Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем
Розвинуто поняття узагальненого транспонування матриць i вказано застосування до класифiкацiї великомасштабних лiнiйних систем. We develop a notion of the transposition of matrices and apply this approach to the classification of large-scale linear systems....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18843 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 27-35. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18843 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Муллажонов, Р.В. 2011-04-11T13:41:25Z 2011-04-11T13:41:25Z 2009 Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 27-35. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18843 531.36 Розвинуто поняття узагальненого транспонування матриць i вказано застосування до класифiкацiї великомасштабних лiнiйних систем. We develop a notion of the transposition of matrices and apply this approach to the classification of large-scale linear systems. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем Generalized transposition of the matrices and structure of linear large-scale systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем |
| spellingShingle |
Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем Муллажонов, Р.В. Математика |
| title_short |
Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем |
| title_full |
Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем |
| title_fullStr |
Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем |
| title_full_unstemmed |
Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем |
| title_sort |
обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем |
| author |
Муллажонов, Р.В. |
| author_facet |
Муллажонов, Р.В. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Generalized transposition of the matrices and structure of linear large-scale systems |
| description |
Розвинуто поняття узагальненого транспонування матриць i вказано застосування до класифiкацiї великомасштабних лiнiйних систем.
We develop a notion of the transposition of matrices and apply this approach to the classification of large-scale linear systems.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18843 |
| citation_txt |
Обобщенное транспонирование матриц и структуры линейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов // Доп. НАН України. — 2009. — № 10. — С. 27-35. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mullažonovrv obobŝennoetransponirovaniematricistrukturylineinyhkrupnomasštabnyhsistem AT mullažonovrv generalizedtranspositionofthematricesandstructureoflinearlargescalesystems |
| first_indexed |
2025-11-26T15:50:05Z |
| last_indexed |
2025-11-26T15:50:05Z |
| _version_ |
1850626949205983232 |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2009
Р.В. Муллажонов
Обобщенное транспонирование матриц и структуры
линейных крупномасштабных систем
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Розвинуто поняття узагальненого транспонування матриць i вказано застосування до
класифiкацiї великомасштабних лiнiйних систем.
Обобщенное транспонирование матрицы (см. [1]). Обобщенным транспонировани-
ем произвольной матрицы A будем называть перестановку ее элементов по определенным
законам или правилам.
Рассмотрим прямоугольную матрицу A = (aij) размера m×n (m 6 n). Элементарными
перестановками произвольных элементов матрицы являются:
1) перестановка строк (столбцов) со столбцами (строками) матрицы в прямом порядке;
2) перестановка строк (столбцов) со столбцами (строками) матрицы в обратном порядке;
3) перестановка i-строки с (m + 1 − i)-строками, i = 1, 2, . . . ,m;
4) перестановка j-столбца с (n + 1 − j)-столбцом, j = 1, 2, . . . , n;
5) перестановка i-строки с (m + 1 − i)-cтроками и j-столбца (n + 1 − j)-столбцами, i =
= 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n.
Известно, что каждую прямоугольную матрицу можно отождествить с некоторым пря-
моугольником, в котором будут содержаться все элементы рассматриваемой матрицы.
Главной (неглавной) диагональю матрицы A называется отрезок прямой, проходящий
через точки, содержащие элементы aii, i = 1, 2, . . . ,m (ai,m+1, i = 1, 2, . . . ,m). Вертикальной
(горизонтальной) осью матрицы A называется вертикальная (горизонтальная) ось симме-
трии прямоугольника. Центром матрицы называется центр симметрии прямоугольника.
Отметим, что главная (неглавная) диагональ матрицы A не совпадает с диагональю пря-
моугольника. Поэтому при транспонировании размерность матрицы изменяется на n×m.
Если m = n, то главная (неглавная) диагональ матрицы A совпадает с левой (правой)
диагональю квадрата.
Итак, с геометрической точки зрения транспонирование матрицы осуществляется отно-
сительно точки или прямой. Если точка (прямая) является центром (осью) симметрии пря-
моугольника, в котором лежит матрица, то размерность транспонированной матрицы не
изменяется. Элементы матрицы, расположенные в точке или на прямой, относительно ко-
торой осуществляется транспонирование, остаются неизменными.
