Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою
Побудовано новий бiмодальний наближений розв’язок рiвняння Больцмана у випадку моделi пружних куль. За мiру розбiжностi мiж частинами рiвняння обирається норма їх рiзницi в деякому функцiональному просторi з вагою. A new bimodal approximate solution of the Boltzmann equation for the model of rigid s...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18986 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою / В.Д. Гордевський // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 13-16. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860045387899863040 |
|---|---|
| author | Гордевський, В.Д. |
| author_facet | Гордевський, В.Д. |
| citation_txt | Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою / В.Д. Гордевський // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 13-16. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Побудовано новий бiмодальний наближений розв’язок рiвняння Больцмана у випадку моделi пружних куль. За мiру розбiжностi мiж частинами рiвняння обирається норма їх рiзницi в деякому функцiональному просторi з вагою.
A new bimodal approximate solution of the Boltzmann equation for the model of rigid spheres is constructed. As a value of deviation between the sides of the equation, the norm of their difference in some weighted functional space is chosen.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:57:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 533.72
© 2009
В.Д. Гордевський
Наближенi розв’язки рiвняння Больцмана в просторi
з вагою
(Представлено академiком НАН України Л.А. Пастуром)
Побудовано новий бiмодальний наближений розв’язок рiвняння Больцмана у випадку мо-
делi пружних куль. За мiру розбiжностi мiж частинами рiвняння обирається норма
їх рiзницi в деякому функцiональному просторi з вагою.
Кiнетичне рiвняння Больцмана, яке описує еволюцiю досить розрiдженого газу, у випадку
моделi пружних куль має вигляд [1, 2]
D(f) = Q(f, f), (1)
D(f) =
∂f
∂t
+ v
∂f
∂x
, (2)
Q(f, f) =
d2
2
∫
R3
dv1
∫
Σ
dα |(v1 − v, α)[ f(t, v′1, x)f(t, v
′, x)− f(t, v1, x)f(t, v, x)], (3)
v′1 = v1 + α(v − v1, α); v′ = v − α(v − v1, α). (4)
Тут t ∈ R
1 — час; x ∈ R
3 — координата молекули в просторi; v ∈ R
3 — швидкiсть молекули;
d > 0 — її дiаметр; f(t, v, x) — функцiя розподiлу молекул; ∂f/∂x (або просто f ′) — градiєнт
цiєї функцiї вiдносно вектора x; α ∈ Σ, де Σ ⊂ R
3, — одинична сфера в R
3; v, v1, v
′, v′1 —
швидкостi молекул перед та пiсля зiткнення вiдповiдно.
Для моделi пружних куль на цей час єдиним вiдомим точним розв’язком рiвняння (1)–
(4) є максвелiани, тобто функцiї вигляду [1, 2]
M = ρ
(
β
π
)3/2
e−β(v−ṽ)2 , (5)
де гiдродинамiчнi параметри потоку (густина ρ, обернена температура β = 1/(2T ) та масова
швидкiсть ṽ) здатнi, взагалi кажучи, певним чином залежати вiд t та x. Вiдомо також, що
функцiї вигляду (5) обертають обидвi частини рiвняння Больцмана на нуль, тобто
D(M) = Q(M,M) = 0. (6)
Найбiльш загальний вигляд зазначеної залежностi знайдено в [2–4], а в [5] проведено де-
тальний аналiз рiзних типiв максвелiанiв i дослiджено їх фiзичний та геометричний сенс.
Один з можливих таких типiв, як показано в [5], описує “прискорення-згущення” газу
i має вигляд (5) при
ρ = ρeβ(ṽ
2+2ux), (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 13
ṽ = v − ut, (8)
де ρ, v, u — деякi сталi скаляри та вектори.
