Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі
Для деякого класу неоднорiдних елiптичних рiвнянь у банаховому просторi даються умови для iснування єдиного обмеженого на всiй дiйснiй осi, майже перiодичного або перiодичного розв’язку. For a certain class of inhomogeneous elliptic equations in a Banach space, the conditions for existence of a uniq...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18985 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі / М.Л. Горбачук, В.М. Горбачук // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859625396828372992 |
|---|---|
| author | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.М. |
| author_facet | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.М. |
| citation_txt | Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі / М.Л. Горбачук, В.М. Горбачук // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Для деякого класу неоднорiдних елiптичних рiвнянь у банаховому просторi даються умови для iснування єдиного обмеженого на всiй дiйснiй осi, майже перiодичного або перiодичного розв’язку.
For a certain class of inhomogeneous elliptic equations in a Banach space, the conditions for existence of a unique almost periodic or periodic solution bounded on the whole real axis are given.
|
| first_indexed | 2025-11-29T09:50:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 517.43+517.5
© 2009
Член-кореспондент НАН України М. Л. Горбачук, В. М. Горбачук
Умови iснування обмежених, майже перiодичних
i перiодичних розв’язкiв елiптичних рiвнянь
у банаховому просторi
Для деякого класу неоднорiдних елiптичних рiвнянь у банаховому просторi даються
умови для iснування єдиного обмеженого на всiй дiйснiй осi, майже перiодичного або
перiодичного розв’язку.
Розглядається рiвняння вигляду
(
d2
dt2
−B
)m
y(t) = f(t), t ∈ R, (1)
де B — позитивний оператор у комплексному банаховому просторi B, m ∈ N, f(t) : R 7→ B —
неперервна вектор-функцiя. Даються умови на f(t), якi гарантують iснування єдиного обме-
женого, перiодичного або майже перiодичного розв’язку цього рiвняння.
1. Нехай B — банахiв простiр з нормою ‖ · ‖, E(B), L(B) — множини всiх щiльно
визначених замкнених i, вiдповiдно, неперервних лiнiйних операторiв в B, I — одиничний
оператор, D(·), ρ(·), σ(·) — область визначення, резольвентна множина i спектр оператора.
Для оператора A ∈ E(B) i числа α > 0 покладемо
B{α}(A) =
{
x ∈
⋂
n∈N0
D(An)
∣
∣ ∃c = c(x) > 0, ∀k ∈ N0 = {0}
⋃
N : ‖Akx‖ 6 cαkk!
}
.
Простiр B{α}(A) є банаховим вiдносно норми
‖x‖Bα(A) = sup
k∈N0
‖Akx‖
αkk!
.
Покладемо
B+(A) = proj lim
α→0
Bα(A) =
⋂
α>0
Bα(A).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 7
Злiченно-нормований простiр B+(A) називається простором цiлих векторiв оператора A
(див. [1, 2]). Якщо A ∈ L(B), то B+(A) = B. Неважко навести приклад оператора A,
для якого B+(A) = {0}. Але якщо A генерує аналiтичну C0-пiвгрупу лiнiйних неперервних
операторiв у B, то, як показано в [2–4], має мiсце таке твердження.
Твердження 1. Нехай A є генератором обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи {etA}t>0
у просторi B. Тодi B+(A) = B i оператор-функцiя
exp(zA) =
∞
∑
k=0
zkAk
k!
є цiлою у просторi B+(A), сiм’я {exp(zA)}z∈C утворює однопараметричну C0-групу обме-
жених операторiв у B+(A), i якщо x належить до цього простору, то
exp(tA)x =
{
etAx при t > 0,
(e−tA)−1x при t < 0.
Нагадаємо [5], що сiм’я лiнiйних неперервних операторiв U(t), t > 0, що дiють у локально
опуклому просторi X, називається C0-пiвгрупою, якщо: 1) ∀ t, s > 0: U(t + s) = U(t)U(s);
2) U(0) = I; 3) ∀x ∈ X : U(t)x → x при t → 0. Генератор A пiвгрупи {U(t)}t>0 задається
рiвнiстю
Ax = lim
t→0
U(t)x− x
t
на тих елементах x ∈ X, для яких ця границя iснує, i однозначно визначається пiвгрупою
U(t), t > 0. Скрiзь у подальшому пiвгрупу, що генерується оператором A, позначатимемо
{etA}t>0. Пiвгрупа {etA}t>0 у просторi B називається аналiтичною з кутом аналiтично-
стi θ (див. [6]), якщо вона допускає продовження до аналiтичної в секторi Σ(θ) = {z ∈
∈ C : | arg z| < θ} оператор-функцiї ezA, сильно неперервної вздовж довiльного променя
в Σ(θ) з початком у нулi. Якщо ж для будь-якого ψ ∈ (0, θ)
∃Mψ, ∀ z ∈ Σ(ψ) : ‖ezA‖ 6Mψ,
то пiвгрупа {etA}t>0 називається обмеженою аналiтичною.
