Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики
У роботі приведено чисельний метод, заснований на комбінації методів Ейлера-Коши і Абарбанеля і Цваса, для вирішення нестаціонарних рівнянь газової динаміки. Проведено його тестування шляхом виконання розрахунку різних задач для випадку ідеальної і в'язкої рідини. Результати тестування показали...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Физико-технические проблемы горного производства |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190017 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики/ А.П. Смирнов // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 8. — С. 121-128. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860023436147949568 |
|---|---|
| author | Смирнов, А.П. |
| author_facet | Смирнов, А.П. |
| citation_txt | Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики/ А.П. Смирнов // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 8. — С. 121-128. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Физико-технические проблемы горного производства |
| description | У роботі приведено чисельний метод, заснований на комбінації методів Ейлера-Коши і Абарбанеля і Цваса, для вирішення нестаціонарних рівнянь газової динаміки. Проведено його тестування шляхом виконання розрахунку різних задач для випадку ідеальної і в'язкої рідини. Результати тестування показали, що метод разом з відносно простим алгоритмом рішення володіє хорошою стійкістю, що говорить про доцільність його використовування для вирішення задач з області газової динаміки.
A numerical method based on combination of the Euler-Coshy, Abarbanel, and Schwass methods is presented for the solution of nonstationary equations of gas dynamics. The method was tested by solving various problems for the cases of ideal or viscous fluids. Results of testing had shown that the method is very stable and has a simple solution algorithm, which makes it useful for solution of problems in the field of gas dynamics.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:48:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 532:539.3
П Р И М Е Н Е Н И Е П О Л У Н Е Я В Н О Г О Ч И С Л ЕН Н О Г О М Е ТО Д А
Э Й Л Е Р А -К О Ш И -А Б А Р Б А Н Е Л Я И Ц ЕА СА ДЛ Я РЕШ Е Н И Я
Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й ГА ЗО В О Й Д И Н А М И К И
инж. С м ирнов А .П . (Институт импульсных процессов и технологий И АН
Украины, г. Николаев)
У робот / приведено чисельний метод, засновании на комбьнаци методов
1 ш ера-Коиш I Абарбанеля / Цваса, для вирииення нестационарных ршнянь газо-
401 динахики. Проведено його тестування иияхом виконання розрахунку рХзнм
задач для випадку идеально)' / в ’язкоХ рХдини. Результаты тестування показали,
що метод разом з вздносно простим алгоритмом рХшення володХе хорошею
бттюстю, що говорить про доцхльтсть його використовування для вирш ення
задач з облает / газовоХ динамгки.
А Р Р П С А Т К Ж О Г ТН Е Е 11Е Е К -С 08Н У -А В А К В А Х Е Е АХИ
8 С Н \У А 8 8 1МРБ1С1Т Ш М Е Ш С А Е М Е ТН О О ГОК 8 0 Ш Т Ю М ОЕ
] \ ( Ж 8 Т А Т К Ж А К У Е(21ЛАГКЖ 8 О Р С А 8 О У ^ М 1 С 8
8 ш1гпоу А.Р.
А п и те п с а 1 те1Ьо<1 Ьазеё оп с о тЫ п а й о п оГ 1Ье Еи1ег-СозЬу, АЬагЬапе!, апё
ХсЬтуазз те й ю й з 15 ргезегДей Гог 1Ье зо1ипоп оГ попзСабопагу ериабопз оГ §аз йу-
вагшез. ТЬе тетЬоё \уаз 1ез1ес1 Ьу з о 1у т § уапоиз р го Ы етз Гог Ше сазез оГ 1Йеа1 ог
у|5соиз Яшёз. Ке$икз оГ 1езбп§ Нас) зЬо\уп 1Ьа1Йге та й го й 15 уегу з1аЫе апй Ьаз а
тр 1е зо!и1юп а 1§о п 1Ь т \уЫсЬ т а к е з к изеГи1 Гог зо1иИоп оГ р го Ы етз 111Иге бе1й
оГ§аз Йупагшсз.
В ведение.
В процессе эксплуатации добывающих скважин производительность
их постепенно снижается. Это связано с появлением в призабойной зоне и
на фильтре скважины различного рода отложений, что уменьшает их про
ницаемость. Для повышения производительности пцименяется электрораз-
рядная технология, при которой высоковольтный разряд в жидкости явля
ется источником акустических импульсов, воздействующих на призабой
ную зону скважины. Для реализации этой технологии применяются элек-
I Поразрядные скважинные устройства.