Транспонированной матрице соответствует прямоугольник, повернутый на 180◦ вокруг
точки или прямой, относительно которой осуществляется транспонирование.
Для раскрытия связи обобщенного транспонирования матриц со структурой линейной
крупномасштабной механической системы (КМС) установим следующие соответствия.
Пусть A = (aij) — прямоугольная матрица размера m× n (для определенности m 6 n)
и КМС в R
n состоит из m свободных подсистем. Элементам главной диагонали матри-
цы aii, i = 1, 2, . . . ,m, соответствуют свободные подсистемы так, что подсистема, соответст-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 27
вующая элементу aii, i = 1, 2, . . . ,m, уравновешивается с подсистемой, соответствующей
элементу am+1−i,m+1−i. При этом элементам aij , i, j = 1, 2, . . . ,m, i < j (i > j), соответству-
ют связи (обратные связи) между свободнымы подсистемами aii и ajj, i, j = 1, 2, . . . ,m,
т. е. имеет место влияние подсистемы aii (ajj) на подсистему, соответствующую ajj (aii).
Эти связи будем называть внутренними связями КМС. Остальным элементам, т. е. элемен-
там aij , i = 1, . . . ,m, j = m+1, . . . , n, соответствуют связи свободных подсистем с другими
подсистемами, которые действуют вместе с данной КМС. Эти связи будем называть вне-
шними связями. При этом все связи являются внутренними.
Отметим, что при таком соответствии элементам в неглавной диагонали соответствуют
связи уравновешивающих подсистем. Если m четно, то для каждой свободной подсисте-
мы существует уравновешивающаяся подсистема. Если m нечетно, то одна подсистема,
соответствующая элементу a(m+1)/2,(m+1)/2 , не имеет уравновешивающей подсистемы. По-
этому эту подсистему будем называть эталонной и рассматривать ее отдельно (например,
в крупномасштабной энергетической системе одна машина обычно рассматривается как
эталонная).
Следовательно, процесс транспонирования описывает изменение внутренней структуры
КМС.
Теперь сформулируем определения элементарных транспонирований матрицы A.
Матрица A = [aij ], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, называется транспонированной относи-
тельно:
1) главной диагонали (обозначаем это AT = aij , j = 1, . . . , n, i = 1, . . . ,m), если она
получена перестановкой строк (столбцов) со столбцами (строками) матрицы A в прямом
порядке;
2) неглавной диагонали A⊥ = an+1−i,m+1−j, j = 1, . . . , n, i = 1, . . . ,m, если она получена
перестановкой строк (столбцов) со столбцами (строками) матрицы A в обратном порядке;
3) горизонтальной оси A− = am+1−i,j , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, если она получена
перестановкой i-строки с m + 1 − i-строками матрицы A;
4) вертикальной оси A| = ai,n+1−j, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, если она получена переста-
новкой j-столбца с n + 1 − j-столбцами матрицы A;
5) центра A0 = am+1−i,n+1−j , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, если она получена перестановкой
i-строки с m + 1 − i-строками и j-столбца с n + 1 − j-столбцами матрицы A.
С геометрической точки зрения смысл приведенного определения состоит в том, что
поворот соответствующего прямоугольника на 180◦ происходит вокруг прямой, проходящей
через:
a) главную диагональ матрицы A;
b) неглавную диагональ матрицы A,
c) горизонтальную ось матрицы A;
d) вертикальную ось матрицы A;
e) центр матрицы A.