2. Перейдемо тепер до рiвняння (1), де B — позитивний оператор в B, тобто B ∈ E(B),
(−∞, 0] ∈ ρ(B) i iснує стала M > 0 така, що
∀λ > 0: ‖(B + λI)−1‖ 6
M
1 + λ
.
Згiдно з [7, 8], у цьому випадку є визначеними дробовi степенi Bα, 0 < α < 1, оператора B,
а оператор A = −B1/2 генерує обмежену аналiтичну C0-пiвгрупу {etA}t>0 у просторi B
з вiд’ємним типом
ω(A) = lim
t→∞
ln ‖etA‖
t
= −
√
s(B),
де
0 < s(B) = sup
λ∈σ(B)
Reλ.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
Пiд розв’язком (класичним) рiвняння (1) на R розумiтимемо 2m разiв неперервно ди-
ференцiйовну вектор-функцiю y(t) : R 7→ B таку, що y(2k)(t) ∈ D(Bm−k) (k = 0, 1, . . . ,m),
вектор-функцiя Bm−ky(2k)(t) є неперервною в B на R, i y(t) задовольняє (1).
Розглянемо спочатку однорiдне рiвняння
(
d2
dt2
−B
)m
y(t) = 0, t ∈ R. (2)
Теорема 1. Вектор-функцiя y(t) : R 7→ B є розв’язком рiвняння (2) тодi i тiльки
тодi, коли її можна подати у виглядi
y(t) =
m−1
∑
k=0
tk exp(tA)fk +
m−1
∑
k=0
tk exp(−tA)gk, (3)
де A = −B1/2, fk, gk ∈ B+(A). Вектори fk i gk (k = 0, 1, . . . ,m − 1) однозначно визна-
чаються за y(t).
Зауважимо, що випадок m = 1 розглянуто в [4].
Iз твердження 1 i зображення (3) випливає
Наслiдок 1. Будь-який розв’язок рiвняння (2) на R є цiлою вектор-функцiєю iз зна-
ченнями в B+(A).
Якщо B ∈ L(B), то кожний розв’язок рiвняння (2) на R допускає продовження до
цiлої вектор-функцiї експоненцiального типу в просторi B. У випадку необмеженого B
рiвняння (2) може, взагалi кажучи, не мати таких розв’язкiв. Але якщо оператор A = −B1/2
генерує обмежену аналiтичну C0-пiвгрупу в B з кутом аналiтичностi θ = π/2 i виконується
умова
1
∫
0
ln lnM(s) ds <∞, де M(s) = sup
| Imλ|>s
‖(A− λI)−1‖
або простiр B гiльбертiв i B — нормальний оператор у ньому, то у рiвняння (2) iснують
цiлi розв’язки експоненцiального типу i множина таких розв’язкiв є щiльною в класi всiх
розв’язкiв цього рiвняння, а саме для будь-якого розв’язку y(z) рiвняння (2) знайдеться
послiдовнiсть yn(z) його цiлих розв’язкiв експоненцiального типу така, що
∀r > 0: sup
|z|6r
‖y(z)− yn(z)‖ → 0 при n→ ∞.
Прототипом простору розв’язкiв рiвняння (2) на пiвосi R+ = [0,∞) є простiр гармонi-
чних у смужцi [0, 1]×R+ функцiй u(t, x), якi задовольняють крайовi умови u(t, 0) = u(t, 1) =
= 0. Класичний принцип Фрагмена–Лiндельофа [9] для цього випадку стверджує, що якщо
u(t, x) росте при t → ∞ повiльнiше за eπt, то вона прямує до нуля при t → ∞ як e−πt.
Виявляється, що такий принцип справджується i для розв’язкiв рiвняння (2) на R+, а саме
має мiсце така теорема.
Теорема 2. Нехай y(t) — розв’язок рiвняння (2) на R+ i для числа γ ∈ (0,
√
s(B)) iснує
стала cγ така, що
∀ t ∈ R+ : ‖y(t)‖ 6 cγe
γt.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 9
Тодi для довiльного γ′ ∈ (0,
√
s(B))
∃ cγ′ , ∀ t ∈ R+ : ‖y(t)‖ 6 cγ′e
−γ′t.
У випадку, коли простiр B гiльбертiв i B — нормальний оператор у ньому, за γ i γ′
можна взяти
√
s(B).
