Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем

На основе трехмерных линеаризованных уравнений Навье - Стокса для вязкой жидкости и линейных уравнений классической теории упругости для твердого слоя построены дисперсионные кривые и исследовано распространение акустических волн в широком диапазоне частот. Дан анализ влияния вязкой жидкости, толщин...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Прикладная механика
Дата:	2020
Автор:	Багно, А.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2020
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188285
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем / А.М. Багно // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 57-68. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188285
record_format	dspace
spelling	Багно, А.М. 2023-02-20T17:33:58Z 2023-02-20T17:33:58Z 2020 Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем / А.М. Багно // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 57-68. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188285 На основе трехмерных линеаризованных уравнений Навье - Стокса для вязкой жидкости и линейных уравнений классической теории упругости для твердого слоя построены дисперсионные кривые и исследовано распространение акустических волн в широком диапазоне частот. Дан анализ влияния вязкой жидкости, толщин упругого и жидкого слоев на фазовые скорости и коэффициенты затухания мод как для тонкого, так и для толстого упругих слоев. Установлено, что в гидроупругом волноводе с заданными механическими параметрами и упругим слоем произвольной заданной фиксированной толщины при возрастании толщины слоя жидкости фазовые скорости мод высокого порядка стремятся к скорости распространения волны звука в жидкой среде, которая больше скорости волны сдвига в твердом теле. Показано, что в случае толстого упругого слоя для всех мод существуют жидкие слои определенной толщины, при которых влияние вязкой жидкости на фазовые скорости и коэффициенты затухания мод является минимальным. Выявлено также, что для ряда мод существуют как определенные частоты, так и интервалы частот, при которых влияние вязкой жидкости на фазовые скорости и коэффициенты затухания этих мод значительно. Развитый подход и полученные результаты позволяют для волновых процессов установить пределы применимости модели идеальной сжимаемой жидкости. Розглянуто задачу про поширення акустичних хвиль у шарі в'язкої стисливої рідини, що взаємодіє з пружним півпростором. Дослідження проведено на основі тривимірних лінійних рівнянь класичної теорії пружності для твердого тіла та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав’є –Стокса для в'язкої стисливої рідини. Застосовано постановку задачі та підхід, oсновані на використанні представлень загальних розв'язків лінійних рівнянь для пружних тіл і лінеаризованих рівнянь для рідини. Отримано дисперсійне рівняння, яке описує поширення квазілембових хвиль у гідропружній системі. Побудовано дисперсійні криві для нормальних хвиль в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив товщини шару в’язкої стисливої рідини на фазові швидкості та коефіцієнти загасання акустичних хвиль. Показано, що вплив в'язкості рідини на параметри хвильового процесу пов'язаний з властивостями локалізації хвиль. Розроблений підхід і отримані результати дозволяють встановити межі застосування моделей хвильових процесів, заснованих на моделі ідеальної стисливої рідини. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. A problem of the propagation of acoustic waves in a layer of viscous compressible fluid that interacts with an elastic half-space is considered. The study is carried out on the base of the three-dimensional linear equations of the classical theory of elasticity for a solid and the three-dimensional linearized Navier – Stokes equations for a viscous compressible fluid. A problem statement and an approach, based on the representations of general solutions of the linear equations for the elastic body and the linearized equations for the fluid are used. The dispersion equation, which describes the propagation of the quasi-Lamb waves in the hydroelastic system, is obtained. The dispersion curves for the normal waves in the wide frequency range are constructed. An effect of the thickness of the layer of viscous compressible fluid on the phase velocities and attenuation coefficients of acoustic waves is analyzed. It is shown that an influence of the viscosity of fluid on the wave process parameters is associated with the localization properties of waves. The developed approach and the findings make it possible to establish the limits of applicability of the models of wave processes, based on the model of an ideal compressible fluid. The numerical results are presented in the form of graphs, and their analysis is given. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем Propagation of Waves in Elastic Semi-space Interacting with Viscous Fluid Layer Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем
spellingShingle	Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем Багно, А.М.
