Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций
Дослiджено задачу стiйкостi нульового розв’язку автономної системи диференцiальних рiвнянь. Встановлено теорему про побудову функцiї зi знаковизначеною похiдною або зi знакосталою похiдною, множина обернення якої в нуль є iнварiантною. Доведено теорему про нестiйкiсть у випадку iснування знакосталої...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18988 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 21-27. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860270607163195392 |
|---|---|
| author | Ковалев, А.М. |
| author_facet | Ковалев, А.М. |
| citation_txt | Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 21-27. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Дослiджено задачу стiйкостi нульового розв’язку автономної системи диференцiальних рiвнянь. Встановлено теорему про побудову функцiї зi знаковизначеною похiдною або зi знакосталою похiдною, множина обернення якої в нуль є iнварiантною. Доведено теорему про нестiйкiсть у випадку iснування знакосталої похiдної. Розглянуто iлюстративнi приклади.
The problem of stability for the zero solution of an autonomous system of differential equations is considered. A theorem concerning the construction of a function with a derivative of fixed sign or a derivative of constant signs such that the set of its zero values is invariant is obtained. An instability theorem for the case of the existence of the derivative of constant signs is proved. Illustrative examples are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:06:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.М. Ковалев
Решение задач неустойчивости с использованием
метода дополнительных функций
Дослiджено задачу стiйкостi нульового розв’язку автономної системи диференцiаль-
них рiвнянь. Встановлено теорему про побудову функцiї зi знаковизначеною похiдною
або зi знакосталою похiдною, множина обернення якої в нуль є iнварiантною. Дове-
дено теорему про нестiйкiсть у випадку iснування знакосталої похiдної. Розглянуто
iлюстративнi приклади.
В теории устойчивости движения случаи неустойчивости наряду с критическими случаями
относятся к наиболее трудным. А.М. Ляпунов в своей знаменитой монографии [1] двумя
первыми теоремами практически исчерпывающим образом охватил свойства устойчивости
и асимптотической устойчивости. Более сложным оказалось свойство неустойчивости, кото-
рому посвящены две следующие теоремы А.М. Ляпунова. Н. Г. Четаев [2] обобщил первую
теорему Ляпунова о неустойчивости и обозначил направление, в котором продолжилось
изучение вопросов неустойчивости. Н.Н. Красовский распространил идею использования
знакопостоянной производной c задач асимптотической устойчивости [3] на задачи неу-
стойчивости [4]. В обоих случаях ключевым является отсутствие целых полутраекторий на
множестве обращения в нуль производной функции Ляпунова.
Рассмотрение знакопостоянной производной вызвано двумя причинами: первая состоит
в том, что в распоряжении исследователя такая функция уже имеется, вторая связана
со свойствами рассматриваемой системы, для которой можно получить лишь функцию
со знакопостоянной производной, как, например, в случае линейной системы с нулевым
или парой чисто мнимых корней. Стоит отметить, что последняя ситуация имеет место
и для нелинейных систем при наличии координат с устойчивым поведением. Вместе с тем
в связи с рассмотрением этого круга вопросов проявилось влияние на устойчивость свойства
инвариантности, особенно в задачах частичной устойчивости [5–7].
В полной мере теория инвариантности была использована для решения задач устойчиво-
сти при создании метода дополнительных функций [8–10]. Прежде всего, с использованием
метода инвариантных соотношений [11, 12] получены два типа дополнительных функций,
максимально расширяющих область знакоопределенности функции Ляпунова. Это позво-
лило построить функции Ляпунова и решить ряд новых задач теории устойчивости по всем
и по части переменных. Следующим шагом является применение этого метода к функциям
со знакопостоянной производной без дополнительных требований к самим функциям. На-
стоящая работа посвящена получению функции со знакоопределенной производной либо со
знакопостоянной производной, множество, на котором она обращается в нуль, является ин-
вариантным. При наложении дополнительных условий на саму функцию доказана теорема
о неустойчивости.
