Чебишовське наближення функцій багатьох змінних
Запропоновано метод побудови чебишовського наближення функцій багатьох змінних узагальненим поліномом як граничного наближення у нормі простору Lᵖ для p → ∞. Він ґрунтується на послідовній побудові середньостепеневих наближень з використанням методу найменших квадратів зі змінною ваговою функцією. З...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2020 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2020
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190348 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Чебишовське наближення функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, Р.П. Малачівський, О.М. Уханська // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 138–146. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860101950912069632 |
|---|---|
| author | Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Малачівський, Р.П. Уханська, О.М. |
| author_facet | Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Малачівський, Р.П. Уханська, О.М. |
| citation_txt | Чебишовське наближення функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, Р.П. Малачівський, О.М. Уханська // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 138–146. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано метод побудови чебишовського наближення функцій багатьох змінних узагальненим поліномом як граничного наближення у нормі простору Lᵖ для p → ∞. Він ґрунтується на послідовній побудові середньостепеневих наближень з використанням методу найменших квадратів зі змінною ваговою функцією. Збіжність методу забезпечує оригінальний спосіб послідовного уточнення значень вагової функції, який враховує результати наближення на всіх попередніх ітераціях. Описано способи обчислення чебишовського наближення з абсолютною та відносною похибкою. Подані результати розв’язування тестових прикладів підтверджують ефективність використання методу для отримання чебишовського наближення таблично заданих неперервних функцій однієї, двох і трьох змінних.
Предложен метод построения чебышевского приближения функций многих переменных обобщенным полиномом как предельного приближения в норме пространства Lᵖ при p → ∞. Он основывается на последовательном построении среднестепенных приближений с использованием метода наименьших квадратов с переменной весовой функцией. Сходимость метода обеспечивает оригинальный способ последовательного уточнения значений весовой функции, учитывающий результаты приближения на всех предыдущих итерациях. Описаны способы вычисления чебышевского приближения с абсолютной и относительной погрешностью. Представленные результаты решения тестовых примеров подтверждают эффективность использования метода для получения чебышевского приближения таблично заданных непрерывных функций одной, двух и трех переменных.
The algorithm of uniform approximation for functions of several variables with generalized polynomial is described as approximation in norm of space Lᵖ for p → ∞. It is based on sequential construction of power-average approximations using the least squares method with variable weight function. The convergence of the method provides an original way to consistently refine the values of the weight function, which takes into account the results of approximation at all previous iterations. Methods of calculating the Chebyshevapproximation with absolute and relative errors are described. The results of testexamples confirm the efficiency of using the method to obtain the Chebyshevapproximation of tabular continuous functions of one, two, and three variables.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:29:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.65
Ï.Ñ. ÌÀËÀײÂÑÜÊÈÉ, ß.Â. ϲÇÞÐ, Ð.Ï. ÌÀËÀײÂÑÜÊÈÉ, Î.Ì. ÓÕÀÍÑÜÊÀ
×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÅ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÔÓÍÊÖ²É ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ
ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì ÿê ãðàíè÷íîãî íàáëèæåí-
íÿ ó íîðì³ ïðîñòîðó L p äëÿ p � �. Â³í ´ðóíòóºòüñÿ íà ïîñë³äîâí³é ïîáóäîâ³
ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü ç âèêîðèñòàííÿì ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
ç³ çì³ííîþ âàãîâîþ ôóíêö³ºþ. Çá³æí³ñòü ìåòîäó çàáåçïå÷óº îðèã³íàëüíèé
ñïîñ³á ïîñë³äîâíîãî óòî÷íåííÿ çíà÷åíü âàãîâî¿ ôóíêö³¿, ÿêèé âðàõîâóº ðå-
çóëüòàòè íàáëèæåííÿ íà âñ³õ ïîïåðåäí³õ ³òåðàö³ÿõ. Îïèñàíî ñïîñîáè îá÷èñ-
ëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ç àáñîëþòíîþ òà â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ. Ïî-
äàí³ ðåçóëüòàòè ðîçâ’ÿçóâàííÿ òåñòîâèõ ïðèêëàä³â ï³äòâåðäæóþòü åôåê-
òèâí³ñòü âèêîðèñòàííÿ ìåòîäó äëÿ îòðèìàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ
òàáëè÷íî çàäàíèõ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é îäí³º¿, äâîõ ³ òðüîõ çì³ííèõ.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ, ÷åáèøîâñüêå (ð³âíîì³ðíå) íàáëè-
æåííÿ, ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ, ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â, çì³ííà
âàãîâà ôóíêö³ÿ.
ÂÑÒÓÏ. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀײ
Íåõàé íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ n çì³ííèõ f X( ) , äå âåêòîð X x x xn� {( , , , )}1 2 �
T ,
çàäàíà íà ìíîæèí³ òî÷îê � �
� �
{ }, ,
,
xi j i j
n si
0 0
. Öþ ôóíêö³þ íåîáõ³äíî íàáëèçèòè
âèðàçîì F a Xm ( ; ) , äå F a Xm ( ; ) — óçàãàëüíåíèé ïîë³íîì
F a X a Xm i i
i
m
( ; ) ( )�
�
� �
0
(1)
çà ñèñòåìîþ ë³í³éíî íåçàëåæíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é � i X( ) , i m� 0, , äå ai ,
i m� 0, — íåâ³äîì³ ïàðàìåòðè: { }a Ai i
m
�
�
0
, A R m� 1, R m — m-âèì³ðíèé âåê-
òîðíèé ïðîñò³ð. Âèðàç F a Xm ( ; )* íàçèâàòèìåìî ÷åáèøîâñüêèì íàáëèæåííÿì
ôóíêö³¿ f X( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � , ÿêùî â³í çàäîâîëüíÿº óìîâó
max | ( ) ( ; ) | min max | ( ) ( ; ) |*
X
m
a A X
mf X F a X f X F a X
� � �
�
� �
. (2)
×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ âèêîðèñòîâóþòü ïðè
ðîçâ’ÿçóâàíí³ ð³çíèõ ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì, çîêðåìà, ï³ä ÷àñ ïðîåêòóâàííÿ
òåõí³÷íèõ çàñîá³â äëÿ âèì³ðþâàííÿ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí, çíà÷åííÿ ÿêèõ çàëåæèòü
â³ä ê³ëüêîõ ³íôîðìàö³éíèõ ñèãíàë³â [1, 2].