Применительно к КМС смысл обобщенного транспонирования состоит в адекватном
описании внутренней структуры КМС при определенных физических изменениях. При этом
структура КМС может изменяется так, что:
1) не изменяя свободных подсистем, преобразуются только связи между свободными
подсистемами с соответствующими обратными связями;
2) не изменяя связей, преобразуются обратные связи между уравновешивающимися па-
рами свободных подсистем либо преобразуются уравновешивающие подсистемы между со-
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10
бой и связи (обратные связи), кроме связей (обратных связей) между уравновешивающи-
мися парами подсистем;
3) преобразуются в обратном порядке свободные подсистемы с обратными связями и свя-
зями, соответствующими парам уравновешивающих свободных подсистем;
4) преобразуются в прямом порядке свободные подсистемы со связями и обратными
связями между соответствующими парами уравновешивающих свободных подсистем;
5) полностью преобразуются соответствующие уравновешивающие свободные пары под-
систем между собой и их связи с обратными связями, кроме эталонной подсистемы (если
она есть).
Замечания. 1. Если n (m) нечетно, то при транспонировании относительно вертикаль-
ной (горизонтальной) оси не изменяется эталонная подсистема и, соответственно, верти-
кальные (горизонтальные) связи, обратные связи, связанные с этими подсистемами, также
не изменяются. Если n (m) четно, то такая подсистема не существует.
2. Если n и m нечетные, то при транспонировании матрицы A относительно центра
в структуре КМС только эталонная подсистема не изменяется. Если m или n четные, то
такая подсистема не существует.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в справедливости следующих соотно-
шений для приведенных транспонированных матриц:
1. Если A и B — прямоугольные матрицы размера m × n, то
(A+B)T = AT +BT , (A+B)⊥ = A⊥ +B⊥, (A+B)| = A| +B|,
(A+B)− = A− +B−, (A+B)0 = A0 +B0.
2. Если A и B — прямоугольные матрицы размера m × n, α 6= 0 — действительное
число, то
(αA)T = αAT , (αA)⊥ = αA⊥, (αA)| = αA|,
(αA)− = αA−, (αA)0 = αA0.
3. Если A — прямоугольная матрица размера m × n, то
(AT )T = A, (A⊥)⊥ = A, (A|)| = A,
(A−)− = A, (A0)0 = A.
4. Если A и B — прямоугольные матрицы размера m× n и n×m соответственно, то
(AB)T = BTAT , (AB)⊥ = B⊥A⊥, (AB)0 = B0A0.
5. Если A — квадратная матрица n-го порядка, то
(AT )⊥ = (A⊥)T = A0, (A|)− = (A−)| = A0, (A0)T = (AT )0 = A⊥,
(A0)⊥ = (A⊥)0 = AT , (A0)| = (A|)0 = A−, (A0)− = (A−)0 = A|.
6. Если A — квадратная матрица n-го порядка, то
A = (A0)−1(ATA⊥)T = (A0)−1(A⊥AT )⊥ = (A⊥AT )T (A0)−1 = (ATA⊥)⊥(A0)−1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 29
7. Если A — неособенная квадратичная матрица, то
(A−1)T = (AT )−1, (A−1)⊥ = (A⊥)−1, (A−1)| = (A|)−1,
(A−1)− = (A−)−1, (A−1)0 = (A0)−1.
8. Если A — квадратичная матрица, то справедливы следующие равенства:
а) E|A = E−A = A−,
б) AE| = AE− = A|,
в) E|AE| = E−AE− = A0,
г) ATE| = A|, E|AT = A−,
д) A⊥E| = A−, E|A⊥ = A|,
е) A−E| = A0, E|A− = A,
ж) A|E| = A,
где E — единичная матрица,
E| = E− =
0 0 . . . 1
. . . . . . . . .
1 0 . . . 0
.
9. Если A — квадратная матрица n-го порядка, то
|AT | = |A⊥| = |A0| = |A|, |A|| = |A−| = (−1)α|A|,
где α — количество перестановок столбцов или строк матрицы A, которые выполняются
для получения из A матрицы A| или A−. Справедливость этих равенств следует из опре-
деления 2 и свойств детерминанта.
10. Если A — квадратная матрица n-го порядка, E — единичная матрица n-го порядка
и λ — параметр, то
|AT − λE| = |A⊥ − λE| = |A0 − λE| = |A− λE|.
Справедливость этих равенств, следует из свойств 1, 2, 7 и E = ET = E⊥ = E0.
