Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин

Розглянуто задачу термопружностi для трансверсально-iзотропних пластин, що перебувають пiд дiєю зосереджених “плоских” джерел тепла. Використано рiвняння термопружностi {1,2}-апроксимацiї, якi враховують поперечнi зсувнi та нормальнi напруження. Чисельнi розрахунки присвяченi дослiдженню впливу тепл...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Бондаренко, Н.С., Гольцев, А.С., Шевченко, В.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2009
Теми:	Механіка
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18993
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев, В.П. Шевченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 46-52. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18993
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-189932025-02-09T10:04:28Z Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин A fundamental solution of {1,2}-approximation equations of a momentless thermoelastic state for transverse-isotropic plates Бондаренко, Н.С. Гольцев, А.С. Шевченко, В.П. Механіка Розглянуто задачу термопружностi для трансверсально-iзотропних пластин, що перебувають пiд дiєю зосереджених “плоских” джерел тепла. Використано рiвняння термопружностi {1,2}-апроксимацiї, якi враховують поперечнi зсувнi та нормальнi напруження. Чисельнi розрахунки присвяченi дослiдженню впливу теплових i термомеханiчних параметрiв трансверсально-iзотропних пластин на їх термопружний стан. A thermoelastic problem for transverse-isotropic plates which are under the action of concentrated “plane” heat sources is considered. The thermoelastic equations of {1,2}-approximation which take transversal shear and normal stresses into account are used. The calculations describe the influence of heat and thermomechanical characteristics of transverse-isotropic plates on their thermoelastic state. 2009 Article Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев, В.П. Шевченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 46-52. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18993 539.3 ru application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Бондаренко, Н.С. Гольцев, А.С. Шевченко, В.П. Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин
description	Розглянуто задачу термопружностi для трансверсально-iзотропних пластин, що перебувають пiд дiєю зосереджених “плоских” джерел тепла. Використано рiвняння термопружностi {1,2}-апроксимацiї, якi враховують поперечнi зсувнi та нормальнi напруження. Чисельнi розрахунки присвяченi дослiдженню впливу теплових i термомеханiчних параметрiв трансверсально-iзотропних пластин на їх термопружний стан.
format	Article
author	Бондаренко, Н.С. Гольцев, А.С. Шевченко, В.П.
author_facet	Бондаренко, Н.С. Гольцев, А.С. Шевченко, В.П.
author_sort	Бондаренко, Н.С.
title	Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин
title_short	Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин
title_full	Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин
title_fullStr	Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин
title_full_unstemmed	Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин
title_sort	фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Механіка
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18993