Äëÿ ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ
çäåá³ëüøîãî âèêîðèñòîâóþòü òðè ñïîñîáè: ìåòîäè îïòèì³çàö³¿, ïîñë³äîâíîãî îá÷èñ-
ëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ çà êîæíîþ çì³ííîþ òà ³òåðàö³éí³ àëãîðèòìè òèïó
Ðåìåçà [3, 4]. Ó ïðàö³ [5] çàïðîïîíîâàíî ïîêðàùåíèé àëãîðèòì ïîáóäîâè ÷åáèøîâ-
ñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì, ÿêèé ïîëÿãàº
â ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ç óðàõóâàííÿì îñîáëèâîñòåé
ð³âíîì³ðíîãî íàáëèæåííÿ. Îãëÿä àëãîðèòì³â îá÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåí-
íÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ ³ íàÿâíèõ ïðîãðàìíèõ ðåàë³çàö³é ïîäàíî â ïðà-
öÿõ [6, 7]. Ó ö³é ñòàòò³ çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ
ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ ÿê ãðàíè÷íîãî íàáëèæåííÿ ó íîðì³ ïðîñòîðó L p äëÿ
p � �, ÿêèé ïîëÿãຠâ ïîñë³äîâí³é ïîáóäîâ³ ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü [8].
138 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1
© Ï.Ñ. Ìàëà÷³âñüêèé, ß.Â. ϳçþð, Ð.Ï. Ìàëà÷³âñüêèé, Î.Ì. Óõàíñüêà, 2019
Öåé ìåòîä º ïîäàëüøèì ðîçâèòêîì ³äå¿ �-àëãîðèòìó ª.ß. Ðåìåçà [9]. Îá÷èñëåííÿ
ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü çä³éñíþºòüñÿ çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
ç âèêîðèñòàííÿì çì³ííî¿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿, çíà÷åííÿ ÿêî¿ ïîñë³äîâíî óòî÷íþþòüñÿ
ç âðàõóâàííÿì óñ³õ ïîïåðåäí³õ íàáëèæåíü.
ÑÅÐÅÄÍÜÎÑÒÅÏÅÍÅÂÅ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÔÓÍÊÖ²É
Äëÿ îö³íêè ïîõèáêè ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é âèêîðèñòîâó-
þòü íîðìó â ïðîñòîð³ L p
|| || | ( ) |� �
L
p
np
n
n
X x x x� � � �
�
�
��
�
�
�
����� �1 2
1
1
2
2
�
�
�
�
�
�
�
1 /
,
p
1 � � �p , (3)
äå xi i i�[ , ]� � , i n�1, , à � ( ) ( ) ( ; )X f X F a Xm�
. Äëÿ 1 � � �p âåëè÷èíà
|| ||�
L
p íàáóâຠïðîì³æíèõ çíà÷åíü ì³æ || ||�
L1 ³ || ||� C [3, 9], äå || ||� C — íîð-
ìà ó ïðîñòîð³ íåïåðåðâíèõ ôóíêö³é.
Ó äèñêðåòíîìó âèïàäêó äëÿ îö³íêè ïîõèáêè ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåí-
íÿ âèêîðèñòîâóþòü íîðìó åâêë³äîâîãî ïðîñòîðó E p . Ïîõèáêó ñåðåäíüîñòåïåíå-
âîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) , çàäàíî¿ íà ìíîæèí³ òî÷îê � âèðàçîì (1),
îö³íþþòü ó íîðì³
| | | | ( | ( ) | ) /� �
�
E
p
X
p
p X�
�
� 1 , (4)
äå � ( ) ( ) ( ; )X f X F a Xm�
, 1 � � �p . Àíàëîã³÷íî äî íåïåðåðâíîãî âèïàäêó
ãðàíè÷íå çíà÷åííÿ íîðìè || ||�
E
p äëÿ p � � â³äïîâ³äຠíîðì³ ó ïðîñòîð³ íåïå-
ðåðâíèõ ôóíêö³é || ||� C .
Ìîæëèâ³ñòü îòðèìàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ÿê ãðàíè÷íîãî íàáëè-
æåííÿ â ïðîñòîð³ L p äëÿ p � � äåòàëüíî äîñë³äæåíî â ïðàö³ [9]. ª.ß. Ðåìåç ó [9]
òåîðåòè÷íî îá´ðóíòóâàâ çá³æí³ñòü îá÷èñëþâàëüíèõ ñõåì äëÿ ïîáóäîâè ÷åáèøî-
âñüêîãî íàáëèæåííÿ íà îñíîâ³ ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ. Çàïðîïîíîâà-
íèé ª.ß. Ðåìåçîì [9] �-àëãîðèòì çàáåçïå÷óº îá÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè-
æåííÿ ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ, ÿê óòî÷íåíîãî, ç âèêîðèñòàííÿì �-ïîïðàâêè ñå-
ðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ äåÿêîãî äîñòàòíüî âèñîêîãî ñòåïåíÿ ps . Öåé
àëãîðèòì ïîëÿãຠ⠳òåðàö³éí³é ïîáóäîâ³ ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü äëÿ
ñòåïåí³â
p p p ps0 1 2� � � �. . . , (5)
äå p0 2� , p1 3� . Âèá³ð âèùèõ ñòåïåí³â ðåêîìåíäîâàíî çä³éñíþâàòè ç³
ñï³ââ³äíîøåííÿ p pi i/
�1 4 , i s�
2 1, [9]. Ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ âèç-
íà÷àþòü çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
� i m
X
a A
X f X F a X( )( ( ) ( ; )) min
� ���
�
�� 2
�
, i s� 0 1, , ,� , (6)
ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ
� 0 1( )X � , � i i
p
X X i( ) | ( ) |�
� 2
, i s�1 2, , ,� , (7)
äå � i m iX f X F a X( ) ( ) ( ; ),�
1 , F a Xm i, ( ; ) — ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ
ôóíêö³¿ f X( ) âèðàçîì F a Xm ( ; ) , ÿêå â³äïîâ³äຠïîêàçíèêó ñòåïåíÿ pi .
Ïî÷èíàþ÷è ç³ ñòåïåíÿ p1 (5), ñåðåäíüîñòåïåíåâ³ íàáëèæåííÿ F a Xm i, ( ; ) ,
i s�1, , îòðèìàí³ çà ìåòîäîì (6), (7), óòî÷íþþòü ç âèêîðèñòàííÿì �-ïîïðàâêè [9].
