Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин
Cистема рiвнянь планарних коливань п’єзоелектричних пластин в прямокутних i полярних координатах з електродованими лицьовими площинами зведена до операторної гамiльтонової форми за однiєю з просторових координат. У випадку гармонiчних неосесиметричних коливань при заданому електричному потенцiалi од...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18996 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 67-71. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860128802375467008 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. |
| author_facet | Шульга, М.О. |
| citation_txt | Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 67-71. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Cистема рiвнянь планарних коливань п’єзоелектричних пластин в прямокутних i полярних координатах з електродованими лицьовими площинами зведена до операторної гамiльтонової форми за однiєю з просторових координат. У випадку гармонiчних неосесиметричних коливань при заданому електричному потенцiалi одержанi неоднорiднi гамiльтоновi канонiчнi системи за радiальною координатою для кожної радiальної амплiтуди.
A system of equations for planar vibrations of piezoelectric plates with the electroded facial surfaces in rectangular and polar coordinates is reduced to the operator form for one of the spatial coordinates. In the case of harmonic non-axisymmetric vibrations at the given electric potential, the Hamilton (canonical) systems in a radial coordinate for every radial amplitude are got.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:43:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3:537.228.1
© 2009
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Застосування гамiльтонового формалiзму в теорiї
коливань п’єзоелектричних пластин
Cистема рiвнянь планарних коливань п’єзоелектричних пластин в прямокутних i по-
лярних координатах з електродованими лицьовими площинами зведена до операторної
гамiльтонової форми за однiєю з просторових координат. У випадку гармонiчних не-
осесиметричних коливань при заданому електричному потенцiалi одержанi неоднорiднi
гамiльтоновi канонiчнi системи за радiальною координатою для кожної радiальної ам-
плiтуди.
Змiшану систему рiвнянь теорiї пружностi одного типу в прямокутних координатах в ро-
ботi [4] вперше було подано в операторнiй гамiльтоновiй формi. Цей факт має фундамен-
тальне значення в теорiї поширення хвиль в неоднорiдно-перiодичних середовищах [4–6].
У цилiндричних координатах такi перетворення бiльш складнi i були здiйсненi в роботi [1]
та iнших наукових роботах [6].
Нижче гамiльтонiв формалiзм застосовано до рiвнянь планарних коливань п’єзоеле-
ктричних пластин з товщинною поляризацiєю. Докладно розглянуто випадок неосесиме-
тричних гармонiчних коливань пiд дiєю електричної напруги.
Тонку пластину постiйної товщини h вiднесемо до декартової прямокутної системи ко-
ординат xyz, площина z = 0 якої є серединною площиною пластини. Матерiал пластини
належить до гексагональної системи класу 6mm з вiссю симетрiї шостого порядку z або
має властивостi п’єзокерамiки з товщинною поляризацiєю.
Нехай пластина з електродованими лицьовими площинами z = ±h/2 перебуває в умовах
плоского напруженого стану σzz = σxz = σyz = 0. Тодi матерiальним залежностям можна
надати [2, 3] вигляду
σxx =
1
(1− ν2E)s
E
11
(
∂u
∂x
+ νE
∂v
∂y
− (1 + νE)d13Ez
)
,
σyy =
1
(1− ν2E)s
E
11
(
νE
∂u
∂x
+
∂v
∂y
− (1 + νE)d13Ez
)
,
σxy =
1
2(1 + νE)sE11
(
∂u
∂y
+
∂v
∂x
)
,
(1)
в яких врахованi формули Кошi для деформацiй.
Механiчнi напруження σxx(x, y, t), σyy(x, y, t), σxy(x, y, t) i перемiщення u(x, y, t), v(x, y, t)
задовольняють рiвняння коливань
∂σxx
∂x
+
∂σxy
∂y
= ρ
∂2u
∂t2
,
∂σxy
∂x
+
∂σyy
∂y
= ρ
∂2v
∂t2
.
(2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 67
У спiввiдношеннях (1), (2) sE11, s
E
12 — модулi податливостi; ν = −sE12/s
E
11, d13 — п’єзоелектри-
чний модуль; ρ — густина матерiалу.
