюдает-
21
ся более развитая тенденция образования двух горбов на профиле. Рис. 1 и рис. 2 от-
личаются начальными амплитудами. Для рис. 2 взяты такие начальная амплитуда и
расстояния, пройденные волной, чтобы нелинейность проявлялась существенно и
искажение начального профиля было хорошо наблюдаемо визуально. В графиках для
материала М-51 эволюции профиля видна на расстоянии в примерно 1000 повторений
длины подошвы, тогда как для материала М-52 рассмотрены расстояния на порядок
больше.
. 1.97 1.98 1.99 2.00
m
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
A
а
9.97 9.98 9.99 10.00
m
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
A
б
79.97 79.98 79.99 80.00
m
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
A
в
Рис. 1
22
1.97 1.98 1.99 2.00
m
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
A
а
9.97 9.98 9.99 10.00
m
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
A
б
39.97 39.98 39.99 40.00
m
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
A
в
2559.97 2559.98 2559.99 2560.00
m
0.1
0.2
0.3
0.4
A
г
Рис. 2
23
Из графиков, представленных выше, следует, что эволюция начального симметричного
профиля волны происходит несимметрично относительно пиков – из четырех склонов
двух горбов внешние (первый и четвертый) более покатые. Максимальное значение
амплитуды медленно увеличивается с тенденцией превращения одного горба в два
(что можно видеть на рис. 1, а, 2, а и рис. 1, б, 2, б). На рис.1, в, 2, в и
рис. 2, г приведены графиков для первого + второго и первого + второго + третьего
приближений. Из этих графиков следует, что при учете третьего приближения пик
первого горба увеличивается и уменьшается пик второго (левый пик растет и правый
– падает). Центральная часть графика опускается к оси и не пересекает ее, разделяя и
сращивая два горба. Это новое явление ранее описано в первой части 1 этой статьи.
Таким образом, учет нелинейности в анализе распространения одиночной волны с
начальным симметричным профилем в виде функции Гаусса позволяет описать эволю-
цию этого профиля, которая сопровождается новыми волновыми эффектами.
4. Числовой анализ волны с профилем в виде функции Уиттекера.
Пусть начальный профиль волны имеет вид функции Уиттекера с двумя одинако-
выми индексами 1 1/4;1/4 1F x W ax . Тогда формула (14) приобретает вид
2 22 /
1 1 1/ 4;3/4 1 1/4;1/4 1
3 332 /
1/4;1/4 1
, 1 2
(1/ 8) ( ) .
o o
L
o
L
u x t a W x t c a a W x
t c a a W x
(16)
Поскольку для функции ,W z производная вычисляется по формуле [5]
2
2
, , 1,
1 1 1
2 2
d
W z W z W z
dz z z
и первая производная для 1/4;1/4W x имеет вид /
1/4;1/4 1/ 4,1/4
5 1
4 2
W W
, то
решение (17) записывается в таком виде
2
22
1 1 1/ 4;1/ 4 1/ 4,1/ 4
3
332
1/4,1/4
5 1
, 1 2
4 2
5 1
(1/ 8) ( ) .
4 2
o o
L
o
L
u x t a W t c a a W
t c a a W
(17)
Из вида решения (17) следуют две особенности: оно описывает изменение началь-
ного профиля одиночной волны (вследствие прямой зависимости нелинейной состав-
ляющей от времени) и «расплывание» начального профиля (вследствие присутствия
нелинейных составляющих).
По формуле (17) построены двумерные графики с координатами «смещение 1u –
пройденное волной расстояние 1x ». Всего 8 наборов (2 материала, 2 варианта длины
волны, 2 варианта максимальной начальной амплитуды). Каждый набор включает 3
графика с двумя профилями. На первом графике наложены два профиля, которые от-
вечают: первый – первой гармонике, второй – первой + второй гармоникам, а на вто-
ром и третьем графике наложены по два профиля, которые отвечают: второй - первой
+ второй гармоникам и третий – первой + второй + третьей гармоникам при разных
пройденных расстояниях. Расстояния наложены один на другого с целью сравнения.
Третий график аналогичен второму, только здесь пройденное расстояние волны более
большое и поэтому наблюдается образование двух горбов. В каждом наборе эволюция
профиля видна на расстоянии в примерно 1000 повторений длины подошвы, влияние
нелинейности уже проявляется существенно и искажение начального профиля вполне
наблюдаемо визуально.
24
На рис. 3 приведены графики одного набора, соответствующего таким значениям
параметров: материал М-51, 0,0006L , 65,5 10oa .