Äëÿ óòî÷íåííÿ âèêîðèñòîâóþòü ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
� i j m i j m
X
a A
X f X F a X F a X, , ,( )(( ( ) ( ; )) ( ; )) m
� ���
�
�� 1
2
�
in, (8)
i s�1 2, , ,� , j �1 2, , �
ç³ çì³ííîþ âàãîâîþ ôóíêö³ºþ
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1 139
� i j i j
p
X X i
, ,( ) | ( ) |�
� 2
, (9)
äå
� i j m i jX f X F a X, , ,( ) ( ) ( ; )�
1 , (10)
F a X F a Xm i m i, , ,( ; ) ( ; )0 � , F a Xm i j, , ( ; ) — ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ
ôóíêö³¿ f X( ) âèðàçîì F a Xm ( ; ) , îòðèìàíå ç âèêîðèñòàííÿì âàãîâî¿ ôóíêö³¿
� i j X, ( ) . Óòî÷íåíå ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ F a Xm i j, , ( ; ) ñòåïåíÿ pi
ôóíêö³¿ f X( ) âèçíà÷àþòü çà ôîðìóëîþ
F a X F a X F a Xm i j m i j m i j, , , , , ,( ; ) ( ; ) ( ; )�
1 � , (11)
äå F a Xm i j, , ( ; ) — íàáëèæåííÿ, îòðèìàíå â ðåçóëüòàò³ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çà-
äà÷³ (8), à çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà � âèçíà÷àþòü ç óìîâè
max | ( ) ( ; ) ( ; ) | mi, , , , ,X
m i j m i jf X F a X F a X
�
�
� ���
�
1 0
�
� �
n. (12)
Óòî÷íåííÿ ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ (11) ñòåïåíÿ pi âèêîíóþòü äî
äîñÿãíåííÿ íåîáõ³äíî¿ òî÷íîñò³ � :
| max| ( ) | max| ( ) | | max| (, , ,
X
i j
X
i j
X
i jX X X
� �
�
�
� � �
� � �1 � ) | . (13)
Ïðè âèêîíàíí³ ö³º¿ óìîâè ñåðåäíüîñòåïåíåâå íàáëèæåííÿ ñòåïåíÿ pi
ôóíêö³¿ f X( ) ïîêëàäàþòü ð³âíèì F a X F a Xm i m i j, , ,( ; ) ( ; )� ³ ïåðåõîäÿòü äî îá-
÷èñëåííÿ ñåðåäíüîñòåïåíåâîãî íàáëèæåííÿ ñòåïåíÿ pi 1 (5).
Ïðîãðàìíó ðåàë³çàö³þ �-àëãîðèòìó îïèñàíî â [10]. Ó ïðàöÿõ [4, 11] äëÿ
îòðèìàííÿ ð³âíîì³ðíîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ f X( ) âèðàçîì
F a Xm ( ; ) (1) çàïðîïîíîâàíî çàñòîñóâàòè ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â
� r m
X
a A
X f X F a X( )( ( ) ( ; )) min
� ���
�
�� 2
�
, r � 0 1, , � , (14)
ç ïîñë³äîâíèì óòî÷íåííÿì çì³ííî¿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿
� 0 1( )X � , � r i
i
r
X X( ) | ( ) |�
�
� � 2
1
, r �1 2, , � ,
(15)
äå � k m kX f X F a X( ) ( ) ( ; ),�
1 , k r�1, , F a Xm k, ( ; ) — íàáëèæåííÿ çà ìåòî-
äîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ôóíêö³¿ f X( ) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ � k X( ) .
Âèêîðèñòàííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ (15) çàáåçïå÷èëî áëèçüêå äî ð³âíîì³ðíîãî ðîç-
íåñåííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ â òî÷êàõ çàäàííÿ ôóíêö³¿ f X( ) [4, 11]. Ó ïðàö³ [11]
çàïðîïîíîâàíî êîðèãóâàòè íàáëèæåííÿ, îòðèìàíå çà ìåòîäîì (14), (15), ç âèêî-
ðèñòàííÿì àäèòèâíî¿ (ñèìåòðèçóâàëüíî¿) ïîïðàâêè.
ÌÅÒÎÄ ÂÈÇÍÀ×ÅÍÍß ÏÀÐÀÌÅÒв ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß
ÔÓÍÊÖ²¯ ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ
Ïîáóäîâà ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ òàáëè÷íî-çàäàíèõ ôóíêö³é áàãàòüîõ
çì³ííèõ ´ðóíòóºòüñÿ íà ³äå¿ ïîñë³äîâíîãî îòðèìàííÿ íàáëèæåíü ó ïðîñòîð³ E p
äëÿ p � 2 3 4, , , . . . [8]. Äëÿ ïîáóäîâè íàáëèæåííÿ â ïðîñòîð³ E p âèêîðèñòîâóºìî
ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (14) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ
� 0 1( )X � , � r i
i
r
X X( ) | ( ) |�
�
� �
1
, r p�
1 2, ,� , p � 3 4, , . . . , (16)
äå � k m kX f X F a X( ) ( ) ( ; ),�
1 , k r�1, , F a Xm k, ( ; ) — íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿
f X( ) çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ � k X( ) .
Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (14) ç³ çì³ííîþ âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (16) çàáåçïå-
÷óº ïîñë³äîâíå îòðèìàííÿ ñåðåäíüîñòåïåíåâèõ íàáëèæåíü F a Xm r, ( ; ) ,
140 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1
r � 0 1, ,� , ôóíêö³¿ f X( ) ó ïðîñòîð³ E r 2 . ³äïîâ³äíî äî (16) çíà÷åííÿ âàãîâî¿
ôóíêö³¿ íà êîæí³é ³òåðàö³¿ (14) çá³ëüøóºòüñÿ ïðîïîðö³éíî äî ìîäóëÿ ïîõèáêè
íàáëèæåííÿ
�r m rX f X F a X( ) | ( ) ( ; ) |,�
(17)
ôóíêö³¿ f X( ) âèðàçîì F a Xm r, ( ; ) , îòðèìàíîãî íà ïîïåðåäí³é ³òåðàö³¿.
Îñê³ëüêè òî÷ö³ X X( )�� ç íàéá³ëüøèì â³äõèëåííÿì (17) â³äïîâ³äàº
íàéá³ëüøå ïðîïîðö³éíå çá³ëüøåííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ (16), òî çàñòîñóâàííÿ òàêîãî
óòî÷íåííÿ çíà÷åííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ äëÿ ³òåðàö³é (14) çóìîâëþº ïîñë³äîâíå çìåí-
øåííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê X X( )��
� � . . . �� � �0 1� � � r , (18)
äå
� max ( )� �r
X
r X�
��
. (19)
Îòæå, çàñòîñóâàííÿ âàãîâî¿ ôóíêö³¿ (16), ÿêà íà êîæí³é ³òåðàö³¿ (14)
çá³ëüøóºòüñÿ ïðîïîðö³éíî íà ìîäóëü ïîõèáêè (17) â³äòâîðåííÿ çíà÷åííÿ ôóíêö³¿
f X( ) , çóìîâëþº ïîñë³äîâíå çìåíøåííÿ ïîõèáêè ¿¿ â³äòâîðåííÿ (19) íàáëèæåí-
íÿì F a Xm r, ( ; ) . Ïîñë³äîâíå çìåíøåííÿ ïîõèáêè â³äòâîðåííÿ çíà÷åíü ôóíêö³¿
f X( ) ó ðåçóëüòàò³ êîæíî¿ íàñòóïíî¿ ³òåðàö³¿ (14) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (16)
îá´ðóíòîâóº çá³æí³ñòü ³òåðàö³é (14), (16).
