О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины
Пропонується чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження вiльних коливань тонких конiчних ортотропних оболонок змiнної товщини, який базується на сплайн-апроксимацiї невiдомих функцiй. Розрахунки виконано для рiзних типiв граничних умов. Дослiджено вплив змiнної товщини на характер поведiнки динамiч...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18995 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины / А.Я. Григоренко, С.А. Мальцев // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 60-66. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859912216971575296 |
|---|---|
| author | Григоренко, А.Я. Мальцев, С.А. |
| author_facet | Григоренко, А.Я. Мальцев, С.А. |
| citation_txt | О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины / А.Я. Григоренко, С.А. Мальцев // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 60-66. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Пропонується чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження вiльних коливань тонких конiчних ортотропних оболонок змiнної товщини, який базується на сплайн-апроксимацiї невiдомих функцiй. Розрахунки виконано для рiзних типiв граничних умов. Дослiджено вплив змiнної товщини на характер поведiнки динамiчних характеристик.
The paper considers free vibrations of thin orthotropic conical shells with variable thickness basing on the method of spline-approximation of unknown functions. Calculations were carried out for different types of boundary conditions. The influence of the variable thickness of shells on free vibrations is studied. Free vibrations of shells with constant and variable thicknesses are compared.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:03:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
А.Я. Григоренко, С.А. Мальцев
О свободных колебаниях ортотропных конических
оболочек переменной в двух направлениях толщины
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
Пропонується чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження вiльних коливань тонких
конiчних ортотропних оболонок змiнної товщини, який базується на сплайн-апрокси-
мацiї невiдомих функцiй. Розрахунки виконано для рiзних типiв граничних умов. Дослi-
джено вплив змiнної товщини на характер поведiнки динамiчних характеристик.
Исследование ортотропных конических оболочек переменной толщины представляет боль-
шой научный интерес благодаря широкому применению данного класса оболочек в качест-
ве составных элементов различных конструкций. Одним из важных аспектов обеспечения
прочности отмеченных упругих тел является получение информации об их свободных ко-
лебаниях.
Решение задачи о свободных колебаниях конической оболочки переменной толщины
сопряжено со значительными трудностями вычислительного характера. Авторы предлага-
ют эффективную численную методику решения данного класса задач. Исходная система
дифференциальных уравнений в частных производных с помощью сплайн-аппроксимации
и метода коллокации сводится к краевой задаче на собственные значения для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученная система решается устойчивым
численным методом дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового пои-
ска [1, 2]. Такой подход для решения ряда динамических и статических задач был применен
в [3–6]. В данной работе на основе предложенной численной методики проводится иссле-
дование свободных колебаний тонких замкнутых ортотропных конических оболочек пере-
менной в окружном и меридиональном направлениях толщины при различных граничных
условиях.
Исходные соотношения. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях тонкой орто-
тропной конической оболочки переменной толщины h(s, θ) в криволинейной ортогональной
системе координат (s, θ), где s — длина дуги меридиана; θ — центральный угол в парал-
лельном круге.
Согласно теории тонких оболочек Кирхгофа–Лява, уравнения, описывающие свободные
колебания конических оболочек, будут иметь вид [3]:
∂
∂s
(rNs) +
∂S
∂θ
− cosϕNθ = rρh
∂2u(s, θ)
∂t2
;
∂Nθ
∂θ
+
∂
∂s
(rS) + cosϕS + sinϕ
(
Qθ +
∂H
∂s
)
= rρh
∂2v(s, θ)
∂t2
;
∂
∂s
(rQs) +
∂Qθ
∂θ
− sinϕNθ = rρh
∂2w(s, θ)
∂t2
; (1)
∂
∂s
(rMs) +
∂H
∂θ
− cosϕMθ − rQs = 0;
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
∂
∂s
(rH) +
∂Mθ
∂θ
+ cosϕH − rQθ = 0,
где ϕ — угол, образованный нормалью к координатной поверхности и осью вращения; r —
радиус параллельного круга; t — время; u, v, w — перемещения точек срединной поверхно-
сти; ρ — плотность материала; ω — частота свободных колебаний оболочки.