У роботах [6, 7] побудовано явний наближений розв’язок рiвняння Больцмана, який має
вигляд бiмодального розподiлу
f =
2∑
i=1
ϕiMi, (9)
де максвелiани Mi, i = 1, 2 мають вигляд (5), (7), (8) з рiзними параметрами ρi = ρi(t, x),
ρi, βi, ṽi = ṽi(t), ui, vi, i = 1, 2, а коефiцiєнтнi функцiї ϕi = ϕi(t, x) задовольняють умови
ϕi > 0; ϕi ∈ C1(R4), i = 1, 2. (10)
У [6, 7] знайдено низку умов, якi є достатнiми для довiльної мализни так званого рiвномiрно
iнтегрального вiдхилу ∆, тобто “змiшаної” норми рiзницi мiж частинами рiвняння (1) D та Q
(у просторi C за змiнними t, x та в сенсi L1 — за v).
Метою даної роботи є пошук наближених розв’язкiв (9), (10) рiвняння Больцмана з ви-
користанням iншого вiдхилу, що обчислюється як норма рiзницi D−Q у деякому просторi
зi спецiально пiдiбраною вагою, а саме:
∆ = sup
(t,x)∈R4
[
1
1 + |t|
∫
R3
|D(f)−Q(f, f)| dv
]
. (11)
Точна постановка задачi є такою: знайти функцiї ϕi, i = 1, 2, якi задовольняють умо-
ви (10), i таку поведiнку параметрiв, що входять до максвелiанiв Mi, i = 1, 2, щоб вираз (11)
для функцiй вигляду (5), (7), (8) прямував при цьому до нуля.
Наведемо один з можливих результатiв у цьому напрямку.
Теорема. Нехай
ϕi = Ci
(
x+
uiṽ
2
i
2u2i
)
, i = 1, 2, (12)
де Ci > 0 — довiльнi функцiї iз C1(R4) з компактним носiєм, i виконуються умови
ui =
u0i
βi
, i = 1, 2, (13)
vi =
v0i√
βi
, i = 1, 2 (14)
(u0i, v0i ∈ R
3 — довiльнi векторнi константи). Тодi є справедливою рiвнiсть
lim
βi,β2→+∞
∆ = 0. (15)
Доведення. Використовуючи технiку, розвинуту в [7], i спираючись на (7), (8), (10),
(12), можна пересвiдчитися в тому, що наведенi нижче вирази є обмеженими з вагою
(1 + |t|)−1 на R
4:
tϕiρi(t, x);
∂ϕi
∂t
ρi(t, x);
∣∣∣∣
∂ϕi
∂x
∣∣∣∣ρi(t, x); t
(
ui,
∂ϕi
∂x
)
ρi(t, x);
ϕ1ϕ2ρ1(t, x)ρ2(t, x); tϕ1ϕ2ρ1(t, x)ρ2(t, x), i = 1, 2.
(16)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
Це гарантує iснування оцiнки для вiдхилу (11), яка здобувається методами, аналогiчними
тим, якi застосованi в [6, 7]:
∆ 6 ∆′ = π−2 sup
(t,x)∈R4
1
1 + |t|
2∑
i,j=1,i 6=j
[ ∫
R3
∣∣∣∣
{
∂ϕi
∂t
+
(
u√
βi
+ ṽi(t)
)
∂ϕi
∂x
}√
π +
+ ϕ1ϕ2ρj(t, x)d
2
∫
R3
Fije
−w2
dw
∣∣∣∣ρi(t, x)e
−u2
du+
+ ϕ1ϕ2ρ1(t, x)ρ2(t, x)d
2
∫
R6
e−w2−u2
Fijdwdu
]
, (17)
де
Fij =
∣∣∣∣
u√
βi
+ vi − vj + (uj − ui)t−
w√
βj
∣∣∣∣, i, j = 1, 2, i 6= j. (18)
Умови (13), (14) з урахуванням (7), (8), (10), (12), (16) та (18) дозволяють застосувати лему 1
роботи [8] до виразу (17), тобто перейти до низькотемпературної границi в ∆′ пiд знаком
супремумiв, iнтегралiв тощо. Границi кожного з “фрагментiв” будуть, очевидно, такими:
lim
β1,β2→+∞
ρi(t, x) = ρie
v2
0i
+2u0ix, (19)
lim
β1,β2→+∞
ϕi = Ci
(
x+
u0iv
2
0i
2u20i
)
, (20)
lim
β1,β2→+∞
∂ϕi
∂t
= lim
β1,β2→+∞
tu2i − (ui, vi)
u2i
(
ui, C
′
i
(
x+
uiṽ
2
i
2u2i
))
= 0, (21)
lim
β1,β2→+∞
∂ϕi
∂x
= C ′
i
(
x+
uiṽ
2
i
2u2i
)
, (22)
lim
β1,β2→+∞
ṽi(t) = lim
β1,β2→+∞
Fij = 0. (23)
Значить,
lim
β1,β2→+∞
∆′ = 0, (24)
звiдки й випливає (15). Теорему доведено.