citation_txt	Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев, В.П. Шевченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 46-52. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT bondarenkons fundamentalʹnoerešenieuravnenij12approksimaciibezmomentnogotermouprugogosostoâniâtransversalʹnoizotropnyhplastin AT golʹcevas fundamentalʹnoerešenieuravnenij12approksimaciibezmomentnogotermouprugogosostoâniâtransversalʹnoizotropnyhplastin AT ševčenkovp fundamentalʹnoerešenieuravnenij12approksimaciibezmomentnogotermouprugogosostoâniâtransversalʹnoizotropnyhplastin AT bondarenkons afundamentalsolutionof12approximationequationsofamomentlessthermoelasticstatefortransverseisotropicplates AT golʹcevas afundamentalsolutionof12approximationequationsofamomentlessthermoelasticstatefortransverseisotropicplates AT ševčenkovp afundamentalsolutionof12approximationequationsofamomentlessthermoelasticstatefortransverseisotropicplates
first_indexed	2025-11-25T16:32:14Z
last_indexed	2025-11-25T16:32:14Z
_version_	1849780690946621440
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 11 • 2009 МЕХАНIКА УДК 539.3 © 2009 Н.С. Бондаренко, А. С. Гольцев, академик НАН Украины В.П. Шевченко Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин Розглянуто задачу термопружностi для трансверсально-iзотропних пластин, що пере- бувають пiд дiєю зосереджених “плоских” джерел тепла. Використано рiвняння термо- пружностi {1,2}-апроксимацiї, якi враховують поперечнi зсувнi та нормальнi напруже- ння. Чисельнi розрахунки присвяченi дослiдженню впливу теплових i термомеханiчних параметрiв трансверсально-iзотропних пластин на їх термопружний стан. Фундаментальное решение уравнений термоупругости имеет определенный механический смысл — это решение задачи о действии сосредоточенного температурного воздействия [1]. Для изотропных и ортотропных пластин эта задача решена лишь в рамках классической те- ории термоупругости тонких пластин, включающей плоскую задачу и изгиб [2, 3]. В данной работе впервые использованы уравнения {1,2}-аппроксимации для трансверсально-изотроп- ных пластин, описывающие безмоментное термоупругое состояние. Они учитывают все ком- поненты тензора напряжений, включая поперечные сдвиговые и нормальные напряжения. Постановка задачи. Рассмотрим трансверсально-изотропную пластину толщиной 2h, находящуюся в условиях конвективного теплообмена с внешней средой нулевой температу- ры. Пластина находится под воздействием источников тепла объемной плотности W0(x, y, z), распределение которых по толщине пластины описывается четной функцией. Рассмотрим случай симметричного теплообмена, когда величина параметров теплообмена на лицевых поверхностях пластины одинакова. Тогда в пластине возникнет лишь безмоментное термо- упругое состояние. Представим компоненты термоупругого состояния пластины в виде рядов по полиномам Лежандра от нормальной координаты z. В рамках {1,2}-аппроксимации для безмоментного термоупругого состояния компоненты вектора перемещений и тензора напряжений имеют следующий вид [4]: ux = uP0, uy = vP0, uz = w1P1; σx = Nx 2h P0 (x → y), 46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11 τxy = S 2h P0, τxz = 3Qx1 2h (P1 − P3) (x → y), σz = R0 2h (P0 − P2). Здесь u, v, w1 — обобщенные перемещения пластины, из которых u и v являются аналогами перемещений точек срединной поверхности пластины; Nx, Ny, S, Qx1, Qy1, R0 — обобщенные усилия, из которых Nx, Ny и S являются аналогами мембранных усилий; Pi (i = 0, 3) — полиномы Лежандра. Для температуры T в рассматриваемом случае остается лишь четная составляющая ее распределения по толщине пластины и она представима в виде T = T0P0, где T0 — коэф- фициент разложения температуры, который является ее интегральной характеристикой — средней температурой. Введем безразмерную систему координат (x1 = x/h, x2 = y/h, x3 = z/h). Тогда исходная система дифференциальных уравнений термоупругости {1,2}-аппроксимации, описываю- щая безмоментное термоупругое состояние, включает в себя следующие уравнения [4, 5]. 