Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере
Исследуется использование инвариантного управления космическим аппаратом при движении в центральном гравитационном поле. Приведен анализ особенностей управления движением тела переменной массы под воздействием гравитационных сил и силы атмосферного сопротивления. Приведены результаты исследования эф...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2020 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2020
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188287 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере / Б.Н. Кифоренко, Я.В. Ткаченко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 79-85. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-188287 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кифоренко, Б.Н. Ткаченко, Я.В. 2023-02-20T17:39:23Z 2023-02-20T17:39:23Z 2020 Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере / Б.Н. Кифоренко, Я.В. Ткаченко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 79-85. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188287 Исследуется использование инвариантного управления космическим аппаратом при движении в центральном гравитационном поле. Приведен анализ особенностей управления движением тела переменной массы под воздействием гравитационных сил и силы атмосферного сопротивления. Приведены результаты исследования эффективности инвариантного управления при подъеме – разгоне самолета вертикального взлета и посадки. При дослідженні проблем керування рухом літальних апаратів різних типів в атмосфері встановлено, що використання інваріантних властивостей керування суттєво збільшує ефективність роботи реактивної рушійної системи, особливо для літальних апаратів з високими значеннями коефіцієнтів аеродинамічного опору. The problems of motion control of the different types of aircraft in the atmosphere are studied. It is found that the use of the invariant control properties increases significantly the efficiency of the functioning of the jet propulsion system, especially for the aircraft with high values of coefficients of the aerodynamic resistance. Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, выполнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направлений научных исследований» (КПКВК 6541230). ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере Efficiency of Invariant Control of Motion in Atmosphere Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере |
| spellingShingle |
Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере Кифоренко, Б.Н. Ткаченко, Я.В. |
| title_short |
Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере |
| title_full |
Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере |
| title_fullStr |
Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере |
| title_full_unstemmed |
Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере |
| title_sort |
эффективность инвариантного управления движением в атмосфере |
| author |
Кифоренко, Б.Н. Ткаченко, Я.В. |
| author_facet |
Кифоренко, Б.Н. Ткаченко, Я.В. |
| publishDate |
2020 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Efficiency of Invariant Control of Motion in Atmosphere |
| description |
Исследуется использование инвариантного управления космическим аппаратом при движении в центральном гравитационном поле. Приведен анализ особенностей управления движением тела переменной массы под воздействием гравитационных сил и силы атмосферного сопротивления. Приведены результаты исследования эффективности инвариантного управления при подъеме – разгоне самолета вертикального взлета и посадки.
При дослідженні проблем керування рухом літальних апаратів різних типів в атмосфері встановлено, що використання інваріантних властивостей керування суттєво збільшує ефективність роботи реактивної рушійної системи, особливо для літальних апаратів з високими значеннями коефіцієнтів аеродинамічного опору.
The problems of motion control of the different types of aircraft in the atmosphere are studied. It is found that the use of the invariant control properties increases significantly the efficiency of the functioning of the jet propulsion system, especially for the aircraft with high values of coefficients of the aerodynamic resistance.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/188287 |
| citation_txt |
Эффективность инвариантного управления движением в атмосфере / Б.Н. Кифоренко, Я.В. Ткаченко // Прикладная механика. — 2020. — Т. 56, № 6. — С. 79-85. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kiforenkobn éffektivnostʹinvariantnogoupravleniâdviženiemvatmosfere AT tkačenkoâv éffektivnostʹinvariantnogoupravleniâdviženiemvatmosfere AT kiforenkobn efficiencyofinvariantcontrolofmotioninatmosphere AT tkačenkoâv efficiencyofinvariantcontrolofmotioninatmosphere |
| first_indexed |
2025-11-26T00:09:21Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:09:21Z |
| _version_ |
1850590857557704704 |
| fulltext |
2020 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 56, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2020, 56, №6 79
Б . Н . К и ф о р е н к о , Я . В . Т к а ч е н к о
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИНВАРИАНТНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДВИЖЕНИЕМ В АТМОСФЕРЕ
Институт механики им. С.П Тимошенко НАНУ,
ул. П. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: bkifor@ukr.net
Abstract. The problems of motion control of the different types of aircraft in the at-
mosphere are studied. It is found that the use of the invariant control properties increases
significantly the efficiency of the functioning of the jet propulsion system, especially for the
aircraft with high values of coefficients of the aerodynamic resistance.
Key words: invariant control, singular control, aircraft, rockets, jet propulsion system.
Введение.