При рассмотрении вопросов, связанных с очисткой поверхности
(будь-то кольматация пор призабойной зоны в скважине или загрязнение
внутренней поверхности трубы от накопившихся на ней различного рода
отложений) с помощью создания волны давления в жидкости, нас в пер
вую очередь интересует не поведение ядра потока жидкости, а характери
стики жидкости в пограничном слое (слое жидкости, расположенном око
ло загрязненной поверхности). П одробно рассмотрев этот слой, исследовав
процессы происходящие в нем, возникающие напряжения и их влияние на
Прогноз и управление состоянием горного массива
121
отрыв частиц загрязняющего слоя, можно будет выдвинуть рекомендации
по выбору характеристик падающей волны давления для более эффектив
ной декольматации или очистки.
Решение данного рода задач возможно с условием использования
численных методов расчета. Все методы, которые можно использовать при
решении задач подобного рода, можно разбить на две большие группы:
явные и неявные [ 1 , 2 ]. Явные методы позволяют определить искомый па
раметр на следующем временном слое, используя данные предыдущего
временного слоя. В неявных методах для определения искомого параметра
помимо данных с предыдущих временных слоев необходимы и значения с
определяемого слоя. Из всего вышесказанного видно, что явные методы
имеют более простой алгоритм, и их решение с применением вычисли
тельной техники есть менее трудоемкий процесс. Их недостатком является
условная устойчивость. Неявные методы более устойчивы, в то же время
их алгоритм решения и схема - сложнее. В данной работе представлена
схема полунеявного метода, которая представляет собой компромисс меж
ду явными и неявными схемами.
Прогноз и управление состоянием горного массива
В качестве метода решения был принят метод предиктор - корректор
- корректор (М етод Эйлера-Коши с уточнением по методу Абарбанеля и
Цваса).
Схема данного метода состоит из трех шагов: 1 - 2 шаг - метод Эй
лера-Коши; 3 шаг уточнение по методу Абарбанеля и Цваса [3].
На первом шаге определяется начальное приближение решения по
методу Эйлера, для уравнений типа — = используя полученные из
дх
уравнений ( 1) разностные схемы:
Второй шаг: исходя из результата полученного на первом шаге, на
ходится:
, , / , ( хпУ>) + / , +Л х 1+1 ,У 1+,)
У м = У 1 + Ь • (
Третий шаг: находится окончательное решение, исходя из результата
на 2-ом шаге, при использовании метода Абарбанеля и Цваса
Для случая невязкой жидкости устойчивость схемы определяется
исходя из уравнения:
М етод реш ения.
( I )
УМ = У, + к / , +\(хм ,У^х)-
122
Прогноз и управление состоянием горного массива
с/1 = гшп(А, ■
Ах
- Л -
Ду
(4)
л/2 (|м| + с) ' л/2 (|у[ + с)
где Ах и Ду - шаг по оси х и оси у соответственно; к. - коэффициент запаса.
Устойчивость схемы для вязкой жидкости определяется согласно
следующему выражению 12 ]:
ск< к г (4$) л
(5)
К е.
гДе ( а ' ) к ф л А
М Г11'- + — + с
1 1 1
М
1 К)
К -1)]
- критерий Куранта
Ат А у Ас
Фридрихса-Леви для невязкой жидкости;
Ке д=пип(Ке йх, К с Ау, Ке ^ - минимальное сеточное число Рей
нольдса, и
р\и + а с. | Ат ̂ р\ у + а с |Ду о р\\у + ас | А:
^ е д.т -■ К еД1. - -
Р Р
ас=0,001с\ с - скорость звука в среде.
О сновны е уравнения.
В данной работе выполнено тестирование представленного метода на
основании решения уравнений Навье-Стокса для двумерного случая [1]:
Эд дР дС
— + — + — = 0 ,
д( дх ду
(6)
где ц =
~ Р ~ ри р у
ри
■,Р =
р и 3 + р - г„ -,с = р у и -т ^
р у р и \’-т „ рУ2 + Р -* у у
Е (Е + р - т хх)и - тхуу + (2х (Е + Р -т у>,)у -т хуи + ()у_
напряжение в уравнениях импульса:
г „ = 2 (р + р Т ) ^ \ {р + р т )й - ~ рк ,с ;
дх 3 3
ду 2
г = 2 ( р + р Г) — - - ( р + р г ) 0 - - р к и ;
ду 3
*ху = ( Р + Р т ) Ь г + ^ду дх
123
Прогноз и управление состоянием горного массива
У равнение состояния
Е = р [ е + (и 2 + у 2 ) / 2 ] , (7)
где е - удельная внутренняя энергия,
Е = [ р ~ Со ( р - Р о )] < \р {к - 1) ] .