1. Уравнение теплопроводности 1-го приближения [5] λ λ′ ∆T0 − 3Bi Bi+ 3 T0 = −w00, ∆ = ∂2 ∂x2 1 + ∂2 ∂x2 2 , w00 = h2 2λ′ 1∫ −1 W0P0dx3, (1) где λ, λ′ — коэффициенты теплопроводности в плоскости изотропии и в направлении, пер- пендикулярном к ней; Bi = Bi± — критерий Био на лицевых поверхностях пластины x3 = ±1; w00 — плотность распределения “плоских” источников тепла, источников средней температуры. 2. Уравнения физического закона, в котором обобщенные усилия определены к величине Eh, а обобщенные перемещения — к величине h N1 = B0 { ∂u ∂x1 + ν ∂v ∂x2 − α(1 + ν)T0 } + λ0R0, N2 = B0 { ∂v ∂x2 + ν ∂u ∂x1 − α(1 + ν)T0 } + λ0R0, S = 1− ν 2 B0 { ∂u ∂x2 + ∂v ∂x1 } , Qj1 = Λ′ 0 ∂w1 ∂xj (j = 1, 2), R0 = Ω′ 0 { w1 + λ0 ( ∂u ∂x1 + ∂v ∂x2 ) − α(2λ0 + α∗)T0 } . (2) Здесь B0 = 2 1− ν2 , Λ′ 0 = 7 15 1 E/G′ , Ω′ 0 = 5 3 (1− ν)/E∗ 1− ν − 2(ν ′)2E∗ , λ0 = ν ′ 1− ν E∗, E∗ = E E′ , α∗ = α′ α , E, E′ — модули Юнга в плоскости изотропии и в перпендикулярной к ней плоскости; ν, ν ′ и α, α′ — коэффициенты Пуассона и коэффициенты линейного температурного расширения, соответствующие этим плоскостям; G′ — модуль сдвига в нормальной плоскости. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 47 3. Уравнения равновесия ∂N1 ∂x1 + ∂S ∂x2 = 0, ∂S ∂x1 + ∂N2 ∂x2 = 0, ∂Q11 ∂x1 + ∂Q21 ∂x2 −R0 = 0. (3) Подставляя уравнения физического закона (2) в уравнения равновесия (3), получим разрешающие уравнения в обобщенных перемещениях L0 j1u+ L0 j2v + L0 j3w1 = αC ∂T0 ∂xj (j = 1, 2), L0 31 u+ L0 32 v + L0 33 w1 = Ω′ 0 α(2λ0 + α∗)T0, (4) где операторы L0 11 , . . . , L0 33 имеют вид L0 11 = A ∂2 ∂x2 1 + 1− ν 2 B0 ∂2 ∂x2 2 , L0 12 = L0 21 = ( A+ ν − 1 2 B0 ) ∂2 ∂x1∂x2 , L0 13 = L0 31 = λ0Ω ′ 0 ∂ ∂x1 , L0 22 = 1− ν 2 B0 ∂2 ∂x2 1 +A ∂2 ∂x2 2 , L0 33 = Ω′ 0 − Λ′ 0∆, L0 23 = L0 32 = λ0Ω ′ 0 ∂ ∂x2 , A = B0 + λ2 0Ω ′ 0, C = B0(1 + ν) + λ0Ω ′ 0(2λ0 + α∗). В случае сосредоточенного температурного воздействия на тонкостенные элементы кон- струкций принимаем W0(x1, x2, x3) = W ∗ 0 δ(x1, x2)f(x3). (5) Здесь W ∗ 0 — размерная константа; δ(x1, x2) — двумерная дельта-функция Дирака; f(x3) — четная функция распределения объемных источников тепла по толщине элемента констру- кции, которая в рамках рассматриваемой аппроксимации равна единице. При решении задач о действии сосредоточенных температурных воздействий рассматри- вают локальное термоупругое состояние. Предполагаем, что рассматриваемое термоупругое состояние близко к нулю на линии внешней границы пластины. Справедливость данного предположения проверяется после решения задачи. В связи с этим пластину можно считать бесконечной и не учитывать граничные условия. Методика решения. Фундаментальное решение системы уравнений термоупругости получено с помощью двумерного интегрального преобразования Фурье. Решение уравнения теплопроводности (1) с учетом (5) в пространстве трансформант (ξ1, ξ2) имеет вид T̃0 = w∗ 00 2πλ∗ 1 p2 + ρ2 1 , p2 = ξ21 + ξ22 , ρ21 = 3Bi λ∗(Bi+ 3) , λ∗ = λ λ′ , (6) где w∗ 00 = h2W ∗ 0 /λ ′ — приведенная