0.0011 0.0012 0.0013 0.0014 0.0015 0.0016
x
2. 10 6
4. 10 6
6. 10 6
8. 10 6
2.2 10 7
а
0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008
x
5. 10 6
0.00001
0.000015
0.00002
0.000025
4.3 10 8
б
1.2001 1.2002 1.2003 1.2004 1.2005 1.2006
x
0.02
0.04
0.06
0.08
0.00026578
в
Рис. 3
На рис. 4 приведены графики одного набора, соответствующего таким значениям
параметров: материал К52, 0,0006L , 65,5 10oa .
25
0.0011 0.0012 0.0013 0.0014 0.0015 0.0016
x
5. 10 6
0.00001
0.000015
2.6 10 7
а
0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008
x
0.00001
0.00002
0.00003
0.00004
5. 10 8
б
1.2001 1.2002 1.2003 1.2004 1.2005 1.2006
x
0.05
0.10
0.15
0.20
0.00031838
в
Рис. 4
Из представленных графиков следует, что эволюция начального несимметричного
профиля волны происходит несимметрично. При этом максимальное значение ампли-
туды стремительно увеличивается (что можно видеть на первых рисунках). На втором
и третьем рисунках приведены графики второй и третьей гармоники, где уже видна
тенденция к образованию двух несимметричных горбов.
Таким образом, учет нелинейности в анализе распространения одиночной волны с
начальным профилем в виде функции Уиттекера позволяет описать дисторсию про-
филя с такими особенностями как увеличение несимметрии профиля и образование
двух горбов.
26
Общие выводы.
Проведен анализ распространения нелинейной упругой продольной плоской вол-
ны смещения 1,u x t для симметричного начального профиля в виде функции Гаусса
и несимметричного начального профиля в виде функции Уиттекера. Соответственно,
профили описываются двумя различными функциями: функцией Гаусса
2
1 / 2xe и функ-
цией Уиттекера 1/ 4;1/4 1W ax .
Общим для этих профилей является искажение начального профиля при движении
волны вследствие нелинейного взаимодействия волны самой с собой. Однако искаже-
ние происходит для каждого вида по-своему.
Колоколообразная (симметричный профиль) одиночная волна сохраняет симмет-
рию при своем движении в нелинейно упругой среде. Для ряда первоначальных набо-
ров параметров эта волна первоначально не изменяет длину подошвы и только пока-
зывает тенденцию к образованию двух горбов вместо одного при учете второй услов-
ной гармоники (образованию двух колоколообразных волн, примыкающих друг к
другу и уменьшающих вдвое подошвы) и западание левого и возвышения правого
горба для третьей гармоники.
Несимметричный профиль в виде функции Уиттекера сохраняет длину подошвы и
несимметричность при учете второго приближения (второй гармоники), но при этом
значения амплитуды стремительно увеличивается. При дополнительном учете третье-
го приближения (третьей гармоники) образуется два несимметричных горба которые
напоминают эволюцию симметричного профиля при учете второй гармоники.
Общим для эволюции симметричного и несимметричного профилей является сце-
нарий искажения начального профиля волны - образования двух симметричных гор-
бов для второй гармоники функции Гаусса и двух несимметричных горбов для треть-
ей гармоники функции Уиттекера. Учет третьей гармоники для симметричного про-
филя делает два горба несимметричными и дает похожую картину для несимметрич-
ного профиля функции Уиттекера, только в этих двух профилей несимметричность
разная.
Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы-
полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ-
лений научных исследований» (КПКВК 6541230).
Р Е З Ю М Е . Проаналізовано поширення нелінійно пружної поздовжньої плоскої хвилі змі-
щення для симетричного початкового профілю хвилі у вигляді функції Гауса та асиметричного поча-
ткового профілю у вигляді функції Уіттекера. Основна новизна полягає в тому, що еволюція хвиль
аналізується наближеними методами з урахуванням перших трьох апроксимацій. Аналіз гармонічної
хвилі розглядається тільки для порівняння з новими результатами для дзвіноподібної хвилі. Показано
деякі суттєві відмінності між еволюцією хвиль. Спільним для цих профілів є спотворення початково-
го профілю внаслідок нелінійної взаємодії хвилі сама з собою. Дзвіноподібна (симетричний профіль)
хвиля зберігає симетрію при русі в нелінійно пружному середовищі. Для ряду початкових наборів
параметрів ця хвиля спочатку не змінює довжину підошви і показує тільки тенденцію до формування
двох горбів замість одного при врахуванні другої умовної гармоніки (утворення двох дзвонів, що
прилягають один до одного, і зменшення підошви навпіл) і до западання лівого і підвищення правого
горбів у випадку врахування третьої гармоніки. Хвиля з асиметричним профілем у вигляді функції
Уіттекера зберігає довжину підошви і асиметричність у випадку врахування другої гармоніки, але
при цьому значення амплітуди хвилі швидко зростає. У випадку врахування третьої гармоніки утво-
рюються два асиметричні горби, які нагадують еволюцію симетричного профілю при врахуванні
другої гармоніки. Спільним для еволюції симетричного і асиметричного профілів є сценарій спотво-
рення початкового профілю хвилі - формування двох симетричного горбів при врахуванні другої
гармоніки в аналізі профіля Гаусса і двох асиметричних горбів при врахуванні третьої гармоніки в
аналізі профіля Уіттекера. Врахування третьої гармоніки робить два горби асиметричними для симе-
тричного та асиметричного профілів, тільки в цих двох профілях асиметричність є різною.