title_short	Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем
title_full	Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем
title_fullStr	Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем
title_full_unstemmed	Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем
title_sort	распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем
author	Багно, А.М.
author_facet	Багно, А.М.
publishDate	2020
language	Russian
container_title	Прикладная механика
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format	Article
title_alt	Propagation of Waves in Elastic Semi-space Interacting with Viscous Fluid Layer
description	На основе трехмерных линеаризованных уравнений Навье - Стокса для вязкой жидкости и линейных уравнений классической теории упругости для твердого слоя построены дисперсионные кривые и исследовано распространение акустических волн в широком диапазоне частот. Дан анализ влияния вязкой жидкости, толщин упругого и жидкого слоев на фазовые скорости и коэффициенты затухания мод как для тонкого, так и для толстого упругих слоев. Установлено, что в гидроупругом волноводе с заданными механическими параметрами и упругим слоем произвольной заданной фиксированной толщины при возрастании толщины слоя жидкости фазовые скорости мод высокого порядка стремятся к скорости распространения волны звука в жидкой среде, которая больше скорости волны сдвига в твердом теле. Показано, что в случае толстого упругого слоя для всех мод существуют жидкие слои определенной толщины, при которых влияние вязкой жидкости на фазовые скорости и коэффициенты затухания мод является минимальным. Выявлено также, что для ряда мод существуют как определенные частоты, так и интервалы частот, при которых влияние вязкой жидкости на фазовые скорости и коэффициенты затухания этих мод значительно. Развитый подход и полученные результаты позволяют для волновых процессов установить пределы применимости модели идеальной сжимаемой жидкости. Розглянуто задачу про поширення акустичних хвиль у шарі в'язкої стисливої рідини, що взаємодіє з пружним півпростором. Дослідження проведено на основі тривимірних лінійних рівнянь класичної теорії пружності для твердого тіла та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав’є –Стокса для в'язкої стисливої рідини. Застосовано постановку задачі та підхід, oсновані на використанні представлень загальних розв'язків лінійних рівнянь для пружних тіл і лінеаризованих рівнянь для рідини. Отримано дисперсійне рівняння, яке описує поширення квазілембових хвиль у гідропружній системі. Побудовано дисперсійні криві для нормальних хвиль в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив товщини шару в’язкої стисливої рідини на фазові швидкості та коефіцієнти загасання акустичних хвиль. Показано, що вплив в'язкості рідини на параметри хвильового процесу пов'язаний з властивостями локалізації хвиль. Розроблений підхід і отримані результати дозволяють встановити межі застосування моделей хвильових процесів, заснованих на моделі ідеальної стисливої рідини. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. A problem of the propagation of acoustic waves in a layer of viscous compressible fluid that interacts with an elastic half-space is considered. The study is carried out on the base of the three-dimensional linear equations of the classical theory of elasticity for a solid and the three-dimensional linearized Navier – Stokes equations for a viscous compressible fluid. A problem statement and an approach, based on the representations of general solutions of the linear equations for the elastic body and the linearized equations for the fluid are used. The dispersion equation, which describes the propagation of the quasi-Lamb waves in the hydroelastic system, is obtained. The dispersion curves for the normal waves in the wide frequency range are constructed. An effect of the thickness of the layer of viscous compressible fluid on the phase velocities and attenuation coefficients of acoustic waves is analyzed. It is shown that an influence of the viscosity of fluid on the wave process parameters is associated with the localization properties of waves. The developed approach and the findings make it possible to establish the limits of applicability of the models of wave processes, based on the model of an ideal compressible fluid. The numerical results are presented in the form of graphs, and their analysis is given.