11. Sp(AT ) = Sp(A⊥) = Sp(A0) = Sp(A), где Sp — след матрицы.
12. rang(AT ) = rang(A⊥) = rang(A|) = rang(A−1) = rang(A0) = rang(A), где rang(A) —
ранг матрицы A.
13. Пусть A — квадратная матрица, ∆i, ∆
T
i , ∆⊥
i , ∆0
i , (∆i, ∆
T
i , ∆
⊥
i ∆
0
i ), i = 1, 2, . . . , n, —
главные миноры (соответствующие им дополнительные миноры) матрицы A, AT , A⊥, A0
соответственно. Тогда справедливы следующие равенства:
∆i = ∆
0
n−i, i = 1, 2, . . . , n− 1, ∆n = ∆0
n = |A| = |A0|;
∆0
i = ∆n−i, i = 1, 2, . . . , n− 1;
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10
∆i = ∆T
i , i = 1, 2, . . . , n, ∆n = ∆T
n = |A| = |AT |;
∆i = ∆
⊥
n−i, i = 1, 2, . . . , n− 1, ∆n = ∆⊥
n = |A| = |A⊥|.
Справедливость этих равенств следует из определения транспонированных матриц, со-
отношений 7 и свойств детерминанта.
Структуры КМС и свойства симметрической матрицы. Рассмотрим квадратную
n × n-матрицу A = (aij), i, j = 1, 2, . . . , n, описывающую некоторую линейную крупномас-
штабную систему.
Матрица A называется обобщенно симметрической, если для каждого ее элемента су-
ществует такой элемент, который симметричен относительно некоторой точки или элемен-
тов этой матрицы на прямой. Элементы матрицы, лежащие в этой точке или на прямой,
считаются симметричными относительно самих себя.
Далее приведем описание всех видов симметрических матриц. Пусть матрица A ото-
ждествлена с некоторым квадратом, тогда:
a) левая (правая) диагональ квадрата называется главной (неглавной) диагональю ма-
трицы A;
b) вертикальная (горизонтальная) ось симметрии квадрата называется вертикальной
(горизонтальной) осью матрицы A;
c) центр симметрии квадрата будем называть центром матрицы A.
Квадратная n × n матрица A называется симметрической относительно:
1) главной диагонали, если AT = A, т. е. aij = aji, i, j = 1, 2, . . . , n (обычная симметри-
ческая матрица);
2) неглавной диагонали, если A⊥ = A, т. е. aij = an+1−j,n+1−i, i, j = 1, 2, . . . , n;
3) вертикальной оси, если A| = A, т. е. aij = ai,n+1−j, i, j = 1, 2, . . . , n;
4) горизонтальной оси, если A− = A, т. е. aij = an+1−i,j, i, j = 1, 2, . . . , n;
5) центра матрицы, если A0 = A, т. е. aij = an+1−i,n+1−j, i, j = 1, 2, . . . , n.
Отметим, что в главной и неглавной диагоналях имеются элементы матрицы A, а в вер-
тикальной и горизонтальной осях при четном n не имеется элементов матрицы A, при
нечетном n имеются элементы матрицы A. B центре матрицы при четном n не имеется,
а при нечетном n имеется элемент a(n+1)/2,(n+1)/2.
Единичная матрица E симметрична относительно главной и неглавной диагонали и цен-
тра матрицы.
КМС в Rn, составленная из n свободных подсистем, называется симметрической отно-
сительно:
a) свободных подсистем, если соответствующие связи и обратные связи одинаковы,
b) связей и обратных связей между уравновешивающимися парами свободных подси-
стем, если уравновешивающиеся подсистемы между собой и связи, кроме связей между
уравновешивающимися подсистемами, с соответствующими обратными связями одинаковы.
c) центра КМС, если уравновешивающиеся подсистемы со своими парами и все связи
с соответствующими обратными связями одинаковы.
Справедливы следующие утверждения о свойствах симметрической матрицы:
1. Матрица, симметрическая относительно главной и неглавной диагонали, является
симметрической относительно центра.