1. Неустойчивые движения. Рассматриваются задачи устойчивости нулевого реше-
ния системы
ẋ = f(x), f(0) = 0; x ∈ D ⊂ R
n, t ∈ [t0,∞), (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 21
где D — некоторая окрестность нуля; функция f(x) предполагается непрерывно диффе-
ренцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает дифференцирование по
времени t зависимой переменной x, а также функции V (x) в силу системы (1): V̇ (x) =
= 〈∇V (x), f(x)〉. Здесь ∇ — оператор дифференцирования, в применении к скалярной
функции он дает градиент, а к вектор-функции — матрицу Якоби; символ 〈, 〉 означает
скалярное произведение.
При исследовании неустойчивых движений наиболее употребительны первая теорема
Ляпунова о неустойчивости и ее обобщения, из которых приведем два основных.
Теорема 1 [1]. Если для уравнений (1) возможно найти функцию V (x) такую, что ее
производная V̇ (x) есть функция знакоопределенная, а сама функция V (x) не будет знако-
постоянной, знака, противоположного V̇ (x), то нулевое решение неустойчиво.
Теорема 2 [2]. Если для уравнений (1) можно найти такую функцию V (x), что:
1) в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область, где V (x) > 0,
на границе которой V (x) = 0; 2) во всех точках области V > 0 производная V̇ (x) прини-
мает положительные значения, то нулевое решение неустойчиво.
Теорема 3 [4]. Пусть существует функция V (x), принимающая в произвольно малой
окрестности точки O неотрицательные значения и такая, что в окрестности V̇ (x) = 0
на H, V̇ > 0 вне H, где H — область в окрестности точки O. Если H не содержит цели-
ком положительных полутраекторий, отличных от 0, то нулевое решение уравнений (1)
неустойчиво.
Теоремы 2, 3 определяют два основных направления, в которых обобщалась теорема 1.
Это, во-первых, уменьшение требований на множество, в точках которого функция Ляпу-
нова V (x) принимает значения того же знака, что и ее производная (теорема 2). Второе
направление связано с возможностью использования знакопостоянной производной V̇ (x)
(теорема 3), для которого, как и в задачах асимптотической устойчивости, характерно
отсутствие целых полутраекторий на множестве обращения в нуль производной функции
Ляпунова.
2. Инвариантность и дополнительные функции. Вопрос о наличии целых полу-
траекторий системы (1) в некотором множестве зависит от свойства инвариантности. В ка-
чественной теории дифференциальных уравнений со свойством инвариантности связаны
два следующих понятия: инвариантное множество и инвариантное соотношение.
Определение 1. Множество G ∈ D называется инвариантным множеством систе-
мы (1), если всякое ее решение x(t), имеющее с G общую точку: x(t∗) ∈ G, целиком прина-
длежит этому множеству: x(t) ∈ G, t ∈ [t0,∞).
Определение 2. Соотношение ϕ(x) = 0 называется инвариантным соотношением сис-
темы (1), если определяемое им множество содержит инвариантное множество системы (1).
Удобный инструмент для проверки, является ли заданное соотношение инвариантным
соотношением системы (1), дает следующая теорема [12].
Теорема 4. Порождаемое инвариантным соотношением ϕ(x) = 0 инвариантное мно-
жество G системы (1) определяется уравнениями
ϕ(ki)(x) = 0 (i = 0, 1, . . . , l − 1), (2)
где l — число независимых функций в последовательности
ϕ(x), ϕ̇(x), ϕ̈(x), . . . , (3)
при этом ∇ϕ(x) 6= 0 для x ∈ G.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
С использованием теоремы 4 устанавливается важное свойство, необходимое для по-
строения функции Ляпунова со знакоопределенной производной.
Лемма 1. Пусть ϕ(x) = 0 является инвариантным соотношением системы (1), M =
= {x : ϕ(x) = 0,∇ϕ(x) 6= 0} ⊂ D, G — инвариантное множество, порождаемое соотноше-
нием ϕ(x) = 0. Тогда для каждой точки x0 ∈ M \G найдется функция ϕi(x) такая, что
ϕi(x0) = 0, ϕ̇i(x0) 6= 0. Функции ϕi(x) определяются в результате решения системы (2).