Перетворимо рiвняння (1), (2) до операторної гамiльтонової системи, вибравши основ-
ними невiдомими функцiями u, v, σxx, σxy, якi повиннi бути неперервними на площадках
x = const. Одержимо
∂σxx
∂x
= ρ
∂2u
∂t2
−
∂σxy
∂y
,
∂v
∂x
= −
∂u
∂y
+ 2(1 + vE)s
E
11σxy,
∂u
∂x
= (1− v2E)s
E
11σxx − vE
∂v
∂y
+ (1 + vE)d13Ez,
∂σxy
∂x
= −vE
∂σxx
∂y
−
1
sE
11
∂2v
∂y2
+ ρ
∂2v
∂t2
+
d13
sE
11
∂Ez
∂y
.
(3)
П’яте з рiвнянь (1), (2) дозволяє визначити механiчне напруження
σyy = −vEσxx −
1
sE
11
∂v
∂y
+
d13
sE
11
Ez (4)
через розв’язуючi функцiї σxx, v, u, σxy.
Якщо ввести вектори
q̂ =
[
q̂1
q̂2
]
=
[
σxx
v
]
, p̂ =
[
p̂1
p̂2
]
=
[
u
σxy
]
(5)
i симетричнi операторнi матрицi
Q̂
(
∂
∂y
,
∂
∂t
)
, P̂
(
∂
∂y
,
∂
∂t
)
з елементами
Q̂11 = ρ
∂2
∂t2
, Q̂12 = Q̂21 = −
∂
∂y
, Q̂22 = 2(1 + vE)s
E
11,
P̂11 = −(1− v2E)s
E
11, P̂12 = P̂21 = vE
∂
∂y
, P̂22 =
1
sE
11
∂2
∂y2
− ρ
∂2
∂t2
,
(6)
то систему можна записати у виглядi
∂q̂i
∂x
= Q̂ikp̂k,
∂p̂i
∂x
= −P̂ikq̂k +
(
δi1(1 + vE) + δi2
1
sE
11
∂
∂y
)
d13Ez. (7)
Система (7) є неоднорiдною операторною гамiльтоновою системою по координатi x
∂q̂i
∂x
=
∂Ĥ
∂p̂i
,
∂p̂i
∂x
= −
∂Ĥ
∂q̂i
+
(
δi1(1 + vE) + δi2
1
sE
11
∂
∂y
)
d13Ez
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
з операторною функцiєю Гамiльтона
Ĥ =
1
2
q̂TP̂q̂+
1
2
p̂TQ̂p̂.
Складнiша реалiзацiя гамiльтонового формалiзму у випадку полярних координат [1], коли
механiчнi напруження σrr(r, θ, t), σθθ(r, θ, t), σrθ(r, θ, t) i перемiщення ur(r, θ, t), uθ(r, θ, t)
задовольняють рiвняння
∂σrr
∂r
+
σrr − σθθ
r
+
1
r
∂σrθ
∂θ
= ρ
∂2ur
∂t2
,
∂σrθ
∂r
+
2
r
σrθ +
1
r
∂σθθ
∂θ
= ρ
∂2uθ
∂t2
(8)
i матерiальнi залежностi
σrr =
1
(1− ν2E)s
E
11
(
∂ur
∂r
+ νE
(
1
r
∂uθ
∂θ
+
ur
r
)
− (1 + νE)d13Ez
)
,
σθθ =
1
(1− ν2E)s
E
11
(
νE
∂ur
∂r
+
1
r
∂uθ
∂θ
+
ur
r
− (1 + νE)d13Ez
)
,
σrθ =
1
2(1 + νE)sE11
(
∂uθ
∂r
−
uθ
r
+
1
r
∂ur
∂θ
)
,
(9)
в яких врахованi формули Кошi для деформацiй.