Связь между деформациями и перемещениями:
εs =
∂u
∂s
; εθ =
1
r
∂v
∂θ
+
cosϕ
r
u+
sinϕ
r
w; εsθ =
1
r
∂u
∂θ
+
∂v
∂s
− cosϕ
r
v;
χs = −∂
2w
∂s2
; χθ = − 1
r2
∂2w
∂θ2
− cosϕ
r
∂w
∂s
; χsθ =
cosϕ
r2
∂w
∂θ
− 1
r
∂2w
∂s∂θ
.
(2)
Для нормальных и сдвигающих усилий Ns, Nθ и S, сгибающих и крутильных момен-
тов Ms, Mθ и H при условии ортотропного материала справедливы такие соотношения:
Ns = C11εs + C12εθ; Nθ = C12εs + C22εθ; S = C66εsθ;
Ms = D11χs +D12χθ; Mθ = D12χs +D22χθ; H = 2D66χsθ.
(3)
Жесткостные коэффициенты оболочки задаются формулами:
C11 =
Esθh
1− νsθνθs
; C12 =
Esθνθsh
1− νsθνθs
; C22 =
Eθsh
1− νsθνθs
; C66 = Gsθh;
D11=
Esθh
3
12(1 − νsθνθs)
; D12=
Esθνθsh
3
12(1 − νsθνθs)
; D22=
Eθsh
3
12(1 − νsθνθs)
; D66=
Gsθh
3
12
.
(4)
Здесь Esθ, Eθs, νsθ, νθs — модули упругости и коэффициенты Пуассона вдоль соответству-
ющих направлений жесткости; Gsθ — модуль сдвига.
В случае малых гармонических колебаний функции перемещений могут представлены
в виде:
u(s, θ, t) = u(s, θ)eiωt; v(s, θ, t) = v(s, θ)eiωt; w(s, θ, t) = w(s, θ)eiωt.
С учетом этого из системы уравнений (1)–(3) получим три эквивалентных дифференци-
альных уравнения относительно трех перемещений u, v и w точек срединной поверхности
оболочки [3, 4]:
∂2u
∂θ2
= Fu
(
u,
∂u
∂s
,
∂2u
∂s2
,
∂u
∂θ
, v,
∂v
∂s
,
∂v
∂θ
,
∂2v
∂s∂θ
,w,
∂w
∂s
, ω
)
;
∂2v
∂θ2
= Fv
(
u,
∂u
∂s
,
∂u
∂θ
,
∂2u
∂s∂θ
, v,
∂v
∂s
,
∂v
∂θ
,
∂2v
∂s2
, w,
∂w
∂s
,
∂w
∂θ
,
∂2w
∂s2
,
∂2w
∂θ2
,
∂2w
∂s∂θ
,
∂3w
∂s2∂θ
,
∂3w
∂θ3
, ω
)
;
∂4w
∂θ4
= Fw
(
u,
∂u
∂s
,
∂v
∂θ
,w,
∂w
∂s
,
∂w
∂θ
,
∂2w
∂s2
,
∂2w
∂θ2
,
∂2w
∂s∂θ
,
∂3w
∂s3
,
∂3w
∂θ3
,
∂3w
∂s∂θ2
,
∂3w
∂s2∂θ
,
∂4w
∂s4
,
∂4w
∂s2∂θ2
, ω
)
,
(5)
где Fu, Fv, Fw — линейные дифференциальные операторы.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 61
На контурах s = s0, sa задаются следующие граничные условия, которые определяются
через перемещения:
1) жесткое закрепление контуров
u = v = w =
∂w
∂s
, при s = s0, sa; (6)
2) шарнирное опирание контуров
∂u
∂s
= v = w =
∂2w
∂s2
, при s = s0, sa. (7)
На контурах θ = 0, π задаются условия симметрии:
∂u
∂θ
= v =
∂w
∂θ
=
∂3w
∂θ3
, при θ = 0, π. (8)
Методика решения. Решение системы уравнений (5) будем искать в виде:
u =
N
∑
i=0
ui(θ)ϕi(s), v =
N
∑
i=0
vi(θ)χi(s), w =
N
∑
i=0
wi(θ)ψi(s), (9)
где ui(θ), vi(θ), wi(θ) (i = 0, . . . , N) — искомые функции; ϕi(s), χi(s) — функции, постро-
енные с помощью В-сплайнов третьей степени (N > 4); ψi(s) — функции, построенные
с помощью В-сплайнов пятой степени (N > 6). Выбор функций ϕi(s), χi(s), ψi(s) обу-
словлен требованиями удовлетворить граничные условия (6), (7) при s = const с помощью
линейных комбинаций В-сплайнов 3-й и 5-й степеней соответственно [1].