Iз теорем 1, 2 випливає, що якщо для розв’язку y(t) рiвняння (2) на R виконується
спiввiдношення
∀ γ ∈ (0,
√
s(B)), ∃ cγ > 0, ∀ t ∈ R+ : ‖y(t)‖ 6 cγe
γt,
тодi y(t) допускає зображення
y(t) =
m−1
∑
k=0
tk exp(At)fk, fk ∈ B+(A), t ∈ R.
Якщо це спiввiдношення виконується при t ∈ (−∞, 0), то
y(t) =
m−1
∑
k=0
tk exp(−At)gk, gk ∈ B+(A), t ∈ R.
Звiдси отримуємо таке твердження.
Теорема 3. Нехай y(t) — розв’язок рiвняння (2) на R i для довiльного γ ∈ (0,
√
s(B))
∃ cγ , ∀ t ∈ R : ‖y(t)‖ 6 cγe
γ|t|.
Тодi y(t) ≡ 0. У випадку, коли B — нормальний оператор у гiльбертовому просторi, мо-
жлива також рiвнiсть γ =
√
s(B).
3. Тепер розглянемо неоднорiдне рiвняння (1).
Позначимо через Cb(R,B) множину всiх обмежених неперервних на R B-значних век-
тор-функцiй. Будемо говорити, що вектор-функцiя x(t) : R 7→ B задовольняє умову непе-
рервностi Гельдера з показником α ∈ (0, 1), якщо iснує стала L > 0 така, що
‖x(t)− x(s)‖ 6 L|t− s|α. (4)
Клас усiх вектор-функцiй x(t) з Cb(R,B), що задовольняють умову (4), позначатимемо
Cαb (R,B).
Пiд узагальненим розв’язком рiвняння (1) на R розумiтимемо неперервну вектор-фун-
кцiю y(t) : R 7→ B, для якої виконується iнтегральна тотожнiсть
∫
R
〈(
d2
dt2
−B∗
)m
ϕ(t), y(t)
〉
dt =
∫
R
〈ϕ(t), f(t)〉 dt,
де ϕ(t) — довiльна нескiнченно диференцiйовна фiнiтна вектор-функцiя зi значеннями
в D(B∗m) така, що вектор-функцiя B∗mϕ(t) є неперервною, 〈·, ·〉 — дiя функцiонала на
вiдповiдний елемент.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
Теорема 4. Якщо f(·) ∈ Cb(R,B), то вектор-функцiя
1
2m
∫
Rm
eA(|t−s1|+|s1−s2|+···+|sm−1−sm|)A−mf(sm) ds1 · · · dsm (5)
має такi властивостi:
1) y(k)(·) ∈ Cb(R,B) (k = 0, 1, 2, . . . , 2m − 1), y(2m−1)(·) ∈ Cαb (R,B), ∀α ∈ (0, 1);
2) y(t) — узагальнений розв’язок рiвняння (1).
Неважко показати, що включення f(·) ∈ Cb(R,B) не є, взагалi кажучи, достатньою
умовою для того, щоб вектор-функцiя (5) була класичним розв’язком рiвняння (1) на R.
Проте має мiсце таке твердження.
Теорема 5. Нехай f(·) ∈ Cb(R,B) i для будь-якого t ∈ R iснують стала δt > 0 i не-
вiд’ємна неперервна функцiя ht(s) : [0,∞) 7→ [0,∞) така, що
‖f(t)− f(s)‖ 6 ht(|t− s|)
i
δt
∫
0
ht(s)
s
ds <∞.
Тодi вектор-функцiя y(t), визначена формулою (5), є класичним розв’язком рiвняння (1)
на R.
Наслiдок 2. Якщо f(·) ∈ Cαb (R,B) з деяким α ∈ (0, 1), то вектор-функцiя (5) є кла-
сичним розв’язком рiвняння (1) на R.
Користуючись методами, розробленими в роботах [10, 11] для параболiчних рiвнянь
у банаховому просторi, можна довести таку теорему.
Теорема 6. За умови, що f(·) ∈ Cαb (R,B), α ∈ (0, 1), вектор-функцiя y(t), що фiгурує
в (5), належить до Cb(R,D(A2m+α))
⋂
C2m
b (R,D(Aα)) i є класичним розв’язком рiвнян-
ня (1) на R.
Нагадаємо, що неперервна вектор-функцiя f(t) : R 7→ B називається майже перiодичною
(за Бором), якщо для довiльного ε > 0 iснує стала Lε > 0 така, що кожний iнтервал з R,
довжина якого не менша за Lε, мiстить точку τ = τ(ε) (ε-майже перiод) iз властивiстю
∀t ∈ R : ‖f(t)− f(t+ τ)‖ < ε.
Виходячи з теорем 1–5, прийдемо до основної теореми.