Перетворимо рiвняння (8), (9), вибравши основними невiдомими функцiї ur, uθ, rσrr,
rσrθ. Одержимо
∂(rσrr)
∂r
=
νE
r
(rσrr) +
1
sE
11
1
r
∂uθ
∂θ
+ rρ
∂2ur
∂t2
+
1
sE
11
ur
r
−
1
r
∂(rσrθ)
∂θ
−
d13
sE
11
Ez,
∂uθ
∂r
=
uθ
r
−
1
r
∂ur
∂θ
+ 2(1 + νE)s
E
11
rσrθ
r
,
∂ur
∂r
= (1− ν2E)s
E
11
rσrr
r
−
νE
r
∂uθ
∂θ
− νE
ur
r
+ (1 + νE)d13Ez,
∂(rσrθ)
∂r
= −
νE
r
∂(rσrr)
∂θ
+ rρ
∂2uθ
∂t2
−
1
sE
11
1
r
∂uθ
∂θ
−
1
sE
11
1
r
∂ur
∂θ
−
rσrθ
r
+
d13
sE
11
∂Ez
∂θ
.
(10)
П’яте з рiвнянь (8), (9) служить для визначення механiчного напруження
σθθ = νEσrr +
1
sE
11
(
1
r
∂uθ
∂θ
+
ur
r
)
−
d13
sE
11
Ez (11)
через розв’язуючi функцiї rσrr, uθ, ur i електричну напруженiсть Ez.
Введемо вектори
q̂ =
[
q̂1
q̂2
]
=
[
rσrr
uθ
]
, p̂ =
[
p̂1
p̂2
]
=
[
ur
rσrθ
]
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 69
i операторнi матрицi
R̂
(
r,
∂
∂θ
,
∂
∂t
)
, Q̂
(
r,
∂
∂θ
,
∂
∂t
)
, P̂
(
r,
∂
∂θ
,
∂
∂t
)
,
двi останнi з яких симетричнi, з ненульовими елементами
R̂11 =
vE
r
, R̂12 =
1
sE
11
∂
∂θ
, R̂22 =
1
r
,
Q̂11 = rρ
∂2
∂t2
+
1
sE
11
r
, Q̂12 = Q̂21 = −
1
r
∂
∂θ
, Q̂22 = 2(1 + vE)
sE
11
r
,
P̂11 = −(1− v2E)
sE
11
r
, P̂12 = P̂21 =
vE
r
∂
∂θ
, P̂22 = −rρ
∂2
∂t2
+
1
sE
11
r
∂
∂θ
.
(12)
З їх допомогою систему (10) запишемо в матричнiй формi
∂q̂i
∂r
= R̂ik q̂k + Q̂ikp̂k − δi1
d13
sE
11
Ez,
∂p̂i
∂r
= −P̂ik q̂k − R̂kip̂k +
(
δi1(1 + vE)d13 + δi2
d13
sE
11
∂
∂θ
)
Ez.
(13)
Система (13) є неоднорiдною операторною гамiльтоновою системою по координатi r
∂q̂i
∂r
=
∂Ĥ
∂p̂i
− δi1
d13
sE
11
Ez,
∂p̂i
∂x
= −
∂Ĥ
∂q̂i
+
(
δi1(1 + vE)d13 + δi2
d13
sE
11
∂
∂θ
)
Ez
(14)
з операторною функцiєю Гамiльтона
Ĥ =
1
2
q̂TP̂q̂+ p̂TR̂q̂+
1
2
p̂TQ̂p̂. (15)
Виконаємо в системi (10) граничний перехiд до прямокутних координат. Зробимо з цiєю
метою в системi (10) замiну змiнних r = R + x, Rθ = y. Якщо перше i четверте рiвняння
системи (10) помножити на R i потiм в усiх рiвняннях перейти до границi R → ∞, то
система (10) пiсля цих операцiй повнiстю збiгається з системою (3).
Розглянемо випадок неосесиметричних гармонiчних коливань f(r, θ, t) = Re fa(r, θ) ×
× exp iωt i покладемо
rσa
rr = −Rc00
∑
m
q1m(r) sinmθ, uar = R
∑
m
p1m(r) sinmθ,
uaθ = R
∑
m
q2m(r) cosmθ, rσa
rθ = Rc00
∑
m
p2m(r) cosmθ.