issn	0032-8243
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188285
citation_txt	Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем / А.М. Багно // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 57-68. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT bagnoam rasprostranenievolnvuprugompoluprostranstvevzaimodeistvuûŝemsvâzkimžidkimsloem AT bagnoam propagationofwavesinelasticsemispaceinteractingwithviscousfluidlayer
first_indexed	2025-11-26T21:44:12Z
last_indexed	2025-11-26T21:44:12Z
_version_	1850777884335013888
fulltext	2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, № 6 57 А . М . Б а г н о РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕМ С ВЯЗКИМ ЖИДКИМ СЛОЕМ Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e – mail: alexbag2016@gmail.com Abstract. A problem of the propagation of acoustic waves in a layer of viscous com- pressible fluid that interacts with an elastic half-space is considered. The study is carried out on the base of the three-dimensional linear equations of the classical theory of elasticity for a solid and the three-dimensional linearized Navier – Stokes equations for a viscous com- pressible fluid. A problem statement and an approach, based on the representations of gen- eral solutions of the linear equations for the elastic body and the linearized equations for the fluid are used. The dispersion equation, which describes the propagation of the quasi-Lamb waves in the hydroelastic system, is obtained. The dispersion curves for the normal waves in the wide frequency range are constructed. An effect of the thickness of the layer of viscous compressible fluid on the phase velocities and attenuation coefficients of acoustic waves is analyzed. It is shown that an influence of the viscosity of fluid on the wave process parame- ters is associated with the localization properties of waves. The developed approach and the findings make it possible to establish the limits of applicability of the models of wave pro- cesses, based on the model of an ideal compressible fluid. The numerical results are present- ed in the form of graphs, and their analysis is given. Key words: phase velocity, attenuation coefficient, elastic half-space, layer of viscous compressible fluid, harmonic waves. Введение. Одним из многих направлений, по которым проводятся исследования закономер- ностей распространения поверхностных акустических волн, является направление, связанное с исследованием волновых процессов в гидроупругих системах. Отметим, что важным как для фундаментальных теоретических, так и для прикладных практи- ческих разработок является знание закономерностей распространения поверхностных акустических волн в реальных упруго-жидкостных системах. Модель, предложенная в работах [3 – 6] и основанная на линеаризованной теории гидроупругости, позволяет при рассмотрении динамических задач учесть вязкость жидкости, являющейся одной из основных характеристик реальных жидких сред. Рассмотренные задачи и результа- ты, полученные с учетом этого фактора, приведены в [2, 4 – 9]. В данной работе для исследования распространения волн в системе, состоящей из жидкого слоя и упругого полупространства, привлекается модель вязкой сжимаемой ньютоновской жидкости. При этом используются трехмерные линеаризованные уравне- ния Навье – Стокса для жидкости и линейные уравнения классической теории упруго- сти для твердого тела. Предполагается, что жидкость находится в состоянии покоя и тепловые эффекты не учитываются. В качестве подхода выбраны постановки задач и метод, основанные на применении представлений общих решений уравнений движе- ния вязкой сжимаемой жидкости и упругого тела, предложенные в работах [3 – 6]. §1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим задачу о распространении акустических волн в гидроупругой систе- ме, компонентами которой являются изотропное