Подставив (9) в уравнения (5), будем требовать, чтобы они удовлетворялись в задан-
ных точках коллокации ξk ∈ [sa, sb], k = 0, . . . , N . В случае четного числа узлов сетки
(N = 2n + 1, n > 3) и при условии, что узлы коллокации удовлетворяют требованиям
ξ2i ∈ [s2i, s2i+1], ξ2i+1 ∈ [s2i, s2i+1], (i = 0, . . . , N), на отрезке [s2i, s2i+1] имеем два узла кол-
локации, а на соседних отрезках [s2i+1, s2i+2] узлы коллокации отсутствуют. На каждом
из отрезков s2i, s2i+1 точки коллокации выбираются следующим образом: ξ2i = s2i + z1h,
ξ2i+1 = s2i + z2h, (i = 0, . . . , N), где h — шаг сетки; z1, z2 — корни полинома Лежандра
второго порядка на отрезке [0, 1], которые равняются: z1 = 1/2 −
√
3/6 и z2 = 1/2 +
√
3/6.
Такой выбор точек коллокации является оптимальным и существенно повышает порядок
точности аппроксимации. После всех преобразований получим систему 8(N + 1) линейных
дифференциальных уравнений относительно ui, vi, wi. Если ввести обозначения
Φl = [ϕ
(l)
i (ξk)], Xl = [χ
(l)
i (ξk)], Ψl = [ψ
(l)
i (ξk)],
i, k = 0, . . . , N, l = 0, . . . , 2, m = 0, . . . , 4;
uT = {u0, . . . , uN}, vT = {v0, . . . , vN}, wT = {w0, . . . , wN};
aT1r = {a1r(θ, ξ0), . . . , a1r(θ, ξN )}, r = 1, . . . , 10;
aT2r = {a2r(θ, ξ0), . . . , a2r(θ, ξN )}, r = 1, . . . , 16;
aT3r = {a3r(θ, ξ0), . . . , a3r(θ, ξN )}, r = 1, . . . , 15;
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
aT111 = {a111(θ, ξ0, ω), . . . , a111(θ, ξN , ω)};
aT217 = {a217(θ, ξ0, ω), . . . , a217(θ, ξN , ω)};
aT316 = {a316(θ, ξ0, ω), . . . , a316(θ, ξN , ω)},
а также для матрицы A = [aij], (i, j = 0, . . . , N), и вектора c = {c0, . . . , cN} обозначить через
c · A матрицу [ci · aij ], то система дифференциальных уравнений запишется в виде:
u′′ = Φ−1
0 {(a12 · Φ2 + a13 · Φ1 + a14 · Φ0 + a111 · Φ0)u+ (a11 · Φ0)u
′ +
+ (a17 ·X1 + a18 ·X0)v + (a15 ·X1 + a16 ·X0)v
′ + (a19 ·Ψ1 + a110 ·Ψ0)w},
v′′ = X−1
0 {(a23 · Φ1 + a24 · Φ0)u+ (a21 · Φ1 + a22 · Φ0)u
′ +
+ (a26 ·X2 + a27 ·X1 + a28 ·X0 + a217 ·X0)v + (a25 ·X0)v
′ +
+ (a214 ·Ψ2+ a215 ·Ψ1+ a216 ·Ψ0)w+ (a211 ·Ψ2+ a212 ·Ψ1+ a213 ·Ψ0)w
′+
+ (a210 ·Ψ0)w
′′ + (a29 ·Ψ0)w
′′′},
wIV =Ψ−1
0 {(a31 · Φ1+a32 · Φ0)u+(a33 ·X0)v
′+(a311 ·Ψ4+a312 ·Ψ3+a313 ·Ψ2+
+ a314 ·Ψ1 + a315 ·Ψ0 + a316 ·Ψ0)w + (a38 ·Ψ2 + a39 ·Ψ1 + a310 ·Ψ0)w
′ +
+ (a35 ·Ψ2 + a36 ·Ψ1 + a37 ·Ψ0)w
′′ + (a34 ·Ψ0)w
′′′},
(10)
где u
(k)
i = u
(k)
i (θ, ξi), v
(k)
i = v
(k)
i (θ, ξi), w
(l)
i = w
(l)
i (θ, ξi), k = 0, . . . , 1, l = 0, . . . , 3, i = 0, . . . , N .