Çàâåðøåííÿ ³òåðàö³é (14) ìîæíà êîíòðîëþâàòè äîñÿãíåííÿì äåÿêî¿ çàäàíî¿
òî÷íîñò³ � :
| � � | �� � ��r r r
�1 . (20)
Çàñòîñóâàííÿ ìîäóëÿ ó ë³â³é ÷àñòèí³ óìîâè (20) çóìîâëåíî ìîæëèâîþ íà-
ÿâí³ñòþ ïîõèáîê çàîêðóãëåííÿ ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ ïîõèáîê íàáëèæåííÿ �r X( ) .
Âàðòî çàçíà÷èòè, ùî ìåòîäó (14), (16) íå âëàñòèâå íàêîïè÷åííÿ ïîõèáîê çà-
îêðóãëåííÿ. Äëÿ íüîãî õàðàêòåðí³ ëèøå ïîõèáêè çàîêðóãëåííÿ, îòðèìàí³ ï³ä ÷àñ
ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ (14).
Äàë³ çä³éñíþºòüñÿ êîðèãóâàííÿ îòðèìàíîãî íàáëèæåííÿ ç âèêîðèñòàííÿì
ñèìåòðèçóâàëüíî¿ ïîïðàâêè
a0 2� ( ) /max min� � , (21)
äå �max ,max ( ( ) ( ; ))�
�X
m rf X F a X
�
, à �
min ,min ( ( ) ( ; ))�
�X
m rf X F a X
�
. Ó ðå-
çóëüòàò³ øóêàíå íàáëèæåííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ f X( ) , çàäàíî¿ íà ìíîæèí³
òî÷îê X �� óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì (1), áóäå âèçíà÷àòèñÿ òàê:
F a X F a X am m r( ; ) ( ; ),� 0 . (22)
Öåé ìåòîä çà ñóòòþ íàãàäóº ñõåìó Ðåìåçà [12] äëÿ îòðèìàííÿ ÷åáèøîâñüêî-
ãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿, â³äïîâ³äíî äî ÿêî¿ ïîõèáêà íàáëèæåííÿ
ï³ñëÿ êîæíî¿ ³òåðàö³¿ çìåíøóºòüñÿ çà ðàõóíîê óâåäåííÿ â àëüòåðíàíñ òî÷êè ç
íàéá³ëüøèì â³äõèëåííÿì.
Îòæå, ïîñë³äîâíå óòî÷íåííÿ çíà÷åíü âàãîâî¿ ôóíêö³¿ (16) ç óðàõóâàííÿì ïî-
õèáîê â³äòâîðåííÿ çíà÷åíü ôóíêö³¿ f X( ) çà ðåçóëüòàòàìè âñ³õ ïîïåðåäí³õ íàáëè-
æåíü çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â çàáåçïå÷óº çá³æí³ñòü ³òåðàö³éíî¿ ñõå-
ìè (14), (16) ³ â³äïîâ³äíî çá³æí³ñòü ìåòîäó îá÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåí-
íÿ. Çàäàþ÷è çíà÷åííÿ � â (20), ìîæíà äîñÿãòè íåîáõ³äíî¿ òî÷íîñò³ îá÷èñëåííÿ
ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) .
ÂÈÇÍÀ×ÅÍÍß ÏÀÐÀÌÅÒв ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÔÓÍÊÖ²¯
ÁÀÃÀÒÜÎÕ Ç̲ÍÍÈÕ Ç Â²ÄÍÎÑÍÎÞ ÏÎÕÈÁÊÎÞ
ßêùî íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ f X( ) íà ìíîæèí³ òî÷îê � íå íàáóâຠçíà÷åíü,
ð³âíèõ íóëåâ³, òî çà àíàëîã³÷íèì ìåòîäîì ìîæíà îòðèìàòè ÷åáèøîâñüêå íà-
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1 141
áëèæåííÿ f X( ) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ. Äëÿ ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè-
æåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ âèêîðèñòîâóºìî ìåòîä íàéìåíøèõ
êâàäðàò³â (14) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ
� 0 2
1
( )
( )
X
f X
� , � r i
i
r
X X( ) | ( ) |�
�
� �
1
, r p�
1 2, ,� , p � 3 4, , . . . , (23)
äå
�k
m k
X
f X F a X
f X
( )
( ) ( ; )
( )
,
�
1
, k r�1, , (24)
à F a Xm k, ( ; ) — íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ç
âàãîâîþ ôóíêö³ºþ � k X( ) .
ϳä ÷àñ ïîáóäîâè íàáëèæåííÿ ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ çàâåðøåííÿ ³òåðàö³é
(14) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (23) ìîæíà êîíòðîëþâàòè äîñÿãíåííÿì äåÿêî¿ çàäàíî¿
òî÷íîñò³ � â³äïîâ³äíî äî óìîâè (20), â ÿê³é
� ( ) max| ( ) |�r
X
rX X�
�
�
� 1 , (25)
äå �r X 1 ( ) — ïîõèáêà â³äòâîðåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) âèðàçîì F a Xm r, ( ; ) , îòðè-
ìàíèì çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (14) íà r-³é ³òåðàö³¿.
Äàë³ çä³éñíþºòüñÿ êîðèãóâàííÿ îòðèìàíîãî íàáëèæåííÿ F a Xm r, ( ; ) ç â³ä-
íîñíîþ ïîõèáêîþ ç âèêîðèñòàííÿì ñèìåòðèçóâàëüíî¿ ïîïðàâêè
b
f X f X
F a X f X F a X fm r m r
�
2 ( ) ( )
( ; ) ( ) ( ; )
max min
, min max , max ( )minX
, (26)
äå X max — òî÷êà, â ÿê³é â³äíîñíà ïîõèáêà íàáëèæåííÿ �r X 1 ( ) (24) äîñÿãàº
íàéá³ëüøîãî çíà÷åííÿ íà ìíîæèí³ òî÷îê X ��, à X min — òî÷êà, â ÿê³é
â³äíîñíà ïîõèáêà íàáóâຠíàéìåíøîãî çíà÷åííÿ.  ðåçóëüòàò³ øóêàíå íàáëè-
æåííÿ íåïåðåðâíî¿ ôóíêö³¿ f X( ) , çàäàíî¿ íà ìíîæèí³ òî÷îê X �� óçàãàëüíå-
íèì ïîë³íîìîì (1) ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ, áóäå âèçíà÷àòèñÿ çà ôîðìóëîþ
F a X b F a Xm m r( ; ) ( ; ),� . (27)
Çíà÷åííÿ êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè b (26) âèçíà÷àºòüñÿ ÿê ðîçâ’ÿçîê îäíîïà-
ðàìåòðè÷íî¿ çàäà÷³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f X( ) âèðàçîì
bF a Xm r, ( ; ) íà ìíîæèí³ òî÷îê X �� ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ
max
( ) ( ; )
( )
min
,
X
m r
b
f X bF a X
f X�
� ��
�
. (28)
Ðåçóëüòàòè îá÷èñëåííÿ ïàðàìåòð³â ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ äëÿ òåñòîâèõ
ïðèêëàä³â ï³äòâåðäæóþòü õîðîøó çá³æí³ñòü ³òåðàö³éíîãî ïðîöåñó (14) ç âàãî-
âèìè ôóíêö³ÿìè (16) ³ (23) ó âèïàäêó íàáëèæåííÿ ôóíêö³é îäí³º¿, äâîõ òà òðüîõ
çì³ííèõ. Çîêðåìà, ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ òåñòîâèõ ïðèêëàä³â äëÿ ôóíêö³é, çàäàíèõ íà
ìíîæèí³ ç³ 121-¿ òî÷êè, çá³ã äâîõ-òðüîõ çíà÷óùèõ öèôð ó ïîõèáö³ íàáëèæåííÿ
äîñÿãàâñÿ äëÿ � � 0003. çà ø³ñòü-äåâ’ÿòü ³òåðàö³é (14) ÿê ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (16)
äëÿ àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè, òàê ³ ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (23) äëÿ â³äíîñíî¿ ïîõèáêè.