упругое полупространство и слой 58 вязкой сжимаемой жидкости. Решение получим с привлечением трехмерных линей- ных уравнений классической теории упругости для твердого тела и линеаризованных уравнений Навье – Стокса для жидкости, находящейся в состоянии покоя. В рамках принятых моделей основные соотношения для упругого полупространства, взаимо- действующего с вязкой сжимаемой жидкостью, принимают такой вид [3 – 6]:     2 2 0; t              u u u ;ji ij ij j i uu u u              u (1.1)  * * 0 1 1 0; 3 p t              v v v 0 1 0; t       v (1.2) 2 0 0* , const ; p a a      * * ;ji ij ij ij j i vv P p z z                 v * 2 . 3    (1.3) Здесь введены такие обозначения: iu – компоненты вектора смещений твердого тела u ;  – плотность материала упругого полупространства;  и  – константы Ламе материала твердого тела; iv – составляющие вектора возмущений скорости жидкости v относительно состояния покоя;  и p – возмущения плотности и давления в жидкости; 0 и 0a – плотность и скорость звука в жидкости в состоянии покоя;  и  – кинематический и динамический коэффициенты вязкости жидкости; ijP и ij – составляющие напряжений, соответственно, в жидкости и упругом теле. Равенства (1.1) описывают поведение упругого тела. Малые колебания ньютонов- ской вязкой сжимаемой жидкости относительно состояния покоя и без учета тепло- вых эффектов описывают соотношения (1.2) – (1.3). Далее предположим, что изотропное упругое тело занимает объем ( 1 ,z    2 0,z   3z    ) и контактирует со слоем вязкой сжимаемой жидкости, за- полняющей объем: ( 1 ,z    20 z h  , 3z    ). Примем, что внешние си- лы, действующие на указанные среды, распределены равномерно вдоль оси 3.Oz В этом случае задача является плоской и можно ограничиться изучением процесса рас- пространения волн в плоскости 1 2.Oz z Следовательно, указанная задача сводится к решению системы уравнений (1.1) – (1.3) при следующих граничных условиях 2 212 0 12 0z zP   ; 2 222 0 22 0 ;z zP   212 0z hP   ; 222 0z hP   ; (1.4) 2 2 1 1 0 0z z u v t     ; 2 2 2 2 0 0z z u v t     . (1.5) §2. Методика решения. В дальнейшем для решения задачи гидроупругости воспользуемся представлени- ями общих решений уравнений движения упругого тела и вязкой сжимаемой жидко- сти, предложенными в работах [3 – 6] 2 1 1 1 2 u z z      ; 2 2 2 2 12 2 2 1 2 2 u z z t                          ; 22 32 1 1 2 v z t z t         ; 22 32 2 2 1 v z t z t         , 59 где введенные потенциалы i являются решениями следующих уравнений: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2z z t z z t                                        2 4 12 2 1 2 0 2 z z               ; * 2 2 2 22 2 2 2 2 0 1 2 0 4 1 1 0 3 ta z z a t                        ; 2 2 * 32 2 1 2 0 t z z                  . Для анализа распространения возмущений, гармонически изменяющихся во вре- мени, решения системы уравнений определяем в классе бегущих волн j   2 1( ) exp ( )jX z i k z t  ( 1,3j  ), где k  ik    – волновое число;  – коэффи- циент затухания волны;  – круговая частота; i – мнимая единица ( 1i   ). Заметим, что выбранный в данной работе класс гармонических волн, являясь наиболее простым и удобным в теоретических исследованиях, не ограничивает общ- ности полученных результатов, поскольку линейная волна произвольной формы, как известно, может быть представлена набором гармонических составляющих. Далее применяя метод Фурье, приходим к трем задачам о собственных значениях для урав- нений движения упругого тела и жидкости. Решая их, определяем соответствующие собственные функции. После подстановки полученных общих решений в граничные условия (1.4) и (1.5) получаем однородную систему линейных алгебраических урав- нений относительно произвольных постоянных. Исходя из условия существования нетривиального решения этой системы, получаем дисперсионное уравнение  * 0 0det , , , , , , , , 0mn se c а h c        ( , 1,6m n  ), (2.1) где