Для доказательства заметим, что порождаемое инвариантным соотношением инвари-
антное множество, определяемое уравнениями (2), является максимальным инвариантным
множеством, содержащимся в множестве M . Невыполнение утверждения леммы приводит
к существованию точки x0, для которой удовлетворены все уравнения (2). Это означает
принадлежность данной точки инвариантному множеству G, что противоречит условию
леммы и сделанному замечанию и доказывает утверждение леммы.
Данное свойство дало возможность получить [8–10] дополнительные функции Va(x), до-
бавление которых к исходной функции Ляпунова V (x) при выполнении условий теоремы
Барбашина–Красовского последовательно сужает множество обращения в нуль ее произво-
дной, начиная с исходного множества M и до нулевой точки, сохраняя знакоопределенность
самой функции и ее производной в остальных точках.
Для построения дополнительных функций важное значение имеет структура множе-
ства M , определяемая его геометрическими и дифференциальными особенностями. Во-пер-
вых (геометрические особенности), множество M может быть суммой подмножеств: M =
=
s⋃
i=1
Mi, Mi = {x : ϕi(x) = 0, ∇ϕi(x) 6= 0}. Кроме того, попарные пересечения Mk
⋂
Mm
могут содержать ненулевые точки для некоторых k, m, что также необходимо учитывать.
Во-вторых (дифференциальные особенности), для некоторых множеств Mi вопрос о суще-
ствовании инвариантного множества может не решаться первыми двумя членами последо-
вательности (3), т. е. в лемме 1 для точек x0 ∈ Mi имеем ki > 1.
Приведем два типа дополнительных функций [8–10], с использованием которых строи-
тся функция Ляпунова со знакоопределенной производной. В простейшем случае, когда
множество M обращения в нуль производной V̇ (x) описывается одной функцией ϕ(x):
M = {x : ϕ(x) = 0, ∇ϕ(x) 6= 0}, и задача существования инвариантного множества решае-
тся первыми двумя членами последовательности (3), в качестве дополнительной функции
принимается следующая функция:
Va = 〈∇ϕ(x), f(x)〉2m〈〈∇ϕ(x), f(x)〉, ϕ(x)〉.
Функция типа
Vai = 〈∇ϕi(x), f(x)〉
2m〈〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x)〉
s∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x)
принимается в качестве дополнительной функции для множества Mi в случае, когда мно-
жество M состоит из нескольких множеств: M =
s⋃
i=1
Mi, для каждого из которых задача
существования инвариантного множества решается первыми двумя членами последователь-
ности (3).
3. Основные теоремы. С целью рассмотрения всего круга задач устойчивости (вклю-
чая и неустойчивость) поставим вопрос о максимальном расширении области знакоопреде-
ленности производной для известной функции со знакопостоянной производной, не обращая
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 23
при этом внимания на значения самой функции. Используя метод дополнительных фун-
кций, получаем следующий результат.
Теорема 5. Пусть для системы (1) известна функция V (x) со знакопостоянной про-
изводной V̇ (x). Множество M = {x : V̇ (x) = 0} описывается функцией ϕ(x): ϕ(x) = 0,
∇ϕ(x) 6= 0 для x ∈ M . Неравенство нулю функций ϕi(x), описывающих множества Mi,
возникающие при построении инвариантного множества, устанавливается членами ра-
зложения конечного порядка. Тогда добавлением конечного числа дополнительных фун-
кций строится функция Vf (x), производная которой V̇f обладает одним из следующих
свойств: 1) V̇f (x) является знакоопределенной функцией; 2) V̇f (x) является знакопосто-
янной функцией, при этом множество ее обращения в нуль является инвариантным
множеством.
Доказательство. Множество M представим в виде суммы множеств: M =
s⋃
i=1
Mi,
Mk
⋂
Mm = ⊘ (k,m = 1, . . . , s); Mi = {x : ϕi(x) = 0,∇ϕi(x) 6= 0}. С помощью теоре-
мы 4 исследуем множества Mi на инвариантность. Возможны два случая. В первом случае
уравнения (2) для i = 1, . . . , s допускают только нулевое решение, т. е. все множества Mi не
содержат инвариантного множества, и для системы (1) строится функция Vf со знакоопре-
деленной производной (свойство 1 теоремы 5) методом дополнительных функций [8–10].