Формулировка любой вариационной задачи содержит как информацию о функци-
онировании управляемого объекта, представленную его уравнениями движения, так и
конкретные граничные условия и функционал, величина которого используется для
оценки качества управления. Если указанная цель достижима, управляющие функции,
обеспечивающие ее достижение, зависят как от краевых условий, так и от функцио-
нала задачи. Вместе с тем существует несколько классов вариационных проблем, не-
обходимые условия оптимальности которых содержат соотношения между управля-
ющими функциями, инвариантные по отношению к изменению краевых условий и
функционала, составляющих телеологическую часть информации любой вариацион-
ной задачи [4].
Инвариантность указанных соотношений нарушает всеобщий принцип причин-
ной обусловленности решения каждой конкретной задачи. Это противоречие требует
как специального анализа причин этой инвариантности, так и выяснения природы тех
свойств объекта, которые эти соотношения выражают. Отсутствие ответов на эти во-
просы вызывает недоверие к полученному решению, обоснованное principium sive lex
rationis sufficientis Лейбница: «Ни одно явление не может оказаться истинным или
действительным, ни одно утверждение справедливым, – без достаточного основания,
почему именно дело обстоит так, а не иначе …», позволивший получить решения
практически интересных задач ракетодинамики [4, 6]. Анализ полученных с исполь-
зованием именно этого метода классических задач ракетодинамики [10] позволил
сформулировать принцип конструктивного совершенствования ракет, устанавливающий
рациональный выбор типа ракетного двигателя в процессе улучшения удельных харак-
теристик как двигателя, так и аэродинамических характеристик корпуса ракеты [14].
Понятие «инвариантность» в качестве научного термина введено в теорию авто-
матического управления Г.И. Щипановым в 1939 г. [13]. В [8, 9] получены условия
инвариантности, т.е. независимости одной или нескольких регулируемых величин от
внешних возмущений, проанализированы причины появления инвариантных свойств
в оптимальном управлении динамическими системами и обсуждены теоретические и
прикладные аспекты проблемы. Введем в рассмотрение новое понятие – общеси-
стемная инвариантность как способ согласования управляющих воздействий, не за-
висящий от цели и оценки качества управления в каждом конкретном случае.
80
Исследование эффективности инвариантного управления проведем путем оценки
результатов управления с энергетическими затратами, обеспечивающими получение
этих результатов. Ведь еще В. И. Вернадский [2] отмечал: «Каждое природное тело и
каждое природное явление имеет свое материально-энергетическое специфическое
пространство». Особенно эффективными инвариантные управления оказались при
управлении избыточно управляемыми динамическими системами, у которых число
управляющих функций не меньше количества уравнений движения, в которые эти
управления входят. Решение ряда практически интересных задач механики полета,
полученное, например, в работах, [1, 3, 7, 15, 17 – 19], подтвердило эффективность
использования инвариантного управления. В этих публикациях установлено, что ис-
пользование инвариантных управлений особенно эффективно при движении ракет в
атмосфере.
В работах [4, 5] проанализирована природа инвариантных соотношений и указа-
но, что за повышение эффективности управления приходится платить усложнением
процесса вычисления оптимальных траекторий, поскольку соответствующие задачи
оказываются вырожденными по Тихонову [11]. Указанные трудности удалось пре-
одолеть путем использования теории сингулярных управлений [15].
В разделе 1 исследуется использование инвариантного управления космическим
аппаратом при движении в центральном гравитационном поле. В разделе 2 приведен
анализ особенностей управления движением тела переменной массы под воздействи-
ем гравитационных сил и силы атмосферного сопротивления. Результаты исследова-
ния эффективности инвариантного управления при подъеме – разгоне самолета вер-
тикального взлета и посадки приведены в разделе 3.
1. Инвариантные управления.
Инвариантные управления эффективны при управлении движением тела пере-
менной массы в произвольных силовых полях. Рассмотрим динамическую систему,
описывающую изменение состояния объекта },...,,{ 21 nxxxX x под действием
управления },...,,{ 21 ruuuU u
}....,2,1{,),...,,,,...,,( 2121 niuuuxxxf
td
xd
rni
i (1)
Определение. Динамическая система называется избыточной по управлению,
если количество управляющих функций r больше числа уравнений движения ( nr ).
Избыточные системы весьма часто встречаются в задачах механики, робототех-
ники, в экономических и экологических модельных задачах, в теории дифференци-
альных игр, при моделировании биологических процессов.