Таким чином, використання нового вiдхилу “з вагою” вигляду (11), який запропоновано
в данiй роботi, дозволяє пом’якшити умови на коефiцiєнтнi функцiї ϕi, i = 1, 2, порiвняно
з роботами [6, 7] (тобто позбутися в (12) додаткових швидкоспадаючих при t → ∞ множни-
кiв) та забезпечити виконання рiвностi (15) без допомоги зайвих вимог до iнших параметрiв
та функцiй, якi входять до бiмодального розподiлу (9).
1. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. – Москва: Мир, 1978. – 495 с.
2. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. – Москва: Изд-во иностр. лит.,
1960. – 118 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 15
3. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases // Communs Pure and Appl. Math. – 1949. – 2, No 4. –
P. 331–407.
4. Фридлендер О. Г. Локально-максвелловские решения уравнения Больцмана // Прикл. мат. и мех. –
1965. – 29, вып. 5. – С. 973–977.
5. Gordevskyy V.D. On the non-stationary Maxwellians // Math. Meth. Appl. Sci. – 2004. – 27, No 2. –
P. 231–247.
6. Гордевський В.Д., Андрiяшева Н.В. Перехiдний режим мiж деякими локально-максвелiвськими те-
чiями // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2007. – 4, № 3. – С. 51–57.
7. Gordevskyy V.D., Andriyasheva N.V. Interaction between “accelerating-packing” flows in a low-tempera-
ture gas // Math. Phys., Anal., Geom. – 2009. – 5, No 1. – P. 38–53.
8. Гордевский В.Д. Двухпотоковое распределение с винтовыми модами // Теор. и мат. физика. – 2001. –
126, № 2. – С. 283–300.
Надiйшло до редакцiї 02.03.2009Харкiвський нацiональний унiверситет
iм. В.Н. Каразiна
V.D. Gordevskyy
Approximate solutions of the Boltzmann equation in a weighted space
A new bimodal approximate solution of the Boltzmann equation for the model of rigid spheres is
constructed. As a value of deviation between the sides of the equation, the norm of their difference
in some weighted functional space is chosen.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18986 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:57:30Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гордевський, В.Д. 2011-04-15T19:33:24Z 2011-04-15T19:33:24Z 2009 Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою / В.Д. Гордевський // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 13-16. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18986 533.72 Побудовано новий бiмодальний наближений розв’язок рiвняння Больцмана у випадку моделi пружних куль. За мiру розбiжностi мiж частинами рiвняння обирається норма їх рiзницi в деякому функцiональному просторi з вагою. A new bimodal approximate solution of the Boltzmann equation for the model of rigid spheres is constructed. As a value of deviation between the sides of the equation, the norm of their difference in some weighted functional space is chosen. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою Approximate solutions of the Boltzmann equation in a weighted space Article published earlier |
| spellingShingle | Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою Гордевський, В.Д. Математика |
| title | Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою |
| title_alt | Approximate solutions of the Boltzmann equation in a weighted space |
| title_full | Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою |
| title_fullStr | Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою |
| title_full_unstemmed | Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою |
| title_short | Наближені розв'язки рівняння Больцмана в просторі з вагою |
| title_sort | наближені розв'язки рівняння больцмана в просторі з вагою |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18986 |
| work_keys_str_mv | AT gordevsʹkiivd nabliženírozvâzkirívnânnâbolʹcmanavprostorízvagoû AT gordevsʹkiivd approximatesolutionsoftheboltzmannequationinaweightedspace |