Теорема 7. Нехай f(·) ∈ Cb(R,B). Тодi iснує один i лише один обмежений узагальнений
розв’язок y(t) рiвняння (1) на R i вiн зображується у виглядi (5). Якщо ж f(·) ∈ Cαb (R,B),
α ∈ (0, 1), або f(·) ∈ Cb(R,D(Aα), то цей розв’язок є класичним. У випадку, коли век-
тор-функцiя f(t) є майже перiодичною (перiодичною), розв’язок також є майже перiо-
дичним (перiодичним).
Робота виконана за пiдтримки ДФФД України (проект Ф 28.1/017 та Ф 29.1/003).
1. Goodman R. Analytic and entire vectors for representations of Lie groups // Trans. Amer. Math. Soc. –
1969. – 143. – P. 55–76.
2. Gorbachuk V. I., Gorbachuk M. L. Boundary value problems for operator differential equations. – Dordrecht:
Kluwer, 1991. – 347 p.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 11
3. Gorbachuk M.L., Mokrousov Yu.G. On density of some sets of infinitely differentiable vectors of a closed
operator on a Banach space // Meth. Funct. Anal. Topology. – 2002. – 8, No 1. – P. 23–29.
4. Gorbachuk V.M. On solutions of parabolic and elliptic type differential equations on (−∞,∞) in a Banach
space // Ibid. – 2008. – 14, No 2. – P. 177–183.
5. Иосида К. Функциональный анализ. – Москва: Мир, 1967. – 624 с.
6. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York:
Springer, 1983. – 279 p.
7. Komatsu H. Fractional powers of operators // Pacif. J. Math. – 1966. – 19, No 2. – P. 285–346.
8. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – Москва: Наука,
1967. – 464 с.
9. Lax P.D. A Phragmen–Lindelöf theorem in harmonic analysis and its application to some questions in the
theory of elliptic equations // Communs. Pure and Appl. Math. – 1957. – 10. – P. 361–389.
10. Da Prato G., Grisvard P. Sommes d’opérateurs non linéaires et équations differentielles opérationelles //
J. Math. Pures Appl. – 1975. – 54. – P. 305–387.
11. Da Prato G., Grisvard P. Equations d’évolution abstraites non linéaires de type parabolique // Ann. Mat.
Pura ed Appl. IV. – 1979. – 120. – P. 329–396.
Надiйшло до редакцiї 03.04.2009Iнститут математики НАН України, Київ
НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. L. Gorbachuk, V.M. Gorbachuk
The conditions of existence of bounded, periodic, and almost periodic
solutions to elliptic equations in a Banach space
For a certain class of inhomogeneous elliptic equations in a Banach space, the conditions for
existence of a unique almost periodic or periodic solution bounded on the whole real axis are given.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18985 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T09:50:35Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.М. 2011-04-15T19:25:23Z 2011-04-15T19:25:23Z 2009 Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі / М.Л. Горбачук, В.М. Горбачук // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18985 517.43+517.5 Для деякого класу неоднорiдних елiптичних рiвнянь у банаховому просторi даються умови для iснування єдиного обмеженого на всiй дiйснiй осi, майже перiодичного або перiодичного розв’язку. For a certain class of inhomogeneous elliptic equations in a Banach space, the conditions for existence of a unique almost periodic or periodic solution bounded on the whole real axis are given. Робота виконана за пiдтримки ДФФД України (проект Ф 28.1/017 та Ф 29.1/003). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі The conditions of existence of bounded, periodic, and almost periodic solutions to elliptic equations in a Banach space Article published earlier |
| spellingShingle | Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі Горбачук, М.Л. Горбачук, В.М. Математика |
| title | Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі |
| title_alt | The conditions of existence of bounded, periodic, and almost periodic solutions to elliptic equations in a Banach space |
| title_full | Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі |
| title_fullStr | Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі |
| title_full_unstemmed | Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі |
| title_short | Умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі |
| title_sort | умови існування обмежених, майже періодичних і періодичних розв'язків еліптичних рівнянь у банаховому просторі |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18985 |
| work_keys_str_mv | AT gorbačukml umoviísnuvannâobmeženihmaižeperíodičnihíperíodičnihrozvâzkívelíptičnihrívnânʹubanahovomuprostorí AT gorbačukvm umoviísnuvannâobmeženihmaižeperíodičnihíperíodičnihrozvâzkívelíptičnihrívnânʹubanahovomuprostorí AT gorbačukml theconditionsofexistenceofboundedperiodicandalmostperiodicsolutionstoellipticequationsinabanachspace AT gorbačukvm theconditionsofexistenceofboundedperiodicandalmostperiodicsolutionstoellipticequationsinabanachspace |