1.1. Исследование инвариантных управлений в вариационных задачах. Пусть
для системы (1) сформулирована вариационная задача о переводе объекта из началь-
ного состояния )0(x в конечное состояние )( ftx с минимальным значением функци-
онала ( ( ) , )f fJ t tx . Для определения оптимальных управлений по принципу максиму-
ма из условия: ),,(maxarg)( uψxu Ht необходимо решить систему r уравнений:
1 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
0; 0; 0,
r
H H H
u u u
x ψ u x ψ u x ψ u
(2)
где ( , , )H x ψ u – гамильтониан системы (1):
1
( , , ) ( , )
n
i i
i
H f
x ψ u x u . (3)
Система (2) линейна и однородна относительно компонент вектора ψ , поскольку
компоненты этого вектора входят в выражение функции ( , , )H x ψ u в первой степени.
81
Из постулируемой принципом максимума нетривиальности этих компонент следует
необходимость выполнения условия rank ( ) nA , где
r
n
rr
n
n
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
...
................................
...
...
21
22
2
2
1
11
2
1
1
A .
По определению rank ( ) rA , следовательно при nr условие rank ( ) nA вы-
полнено. При nr для выполнения условия rank ( ) nA необходимо:
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
1 2 1
1
... ...
.................................... ....................................
0;
... ...
...
n n
n n
n n n n n n
n
n n n n
f ff f f f
u u u u u u
f ff f f f
u u u u u u
ff f f
u u u u
1 2
1 1 1
1 2
1 1 1
2 1 2
1 1
...
....................................
0;. 0.
...
... ...
n
n
n n n
n n
n n r r r
ff f
u u u
ff f
u u u
f ff f f
u u u u u
.(4)
Указанные выражения не зависят от краевых условий и функционала задачи. Бо-
лее того, они могут быть выписаны даже без формулировки какой-либо вариацион-
ной проблемы для объекта, функционирование которого описывается системой диф-
ференциальных уравнений (1), достаточно иметь в распоряжении уравнения (1). Сле-
довательно, неравенство rank ( ) nA инвариантно относительно условий оптимизи-
руемого маневра. Таким образом, если nr , уравнения Эйлера этой задачи имеют
1 nr первых интегралов с нулевыми значениями постоянных интегрирования
вида (4).
2. Исследование инвариантных управлений движением тела переменной
массы.
Оценка эффективности инвариантного управления особенно актуальна для ракет-
носителей. Современные и перспективные носители должны начинать подъем в плот-
ных слоях атмосферы. Их двигатели на конечном этапе выведения спутника на низкие
монтажные орбиты работают в практически полностью разряженной атмосфере. По-
следнее особенно актуально для одноразовых носителей. Анализ результатов решения
многих практически интересных задач, в частности, для ракет-носителей Ариан 5, 6
(см. напр. [16]), показал, что преодоление указанных трудностей требует включения в
состав оптимальной траектории сингулярных дуг [15]. Проиллюстрируем сказанное
на примере классической задачи Годдарда о подъеме ракеты до максимальной высоты
при вертикальном движении в атмосфере. Уравнения движения представим в виде
; (0) 0; ( ) min;fh v h h t
0 , )
( ); (0 ) 0; ( ) opt ;f
a T F h v
v g h v v t
m
(5)
0 0 0/ ; (0) 1; ( ) ,fm a T V m m t m a
где 0V – максимальная скорость реактивной струи; 0g – гравитационное ускорение в
точке старта; – удельная масса двигательной системы.
82
Высота h в системе (5) отнесена к 1
0
2
0
gV , скорость v – к 0V , время – к 1
00
gV ,
)(hg – к 0g . Тяга T и сила сопротивления F отнесены к максимальной тяге 0T , при
этом )/( 0000 MgTa . Время подъема ft , максимизируемая конечная высота и скорость
не заданы. Соответствующие условия трансверсальности: 0)( ftH ; 1)( fh t ;
0)( fv t . Функция H задачи линейна по управлению
0 0 1 0 1
0
; ; .v m
h v
F
H H a H T H v g H
m m V
(6)
На особом участке должны выполняться соотношения
0 1 10; 0; 0h
v v
F
H H H F
m v
; (7)
.0)(),()1(),(),,( hgmvhFvvvhFvhmS v (8)
Из условия 01 H определяется величина особого управления sT
.
2
])1()([2
0
vvv
vhhvvvh
s FFF
FvvFFFgmgm
FaT
(9)
Вдоль особой дуги должно выполняться условие оптимальности сингулярного управ-
ления Келли
1 ( ) 0; ( ) 2 .v vvH L F L F F F F
u
(10)
Уравнение (8) поверхности особого управления не содержит компонент сопря-
женного вектора ψ и условия трансверсальности ( ) 1h ft . Это уравнение опреде-
ляет оптимальное значение v скорости движения ракеты массы m на высоте h .