(16)
Тодi при кусково-сталому електричному потенцiалi
Ea
z = V0h
−1
∑
m
Em sinmθ
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №11
та ω = ωRρ00/c00, sEik = sEikc00, r = Rr операторна система (14) переходить в злiченну
множину канонiчних гамiльтонових неоднорiдних систем по просторовiй координатi r
dqim
dr
=
∂Hm
∂pim
− δi1
d31V0
sE
11
h
Ezm,
dpim
dr
= −
∂Hm
∂qim
+ δi1(1 + vE)d13
V0
h
Ezm
(17)
з функцiями Гамiльтона
Hm =
1
2
qimPikmqkm + pimRikmqkm +
1
2
pimQikmpkm. (18)
Ненульовi елементи матриць Rikm, Pikm, Qikm набувають таких значень:
R11m =
vE
r
, R12m =
m
sE
11
r
, R22m =
1
r
,
Q11m = ρω2r −
1
sE
11
r
, Q12m = Q21m = −
m
r
, Q22m =
2(1 + vE)s
E
11
r
,
P11m =
(1− v2E)s
E
11
r
, P12m = P21m = −
mvE
r
, P22m = −ρω2r −
m2
sE
11
r
.
(19)
Рiвняння (18) замикаються вiдповiдними граничними умовами при r = r0 i r = r1; при
r = r0 = 0 на розв’язок треба накласти умови обмеженостi в точцi r = 0.
1. Шульга В.М. До розв’язку рiвнянь теорiї пружностi в цилiндричних координатах // Доп. НАН
України. – 1998. – № 6. – С. 80–82.
2. Шульга М.О. До теорiї електромеханiчних неосесиметричних коливань п’єзокерамiчних пластин з
товщинною поляризацiєю // Системнi технологiї. – 2007. – Вип. 4 (51). – С. 39–43.
3. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 2008. – 270 с.
4. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – Киев: Наук. думка, 1981. –
200 с.
5. Шульга Н.А. Распространение упругих волн в периодически-неоднородных средах // Прикл. меха-
ника. – 2003. – 39, № 7. – С. 15–56.
6. Шульга Н.А. Распространение связанных волн в периодически-неоднородных средах при взаимодей-
ствии с электромагнитным полем // Там же. – № 10. – С. 38–68.
Надiйшло до редакцiї 19.02.2009Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shul’ga
Application of the Hamilton formalism to the theory of vibrations of
piezoelectric plates
A system of equations for planar vibrations of piezoelectric plates with the electroded facial surfaces
in rectangular and polar coordinates is reduced to the operator form for one of the spatial coordi-
nates. In the case of harmonic non-axisymmetric vibrations at the given electric potential, the
Hamilton (canonical) systems in a radial coordinate for every radial amplitude are got.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №11 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18996 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:43:36Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. 2011-04-15T20:42:21Z 2011-04-15T20:42:21Z 2009 Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2009. — № 11. — С. 67-71. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18996 539.3:537.228.1 Cистема рiвнянь планарних коливань п’єзоелектричних пластин в прямокутних i полярних координатах з електродованими лицьовими площинами зведена до операторної гамiльтонової форми за однiєю з просторових координат. У випадку гармонiчних неосесиметричних коливань при заданому електричному потенцiалi одержанi неоднорiднi гамiльтоновi канонiчнi системи за радiальною координатою для кожної радiальної амплiтуди. A system of equations for planar vibrations of piezoelectric plates with the electroded facial surfaces in rectangular and polar coordinates is reduced to the operator form for one of the spatial coordinates. In the case of harmonic non-axisymmetric vibrations at the given electric potential, the Hamilton (canonical) systems in a radial coordinate for every radial amplitude are got. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин Application of the Hamilton formalism to the theory of vibrations of piezoelectric plates Article published earlier |
| spellingShingle | Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин Шульга, М.О. Механіка |
| title | Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин |
| title_alt | Application of the Hamilton formalism to the theory of vibrations of piezoelectric plates |
| title_full | Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин |
| title_fullStr | Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин |
| title_full_unstemmed | Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин |
| title_short | Застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин |
| title_sort | застосування гамільтонового формалізму в теорії коливань п'єзоелектричних пластин |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18996 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo zastosuvannâgamílʹtonovogoformalízmuvteorííkolivanʹpêzoelektričnihplastin AT šulʹgamo applicationofthehamiltonformalismtothetheoryofvibrationsofpiezoelectricplates |