2. Матрица, симметрическая относительно вертикальной и горизонтальной осей, явля-
ется симметрической относительно центра матрицы.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 31
3. Матрица, симметрическая относительно вертикальной (горизонтальной) оси, являе-
тся особой матрицей.
4. Для каждой квадратичной матрицы A матрицы
S1 =
1
2
(A+AT ), S2 =
1
2
(A+A⊥), S3 =
1
2
(A+A|),
S4 =
1
2
(A+A−), S5 =
1
2
(A+A0)
являются симметрическими относительно главной диагонали, неглавной диагонали, верти-
кальной оси, горизонтальной оси и центра матрицы соответственно.
5. Если A — симметрическая матрица относительно главной (неглавной) диагонали,
вертикальной (горизонтальной) оси, центра матрицы, то матрицы
Ai (i = 1, 2, . . .), αA, T ∗AT
также являются симметрическими относительно главной (неглавной) диагонали, верти-
кальной (горизонтальной) оси и центра матрицы соответственно, где T — произвольная
неособенная квадратная матрица, ∗ — означает соответствующее транспонирование, α —
действительное число.
6. Если неособенная квадратичная матрица A симметрическая относительно главной
(неглавной) диагонали и центра матрицы, то A−1 также симметрическая относительно глав-
ной (неглавной) диагонали и центра матрицы соответственно.
7. Если квадратные матрицы A и B симметрические относительно центра матрицы, то
AB и BA также являются симметрическими матрицами относительно центра матрицы.
8. Если квадратная матрица n-го порядка A симметрична относительно центра матрицы
и ∆i, i = 1, 2, . . . , n, — главные миноры матрицы A, ∆i — их соответствующие дополнитель-
ные миноры, то
∆i = ∆n−i, i = 1, 2, . . . , n− 1.
9. Если квадратная матрица A симметрична относительно центра матрицы, то условия
∆i > 0, i = 1, 2, . . . , n− 1, ∆n = |A| > 0 (1)
необходимы и достаточны для положительной определенности матрицы A. Для отрица-
тельной определенности матрицы A условия (1) принимают вид
(−1)i∆i > 0, i = 1, 2, . . . , n− 1, (−1)n = |A| > 0. (2)
10. Если квадратная n × n-матрица A симметрическая относительно:
а) главной диагонали;
б) неглавной диагонали;
в) вертикальной оси матрицы;
г) горизонтальной оси матрицы;
д) центра матрицы,
то ее можно разбить на блочные матрицы вида:
а) при n = 2k A =
(
A1 B1
BT
1 A2
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 a1 B1
aT1 ak+1,k+1 aT2
BT
1 a2 A2
;
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10
б) при n = 2k A =
(
A1 C1
CT
1 A⊥
1
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 a1 C1
aT2 ak+1,k+1 aT1
CT
1 a2 A⊥
1
;
в) при n = 2k A =
(
A1 A
|
1
A2 A
|
2
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 a1 A
|
1
(aT1 )
| ak+1,k+1 (aT2 )
|
A2 a2 A
|
2
;
г) при n = 2k A =
(
A1 B1
A−
1 B−
1
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 a1 B1
aT1 ak+1,k+1 aT2
A−
1 a−2 B−
1
;
д) при n = 2k A =
(
A1 B1
B0
1 A0
1
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 a2 B1
aT1 ak+1,k+1 (aT1 )
0
B0
1 a02 A0
1
соответственно. Здесь все блочные матрицы квадратичные k-го порядка
a1 = (ak+1,1, ak+1,2, . . . , ak+1,k)
T ,
a2 = (ak+1,k+2, ak+1,k+3, . . . , ak+1,n)
T .
Квадратная матрица A = (aij) n-го порядка называется кососимметрической (антисим-
метрической) относительно:
1) главной диагонали, если AT = −A, т. е. aij = −aji, i, j = 1, 2, . . . , n;
2) неглавной диагонали, если A⊥ = −A, т. е. aij = −an+1−j,n+1−i, i, j, = 1, 2, . . . , n;
3) вертикальной оси, если A| = −A, т. е. aij = −ai,n+1−j, i, j = 1, 2, . . . , n;
4) горизонтальной оси, если A− = −A, т. е. aij = −an+1−i,j, i, j = 1, 2, . . . , n;
5) центра матрицы, если A0 = −A, т. е. aij = −an+1−i,n+1−j, i, j = 1, 2, . . . , n.