Движение с меньшей скоростью не выгодно из-за увеличения гравитационных по-
терь, с большей – из-за роста потерь на преодоление аэродинамического сопротивле-
ния. Отметим, что эта особенность оптимального подъема указана еще в работе [10] и
получена при решении задачи методом непосредственного исследования вариации
функционала. Инвариантна также формула (9) вычисления величины тяги ракетного
двигателя и условие Келли (10).
Для оценки влияния включения участка особого управления тягой в состав опти-
мальной траектории подъема на высоту
)( fth на рис. 1 приведены результаты
вычисления достигнутой ракетой высоты
при оптимальном управлении – кривая I,
и при подъеме по траектории, состоящей
из активного участка максимальной тяги,
на котором расходуется все топливо, и
заключительного пассивного участка –
кривая II.
Сравнение кривых указывает на за-
метное увеличение высоты подъема
)( fth при включении особого участка в
состав оптимальной траектории и на уве-
личение оптимального значения 0a . Уве-
Рис. 1
83
личение начальной тяги 0000 MgaT позволяет быстрее достичь скорости оптималь-
ного подъема, определяемой из соотношения (8). Если поверхность 0),,( vhmS не
достигается при подъеме с 0TT , особое управление не оптимально. Необходимо
отметить также, что снижение скорости прохождения плотных слоев атмосферы на
особом участке подъема уменьшает аэродинамические нагрузки на поверхность раке-
ты и тепловой поток к корпусу, что давно используется практиками [12].
3. Подъем – разгон самолета вертикального взлета и посадки.
Уравнения движения самолета в вертикальной плоскости представим следующим
образом [3]:
2
cos ( , , ) sin
sin ; cos ; ;
dr d v dv T X r v
v
dt dt r dt m r
2
sin ( , , ) 1
cos ; .
d T Y r v v dm T
dt mv r dt Vvr
(11)
В системе (11) r и – полярные координаты центра масс аппарата; v – скорость
полета; – угол наклона траектории к местной линии горизонта; – угол атаки; m –
масса самолета; V – скорость истечения продуктов сгорания двигателя; X – сила со-
противления; Y – подъемная сила; – угол между вектором тяги и местным горизон-
том. Аэродинамические силы определяются следующим образом: 2( ) ( ) / 2xX c S r v ,
2( ) ( ) / 2yY c S r v . Здесь S – характерная площадь летательного аппарата, плот-
ность атмосферы аппроксимируется формулой 0( ) exp[ ( 1)]r r . Поляра лета-
тельного аппарата аппроксимируется формулами
0
2( )x xc c B ; ( )yc A .
Управляющие функции ограничены: max0 T T ; 0 ; 0 . Для системы (11)
сформулирована терминальная задача Майера, краевые условия маневра фиксирова-
ны, маневр состоит в подъеме на заданную высоту с максимальной горизонтально
направленной скоростью.
Управление углом атаки самолета и направлением тяги двигателя связаны
инвариантным соотношением [3]:
2
arctg
B
A
, (12)
где A и B – коэффициенты, аппроксимирующие поляру.
Инвариантность соотношения (12), справедливого в случае Uintu , упрощает
вычисление оптимальных управлений по принципу максимума. Теперь необходимо
определять лишь одну управляющую функцию при исследовании гамильтониана
( , , )H x ψ u на максимум по u , вторая управляющая функция вычисляется из соответ-
ствующего инвариантного соотношения. Анализ численных результатов, полученных
с использованием указанного упрощения, позволил установить интересную особен-
ность сингулярного управления. Для самолёта с параметрами, приведенными в рабо-
те [1], достижение цели маневра оказалось невозможным не только с использованием
граничных управлений, но и при включении особой дуги в состав оптимальной траек-
тории. Множество достижимых конечных состояний в этой задаче приведено на рис. 2.
Разрывы кривых на этом рисунке иллюстрируют множество точек недостижимос-
ти в данном случае. Штриховые кривые представляют динамику зависимостей массы
самолета и полярного радиуса от угла наклона вектора тяги в начальный момент вре-
мени при простейшем варианте управления – максимальная постоянная тяга до пол-
ного выгорания топлива. Сплошные линии соответствуют сингулярному управлению.
84
Рис. 2
Практический вывод из анализа приведенных результатов состоит в невозможно-
сти выполнения заданного маневра таким аппаратом. Необходимо менять полетное
задание, например, снижением заданной высоты, либо менять аппарат из имеющегося
парка, если достижение этой высоты необходимо. Если же и это невозможно – такой
аппарат отсутствует, приходится проинформировать заказчика о невозможности вы-
полнения задачи.