c – фазовая скорость мод в гидроупругой системе; h – толщина слоя жидкости; sc – скорость волны сдвига в материале упругого тела ( 2 /sc   ). Как известно, в неограниченном сжимаемом упругом теле существуют продоль- ная и сдвиговая волны. В идеальной сжимаемой жидкой среде распространяется толь- ко продольная волна. В вязкой сжимаемой жидкости существуют как продольная волна, так и волна сдвига. Именно эти волны, взаимодействуя между собой на сво- бодных граничных поверхностях, а также на поверхности контакта сред, порождают сложное волновое поле в гидроупругой системе. Заметим, что полученное дисперсионное уравнение (2.1) является наиболее об- щим и из него можно получить соотношения для ряда частных случаев, которые рас- смотрены в работе [1]. В частности, если 0a устремить к бесконечности, то (2.1) пе- реходит в уравнение для определения параметров мод в случае взаимодействия упру- гого полупространства с несжимаемой вязкой жидкостью. Приняв динамический ко- эффициент вязкости  равным нулю, получим гидроупругую систему с идеальной жидкостью, результаты для которой приведены в работе [1]. Другие частные случаи, которые следуют из данной работы, связанные с исследованием волн Стоунли – Шольте (при h  ) и волн Рэлея (при 0 0  ), рассмотрены в публикациях [1, 2]. §3. Числовые результаты и их анализ. В дальнейшем дисперсионное уравнение (2.1) решаем численно. При этом расче- ты проводим для двух гидроупругих систем. Первая состоит из органического стекла и воды. Она характеризуется следующими параметрами: упругое полупространство – 1160  кг/м3, 93,96 10   Па, 91,86 10   Па; слой жидкости – 0 1000  кг/м3, 0 1459,5а  м/с, 0,001,  0 0 1,152595.sa a c  Отметим, что материал упругого 60 тела этой системы (оргстекло) относится к разряду жестких. Вторая представляет собой волновод из стали марки 09Г2С и воды. При этом параметры выбираем такими: упругое тело – 7800  кг/м3, 109,26 10   Па, 107,75 10   Па; жидкость – 0 1000  кг/м3, 0 1459,5а  м/с, * 0,001,  0 0, 463021a  . Этот волновод отличает- ся тем, что материал упругого тела (сталь) является более жестким, чем оргстекло. Результаты вычислений представлены в виде графиков на рис. 1 – 15. В частно- сти, на рис. 1 – 7 показаны графики для упругого полупространства из органического стекла (менее жесткий материал) и воды ( 0 0 1,152595sa a c  ). Графики для упруго- го полупространства из стали марки 09Г2С (более жесткий материал) и воды ( 0 0,463021a  ) приведены рис. 8 – 15. На рис. 1 показана дисперсионная кривая единственной моды, существующей в гидроупругом волноводе, состоящем из упругого полупространства из оргстекла и слоя вязкой жидкости. Она отражает зависимость безразмерной величины фазовой скорости c ( sc c c ) моды от безразмерной величины толщины слоя жидкости h ( sh h c ) при * 0,001  . На рисунке для наглядности штриховой линией отмечена асимптотика, к которой стремится фазовая скорость этой моды при возрастании тол- щины жидкого слоя h . Рис. 1 Рис. 2 61 Графики, представленные на рис. 2, 3, отражают распределение амплитуд смеще- ний (скоростей) для гидроупругого волновода, состоящего из упругого полупростран- ства из оргстекла ( 02  z ) и слоя ( hz  20 ) идеальной жидкости ( 0 ). На них приведены зависимости безразмерных величин продольных 1zV (рис. 2) и попе- речных 2zV (рис. 3) смещений (скоростей tui  и iv ) от безразмерной поперечной координаты 2z для поверхностной волны 1 (см. рис. 1). Рис. 3 Аналогичные зависимости для гидроупругой системы, состоящей из упругого по- лупространства и слоя вязкой жидкости ( 0010,  ), приведены на рис. 4, 5. Рис. 4 Графики, представленные на рис. 2 – 5, получены для поверхностной моды 1 в коротковолновой части спектра при частоте (толщине) 20h . Отметим, что разрыв продольных смещений 1zV в упругом теле (кривая 1) и в идеальной жидкости (кривая 2) на границе контакта сред ( 02 z ) обусловлен невязкостью (идеальностью) жидкости (рис. 2). 