Ïðèêëàä 1. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ïîë³íîìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ
ôóíêö³¿ îäí³º¿ çì³ííî¿ y x x x( ) � 1 2 3 2 , çàäàíî¿ â òî÷êàõ xi , i � 0 20, , äå
x ii � 0 1. .
Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó äëÿ � � 0003. â óìîâ³ (20) çà â³ñ³ì
³òåðàö³é (14) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (16) äëÿ ôóíêö³¿ y x( ) îòðèìàíî ïîë³íîì
P x x x2
21006720776 0 7076428791 0 7445228708( ) . . .� , (29)
ÿêèé ç âðàõóâàííÿì êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè a0 00000619405� . çàáåçïå÷óº àá-
142 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1
ñîëþòíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 0.015613905. Ó ïðîöåñ³ îá÷èñëåííÿ ÷åáèøî-
âñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ïîõèáêà íàáëèæåííÿ íà ³òåðàö³ÿõ (14) íàáó-
âàëà òàêèõ çíà÷åíü:
0.021899282, 0.0163219491, 0.016111283, 0.016045417, 0.015902523,
0.015792476, 0.015720242, 0.015675845.
×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ïîë³íîìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ, îòðèìà-
íå çà ³òåðàö³éíîþ ñõåìîþ Ðåìåçà [12] ç óòî÷íåííÿì òî÷îê àëüòåðíàíñó çà àëãî-
ðèòìîì Âàëëå–Ïóññåíà, çàáåçïå÷óº ïîõèáêó àïðîêñèìàö³¿ 0.01544. Ïåðåâèùåííÿ
ïîõèáêè íàáëèæåííÿ ïîë³íîìîì (29) ïîð³âíÿíî ç ïîõèáêîþ ÷åáèøîâñüêîãî íà-
áëèæåííÿ, îòðèìàíîãî çà ñõåìîþ Ðåìåçà, äîð³âíþº 0.0001739. Ïîõèáêà íàáëè-
æåííÿ ïîë³íîìîì (29) ïåðåâèùóº íà 1.12% ïîõèáêó ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ,
îòðèìàíîãî çà ñõåìîþ Ðåìåçà.
Êðèâó ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿ (29) çîáðàæåíî íà ðèñ. 1.
Ïîäàíà íà ðèñóíêó êðèâà ïîõèá-
êè àïðîêñèìàö³¿ â³äïîâ³äຠõàðàêòå-
ðèñòè÷í³é âëàñòèâîñò³ ÷åáèøîâñüêî-
ãî íàáëèæåííÿ — ìຠ÷îòèðè åêñòðå-
ìàëüí³ òî÷êè, â ÿêèõ äîñÿãàºòüñÿ
íàéá³ëüøå çà ìîäóëåì (ó ìåæàõ çàäà-
íî¿ òî÷íîñò³) â³äõèëåííÿ ³ çíàê â³äõè-
ëåííÿ ó öèõ òî÷êàõ ÷åðãóºòüñÿ. Ö³
åêñòðåìàëüí³ òî÷êè çá³ãàþòüñÿ ç òî÷-
êàìè àëüòåðíàíñó, îòðèìàíèìè äëÿ
íàáëèæåííÿ çà ñõåìîþ Ðåìåçà [12].
Íàéìåíøå çíà÷åííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ïîë³íîìîì äðóãîãî
ñòåïåíÿ ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó áóëî äîñÿãíóòî íà 117-³é ³òå-
ðàö³¿ (14) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (16) ³ äîð³âíþâàëî 0.01544.
Íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ïîë³íîìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ
ç âèêîðèñòàííÿì ³òåðàö³éíîãî ìåòîäó (14), (23) äëÿ � � 0003. áóëî îòðèìàíî çà ñ³ì
³òåðàö³é. Ïîë³íîì
P x x x2
21008795347 0 7207929316 0 7265246023( ) . . .� (30)
çàáåçïå÷óº â³äíîñíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 0.94999% ç êîðèãóâàëüíîþ ïîïðàâ-
êîþ b � 0.9999505612 .
×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ y x( ) ïîë³íîìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ ç â³äíîñ-
íîþ ïîõèáêîþ, îòðèìàíå çà ³òåðàö³éíîþ ñõåìîþ Ðåìåçà [12] ç óòî÷íåííÿì òî÷îê
àëüòåðíàíñó çà àëãîðèòìîì Âàëëå–Ïóññåíà, çàáåçïå÷óº ïîõèáêó àïðîêñèìàö³¿
0.9337%. Ïåðåâèùåííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ (30) ïîð³âíÿíî ç ïîõèáêîþ ÷åáèøî-
âñüêîãî íàáëèæåííÿ, îòðèìàíîãî çà ñõåìîþ Ðåìåçà, äîð³âíþº 0.0163%, ùî
ñòàíîâèòü 1.75% â³ä ïîõèáêè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ.
Ïðèêëàä 2. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y x y1
2 2( , ) � ,
çàäàíî¿ â òî÷êàõ ( , )x yi j , i � 0 10, , j � 0 10, , äå x ii � 0 1. , y jj � 0 1. , ïîë³íîìîì äðó-
ãîãî ñòåïåíÿ ùîäî çì³ííèõ x òà y .
Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó äëÿ ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) çà ñ³ì ³òå-
ðàö³é (14) ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (16) áóëî äîñÿãíóòî âèêîíàííÿ óìîâè (20) äëÿ
� � 0003. . Îòðèìàíèé ïîë³íîì
P x y x2 2 003161824134 0 7318695249 0 7318695249, ( , ) . . .� y –
– . . .06459607105 0 2640058033 0 26400580332 2xy x y (31)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1 143
Ðèñ. 1. Êðèâà ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ y x( )
ïîë³íîìîì (29)
�
x
çàáåçïå÷óº àáñîëþòíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) , ùî äîð³âíþº
0.036805375, ç êîðèãóâàëüíîþ ïîïðàâêîþ a0 0�
.00041013265 .