Полученную систему (10) обыкновенных дифференциальных уравнений можно приве-
сти к нормальному виду
dY
dθ
= A(θ, ω)Y (0 6 θ 6 b), (11)
где Y
T
= {u0, . . . , uN , u0′, . . . , uN ′, v0, . . . , vN , v0
′, . . . , vN
′, w0, . . . , wN , w0
′, . . . , wN
′, w0
′′, . . .,
wN
′′, w0
′′′, . . . , wN
′′′}; A(θ, ω) — квадратная матрица порядка 8(N + 1) × 8(N + 1).
Граничные условия (8) для системы (11) можно записать в виде
B1Y (0) = 0, B2Y (b) = 0. (12)
Задача на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений (11) с граничными условиями (12) решалась методом дискретной ортогонализации
в сочетании с методом пошагового поиска [1, 8].
Решение задачи. Анализ результатов. Упругие характеристики материала исследу-
емых оболочек соответствуют характеристикам волокнистого стеклопластика VM1: Esθ =
= 4,76 · 1010 Па, Eθs = 2,07 · 1010 Па, Gsθ = 5,31 · 109 Па, νsθ = 0,149, νθs = 0,065,
ρ = 1880 кг/м3.
Расчеты, проведенные по методу сплайн-коллокации при разном количестве точек кол-
локации, практически совпадают (N = 10, N = 12, N = 14). Данные расчетов приведены
для N = 12.
Проверка достоверности получаемых результатов осуществлялась путем сравнения ча-
стот свободных колебаний цилиндрической оболочки c частотами близких к ней конических
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 63
оболочек эквивалентной массы. При условии шарнирного опирания торцов искомые фун-
кции перемещений замкнутой цилиндрической оболочки могут быть представлены в виде
u =
∑
i
∑
j
Aij cos
mπs
L
cosnθeiωt,
v =
∑
i
∑
j
Bij sin
mπs
L
sinnθeiωt,
w =
∑
i
∑
j
Cij sin
mπs
L
cosnθeiωt.
(13)
Здесь m, n — число полуволн в соответствующем направлении; L — длина образующей;
R — радиус срединной поверхности оболочки.
Такое представление дает возможность получения аналитического решения для случая
изгибных форм колебаний цилиндрической оболочки [9]. Аналитическое решение сравни-
валось с численными решениями, полученными для цилиндрической и близкой к ней кони-
ческой оболочки эквивалентной массы c помощью метода сплайн-коллокации.
Результаты расчетов приведены в табл. 1. Цилиндрической оболочке соответствуют сле-
дующие геометрические параметры: L = 0,2 м, R = 0,1 м, h = 0,004 м. Геометрические
свойства конической оболочки: L = 0,2 м; R1 = 0,09 м; R2 = 0,11 м; h = 0,004 м. Здесь h —
толщина оболочки; R1, R2 — радиусы торцевых поверхностей конической оболочки. В та-
блице введены обозначения: А — задача решалась для случая цилиндрической оболочки
с помощью аналитического подхода (13); B — задача решалась для случая цилиндрической
оболочки с помощью предложенной численной методики; С — задача решалась для случая
конической оболочки.