62 Из графика, представленного на рис. 1, следует, что скорость поверхностной вол- ны в упругом полупространстве из оргстекла (менее жесткий материал), взаимодей- ствующем со слоем воды, изменяется от скорости волны Рэлея Rc ( R R sc c c  0,933557) при 0h до скорости волны Стоунли stc ( 0,769121)st st sc c c  при h . Отметим, что, как известно [2], фазовая скорость и структура волны Стоунли при взаимодействии твердого и жидкого полупространств зависят от механических параметров гидроупругой системы и определяются соотношением между скоростью волны звука в жидком и скоростью волны Рэлея в твердом полупространствах. В рас- сматриваемом случае механические параметры гидроупругой системы «оргстекло – вода» таковы, что скорость распространения звуковой волны в жидкости 0a ( 15259510 ,a  ) больше скорости волны Рэлея Rc ( 9335570,cR  ) в твердом теле. Как следует из ки- нематических характеристик (см. рис. 2, 3), при таком соотношении между парамет- рами компонентов системы поверхностная мода 1, распространяясь вдоль границы раздела сред, локализуется в приконтактных областях как жидкости, так и упругого полупространства. При этом в коротковолновой части спектра глубина проникнове- ния этой поверхностной волны (волна типа Стоунли) в упругое тело немного превы- шает глубину проникновения в жидкость. Из графиков распределения амплитуд смещений (скоростей), представленных на рис. 4, 5, следует, что усиление связи между упругим телом и жидкой средой, обу- словленное вязкостью жидкости, приводит к уменьшению глубины проникновения поверхностной моды 1 в жидкий слой. Как видим, в случае взаимодействия слоя вяз- кой жидкости с полупространством из менее жесткого материала при выполнении условия 933557015259510 ,c,a R  значительная часть потока энергии сосредота- чивается в приповерхностной области упругого тела. Рис. 5 На рис. 6 приведен график зависимости безразмерной величины коэффициента затухания моды  ( sk  , sk – волновое число волны сдвига в материале упруго- го полупространства) от безразмерной величины толщины жидкого слоя h при 0010,*  . Характер влияния вязкости жидкости ( 0010,*  ) на скорости моды в гидро- упругой системе иллюстрирует график на рис. 7, на котором представлена зависи- мость относительного изменения величины фазовой скорости моды c 63 [   ivi cccc  , ic – фазовая скорость волны в гидроупругой системе с идеальной жидкостью, vc – фазовая скорость моды в системе со слоем вязкой жидкости] от без- размерной величины толщины жидкого слоя h . Рис. 6 Рис. 7 Графики, приведенные на рис. 6, 7, показывают, что с увеличением толщины жидкого слоя h влияние вязкой жидкости проявляется сильнее. При этом возрастает абсолютное значение коэффициента затухания  и уменьшается величина фазовой скорости vc поверхностной моды (волна типа Стоунли). Это обусловлено тем, что нормальная волна, распространяющаяся вдоль границы раздела сред, локализуется в приконтактных областях как жидкости, так и упругого полупространства, где влияние вязкости значительнее. На рис. 8 и 9 показаны дисперсионные кривые для гидроупругого волновода, со- стоящего из упругого полупространства из стали (более жесткий материал) и слоя вязкой жидкости, отражающие зависимости безразмерных величин фазовых скоро- стей c мод от безразмерной величины толщины слоя жидкости h при 0010,*  . На рисунках штриховыми линиями отмечены асимптотики, к которым стремятся фазо- вые скорости мод при возрастании толщины жидкого слоя h . 