Во втором случае наряду с множествами Mi, не содержащими инвариантных множеств,
имеются множества Mp1, . . . ,Mpc, содержащие инвариантные множества, описываемые фун-
кциями ϕp1(x), . . . , ϕpc(x) : ϕpi(x) = 0, i = 1, . . . , c. Пусть среди функций ϕpi(x) имеется k
независимых. Примем их в качестве новых переменных yi = ϕpi(x), i = 1, . . . , k. Тогда
дополнительные функции, соответствующие первой группе, обеспечивают знакоопределен-
ность производной на соответствующих множествах, а функции второй группы приводят
к знакоопределенности лишь по отношению к переменным yi. Поэтому построенная функ-
ция будет иметь y-знакоопределенную производную V̇f (x), при этом в силу построения мно-
жество G = {x : y = 0} является инвариантным (свойство 2 теоремы 5). Теорема доказана.
В теории устойчивости подход, в котором исходным моментом является построение фун-
кции со знакоопределенной производной, связан в основном с изучением свойства неустой-
чивости. Для функций, обладающих свойством 1 теоремы 5, доказана первая теорема Ля-
пунова о неустойчивости и ее обобщения. Представляет интерес (как сама по себе, так и
в связи с известными результатами) следующая теорема, доказанная для функций, обла-
дающих свойством 2 теоремы 5.
Теорема 6. Пусть для системы (1) существует функция V (x), производная кото-
рой V̇ (x) является функцией знакопостоянной и представима в форме знакоопределен-
ной функции V̇ (y) меньшего числа переменных y1, . . . , yk (k < n), причем множество
M = {x : V̇ (x) = 0} является инвариантным. При этом в любой сколь угодно малой
окрестности B нуля существуют точки x ∈ B \M , в которых функция V (x) принимает
значения того же знака, что и V̇ (x). Тогда нулевое решение неустойчиво.
Доказательство. Выберем достаточно малую окрестность B0 нуля, в которой выпол-
нены условия теоремы 6, и покажем, что в любой сколь угодно малой окрестности нуля
B ⊂ B0 найдется точка, начинающаяся в которой траектория системы (1) покидает B0.
Для удобства сделаем замену переменных y = y(x), y = (y(1), y(2)), выделив подвектор
y(1) = (y1, . . . , yk), относительно которого производная V̇ (y(1)) знакоопределена и который
определяет множество M = {x : V̇ (x) = 0} уравнением y(1) = 0. Необходимо отметить,
что ввиду инвариантности множества M траектории системы (1), начинающиеся в области
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
B0 \M , не попадают в множество M и поэтому на этих траекториях V̇ (y(1)) > 0. Здесь и
в дальнейшем V̇ (y(1)) принята положительно определенной.
В силу условий теоремы начальная точка x0 с нужными свойствами: signV (x0) =
= sign V̇ (y(x0)), присутствует в любой сколь угодно малой окрестности из B0 \ M . Вдоль
траектории, начинающейся в этой точке, выполнено неравенство V (x(t)) > V (x0), и пос-
кольку V (x) непрерывна и V (0) = 0, то ‖y(1)(t)‖ > α > 0. Тогда в силу знакоопределенности
V̇ (y(1)) имеем V̇ (y(1)) > β > 0. Значит,
V (x(t)) = V (x0) +
t∫
t0
V̇ (y(1)(τ)) dτ > V (x0) + β(t− t0).
Отсюда следует, что V (x(t)) возрастает с увеличением времени и траектория x(t) по-
кидает заданную окрестность нуля, сколь бы близко к нулю не была выбрана начальная
точка x0. Это и доказывает неустойчивость нулевого решения.
4. Примеры. Рассмотрим линейные системы для иллюстрации применения теоремы 6
и возможности ее использования в дальнейшем исследовании особых точек. Для простоты
выбраны такие системы, для которых поведение траекторий в окрестности нуля очевидно
и выбор функций Ляпунова в форме, удовлетворяющей теореме 6 без применения теоре-
мы 5, не вызывает затруднений.