27
1. Рущицкий Я.Я., Юрчук В.Н. О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно
упругой Р-волны. Часть 1. // Прикл. механика. – 2020. – № 5. – С. 65 – 77.
2. Рущицький Я.Я. Про наближений аналіз еволюції поздовжньої хвилі, що поширюється в пружному
середовищі // Доп. НАН України. – 2019. – N 8. – С. 46 – 58.
3. Рущицький Я.Я., Цурпал С.І. Хвилі в матеріалах з мікроструктурою. – Київ: Інститут механіки
ім. С.П.Тимошенка, 1998. – 377 c.
4. Cattani C., Rushchitsky J. Wavelet and Wave Analysis as applied to Materials with Micro and Nanostruc-
ture. – Singapore - London: World Scientific, 2007. – 466 p.
5. Gradstein I.S., Ryzhik I.M. Table of Integrals, Series, and Products. 7th revised edition. Eds. Jeffrey A.,
Zwillinger D. – New York: Academic Press Inc., 2007. – 1200 p.
6. Guz A.N., Rushchitsky J.J. For the 100th Anniversary of the S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of
the NASU: Books (Monographs and Textbooks) Published by the Institute // Int. Appl. Mech. – 2018. –
54, N 2. – P. 121 – 142.
7. Rushchitsky J.J. Elements of the Theory of Mixtures. – Kiev: Naukova Dumka, 1991. – 160 p.
8. Rushchitsky J.J. Theory of waves in materials. – Copenhagen: Ventus Publishing ApS, 2011. – 270 p.
9. Rushchitsky J.J. Certain Class of Nonlinear Hyperelastic Waves: Classical and Novel Models, Wave
Equations, Wave Effects // Int. J. Appl. Math. and Mech. – 2013. – 9, N 12. – P. 600 – 643.
10. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials. – Heidelberg: Springer, 2014. – 455 p.
11. Rushchitsky J.J. On Constraints for Displacement Gradients in Elastic Materials // Int. Appl. Mech. –
2016. – 52, N 2. – P. 119 – 132.
12. Rushchitsky J.J. Plane nonlinear elastic waves: approximate approaches to analysis of evolution-
plenary lecture // Abstracts of 19th int. conf. “Dynamical System Modeling and Stability Investiga-
tions – DSMSI 2019”, Ukraine, Taras Shevchenko Kyiv National University, May 22 – 24, 2019.
– P. 221 – 223.
13. Rushchitsky J.J. Plane Nonlinear Elastic Waves: Approximate Approaches to Analysis of Evolution. Cha-
pter in the book “Understanding Plane Waves” Ed. William A. Cooper – London: Nova Science Publi-
shers, 2019. – 300 р. – P. 201 – 220.
14. Rushchitsky J.J., Cattani C., Sinchilo S.V. Physical Constants for One Type of Nonlinearly Elastic Fi-
brous Micro- and Nanocomposites with Hard and Soft Nonlinearities // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41,
N 12. – P. 1368 – 1377.
15. Rushchitsky J.J., Yurchuk V.M. One Approximate Method for Analyzing Solitary Waves in Nonlinearly
Elastic Materials // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 3. – P. 282 – 290.
16. Rushchitsky J.J., Yurchuk V.M. Numerical Analysis of the Evolution of Plane Longitudinal Nonlinear
Elastic Waves with Different Initial Profiles // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 1. – P. 104 – 110.
17. Rushchitsky J.J., Yurchuk V.M. Evolution of SV-Wave with Gaussian Profile // Int. Appl. Mech. – 2017.
– 53, N 3. – P. 300 – 304.
18. Yurchuk V.N. Difference in the Evolution of Longitudinal and Transverse Bell-Shaped Plane Waves Pro-
pagating in Nonlinear Elastic Composite // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 1. – P. 55 – 57.
Поступила 30.10.2019 Утверждена в печать 09.07.2020
|