64 Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10 Графики, представленные на рис. 10, 11, отражают распределение амплитуд сме- щений (скоростей) для гидроупругого волновода, состоящего из упругого полупро- 65 странства из стали ( 02  z ) и слоя ( hz  20 ) идеальной жидкости ( 0 ). На них приведены зависимости безразмерных величин продольных 1zV (рис. 10) и попе- речных 2zV (рис. 11) смещений (скоростей tui  и iv ) от безразмерной поперечной координаты 2z для поверхностной моды 1 (см. рис. 8). Рис. 11 Рис. 12 Аналогичные зависимости для гидроупругой системы, состоящей из упругого по- лупространства и слоя вязкой жидкости ( 0010,  ), приведены на рис. 12, 13. Как видно из графиков (рис. 8, 9), фазовая скорость первой моды изменяется от скорости волны Рэлея Rc ( 9230070,cR  ) при 0h до скорости волны Стоунли stc ( 4618190,cst  ) при h . Скорости мод высокого порядка с увеличением толщи- ны жидкого слоя h стремятся к скорости волны звука в жидкости 0a ( 46302100 ,a  ). Относительно первой моды заметим следующее. Как видно из графиков рис. 10, 11, в приповерхностном слое упругого полупространства ( 010 2  z ) продольные сме- 66 щения 1zV (кривая 1 на рис. 10) ничтожно малы, а поперечные смещения 2zV (кривая 1 на рис. 11) быстро убывают при удалении от границы раздела сред. В жидком слое ( 100 2  z ) противоположная ситуация. Продольные 1zV и поперечные 2zV смеще- ния (кривые 2 на рис. 10 и рис. 11), принимая наибольшие значения на границе кон- такта ( 02 z ), медленно убывают с глубиной. Это свидетельствует о концентрации волновых движений в идеальной жидкости. Как видим, глубина проникновения ква- зиповерхностной моды 1 в жидкость значительно больше глубины проникновения в упругое полупространство. Поэтому в гидроупругой системе при 0 0,463021a   0,923007Rc  , как следует из графиков рис. 10, 11, при увеличении толщины слоя идеальной жидкости низшая мода, распространяясь вдоль границы раздела сред, ло- кализуется, главным образом, в приконтактной области жидкого слоя. Моды высоко- го порядка с ростом частоты также локализуются в жидком слое. При этом движения в модах высокого порядка при h смещаются от поверхностей слоя жидкости в его толщу. С этим связано уменьшение влияния вязкой жидкости на параметры волн в гидроупругом волноводе с упругим полупространством из более жесткого материала (рис. 14 и 15), в отличие от системы, материал упругого полупространства которой является менее жестким. Рис. 13 Рис. 14 67 Сравнение графиков распределения амплитуд смещений, представленных на рис. 10, 11 и рис. 12, 13, показывает, что жесткий контакт, обусловленный вязкостью (рис. 12, 13), в отличие от скользящего контакта, характерного для идеальной жидкос- ти (рис. 10, 11), приводит к уменьшению глубины проникновения квазиповерхност- ной моды 1 в жидкий слой. На рис. 14 для пары сталь – вязкая жидкость приведены зависимости безразмер- ных величин коэффициентов затухания мод  от безразмерной величины толщины жидкого слоя h и 0010,*  . Характер влияния вязкости жидкости ( 0010,*  ) на скорости мод в гидроупру- гой системе «сталь – вязкая жидкость» иллюстрируют графики на рис. 15, на котором представлены зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей *c мод от безразмерной величины толщины жидкого слоя h . Рис. 15 Анализ графиков, приведенных на рис. 14 и 15, показывает, что в гидроупругом волноводе жидкость для ряда квазилэмбовских мод вызывает изменение критических частот, конфигурации дисперсионных кривых, а также смещение их в длинноволно- вую часть спектра. Это приводит к тому, что в окрестности толщин жидкого слоя (ча- стот), при которых происходит зарождение мод, влияние вязкости на величины фазо- вых скоростей этих мод становится значительным. Кроме того, следствием этого яв- ляется появление в волноводном спектре частот, при которых скорости мод не зави- сят от вязкости жидкости. Нетрудно видеть, что с ростом толщины жидкого слоя (ча- стоты) влияние вязкости на параметры мод уменьшается. Это связано со свойствами локализации мод. Заключение. Таким образом, анализ показывает, что в упруго-жидкостной системе из менее жесткого материала в высокочастотной части спектра поверхностная волна частично проникает как в жидкость, так и в упругое полупространство. При