Результаты тестирования для невязкой ж идкости.
Для невязкой (идеальной жидкости) принималось условие, что ко
эффициент динамической вязкости р в системе уравнений (6 ) равен 0 , по
токи тепла отсутствуют. Граничные условия ставились на внутренней и
внешней границах расчетной области.
На внутренней границе расчетной области параметры определялись,
исходя из:
Р = Р„, ( 8 )
(9)
Ра Р о + В
где Р ,,- амплитуда волны давления; 6=304,5 МПа.
На внешних границах расчетной области должно соблюдаться условие:
о , (10)
где г„ - нормальная составляющая вектора скорости жидкости.
Расчеты проведены для режима двумерного случая распространения
волны давления в пространстве размером 1 м на 1м, заполненного невязкой
жидкостью. Расчетная схема приведена на рис.1 Расчетные условия: на
чальное давление - 6 0 = 1 0 0 0 0 0 Па; амплитуда волны давления - Л ,= 107 Па;
пцофиль волны давления - ступенька; распространение волны вдоль оси X.
Для решения использовался пакет программирования Вог1апс1 Ое1рЫ 6 .
Было выполнено решение системы уравнений по методу Эйлера-
Коши (результаты показаны на рис. 2) и по методу Эйлера-Коши с уточне
нием результатов по методу Абарбанеля и Цваса (результаты показаны на
рис. 3) с жесткой, противоположной входной, границей. Коэффициент за
паса кг для первого случая был равен 0,5, для второго - 0,95. Как видно из
полученных результатов, уточнение по методу Абарбанеля убирает нефи
зические колебания и повышает устойчивость схемы.
Также решались тестовые задачи при разных граничных условиях:
противоположная входной граница - свободная; распространение волны
давления вдоль оси V , профиль волны давления П-образный. Амплитуда
волны давления для каждого случая рассматривалась ь интервале от 2 * 10 5
Па до 900* 106 Па. Результаты расчета были удовлетворительными.
124
V,
м
/
V
Прогноз и управление состоянием горного массива
Рис. I. Расчетная схема для случая идеальной жидкости.
Рис. 2. Скорость движения жидкости: решение по методу Эйлера-
Коши, противоположная граница - жесткая, профиль волны - ступенька.
125
Прогноз и управление состоянием горного массива
0 , 6 -
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
о
о 0 ,0 0 0 5 0 ,001 0 ,001 5 0 ,0 0 2 0 ,0 0 2 5
I , С
Рис. 3. Скорость движения жидкости: решение по методу Эйлера-
Коши с уточнением по методу Абарбанеля и Цваса, противоположная гра
ница - жесткая, профиль волны - ступенька.
Результаты тестирования для вязкой ж идкости.
Расчет проводился для двух видов течения: Нуазейля и Куэтта.
Принимались следующ ие условия:
- дилатация равна 0 ;
- турбулентная вязкость равна 0 ;
- потоки тепла отсутствуют.
Течение Куэтта возникает между двумя бесконечно длинными пла
стинами в случае, когда одна из них мгновенно начинает движение с по
стоянной скоростью относительно другой - неподвижной Боковые грани
цы — свободная поверхность. Скорость движения нижней границы принята
в расчетах 1 м/с, верхняя граница — жесткая, то есть и=0, у=0. Расстояние
между пластинами - 0,001 м. Для этих условий получено семейство кри
вых, показывающих развитие установившегося течения между параллель
ными пластинами из состояния покоя при их относительном движении
(семейство кривых отношения скорости течения жидкости к максимальной
скорости для различных координат представлено на рис.4). Было проведе
но сравнение полученных результатов с теоретическими данными [4]
(сравнение их представлено на рис.5).
Течение Пуазейля вызывается приложенным градиентом давления.