Âèãëÿä ïîâåðõí³ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ (31) ïîäàíî íà ðèñ. 2.
Çîáðàæåíà íà ðèñ. 2 ïîâåðõíÿ
ï³äòâåðäæóº âèêîíàííÿ õàðàêòåðèñòè÷-
íî¿ âëàñòèâîñò³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè-
æåííÿ, òîáòî ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ÷åðãóâàííÿ
çì³íè çíàêó íàéá³ëüøèõ çà ìîäóëåì
â³äõèëåíü. Ç öüîãî ðèñóíêó òàêîæ âèïëè-
âàº, ùî òî÷îê, â ÿêèõ ïîõèáêà íàáëèæåí-
íÿ íàáóâຠíàéá³ëüøîãî çà ìîäóëåì çíà-
÷åííÿ, º ï’ÿòü. Öÿ ê³ëüê³ñòü åêñòðåìàëü-
íèõ òî÷îê â³äïîâ³äຠðîçâ’ÿçàí³é çàäà÷³.
Îñê³ëüêè ôóíêö³ÿ z x y1 ( , ) º ñèìåòðè÷íîþ
â³äíîñíî àðãóìåíò³â x òà y , òî ¿¿ íàáëè-
æåííÿ ïîë³íîìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ òàêîæ
ïîâèííî áóòè ñèìåòðè÷íèì, òîáòî öåé ïîë³íîì ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³
P x y a b x y c x y dxy2 2
2 2
, ( , ) ( ) ( )� . (32)
³äïîâ³äíî äî õàðàêòåðèñòè÷íî¿ âëàñòèâîñò³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ íà-
áëèæåííÿ ïîë³íîìîì (32) ç ÷îòèðìà íåâ³äîìèìè ïàðàìåòðàìè ïîâèííî õàðàêòå-
ðèçóâàòèñÿ íàÿâí³ñòþ ï’ÿòè òî÷îê ç íàéá³ëüøèì çà ìîäóëåì â³äõèëåííÿì. Ó íà-
áëèæåíí³ (31) çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â á³ëÿ îäíàêîâèõ ñòåïåí³â çì³ííèõ x òà y ìàé-
æå çá³ãàþòüñÿ. Çíà÷åííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) çà
ìåòîäîì (14), (16) ó âèãëÿä³ ïîë³íîìó (32) çá³ãàëîñÿ ç³ çíà÷åííÿì ïîõèáêè
íàáëèæåííÿ ïîë³íîìîì (31).
Çíà÷åííÿ íàéá³ëüøèõ çà ìîäóëåì äîäàòíîãî òà â³ä’ºìíîãî â³äõèëåíü íàáëèæåí-
íÿ (31) â³ä çíà÷åíü ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) çá³ãàþòüñÿ â ìåæàõ çàäàíî¿ òî÷íîñò³. Ïðî öå ñâ³ä÷èòü,
çîêðåìà, â³äíîñíî ìàëå çíà÷åííÿ êîðèãóâàëüíî¿ ïîïðàâêè a0 0�
.00041013265 , ÿêå
ñòàíîâèòü 1.09% â³ä îòðèìàíî¿ àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ (31).
Ïðèêëàä 2 âçÿòî ç ïðàö³ Å.ß. Ðåìåçà [9], â ÿê³é äëÿ îòðèìàííÿ ÷åáèøîâñüêî-
ãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) ïîë³íîìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ ùîäî çì³ííèõ x òà y
âèêîðèñòàíî �-àëãîðèòì ç âðàõóâàííÿì ìîæëèâîñòåé åôåêòèâíîãî çìåíøåííÿ
ïîõèáêè. Àáñîëþòíà ïîõèáêà àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) ïîë³íîìîì äðóãîãî
ñòåïåíÿ, îòðèìàíîãî â [9], ñòàíîâèëà 0.036351. Òåîðåòè÷íî îòðèìàíå â [9] çíà-
÷åííÿ àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) ïîë³íî-
ìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ äîð³âíþº 0.036310. Îòæå, ïåðåâèùåííÿ ïîõèáêè íàáëèæåí-
íÿ (31) íàä òåîðåòè÷íî îòðèìàíèì çíà÷åííÿì ïîõèáêè äîð³âíþº 0.000495375, ùî
ñòàíîâèòü 1.36% â³ä òåîðåòè÷íî îòðèìàíîãî çíà÷åííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ
ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) ïîë³íîìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ.
Íàéìåíøå çíà÷åííÿ àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y1 ( , )
ïîë³íîìîì äðóãîãî ñòåïåíÿ çà ìåòîäîì (14), (16) áóëî äîñÿãíóòî íà 55-³é ³òå-
ðàö³¿. Îòðèìàíèé ïîë³íîì
P x y x2 2 003393618707 0 7230553918 0 723055391,
* ( , ) . . .� 8 y –
– . . .06483527459 0 2731844281 0 27318442812 2xy x y (33)
çàáåçïå÷óº àáñîëþòíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 0.03624001. Êîðèãóâàëüíà ïîïðàâ-
êà äîð³âíþº a0 0�
.000026703. Îòðèìàííÿ ïîõèáêè íàáëèæåííÿ (33), ìåíøî¿
í³æ òåîðåòè÷íî ðîçðàõîâàíå çíà÷åííÿ ïîõèáêè â [9], ïîÿñíþºòüñÿ òèì, ùî ðîç-
ðàõîâàíå çíà÷åííÿ ïîõèáêè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ â [9] â³äïîâ³äຠíàáëè-
æåííþ àíàë³òè÷íî çàäàíî¿ ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) .
144 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1
Ðèñ. 2. Ïîâåðõíÿ ïîõèáêè àïðîêñèìàö³¿
ôóíêö³¿ z x y1 ( , ) ïîë³íîìîì (31)
�
x y
Ïðèêëàä 3. Çíàéäåìî ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y t e xyt
2 ( , , ) �
,
çàäàíî¿ â òî÷êàõ ( , , )x y ti j r , i � 0 10, , j � 0 10, , r � 0 10, , äå x ii � 0 1. , y jj � 0 1. ,
t rr � 0 1. , ïîë³íîìîì ïåðøîãî ñòåïåíÿ çà êîæíîþ çì³ííîþ x, y òà t.
Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó (14), (16) äëÿ � � 0003. çà ñ³ì ³òå-
ðàö³é îòðèìàíî äëÿ ôóíêö³¿ z x y t2 ( , , ) íàáëèæåííÿ ïîë³íîìîì
P x y t x3 1 0 9787294020 001152161174 001152135, ( , , ) . – . – .� 336 y
+ 0.005123721063 xy – 0.01152121170 t + 0.005123542576 tx +
+ 0.005123241453 yt – 0.6312148958 xyt, (34)
ÿêèé çàáåçïå÷óº àáñîëþòíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 0.0395586 ç êîðèãóâàëüíîþ
ïîïðàâêîþ a0 0�
.00200142015.