этом приконтакт- ные области упругого полупространства и слоя жидкости формируют волновод, по которому распространяются волновые возмущения и осуществляется перенос боль- шей части энергии волн. В случае взаимодействия упругого полупространства из ме- нее жесткого материала с вязкой жидкостью вклад жидкости в общий поток энергии становится незначительным. В гидроупругой системе с упругим полупространством из более жесткого матери- ала как низшая поверхностная мода, так и моды высокого порядка, проникают в жид- кий слой и распространяются, преимущественно, в нем. При этом слой идеальной жидкости является определяющим в формировании волнового поля и основным вол- 68 новодом, по которому распространяются волновые возмущения и осуществляется перенос большей части энергии волн. Показано, что общая закономерность, характерная для обеих систем, состоит в том, что вязкость жидкости способствует уменьшению глубины проникновения низ- шей моды в жидкий слой. Полученные результаты позволяют устанавливать пределы применимости моде- лей волновых процессов, основанных на модели идеальной жидкости. РЕЗЮМЕ. Розглянуто задачу про поширення акустичних хвиль у шарі в'язкої стисливої ріди- ни, що взаємодіє з пружним півпростором. Дослідження проведено на основі тривимірних лінійних рівнянь класичної теорії пружності для твердого тіла та тривимірних лінеаризованих рівнянь Нав’є – Стокса для в'язкої стисливої рідини. Застосовано постановку задачі та підхід, oсновані на викорис- танні представлень загальних розв'язків лінійних рівнянь для пружних тіл і лінеаризованих рівнянь для рідини. Отримано дисперсійне рівняння, яке описує поширення квазілембових хвиль у гідропру- жній системі. Побудовано дисперсійні криві для нормальних хвиль в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив товщини шару в’язкої стисливої рідини на фазові швидкості та коефіцієнти загасання акустичних хвиль. Показано, що вплив в'язкості рідини на параметри хвильового процесу пов'язаний з властивостями локалізації хвиль. Розроблений підхід і отримані результати дозволяють встановити межі застосування моделей хвильових процесів, заснованих на моделі ідеальної стисли- вої рідини. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. 1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. – Москва: Наука, 1981. – 288 с. 2. Волькенштейн М.М., Левин В.М. Структура волны Стоунли на границе вязкой жидкости и твердо- го тела // Акуст. журнал. – 1988. – 34, № 4. – С. 608 – 615. 3. Гузь А. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями: в 2-х частях. Ч. 1. Общие вопросы. Волны в бесконечных телах и поверхностные волны. – Saarbrucken: LAP LAM- BERT Academic Publishing, 2016. – 501 с. 4. Гузь А. Введение в динамику сжимаемой вязкой жидкости. – Saarbrucken: LAP LAMBERT Acade- mic Publishing RU, 2017. – 244 с. 5. Guz A.N. Aerohydroelasticity Problems for Bodies with Initial Stresses // Int. Appl. Mech. – 1980. – 16, N 3. – P. 175 – 190. 6. Guz A.N. Dynamics of Compressible Viscous Fluid. – Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2009. – 428 p. 7. Guz A.N., Bagno A.M. Effect of Prestresses on Quasi-Lamb Waves in a System Consisting of a Compress- ible Viscous Liquid Half-Space and an Elastic Layer // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 6. – P. 617 – 627. 8. Guz A.N., Bagno A.M. Propagation of Quasi-Lamb Waves in an Elastic Layer Interacting with a Viscous Liquid Half-Space // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 5. – P. 459 – 469. 9. Ottenio M., Destrade M., Ogden R.W. Acoustic waves at the interface of a pre-stressed incompressible elastic solid and a viscous fluid // Int. J. Non-Lin. Mech. – 2007. – 42, N 2. – P. 310 – 320. Поступила 03.05.2018 Утверждена в печать 09.07.2020

Распространение волн в упругом полупространстве, взаимодействующем с вязким жидким слоем

Репозитарії

Схожі ресурси