Верхняя и нижняя границы приняты жесткими. Перепад давления принят
равным 1 Па на длине 0,001 м, расстояние между верхней и нижней грани
цей 0,001 м. Расчетные данные профилей скоростей в различные моменты
времени для 10 и 20 точек по диаметру представлены на рис.6 . Результаты
показали хорош ую сходимость данной расчетной схемы.
126
Прогноз и управление состоянием горного массива
о 0,2 0,4 0,6 0,8 1
у Ю
Рис. 4. Развитие из состояния покоя установившегося течения между
параллельными пластинами (начальный этап;: крайняя левая - 3,9 мс,
крайняя правая - 2 0 мс.
у ю
Рис. 5. График сравнения полученных результатов с теоретическими
данными: 1 . 2 - расчет по данной схеме и расчет [4] при 1=3,9 мс; 3,4 - при
1 15,5 мс.
127
Прогноз 11 управление состоянием горного массива
у гг
Рис. 6 . Профили скоростей течения в трубе, вызванного градиентом
давления на моменты времени: 3 мс, 12,45 мс, 17 мс, 24.9 мс, 27 мс снизу
вверх соответст венно для двух режимов расчета: — ■ — 10 расчетных то
чек по диаметру; — ♦ — 2 0 расчетных точек по диаметру.
Вы вод.
Результаты работы показали целесообразность применения полуне-
явного метода, основанного на комбинации методов Эйлера-Коши и Абар
банеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики,
как для невязкой, так и для вязкой жидкости. К его достоинствам можно
отнести хорош ую устойчивость и сходимость, а также относительную про-
стот) алгоритма решения.
С Н И С О К Л И Т Е РА Т У РЫ
1. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.:
Т .2 .-М . Мир, 1 9 9 1 .-5 5 2 с.
2. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеха
ника и теплообмен: В 2-х т.: Т.2. — М.: Мир, 1990. — 384 с.
3. Пирунов У .Г. Численные методы. - М . Дрофа, 2004. — 224 с.
4 . Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. - М.: Мир, 1973. - 760 с.
128
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190017 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2664-1771 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:48:29Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут фізики гірничих процесів НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Смирнов, А.П. 2023-05-17T13:37:15Z 2023-05-17T13:37:15Z 2005 Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики/ А.П. Смирнов // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 8. — С. 121-128. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 2664-1771 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190017 532:539.3 У роботі приведено чисельний метод, заснований на комбінації методів Ейлера-Коши і Абарбанеля і Цваса, для вирішення нестаціонарних рівнянь газової динаміки. Проведено його тестування шляхом виконання розрахунку різних задач для випадку ідеальної і в'язкої рідини. Результати тестування показали, що метод разом з відносно простим алгоритмом рішення володіє хорошою стійкістю, що говорить про доцільність його використовування для вирішення задач з області газової динаміки. A numerical method based on combination of the Euler-Coshy, Abarbanel, and Schwass methods is presented for the solution of nonstationary equations of gas dynamics. The method was tested by solving various problems for the cases of ideal or viscous fluids. Results of testing had shown that the method is very stable and has a simple solution algorithm, which makes it useful for solution of problems in the field of gas dynamics. ru Інститут фізики гірничих процесів НАН України Физико-технические проблемы горного производства Прогноз и управление состоянием горного массива Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики Application of the Euler-Coshy-Abarbanel and Schwass implicit numerical method for solution of nonstationary equations of gas dynamics Article published earlier |
| spellingShingle | Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики Смирнов, А.П. Прогноз и управление состоянием горного массива |
| title | Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики |
| title_alt | Application of the Euler-Coshy-Abarbanel and Schwass implicit numerical method for solution of nonstationary equations of gas dynamics |
| title_full | Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики |
| title_fullStr | Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики |
| title_full_unstemmed | Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики |
| title_short | Применение полунеявного численного метода Эйлера-Коши-Абарбанеля и Цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики |
| title_sort | применение полунеявного численного метода эйлера-коши-абарбанеля и цваса для решения нестационарных уравнений газовой динамики |
| topic | Прогноз и управление состоянием горного массива |
| topic_facet | Прогноз и управление состоянием горного массива |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190017 |
| work_keys_str_mv | AT smirnovap primeneniepoluneâvnogočislennogometodaéilerakošiabarbanelâicvasadlârešeniânestacionarnyhuravneniigazovoidinamiki AT smirnovap applicationoftheeulercoshyabarbanelandschwassimplicitnumericalmethodforsolutionofnonstationaryequationsofgasdynamics |