Выводы.
При исследовании проблем управления величиной тяги реактивных двигателей
при движении летательных аппаратов в атмосфере установлено, что в состав опти-
мальных траекторий могут входить участки особого управления. Анализ сингуляр-
ных управлений выявил наличие инвариантных свойств управляющих воздействий.
Инвариантными оказываются уравнения поверхностей особых управлений и форму-
лы для вычисления тяги, обеспечивающие движение вдоль этих поверхностей. Ис-
пользование инвариантных управлений особенно эффективно при управлении дви-
жением летательных аппаратов со сравнительно высокими коэффициентами аэроди-
намического сопротивления. Уменьшение удельной массы двигательной системы
приводит к повышению указанной эффективности.
Научные исследования, результаты которых опубликованы в данной статье, вы-
полнены за счет средств бюджетной программы «Поддержка приоритетных направ-
лений научных исследований» (КПКВК 6541230).
Р Е З Ю М Е . При дослідженні проблем керування рухом літальних апаратів різних типів в ат-
мосфері встановлено, що використання інваріантних властивостей керування суттєво збільшує ефек-
тивність роботи реактивної рушійної системи, особливо для літальних апаратів з високими значен-
нями коефіцієнтів аеродинамічного опору.
1. Букреев В.З. Определение оптимальных процессов управления для крылатых аппаратов с учетом
ограничений типа неравенств. В кн.: Исследования по динамике полета. – Москва: Машиностро-
ение, 1975. –С. 148 – 179.
85
2. Вернадский В.И. Философские мысли натуралиста. – Москва: Наука, 1988. – 520 с.
3. Злацкий В.Т. Исследование вырожденных вариационных задач механики полета: Дисс. канд. физ.-
матем. наук. – Киев, 1982. – 178 с.
4. Кифоренко Б.Н. Инвариантные соотношения в теории оптимальных систем. – Киев, 1989. – 21 с. –
(Препринт / АН УССР. Ин-т математики; № 21).
5. Кифоренко Б.Н. Оптимальные траектории с участками особого управления. В кн.: Сложные систе-
мы управления. – Киев: ИК АН УССР. – 1974. – С. 45 – 55.
6. Кіфоренко Б.Н., Кузьменко В.В., Березенко В.Н. Деякі задачі механіки польоту з малою тягою
// Вісн. Київського ун-ту. Сер. Математики та механіки. – 1971. – № 13. – С. 44 – 47.
7. Кротов В.Ф, Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. – Москва: Наука, 1973. –
448 с.
8. Кухтенко А.И. Проблема инвариантности в автоматике. – Киев: Гос. тех. издат.,1963. – 376 с.
9. Лузин Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений // Автомат. и телемех.–
1940. – № 5. – С. 3 – 66.
10. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет // Прикл. математика и механика – 1946. – 10, № 2. –
С. 251 – 272.
11. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // Докл. АН СССР. – 1955.
– 162, № 4. – С. 763.
12. Хорольский П.Г. Баллистическая целесообразность глубокого гибкого регулирования маршевых
двигателей ракет–носителей //Авиационно-космическая техника и технология. – 2006. – №. 10. –
С. 11 – 13.
13. Щипанов Г.В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автомат. и теле-
мех. – 1939. – № 1. – С. 49 – 66.
14. Kiforenko B.N. Problems of the Mathematical Description of Rocket Engines as Plant // Int. Appl. Mech.
– 2012. – 48, N 5. – P. 608 – 612.
15. Kiforenko B.N. Singular Optimal Controls of Rocket Motion (Survey) // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53,
N 3. – P. 237 – 286.
16. Martinon P., Bonnans F., Laurent-Varin J., Trelat E. Numerical study of optimal trajectories with singu-
lar arcs for an Ariane 5 launcher // J. of Guidance, Control and Dynamics. – 2009. – 32. N 1. – P. 51 – 55.
17. Tkachenko Ya.V. Method of Optimizing Maneuvers of an Orbital Transfer Vehicle in a Strong Central
Field of Gravity // Int. Appl. Mech. – 2019. – 55, N 5. – P. 544 – 551.
18. Tunik A.A., Nadsadnaya O.I. A Flight Control System for Small Unmanned Aerial Vehicle // Int. Appl.
Mech. – 2018. – 54, N 2. – P. 239 – 247.
19. Vinh N.X. Integrals of the Motion for Optimal Trajectories of Atmospheric Flights // JOTA. – 1973. – 11,
N 2. – P. 189 – 202.
Поступила 04.03.2019 Утверждена в печать 09.07.2020
|