Отклонения от аналитических значений частот не превышают 0,15% для цилиндри-
ческой оболочки и 0,5% — для конической, что свидетельствует о достаточной точности
применяемого численного метода.
На основании предлагаемой методики были исследованы свободные колебания замкну-
тых конических ортотропных оболочек, жестко закрепленных на торцах с переменной
в окружном и меридиональном направлениях толщиной со следующими геометрически-
ми параметрами: R1 = 0,05 м, R2 = 0,15 м, L = 0,2 м, где L — длина образующей; R1, R2 —
радиусы торцевых поверхностей.
Толщина исследуемых оболочек изменялась по следующему закону:
h = h0(1 + α1 cos θ)
(
1 + α2
(
2(s − s0)
sa − s0
− 1
))
, (14)
где 0,0 6 |α1| 6 0,5; −0,4 6 α2 6 0,4; h0 — толщина оболочки постоянной толщины и экви-
валентной массы (в расчетах h0 = 0,004 м). Результаты расчетов собственных частот ука-
Таблица 1
ωi, Гц A B C
ω1 1333,0 1331,1 1326,4
ω2 1334,9 1333,0 1329,0
ω3 1712,5 1711,1 1706,0
ω4 1875,7 1874,5 1864,8
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
занных выше конических оболочек с соответствующими граничными условиями для раз-
личных значений параметров α1, α2 представлены в табл. 2, 3. В табл. 2 приведены первые
частоты свободных колебаний конических оболочек, в табл. 3 — вторые.
На основании данных табл. 2, 3 можно проследить характер различия значений соб-
ственных частот конических оболочек с переменной толщиной относительно оболочек
с постоянной толщиной. Различие значений частот возрастает при увеличении парамет-
ров α1 и α2. При этом для первой частоты свободных колебаний характерно умень-
шение значений частот с увеличением значения параметра α1, для меридионального
направления картина противоположная — большему значению параметра α2 соответ-
ствуют бо́льшие значения частот. Для спектра вторых частот собственных колебаний
картина более сложная. При значениях 0 6 α1 6 0,2 значения частот возрастают.
При дальнейшем увеличении значения параметра α1 соответствующие частоты умень-
шаются.
На рис. 1 представлена зависимость значений третьей частоты свободных колебаний
оболочек эквивалентной массы от параметра изменения толщины в окружном направле-
нии α1 для различных значений параметра α2.
Аналогичные данные для четвертой частоты свободных колебаний исследуемых оболо-
чек приведены на рис. 2.
На этих рисунках видна зависимость распределения частот свободных колебаний от
различного характера изменения толщины в окружном и меридиональном направлении:
для более высоких частот характерна более сложная зависимость от параметров измене-
ния толщины. Таким образом за счет незначительных изменений в геометрии поверхно-
сти конических оболочек можно добиться существенного влияния на распределение частот
свободных колебаний.
Таблица 2
ω1, Гц
α1
α2
−0,4 −0,2 0,0 0,2 0,4
0,0 1353,2 1361,0 1439,0 1550,9 1755,3
0,1 1342,3 1350,4 1426,0 1531,9 1715,3
0,2 1313,6 1322,7 1394,7 1492,6 1659,7
0,3 1272,3 1283,9 1352,3 1442,7 1594,4
0,4 1221,0 1235,4 1300,5 1383,5 1519,6
0,5 1160,4 1177,3 1238,4 1313,8 1434,0
Таблица 3
ω2, Гц
α1
α2
−0, 4 −0, 2 0,0 0,2 0,4
0,0 1474,3 1439,9 1500,7 1596,0 1765,5
0,1 1473,8 1441,5 1504,7 1604,9 1791,9
0,2 1467,4 1441,0 1508,2 1613,0 1805,1
0,3 1448,8 1431,8 1502,3 1609,1 1797,2
0,4 1416,3 1409,5 1483,0 1588,8 1766,1
0,5 1368,7 1371,6 1446,9 1549,4 1711,4
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 65
Рис. 1 Рис. 2
1. Григоренко Я.М., Мукоєд А.П. Розв’язання лiнiйних i нелiнiйних задач теорiї оболонок на ЕОМ. –
Київ: Либiдь, 1992. – 152 с.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Ю.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – Москва: Наука,
1980. – 352 с.