интенсивность “плоского” источника тепла. Система разрешающих уравнений (4) в пространстве трансформант записывается сле- дующим образом: ( Aξ21 + 1− ν 2 B0ξ 2 2 ) ũ+ ( A+ ν − 1 2 B0 ) ξ1ξ2ṽ + λ0Ω ′ 0iξ1w̃1 = αCiξ1T̃0, ( A+ ν − 1 2 B0 ) ξ1ξ2ũ+ ( 1− ν 2 B0ξ 2 1 +Aξ2 2 ) ṽ + λ0Ω ′ 0 iξ2w̃1 = αCiξ2T̃0, −λ0Ω ′ 0i(ξ1ũ+ ξ2ṽ) + (Ω′ 0 + Λ′ 0p 2)w̃1 = αΩ′ 0(2λ0 + α∗)T̃0. (7) 48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11 Решая систему линейных алгебраических уравнений (7) относительно искомых величин ũ, ṽ и w̃1 с учетом значения трансформанты температуры (6), найдем ũ = αw∗ 00 [ c11 iξ1 p2(p2 + d2) + c12 iξ1 p2(p2 + ρ2 1 ) ] , ṽ = αw∗ 00 [ c11 iξ2 p2(p2 + d2) + c12 iξ2 p2(p2 + ρ2 1 ) ] , w̃1 = αw∗ 00c21 ( 1 p2 + d2 − 1 p2 + ρ2 1 ) . Здесь c11 = C(b2 − d2) 2πλ∗Aq2 , c12 = C(ρ2 1 − b2) 2πλ∗Aq2 , c21 = d2β∗ 2πλ∗q2 ; d2 = B0Ω ′ 0 AΛ′ 0 , b2 = (1 + ν) A C d2, β∗ = λ0(1− ν) + α∗, q2 = ρ21 − d2. Применяя двумерное интегральное преобразование Фурье к уравнениям физического закона (2) и заменяя T̃0 его значением (6), получим выражения для трансформант обоб- щенных усилий Ñ1 = −αw∗ 00 (1− ν)B0 [ c11 ξ2 2 p2(p2 + d2) + c12 ξ2 2 p2(p2 + ρ2 1 ) ] , Ñ2 = −αw∗ 00 (1− ν)B0 [ c11 ξ2 1 p2(p2 + d2) + c12 ξ2 1 p2(p2 + ρ2 1 ) ] , S̃ = αw∗ 00(1− ν)B0 [ c11 ξ1ξ2 p2(p2 + d2) + c12 ξ1ξ2 p2(p2 + ρ2 1 ) ] , Q̃j1 = −αw∗ 00Λ ′ 0c21 ( iξj p2 + d2 − iξj p2 + ρ2 1 ) (j = 1, 2), R̃0 = αw∗ 00Λ ′ 0c21 ( d2 p2 + d2 − ρ2 1 p2 + ρ2 1 ) . Решение в пространстве оригиналов найдем, применяя методику обращения, основан- ную на использовании специальной функции Gn,ν(z) [6]. Все искомые величины переведем в полярную систему координат (r, ϕ). Тогда обобщенные перемещения и усилия примут следующий вид: ur = −αw∗ 00 r 2 [c11G1,0(dr) + c12G1,0(ρ1r)], uϕ = 0; w1 = αw∗ 00 c21[G0,0(dr)−G0,0(ρ1r)]; Nr,ϕ = − 1 2 αw∗ 00(1− ν)B0{[c11G0,0(dr) + c12G0,0(ρ1r)]∓ ∓ [c11G1,1(dr) + c12G1,1(ρ1r)]}, Srϕ = 0; Qr1 = −αw∗ 00Λ ′ 0c21 r 2 [d2G1,0(dr)− ρ21G1,0(ρ1r)], Qϕ1 = 0; R0 = αw∗ 00Λ ′ 0c21[d 2G0,0(dr)− ρ21G0,0(ρ1r)]. (8) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 49 Рис. 1 Из формул (8) следует, что в трансверсально-изотропной пластине под действием со- средоточенного “плоского” источника тепла при симметричном теплообмене возникает осе- симметричное термоупругое состояние, как и в изотропных пластинах при аналогичных условиях. Учитывая свойства специальной G-функции при \|z\| → 0 [6], получим формулы асим- птотического поведения решения ur ≈ − αw∗ 00 C 4πλ∗A r ln r, w1 ≈ const; Nr,ϕ ≈ αw∗ 00 (1− ν)B0C 4πλ∗A ln r, Qr1 ≈ αw∗ 00 Λ′ 0 d2β∗ 4πλ∗ r ln r, R0 ≈ αw∗ 00 Λ′ 0 d2β∗ 2πλ∗ ln r, (9) которые для Nr и Nϕ аналогичны асимптотическим зависимостям для мембранных усилий в изотропных пластинах в случае плоской задачи [2]. Анализ результатов численных исследований. Численные расчеты проведены для трех видов материала пластины: трансверсально-изотропного (E∗ = 5; ν = 0,3; ν ′ = 0,07; α∗ = 10); изотропного по тепловым свойствам (E∗ = 5; ν = 0,3; ν ′ = 0,07; λ∗ = 1; α∗ = 1); изотропного (E∗ = 1; E/G′ = 2,6; ν = ν ′ = 0,3; λ∗ = 1; α∗ = 1). Результаты исследований в виде графиков изменения обобщенных перемещений и усилий от радиальной координаты r приведены на рис. 1–3. Графики на рис. 1, 2 демонстрируют зависимость компонент термоупругого состояния от теплофизических параметров (E/G′ = 40). Кривые 1, 2, 3 на этих рисунках соответству- ют следующим значениям параметра относительной теплопроводности в плоскости изотро- пии