Из этого определения следует, что:
1. Для каждой квадратичной матрицы A матрица
S1 =
1
2
(A−AT ), S2 =
1
2
(A−A⊥), S3 =
1
2
(A−A|),
S4 =
1
2
(A−A−), S5 =
1
2
(A−A0)
есть кососимметрическая относительно главной диагонали, неглавной диагонали, верти-
кальной оси, горизонтальной оси и центра матрицы соответственно.
2. Если A — квадратичная матрица, то
A = S1 + Si, i = 1, 2, 3, 4, 5,
является разложением данной матрицы A на сумму симметрической и кососимметрической
матриц относительно главной диагонали, неглавной диагонали, вертикальной оси, горизон-
тальной оси и центра матрицы соответственно.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 33
3. Если квадратичная матрица A кососимметрическая относительно:
а) главной диагонали;
б) неглавной диагонали;
в) вертикальной оси;
г) горизонтальной оси;
д) центра матрицы,
то еe можно разбить на блочные матрицы вида:
а) при n = 2k A =
(
A1 B1
−BT
1 A2
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 a1 B1
−aT1 −ak+1,k+1 aT2
−BT
1 −a2 A2
;
б) при n = 2k A =
(
A1 C1
CT
1 −A⊥
1
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 a1 C1
aT2 −ak+1,k+1 −aT1
CT
1 −a2 −A⊥
1
;
в) при n = 2k A =
(
A1 −A
|
1
A2 −A
|
2
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 −a1 −A
|
1
(aT1 )
| −ak+1,k+1 −(aT2 )
|
A2 −a2 −A
|
2
;
г) при n = 2k A =
(
A1 B1
−A−
1 −B−
1
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 −a1 B1
−aT1 −ak+1,k+1 −aT2
−A−
1 −a−2 −B−
1
;
д) при n = 2k A =
(
A1 B1
−B0
1 −A0
1
)
, при n = 2k + 1 A =
A1 a2 B1
aT1 −ak+1,k+1 −(aT1 )
0
−B0
1 −a02 −A0
1
,
где все блочные матрицы квадратичные k-го порядка
a1 = (ak+1,1, ak+1,2, . . . , ak+1,k)
T , a2 = (ak+1,k+2, ak+1,k+3, . . . , ak+1,n)
T .
Квадратная матрица A = (aij) n-го порядка называется ортогональной относительно
1) главной диагонали, если AT = A−1;
2) неглавной диагонали, если A⊥ = A−1;
3) вертикальной оси, если A| = A−1;
4) горизонтальной оси, если A− = A−1;
5) центра матрицы, если A0 = A−1.
Из этого определения следует, что если квадратные матрицы A и B ортогональны отно-
сительно главной (неглавной) диагонали, вертикальной (горизонтальной) оси и центра ма-
трицы, то матрицы A−1 и AB также ортогональны относительно главной (неглавной) диа-
гонали, вертикальной (горизонтальной) оси и центра матрицы соответственно.
В заключение отметим, что линейные крупномасштабные системы имеют широкие при-
ложения в механике и других областях науки и технологий. Возможные идентификации
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №10
структуры КМС на основе обобщенных транспонированных матриц упрощают проблему
анализа устойчивости систем такого рода (см. [2]).
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – Москва: Наука, 1966. – 576 c.
2. Martynyuk A.A., Miladzhanov V.G., Bekmuratov K.A. Construction of hierarchical matrix Lyapunov
function // Differen. Equat. and Dynam. Systems. – 1993. – 1, No 1. – P. 3–21.
Поступило в редакцию 14.01.2009Андижанский университет, Республика Узбекистан
R.V. Mullajonov
Generalized transposition of the matrices and structure of linear
large-scale systems
We develop a notion of the transposition of matrices and apply this approach to the classification
of large-scale linear systems.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №10 35
|