П р и м е р 1 . Исследуем устойчивость нулевого решения системы
ẋ1 = 2x1, ẋ2 = −ωx3, ẋ3 = ωx2. (4)
Для функции V = x2
1+x2
2+x2
3 имеем V̇ = 4x2
1. Производная V̇ положительно постоянна. Множе-
ство M = {x : V̇ = 0} представляет собой плоскость Ox2x3 и является инвариантным множеством.
Функция V положительно определена. Таким образом, условия теоремы 6 выполнены и нулевое
решение системы (4) неустойчиво. Для дальнейшего исследования поведения системы в плоскости
Ox2x3 можно использовать начальную функцию V , приняв x1 = 0. Тогда в инвариантном множе-
стве M = {x : x1 = 0} система (4) принимает вид
ẋ2 = −ωx3, ẋ3 = ωx2. (5)
Для функции V = x2
2
+ x2
3
получаем V̇ = 0, что означает устойчивость нулевого решения систе-
мы (5). Таким образом, использование функции V (x) сначала для исходной системы (4), а затем
для инвариантного множества позволило получить полную картину движения для системы (4).
Траектории являются спиралями, расположенными на цилиндрах x2
2
+ x2
3
= c2, вдоль которых
точки расходятся от окружностей x1 = 0, x2
2 + x2
3 = c2, удаляясь вдоль оси Ox1 в бесконечность
и вращаясь вокруг нее с угловой скоростью ω.
Отметим, что возможность получения данной картины обеспечена выбором функции V (x). Для
установления неустойчивости с использованием теоремы 6 можно применить функцию V = x2
1.
Однако для дальнейшего анализа системы в инвариантном множестве эта функция непригодна.
Несколько более сложный и разнообразный характер имеют траектории следующей сис-
темы.
П р и м е р 2 . Рассмотрим систему
ẋ1 = 2x1, ẋ2 = 3x2, ẋ3 = −4x3. (6)
Исследование системы (6) начнем с рассмотрения функции V = x2
1
+ x2
2
. Для ее производной
имеем выражение V̇ = 4x2
1 + 6x2
2. Условия теоремы 6 выполнены, и нулевое решение системы (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 25
неустойчиво. Для анализа поведения системы в инвариантном множестве M = {x : x1 = x2 = 0}
рассматриваемая функция ничего не дает. Однако функция V = x2
3 показывает, что нулевое решение
уравнения ẋ3 = −4x3 является асимптотически устойчивым по второй теореме Ляпунова. Эта же
функция с применением теоремы Ризито дает асимптотическую устойчивость нулевого решения
системы (6) по отношению к переменной x3 ввиду того, что множество M = {x : V̇ = 0} является
инвариантным, а в остальных точках V̇ < 0.
Следующий пример имеет общий характер.
П р и м е р 3 . Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений порядка 2n, матри-
ца которой является жордановой клеткой, соответствующей случаю n-кратных собственных чисел
±iβ:
ẋ1 = −βx2,
ẋ2 = βx1,
ẋ3 = x1 − βx4,
ẋ4 = x2 + βx3,
. . . ,
ẋ2n−1 = x2n−3 − βx2n,
ẋ2n = x2n−2 + βx2n−1.
(7)
Для функции V = x1x3 + x2x4 имеем V̇ = x2
1
+ x2
2
. Множество M = {x : V̇ (x) = 0} является
инвариантным. В любой окрестности нуля имеются точки, в которых функция V (x) принимает
положительные значения. Таким образом, выполнены условия теоремы 6 и нулевое решение сис-
темы (7) неустойчиво.
Приведенные рассуждения показывают, что метод функций Ляпунова позволяет не
только получить исчерпывающее заключение об устойчивости и неустойчивости движе-
ний, но и дает возможность сформировать полное представление о движениях системы
в окрестности особой точки. Важное значение при этом наряду с теоремами об устойчиво-
сти имеет свойство инвариантности, которое, собственно, и обеспечивает простейший вид
систем (4), (6), (7). В нелинейном случае преимущества, которые дает инвариантность,
обеспечивает использование метода дополнительных функций и, в частности, применение
в исследовании теоремы 5.