×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ z x y t2 ( , , ) ïîë³íîìîì ïåðøîãî ñòåïåíÿ çà
êîæíîþ çì³ííîþ x , y òà t ç â³äíîñíîþ ïîõèáêîþ ç âèêîðèñòàííÿì ³òåðàö³é (14)
ç âàãîâîþ ôóíêö³ºþ (23) äëÿ � � 0003. áóëî îòðèìàíî çà â³ñ³ì ³òåðàö³é. Ïîë³íîì
P x y t x3 1 0 9974817898 0002695606042 00026960, ( , , ) . – . – .� 40932 y
+ 0.002240020262 xy – 0.002694776433 y + 0.002238596308 tx +
+ 0.002239105684 yt – 0.2594474214 xyt, (35)
çàáåçïå÷óº â³äíîñíó ïîõèáêó íàáëèæåííÿ 0.567% ç êîðèãóâàëüíîþ ïîïðàâêîþ
b � 0.9998333224.
ÂÈÑÍÎÂÊÈ
Çàïðîïîíîâàíèé ìåòîä ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ íåïåðåðâíèõ òàá-
ëè÷íî-çàäàíèõ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ çàáåçïå÷óº ìîæëèâ³ñòü îá÷èñëåííÿ
íàáëèæåííÿ óçàãàëüíåíèì ïîë³íîìîì (1) ç íåîáõ³äíîþ òî÷í³ñòþ. Ìåòîä º íå-
ñêëàäíèì äëÿ ðåàë³çàö³¿, íàä³éíèì ³ åôåêòèâíèì. Ðåçóëüòàòè ðîçâ’ÿçóâàííÿ
òåñòîâèõ ïðèêëàä³â ï³äòâåðäæóþòü äîñèòü øâèäêó çá³æí³ñòü çàïðîïîíîâàíîãî
ìåòîäó ï³ä ÷àñ ïîáóäîâè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ç àáñîëþòíîþ ³ â³äíîñ-
íîþ ïîõèáêîþ äëÿ ôóíêö³é îäí³º¿, äâîõ ³ òðüîõ çì³ííèõ.
Öåé ìåòîä äîö³ëüíî âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ âèñîêîòî÷íîãî ãðàäóþâàííÿ çà-
ñîá³â âèì³ðþâàííÿ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí, çíà÷åííÿ ÿêèõ çàëåæèòü â³ä ê³ëüêîõ ³íôîð-
ìàö³éíèõ ñèãíàë³â, çîêðåìà, ìàíîìåòð³â, òåðìîàíåìîìåòðè÷íèõ âèì³ðþâà÷³â
øâèäêîñò³ ïîòîêó ð³äèíè òîùî.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. ßöóê Â.Î., Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ. Ìåòîäè ï³äâèùåííÿ òî÷íîñò³ âèì³ðþâàíü: Ëüâ³â: Áåñêèä Á³ò,
2008. 68 ñ.
2. Bubela T., Malachivskyy P., Pokhodylo Y., Mykyychuk M., Vorobets O. Mathematical modeling of
soil acidity by the admittance parameters. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies.
2016. Vol. 6, N 10 (84). P. 4–9.
3. Êîëëàòö Ë., Êðàáñ Â. Òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé. ×åáûøåâñêèå ïðèáëèæåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ.
Ìîñêâà: Íàóêà, 1978. 272 ñ.
4. Malachivskyy P.S., Matviychuk Y.N., Pizyur Y.V., Malachivskyi R.P. Uniform approximation of
functions of two variables. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 3. P. 426–431.
5. Êàëåí÷óê–Ïîðõàíîâà À.Î., Âàêàë Ë.Ï. Ïîáóäîâà íàéêðàùèõ ð³âíîì³ðíèõ íàáëèæåíü ôóíêö³é
áàãàòüîõ çì³ííèõ. Êîìï’þòåðí³ çàñîáè, ìåðåæ³ òà ñèñòåìè. 2007. ¹ 6. Ñ. 141–148.
6. Kalenchuk–Porkhanova A.A. Best Chebyshev approximation of functions of one and many
variables. Cybernetics and Systems Analysis. 2009. Vol. 45, N 6. P. 988–996.
7. Êàëåí÷óê–Ïîðõàíîâà À.À., Âàêàë Ë.Ï. Ïàêåò ïðîãðàìì àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé. Êîìï’þ-
òåðí³ çàñîáè, ìåðåæ³ òà ñèñòåìè. 2008. ¹ 7. Ñ. 32–38.
8. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., ϳçþð ß.Â., Ìàëà÷³âñüêèé Ð.Ï. Îá÷èñëåííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ
ôóíêö³¿ áàãàòüîõ çì³ííèõ. Îá÷èñëþâàëüí³ ìåòîäè ³ ñèñòåìè ïåðåòâîðåííÿ ³íôîðìàö³¿: çá. ïðàöü
V-¿ íàóê.-òåõí. êîíô., Ëüâ³â, 4–5 æîâòíÿ 2018 ð. Ëüâ³â: Ô̲ ÍÀÍÓ. Âèï. 5. 2018. C. 35–38.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1 145
9. Ðåìåç Å.ß. Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1969.
623 ñ.
10. Ïåòðàê Ë.Â. Ïðîãðàììà ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæàþùåãî ïîëèíîìà äëÿ ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåí-
íûõ. Ïðîãðàììû îïòèìèçàöèè (ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé). Ñâåðäëîâñê: ÓÍÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1975.
Âûï. 6. Ñ. 145–157.
11. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ìîíö³áîâè÷ Á. Ð., ϳçþð ß.Â., Ìàëà÷³âñüêèé Ð.Ï. Àëãîðèòì ð³âíîì³ðíîãî
íàáëèæåííÿ ôóíêö³é áàãàòüîõ çì³ííèõ. Ìàòåìàòè÷íå òà êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ. Ñåð³ÿ:
ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè. 2017. Âèï. 15. C. 106–112.
12. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåïåðåðâíå é ãëàäêå ì³í³ìàêñíå ñïëàéí-íàáëèæåííÿ.
Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2013. 270 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 19.11 .2018
Ï.Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, ß.Â. Ïèçþð, Ð.Ï. Ìàëà÷èâñêèé, Î.Ì. Óõàíñêàÿ
×ÅÁÈØÅÂÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ ÌÍÎÃÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ
ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ îáîáùåííûì ïîëèíîìîì êàê ïðåäåëüíîãî ïðè-
áëèæåíèÿ â íîðìå ïðîñòðàíñòâà L p ïðè p � �. Îí îñíîâûâàåòñÿ íà ïîñëå-
äîâàòåëüíîì ïîñòðîåíèè ñðåäíåñòåïåííûõ ïðèáëèæåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì
ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ ïåðåìåííîé âåñîâîé ôóíêöèåé. Ñõîäèìîñòü
ìåòîäà îáåñïå÷èâàåò îðèãèíàëüíûé ñïîñîá ïîñëåäîâàòåëüíîãî óòî÷íåíèÿ
çíà÷åíèé âåñîâîé ôóíêöèè, ó÷èòûâàþùèé ðåçóëüòàòû ïðèáëèæåíèÿ íà âñåõ
ïðåäûäóùèõ èòåðàöèÿõ. Îïèñàíû ñïîñîáû âû÷èñëåíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðè-
áëèæåíèÿ ñ àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. Ïðåäñòàâëåííûå
ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ òåñòîâûõ ïðèìåðîâ ïîäòâåðæäàþò ýôôåêòèâíîñòü èñ-
ïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ òàáëè÷íî
çàäàííûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé îäíîé, äâóõ è òðåõ ïåðåìåííûõ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, ÷åáûøåâñêîå (ðàâíîìåð-
íîå) ïðèáëèæåíèå, ñðåäíåñòåïåííîå ïðèáëèæåíèå, ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàä-
ðàòîâ, ïåðåìåííàÿ âåñîâàÿ ôóíêöèÿ.
P.S. Malachivskyy, Ya.V. Pizyur, R.P. Malachivskyi, O.M. Ukhanska
CHEBYSHEV APPROXIMATION OF FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES
Abstract. The algorithm of uniform approximation for functions of several
variables with generalized polynomial is described as approximation in norm of
space L p for p � �. It is based on sequential construction of power-average
approximations using the least squares method with variable weight function.
The convergence of the method provides an original way to consistently refine
the values of the weight function, which takes into account the results of
approximation at all previous iterations. Methods of calculating the Chebyshev
approximation with absolute and relative errors are described. The results of test
examples confirm the efficiency of using the method to obtain the Chebyshev
approximation of tabular continuous functions of one, two, and three variables.
Keywords: functions of several variables, Chebyshev (uniform) approximation,
power-average approximation, least squares method, variable weight function.
Ìàëà÷³âñüêèé Ïåòðî Ñòåôàíîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåñîð, ïðîâ³äíèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê ²íñòèòóòó ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì
ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè ³ì. ß.Ñ. ϳäñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â,
e-mail: Petro.Malachivskyy@gmail.com.
ϳçþð ßðîïîëê Âîëîäèìèðîâè÷,
êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà»,
e-mail: pizyur@yahoo.com.
Ìàëà÷³âñüêèé Ðîìàí Ïåòðîâè÷,
ðîçðîáíèê ïðîãðàìíîãî çàáåçïå÷åííÿ êîìïàí³¿ Lohika Systems, Ëüâ³â, e-mail: romanmalachivsky@gmail.com.
Óõàíñüêà Îêñàíà Ìèõàéë³âíà,
êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà»,
e-mail: oksana.m.ukhanska@lpnu.ua.
146 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190348 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1019-5262 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:29:16Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Малачівський, Р.П. Уханська, О.М. 2023-05-31T14:08:54Z 2023-05-31T14:08:54Z 2020 Чебишовське наближення функцій багатьох змінних / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, Р.П. Малачівський, О.М. Уханська // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 1. — С. 138–146. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190348 519.65 Запропоновано метод побудови чебишовського наближення функцій багатьох змінних узагальненим поліномом як граничного наближення у нормі простору Lᵖ для p → ∞. Він ґрунтується на послідовній побудові середньостепеневих наближень з використанням методу найменших квадратів зі змінною ваговою функцією. Збіжність методу забезпечує оригінальний спосіб послідовного уточнення значень вагової функції, який враховує результати наближення на всіх попередніх ітераціях. Описано способи обчислення чебишовського наближення з абсолютною та відносною похибкою. Подані результати розв’язування тестових прикладів підтверджують ефективність використання методу для отримання чебишовського наближення таблично заданих неперервних функцій однієї, двох і трьох змінних. Предложен метод построения чебышевского приближения функций многих переменных обобщенным полиномом как предельного приближения в норме пространства Lᵖ при p → ∞. Он основывается на последовательном построении среднестепенных приближений с использованием метода наименьших квадратов с переменной весовой функцией. Сходимость метода обеспечивает оригинальный способ последовательного уточнения значений весовой функции, учитывающий результаты приближения на всех предыдущих итерациях. Описаны способы вычисления чебышевского приближения с абсолютной и относительной погрешностью. Представленные результаты решения тестовых примеров подтверждают эффективность использования метода для получения чебышевского приближения таблично заданных непрерывных функций одной, двух и трех переменных. The algorithm of uniform approximation for functions of several variables with generalized polynomial is described as approximation in norm of space Lᵖ for p → ∞. It is based on sequential construction of power-average approximations using the least squares method with variable weight function. The convergence of the method provides an original way to consistently refine the values of the weight function, which takes into account the results of approximation at all previous iterations. Methods of calculating the Chebyshevapproximation with absolute and relative errors are described. The results of testexamples confirm the efficiency of using the method to obtain the Chebyshevapproximation of tabular continuous functions of one, two, and three variables. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системний аналіз Чебишовське наближення функцій багатьох змінних Чебишевское приближение функций многих переменных Chebyshev approximation of functions of several variables Article published earlier |
| spellingShingle | Чебишовське наближення функцій багатьох змінних Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Малачівський, Р.П. Уханська, О.М. Системний аналіз |
| title | Чебишовське наближення функцій багатьох змінних |
| title_alt | Чебишевское приближение функций многих переменных Chebyshev approximation of functions of several variables |
| title_full | Чебишовське наближення функцій багатьох змінних |
| title_fullStr | Чебишовське наближення функцій багатьох змінних |
| title_full_unstemmed | Чебишовське наближення функцій багатьох змінних |
| title_short | Чебишовське наближення функцій багатьох змінних |
| title_sort | чебишовське наближення функцій багатьох змінних |
| topic | Системний аналіз |
| topic_facet | Системний аналіз |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190348 |
| work_keys_str_mv | AT malačívsʹkiips čebišovsʹkenabližennâfunkcíibagatʹohzmínnih AT pízûrâv čebišovsʹkenabližennâfunkcíibagatʹohzmínnih AT malačívsʹkiirp čebišovsʹkenabližennâfunkcíibagatʹohzmínnih AT uhansʹkaom čebišovsʹkenabližennâfunkcíibagatʹohzmínnih AT malačívsʹkiips čebiševskoepribliženiefunkciimnogihperemennyh AT pízûrâv čebiševskoepribliženiefunkciimnogihperemennyh AT malačívsʹkiirp čebiševskoepribliženiefunkciimnogihperemennyh AT uhansʹkaom čebiševskoepribliženiefunkciimnogihperemennyh AT malačívsʹkiips chebyshevapproximationoffunctionsofseveralvariables AT pízûrâv chebyshevapproximationoffunctionsofseveralvariables AT malačívsʹkiirp chebyshevapproximationoffunctionsofseveralvariables AT uhansʹkaom chebyshevapproximationoffunctionsofseveralvariables |