λ∗: 1/2; 1; 2. Значения параметра теплообмена Bi брались такими: Bi = 0,1 — пунктир- ная линия; Bi = 0,01 — сплошная линия (рис. 1); Bi = 0,001 — сплошная линия (рис. 2). Штриховой линией показаны результаты расчетов для материала, изотропного по тепло- вым свойствам, при Bi = 0,01 на рис. 1, б и при Bi = 0,001 на рис. 2, б. Из рис. 1, 2 следует, что термоупругое состояние трансверсально-изотропной пластины существенно зависит от теплофизических параметров λ∗, Bi и α∗. С увеличением λ∗ и Bi компоненты термоупругого состояния убывают по абсолютной величине. Для параметра α∗ наблюдается обратная зависимость. На рис. 3 представлена зависимость трансверсальных обобщенных усилий от параметра сдвиговой податливости E/G′ при λ∗ = 1/2, Bi = 0,001. Кривые 1, 2, 3 отвечают следую- 50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11 Рис. 2 Рис. 3 щим значениям параметра E/G′: 40; 80; 120; штриховая линия соответствует изотропному материалу (Bi = 0,001). Из графиков на рис. 3 следует, что параметр сдвиговой податливости оказывает влияние на поперечные касательные и нормальные напряжения. С его увеличением обобщенные усилия R0 и Qr1 убывают по абсолютной величине. Проведенные оценочные расчеты показали, что поперечные касательные напряжения могут достичь уровня допускаемых напряжений при температурном воздействии большой интенсивности. Поэтому расчет анизотропных тонкостенных элементов конструкций, нахо- дящихся под действием интенсивных сосредоточенных и локальных температурных нагру- зок, необходимо проводить по уточненным теориям. 1. Шевченко В.П. Методы фундаментальных решений в теории ортотропных оболочек // Концентра- ция напряжений / Под ред. А.Н. Гузя, А.С. Космодамианского, В.П. Шевченко. – Киев: А.С. К., 1998. – 387 с. (Механика композитов: В 12 т. Т. 7). – С. 159–196. 2. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках. – Киев: Наук. думка, 1972. – 308 с. 3. Гольцев А.С. Термоупругое состояние ортотропных пластин под действием сосредоточенных исто- чников тепла при произвольном теплообмене // Вiсн. Донецьк. ун-ту. Сер. А. Природн. науки. – 2000. – Вип. 1. – С. 36–40. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 51 4. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напря- жений. – Киев: Наук. думка, 1982. – 296 с. 5. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек. – Киев: Наук. думка, 1980. – 216 с. 6. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Смешанные задачи теории пластин и оболочек: Уч. пособие. – Донецк: Изд-во Донецк. гос. ун-та, 1980. – 128 с. Поступило в редакцию 10.03.2009Донецкий национальный университет N. S. Bondarenko, A. S. Goltsev, Academician of the NAS of Ukraine V.P. Shevchenko A fundamental solution of {1,2}-approximation equations of a momentless thermoelastic state for transverse-isotropic plates A thermoelastic problem for transverse-isotropic plates which are under the action of concentrated “plane” heat sources is considered. The thermoelastic equations of {1,2}-approximation which take transversal shear and normal stresses into account are used. The calculations describe the influence of heat and thermomechanical characteristics of transverse-isotropic plates on their thermoelastic state. 52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11

Фундаментальное решение уравнений {1,2}-аппроксимации безмоментного термоупругого состояния трансверсально-изотропных пластин

Репозитарії

Схожі ресурси