Таким образом, в настоящей работе решена задача максимального улучшения функции
со знакопостоянной производной, которое может позволить метод дополнительных фун-
кций. Как следует из теоремы 5, получаемая функция знакоопределена всюду в окрестно-
сти, кроме некоторого множества, которое является инвариантным. Функция с такими свой-
ствами производной обладает большими преимуществами. Во-первых, позволяет получить
новые теоремы об устойчивости и неустойчивости. В настоящей работе — это теорема 6
о неустойчивости. Во-вторых, возникает новое направление в исследованиях по устойчиво-
сти редукционного плана, связанное с продолжением изучения движений в инвариантном
множестве, что включает идеи частичной устойчивости.
Совместное применение метода функций Ляпунова, метода дополнительных функций
и теории инвариантности открывает путь к комплексному исследованию устойчивости:
выделению асимптотически устойчивых, устойчивых и неустойчивых движений в окре-
стности особой точки, что можно использовать в качестве классификации особых точек.
Частично это продемонстрировано на рассмотренных выше примерах.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1950. –
472 с. – То же. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. Т. 2. – Москва; Ленинград: Изд-во АН СССР,
1956. – 476 с.
2. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. – 4-е изд., испр. – Москва: Наука, 1990. – 176 с.
3. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. – 1952. –
86, № 3. – С. 453–456.
4. Красовский Н.Н. Об условиях обращения теорем А.М. Ляпунова о неустойчивости для стационарных
систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. – 1955. – 101, № 1. – С. 17–20.
5. Румянцев В. В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части пе-
ременных. – Москва: Наука, 1987. – 256 с.
6. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. – Москва: Мир,
1964. – 168 с.
7. Risito C. Sulla stabilita asintotica parziale // Ann. mat. pura ed appl. – 1970. – 84. – P. 279–292.
8. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для систем, удовле-
творяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72, вып. 2. –
С. 266–272.
9. Ковалев А.М., Суйков А.С. Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–
Красовского // Доп. НАН України. – 2008. – № 12. – С. 22–27.
10. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих условиям теоремы
Барбашина–Красовского // Пробл. управления и информатики. – 2008. – № 6. – С. 5–15.
11. Levi-Civita T., Amaldi U. Lezioni di Meccanica Razionale. – Bolonga: Zani-chelli, 1952. – Vol. 2. – 671 p.
12. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Механика
твердого тела. – Киев: Наук. думка, 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
Поступило в редакцию 21.05.2009Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.M. Kovalev
Solution of the instability problems with using the method of additional
functions
The problem of stability for the zero solution of an autonomous system of differential equations is
considered. A theorem concerning the construction of a function with a derivative of fixed sign or a
derivative of constant signs such that the set of its zero values is invariant is obtained. An instability
theorem for the case of the existence of the derivative of constant signs is proved. Illustrative
examples are considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 27
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18988 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:06:24Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ковалев, А.М. 2011-04-15T19:43:43Z 2011-04-15T19:43:43Z 2009 Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 21-27. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18988 531.36 Дослiджено задачу стiйкостi нульового розв’язку автономної системи диференцiальних рiвнянь. Встановлено теорему про побудову функцiї зi знаковизначеною похiдною або зi знакосталою похiдною, множина обернення якої в нуль є iнварiантною. Доведено теорему про нестiйкiсть у випадку iснування знакосталої похiдної. Розглянуто iлюстративнi приклади. The problem of stability for the zero solution of an autonomous system of differential equations is considered. A theorem concerning the construction of a function with a derivative of fixed sign or a derivative of constant signs such that the set of its zero values is invariant is obtained. An instability theorem for the case of the existence of the derivative of constant signs is proved. Illustrative examples are considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций Solution of the instability problems with using the method of additional functions Article published earlier |
| spellingShingle | Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций Ковалев, А.М. Математика |
| title | Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций |
| title_alt | Solution of the instability problems with using the method of additional functions |
| title_full | Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций |
| title_fullStr | Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций |
| title_full_unstemmed | Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций |
| title_short | Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций |
| title_sort | решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функций |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18988 |
| work_keys_str_mv | AT kovalevam rešeniezadačneustoičivostisispolʹzovaniemmetodadopolnitelʹnyhfunkcii AT kovalevam solutionoftheinstabilityproblemswithusingthemethodofadditionalfunctions |