3. Григоренко Я.М., Авраменко О.А. Исследование напряженно-деформированного состояния замкну-
тых нетонких ортотропных конических оболочек переменной толщины // Прикл. механика. – 2008. –
44, № 6. – С. 46–58.
4. Григоренко Я.М., Яремченко С.Н. Анализ влияния параметров ортотропии на перемещения и напря-
жения в нетонких цилиндрических оболочках с эллиптическим поперечным сечением // Там же. –
2007. – 43, № 6. – С. 82–92.
5. Григоренко А.Я., Яремченко Н.П. О напряженно-деформированном состоянии прямоугольных в пла-
не пологих оболочек переменной толщины в уточненной постановке // Там же. – № 10. – С. 80–91.
6. Будак В.Д., Григоренко А.Я., Пузырев С.В. Решение задачи о свободных колебаниях прямоугольных
в плане пологих оболочек переменной толщины // Там же. – № 4. – С. 89–98.
7. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек. Т. 4. Теория оболочек переменной жес-
ткости. – Киев: Наук. думка, 1981. – 544 с.
8. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания эле-
ментов оболочечных конструкций. – Киев: Наук. думка, 1986. – 171 с.
9. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в трех томах/ Под ред. И.А. Биргера, Я. Г. Па-
новко. – Москва: Машиностроение, 1968. – Т. 3. – 567 с.
Поступило в редакцию 20.02.2009Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
A.Ya. Grigorenko, S.A. Maltsev
About free vibrations of orthotropic conical shells with thickness
variable in two directions
The paper considers free vibrations of thin orthotropic conical shells with variable thickness basing
on the method of spline-approximation of unknown functions. Calculations were carried out for
different types of boundary conditions. The influence of the variable thickness of shells on free
vibrations is studied. Free vibrations of shells with constant and variable thicknesses are compared.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18995 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:03:23Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, А.Я. Мальцев, С.А. 2011-04-15T20:37:42Z 2011-04-15T20:37:42Z 2009 О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины / А.Я. Григоренко, С.А. Мальцев // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 60-66. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18995 539.3 Пропонується чисельно-аналiтичний пiдхiд для дослiдження вiльних коливань тонких конiчних ортотропних оболонок змiнної товщини, який базується на сплайн-апроксимацiї невiдомих функцiй. Розрахунки виконано для рiзних типiв граничних умов. Дослiджено вплив змiнної товщини на характер поведiнки динамiчних характеристик. The paper considers free vibrations of thin orthotropic conical shells with variable thickness basing on the method of spline-approximation of unknown functions. Calculations were carried out for different types of boundary conditions. The influence of the variable thickness of shells on free vibrations is studied. Free vibrations of shells with constant and variable thicknesses are compared. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины About free vibrations of orthotropic conical shells with thickness variable in two directions Article published earlier |
| spellingShingle | О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины Григоренко, А.Я. Мальцев, С.А. Механіка |
| title | О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины |
| title_alt | About free vibrations of orthotropic conical shells with thickness variable in two directions |
| title_full | О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины |
| title_fullStr | О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины |
| title_full_unstemmed | О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины |
| title_short | О свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины |
| title_sort | о свободных колебаниях ортотропных конических оболочек переменной в двух направлениях толщины |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18995 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkoaâ osvobodnyhkolebaniâhortotropnyhkoničeskihoboločekperemennoivdvuhnapravleniâhtolŝiny AT malʹcevsa osvobodnyhkolebaniâhortotropnyhkoničeskihoboločekperemennoivdvuhnapravleniâhtolŝiny AT grigorenkoaâ aboutfreevibrationsoforthotropicconicalshellswiththicknessvariableintwodirections AT malʹcevsa aboutfreevibrationsoforthotropicconicalshellswiththicknessvariableintwodirections |